2016考点跟踪突破25 与圆有关的计算

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2024中考数学专题过关检测专题25 与圆有关的计算的核心知识点精讲(讲义)(解析版)

专题25 与圆有关的计算的核心知识点精讲1.掌握弧长和扇形面积计算公式；2.会利用弧长和扇形面积计算公式进弧长和扇形面积的计算考点1：圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD D中进行：:::2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE D中进行，::OE AE OA =（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB D中进行，::2AB OB OA =.考点2：扇形的弧长和面积计算扇形：（1）弧长公式：180n Rl p =；（2）扇形面积公式：213602n R S lR p ==n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长S ：扇形面积注意：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的；　（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.长的，即即； (4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 (5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.考点3：扇形与圆柱、圆锥之间联系1、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r p p +（2）圆柱的体积：2V r h p =2、圆锥侧面展开图（1）S S S =+侧表底=2Rr r p p +（2）圆锥的体积：213V r hp =注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（180r 2Rn ΠΠ=）【题型1：正多边形和圆的有关计算】【典例1】（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为（）A ．B ．2C ．3D ．2积的，即；C 1D 1【答案】C【解答】解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB＝360°÷12＝30°，∴AM＝OA＝，∴S＝OB•AM＝＝，△AOB∴正十二边形的面积为12×＝3，∴3＝12×π，∴π＝3，∴π的近似值为3，故选：C．【变式1-1】（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60°B．90°C．180°D．360°【答案】B【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．【变式1-2】（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（）A．60°B．54°C．48°D．36°【答案】D【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．【变式1-3】（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（）A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【答案】A【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴AB＝BC＝2，OQ＝3，∴OA＝OB＝，∴OC＝3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3，﹣2），故选：A．【变式1-4】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ 的度数为（）A．30°B．45°C．36°D．60°【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B．【题型2：弧长和扇形面积的有关计算】【典例2】（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．πB．3πC．2πD．2π﹣【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴＝＝，∵的长＝＝π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π．故选：B．【变式2-1】（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．πB．πC．πD．π【答案】B【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°，∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【变式2-2】（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m【答案】C【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，∴∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），故选：C．【变式2-3】（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）A．πB．πC．πD．2π【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∴扇形AOC的面积为，故选：D．【题型3：有圆有关的阴影面积的计算】【典例3】（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故选：B．【变式3-1】（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB 空地，准备在小扇形OCD 内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB ＝120°，OA ＝15m ，OC ＝10m ，则种草区域的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解答】解：S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S 扇形COD ＝＝（m 2）．故选：B ．【变式3-2】（2023•鄂州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．5πB ．5﹣4πC ．5﹣2πD ．10﹣2π【答案】C【解答】解：连接OD ．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，∴BC ＝AB ＝4，∴OC ＝OD ＝OB ＝2，∴∠DOB ＝2∠C ＝60°，∴S 阴＝S △ACB ﹣S △COD ﹣S 扇形ODB ＝×4×4﹣﹣＝8﹣3﹣2π＝5﹣2π．故选：C ．【变式3-3】（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC ＝90°，则扇形部件的面积为（）A ．米2B ．米2C ．米2D ．米2【答案】C【解答】解：连结BC ，AO ，如图所示，∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径，∵⊙O 的直径为1米，∴AO ＝BO ＝（米），∴AB ＝＝（米），∴扇形部件的面积＝π×（）2＝（米2），故选：C ．【题型4：圆锥的有关计算】【典例4】（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故选：A．【变式4-1】（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．100°C．120°D．150°【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．【变式4-2】（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25mD．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【解答】解：∵底面圆半径DE＝2m，∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；∵圆柱的高CD＝2.5m，∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，∴圆锥的母线长AB＝＝2.5（m），所以C选项符合题意；∴圆锥的侧面积＝×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．【变式4-3】（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm【答案】D【解答】解：设母线的长为R，由题意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母线的长为24cm，故选：D．一．选择题（共10小题）1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（）A．72°B．60°C．48°D．36°【答案】A【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：A．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2，B．，πC．2，D．2，【答案】D【解答】解：如图所示，连接OC、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∴OM＝OB sin∠OBM＝4×＝2，的长＝＝；故选：D．3．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C都在⊙O上，∠B＝45°，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【答案】C【解答】解：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°，∵⊙O的半径为1，∴的长＝＝＝π，故选：C．4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图，连接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，OB＝OC＝BC＝1，∴的长为＝，故选：A．5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）A．πB．2πC．4πD．6π【答案】B【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π．故选：B．6．若扇形的半径是12cm弧长是20πcm，则扇形的面积为（）A．120πcm2B．240πcm2C．360πcm2D．60πcm2【答案】A【解答】解：该扇形的面积为：（cm 2）．故选：A ．7．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°后得到△AB 'C '，点B 经过的路径为弧BB ′，若∠BAC ＝60°，AC ＝3，则图中阴影部分的面积是（）A ．B ．C ．D ．3π【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝3，∴∠ABC ＝30°．∴AB ＝2AC ＝6．根据旋转的性质知△ABC ≌△AB ′C ′，则S △ABC ＝S △AB ′C ′，AB ＝AB ′．∴S 阴影＝S 扇形ABB ′+S △AB ′C ′﹣S △ABC ＝＝．故选：C ．8．如图，四边形ABCD 为正方形，边长为4，以B 为圆心、BC 长为半径画，E 为四边形内部一点，且BE ⊥CE ，∠BCE ＝30°，连接AE ，则阴影部分面积（）A ．B ．6πC ．D ．【答案】C【解答】解：如图，作EF ⊥AB 于点F ，∵BE⊥CE，∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°，∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°，∴EF＝BE＝1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE＝﹣×2×﹣×1＝4π﹣2﹣2．故选：C．9．如图，圆锥的母线长为5cm，高是4cm，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（）A．180°B．216°C．240°D．270°【答案】B【解答】解：∵圆锥的母线长为5cm，高是4cm，∴圆锥底面圆的半径为：＝3（cm），∴2π×3＝，解得n＝216°．故选：B．10．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．25π【答案】C【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π，故选：C．二．填空题（共8小题）11．AB是⊙O的内接正六边形一边，点P是优弧AB上的一点（点P不与点A，B重合）且BP∥OA，AP 与OB交于点C，则∠OCP的度数为90°　．【答案】90°．【解答】解：∵AB是⊙O的内接正六边形一边，∴∠AOB＝＝60°，∴＝30°，∵BP∥OA，∴∠OAC＝∠P＝30°，∴∠OCP＝∠AOB+∠OAC＝60°+30°＝90°．故答案为：90°．12．已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为　12　．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝a，∴OG＝OA•sin60°＝a×＝，解得a＝2，∴它的周长＝6a＝12．故答案为：12．13．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路的长度为40πm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，这段弯路的长度为，故答案为：40π．14．已知扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，则该扇形所在圆的半径为9cm　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，面积为27πcm2，∴由S＝得：r＝＝＝9cm，故答案为：9cm．15．圆锥的侧面积是10πcm2，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：底面半径是2cm，则扇形的弧长是4π．设母线长是l，则×4πl＝10π，解得：l＝5．故答案为：5．16．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是4 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．故答案为4．17．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是6π　．【答案】见试题解答内容【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：＝6π，故答案为：6π．18．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为　132°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．一．选择题（共7小题）1．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（）A．（4，2）B．（4，4）C．D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（）A．38°B．42°C．49°D．58°【答案】C【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故选：C．3．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB ＝4，则的长是（）A．B．C．D．4π【答案】A【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∵CF⊥AB，∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．4．如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接AC，OC，OE，BE，由题意得：CD垂直平分OA，∴AC＝OC，∵OC＝OA，∴△OAC是等边三角形，同理△BOE是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOE＝60°，∴∠COE＝60°，∴弓形AMC、弓形ONC、弓形OPE的面积相等，∵圆的直径是4，∴OA＝2，∴扇形OAC的面积＝＝，△OAC的面积＝OA2＝，∴扇形OCE的面积＝扇形OAC的面积＝，∴弓形AMC的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣，∴阴影的面积＝扇形OCE的面积﹣弓形AMC的面积×2＝﹣2×（﹣）＝2﹣．故选：A．5．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：连接BD、OD，交BC与E，由题意可知，BD＝BO，∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，∴∠BOD＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＝30°，∵的长为π，∴，∴r＝6，∴OB＝6，∴OE＝＝3，BE＝OB＝3，∴CE＝OE＝，+S△COE﹣S△BOE＝+﹣＝6π﹣3．∴阴影部分的面积＝S扇形BOD故选：A．6．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝8，∵AD∥BO，∴∠OAD＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，∴S阴影＝S扇形AOB＝＝π．故选：B．7．如图，一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是（）A．24πB．40πC．48πD．【答案】A【解答】解：根据题意，这个圆锥的侧面积＝×8π×6＝24π．故选：A．二．填空题（共5小题）8．如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取弧AB，弧AD的中点M，N，连结MC，NC，则图中阴影部分的周长为　（4）　cm．【答案】（4）．【解答】解：解法一：如图，取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E，∵N是弧AD的中点，∴NO⊥AD，∵CD⊥AD，∴NO∥CD，∴△NOE∽△CDE，∴＝＝＝＝，∴OE＝OD＝，在Rt△NOE中，NE＝＝＝，∴CM＝CN＝3NE＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．解法二：作NH⊥BC于点H，则CH＝2，NH＝6，在Rt△NHC中，NC＝＝＝2，∴CM＝CN＝2，∵点M，N分别为弧AB，弧AD的中点∴弧AB，弧AD的长度和为2×＝2π，∴图中阴影部分的周长为（4）cm．故答案为：（4）．9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，曲线CC1C2C3C4…是由多段120°的圆心角所对的弧组成的，其中的圆心为A，半径为AC；的圆心为B，半径为BC1；的圆心为C，半径为CC2；的圆心为A，半径为AC3……，，，，…的圆心依次按点A，B，C循环，则的长是　．（结果保留π）【答案】．【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴AC＝AC1＝1，∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，；∴BC2＝BC1＝AB+AC1＝2，CC3＝CC2＝BC2+AB＝3，∠CAC1＝∠C1BC2＝C2CC3＝120°，∴的半径为1；的半径为2；的半径为3；所对的圆心角为120°，∴的半径为n，所对的圆心角为120°，∴所在圆的半径为2023，所对的圆心角为120°，∴的长为．故答案为：．10．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为．【答案】见试题解答内容【解答】解：cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为：＝π，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形ABC 围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是　．【答案】．【解答】解：连接BC，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝20，∴AB＝10，设该圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝，即该圆锥的底面圆的半径为m．故答案为：．12．如图，AB是圆锥底面的直径，AB＝6cm，母线PB＝9cm，点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为cm　．【答案】cm．【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝6cm，故底面周长等于6πcm，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得6π＝，解得n＝120°，所以展开图中∠APD＝120°÷2＝60°，因为半径PA＝PB，∠APB＝60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA＝9cm，PD＝cm，根据勾股定理求得AD＝（cm），所以蚂蚁爬行的最短距离为cm．故答案为：cm．1．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（）A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20【答案】D【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，∴BD2＝AB2+AD2＝41，S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2＝+20﹣＝20，故选：D．2．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2B．2π﹣2C．2π﹣4D．4π﹣4【答案】C【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠B＝45°，+S扇形CBF﹣S△ABC∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE＝×2﹣＝2π﹣4．故选：C．3．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为18　．【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷20°＝18．故这个正多边形的边数为18．故答案为：18．4．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10　．【答案】10．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线长是6cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆锥的母线长为x cm，根据题意得＝2π•2，解得x＝6，即圆锥的母线长为6cm．故答案为6．6．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为2cm．【答案】2．【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，2πr＝，∴r＝2（cm）．故答案为：2．7．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为　．【答案】．【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，∴OC＝CD＝r，∴OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠D＝60°，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴（）2+（r）2＝r2，解得：r＝2，∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，∴△ACD≌△BCO（SAS），∴阴影部分的面积＝S＝×π×22＝．扇形ADO故答案为：．8．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为πcm．【答案】π．【解答】解：连接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的长＝＝π（cm）．故答案为：π．9．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5　．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为　．【答案】5；．【解答】解：如图所示，依题意，GH＝2＝GQ，∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4，又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径，∵OH＝r﹣KH＝r﹣2，在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得：r＝5；连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，过点O作OU⊥AM于点U.连接OA．由△OUN∽△NPM，可得＝＝，∴OU＝．MN＝2，∴NU＝，∴AU＝＝，∴AN＝AU﹣NU＝2，∴AN＝MN，∵AB∥PN，∴AB⊥OT，∴AS＝SB，∴NS∥BM，∴NS∥MP，∴M，P，B共线，又NB＝NA，∴∠ABM＝90°，∵MN＝NB，NP⊥MP，∴MP＝PB＝2，∴NS＝MB＝2，∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1，∴OS＝3，∵，设EF＝ST＝a，则，在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即，整理得 5a2+12a﹣32＝0，即（a+4）（5a﹣8）＝0，解得：或a＝﹣4，∴题字区域的面积为．故答案为：．。

