初中数学竞赛辅导资料20
初中数学竞赛辅导资料(20)代数恒等式的证明
初中数学竞赛辅导资料（20）代数恒等式的证明甲内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，乙例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+a c cb b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1证明：由己知a-b=bc c b b c -=-11 ∴bc=b a c b -- b-c=ca ac c a -=-11∴ca=c b a c -- 同理ab=a c ba -- ∴ab bc ca ＝a cb a --b ac b --c b a c --＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222nc mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0丙练习201． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：a c zc b yb a x-=-=- 求证：x+y+z=010.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 点共线与线共点(含答案)
第二十讲 点共线与线共点趣题引路】例1 证明梅涅劳斯定理：如图20-1，在△ABC 中，一直线截△ABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于D 、E 、F 三点。
求证：1=⋅⋅DBADEA CE FC BF 解析:左边是比值的积，而右边是1，转化比值使其能约简，想到平行线分线段成比例作平行线即可. 证明过点C 作CG /∥EF 交AB 于G . ,,BF BD EC DGCF DG AE AD∴== ∴1=⋅⋅=⋅⋅BDADAD DG DG BD BD AD EA CE FC BF例2 证明塞瓦定理：如图20-2，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与BC 、CA 、AB 相交于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 证明,,.BCP ACPABP ACP BAP BCPS S S BD CE AF DC S EA S FB S ∆∆∆∆∆∆===∴1=⋅⋅=⋅⋅∆∆∆∆∆∆BCPACPABP BCP ACP ABP S S S S S S FB AF EA CE DC BD知识拓展】1.证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一定要掌握好证三点共线和三线共点的基本方法。
2.证明三点共线的方法是：（1）利用平角的概念，证明相邻两角互补、 （2）当AB ±BC =AC 时，A 、B 、C 三点共线。
（3）用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。
（4）当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。
（5）若B 在PQ 上，A 、C 在P 、Q 两侧，∠ABP =∠CBQ 时，A 、B 、C 三点共线. （6）利用梅涅劳斯定理的逆定理. 3.证明三线共点的基本方法是：（1）证明其中两条直线的交点在第三条直线上 （2）证明三条直线都经过某一个特定的点.（3）利用已知定理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线交于一点以及三条高所在直线交于一点等。
初中数学培优辅导资料(11—20讲)(1)
初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）乙例题例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。
解得a=10, c ≠14。
③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=23152331a y a x ∵⎩⎨⎧>>00y x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-0231502331a a解不等式组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><531331a a 解集是6311051<<a 答：当a 的取值为6311051<<a 时，原方程组的解是正数。
初中数学竞赛辅导资料为(完全平方数和完全平方式)
初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，，121都是完全平方数.在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围m2, (a+b－2)2, 4x2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围（a+）2, x2+2x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p2整除..若整数m能被q整除，但不能被q2整除, 则m不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a>0；如果b2－4ac=0且a>0；则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b）2 中当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如：n2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1.在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中①若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根；②若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数.2.在整系数方程x2+px+q=0中①若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根；②若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m－2, m－1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S＝（m－2）2＋（m－1）2＋m2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m2+2）.∵m2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m取什么实数时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式△=0，即（2m）2－4(m－1)(3m－2)=0.