高一数学同步训练之6函数的奇偶性学案
高一数学函数奇偶性教案集锦
高一数学函数奇偶性教案集锦随着时代的发展，数学教育也在不断地更新。
作为数学的基础，函数是我们学习数学的重要内容之一。
在高中数学中，函数的奇偶性是一种非常重要的概念，本文将为大家带来一些高一数学函数奇偶性的教案，以帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。
一、函数的奇偶性定义在函数的定义中，如果对于任意的x值，有f（-x）=f(x)，则函数f为偶函数。
如果对于任意的x值，有f（-x）=-f(x)，则函数f为奇函数。
这两个概念在数学上非常重要，因为只有了解了函数的奇偶性，才能更好地解决一些基本的函数问题。
二、教案一：快速判断函数的奇偶性1.教学目标通过本节课的教学，同学们能够快速地判断一个函数是奇函数还是偶函数，并掌握判断方法。
2.教学内容（1）介绍奇数和偶数的概念，让同学们能够了解这两种数的性质。
（2）引入函数的奇偶性，让同学们知道函数的奇偶性与奇数、偶数的性质有哪些相似之处。
（3）让同学们通过数学公式推导，掌握如何快速地判断一个函数是奇函数还是偶函数。
3.教学方法通过穿插实例练习，让同学们加深对函数的奇偶性的理解，同时运用图像解释函数的奇偶性。
4.教学评价通过测试，检查同学们是否真正理解并掌握了函数的奇偶性概念和判断方法。
三、教案二：奇偶函数的运算性质1.教学目标通过本节课的教学，让同学们能够掌握奇偶函数的运算性质，并了解奇偶函数的重要性质。
2.教学内容（1）介绍奇偶函数的性质，让同学们了解奇偶函数的定义和性质。
（2）引导同学们运用奇偶函数的性质，结合实例让同学们了解如何对奇偶函数进行运算。
（3）让同学们通过实例练习，掌握奇偶函数的运算法则。
3.教学方法通过课堂讲解和实例分析的方式，让同学们掌握奇偶函数的运算法则，同时培养同学们的逻辑思维和数学推理能力。
4.教学评价通过对同学们的作业和课堂互动的观察，检查同学们是否掌握了奇偶函数的运算法则。
四、教案三：函数的奇偶图像1.教学目标通过本节课的教学，让同学们充分理解奇偶函数的图像特征，掌握其奇偶性在图像中的表现。
函数的奇偶性学案
函数的奇偶性学案【课前我能行——未闻先知】【学习目标】1、掌握函数奇偶性的定义及其图象的基本特点。
2、学会根据图象判断函数的奇偶性及其根据函数的奇偶性定义论证函数的奇偶性。
3、理解函数的奇偶性是对函数的内部的对称性的研究，要注意将它和两个不同函数之间的对称性相区别。
4、通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，从特殊到一般的概括能力，渗透数形结合的数学思想方法。
【基础知识】函数的奇偶性1. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫偶函数。
偶函数的图象关于 对称。
2. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫奇函数。
奇函数的图象关于 对称。
3.由奇、偶函数的定义可知，奇、偶函数的定义域在数轴上表示的区间关于 对称。
若奇函数的定义域中有零，其图象必过 ,即0)0(=f .4.在公共定义域内，（1）奇函数与奇函数之积是 。
（2）奇函数与偶函数之积是 。
（3）偶函数与偶函数之积是 。
答案提示：1、2见课本，3.原点，原点4.（1）偶函数（2）奇函数(3)偶函数课堂讲练：例1：求证：函数2432)(x x x f -=是偶函数。
证明：函数2432)(x x x f -=的定义域为R. =---=-2432)(）（）（x x x f 2432x x -=)(x f ,所以，)(x f 为R 上的偶函数。
例2：求证：函数5)(x x f =是奇函数。
证明：函数5)(x x f =的定义域为R.()x f x x x f -=-=-=-55)(）（,所以f(x)为R 上的奇函数。
点评：1、奇函数和偶函数的几何意义：关于原点中心对称的函数是奇函数，反之，奇函数的图象关于原点对称； 关于y 轴对称的函数是偶函数，反之，偶函数的图象关于y 轴对称。
2、 证明函数奇偶性的一般步骤？（1）先判断函数的定义域，观察是否关于原点对称；（2）若关于原点对称，在判断f(-x)和f(x)的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数。
函数的奇偶性学案
1.2.10 函数的奇偶性【学习目标】１.能通过实例描述出奇、偶函数的图象特征、代数特征；会利用这些特征来判断一个函数的奇偶性；2. 通过对函数奇偶性的探究、概念的运用，体会数形结合的数学思想，培养学生的观察、抽象、概括、归纳能力【学习重点】函数的奇偶定义、图象性质、及判断方法．【难点提示】对奇偶性本质的理解和较为复杂的函数的奇偶性的判定.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备１.在初中，我们学习过“轴对称图形和中心对称图形”的概念，你还记得它们的含义吗？试举例说明！（1）轴对称图形： ； （2）中心对称图形： ． 2.平面直角坐标系中，点P （,x y ）关于y 轴的对称点的坐标是 ，点P （,x y ）关于原点的对称点的坐标是 .3.预备练习 请同学们画出下列两组函数的图象（1）||2)()(2x x f x x f -==与 （2）xx g x x g 4)(2)(==与 （3）x x x h x x h 2)(12)(2+=+=与二、探究新知 １.偶函数概念（1）观察思考 ①学习准备中“预备练习”的第一组函数图象有什么对称性？