2016聚焦中考数学(辽宁省)复习：考点跟踪突破25与圆有关的计算

考点跟踪突破25 与圆有关的计算一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2015·义乌)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B ＝135°，则AC ︵的长( B )A ．2πB ．πC .π2D .π3,第1题图) ,第2题图)2．(本溪模拟)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积为( A )A ．π－1B ．2π－1C .12π－1D .12π－2 3．(辽阳模拟)如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB 的面积为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9 4．(2015·成都)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC ︵的长分别为( D )A ．2，π3 B ．23，πC .3，2π3D ．23，4π3,第4题图) ,第5题图)5．(2015·黄石)在长方形ABCD 中，AB ＝16，如图所示裁出一扇形ABE ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合)，则此圆锥的底面半径为( A )A ．4B ．16C ．4 2D ．8 二、填空题(每小题5分，共25分)6．(鞍山模拟)如图，点A ，B ，C 在半径为9的⊙O 上，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是__20°__．,第6题图) ,第7题图)7．(2015·酒泉)如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上，若AB ＝BC ，CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为__π__．8．(朝阳模拟)如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A 点的坐标为(－1，0)，则点C 的坐标为__(12，－2)__．,第8题图) ,第9题图)9．(2015·黑龙江)如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC(A ，B ，C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是4米．10．(2015·盐城)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE ︵的长度为__23π__．三、解答题(共50分) 11．(12分)(2015·铁岭)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，以AD 为直径作⊙O ，连接BO 并延长至E ，使得OE ＝OB ，连接AE.(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)若BD ＝12AD ＝4，求阴影部分的面积．解：(1)∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠ODB ＝90°，在△EOA 和△BOD 中，⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOB ，OE ＝OB ，∴△EOA ≌△BOD ，∴∠OAE ＝∠ODB ＝90°，∴AE 是⊙O 的切线 (2)∵∠ODB ＝90°，BD ＝OD ，∴∠BOD ＝45°，∴∠AOE ＝45°，则阴影部分的面积＝12×4×4－45π×42360＝8－2π12．(12分)(2015·沈阳)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝2∠D ，连接OA ，OB ，OC ，AC ，OB 与AC 相交于点E.(1)求∠OCA 的度数；(2)若∠COB ＝3∠AOB ，OC ＝23，求图中阴影部分面积(结果保留π和根号)解：(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABC ＋∠D ＝180°，∵∠ABC ＝2∠D ，∴∠D ＋2∠D ＝180°，∴∠D ＝60°，∴∠AOC ＝2∠D ＝120°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°(2)∵∠COB ＝3∠AOB ，∴∠AOC ＝∠AOB ＋3∠AOB ＝120°，∴∠AOB ＝30°，∴∠COB ＝∠AOC －∠AOB ＝90°，在Rt △OCE 中，OC ＝23，∴OE ＝OC·tan ∠OCE ＝23·tan 30°＝23×33＝2，∴S △OEC ＝12OE·OC ＝12×2×23＝23，∴S 扇形OBC ＝90π×（23）2360＝3π，∴S 阴影＝S 扇形OBC －S △OEC ＝3π－2313．(12分)(2015·本溪)如图，点D 是等边△ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O ，分别交边AC ，BC 于点E ，点F.(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)连接OC ，交⊙O 于点G ，若AB ＝4，求线段CE ，CG 与GE ︵围成的阴影部分的面积S.解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AC ＝BC ，又∵AC ＝CD ，∴AC ＝BC ＝CD ，∴△ABD 为直角三角形，∴AB ⊥AD ，∵AB 为直径，∴AD 是⊙O 的切线 (2)连接OE ，∵OA ＝OE ，∠BAC ＝60°，∴△OAE 是等边三角形，∴∠AOE ＝60°，∵CB ＝BA ，OA ＝OB ，∴CO ⊥AB ，∴∠AOC ＝90°，∴∠EOC ＝30°，∵△ABC 是边长为4的等边三角形，∴AO ＝2，由勾股定理得：OC ＝42－22＝23，同理等边三角形AOE 边AO 上高是22－12＝3，S 阴影＝S △AOC －S 等边△AOE －S 扇形EOG ＝12·2·23－12·2·3－30·π·22360＝3－π314．(14分)(2015·十堰)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E(BE ＞EC)，且BD ＝23，过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OD ，∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ︵＝CD ︵，∴OD ⊥BC ，∵BC ∥DF ，∴OD ⊥DF ，∴DF 为⊙O 的切线(2)连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH⊥DF 于H ，如图，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，∴∠BDF ＝30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3，在Rt △DEP 中，∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2，∵OP ⊥BC ，∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝3－2＝1，易证得△BDE∽△ACE ，∴AE ∶BE ＝CE ∶DE ，即AE ∶5＝1∶7，∴AE ＝577，∵BE ∥DF ，∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3，∴S阴影部分＝S △BDF －S弓形BD＝S △BDF －(S扇形BOD－S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋12×23×3＝93－2π。

中考数学专题复习第二十五讲与圆有关的计算(含详细参考答案)