解这个方程，得m1=0.5, m2=2.解不等式m－1>0 ，得m>1.即它们的公共解是m=2.答：当m=2时，（m－1）x2+2mx+3m－2 是完全平方式.例3. 已知：(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证：a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x的二次三项式，得原式＝3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0,(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0.要使等式成立，必须且只需：解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m2(m为整数)，即（－5）2－4k=m2(m为整数)，解得，k=.∵k是非负整数，∴由25－m2≥0，得，即－5≤m≤5；由25－m2是4的倍数，得m=±1, ±3, ±5.以m的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=.求得k= 6,4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x2－5x+k=0有两个整数解例5.求证：当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）.设3k2－1＝m2(m是整数).由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立.当k为偶数，m为奇数时，左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数；右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；当k为奇数，m为偶数时，左边k2除以4余1，3k2除以4余3右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m取何整数，3k2＝m2＋1都不能成立.∴3k2－1不是整数的平方，16（3k2－1）也不是整数的平方.∴当k为整数时，方程4x2+8kx+(k2+1)=0没有有理数根丙练习461.如果m是整数，那么m2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2.如果n是奇数，那么n2－1除以4余数是＿＿，n2+2除以8余数是＿＿＿，3n2除以4的余数是＿＿.3.如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4.一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5.一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6.m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？7.m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？8.a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：①四个连续整数的积；②两个奇数的平方和.10.一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11.已知四位数是平方数，试求a, b.12.已知：n是自然数且n>1. 求证：2n－1不是完全平方数.13.已知：整系数的多项式4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数a和b的值.14.已知：a, b是自然数且互质，试求方程x2－abx+(a+b)=0的自然数解.(1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题) 返回目录参考答案。
初中数学竞赛辅导资料(七年级上)
数的整除（一）内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数a 987能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数3412X 能被11整除，那么 X ＝__________- 4．当 m=_________时，535m 能被25整除5．当 n=__________时，n 9610能被7整除 6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。
华罗庚杯初中竞赛辅导书
华罗庚杯初中竞赛辅导书一、什么是华罗庚杯初中竞赛华罗庚杯初中竞赛是一项面向初中生的数学竞赛活动，以培养学生的数学兴趣和创新能力为目标。
该竞赛以华罗庚先生，中国著名数学家和教育家，命名，旨在纪念他对中国数学事业的贡献。
二、竞赛内容与要求1. 竞赛内容华罗庚杯初中竞赛主要涵盖初中数学知识的各个领域，包括但不限于代数、几何、概率与统计等。
竞赛试题以多种形式出现，既有选择题，也有填空题和解答题，涵盖不同难度级别，以考察学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 竞赛要求参加华罗庚杯初中竞赛的学生需要具备扎实的数学基础知识，熟悉初中数学课程内容，并具备一定的数学思维和解题能力。
竞赛要求学生具备良好的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。
三、如何备战华罗庚杯初中竞赛1. 熟悉竞赛内容首先，学生需要熟悉竞赛所涉及的各个数学领域的知识点。
可以通过复习课本内容、参考辅导书和习题集等方式，系统地学习和掌握初中数学的各个知识点。
2. 解题技巧与方法除了熟悉知识点外，学生还需要掌握一些解题技巧和方法。
这包括但不限于：善于分析问题、掌握常用的解题方法、培养逻辑思维能力等。
可以通过做大量的练习题，掌握各类问题的解题思路和方法。
3. 制定学习计划为了备战华罗庚杯初中竞赛，制定一个合理的学习计划是必不可少的。
学生可以根据自己的实际情况，合理安排每天的学习时间和内容，确保能够全面复习和掌握竞赛所需的知识和技巧。
4. 合理利用资源学生可以利用各种资源来辅助备战华罗庚杯初中竞赛。
可以参加数学兴趣班或者报名参加竞赛培训班，向老师请教问题，与同学进行交流和讨论。
同时，可以利用互联网资源，如在线学习平台和数学竞赛论坛等，获取更多的学习资料和解题技巧。
四、参加竞赛的好处参加华罗庚杯初中竞赛有以下几个好处：1. 激发兴趣竞赛可以激发学生对数学的兴趣，培养对数学的热爱和探索精神。
通过参加竞赛，学生可以接触到更多有趣的数学问题和解题方法，增强对数学的兴趣和好奇心。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中奥数竞赛辅导教案
初中奥数竞赛辅导教案通过本节课的辅导，使学生掌握奥数竞赛的基本解题技巧和方法，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 数论：质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等。
