优选教育《步步高》届高考数学大一轮复习课件(人教版)常考题型强化练——不等式(共张).ppt
新步步高高考数学北师大理一轮复习 第章 不等式 1 不等关系与不等式 课件
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)已知x∈R，m＝(x＋1)(x2＋2x ＋1)，n＝(x＋12 )·(x2＋x＋1)，则m，n 的大小关系为( )
A.m≥n
B.m>n
C.m≤n
D.m<n
解析答案
(2)设a>0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小 关系是__P_>_Q____. 解析 由题意可知a>1. ∴(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，∴a3－1>a2－1， ∴loga(a3－1)>loga(a2－1)，即P>Q.
11.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( ) A.若 a>b，则 ac2>bc2 B.若ac>bc，则 a>b C.若 a3>b3 且 ab<0，则1a>1b D.若 a2>b2 且 ab>0，则1a<1b
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( A )
跟踪训练2
若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②ad＋bc<0；③a－c>b－d； ④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是( )
解析答案
题型三 不等式性质的应用
例 3 已知 a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③ a－b> a－ b；④a3＋b3>2a2b.
步步高大一轮复习讲义第课时PPT学习教案
【高考佐证2】 (2010·全国Ⅱ·20)频率
不同的两束单色光1和2以相同的入射
角从同一点射入一厚玻璃板后，其光
路如图9所示，下列说法正确的是( )
图9
A．单色光1的波长小于单色光2的波长
B．在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播速度
C．单色光1通过玻璃板所需的时间小于单色光2通过玻璃板
________(填“能”、“不能”或“无法确定能否”)发生全
反射．
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解析 (1)如图所示，单色光照射到EF弧面
上时刚好发生全反射，由全反射的条件得
C＝45°
①
由折射定律得
n＝ssinin9C0°
②
联立①②式得
n＝ 2.
(2)能
答案 (1) 2 (2)能
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题型互动探究
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【高考佐证3】 (2010·山东理综·37(2))如图10
所示，一段横截面为正方形的玻璃棒，中间
部分弯成四分之一圆弧形状，一细束单色光
由MN端面的中点垂直射入，恰好能在弧面
EF上发生全反射，然后垂直PQ端面射出．
图10
(1)求该玻璃棒的折射率．
(2)若将入射光向N端平移，当第一次射到弧面EF上时
介质射向 光疏
介质．
(2)入射角 大于
临界角．
3．临界角：折射角等于90°时的入射角．设光线从 某介质
射向 空气
时的临界角为C，则sin C＝n1.
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五、棱镜 1．常用的棱镜是横截面为三角形或梯形的三棱镜，通常简
称为棱镜． 2．棱镜对光线的控制作用
让一束单色光从空气射向玻璃 棱镜的一个侧面，光线经过棱 镜两次折射从另一侧面射出时， 将向棱镜的底部方向偏折，如
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第十三章 13.2 第1课时绝对值不等式
§13.2不等式选讲第1课时绝对值不等式1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．概念方法微思考1．绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示当a，b不共线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边．2．用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把数轴分成几段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( × ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( √ )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( × ) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) 题组二 教材改编2．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D ．(－2,1]∪[4,7)答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．3．求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．解 (1)当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1；(2)当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4；(3)当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 题组三 易错自纠4．设x ∈R ，则“x 3<1”是“⎪⎪⎪⎪x －12<12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 3<1可得x <1， 由⎪⎪⎪⎪x －12<12可得0<x <1， 所以“x 3<1”是“⎪⎪⎪⎪x －12<12”的必要不充分条件．故选B. 5．若对任意的x ∈R ，不等式|x －1|－|x ＋2|≤|2a －1|恒成立，则实数a 的取值范围为_________． 答案 (－∞，－1]∪[2，＋∞)解析 ∵y ＝|x －1|－|x ＋2|≤|(x －1)－(x ＋2)|＝3， ∴要使|x －1|－|x ＋2|≤|2a －1|恒成立， 则|2a －1|≥3,2a －1≥3或2a －1≤－3， 即a ≥2或a ≤－1，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________． 答案 R解析 ∵|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|b －a |＝|a －b |.又∵|a －b |>2，∴|x －a |＋|x －b |>2恒成立，即该不等式的解集为R .绝对值不等式的解法例1 已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1 (2020·四川省成都石宝中学模拟)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4， 解得x ≥5，所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.绝对值不等式中的最值例2 (2020·昆明诊断)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|. (1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )<x 2＋x ＋m 的解集为R ，求实数m 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于|2x ＋1|－|x －1|>1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，3x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋1>0，解得x <－3或13<x <1或x ≥1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－3或x >13.(2)由f (x )<x 2＋x ＋m 得 m >－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|. 令g (x )＝－x 2－x ＋|2x ＋1|－|x －1|， 则由题意知m >g (x )max ，又g (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x －2，x <－12，－x 2＋2x ，－12≤x ≤1，－x 2＋2，x >1，由图知g (x )max ＝1.所以m >1.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||. (3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值． 跟踪训练2 (2020·南宁模拟)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )＋x 2－1>0；(2)设g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )的解集非空，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，所以f (x )＋x 2－1>0即为⎩⎨⎧x －1＋x 2－1>0，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＋x 2－1>0，x <1，解得x >1或x <0.