与圆有关的计算【基础知识回顾】一、正多边形和圆：1、各边相等，也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R 表示，每边所对的圆心角叫用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r 表示3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的三角形【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】二、弧长与扇形面积计算：Qo 的半径为R ，弧长为l ，圆心角为n 2，扇形的面积为s 扇，则有如下公式： L= S 扇= =【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带学位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R 则有：⑴S 圆柱侧=⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r 高位h ，则有： ⑴S 圆柱侧= 、 ⑵S 圆柱全= ⑶V 圆柱=【名师提醒：1、圆柱的高有条，圆锥的高有条2、圆锥的高h ，母线长l ，底高半径R 满足关系 3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l 是圆锥的扇形的弧长是圆锥的 4、圆锥的母线为l ，底面半径为R ，侧面展开图扇形的圆心角度数为n 若l=2r ，则n= c=3r,则n= c=4r 则n= 】【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1 （2012•咸宁）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．2πB 23πC ．2πD ．23π考点：正多边形和圆．分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．对应训练1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．考点二：圆周长与弧长例2 （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（）A．10π B． C D．π点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．对应训练3.（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为（结果用含有π的式子表示）考点三：扇形面积与阴影部分面积例3 （2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作EF．若△AEF的边长为2，则阴影部分的A ．0.64B ．1.64C ．1.68D ．0.36点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S △ECF -S 弓形EGF 是解题的关键．A ．4πB ．2πC ．πD ． 3π点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，另外要熟记扇形的面积公式．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4 （2012•永州）如图，已知圆O 的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为．对应训练【聚焦山东中考】1．（2012•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB′C′，则 BB '的长为（） A ．π B ． 2π C ．7π D ．6π2.（2012•临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）A．1 B．2C． D．3．（2012•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于．4.（2012•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．【备考真题过关】一、选择题1.（2012•湛江）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．D．6cm2.（2012•漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2012•鄂州）如图，四边形OABC为菱形，点A，B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为（）A．43πB．53πC．2π D．3π5．（2012•黑河）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（）A ．4-πB ．4-2πC ．8+πD ．8-2π 6．（2012•黄石）如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ． 43π-B ．43π-C ．43π-D ．43π 7. （2012•娄底）如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π8．（2012•连云港）用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（）A ．1cmB ．2cmC ．πcmD ．2πcm9．（2012•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300° 10．（2012•宁波）如图，用邻边分别为a ，b （a ＜b ）的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 满足的关系式是（）A ．B ．b=12 aC ．D ． a11．（2012•宁夏）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（） A ．24.0 B ．62.8 C ．74.2 D ．113.012．（2012•龙岩）如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（）A ．10πB ．4πC ．2πD ．2二、填空题径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22. （2012•贵港）如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC26．（2012•宿迁）如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 cm2．27．（2012•孝感）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积为 cm3（结果不作近似计算）．三、解答题，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB 28.（2012•岳阳）如图所示，在⊙O中，AD AC交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．。

人教版九年级下册数学综合复习：第25讲《与圆有关的计算》

【例1】(烟台)如图,□ ABCD中，∠B=70°,BC=6,以AD为
直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为（ B ）
A. 1 π
3
B.2 π
3
C. 7 π D. 4 π
6
3
【点评】本题考查了弧长公式知识的应用，求出∠DOE的
度数是解决问题的关键．
考点二扇形面积公式的运用
【例2】(济宁)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=1,
考点三圆锥的侧面展开图
【例4】(东营)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则
该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( C )
A．60° B．90° C．120° D．180° 【例5】(自贡)圆锥的底面周长为6π cm，高为4 cm，则该
圆锥的全面积是_2__4_π__；侧面展开扇形的圆心角是__2_1__6_°_．
则DE的长为（ B ）
A. π 4
B.
π 2
C.π
D.2π
命题点3：扇形面积的计算
3.(山西)如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直
径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四
边形ABCD.若AC＝10cm,∠BAC＝36°,
则图中阴影部分的面积为( B )
A.5πcm2
B.10πcm2
C.15πcm2 D.20πcm2
【点评】解决有关扇形和圆锥的相关计算问题时，要紧紧抓住两者之间的两个
对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出扇形面积是解题的关键．
易错专练
混淆了圆锥底面圆的半径和侧面展开图扇形的半径扇形的半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆

[推荐学习]2016年中考数学总复习全程考点训练24与圆有关的计算含解析

全程考点训练24 与圆有关的计算一、选择题1．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D ) A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．3【解析】设圆锥的底面半径是r ，则有2πr ＝180π×6180，解得r ＝3.故选D.2．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是(B ) A ．6 B ．12 C ．6 3 D ．12 3【解析】 sin60°＝边心距边长，∴边长＝3sin60°＝2，∴周长＝2×6＝12.3．一个圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的高是(D ) A ．R B.12RC.3RD.32R 【解析】圆锥的底面周长是πR .设圆锥的底面半径是r ，则2πr ＝πR ，解得r ＝12R .由勾股定理，得圆锥的高为R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2＝32R .(第4题)4．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点是A ，B ，已知∠P ＝60°，OA ＝3，那么∠AOB 所对弧的长度为(D )A ．6πB ．5πC ．3πD ．2π【解析】 ∵PA ，PB 为⊙O 的切线， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝120°，∴l ＝120π180×3＝2π.(第5题)5．如图是某公园的一角，∠AOB ＝90°，AB ︵所在圆的半径OA 长6 m ，C 是OA 的中点，点D 在AB ︵上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫10π－923m 2B.⎝⎛⎭⎪⎫π－923m 2 C.⎝⎛⎭⎪⎫6π－923m 2 D ．(6π－9 3)m 2【解析】连结OD .∵AB ︵所在圆的半径OA 的长是6 m ，C 是OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝12×6＝3(m)．∵∠AOB ＝90°，∴CD ⊥OA . 在Rt△OCD 中，∵OD ＝6，OC ＝3， ∴CD ＝OD 2－OC 2＝62－32＝3 3(m)．∵sin∠DOC ＝CD OD ＝336＝32，∴∠DOC ＝60°.∴S 阴影＝S 扇形AOD －S △DOC ＝60×π×62360－12×3×3 3＝⎝⎛⎭⎪⎫6π－923m 2. 6．如图①所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图②所示，设图①，图②中水所形成的几何体的表面积分别为S 1，S 2，则S 1与S 2的大小关系是(B )(第6题)A ．S 1≤S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＞S 2D ．S 1≥S 2 【解析】设圆柱的底面半径为r .对于图①，水的表面积S 1＝2πr 2＋2πr ·r ＝4πr 2；对于图②，上面的矩形的长是2r ，宽是2r ，则面积是4r 2，曲面展开后矩形的长是πr ，宽是2r ，则面积是2πr 2，上、下底面的面积之和是πr 2. 故图②中水的表面积S 2＝(4＋3π)r 2. 显然S 1＜S 2. 二、填空题(第7题)7．如图，在小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为14π(结果保留π)．【解析】 S ＝14πr 2＝14π.(第8题)8．如图，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA 为2 m ，秋千绕点O 旋转了60°，点A 旋转到点A ′处，则AA ′︵的长为23πm(结果保留π)．【解析】 lAA ′︵＝60π×2180＝23π(m)．(第9题)9．两块大小一样、斜边为4且含有30°的三角尺按如图所示的方式水平放置．将△CDE 绕点C 按逆时针方向旋转，当点E 恰好落在AB 上时，△CDE 旋转了30度，线段CE 旋转过程中扫过的面积为π3．【解析】 ∵两块三角尺大小一样，斜边为4且含有30°角， ∴CE ′是△ABC 的中线，∴CE ′＝BC ＝BE ′＝2， ∴△E ′CB 是等边三角形，∴∠BCE ′＝60°， ∴∠ACE ′＝90°－60°＝30°，∴线段CE 旋转过程中扫过的面积＝30π×22360＝π3.(第10题)10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，将该矩形绕点A 顺时针旋转α得到矩形AB ′C ′D ′，点C ′落在AB 2－π4．【解析】在矩形ABCD 中，∵AB ＝3，BC ＝AD ＝1， ∴tan ∠CAB ＝BCAB＝13＝33， ∴∠CAB ＝30°，∴∠BAB ′＝30°， ∴S △AB ′C ′＝S △ABC ＝12×1×3＝32，S 扇形ABB ′＝30π×（3）2360＝π4，S 阴影＝S △AB ′C ′－S 扇形ABB ′＝32－π4. 三、解答题(第11题)11．如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°. (1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．(第11题解)【解析】 (1)连结OC ，如解图．∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°，∴∠A ＝∠D ＝30°. ∵OA ＝OC ， ∴∠2＝∠A ＝30°.∴∠OCD ＝∠ACD －∠2＝90°.∴CD 是⊙O 的切线． (2)∵∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝2∠A ＝60°. ∴S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.在Rt △OCD 中，∵CD OC＝tan ∠1＝tan60°，∴CD ＝2 3. ∴S Rt △OCD ＝12OC ·CD ＝12×2×23＝2 3.∴图中阴影部分的面积为23－2π3.(第12题)12．如图，圆柱底面半径为2 cm ，高为9π cm ，A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一母线上．用一根棉线从点A 顺着圆柱侧面绕3圈到点B ，求棉线的最短长度．【解析】沿AB 剪开，每圈最短为（4π）2＋（3π）2＝5π(cm)，3圈共15π cm.(第13题)13．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 形槽上的横截面图．已知图中ABCD 为等腰梯形(AB ∥DC )，支点A 与B 相距8 m ，罐底最低点到地面CD 的距离为1 m ．设油罐横截面圆心为O ，半径为5 m ，∠D ＝56°，求U 形槽的横截面(阴影部分)的面积(参考数据：sin 53°≈0.8，tan 56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)．(第13题解)【解析】如解图，连结AO ，BO ，过点A 作AE ⊥DC 于点E ，过点O 作ON ⊥DC 于点N ，ON 交⊙O 于点M ，交AB 于点F ，则OF ⊥AB .∵OA ＝OB ＝5 m ，AB ＝8 m ，∴AF ＝BF ＝12AB ＝4 m ，∠AOB ＝2∠AOF .在Rt△AOF 中，sin∠AOF ＝AFAO＝0.8≈sin 53°，∴∠AOF ≈53°，则∠AOB ≈106°. ∵OF ＝OA 2－AF 2＝3 m ，由题意，得MN ＝1 m ， ∴FN ＝OM －OF ＋MN ＝3 m.∵四边形ABCD 是等腰梯形，AE ⊥DC ，FN ⊥AB ， ∴AE ＝FN ＝3 m ，DC ＝AB ＋2DE . 在Rt△ADE 中，tan 56°＝AEDE≈1.5， ∴DE ≈2 m ，DC ≈12 m.∴S 阴影＝S 梯形ABCD －(S 扇形OAB －S △OAB )≈12(8＋12)×3－⎝ ⎛⎭⎪⎫106360π×52－12×8×3≈20(m 2)．(第14题)14．某工艺品由一个底面朝上的圆锥体上方嵌入一颗圆球组成，其横截面如图所示，已知圆锥的母线AB ，AC 和球体相切，且与底座的夹角均为75°，圆锥体底面的周长为20π cm ，求球体的半径(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，结果精确到0.1 cm)．【解析】连结OB ，连结OA 交BC 于点D . ∵圆锥的母线AB ，AC 和球体相切， ∴OB ⊥AB 于点B .∵AB ，AC 与底座夹角均为75°， ∴∠BAO ＝90°－75°＝15°.∵∠BAO ＋∠ABD ＝∠ABD ＋∠OBD ＝90°， ∴∠OBD ＝∠BAO ＝15°.∵圆锥体底面的周长为20π cm ， ∴BD ＝20π÷2π＝10，∴OB ＝BD ÷cos 15°≈10÷0.97≈10.3(cm)．故球体的半径约为10.3 cm.。