从函数值对应表可知，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值 ， 比如对函数2)(x x f =有：=-)3(f ；=-)1(f ，()f x -= . （2）归纳概括 ①实际上，对R 内任意一个x ，都有=-)(x f ，我们把具有上述特征的函数叫做偶函数．②阅读教材写出定义 ． 2.奇函数概念（1）观察思考 ①学习准备中“预备练习”的第二组图象有什么对称性？从函数值对应表可知，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值 ， 比如对函数x x f 2)(=有：=-)3(f ；=-)1(f ，()f x -= . （2）归纳概括 ①实际上，对R 内 一个x ，都有=-)(x f ，我们把具 有上述特征的函数叫做奇函数．②类比偶函数的定义，请写出奇函数的定义 . （3）快乐体验 判断下列函数的奇偶性①6()2f x x =+ ；②x x x f +=5)( ；③xx x f 1)(-= ； ④()||1f x x =-；⑤2()32f x x x =+-；⑥[]2(),3,1f x x x =-∈-解：◆概念挖掘与拓展（1）对于函数)(x f ，若存在x ，使得)()(x f x f =-,则函数)(x f 为偶函数．对吗？（2）对于函数)(x f ，若存在x ，使得)()(x f x f -=-,则函数)(x f 为奇函数；对吗？（3）函数]1,2[,)(2-∈=x x x f 是偶函数吗？函数]3,2[,2)(-∈=x x x f 是奇函数吗？ （4）偶函数的定义域特征_____________．奇函数的定义域特征________________． 结合（1）（2）（3）（4）你能得出什么结论和判定函数奇偶性的方法呢？（5）若定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f y =为偶函数，则实数=a ． （6）若函数()y f x =是奇函数，则=)0(f ，若函数()y f x =是偶函数，则=)0(f ，试举例说明！从而你能得出何结论呢？（7）函数()0,y f x x R ==∈具有怎样的奇偶性？从而你能得出何结论呢？ （8）学习准备中的第三组图象具有对称性吗？它们是否为奇函数或偶函数？那么函数奇偶性的类别有 ．三、典型例析图2)（1）图1是偶函数)(x f y =在y 轴右边的图象,画出这个偶函数在y 轴左边的图象； （2）图2是奇函数)(x f y =在y 轴右边的图象,画出这个奇函数在y 轴左边的图象． ●解后反思 你是否理解了奇偶函数的图象特征？这一图象特征有什么作用？ 变式练习（1）已知)(x f 为偶函数，且当x ≥0时，)(x f ≥2，则当x ≤0时，有( ) A ．)(x f ≤2 B ．)(x f ≥2 C ．)(x f ≤－2 D ．)(x f ∈R （2）设奇函数)(x f 的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，)(x f 的图象（如1.2.10图3），则不等式)(x f ＜0的解集是____________．例2.判断下列函数的奇偶性：（1）24)(-+=x x x f ； （2） ()f x =（3）0()(2)f x x =- ；（4）|1||1|)(--+=x x x f ；（5）kx x x f +=23)(思路启迪：判断函数的奇偶性应先研究定义域，再确定()f x 与()f x -的关系． 解：●解后反思（1）奇偶函数的定义域的特点是什么？请归纳出判断函数奇偶性的步骤、方法有哪些？判断函数的奇偶性时，应先考虑什么？1.2.10图3（2）你是否理解了奇偶函数的代数特征？怎样利用这一代数特征判断函数的奇偶性？ ●变式练习 判断下列函数的奇偶性（1）x x x f 1)(2+=；（2）2)()(x x f =； （3）⎩⎨⎧<+->+=0101)(x x x x x f .（4）11)(22-∙-=x x x f ； （5）11)1()(-++=x x x x f 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？ 如：奇偶函数定义、代数特征、图象特征、特有的定义域特征都理解与掌握了吗？2.对本节课你还有独特的见解吗？你找了本节课的数学知识与生活的联系吗？感受到本节课数学知识的美在哪里？（链接1）五、学习评价1.下列命题正确的是( )A ．偶函数的图象一定与y 轴相交 ；B .f(x)＝c(c 为非零常数，R x ∈)为偶函数 C.不存在既是奇函数又是偶函数的函数 ；D ．奇函数的图象一定过原点 2.函数y ＝(x ＋1)( x －a )为偶函数，则a 等于( ) A ．－2 B ．－1C ． 1D ． 23.若)(x f ＝a x 2＋b x ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝a x 3＋b x 2＋c x 是( )A ．奇函数 ；B ．偶函数 ；C ．非奇非偶函数 ；D ．既是奇函数又是偶函数. 4.若函数),(),(a a x x f y -∈=，其中0>a ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ ） A ．奇函数 ；B ．偶函数 ； C ．既是奇函数又是偶函数 ； D ．非奇非偶函数. 5.函数)(x f y =是偶函数，且0=)(x f 有四个不等实根，则这四个根之和为( )A ．4B ．2C ．1D ．06.奇函数54412+-=≤≤=x x x f x x f y )()(时，当，那么当14-≤≤-x 时，求)(x f y =的最大值．◆承前启后 我们学习了函数的第三个性质函数的奇偶性，你判定那些函数的奇偶性呢？能求所有函数的奇偶性吗？那么函数的奇偶性还有哪些运用呢呢？六、学习链接链接1. 奇偶函数的美在：对称美，生活中的对称也无处不在.。