(2)因为g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )， 所以|x －1|＋|x ＋3|<m ， 令h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|， 由题意知m >h (x )min ，因为h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|x －1－x －3|＝4， 当且仅当(x －1)(x ＋3)≤0时等号成立， 所以h (x )min ＝4， 所以m >4.绝对值不等式的综合应用例3 已知函数f (x )＝|x －a |－12a ，a ∈R .(1)若将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数g (x )，要使g (x )≥f (x )－1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a >12时，函数h (x )＝f (x )＋|2x －1|存在零点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )向左平移m 个单位长度可知，函数g (x )＝|x ＋m －a |－12a ， 要使g (x )≥f (x )－1恒成立，则f (x )－g (x )≤1，即|x －a |－|x ＋m －a |≤1恒成立，因为|x －a |－|x ＋m －a |≤|x －a －(x ＋m －a )|＝|m |，所以只需|m |≤1，即实数m 的最大值为1.(2)当a >12时，函数h (x )＝|x －a |＋|2x －1|－12a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －12a ＋1，x <12，x ＋a －12a －1，12≤x ≤a ，3x －a －12a －1，x >a ，若函数h (x )存在零点，则满足函数h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫12＝a －12a －12≤0， 即⎩⎨⎧ a >12，a －12≤12a ，因为函数y ＝x －12与函数y ＝12x 的图象有且只有一个交点⎝⎛⎭⎫1，12， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3 (2019·全国Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0.所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．1．对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪a －12≤12， 所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪(3a －3b )＋⎝⎛⎭⎫a －12＋52 ≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6， 即|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.即实数m 的取值范围为[6，＋∞)．2．已知函数f (x )＝|2x ＋3|－|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥2；(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3,5]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥2，即|2x ＋3|－|x －1|≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x <－32，－x －4≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ －32≤x ≤1，3x ＋2≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ＋4≥2， 解得x ≤－6或x ≥0，所以不等式f (x )≥2的解集为(－∞，－6]∪[0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3,5]，即|2x ＋3|－|x －3|≥|x －a |在[3,5]上恒成立，即x ＋6≥|x －a |在[3,5]上恒成立，即－6≤a ≤2x ＋6在x ∈[3,5]上恒成立，解得－6≤a ≤12，∴a 的取值范围是[－6,12]．3．已知函数f (x )＝|x |＋|x －a |.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )<4的解集；(2)若f (x )≥1对任意x ∈R 成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )<4可化为|x |＋|x －2|<4.讨论：①当x <0时，不等式等价于－x －(x －2)<4，所以x >－1，所以－1<x <0；②当0≤x ≤2时，不等式等价于x －(x －2)<4，所以2<4，所以0≤x ≤2；③当x >2时，不等式等价于x ＋(x －2)<4，所以x <3，所以2<x <3.综上，当a ＝2时，不等式f (x )<4的解集为{x |－1<x <3}．(2)因为|x －(x －a )|≤|x |＋|x －a |，所以|x |＋|x －a |≥|a |.又因为f (x )＝|x |＋|x －a |≥1对任意x ∈R 成立，所以1≤|a |，所以a ≤－1或a ≥1. 故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．4．(2019·湖南师范大学附属中学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |.(1)当a ＝－1时，解不等式f (x )≥2；(2)若存在x 0满足f (x 0)＋2|x 0＋1|<1，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|＋|3x －1|，当x ≥13时，不等式等价于x ＋1＋3x －1≥2， 解得x ≥12，∴x ≥12； 当－1<x <13时，不等式等价于x ＋1－3x ＋1≥2， 解得x ≤0，∴－1<x ≤0；当x ≤－1时，不等式等价于－x －1－3x ＋1≥2，解得x ≤－12，∴x ≤－1. 综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0或x ≥12. (2)由f (x 0)＋2|x 0＋1|<1，得3|x 0＋1|＋|3x 0＋a |<1，而3|x 0＋1|＋|3x 0＋a |＝|3x 0＋3|＋|3x 0＋a |≥|(3x 0＋3)－(3x 0＋a )|＝|3－a |，(当且仅当(3x 0＋3)(3x 0＋a )≤0时等号成立)由题意可知(f (x )＋2|x ＋1|)min <1，即|a －3|<1，解得2<a <4，所以实数a 的取值范围是(2,4)．5．(2020·绵阳诊断)已知函数f (x)＝|2x－1|＋|x＋m|.(1)当m＝1时，解不等式f (x)≥3；(2)证明：对任意x∈R,2f (x)≥|m＋1|－|m|.(1)解由m＝1，得f (x)＝|2x－1|＋|x＋1|，当x≤－1时，f (x)＝－3x≥3，解得x≤－1；时，f (x)＝－x＋2≥3，当－1<x<12解得x≤－1，与－1<x<1矛盾，舍去；2时，f (x)＝3x≥3，解得x≥1.当x≥12综上，不等式f (x)≥3的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)证明2f (x)＝|4x－2|＋|2x＋2m|＝|2x－1|＋|2x－1|＋|2x＋2m|≥|2x－1|＋|2x＋2m|≥|(2x＋2m)－(2x－1)|＝|2m＋1|＝|(m＋1)＋m|≥|m＋1|－|m|，∴不等式2f (x)≥|m＋1|－|m|成立．6．设f (x)＝|x＋1|－|2x－1|.(1)求不等式f (x)≤x＋2的解集；(2)若不等式满足f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)对任意实数(x ≠0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)根据题意可知，原不等式为|x ＋1|－|2x －1|≤x ＋2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－x －1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤12，x ＋1＋2x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x ＋1－2x ＋1≤x ＋2， 解得x <－1或－1≤x ≤12或x >12. 综上可得不等式f (x )≤x ＋2的解集为R .(2)不等式f (x )≤12|x |(|a －2|＋|a ＋1|)等价于|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x ＋1|－|2x －1||x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪2－1x ≤⎪⎪⎪⎪1＋1x ＋2－1x ＝3， 当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫2－1x ≤0时取等号， 因为|x ＋1|－|2x －1||x |≤12(|a －2|＋|a ＋1|)， 所以|a －2|＋|a ＋1|≥6，解得a ≤－52或a ≥72， 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞.。
