柞水高中数学第一章三角函数1.7正切函数的诱导公式学案北师大版必修4

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2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.7.3正切函数的诱导公式学案北师大版必修4

7.3 正切函数的诱导公式学习目标 1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α，π±α(重点).2.掌握正切函数的诱导公式(难点)．知识点1 正切函数的诱导公式1．下列诱导公式中错误的是( ) A ．tan(π－α)＝－tan α B ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αC ．sin(π＋α)＝－sin αD ．cos(π－α)＝－cos α 答案 B 2．tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α等于( )A ．－cot αB ．cot αC ．tan αD ．－tan α答案 A题型一三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan α＝－43.(1)求sin α＋cos α的值；(2)求π－α＋π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解 (1)因为tan α＝y 3＝－43，所以y ＝－4，则r ＝5.∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－15.(2)原式＝sin α－2cos α－cos α－sin α＝tan α－2－1－tan α＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.规律方法三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．【训练1】已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝154，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α的值．解由tan α－1tan α＝154，得4tan 2α－15tan α－4＝0，得tan α＝－14或tan α＝4.又α为第二象限的角，所以tan α＝－14.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝35. 题型二利用诱导公式求值【例2】求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°.解 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45° ＝0－3×1＋1＝－2. (2)原式＝＋＋＋－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3. 规律方法 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．【训练2】 (1)tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π的值为( ) A ．－33B ．0 C.233D ．－233(2)若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析 (1)tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π＋56π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π－π6＝tan 5π6－tan π6＝－33－33＝－233，故选D. (2)f (600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝ 3. 答案 (1)D (2)C方向1 化简【例3－1】 (1)化简：－αα－α＋α－＋α－α－；(2)若a ＝α＋π2π＋απ＋απ＋α3－α－π，求a 2＋a ＋1的值．解 (1)－αα－α＋α－＋α－α－＝－αα－αtan α＋α－α＝－tan α－cot ααtan α－cot α－tanα＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1 (2)a ＝α＋π2π＋απ＋απ＋α3－α－π＝－cos α2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α－cos 3α＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3. 方向2 证明【例3－2】π－αos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－απ－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明左边＝－α－sin α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α－sinαsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝sin α－cos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．方向3 化简并求值【例3－3】已知α是第三象限角，且f (α)＝－α－ππ－απ－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－α－π.(1)化简f (α);(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值;(3)若α＝－120°，求f (α)的值．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 解 (1)f (α)＝－α－ππ－απ－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－α－π＝sin α－cos α－tan αsin α－tan α＝－cos α.(2)因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α，所以(2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＝－55，所以f (α)＝55. (3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－12，所以f (α)＝－cos α＝12.规律方法 1.三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 2．三角恒等式的证明策略在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．课堂达标1．tan 300°＋sin 450°的值为( ) A ．1＋ 3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3D ．－1＋ 3解析 t an 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 答案 B2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是( ) A ．α为锐角B ．α为不等于π2的任意角C ．α为任意角D ．α≠k π＋π2(k ∈Z )解析由正切函数的定义可知α≠k π＋π2(k ∈Z )．答案 D3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________．解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－32. 答案－324．tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5的值为________．