2. 几何：平面几何中的点、线、面的关系，三角形、四边形的性质，圆的性质等。
3. 代数：一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等。
4. 组合数学：排列组合、计数原理、图论等。
5. 数学思维：逻辑推理、归纳总结、演绎推理等。
三、教学方法1. 实例讲解：通过具体的题目实例，讲解解题思路和方法，使学生掌握解题技巧。
2. 练习巩固：布置适量的练习题，让学生在课后进行巩固练习，提高解题能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和方法，互相学习，共同进步。
4. 竞赛模拟：定期举办模拟竞赛，检验学生的学习成果，提高学生的应试能力。
四、教学安排1. 数论：安排4课时，讲解质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等基本概念和性质。
2. 几何：安排6课时，讲解平面几何中的点、线、面的关系，三角形、四边形的性质，圆的性质等。
3. 代数：安排8课时，讲解一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等基本概念和解法。
4. 组合数学：安排4课时，讲解排列组合、计数原理、图论等基本概念和方法。
5. 数学思维：安排4课时，讲解逻辑推理、归纳总结、演绎推理等方法。
五、教学评价1. 课后练习：检查学生的课后练习情况，了解学生对知识的掌握程度。
2. 模拟竞赛：定期举办模拟竞赛，评估学生的竞赛能力和水平。
3. 学生反馈：听取学生的反馈意见，了解教学方法的适用性和改进方向。
4. 教学总结：定期进行教学总结，调整教学计划和方法，提高教学质量。
通过以上教学安排和教学方法，相信能够有效地提高学生的奥数竞赛水平，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
七年级数学竞赛第20讲 线段与角
第20讲 线段与角知能概述：线段与角是构成几何图形的最基本元素，是从现实的相关形象中抽象出来，为现实问题的解决提供有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究。
解线段与角相关问题，常用到中点、角平分线、代数化、枚举与分类讨论等概念与方法。
问题解决例1．(1)平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个。
(“希望杯”邀请赛试题)(2)如图，∠BOD =45°，∠AOE =90°，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 . (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：对于(1)，画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑；对于(2)，求它们的度数和，关键是把一些角重组，用∠BOD ，∠AOE 表示。
例2．(1)如图①，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN : PQ 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(五羊杯”邀请赛试题)(2)如图②，是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+……+∠9的度数是( )A ．270°B ．315°C ．360°D ．405°(广东省竞赛题)解题思路：对于(1)，利用中点，设法把MN ，PQ 用含相同线段的代数式表示；对于(2)，除∠3=∠5=∠7=45°，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和，关键是对图形进行恰当地处理。
例3．摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A ，B 两市相距多少千米?(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)解题思路：条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于各段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考。
初中数学竞赛辅导
第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例 题 示 范1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=na b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示：仿例5，造零。
结论：2003。
例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
初中数学竞赛辅导系列
例1 化简分式：
例２ 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
15
15
此时, x 105
若a 3,b 7,则100 c 150 ,此时无解
21
21
综上,x 102,104,105,110,114,128,130,135,136,138
余数问题
在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形 外，更多的是不能整除的情形.
被除数=除数×商+余数. 通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余
例２ 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁， 而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少 ？
解：设他们的年龄分别是x-1, x , x+1 , x+2
(x 1)x(x 1)(x 2) 5040
(x2 x)(x2 x 2) 5040
(x2 x)2 2(x2 x) 5040 0
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末 两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的 末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125） 整除.
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数 字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那 么它必能被11整除.
质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但 是奇数不一定是质数，例如，15，33，….
一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质 因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的 因数，但不是质因数.