【步步高】届高三数学大一轮复习 基本不等式及其应用学案 理 新人教A版
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
7．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．
A．2B．2C．4D．5
4．一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于2km，那么这批货物全部运到B市，最快需要()
A．6 hB．8 hC．10 hD．12 h
5．(2011·宁波月考)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为()
5．A
6．18
解析 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即()2－2－6≥0，
∴(－3)·(＋)≥0.
又∵>0，∴≥3，即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7．4
解析 过原点的直线与f(x)＝交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝kx，由得或
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；≥成立的条件是a，b∈R＋；＋≥2成立的条件是ab>0，即a，b同号．
【2022高考数学一轮复习(步步高)】第一章 §1.5 一元二次不等式及其解法
§1.5一元二次不等式及其解法考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅3.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.微思考1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？提示二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )(4)x －a x －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,3) B ．(1,3) C ．(3,4) D ．(－2,4)答案 B解析 由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝(1,3)．3．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.4．函数y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是____________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4,1,3,5}，则A ∩B 等于( ) A ．{－4,1} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 答案 D解析 ∵A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |(x ＋1)(x －4)<0}＝{x |－1<x <4}，B ＝{－4,1,3,5}， ∴A ∩B ＝{1,3}．(2)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案 B解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0， 解得－2<x ≤1.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．解 当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.(2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2]答案 D解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2,2]．命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32解析 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．跟踪训练2 (1)若不等式ax 2－x ＋a >0对一切实数x 都成立， 则实数a 的取值范围为( ) A ．a <－12或a >12B ．a >12或a <0C ．a >12D ．－12<a <12答案 C解析 当a ＝0时，－x >0不恒成立，故a ＝0不合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0. 解得a >12.(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x 1<0，x 2<0)两个正根即两根都大于0(x 1>0，x 2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x 1<0<x 2)大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，f (0)>0f (0)<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <0，f (0)<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >0，f (0)<0f (0)>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，a ·f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，a ·f (0)>0a ·f (0)<0表二：(两根与k 的大小比较)分布情况两根都小于k 即x 1<k ，x 2<k两根都大于k 即x 1>k ，x 2>k一个根小于k ，一个根大于k 即x 1<k <x 2大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，f (k )>0f (k )<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >k ，f (k )<0f (k )>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，a ·f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，a ·f (k )>0a ·f (k )<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m ，n )内两根有且仅有一根在(m ，n )内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n < p <q大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )>0，f (n )>0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )>0，f (n )<0，f (p )<0，f (q )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0 大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )<0，f (n )<0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )>0，f (p )>0，f (q )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )·f (n )>0，m <－b 2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n ，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (n )<0；(2)a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )>0，f (n )>0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1.例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)， 由(2m ＋1)·f (0)<0 ，即(2m ＋1)(m －1)<0， 解得－12<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1.例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0 ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <3－22或m >3＋22，m >0 ⇒0<m <3－22或m >3＋22， 即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．解 由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0 ⇒－2<m <－12， 即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 课时精练1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3) 答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ t <x <1t 答案 D解析 原不等式可化为(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0， ∵0<t <1，∴t <1t， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t . 