中考数学复习限时训练25 圆的有关计算 (2)

限时训练25 圆的有关计算(时间：30分钟总分：35分)一、填空题(每小题3分，共15分)1．如图，将弧长为6π、圆心角为120°的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是__62__．(第1题图) (第2题图) 2．(2019·重庆中考A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__23－2π3__(结果保留π)．3．(2019·十堰中考)如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝6，将半圆绕点A 顺时针旋转60°，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为__6π__.,(第3题图)) ,(第4题图))4．(2019·河南中考)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥OA.若OA ＝23，则阴影部分的面积为__π＋3__．5．(2019·福建中考)如图，边长为2的正方形ABCD 的中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，E ，F 分别是AD ，BA 的延长线与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积为__π－1__.(结果保留π)二、解答题(共20分)6．(10分)如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，且∠BOD ＝60°，过点D 作⊙O 的切线CD 交AB 的延长线于点C ，E 为AD ︵的中点，连接DE ，EB.(1)求证：四边形BCDE 是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O 的半径r.(1)证明：连接OE. 依题意，得AE ︵＝ED ︵＝BD ︵，∴∠AOE ＝∠EOD ＝∠DOB ＝60°.∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°， ∠DEB ＝12∠DOB ＝30°. ∴∠ABE ＝∠DEB.∴DE ∥AB.∵AE ︵＝ED ︵＝BD ︵，∴OD ⊥BE.又∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD.∴BE ∥CD.∴四边形BCDE 为平行四边形；(2)解：∵阴影部分面积为6π，∴S 阴影＝S 扇形BOD ＝60·π·r 2360＝6π， ∴⊙O 的半径r ＝6.7．(10分)(2019·广东中考)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的EF ︵与BC 相切于点D ，分别交AB ，AC 于点E ，F.(1)求△ABC 三边的长；(2)求图中由线段EB ，BC ，CF 及FE ︵所围成的阴影部分的面积．解：(1)根据图形可知AB 2＝22＋62＝40，∴AB ＝210.AC 2＝22＋62＝40，∴AC ＝210.BC 2＝42＋82＝80，∴BC ＝45；(2)连接AD.由(1)知AB 2＝AC 2，且AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ＝AC ，且 ∠BAC ＝90°.∴△ABC 是等腰直角三角形．∵以点A 为圆心的EF ︵与BC 相切于点D ，AD ＝42＋22＝25，∴AD ⊥BC.∴S △BAC ＝12×AB ×AC ＝12×210×210＝20， S 扇形EAF ＝90360×π×(25)2＝5π. ∴S 阴影＝20－5π.。

专题25圆的有关计算(共53题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题25圆的有关计算（共53题）一．选择题（共29小题）1．（2022•武威）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（）A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm2．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m3．（2022•孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（）A．πB．πC．πD．2π4．（2022•台湾）有一直径为AB的圆，且圆上有C、D、E、F四点，其位置如图所示．若AC＝6，AD＝8，AE＝5，AF＝9，AB＝10，则下列弧长关系何者正确？（）A．+＝，+＝B．+＝，+≠C．+≠，+＝D．+≠，+≠5．（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，P A，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（）A．11πcm B．πcm C．7πcm D．πcm6．（2022•广西）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．πB．πC．πD．π7．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E（E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB＝1，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．（2022•湖北）一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（）A．30πcm2B．60πcm2C．120πcm2D．180πcm29．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2C．2π﹣4D．2π﹣210．（2022•贺州）如图，在等腰直角△OAB中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为π﹣2，则EF的长度为（）A．B．2C．2D．311．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣3B．3π﹣C．2π﹣3D．6π﹣12．（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．2﹣πC．D．﹣13．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD 的长为30cm，则扇面的面积是（）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm214．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2B．（840+9π）m2C．840m2D．876m215．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣9B．12π﹣9C．6π﹣D．12π﹣16．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（）A．2π﹣2B．2π﹣C．2πD．π﹣17．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣C．π﹣2D．π﹣18．（2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．米2B．米2C．米2D．米219．（2021•宁夏）如图，已知⊙O的半径为1，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．（2022•大庆）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（）A．60πB．65πC．90πD．120π21．（2022•赤峰）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm22．（2022•无锡）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12πB．15πC．20πD．24π23．（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（）A．16πB．52πC．36πD．72π24．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm225．（2022•遂宁）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（）A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm226．（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm27．（2022•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4，B．3，πC．2，D．3，2π28．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3B．C．D．329．（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．B．C．3D．2二．填空题（共20小题）30．（2022•包头）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2，则劣弧的长为．31．（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了cm．（结果保留π）32．（2022•新疆）如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若∠B＝30°，则的长为．（结果用含有π的式子表示）33．（2022•温州）若扇形的圆心角为120°，半径为，则它的弧长为．34．（2022•哈尔滨）一个扇形的面积为7πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是度．35．（2022•广东）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为．36．（2022•玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是．37．（2022•河南）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为．38．（2022•广元）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为．39．（2022•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）40．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）41．（2022•绥化）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为．42．（2022•黑龙江）若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为cm．43．（2022•齐齐哈尔）圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图扇形的圆心角为°．44．（2022•云南）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．45．（2022•宿迁）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．46．（2022•黑龙江）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为．47．（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．48．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．49．（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA＝1，则，AE，AB所围成的阴影部分面积为．三．解答题（共4小题）50．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．51．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．52．（2022•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2）．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1，B1，C1；（2）求点B旋转到点B1的弧长．53．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n 的值．。

最新精品 (辽宁)2016届中考数学习题梳理课件：第25讲-与圆有关的计算

2．弧长及扇形的面积 (1)半径为 r，n°的圆心角所对的弧长公式： nπr l ＝ __________ ； 180 (2)半径为 r，n°的圆心角所对的扇形面积公式： nπr2 S＝ 360 _____________ ； (3)弧长为 l，半径为 r 的扇形面积公式： 1 S ＝ ______________ ． 2lr
C．2 2 cm，6π cm2
3．(2015· 盘锦)如图，从一块直径是 8 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( C )m. A．4 2 B．5 C. 30 D．2 15
4．(2014· 辽阳)如图，边长为 40 cm 的等边三角形硬纸片，小明剪下与边 BC 相切的扇形 AEF，切点为 D，点 E，F 分别在 AB，AC 上，做成圆锥形圣诞帽(重叠部分忽略不计)，则圆锥形圣诞帽的底面圆半径是( A ) 10 20 3 2 A. 3 3 cm B. 3 cm C. 6 cm D.3 3 cm
9．(2015· 抚顺)如图，六边形 ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，若⊙O 的半径为 2 3，则阴影部分的面积为_______________. 2π－3 3
10．(2015·盘锦)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，斜边AB＝ 2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的 π 1 扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为_____________ ．－ 4 2
11．(2014· 鞍山)如图，在△ABC 中，∠C＝60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 P 在直径 BD 的延长线上，且 AB＝AP. (1)求证：PA 是⊙O 的切线； (2)若 AB＝2 3，求图中阴影部分的面积．(结果保留π和根号)

中考数学总复习第25课时与圆有关的计算课件

2.圆锥与侧面展开图的关系（1）圆锥的底面周长等于侧面展开图（扇形）的弧长；（2）圆锥的母线等于侧面展开图（扇形）的半径；（3）圆锥的侧面积等于侧面展开图（扇形）的面积.
常考类型剖析
类型扇形的相关计算
例（’14杭州）点A,B,C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E,直线AD与BE相交于点H,若BH＝3 AC，
r
则∠ABC所对的弧长等于___3__（长度单位）.
【思路点拔】1.通读题干，画出相应几何图形；2. 将有关系的几何量在图中标注出来；3.找出图形内相关几何图形的关系，并将其作为所获取信息的指导方向.
例题图解
【解析】依题意画出图形如解图．
连接OA、OC、AB，∵ AD⊥BC，BE⊥AC，
【方法指导】阴影部分面积的求法：
1.公式法：针对规则的扇形，可直接利用公式 S= nr 2 = 1 rl进行计算；
360 2
2.割补法：针对不规则的图形，可将不规则图形经过平移或分割转化为几个规则图形，进行面积的和差计算； 3.等积变换法：针对不规则的图形，将不规则的图形拼凑成等积的规则图形求解；
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACB＋∠CBE＝∠ACB＋∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴△BDH∽△ADC，
BD AD

BH AC
=
3,
即tan∠BAD= 3 ，
∴∠B°，
∴∠ABC所对的弧长＝ 60r = r .
180
4. 将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解； 5. 将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解.