解析原式＝tan π5＋tan 2π5＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0.答案 05．已知角α的终边经过点P (4，－3)， (1)求sin α，cos α，tan α的值;(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α·π－αα＋π的值．解 (1)因为r ＝42＋－2＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α·π－αα＋π＝cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan αsin α＝－－34－35＝－54. 课堂小结(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．特别提醒应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.基础过关1．tan 31π3的值为( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 3解析 tan 31π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案 C2．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A ．－45B ．－35C ．±35D ．±45解析 ∵角α终边上有一点P (5n,4n )， ∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.答案 A3．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是( )A ．－kB ．kC.k1－k2D.－k 1－k2解析 tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k . tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k . 答案 B4．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________．解析 ∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5， ∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3. ∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1. 答案－1 5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33.答案－336．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 (1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4＝22cos 7π6tan π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝⎛⎭⎪⎫9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22. 7．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，试求π－απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ－απ－α的值．解原式＝－sin αα－cot α－tan αcot α－cos α－tan α＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13. 能力提升8．已知tan(π－α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是( )A.15 B.13 C.35D ．1解析由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.答案 B9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)] ＝－1. 答案 B10．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.解析由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13，故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x ) ＝tan x ＝－13.答案－1311．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________. 解析由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )， ∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2. 答案－2 12．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32π⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α－sin αsin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.11 13．(选做题)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＝a ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π7＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π7－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋22π7的值．解原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋1＝a ＋3a ＋1.。

高中数学第一章三角函数 7 第2课时正切函数的诱导公式教学案北师大版必修4

第2课时正切函数的诱导公式[核心必知]诱导公式(1)tan(α＋2π)＝tan_α； (2)tan(－α)＝－tan_α； (3)tan(2π－α)＝－tan_α； (4)tan(π－α)＝－tan_α； (5)tan(π＋α)＝tan_α；*(6)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cot_α； *(7)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot_α． [问题思考]1．以上公式中的角α是任意角吗？提示：是任意角，但α必须使公式两边的函数值有意义．即公式 (1)～(5)中α≠π2＋k π，k ∈Z ；(6)，(7)中α≠k π，k ∈Z .2．以上公式符合正、余弦函数诱导公式的规律“奇变偶不变，符号看象限”吗？提示：符合．讲一讲1．求下列各式的值(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫－10π3； (2)tan 225°＋tan 750°tan （－30°）－tan （－45°）. [尝试解答] (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫－10π3＝－tan 10π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＝－tan 4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－tan π3 ＝－ 3.(2)原式＝tan （180°＋45°）＋tan （720°＋30°）－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°－tan 30°＋tan 45°＝1＋33－33＋1＝2＋ 3.