3．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a＝－1，－b ＝3， 即a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32， 故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析 由题设，产量为x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，则( )A ．a 2－b 2≤4B ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a 2－4b ＝0，即a 2＝4b >0. 对于A ，a 2－b 2≤4等价于b 2－4b ＋4≥0，显然(b －2)2≥0，故A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ×1b ＝4，当且仅当4b ＝1b >0，即b ＝12时，等号成立，故B 正确； 对于C ，因为不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，故x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，因为不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根为x 1，x 2，故可得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝2c ＝4，故可得c ＝4.7．不等式x ＋2x －1>2的解集为________． 答案 {x |1<x <4}解析 原不等式可化为x ＋2x －1－2>0， 即(x ＋2)－2(x －1)x －1>0，即4－x x －1>0， 即(x －1)(x －4)<0，解得1<x <4，∴原不等式的解集为{x |1<x <4}．8．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－4(k ＋1)>0，k ＋1<0， 解得k <－1.9．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)解析 f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4>0 ⇒x <1或x >3.10．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，－1)∪(3,4]解析 不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，可化为(x －1)(x －a )<0，当a ＝1时，不等式为(x －1)2<0，解集为∅，舍去，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，则3<a ≤4，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，则－2≤a <－1，综上有－2≤a <－1或3<a ≤4.11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0， 解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.13．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 021，又f (a )＝f (b )＝2 021，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.14．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．答案 －5解析 不等式f (x )≥m 可化为x 2－2x －3＋m ≤0，令x 2－2x －3＋m ≤0的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，则x 2－x 1＝6，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －3， 又∵(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，∴4－4(m －3)＝36，即m ＝－5.16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6， 可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0， 解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16； 当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0， 综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。
【步步高】高三数学大一轮复习一元二次不等式及其解法课件
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
例 2 求不等式 12x2－ax>a2 (a∈R)的解集. 思维启迪：先求方程 12x2－ax＝a2 的根，讨论根的
大小，确定不等式的解集. 解 ∵12x2－ax>a2，∴12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)=0， 得：x1＝－a4，x2＝a3. ①a>0 时，－a4<a3，解集为x|x<－a4或x>a3； ②a＝0 时，x2>0，解集为{x|x∈R 且 x≠0}；
∴2x2＋4x＋3<0 的解集为∅. (2)原不等式等价于 3x2＋2x－8≥0 ⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇒x≤－2 或 x≥43. ∴不等式的解集为(－∞，－2］∪［43 ,+ ∞).
(3)原不等式等价于 16x2－8x＋1≤0⇔(4x－1)2≤0. ∴只有当 4x－1＝0，即 x＝14时不等式成立， 故不等式解集为14.
值范围为( B ) A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪［1，＋∞)
C.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－3)∪［1，＋∞)
解析 ∵f(x0)>1，∴x20x≥0＋11>1 或xx002－<12x0－2>1 ， 解得 x0∈(－∞，－1)∪［1，＋∞).
题型分类 深度剖析
题型一 一元二次不等式的解法 例 1 解下列不等式：
基础自测 1.不等式 x2<1 的解集为_{_x_|_－__1_<_x_<_1_}_.
解析 x2<1，则－1<x<1， ∴不等式的解集为{x|－1<x<1}. 2.函数 y＝ x2＋x－12的定义域是_(_－__∞__，__－__4_］__∪__［__3_，__＋__∞__)_.
【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 《不等式》
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理 2.两个实数比较大小的方法
难点正本 疑点清源 2.理解不等式的思想和方法
(1)作差法是证明不等式的最基 本也是很重要的方法，应引起 高度注意，要注意强化． (2)加强化归意识，把比较大 小问题转化为实数的运算． (3)通 过复 习要强 化不等 式 “运算”的条件．如 a>b、 c>d 在什么条件下才能推出 ac>bd. (4)强化函数的性质在大小比 较中的重要作用，加强知识 间的联系．
解析
①中， 2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1， b 为正实数， a－b≥1， a a， 若
则必有 a＋b>1，不合题意，故①正确．
1 1 a－b ②中，b－a＝ ab ＝1，只需 a－b＝ab 即可． 2 4 如取 a＝2，b＝ 满足上式，但 a－b＝ >1，故②错． 3 3
③中，a，b 为正实数，所以 a＋ b>| a－ b|＝1，
要点梳理
难点正本 疑点清源 2.理解不等式的思想和方法
3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性： a>b， b>c⇒ a>c ； (3)可加性： a>b⇔a＋c > b＋c， a>b，c>d⇒a＋c > b＋d； (4)可乘性： a>b， c>0⇒ac > bc， a>b>0，c>d>0⇒ac > bd；
所以实数 m
3 1 ，3∪－ . 的取值范围是 2 2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
(步步高)(新人教)高考数学第一轮复习精品课件集合与常用逻辑用语(共3课时,91页PPT)
1 4 则 a 8 a 2 ， ∴ 1 1 a 2 2 a
1 ∴- ＜a＜0； 2 当a>0时，若B A，如图,
1 1 a 2 a 2 则 , 1 a 4 2 2 a 0 a 2 . 1 综上知， 当B A时， a 2 . 2
解 A
①若a=0，则A=R
1 4 ②若a＜0，则A={x| ≤x＜- }; a a a 4 ③若a＞0,则A= {x|- ＜x≤ }. 1 a
（1）当a=0时，若AB，此种情况不存在. 当a＜0时，若A B，如图,
4 1 则 a 2 1 2 a
a 8 ∴
B.
1.（2008·山东，1）满足M {a1，a2，a3，aa2}的集合M的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
4
（B
）
解析
由题意知a1,a2必属于M,a3
M,a 不一定,故选B.