具体or抽象数学抽象素养的培养——学案《函数的奇偶性》
（上接 76 页）f（-x）=-f（x）
设问二 ：既然函数图像有相应的对称性，请问函数的定义域 D 有什
么要求？
学生难点 ：概念中没有提及，要从高度概括的定义中引申出定义域
的特点，有困难。
设问三 ：如何判断证明一个函数的奇偶性
例题 ：求证 ：
是偶函数
第三组 ：函数奇偶性的判断 1）解决问题落实素养 （说明 ：利用定义解决问题，是教学难点（包括函数的单调性，周期 性等），考虑到判断函数的奇偶性，第一步并不是定义的验证，而是“函 数的定义域是否具有对称性”。）
设问 ：请问这四个函数的定义域？ 答 ：x ∈（- ∞ ,0）U（0,+ ∞），x ∈ R，x ∈（- ∞ ,1）U（1,+ ∞）， x ∈（- ∞ ,-2）U（-2,0）U（0,+ ∞），x ∈ {0} 设问 ：定义域对函数的奇偶性有什么影响？ 答 ：定义域不对称，即不关于原点对称，函数不具备奇偶性，即非 奇非偶函数。 设问 ：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的什么条件？ 答 ：必要非充分条件。 设问 ：判断一个函数的步骤？ 答 ：第一步判断函数的定义域是否关于原点对称 ；第二步由函数的 奇偶性定义判断。 学案二（抽象到具体） 1）直接给出偶函数和奇函数的抽象定义 偶函数定义 ：见上 奇函数定义 ：见上 2）提出问题 设问一 ：如何理解任意 x 在定义域内，都有 f（x）=f（-x）,f（-x）=-f （x）? 学生难点 ：概念过于抽象，不能理解 f（x）=f（-x）,（下转 78 页）
（4）函数 y=f（x）在定于 D 上，且定义域 D 关于原点对称，若存在
x 使得 f（-x）=-f（x）, 则函数 y=f（x）在定于 D 上是奇函数。（假） 练习二 ：判断下列函数的奇偶性
人教版高一数学《函数奇偶性》教案
人教版高一数学《函数奇偶性》教案一、教学目标1.理解奇函数和偶函数的概念。
2.掌握奇函数和偶函数的图像特征。
3.学会判断函数的奇偶性，并且能够运用奇偶性进行简化计算。
二、教学重点1.函数的奇偶性的概念和判定方法。
2.奇函数和偶函数的图像特征。
三、教学难点1.运用奇偶性进行简化计算。
2.奇函数与偶函数的应用。
四、教学过程1. 导入•引入一个问题：假设已知一个函数的图像关于y轴对称，是否可以断定该函数是偶函数？为什么？2. 理解奇函数和偶函数的概念•引导学生观察函数的图像特点，提出奇函数和偶函数的定义。
•奇函数的定义：对于任意x，有f(-x) = -f(x)。
•偶函数的定义：对于任意x，有f(-x) = f(x)。
•提供学生自主查找奇函数和偶函数的例子。
3. 掌握奇函数和偶函数的图像特征•奇函数的图像特征：–关于原点对称。
–当函数图像经过第一象限和第三象限时，图像具有相同的形状和斜率。
•偶函数的图像特征：–关于y轴对称。
–当函数图像经过第一象限时，图像具有相同的形状和斜率。
4. 奇偶函数的判定方法•奇函数的判定方法：–如果函数为奇函数，可以证明 f(-x) = -f(x)。
–根据判定方法，可以通过计算 f(-x) 和 -f(x) 是否相等来验证函数的奇偶性。
•偶函数的判定方法：–如果函数为偶函数，可以证明 f(-x) = f(x)。
–根据判定方法，可以通过计算 f(-x) 和 f(x) 是否相等来验证函数的奇偶性。
5. 运用奇偶性进行简化计算•奇函数的简化计算：–当相加或相减的奇函数是关于同一个指标的同类项时，可以直接合并计算。
–奇函数与奇函数相加或相减的结果仍然是奇函数。
•偶函数的简化计算：–当相加或相减的偶函数是关于同一个指标的同类项时，可以直接合并计算。
–偶函数与偶函数相加或相减的结果仍然是偶函数。
6. 奇函数与偶函数的应用•奇函数的应用：–在一些对称问题中，可以运用奇函数进行简化计算。
–例如，当一个物体的速度关于原点对称时，可以判断考虑物体左侧或右侧的速度。
函数的奇偶性学案--优质课竞赛一等奖
函数的奇偶性学案--优质课竞赛一等奖
函数的奇偶性——偶函数学案
研究要求：
1.通过函数图像理解偶函数的概念；
2.能够利用定义判断偶函数；
3.能够解决一些简单问题，如作图、求解析式等；
4.通过研究，更深刻地理解生活中的对称美。
偶函数的定义和性质：
定义：对于定义在区间上的函数，若对于任意的都有，则称为偶函数。
性质：
1.偶函数的图像关于y轴对称；
2.偶函数的解析式中只含有偶次幂的项；
3.偶函数在其定义域内关于原点对称。
应用：
偶函数在数学中有广泛的应用，如余弦函数、正弦函数等都是偶函数。
在物理、化学等领域，偶函数也有着重要的应用，如电子云密度分布函数、热力学性质函数等。
创设情景兴趣导入：
1.图片欣赏：观察以下函数图像，将其分类为轴对称和中
心对称图形。
2.观察函数图像：f(x)=|x|，填充表格，探究其特点。
3.观察函数图像，判断其是否关于y轴对称。
4.若一个函数的图像关于y轴对称，那么它的定义域应该
有什么特点？偶函数的定义。
典型例题：
判断下列函数是否为偶函数：
1.f(x)=x^4；
2.f(x)=x，x∈(−3,3]；
3.f(x)=|x|；
4.f(x)=x−1；
5.f(x)=2.
