高中数学优质学案 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示_2.3.3 平面向量的坐标运算(创新设计)

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示(重点).2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点).3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来(易错点)．

知识点1平面向量的坐标表示

1．平面向量的正交分解：把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．

2．基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．

3．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．

4．坐标表示：a＝(x，y)．

5．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

【预习评价】

思考根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1．

[答案]a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3) 知识点2平面向量的坐标运算

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：

【预习评价】

已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝________．[解析]2a－b＝2(2,4)－(－1,1)＝(5,7)．

[答案](5,7)

题型一 平面向量的坐标表示

【例1】 如图，在直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．

(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →

的坐标； (3)求点B 的坐标．

解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos 45°＝4×2

2

＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×

2

2

＝22， ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)．

∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.又OC ＝AB ＝3．

∴C ⎝⎛⎭⎫－32，323，∴AB →＝OC →

＝⎝⎛⎭⎫－32，323， 即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，3

23． (2)BA →＝－AB →

＝⎝⎛⎭⎫32

，－323． (3)OB →＝OA →＋AB →

＝(22，22)＋(－32，323)

＝⎝

⎛⎭⎫

22－32，22＋332．

∴点B 的坐标为(22－32，22＋33

2)．

规律方法 求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．

(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

【训练1】 已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →

＝－3a ，则点N 的坐标为( )

A ．(2,0)

B ．(－3,6)

C ．(6,2)

D ．(－2,0)

[解析] MN →

＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设N (x ，y )，则MN →

＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝0.

[答案] A

题型二 平面向量的坐标运算

【例2】 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →

＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)

D ．(1,4)

[解析] 设C (x ，y )，则AC →

＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4， －2)，则BC →

＝(－7，－4)，故选A ． [答案] A

(2)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →

的

坐标．

解 因为AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →

＝(－10,14)， 所以AB →＋2BC →

＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)，

BC →－12AC →

＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．

规律方法 平面向量坐标运算的技巧

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

【训练2】 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求下列向量的坐标： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b ．

解 (1)2a ＋3b ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝(－12，1)－(23，13)＝(－76，23

).

方向1 由相等的向量求参数的值

【例3-1】 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．

[解析] m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，

即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝2，n ＝5，