2.（2009·安徽怀远三中月考）若A={2，3，4 }B={x|x=m
论；④归纳结论.
UB)
画出满足条件的 Venn 图，如图，
由图可知A∩( UB)= .
题型一 集合的概念 bb 若a，b R，集合{1,a+b，a}={0， a
，b}，求
a的值. 【思维启迪】 能a+b=0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别 b 求 a 出a 、b的值即可. 解 由{1,a+b,a}={0, ,b }可知a≠0, a b 0 则只能a+b=0,① 则有以下对应关系：
B
若A含有n个元素，则A的子集有 2n-1 ，A的非空真子集有 2n-2 个. 7.集合相等 若A B且B A，则A=B.
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 常考题型强化练 不等式第七章课件 理 新人教A版汇总
x＋y≤12， 2x＋y≤19， 别为 x，y，则根据条件得 x，y 满足的约束条件为10x＋6y≥72， x≤8，y≤7， x∈N*，y∈N*，
A组 专项基础训练
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3．(2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重
(2)设工作台从左到右的人数依次 意一点时，均能使函数 d(x)取得最
为 2,1,3，试确定供应站的位置， 小值，且最小值为 3x3－x2－2x1. 并求所有工人到供应站的距离之
和的最小值．
A组 专项基础训练
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9．(12 分)某市政府为了造宜居城市，计划在 公园内新建一个如图所示的矩形 ABCD 的 休闲区，内部是矩形景观区 A1B1C1D1，景观 区四周是人行道，已知景观区的面积为 8 000 平方米，人行道的 宽为 5 米(如图所示)． (1)设景观区的宽 B1C1 的长度为 x(米)，求休闲区 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数； (2)规划要求景观区的宽 B1C1 的长度不能超过 50 米，如何设计景 观区的长和宽，才能使休闲区 ABCD 所占面积最小？
数学 川（理）
常考题型强化练——不等式
第七章 不等式
A组 专项基础训练
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A组 专项基础训练
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1．“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件
【步步高】高考数学大一轮复习 常考题型强化练 函数配套课件 理 新人教A版
取得最小值 b，则函数 g(x)
＝1a|x＋b|的图象为
(
)
练出高分
A组 专项基础训练
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2．已知函数 f(x)＝x－4＋x＋9 1，
解析
由基本不等式得
f(x) ＝ x ＋ 1 ＋
x∈(0,4)，当 x＝a 时，f(x)
取得最小值 b，则函数 g(x)
＝1a|x＋b|的图象为
因此函数的定义域为－12，12，则有 0<b≤12，
∴ab＝2b∈(20,
2
1 2
]＝(1，
2]，故应选 A.
练出高分
A组 专项基础训练
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5．已知函数
f(x)＝
log1
2
x＋1x≥1，
则不等式 f(3－x2)>f(2x)的
1x<1，
解集为___________．
则 f(x1)－f(x2)＝a(2 x1－2 x2)＋b(3 x1－3 x2)．
∵2 x1<2 x2，a>0⇒a(2 x1－2 x2)<0，
3 x1<3 x2，b>0⇒b(3 x1－3 x2)<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，函数 f(x)在 R 上是增函数． 当 a<0，b<0 时，同理，函数 f(x)在 R 上是减函数．
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1．(2011·四川)函数 y＝12x＋1 的图象关于直线 y＝x 对称的图象大
致是
()
解析
《步步高》届高考数学大一轮复习课件(人教A版)易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语(共36张PPT)
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(A )
解析
若“a＝1”，则函数 f(x)＝|x－a|＝|x－1|在区间[1，＋∞)上为 增函数；而若 f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数，则 0≤a≤1，所以“a＝1”是“函数 f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞) 上为增函数”的充分不必要条件，选 A.
根；②q：存在一个整数 b，使函数 f(x)＝x2＋bx＋1 在[0，＋∞)
上是单调函数；③r：存在 x∈R，使 x2＋x＋1≥0 不成立．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析
由于命题 p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；
命题 q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；
命题 r 是假命题，∴命题③的否定是真命题． 故只有一个是正确的，故选 B.
的否定是“>0”，故选 C.
A组 专项基础训练
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3．“x>1”是“1x<1”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 解析
D．既不充分也不必要条件
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 5:15:55 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
18-19版：复习课（步步高）
跟踪训练 3
当
0＜x＜π2时，函数
1＋cos 2x＋8sin2x
f(x)＝
sin 2x
的最小值为
A.2
B.2 3
√C.4
D.4 3
解析
f(x)＝2c2ossi2nx＋xc8ossixn2x＝csoins
xx＋4csoisn
x x.
∵x∈0，π2，∴cos x＞0，sin x＞0.
故 f(x)＝csoins xx＋4csoisnxx≥2 等号成立.故选 C.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.
方法二 3≤|x－2|＜4⇔3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3⇔5≤x＜6或－2＜
x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.
1234
解答
规律与方法
1.本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式 的解法. 2.重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证 明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式. 3.重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值 不等式有解、解集是空集或恒成立问题.