九年级数学中考复习第25课时与圆有关的计算

︵
︵︵
径作圆弧BD，再分别以 E，F 为圆心，1 为半径作圆弧BO，OD，
则图中阴影部分的面积为
( B)
A．π－1 B．π－2 C．π－3 D．4－π
【解题点拨】根据题意和图形，可知阴影部分的面积等于以2为半径的四分之一圆的面积减去△BCD的面积．
长公式即可得到答案．
︵ 4．如图，在扇形 AOB 中，AC 为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则BC
的长为
(B)
A．4π3
B．8π3
第 4 题图 C．2 3π
D．2π
5．如图，从一张腰长为90 cm、顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最
大的扇形OCD，则这张扇形铁皮的面积为
弧长及扇形面积的计算(10年2考)
1．圆的周长：若圆的半径是R，则圆的周长C＝2πR. 2．弧长公式：若一条弧所对的圆心角是 n°，半径是 R，则弧长 l＝n1π80R.[2018T19(2)，2012T24(1)] 3．扇形的定义和面积： (1)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． (2)扇形的面积公式： S 扇形＝n3π60R2(n 是圆心角度数，R 是半径)；S 扇形＝12lR(l 是弧长，R 是半径)．
R2－a22；C＝na；S＝12nar＝12Cr.
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形有 n 条对称轴，每条对称轴都经过它的中心．当 n 为偶数时，正 n 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称中心就是这个正 n 边形的中心；(2)常见的正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等于其外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的 3倍，正方形
的边长等于其外接圆半径的 2倍．

九年级数学中考复习课件：考点跟踪突破25 直线与圆的

考点跟踪突破25 直线与圆的位置关系
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同
一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置
关系是( A ) A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断
2．(2013·黔东南州)Rt△ABC中，∠C＝90°，AC
＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若
的点，∠CDB＝30°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延
长线于点 E，则 sinE 的值为( A )
1
3
23A.2B Nhomakorabea 2C. 2
D. 3
5．(2014·内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( B )
解：(1)证明：连接 OC，∵在△ABO 中，OA＝OB，C 是边 AB 的中点，∴OC⊥AB，∵以 O 为圆心的圆过点 C， ∴AB 与⊙O 相切 (2)解：∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝ 30°，∵AB＝4 3，C 是边 AB 的中点，∴AC＝12AB＝ 2 3，∴OC＝AC· tan∠A＝2 3× 33＝2，∴⊙O 的面积
解：(1)连接 OC，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＋∠BAC＝90°，又∵CM 是⊙O 的切线，∴OC⊥CM， ∴∠ACM＋∠ACO＝90°，∵CO＝AO，∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠ACM＝∠ABC (2)∵BC＝CD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE， ∴△ AEC 是直角三角形，∴△ AEC 的外接圆的直径是 AC，又 ∵∠ABC＋∠BAC＝90 ° ，∠ ACM＋∠ ECD＝90°，∴∠ BAC＝ ∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴ACDB＝BEDC，⊙O 的半径为 3， ∴AB＝6，∴C6D＝B2C，∴BC2＝12，∴BC＝2 3，∴AC＝ 36－12 ＝2 6，∴△AEC 的外接圆的半径为 6

考点跟踪突破圆的有关计算针对陕西中考特制

考点跟踪突破21 圆的有关计算一、选择题 1．(2016·包头)120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( C ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．18 2．(2016·泉州)如图，圆锥底面半径为r cm ，母线长为10 cm ，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r 的值为( B )A ．3B ．6C ．3πD ．6π,第2题图),第3题图)3．(2016·遵义)如图，半圆的圆心为O ，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点，∠CAB＝30°，AC ︵的长是( D )A ．12πB ．6πC ．5πD ．4π4．(2016·深圳)如图，在扇形AOB 中∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( A )A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－4,第4题图) ,第5题图)5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4 cm ，AC ＝3 cm ，把△ABC 绕点A 顺时针旋转n °(0＜n ＜180°)后，得到△AB 1C 1(如图所示)，则线段AB 所扫过的面积为( B )A.254π cm 2 B.5πn 72 cm 2 C.5πn 36 cm 2 D.25πn 22cm 2 6.(2016·荆门)如图，从一块直径为24 cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC ，使点A ，B ，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是( C )A ．12 cmB ．6 cmC ．3 2 cmD ．2 3 cm,第6题图) ,第7题图)7.(2015·德州)如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( A )A ．288°B ．144°C ．216°D ．120°8．(导学号 30042209)一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A )A ．5∶4B ．5∶2C.5∶2D.5∶ 2 二、填空题 9．(2016·邵阳)如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，则扇形OAB 的面积大小是__5π4__．,第9题图) ,第11题图)10．(2016·盐城)已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是__8π__． 11.(2016·广东)如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA ＝13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是__10π__cm.(计算结果保留π)12．(2015·青海)如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是__3π8__．(结果保留π),第12题图) ,第13题图)13.(导学号 30042210)如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD ，弧DE ，弧EF 的圆心依次是A ，B ，C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是__4π__．三、解答题 14．(2016·梅州)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OC ，∵AC ＝CD ，∴∠A ＝∠D, ∵∠ACD ＝120°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∵OC ＝OA, ∴∠A ＝∠ACO ＝30°，∴∠COD ＝60°， ∴∠COD ＋∠D ＝90°， ∴∠OCD ＝90°， OC ⊥CD, 而OC 是⊙O 的半径，∴ CD 是⊙O 的切线(2)∵∠COD ＝60°，∴S 扇形BOC ＝60π×22360＝2π3，在Rt △OCD 中，∵tan60°＝CDOC ，∴CD ＝23， ∴S △OCD ＝12OC ×CD ＝12×2×23＝23，即图中阴影部分的面积为23－2π315．(导学号 30042211)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠D ＝60°. (1)求∠BAC 的度数；(2)当BC ＝4时，求劣弧AC 的长．解：(1)∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角，∴∠ABC ＝∠D ＝60°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝180°－90°－60°＝30° (2)连接OC ，∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OC ＝BC ＝4，∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∴劣弧AC 的长为120π×4180＝83π第七章自我测试图形与变换一、选择题 1．(2016·龙东)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D )2.(2016·鄂州)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( B )3．(2016·衢州)如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是( C )4．(2016·长春)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( A ) A．42°B．48°C．52°D．58°5．(2015·南昌)如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为( C )6.如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是( B )7．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( B )A．8 B．9 C．10 D．118．(导学号30042220)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为( A )A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5,第8题图) ,第9题图)9．(导学号 30042221)如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，以AB 的中点D 为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在EF 上，设∠BDF ＝α(0°＜α＜90°)，当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积( C )A ．由小到大B ．由大到小C ．不变D ．先由小到大，后由大到小点拨：作DM ⊥AC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，连接DC ，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°，DM ＝22AD ＝24AB ，DN ＝22BD ＝24AB ，∴DM ＝DN ，∴四边形DMCN 是正方形，∴∠MDN ＝90°，∴∠MDG ＝90°－∠GDN ，∵∠EDF ＝90°，∴∠NDH ＝90°－∠GDN ，∴∠MDG ＝∠NDH ，在△DMG 和△DNH 中，⎩⎨⎧∠MDG ＝∠NDH ，∠DMG ＝∠DNH ，DM ＝DH ，∴△DMG ≌△DNH (AAS )，∴四边形DGCH 的面积＝正方形DMCN 的面积，∵正方形DMCN 的面积＝DM 2＝18AB 2，∴四边形DGCH 的面积＝18AB 2，∵扇形FDE 的面积＝90·π·CD 2360＝πAB 216，∴阴影部分的面积＝扇形面积－四边形DGCH 的面积＝（π－2）AB 216(定值)二、填空题10．如图，在Rt △ABC ，∠C ＝90°，BC ＝3厘米，AC ＝4厘米．将△ABC 沿BC 方向平移1厘米，得到△A ′B ′C ′，则四边形ABC′A′的面积为__10__平方厘米．,第10题图) ,第11题图)11.如图，已知正方形的边长为4 cm ，则图中阴影部分的面积为__8__cm 2. 12.如图是由若干个小立方块搭成的一个几何体的三视图，那么这个几何体中小立方块共有__6__个．13．(导学号 30042222)(2016·宁夏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，在CD 上任取一点E ，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为__53__．三、解答题 14．(2016·聊城)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是(－3，－1)．(1)将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1坐标；(2)画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．解：(1)B 1(－2，－1)，图略 (2)C 2(1，1)，图略15．(2016·巴中)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC.(顶点是网格线的交点)(1)先将△ABC 竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(2)将△A 1B 1C 1绕B 1点顺时针旋转90°，得△A 2B 1C 2，请画出△A 2B 1C 2；(3)线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积是多少？解：(1)(2)图略 (3)∵BC ＝3，∴线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积为90π×32360＝94π16．(导学号 30042223)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕点B 顺时针旋转角α(0＜α＜120°)，得△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于D ，F 两点．(1)如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 1与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)如图②，当α＝30°时，试判断四边形BC 1DA 的形状，并说明理由； (3)在(2)的情况下，求ED 的长．解：(1)EA 1＝FC.理由如下：∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ，∵△ABC 绕点B 顺时针旋转角α得△A 1BC 1，∴∠ABE ＝∠C 1BF ，AB ＝BC ＝A 1B ＝BC 1，∴△ABE ≌△C 1BF (ASA )，∴BE ＝BF ，∴A 1B －BE ＝BC －BF ，即EA 1＝FC(2)四边形BC 1DA 是菱形．理由如下：∵旋转角α＝30°，∠ABC ＝120°，∴∠ABC 1＝∠ABC ＋α＝120°＋30°＝150°，∵∠ABC ＝120°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－120°)＝30°，∴∠ABC 1＋∠C 1＝150°＋30°＝180°，∠ABC 1＋∠A ＝150°＋30°＝180°，∴AB ∥C 1D ，AD ∥BC 1，∴四边形BC 1DA 是平行四边形，又∵AB ＝BC 1，∴四边形BC 1DA 是菱形 (3)过点E 作EG ⊥AB ，∵∠A ＝∠ABA 1＝30°，∴AG ＝BG ＝12AB ＝1，在Rt △AEG 中，AE ＝AG cosA ＝1cos30°＝233，由(2)知AD ＝AB ＝2，∴DE ＝AD －AE ＝6－233。