初中数学竞赛辅导资料(总24页)
初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。
【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。
思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
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初中数学竞赛辅导资料20
第二十课乘法公式的应用
例1计算：
（1）（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）+1；（2）（19924+19923+19922+1993）×1991+1 解：（1）原式=（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）×（1-2）÷（1-2）+1
=-（1+22）（1+23）（1+24）…（1+232）+1… …=1-+264+1=264
（2）设x=1992，原式=（x 4+x 3+x 2+x+1）（x-1）+1=x 5=19925。
例2（1988年上海市初中数学竞赛试题）已知x+y=10，x 3+y 3=100，求x 2+y 2。
解1：由x 3+y 3=（x+y ）3-3xy ×10，⇒xy=30。
x 2+y 2=（x+y ）2-2xy=102-2×30=40 解2：由x+y=10，得x 2+2xy +y 2=100，……①由x 3+y 3=100，得x 2+y 2- xy=10……②
①-②，得3xy=90，⇒xy=30，∴x 2+y 2=10+xy=40
想一想 例2的两个分析，哪个用的是分析法，哪个用的是综合法。
例3设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2，n=c 2+d 2。
试将mn 表示成两个整数的平方和的形式。
解：mn=（a 2+b 2）（c 2+d 2）=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=（a 2c 2+2abcd+b 2d 2）+（b 2c 2-2abcd+ a 2d 2）
=（ac+bd ）2+（ac-ad ）2。
例4计算：（b+c-2a ）3+（c+a-2b ）3+（a+b-2c ）3-3（b+c-2a ）（c+a-2b ）（a+b-2c ） 解：设x=b+c-2a ，y=c+a-2b ，z=a+b-2c ，
∴原式=x 3+y 3+z 3-3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-yz-zx ）=0
例5设（2x-1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0。
求：（1）a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5；（2）a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5；（3）a 0+a 2+a 4。
解：（1）令x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1，……①
（2）令x=-1，得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=-243，……②
而①+②得 a 0+a 2+a 4=2
1（1-243）=-121 练习
1、填空题：
（1）（32+1）（34+1）…（364+1）×8+1= ；
（2）（1+22+23+24+…+232）+1= ；
（3）若（3x+1）5=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，则a-b+c-d+e-f= 。
2、解答下列问题：
（1）若a-a 1=3，求（a+a
1）2的值； （2）若x 2-3x+1=0，求x 3+31x
的值； （3）若x+x 1=-1，求x 1000+10001x
的值； （4）若x+y=1，x 2+y 2=2，求x 7+y 7的值；
3、已知：（y-z ）2+（x-y ）2+（z-x ）2=（y+z-2x ）2+（z+x-2y ）2+（x+y-2z ）2， 求)1)(1)(1()
1)(1)(1(222++++++z y x xy zx yz 的值。
（84年重庆市初中数学竞赛题）
4、已知x-x 1
=2，求x 3-31
x +x 2-2x 的值。
（1990年四川初中数学联赛题）
5、把（x 2-x+1）6展开后，得a 12x 12+a 11x 11+a 10x 10+…+a 1x+a 0，求a 12+a 10+a 8+a 6+ a 4+a 2+a 0的值。
6、已知x 1-y 1
=3，求y xy x y
xy x ---+2232的值。
（1984年武汉初中数学竞赛试题）
答案与提示
1．（1）3128；（2）232-2；（3）-32（提示：令x=-1）
2．（1）13；（提示：（α++a 1）2=α2+21a +2，将α-a 1=3两边平方得α2+21a
=11） （2）18；（提示：由条件得x+x 1=3，所以）x 3+31x
=（x+x 1）3-3（x+x 1）=16。
） （3）-1；（提示：由条件，得x 2+x=-1，x 3+x 2+x=0，即x 3=1，
∴原式=（x 3）333·x+x x ⋅3333)(1= x+x 1
=-1）
（4）71/8；（提示：由题设得xy=-1/2，x 3+y 3=5/2，x 4+y 4=7/2，
∴x 7+y 7=（x 3+y 3）（x 4+y 4）-（xy ）3（x+y ）=71/8。
）
3、1．（提示：由题设展开、整理并配方得：（x+y ）2+（y-z ）2+（z-x ）2=0，由非负性得x=y=z ）
4、10．（提示：已知两端正方，得x 3-3x+x 3-31x =8，所以，原式=8+（x-x
1）=8+2=10）。
5、365．（提示：令x=±1）
6、3/5．（提示：由题设可得x-y=-3 xy ）。