5.绝对值三角不等式 (1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数 轴上两点间的距离. (2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立). (3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立). (4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0， 右边“＝”成立的条件是ab≥0). (5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0， 右边“＝”成立的条件是ab≤0).
2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第7章 不等式 7.1
第五十七页，编辑于星期六：解三点析十答七案分。
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思第维三升十四华页，编辑于星期六：解三点析十答七分案。
(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是____③____. ①a－1 b>1b ②a2<ab
跟踪训练3
③||ba||<||ba||＋＋11 ④an>bn 解析 (特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正
确；
③中，||ba||<||ba||＋ ＋11⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
第五十八页，编辑于星期六：解三点析十答七案分。
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7.设 a>b>c>0，x＝ a2＋b＋c2，y＝ b2＋c＋a2，z＝ c2＋a＋b2， 则 x，y，z 的大小关系是__z_>_y_>_x__.(用“>”连接) 解析 方法一 y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x. 同理，z>y，∴z>y>x. 方法二 令a＝3，b＝2，c＝1，则 x＝ 18，y＝ 20， z＝ 26，故 z>y>x.
解析答案 第三十九页，编辑于星期六：三点 十七分。
易错警示系列
第四十一页，编辑于星期六：三点 十七分。
易错警示系列 7.不等式变形中扩大变量范围致误
【步步高】高三数学大一轮复习 7
7.2 一元二次不等式及其解法一、填空题1.若a<0,则不等式22230x ax a --<的解集是 .解析 ∵22230x ax a --=, ∴123x a x a =,=-. 又a<0,∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}. 答案 {x|3a<x<-a}2．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝ . 解析 由x 2－2x －3<0，得(x －3)(x ＋1)<0，即－1<x <3. ∴A ＝{x |－1<x <3}．又∵B ＝{x |1≤x ≤4}， ∴A ∩B ＝{x |1≤x <3}． 答案 {x |1≤x <3}3.已知不等式ax 2＋bx ＋1≥0的解集为{x|－5≤x≤1}，则a ＋b 等于 . 解析 由题意得，a ＜0且－5＋1＝－b a ，－5×1＝1a ，∴a ＝－15，b ＝－45，∴a ＋b ＝－1.答案 －14．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0 即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 (2,3)5．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________． 解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝ (x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0， 故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 (－2,1)6．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是________． 解析 由5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5，而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4， 所以4≤a5＜5，所以80≤a ＜125.答案 [80,125)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＞x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋1＞x ，解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0. 答案 {x |x ≠0}8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥22x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2， 则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3. 答案 (－1,3)9．不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值集合为________．解析 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]． 答案 (－∞，0]10．不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞2}，则a ，b 的值依次为________． 解析 由题意，1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0两根，所以a ＝－3，b ＝2. 答案 －3,211．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1，所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1. 答案 (－∞，2－1]12．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪e 2x ＋13－x ＜1，则A ∩B ＝________. 解析 由|2x －1|＜3，得－3＜2x －1＜3，即－1＜x ＜2，A ＝{x |－1＜x ＜2}．由e 2x ＋13－x ＜1，得2x ＋13－x ＜0，即(2x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＜－12或x ＞3，B ＝{x |x ＜－12或x ＞3}．故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－1213．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路．甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”． 乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”． 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是________． 解析 采用丙的方法：由xy ≤ax 2＋2y 2，得ax 2≥xy －2y 2，a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2.因为x ∈[1,2]，y ∈[2,3]， 所以1≤y x≤3.所以y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18.当yx＝1，即x ＝2，y ＝2时取最大值－1，所以a ≥－1. 答案 [－1，＋∞) 二、解答题14.已知不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a,b;(2)解不等式2()ax ac b x -++bc<0.解析 (1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{x|x<1或x>b}, 所以x=1与x=b 是方程2ax -3x+2=0的两个实数根,且b>1. 由根与系数的关系,得3121b a b a ⎧+=,⎪⎨⎪⨯=.⎩解得 12a b =,⎧⎨=.⎩ 所以 12a b =,⎧⎨=.⎩(2)原不等式2()ax ac b x -++bc<0,可化为2(2)x c x -++2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2}; ③当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.综上所述:当c>2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为{x|c<x<2}; 当c=2时,不等式2()ax ac b x -++bc<0的解集为∅.15．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )，x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可．解析 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0， ∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数． 则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围.16．已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －ax －a 2＋1＜0，x ∈R.(1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围； (2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解析 (1)若4∈B ，则4－a3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜ 4. ∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)． (2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}． ①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在．③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.17．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0， 即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅. ②当Δ＞0时，即b ＞－6时，方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ， 所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． 综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅；b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0， 即3x 2－a (6－a )x －b ＜0.因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.18．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解析 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73.此不等式组无解．③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7，⇔－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2]．。
2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第6章 不等式 6.5
第二十六页，编辑于星期六：解三点析十答七案分。
题型三 绝对值不等式的综合应用
例3 设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.