判断偶函数的方法：
方法一：定义法。
判断一个函数是否为偶函数的基本步骤：（1）一看：函数是否对称；（2）二找：函数的定义域是否关于原点对称；（3）三判断：函数是否满足偶函数的定义。
方法二：图像法。
观察函数的图像是否关于y轴对称。
新人教A版必修一《函数的奇偶性》学案
§1.3.2函数的奇偶性 学案学习目标：1、理解函数奇偶性的概念及其图象特征2、学会判断函数的奇偶性3、学会运用奇偶函数的图象研究函数的一些简单的性质4、培养自己观察、抽象的能力；从特殊到一般的概括、归纳能力；注意数形结合思想 学习内容：（同学们，为了更好的完成本节课的学习任务，请大家务必提前认真完成以下任务！）下图是y x y 12==和的图象图（1） 图（2）观察上图不难发现：图（1）关于y 轴对称，图（2）关于原点对称．而且任意两个对称点的共同特征是：横坐标（自变量）互为相反数．那么你能发现两个对称点的纵坐标（函数值）)(0x f -与)(0x f 的关系吗？如果你发现了它们的关系，现在如果把图象类似图（1）的函数命名为偶函数；图象类似图（2）的函数命名为奇函数．你试着根据你发现的关系归纳出奇函数和偶函数的定义：完成了以上任务后，你现在已经知道了奇函数和偶函数定义及其图象特征，接下来不妨小试身手吧！一、 熟悉定义（这部分必须做）1、 判断下列函数的奇偶性①5)(x x f = ②21)(xx f = ③x x f =)( ④x x x f +=1)( ⑤|2||2|)(--+=x x x f ⑥1)(=x f ⑦1)1()(--=x x x x f 2、 已知函数)(x f y =是奇函数，如果1)(=a f ，那么=-)(a f _______ 变式：设函数)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，32)(-=xx f ，则)2(-f 等于（ ） 笔记：笔记：(-0(x -2xA ．1-B ．114C ．1D ．114- 3、已知)(x f 是奇函数，且在0=x 处有定义，试求)0(f 的值．（提示：利用定义） 若)(x f 是偶函数，且在0=x 处有定义，你还能确定)0(f 的值吗？二、引伸提高（这部分根据自己的实际情况尽量去做）例1、设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则)2(f 与))(32(2R a a a f ∈+-的大小关系是（A ．)2(f <)32(2+-a a fB ．)2(f ≥)32(2+-a a fC ．)2(f >)32(2+-a a fD ．与a 的取值有关练习、设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是_______ ．例2、已知)(x f 为偶函数，)(x g 是奇函数，且2)()(2-+=-x x x g x f ，求)(x f 与)(x g 的解析式．练习、已知)(x f 、)(x g 的定义域均为R ，)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且1)()(2+-=+x x x g x f ，求)(x f 的解析式．例3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，12)(+-=x x f ，那么当0>x 时，)(x f 的解析式为 ．练习、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，0>x 时，32)(2-+-=x x x f ，那么当0<x 时，)(x f 的解析式为 ．上题变式：(1) 求)(x f 的解析式；(2) 画出)(x f y =的图像；(3) 求出)(x f 的单调区间．。
高一数学《函数的奇偶性》导学案
高一数学 编号：SX-01-009《函数的奇偶性》导学案姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】1、了解奇、偶函数的定义，能运用奇、偶函数的图象理解和研究函数的性质2、会利用定义判断具体函数的奇偶性 【重点难点】▲重点：函数的奇偶性的定义、图象和性质 ▲难点：判断函数的奇偶性 【知识链接】轴对称和中心对称图形 【学习过程】请阅读教材第33页至第34页观察2前的内容，尝试回答下列问题： 知识点一：偶函数的定义和图象性质问题1：观察函数2()f x x =和()g x x =的图象，它们有什么共同特征？问题2：计算：(1)f -= ，(1)f = ； (2)f -= ，(2)f = 。
(1)g -= ，(1)g = ；(2)g -= ，(2)g = 。
通过计算，你有什么发现？问题3：通过对问题1和问题2 的研究，回答什么样的函数叫做偶函数？其图象有何特征？ xyo 12-1-21234f(x)=x 2xyo 12-1-21234x=f(x)AB问题4：观察图像并回答，下列哪些函数是偶函数？问题5：由问题4观察思考：函数为偶函数时定义域有何特征？请阅读教材第34页至第35页例5前面的内容，回答下列问题： 知识点二：奇函数的定义和图象性质问题1：观察函数()()1f x x x x==与g 的图象，它们有什么共同特征？问题2：当自变量任取一对相反数时，函数值有什么特征？问题3：通过对问题1和问题2 的研究，回答什么样的函数叫做奇函数？其图象有何特征？xyo 12-1-21234x =f(x)x [1,+ )x yo 12-1-21234x =f(x)x [-1,1 ] xyo 12-1-212342x =f(x)x [-1,2]x yo 12-1-21234f(x)=x 2x [-2,2]ABC D Bxy o 12-1-21234x =f(x)-1x y o 234=f(x)x 112-1-21-1Ax y o 234=f(x)x 112-1-21-1x (- , -1]),[ 1+x y o 12-1-21234x =f(x)-1x [1, )+x y o 12-1-21234x =f(x)-1x [-1, 1] x yo 234=f(x)x 112-1-21-1x (- , 0) ),[1+A B C D问题4：观察图像并回答，下列哪些函数是奇函数？问题5：由问题4思考：函数为奇函数时，定义域有何特征？请阅读教材第35页例5，回答下列问题： 知识点三：定义法判断函数的奇偶性问题1：①若()3,f x x x =+其定义域为 ，且()f x -= ，则()f x -= ，该函数为 函数。
苏教版数学高一《函数的奇偶性》 同步导学案
一、复习引入1、函数的单调性、最值2、函数的奇偶性（1）奇函数（2）偶函数（3）与图象对称性的关系（4）说明（定义域的要求）二、例题分析例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数（1）1)(2-=x x f （2）x x f 2)(=（3）||2)(x x f = （4）2)1()(-=x x f例2、证明函数x x x f 5)(3+=在R 上是奇函数。
例3、试判断下列函数的奇偶性（1）x x x x u -+-=11)1()( （2）22(1),0()0,0(1),x x x g x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-+<⎩例4、设3()1f x ax bx =++，且0)2(=f ，求)2(-f 的值。
三、随堂练习1、函数5)(2+=x x f （ ）、A 是奇函数但不是偶函数 、B 是偶函数但不是奇函数 、C 既是奇函数又是偶函数 、D 既不是奇函数又不是偶函数 2、下列4个判断中，正确的是_______.（1）1)(=x f 既是奇函数又是偶函数； （2）1)(2--=x x x x f 是奇函数 （3）x x x x f -+⋅-=11)1()(是偶函数； （4）12)(2+-=x x x f 是非奇非偶函数 3、函数x x x f 2)(2+=的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？4、证明函数x x x f -=3)(在R 上是奇函数。
5、判断下列函数的奇偶性(1)1()f x x x=+ (2)421()x f x x -=四、回顾小结1、判断函数奇偶性。
2、证明一些简单函数的奇偶性。
课后作业班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、若函数(]2,1,)(2∈=x x x f ，则下列说法中，正确的是______。
（1）奇函数（2）偶函数（3）既是奇函数又是偶函数（4）既不是奇函数也不是偶函数2、函数3x y =的奇偶性是_______，它的图象关于_______对称。
高中数学人教A版必修1《函数的奇偶性》学案