2016聚焦中考数学(甘肃省)考点跟踪突破25圆的基本性质

考点跟踪突破25 圆的基本性质一、选择题(每小题6分，共24分)1．(2014·舟山)如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( D )A ．2B ．4C ．6D ．8,第1题图) ,第2题图)2．(2015·珠海)如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，若∠C ＝25°，则∠BOD 的度数是( D )A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°3．(2014·兰州)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，连接BC ，BD ，下列结论中不一定正确的是( C )A ．AE ＝BEB .AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DED ．∠DBC ＝90°,第3题图) ,第4题图)4．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC ︵的中点，点D 是优弧BC︵上一点，且∠D ＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC ＝6 3 cm ；③sin ∠AOB ＝32；④四边形ABOC 是菱形．其中正确的序号是( B )A ．①③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④解析：∵点A 是劣弧BC ︵的中点，OA 过圆心，∴OA ⊥BC ，故①正确；∵∠D ＝30°，∴∠ABC ＝∠D ＝30°，∴∠AOB ＝60°，∵点A 是劣弧BC ︵的中点，∴BC ＝2BE ，∵OA＝OB ，∴OB ＝OA ＝AB ＝6 cm ，∴BE ＝AB·cos 30°＝6×32＝3 3 cm ，∴BC ＝2BE ＝6 3 cm ，故②正确；∵∠AOB ＝60°，∴sin ∠AOB ＝sin 60°＝32，故③正确；∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝OB ，∵点A 是劣弧BC ︵的中点，∴AC ＝OC ，∴AB ＝BO ＝OC ＝CA ，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选B。

中考数学(浙江)总复习练习：考点跟踪突破25与圆有关的

考点跟踪突破25 与圆有关的计算A 组基础闯关一、选择题1．半径相等圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( B )A ．1∶2∶ 3B .3∶2∶1C ．3∶2∶1D ．1∶2∶3 2．(2017·烟台)如图，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为( B )A .13πB .23πC .76πD .43π,第2题图) ,第3题图)3．(2017·兰州)如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O ，则图中阴影部分的面积为( D ) A ．π＋1 B ．π＋2 C ．π－1 D ．π－2 4．(2017·南通)如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为( C ) A ．4π B ．6π C ．12π D ．16π,第4题图) ,第5题图)5．(2016·深圳)如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( A )A ．2π－4B ．4π－8C ．2π－8D ．4π－4二、填空题 6．(2017·台州)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30厘米，则BC ︵的长为__20π__厘米．(结果保留π),第6题图) ,第7题图)7．(2017·宜宾)如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE ＝2，则EG 的长是__5－1__．8．(2017·黑龙江)圆锥的底面半径为2 cm ，圆锥高为3 cm ，则此圆锥侧面展开图的周长为__(213＋4π)__cm .9．(2017·吉林)如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点A ，D 为圆心，以AB 长为半径画BE ︵，CE ︵.若AB ＝1，则阴影部分图形的周长为__65π＋1__(结果保留π)．三、解答题 10．(2017·随州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E.(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若CD ＝1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)证明：连结DE ，OD.∵BC 相切⊙O 于点D ，∴∠CDA ＝∠AED ，∵∠ADE ＝∠ACD ＝90°，∴∠DAO ＝∠CAD.∴AD 平分∠BAC.(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ＝45°.∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝BD.∴∠BOD ＝45°.设BD ＝x ，则OD ＝OA ＝x ，OB ＝2x ，∴BC ＝AC ＝x ＋1，∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴2(x ＋1)2＝(2x ＋x )2，∴x ＝ 2.∴BD ＝OD ＝ 2.∴图中阴影部分的面积＝S △BOD －S 扇形DOE ＝12×2×2－45·π×（2）2360＝1－π4.11．(2017·襄阳)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连结BC.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l.解：(1)证明：连结OC ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA.∴AD//OC ，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°.∴EF 是⊙O 的切线．(2)连结OD ，DC ，∵∠DAC ＝∠OAC ，∴DC ＝BC ＝2.∵ED ＝1，DC ＝2，∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12.∴∠ECD ＝30°.∴∠OCD ＝60°.∵OC ＝OD ，∴△DOC 是等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2.∴l ＝60π×2180＝23π.B 组能力提升12．(2017·凉山州)如图，P ，Q 分别是⊙O 的内接正五边形的边AB ，BC 上的点，BP ＝CQ ，则∠POQ ＝__72°__.,第12题图) ,第13题图)13．(2017·贵港)如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，则图中阴影部分的面积为__43π＋23__．(结果保留π)14．(2017·淮安)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是边AC 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，D ，在BC 的延长线上取点F ，使得BF ＝EF ，EF 与AC 交于点G.(1)试判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若OA ＝2，∠A ＝30°，求图中阴影部分的面积．解：(1)连结OE ，∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠AEO ，∵BF ＝EF ，∴∠B ＝∠BEF.∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠AEO ＋∠BEF ＝90°，即∠OEG ＝90°.∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°.∵∠A ＝30°，∴∠EOD ＝60°.∵OE ＝OA ＝2，∴EG ＝2 3.∴阴影部分的面积＝12×2×23－60·π×22360＝23－23π.C 组拓展培优15．如图为一个圆锥形粮堆，从正面看是边长为6米的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线是多少米？(结果保留根号)解：∵BC ＝6，∴圆锥的底面周长为6π，则6π＝n π×6180，∴n ＝180°.∵AP ＝3，AB＝6，将圆锥展开后∠BAP ＝90°，∴BP ＝32＋62＝3 5.故小猫所经过的最短路线是35米．。

中考试题第25课时与圆有关的计算.docx

第25课时与圆有关的计算1．★正八边形的每个内角为()A．120°B．135°C．140°D．144°2．如图Y－62是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是()图Y－62A.10πcm2B．210πcm2C．6πcm2D．3πcm23．如图Y－63，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是()图Y－63A．4πB．3πC．2πD．π4．圆心角为60°，半径为4 cm的扇形的弧长为________cm.5．已知圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则圆锥的侧面积为________．参考答案1．B[解析] 先求出正八边形的内角和为(8－2)×180°＝1080°，所以每个内角为1080°÷8＝135°.故选B.本题容易出现的错误是求内角和时公式运用错误．2．A[解析] 由三视图可知，此几何体为圆锥，其底面半径为1 cm，高为3 cm，由勾股定理得圆锥母线长为l＝12＋32＝10(cm)，∴侧面积＝πrl＝π·1×10＝10π(cm2)．故选A.3．D[解析] 借助旋转变换将阴影部分的面积恰好转化为大圆面积的四分之一．故选D.4.4 3π5．60π厘米2[解析] 圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则母线长为10厘米，底面圆周长为12π厘米，即圆锥侧面展开所得扇形的半径为10厘米，弧长为12π厘米，所以圆锥的侧面积为12lr＝12×12π×10＝60π(厘米2)．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

中考数学夺分复习第一篇考点过关第六单元圆课时25 与圆有关的计算课件

圆周角等于圆心角的一半,
∴2π÷18π×360°÷2=20°.
图25-2
6.[2019·淮安]若圆锥的侧面积是15π,母线 [解析]设该圆锥底面圆的半径是 r,则
长是5,则该圆锥底面圆的半径是
3
.
1
2
×2πr×5=15π,解得 r=3.
7.[原创]已知正六边形的半径为 2 3,则这个正 [解析]如图,在 Rt△ AOG 中,
A.10 cm2
B.10π cm2
C.20 cm2
D.20π cm2
4.[2019·遂宁]如图25-1,△ABC内接于☉O, [解析]由题意可知∠BOC=2∠A=
1
若∠A=45°,☉O的半径r=4,则阴影部分的 45°×2=90°,S =S -S
阴
扇 △ OBC,S 扇= S 圆
4
面积为 ( A )
90°,∠ABE=45°,∴S△ ABD= ·AD·AB=8,
影部分的面积是(结果保留 π) ( C )
S 扇形 BAE=
A.8-π
B.16-2π
C.8-2π
D.8- π
2
45·π·42
360
=2π,∴图中阴影部分
的面积=S△ ABD-S 扇形 BAE=8-2π,故选 C.
1
2
图25-10
精练 2[2019·张家界]如图 25-11,AB 为☉O 的直径,且 AB=4 3,点 C 是上的一
的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式
1
得到 ×2π·r·10=60π,解得 r=6,然后根据勾股定理计算圆锥的高.具体过程如下:
2
设圆锥的底面圆的半径为 r.
1
根据题意,得 ×2π·r·10=60π.解得 r=6.