(1)解不等式f(x)<－1；
解 ∵函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|
4，x<－1， ＝2－2x，－1≤x≤3，
－4，x>3，
故由不等式 f(x)<－1 可得 x>3 或2－－12≤x<x≤－31.，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
第二十二页，编辑于星期六：解三点析十答七案分。
(2) 对 于 实 数 x ， y ， 若 |x － 1|≤1 ， |y － 2|≤1 ， 则 |x － 2y ＋ 1| 的 最 大 值 为
D.[－4，－2]
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
1 23 45
解析答案 第十页，编辑于星期六：三点 十七分。
4.(2015·重庆)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________. 解4析或－由6 于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|， 当a>－1时，
思第维十七升页华，编辑于星期六：三解点析十七答分。案
(1)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.
跟踪训练1
第十九页，编辑于星期六：三解点 析十七答分。案
(2)设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为 A，且32∈A，12∉A，则 a＝____1____.
【步步高】高考数学大一轮复习 7.3 二元一次不等式(组)配套名师课件 理 新人教A版
思维启迪 解析 答案
所表示的平面区域被直线 y＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则 k
的值是
()
A.73
B.37
C.43
D.34
探究提高
题型分类·深度剖析
题型一
二元一次不等式(组)表示的平面区域
x≥0， 【例 1】 若不等式组x＋3y≥4，
3x＋y≤4
所表示的平面区域被直线 y＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则 k
题型二
求线性目标函数的最值
【例 2】 已知 x，y 满足条件
7x－5y－23≤0 x＋7y－11≤0 4x＋y＋10≥0
，求 4x－3y 的最
大值和最小值．
思维启迪
解析
探究提高
(1) 线 性 目 标 函 数 的 最 大 ( 小 ) 值 一般在可行域的顶点处取得，也 可能在边界处取得． (2)求线性目标函数的最优解， 要注意分析线性目标函数所表
名称
意义
经常采用“直线定
约束 条件
由变量x，y组成的一次 不等式
界，特殊点定域”的
线性约 由x，y的 一次 不等式 束条件 (或方程)组成的不等式组
方法．
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
目标 函数 线性目 标函数 可行解 可行域
最优解
线性规 划问题
欲求_最__大__值__或_最__小__值__的函数
解方程组74xx－＋5y＋y－1203＝＝00 ，得xy＝＝－－61 ， 则 A(－1，－6)．
解方程组x4＋ x＋7yy－ ＋1110＝＝00 ，得xy＝＝2－3 .
动画展示
则 B(－3,2)，因此 4x－3y 的最大值和最小值分别为 14，－18.
【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)不等式选讲文档专练 文 新人教A版选修4-5
选修4－5不等式选讲1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔________；a＝b⇔________；a<b⇔________.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么________；如果________，那么a>b.即a>b⇔________.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么________．(3)可加性：如果a>b，那么____________．(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么________；如果a>b，c<0，那么________．(5)乘方：如果a>b>0，那么a n________b n(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那么na________nb(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤________.(2)性质2：|a|－|b|≤________.性质3：________≤|a－b|≤________.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|①|ax＋b|≤c⇔______________；②|ax＋b|≥c⇔______________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．5．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2________ab ，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3abc ，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ________na 1a 2…a n ，当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的____________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为__________． 2．不等式1<|x ＋1|<3的解集为__________________．3．(2013·福建改编)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .则a 的值为________．4．已知a 、b 、m 均为正数，且a <b ，M ＝ab ，N ＝a ＋m b ＋m ，则M 、N 的大小关系是________．5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为__________.题型一 含绝对值的不等式的解法例1 (2012·课标全国)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．思维升华解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．题型二柯西不等式的应用例2已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．题型三 不等式的证明方法例3 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2) a bc＋ b ac＋ cab≥3(a ＋b ＋c )．绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.思维启迪 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法． 规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .[4分]∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.[8分] 所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.[10分] 方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32.[3分]当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分] 当x ≥1时，原不等式可以化为 x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.[10分]方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.[3分]作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，[8分]即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.[10分] 温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．3．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防范1．理解绝对值不等式的几何意义． 2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组 专项基础训练1．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .2．(2013·江苏)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .3．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.4．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.5．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．6．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．B 组 专项能力提升1．若n ∈N *，S n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，求证：n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．3．(2012·福建)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.4．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.答案要点梳理1．a －b >0 a －b ＝0 a －b <02．(1)b <a b <a b <a (2)a >c (3)a ＋c >b ＋c (4)ac >bc ac <bc (5)> (6)>3．(1)|a |＋|b | (2)|a ＋b | |a |－|b | |a |＋|b |4．(1){x |－a <x <a } ∅ ∅ {x |x >a 或x <－a }{x |x ∈R 且x ≠0} R(2)①－c ≤ax ＋b ≤c ②ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c5．(2)≥ a ＝b 正数 不小于(即大于或等于)(3)①x ＝y 大 ②x ＝y 小6．(1)≥ a ＝b ＝c 不小于(2)不小于 ≥ a 1＝a 2＝…＝a n8．(1)①a －b >0 ②a b>1 (2)充分条件 (4)相反 (5)放大或缩小夯基释疑1．{x |－1<x <1} 2.(－4，－2)∪(0,2)3．1 4.M <N 5.a >b >c题型分类·深度剖析例1 解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．跟踪训练1 解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5. 从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 例2 证明 由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )， 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤[(23)2＋(12)2](3x 2＋2y 2) ≤(43＋12)×6＝116×6＝11， ∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.跟踪训练2 解 由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，①得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425. 不等式①中当且仅当x 3＝y 4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，解得⎩⎨⎧ x ＝625，y ＝825. 因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425. 