《函数的奇偶性》学案学习目标：1、借助函数图象，理解奇偶函数的定义2、通过技能训练，掌握判断函数奇偶性的两种方法：定义法、图象法3、理解“数形结合”的重要思想动手画一画____________图象关于y轴对称. ___________图象关于原点对称.技能训练观察函数图象，判断函数的奇偶性_________ __________ ___________ __________ 知识要点1、偶函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.２、奇函数：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.探究： 2()f x x =是否可以用定义式去验证呢？变式训练： 2(),[3,2]f x x x =∈-的奇偶性呢？注意：____________________________________________________ 方法点拨判断函数奇偶性的步骤：（1）：先求定义域，看定义域是否关于原点对称（2）：验证f(-x)与f(x)的关系（3）：下结论(奇或偶)能力提升：判断下列函数的奇偶性1、 4()f x x =2、1()f x x x =+3、2()31,[5,3]f x x x =+∈-梳理反思：（1）、本节课你学会了哪些知识？（2）、你学会了哪些方法？（3）、“数形结合”的思想你理解了吗？作业:1、42()23f x x x =+2、3()2f x x x=+()()y f x y f x y ==右图是函数图象的一部分，若函数是奇函数，请补充出它轴左边的图象。
高一数学 函数的奇偶性学案
高一数学 函数的奇偶性学案【学习目标】1. 理解函数奇偶性的定义及其图像特征。
2. 能根据定义判断函数的奇偶性。
3. 结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。
【自主学习】1.作出函数f(x)=2x 和g(x)=3x 的图像，观察图像的对称性。
2s ：描点作图由图像可知，()y f x =的图像关于 对称，用式子可表达为 。
()y g x =的图像关于 对称，用式子可表达为 。
2. 设函数()y f x =的定义域为D ， 则这个函数叫偶函数。
偶函数的图像是 。
设函数()y g x =的定义域为D ， 则这个函数叫奇函数。
奇函数的图像是 。
3. 函数根据奇偶性可分成四类： 。
跟踪1：判断下列函数的奇偶性① 53()f x x x x =++ ②2()1f x x =+ ③()1f x x =+ ④2(),[1,3]f x x x =∈-跟踪2：研究函数21y x =的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图像跟踪3：课本49页练习A 1. 2. 3. 4. 5.【典例示范】 例1.判断函数的奇偶性①()f x =②()f x =③()22f x x x =+-- ④2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩总结提高：判断函数奇偶性的步骤是：例2. 已知函数()f x 对任意实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断函数的奇偶性例3：已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，求0x <时函数的解析式【巩固拓展】1、已知()f x 为R 上的奇函数，且当x (0,)∈+∞时，f(x)=(1x ,求f(x)。
【归纳总结】1. 判断函数奇偶性首先要看什么？2. 判断函数奇偶性的步骤：3、奇偶性对函数的其他性质有什么影响？【快乐体验】1、下列说法中，不正确的是（ ）A. 图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B. 奇函数的图像一定经过原点C. 偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数D.图像关于y 轴成轴对称的函数一定是偶函数2、若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（ ）。
人教B版高中数学必修一函数的奇偶性学案(6)
函数的奇偶性高考要求：了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题知识点归纳：1函数的奇偶性的定义；2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=4若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =5判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；6牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 8设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x) f(-x) +f(x)=0；2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点； 3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5若存在常数T ，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x 恒成立，则称T 为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求（5）函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期例：（1）若函数)(x f 在R 上是奇函数，且在()01，-上是增函数，且)()2(x f x f -=+则①)(x f 关于 对称；②)(x f 的周期为 ；③)(x f 在（1，2）是 函数（增、减）；④）时，，（若10∈x )(x f =x 2，则=)(log 1821f（2）设)(x f 是定义在),(+∞-∞上，以2为周期的周期函数，且)(x f 为偶函数，在区间[2，3]上，)(x f =4)3(22+--x ,则时，]2,0[∈x )(x f = 题型讲解：1对函数单调性和奇偶性定义的理解例4下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）A1 B2 C3 D4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零2复合函数的性质复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数(2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数例6甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km ／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且又S＞0，所以即则当v=c时，y取最小值说明：此题是1997年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过c ，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大 例1判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--； （3）22(0)()(0)x x x f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-U ， ∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x-=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称在()()()f x y f x f y +=+中， 令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-例3（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ （2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ B ） A 12()()f x f x ->- B 12()()f x f x -<-C 12()()f x f x ->-D 12()()f x f x -<-例4设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值解：（1）当0a =时，2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤ ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+， 若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤； 若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +， 