2023 数学浙教版新中考考点25与圆有关的计算(解析版)

考点25与圆有关的计算考点总结1．圆的周长公式：C ＝2πR (半径为R )．圆的面积公式：S ＝πR 2(半径为R )．2．在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l ＝n πR180．在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的扇形(弧长为l )面积的计算公式为：S 扇形＝n πR 2360＝12lR . 3．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高．圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝2πrh ；圆柱全面积公式：S圆柱全＝2πrh ＋2πr 2(其中圆柱的底面半径为r ，高为h )． 4．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ．(1)圆锥的侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ． (2)圆锥的全面积公式：S 圆锥全＝πr 2＋πrl ．(3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝rl·360°．5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形． 6．不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有: (1)直接用公式求解.(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.真题演练一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（）A．32πB．3πC．5πD．15π【答案】D 【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n RSπ=直接计算即可．【详解】解：2150615360Sππ⨯==．故选：D2．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD中，1,AB BC==P是AD 边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为1C，当点P运动时，点1C也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C D．2π【答案】B【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，∠当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ， ∠C 、C 1关于PB 对称， ∠∠EC 1C =∠BQC =90°，∠点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合，当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∠∠PBC =30°，∠∠FBP =∠PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，∠∠FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选：B ．3．（2021·浙江瓯海·三模）如图，已知扇形OAB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将OA ，OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为（）A．2cm B．3cm C．6cm D．【答案】A【分析】这个圆锥的底面圆的半径是rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到12062180rππ⨯=，然后解关于r的方程即可．【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得12062180rππ⨯=，解得2r，即这个圆锥的底面圆的半径是2cm，故选：A．4．（2021·浙江衢江·一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．2C D．1【答案】D【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD=AE=8，∠DAE=45°，底面圆的周长等于弧长： ∠2πr =458180π⨯⨯ ，解得r =1．所以，该圆锥的底面圆的半径是1 故选：D ．5．（2021·浙江上城·二模）如图，在Rt △ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4．把△ABC 分别绕直线AB ，BC 和AC 旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S 1，S 2，S 3，则表面积最大的是（）A ．S 1B ．S 2C ．S 3D ．无法确定【答案】A 【分析】根据∠ABC 分别绕直线AB ，BC 和AC 旋转一周，可以分别得到一个圆锥、一个圆锥和两个共底面的圆锥组合，再根据圆锥的表面积计算公式：圆锥的表面积=底面积+圆锥的侧面积分别计算即可，最后根据结果即可比较大小．【详解】解：90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，5AC ∴=．ABC ∆绕直线AB 旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为4BC =，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即2144536S πππ=⨯+⨯⨯=；ABC ∆绕直线BC 旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为3AB =，此圆锥的表面积为底面圆面积加扇形表面积，即2233524S πππ=⨯+⨯⨯=；ABC ∆绕直线AC 旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为125，此圆锥的表面积为两个扇形表面积之和，即312128434555S πππ=⨯⨯+⨯⨯=． 123S S S ∴>>．故选：A ．6．（2021·浙江椒江·一模）如图，ABC 内接于△O ，65,70B C ∠=︒∠=︒．若BC =BC 的长为（）A．34πB ．32πC ．92πD ．【答案】B 【分析】连接OB ，OC ，可证得OBC ∆是等腰直角三角形，求出OB ，利用弧长公式即可求得结果．【详解】解：连接OB ，OC ．180180657045A ABC ACB ，90BOC ∴∠=︒，3BC = 3OB OC ∴==，∴BC 的长为90331802ππ=，故选：B ．7．（2021·浙江兰溪·一模）用一张半径为20cm 的半圆形纸片做一个圆锥的侧面，则应该配一个面积为多少的圆做它的底面（） A ．2400cm π B ．2100cm πC ．220cm πD ．210cm π【答案】B 【分析】由题意，该圆锥底面圆的周长即为半圆形纸片的弧长，由此可先求出半圆形的弧长，从而得到底面圆的半径，即可求出面积．【详解】半径为20cm 的半圆形纸片的弧长为：1220202l ππ=⨯⨯=，即：底面圆的周长应为20π， ∠底面圆的半径为：2010cm 2r ππ==， ∠底面圆的面积为：2210100cm S ππ=⨯=，故选：B ．8．（2021·浙江定海·一模）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，点P 是边AF 的中点，PC ，PD 分别与BE 交于点M ，N ，则:PBM PCD S S △△的值为（）．A ．12 B ．23C ．14D ．38【答案】D 【分析】设正六边形的边长为a ，MN 是∠PCD 的中位线，求出∠PBM 和∠PCD 的面积即可．【详解】解：设正六边形的边长为a ，连接AC 交BE 于H 点，如下图所示：正六边形六边均相等，且每个内角为120°， ∠∠ABC 为30°，30°，120°等腰三角形， ∠BE ∠AC ，且32232a AC AHa ，且13,22a BHa AH ， ∠AF∥CD ，P 为AF 上一点，∠21133222PCDACDSSCD AC a aa ， MN 为∠PCD 的中位线， ∠1122MNCD a ，由正六边形的对称性可知：12222BE BH CD a a a ， ∠13()2(2)224BM EN BE MN aa a ， ∠2113333224216PBMa SBM AH a a ， ∠3323:1683PBM PCD S S ，故选：D ．9．（2021·浙江东阳·一模）将正方形纸片按图△方式依次对折得图△的ABC ，点D 是AC 边上一点，沿线段BD 剪开，展开后得到一个正八边形，则点D 应满足（）A ．BD AC ⊥B ．AD AB =C ．60ADB ∠=︒D ．AD DB =【答案】B 【分析】根据折叠的性质易得∠BAC =45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项．【详解】解：由题意得：∠BAC =45°，∠沿线段BD 剪开，展开图即为八边形，若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A 为圆心，AD 、AB 为半径即可， ∠AD AB =；故选B ．10．（2021·浙江绍兴·一模）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（）A ．h R r =+B ．2R r =C ．r =D ．R =【答案】C 【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A 正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B 正确,利用勾股定理求出r 和R,即可判断C 、D ．【详解】如图所示,标上各点，AO 为R ，OB 为r ，AB 为h ，从图象可以得出AB=AO+OB ，即h R r =+，A 正确； ∠三角形为等边三角形， ∠∠CAO=30°，根据垂径定理可知∠ACO=90°， ∠AO=2OC ，即R=2r ，B 正确；在Rt∠ACO 中，利用勾股定理可得：AO 2=AC 2+OC 2，即22212R a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由B 中关系可得：()222122r a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得=r ，则R =，所以C 错误，D 正确；故选：C ．二、填空题11．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则△AFE的度数为_____．【答案】72°【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【详解】∠五边形ABCDE为正五边形，∠AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∠∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，∠∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案为72°．12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径BC长度为_____．（结果保留π）【答案】2π【分析】直接利用弧长公式即可求解．【详解】解：30122180BClππ⋅==，故答案为：2π．13．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，∠,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，∠90OCP ODP ∠=∠=︒，∠120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，∠60COD ∠=︒，∠CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．14．（2021·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为30，半径为17，则扇形的弧长为______．【答案】176π 【分析】根据弧长公式l =180n R π求解即可．【详解】∠扇形的圆心角为30，半径为17，∠扇形的弧长=3017180π⨯=176π．故答案为：176π 15．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AB =，点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP ，点A 关于直线CP 的对称点为'A ，连接A ′C ，'A P ．在运动过程中，点'A 到直线AB 距离的最大值是_______；点P 到达点B 时，线段'A P 扫过的面积为___________．11π⎛- ⎝⎭【分析】（1）通过分析点A ′的运动轨迹，是以点C 为圆心，CA 为半径的圆上，从而求解；（2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解【详解】解：（1）由题意可得点A ′的运动轨迹是以点C 为圆心，CA 为半径的圆上， ∠点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，45ACB ∠=︒，点A 关于直线CP 的对称点为'A ，∠∠ACA ′最大为90°当CA ′∠AB 时，点A ′到直线AB 的距离最大，如图过点B 作BE ∠AC∠30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AB =，∠在Rt ∠ABE 中，BE =1，AE在Rt ∠BCE 中，BE =CE =1∠CA ′=CA 1又∠CA ′∠AB∠在Rt ∠ACF 中，CF =12AC =∠A ′F =A ′C -CF即点'A 到直线AB ；点P 到达点B 时，线段'A P 扫过的面积为：'2ABC A CA S S -△扇形121)12⨯⨯⨯=11π⎛- ⎝⎭；11π⎛- ⎝⎭三、解答题16．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．△求APO ∠'的度数．△求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．【答案】（1）∠60°；∠6-（2）125π 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP 的长，先连接'OO ，先在Rt OBQ △中，求出OQ ；再在Rt OPQ 中，求出OP 即可得到答案；（2）要求AB 的长，扇形的半径已知，就转化成求AOB ∠的度数，连接'OO ，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180︒，建立等式求出AOB ∠，最后利用弧长的计算公式进行计算．【详解】解：（1）∠如图1，'BO 为圆的切线'90OBO ∴∠=︒．由题意可得，'45O BP OBP ∠=∠=︒，'O PB OPB ∠=∠．180180754560OPB BOP OBP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒'60O PB OPB ∴∠=∠=︒'60APO ∴∠=︒，∠如图1，连结'OO ，交BP 于点Q ．则有'BP OO ⊥．在Rt OBQ △中，sin 45OQ OB =⨯︒=在Rt OPQ △中，sin 60OQ OP ==︒6AP OA OP ∴=-=-（2）如图2．连结OD ．设1a ∠=．∠点D 为AB 的中点．BD AD ∴=21a ∴∠=∠=//PD OB321a ∴∠=∠=∠=．PD PO ∴=由题意可得，','PO PO O BOP =∠=∠．'PD PO ∴=''2PDO O BOP a ∴∠=∠=∠=又//,''2PD OB OBO PDO a ∴∠=∠=,4'2OB OD OBO a =∴∠=∠=43'180PDO ∠+∠+∠=︒，22180a a a ∴++=︒，解得36a =︒．72AOB ∴∠=︒726121801805n R AB πππ⨯∴===． 17．（2021·浙江嘉兴·中考真题）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∠'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∠'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∠108DBE ∠=︒，∠''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∠6BD =，∠点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==．（2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠=∴sin36 3.54DG BD =⋅︒≈．在Rt BHE 中，sin EH EBH BE∠=∴sin72 3.80EH BE =⋅︒≈． ∠ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∠'//BD EF ，∠点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．18．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的半圆O 交AB 于点D ，过点D 作半圆O 的切线，交AC 于点E ．（1）求证：2ACB ADE ∠=∠；（2）若3,DE AE ==CD 的长．【答案】（1）见解析；（2 【分析】（1）连结,OD CD ，利用圆的切线性质，间接证明：ADE ODC ∠=∠，再根据条件中：AC BC =且OD OC =，即能证明：2ACB ADE ∠=∠；（2）由（1）可以证明：AED 为直角三角形，由勾股定求出AD 的长，求出tan A ，可得到A ∠的度数，从而说明ABC 为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出120COD ∠=︒，半径OC =最后根据弧长公式即可求解．【详解】解：（1）证明：如图，连结,OD CD ．DE 与O 相切，90,90ODE ODC EDC ∴∠=︒∴∠+∠=︒． BC 是圆的直径，90,90BDC ADC ∴∠=︒∴∠=︒．90,ADE EDC ADE ODC ∴∠+∠=︒∴∠=∠．,22AC BC ACB DCE OCD =∴∠=∠=∠．,OD OC ODC OCD =∴∠=∠．2ACB ADE ∴∠=∠．（2）由（1）可知，90,,90ADE EDC ADE DCE AED ∠+∠=︒∠=∠∴∠=︒，3,DE AE ==AD ∴=tan 60A A ==︒，,AC BC ABC =∴是等边三角形．60,2B BC AB AD ∴∠=︒===2120,COD B OC ∴∠=∠=︒=l CD ∴。