例3 证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，(1a －1)·(1b －1)·(1c－1) ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8. (2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得 3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca＝(a ＋b ＋c )2. 又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3，∴a ＋b ＋c ≤ 3.跟踪训练3 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2 (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2) a bc ＋ b ac ＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c . 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac 2. ∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．∴原不等式成立．练出高分A 组1．解 |x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．2．证明 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .3．证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋ ⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.4．证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 5．解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .6．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.B 组1．证明 ∵n (n ＋1)>n 2，∴S n >1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.又∵n (n ＋1)<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12， ∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12) ＝n (n ＋1)2＋n 2＝n 2＋2n 2<(n ＋1)22. ∴n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22. 2．解(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋1－a ⎝⎛⎭⎫x <－a 2a ＋1 ⎝⎛⎭⎫－a 2≤x <124x ＋a －1 ⎝⎛⎭⎫x ≥12当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 3．(1)解 因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1， 又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥(a ·1a ＋2b ·12b＋3c ·13c)2＝9. 4．证明 因为a ，b ，c 是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc . 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥2 3abc·abc ＝23， 当且仅当a ＝b ＝c 且abc ＝3时，取等号．所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.。
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则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的
年平均费用最少)
A．8
B．9
C．10
(C ) D．11
解 析 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元．
由已知，得 y＝10＋0.9x＋x0.2x2＋2 0.2x， 即 y＝1＋1x0＋1x0(x∈N*)． 由基本不等式知 y≥1＋2 1x0·1x0＝3，当且仅当1x0＝1x0，即 x＝10 时取等号．因此使用 10 年报废最合算，年平均费用为 3 万元．
则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的
年平均费用最少)
()
A．8
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C．10
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解析
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2．某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9
千元，这种生产设备的维修费各年为第一年 2 千元，第二年 4
千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，
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3．(2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重 量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车．某天需 送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派 用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用 的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司 合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z 为( ) A．4 650 元 B．4 700 元 C．4 900 元 D．5 000 元
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
解析
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(A )
不等式|x|<2 的解集是(－2,2)，而不等式 x2－x－6<0 的解 集是(－2,3)，于是当 x∈(－2,2)时，可得 x∈(－2，3)， 反之则不成立，故选 A.
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2．某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备的维修费各年为第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增，
＋1<0，即 αβx2－(α＋β)x＋1<0，可得(αx－1)(βx－1)<0， 即x－α1x－1β<0，所以其解集是1β，α1，故选 C.
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5．已知 x>0，y>0，且2x＋1y＝1，若 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数
m 的取值范围是____________．
数学 R A（理）
常考题型强化练——不等式
第七章 不等式
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1．“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
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1．“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件
A．4 650 元 B．4 700 元 C．4 900 元 D．5 000 元
解析
目标函数 z＝450x＋350y.作出约束条件所表示的平面区域，
然后平移目标函数对应的直线 450x＋350y＝0 知，当直线
经过直线 x＋y＝12 与 2x＋y＝19 的交点(7,5)时，目标函数
取得最大值，即 z＝450×7＋350×5＝4 900.
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3．(2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重 量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车．某天需 送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派 用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用 的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司 合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z 为( ) A．4 650 元 B．4 700 元 C．4 900 元 D．5 000 元
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5．已知 x>0，y>0，且2x＋1y＝1，若 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数
m 的取值范围是__(_－__4_,_2_)____．
解析
∵x>0，y>0，且2x＋1y＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)2x＋1y＝4＋4xy＋xy
≥4＋2 4xy·yx＝8，当且仅当4xy＝xy， 即 4y2＝x2，x＝2y 时取等号，又2x＋1y＝1，此时 x＝4，y＝2， ∴(x＋2y)min＝
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4．一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(α，β)(α>0)，则不等式 cx2
＋bx＋a>0 的解集为
(C )
A.α1，1β
B.－α1，－1β
C.1β，α1
D.－1β，－α1
解析
∵不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(α，β)，则 a<0，α＋β ＝－ba，αβ＝ac，而不等式 cx2＋bx＋a>0 可化为acx2＋bax
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4．一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(α，β)(α>0)，则不等式 cx2
＋bx＋a>0 的解集为
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A.α1，1β
B.－α1，－1β
C.1β，α1
D.－1β，－α1
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量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车．某天需 送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派
用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用 的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司
合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z 为( C )
解 析 设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分
x＋y≤12， 2x＋y≤19， 别为 x，y，则根据条件得 x，y 满足的约束条件为10x＋6y≥72， x≤8，y≤7， x∈N*，y∈N*，
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3．(2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重