当12a >，函数()f x 的最小值是34a +例4已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩学生练习1函数f(x)=x 2/(x 2+bx+1)是偶函数，则b=2函数F(x)=(1+2/(2x -1))f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x) ( A )(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数，又是偶函数 (D)非奇非偶函数3已知函数f(x)=x 2+lg(x+12+x ),若f(a)=M,则f(-a)等于 （ A ）(A)2a 2-M (B)M -2a 2 (C)2M -a 2 (D)a 2-2M5若对正常数m 和任意实数x,等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立,则下列说法正确的是 ( )A 函数()f x 是周期函数,最小正周期为2mB 函数()f x 是奇函数,但不是周期函数C 函数()f x 是周期函数,最小正周期为4 mD 函数()f x 是偶函数,但不是周期函数(利用周期函数的定义证明答案:C)4已知f(x) 是奇函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)=ln(1/(1+x)),那么当x ∈(-1,0)时，f(x)= ln(1-x)5试将函数y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和6判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函数）;(2)f(x)=x/(a x -1)+x/2 (a>0且a≠1)(偶函数）(3)f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-0)1(0)1(22x x x x x x （偶函数）说明奇偶性的对称条件和分段函数奇偶性的判别方法7已知f(x),g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a 2,b),g(x)>0的解集是(a 2/2,b/2),则f(x)g(x)>0的解集是8定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中正确不等式的序号是 9(1)已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x ∈R 恒成立，求证f(x)为偶函数；(2)设奇函数f(x)的定义域为R ，且f(x+4)=f(x),当x ∈[4,6]时，f(x)=2x +1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式(-(2-x+4+1) (-2≤x ≤0))课前后备注。
2020高一数学 函数的奇偶性(2)学案
2020高一数学 函数的奇偶性（2）学案一、学习目标：1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．二、教学过程：1．复习旧知：（1）奇偶性的定义（2）判断奇偶性的方法和步骤（3）函数具有奇偶性的前提是（4）判断下列函数的奇偶性：f(x)=x 2+x 4; f(x)=x 2-x; f(x)=x-x 1; f(x)=2 x2. 问题解决：一．函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=)(1x f 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论变式训练1. 已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，试问f(x) 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论2.改y=f(x)是偶函数呢？小结二．利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．变式训练已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。
小结三、利用奇偶性，单调性解不等式例3：（1）已知()f x 是定义域为R 上的增函数，且f(m-1)>f(2m-1),求实数m 的取值范围（2）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且为R 上的增函数f(m-1)+f(2m-1) >0，求实数m 的取值范围（3）定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0，求实数m 的取值范围．（4）定义在R 上的偶函数，在(－∞，0)上为减函数，且f(m-1)>f(2m-1)，求实数m 的取值范围（5）定义在（－2，2）上的偶函数，在[-2，0]上为减函数，且f(m-1)>f(2m-1)，求实数m 的取值范围练习反馈1. 设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[0，+∞)上是减函数,则f(－43)与f(a 2－a+1) （a R ∈）的大小关系是 （ ） A ． f(－43)<f(a 2－a+1) B ． f(－43)≥f(a 2－a+1) C ． f(－43)>f(a 2－a+1) D ．与a 的取值无关 2. 定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=++，则常数m = ，n = ； 3. 函数f x ()是定义在()-11，上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，求实数a 的范围。
新人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》学案
1.3.2奇偶性[学习目标] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性.思考为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称？答由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x也必然在定义域中，因此函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在x轴上所表示的区间关于原点对称.换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性，例如函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言了.知识点二奇函数、偶函数的图象特征(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.知识点三奇偶性应用中常用结论(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0.(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反.(3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数⇔b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数⇔b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数.思考存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？答存在，如f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，且这样的函数有无穷多个，实际上，函数f(x)＝0，x∈D，只要定义域D关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.题型一函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0. 解 (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数.(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数.(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x ).综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性. 