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考点跟踪突破25 与圆有关的计算
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2015·义乌)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B ＝135°，则AC ︵
的长( B )
A ．2π
B ．π
C .π2
D .π
3
2．(2015·西宁)一元钱硬币的直径约为24 mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( A )
A ．12 mm
B ．12 3 mm
C ．6 mm
D ．6 3 mm 3．(2014·金华)一张圆心角为45°的扇形纸板和一张圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是( A )
A ．5∶4
B ．5∶2
C .5∶2
D .5∶ 2 4．(2015·黄石)在长方形ABCD 中，AB ＝16，如图所示裁出一扇形AB
E ，将扇形围成一个圆锥(AB 和AE 重合)，则此圆锥的底面半径为( A )
A ．4
B ．16
C ．4 2
D ．8
第4题图第5题图 5．(2015·泰安)如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为( A )
A .3＋π
2 B .3＋π
C .3－π2
D ．23＋π
2
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．(2015·安徽)如图，点A ，B ，C 在半径为9的⊙O 上，AB ︵
的长为2π，则∠ACB 的大小是__20°__．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2015·酒泉)如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上，若AB ＝BC ，CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为__π__．
8．(2015·宁夏)如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，
若A 点的坐标为(－1，0)，则点C 的坐标为__(12，－2
)__．
,第8题图) ,第9题图)
9．(2015·黑龙江)如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC(A C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的
半径是4
米．
10．(2015·乐山)如图，已知A(2，2)，B(2，1)，将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点
A 旋转到点A′(－2，2)的位置，则图中阴影部分的面积为__3
4
π__．
三、解答题(共40分) 11．(10分)(2013·新疆)如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为CD 延长线上的一点，∠ABC ＝30°，且AB ＝AC.
(1)求证：AB 为⊙O 的切线； (2)求弦AC 的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
(1)证明：连接OA.∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°.∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∴在△ABO 中，∠OAB ＝180°－∠ABO －∠AOB ＝90°，即AB ⊥OA ，又∵OA 是⊙O 的半径，∴AB 为⊙O 的切线
(2)解：如图，连接AD.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC ＝90°.∵由(1)知，∠ACB ＝30°，∴AD ＝1
2
CD ＝4，则根据勾股定理知AC ＝CD 2－AD 2＝43，即弦AC 的长是43 (3)由
(2)知，在△ADC 中，∠DAC ＝90°，AD ＝4，AC ＝43，则S △ADC ＝12AD·AC ＝1
2
×4×43
＝8 3.∵点O 是△ADC 斜边上的中点，∴S △AOC ＝1
2
S △ADC ＝4 3.根据图示知，S 阴影＝S 扇形AOD
＋S △AOC ＝60π×42360＋43＝83π＋43，即图中阴影部分的面积是8
3
π＋4 3
12．(10分)(2014·滨州)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠ACD ＝120°.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
(1)证明：连接OC.∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠A ＝30°.∴∠OCD ＝90°.∴CD 是⊙O 的切线 (2)解：∵∠A ＝30°，∴∠1＝2∠A
＝60°.∴S 扇形BOC ＝60π×22360＝2π3.在Rt △OCD 中，∵CD
OC
＝tan 60°，∴CD ＝2 3.∴S Rt △OCD
＝12OC·CD ＝1
2×2×23＝2 3.∴图中阴影部分的面积为23－2π3
13．(10分)(2015·沈阳)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝2∠D ，连接OA ，OB ，OC ，AC ，OB 与AC 相交于点E.
(1)求∠OCA 的度数；
(2)若∠COB ＝3∠AOB ，OC ＝23，求图中阴影部分面积．(结果保留π和根号)
解：(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABC ＋∠D ＝180°，∵∠ABC ＝2∠D ，∴∠D ＋2∠D ＝180°，∴∠D ＝60°，∴∠AOC ＝2∠D ＝120°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30° (2)∵∠COB ＝3∠AOB ，∴∠AOC ＝∠AOB ＋3∠AOB ＝120°，∴∠AOB ＝30°，∴∠COB ＝∠AOC －∠AOB ＝90°，在Rt △OCE 中，OC ＝23，∴OE
＝OC·tan ∠OCE ＝23·tan 30°＝23×33＝2，∴S △OEC ＝12OE·OC ＝1
2
×2×23＝23，∴S
扇形OBC ＝90π×（23）2
360
＝3π，∴S 阴影＝S 扇形OBC －S △OEC ＝3π－2 3
14．(10分)(2013·龙岩)如图①，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3＋1，AD ＝ 3.
(1)如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D′处，压平折痕交CD
于点E ，则折痕AE 的长为；
(2)如图③，再将四边形BCED′沿D′E 向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B ′C ′交
AE 于点F ，则四边形B ′FED ′的面积为2
；
(3)如图④，将图②中的△AED′绕点E 顺时针旋转α角，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B ，求弧D′D″的长．(结果保留π)
解：(2)由(1)知，C ′E ＝1＝C′F ，∴S
四边形B′FED′
＝S
矩形B′D′EC′
－S △EC′F ＝3－1
2
(3)∵∠C
＝90°，BC ＝3，EC ＝1，∴tan ∠BEC ＝BC
CE ＝3，∴∠BEC ＝60°，由翻折可知：∠DEA
＝45°，∴∠AEA ′＝75°＝∠D′ED″，∴D′D″︵＝75×π×3180＝53
12
π。