跟踪训练1 (1)下列函数为奇函数的是( )A.y ＝|x |B.y ＝3－xC.y ＝1x 3D.y ＝－x 2＋14(2)若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案 (1)C (2)A解析 (1)A 、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数，而C 项中函数为奇函数.(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.题型二利用函数的奇偶性求值例2已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d).解方法一f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，①f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8＝－ad5－bd3－cd－8，②①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.方法二设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，∴g(－d)＝－g(d)，∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.反思与感悟解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d).也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解.跟踪训练2函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝________.答案 3解析令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3).又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.题型三利用奇偶性求函数解析式例3已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.解当x＜0，－x＞0，∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.反思与感悟 1.本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形.若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0.2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x ，则－x 在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x )的奇偶性，求待求区间上的解析式. 跟踪训练3 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A.f (x )＝－x (x －2)B.f (x )＝x (|x |－2)C.f (x )＝|x |(x －2)D.f (x )＝|x |(|x |－2)答案 D解析 ∵f (x )在R 上是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x ，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x ＝－x (－x －2).又当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＝x (x －2)，因此f (x )＝|x |(|x |－2).利用偶函数的性质f (x )＝f (－x )＝f (|x |)避免讨论例4 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)，又∵f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f (|x －1|)>f (2)，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3).故填(－1,3).答案 (－1,3)反思与感悟本题的关键是利用偶函数的性质：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，从而由f(x－1)>f(2)转化得f(|x－1|)>f(2)，再由f(x)在[0，＋∞)上单调递减即可脱去“f”，得到|x－1|<2.其优点在于避免了讨论.跟踪训练4函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是()A.a>1B.a<－2C.a>1或a<－2D.－1<a<2答案 C解析因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.故选C.1.函数f(x)＝|x|＋1是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案 B解析函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故选B.2.函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在实数集上的奇函数，则()A.a＝0，b≠0，c≠0B.ac＝0，b≠0C.a＝0，c＝0，b取任意实数D.a，b，c均可取任意实数答案 C解析函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因函数是奇函数.所以f(－x)＝a(－x)2＋b(－x)＋c＝－f(x)＝－ax2－bx－c，从而得ax2＋c＝0，又因为x可以取任意实数，所以a＝0，c ＝0，b取任意实数，故选C.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()A.y＝－x，x∈RB.y＝x2，x∈RC.y＝x3，x∈RD.y＝|x|，x∈R答案 C解析y＝x2，x∈R，y＝|x|，x∈R都是偶函数，选项B，D不符合题意；y＝－x，x∈R是减函数，选项A不符合题意，故选C.4.已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x －x 2，则f (－2)＝_______. 答案 2解析 因为当x >0时，f (x )＝x －x 2，所以f (2)＝2－22＝－2.又f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝2.5.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x >0时，解析式为f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，f (x )＝________.答案 x 2－x解析 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x .又∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝x 2－x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2－x .1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0). 3.(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.一、选择题1.函数f (x )＝x 2(x <0)的奇偶性为( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 ∵函数f (x )＝x 2(x <0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 2(x <0)为非奇非偶函数.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A.y ＝x ＋1B.y ＝－x 3C.y ＝1xD.y ＝x |x |答案 D解析 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知，符合题意.3.函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( )A.f (x )＝－x ＋1B.f (x )＝－x －1C.f (x )＝x ＋1D.f (x )＝x －1 答案 B解析 设x ＜0，则－x ＞0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数.∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∴f (x )＝－x －1(x ＜0).4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A.－3B.－1C.1D.3答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.5.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A.f (π)＞f (－3)＞f (－2)B.f (π)＞f (－2)＞f (－3)C.f (π)＜f (－3)＜f (－2)D.f (π)＜f (－2)＜f (－3)答案 A解析 ∵f (x )是偶函数，则f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，又当x ≥0时，f (x )是增函数，所以f (2)＜f (3)＜f (π)，从而f (－2)＜f (－3)＜f (π).6.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23答案 A 解析 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A. 二、填空题7.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.8.若f (x )＝x 2＋ax ＋b 在[－b 2，1－b 2]上为偶函数，则a ＝________，b ＝________. 答案 0 1解析 ∵f (x )为偶函数，∴其定义域关于原点对称，故－b 2＋1－b 2＝0，得b ＝1. 由f (x )为偶函数，得f (－x )＝f (x )，∴a ＝0.9.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，则f (0)＋f (1)＝________.答案 －2解析 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)＝－2，所以f (0)＋f (1)＝－2.10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数.若f (－3)＝0，则f (x )x<0的解集为________________________.答案 {x |－3<x <0或x >3}解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f (3)＝f (－3)＝0.当x >0时，f (x )<0，解得x >3；当x <0时，f (x )>0，解得－3<x <0.三、解答题11.设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)＞0，求实数m 的取值范围.解 由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m ).又∵f (x )在[0,2]上为减函数，且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，1－m >m ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12， 解得－1≤m <12. 因此实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 12.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1.(1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间.解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1.又因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1.当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)作出函数图象，如图所示.由函数图象易得函数的增区间为(－∞，－12]，[12，＋∞). 13.设函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值与最小值.(1)证明 令x ＝y ＝0，得f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.(2)解设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在R上是减函数，∴f(x)的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝(－3)×(－2)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝－6.。
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函数奇偶性
知识梳理
1.函数奇偶性的定义
2.判断函数奇偶性的方法
3.奇函数和偶函数的图象特征
例题
1.判断下列函数的奇偶性
⑴x x y +=3 ⑵32x x y += ⑶x x y 22-= ⑷x x
y +=1 ⑸21
)(x x x f +=； ⑹x x x f 1)(+=． ⑺⎩⎨⎧>+<-=0
),1(0),1()(x x x x x x x f 2.函数R x x f ∈),(，若对于任意实数b a ,都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f 为奇函数。
3.若b x bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域为]2,3[a a -,则=a ______，=b _____。
4.定义在R 上的偶函数)(x f ，在上是增函数，则()()()3,4,f f f --π的大小关系为
5.已知函数8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f __________。
6.若函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，2)(x x x f +=，试求函数)(x f 在0<x 时的解析式．
7.设函数))((R x x f ∈为奇函数，2
1)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则)5(f 等于 8.已知函数)(x f 是定义域上的偶函数，若函数)(x f 在)2,(--∞单调增，试判断函数)(x f 在),2(+∞上的单调性，并证明之．
9.函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（ ）
A )(x f 是奇函数
B )(x f 是偶函数
C )2()(+=x f x f
D )3(+x f 是奇函数
10.已知函数)(x f 是定义在[]4,4-上奇函数，且在[]4,4-单调增．若0)3()1(<-++a f a f ，求实数a 的取值范围．
11.设c
bx ax x f ++=1)(2是奇函数),,(Z c b a ∈，且2)1(=f ，3)2(<f ，求c b a ,,的值。
12.函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且5
2)21(=f 。
（1）确定函数)(x f 的解析式；
（2）用定义证明：)(x f 在)1,1(-上是增函数；
（3）解不等式：0)()1(<+-t f t f 。
巩固练习
1.对于定义域是R 的任意奇函数)(x f ，都有（ ）
Ａ0)()(>--x f x f Ｂ0)()(≤--x f x f Ｃ0)()(≤-⋅x f x f Ｄ 0)()(>-⋅x f x f
2.若)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性为
3.若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意R x x ∈21,有=+)(21x x f 1)()(21++x f x f ，则下列说法一定正确的是（ ）
A )(x f 为奇函数
B )(x f 为偶函数
C 1)(+x f 为奇函数
D 1)(+x f 为偶函数
4.已知函数)(x f 是偶函数，其定义域为)1,1(-，且在)1,0[上为增函数，若0)4()2(2<---a f a f ，试求a 的取值范围。
5.已知函数14)(2--=x x x f ．
（1）求证函数)(x f 是偶函数；（2）试画出函数)(x f 的图象；（3）写出函数)(x f 的单调区间． 练习答案：
C ；奇函数；C ；2213><<--<a a a 或或；增区间：)0,2(-和),2(+∞；减区间：)2,(--∞和)2,0(。