利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程如下：任意角的三角函数――→tan （2π＋α）＝tan αtan （－α）＝－tan α0～2π的角的三角函数――→tan （π＋α）＝tan αtan （－α）＝－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cot αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α锐角的三角函数练一练1．计算：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4cos 585°.解：原式＝－tan 37π4cos(360°＋225°)＝－tan(9π＋π4)cos 225°＝tan π4cos 45°＝1×22＝22. 讲一讲 2．化简tan （3π－α）sin （32π－α）sin （π－α）＋cos （2π＋α）tan （α－7π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.[尝试解答] 原式＝tan （－α）（－cos α）sin α＋cos αtan α（－sin α）＝（－tan α）（－cos α）sin α－cos αtan αsin α＝1－1＝0.利用诱导公式对三角函数关系式进行化简时要熟练诱导公式，化简的结果要力求简单，分母中一般不含三角函数，能求值的要求值．练一练2. 化简：tan （540°－α）tan （α－270°）tan （α＋180°）tan （α－180°）tan （810°＋α）tan （－α－360°）.解：原式＝tan （－α）tan （α＋90°）tan αtan αtan （90°＋α）tan （－α）＝1.讲一讲3．已知tan 15°＝2－3，求：2tan 1 095°＋tan 975°＋tan(－195°)的值． [尝试解答] tan 1 095°＝tan(1 080°＋15°) ＝tan 15°＝2－3，tan 975°＝tan(720°＋255°) ＝tan(180°＋75°)＝tan 75° ＝1tan 15°＝12－3＝2＋3，tan(－195°)＝－tan 195°＝－tan 15°＝－(2－3)． ∴原式＝2(2－3)＋2＋3－(2－3)＝4.解答此类问题的基本策略是，一方面准确化简已知条件，另一方面联想所求问题的处理方法，两方面紧密结合，找到解题思路．练一练3．已知sin(π＋α)＝－14，求sin(3π2－α)tan(α－5π)的值．解：由sin(π＋α)＝－14，得sin α＝14.∴sin(3π2－α)×tan(α－5π)＝－cos α×tanα＝－cos α×sin αcos α＝－sin α＝－14.已知tan(π＋α)＝－13，求tan(α－3π2)．[错解] ∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.tan(α－3π2)＝－tan(3π2－α)＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛π2－α＝－tan(π2－α)＝－tan α＝13.[错因] 本题错解的原因在于错误的认为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan α.[正解] ∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan(π2－α)＝－sin （π2－α）cos （π2－α）＝－cos αsin α＝－1tan α＝3.1．tan 5π6等于( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选D tan 5π6＝tan(π－π6)＝－tan π6＝－33.2．下列各式①tan(π＋α)＝－tan α；②tan(－α)＝－tan α； ③tan(3π＋α)＝－tan α；④tan(－π－α)＝tan α. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选A tan(π＋α)＝tan α，故①错；tan(3π＋α)＝tan α，故③错；tan(－π－α)＝－tan(π＋α)＝－tan α，故④错；只有②正确．3．已知tan(π4＋α)＝32，则tan(3π4－α)的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－32.4．tan 690°＝________．解析：tan 690°＝tan(720°－30°)＝－tan 30°＝－33. 答案：－335．比较大小：tan 15π4________tan 18π5.解析：∵tan 15π4＝tan(－π4)＝－tan π4tan 18π5＝tan 3π5＝－tan 2π5又∵0<π4<2π5<π2∴tan π4<tan 2π5，－tan π4>－tan 2π5，即tan 15π4>tan 18π5.答案： >6．已知tan(3π－α)＝15，求sin （π＋α）tan （π－α）tan （－32π－α）tan （π2＋α）cos （32π＋α）的值．解：∵tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝15，∴tan α＝－15原式＝－sin α（－tan α）·sin （－32π－α）cos （－32π－α）sin （π2＋α）cos （π2＋α）·sin α＝－sin α（－tan α）（－－cos αsin α）cos α－sin α·sin α＝－tan α＝15.一、选择题1．tan(π－2x )等于( )A ．－sin 2xB ．－cos 2xC ．tan 2xD ．－tan 2x 答案：D2．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－m C.1m D ．－1m解析：选A tan(3π2－α)＝tan(π2－α)＝cot α＝m .3．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( )A.12 B ．－22 C.22 D ．－12解析：选C tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°.由条件可知f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3×15°)＝cos 45°＝22. 4．已知角α终边上有一点P (5n ，4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A.54 B.45 C ．－45 D ．±45解析：选C 由三角函数定义知tan α＝y x ＝4n 5n ＝45.∴tan(180°－α)＝－tan α＝－45.二、填空题5．化简tan （α＋π）tan （α＋3π）tan （α－π）tan （－α－π）＝________．解析：原式＝tan αtan αtan α（－tan α）＝－1.答案：－16．已知角α的终边上一点P (3a ，4a )(a <0)，则tan(90°－α)的值是________．解析：∵P (3a ，4a )(a <0)，∴tan α＝43，sin α＝－45，cos α＝－35，∴tan(90°－α)＝sin （90°－α）cos （90°－α）＝cos αsin α＝34.答案：347．sin 25π，cos 5π6，tan 75π从小到大的顺序是________．解析：cos 56π＝－cos π6＜0，tan 75π＝tan 25π＞tan π4＝1，而0＜sin 25π＜1，∴从小到大为cos 56π<sin 25π<tan 75π.答案：cos 56π<sin 25π<tan 75π8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－5，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.答案：5 三、解答题9．求值：cos 210°cos （－420°）tan 330°tan 390°sin 750 °cos 900°.解：原式＝cos （180°＋30°）cos （－360°－60°）tan （360°－30°）tan （360°＋30°）sin （720°＋30°）cos （720°＋180°）＝（－cos 30°）cos 60°（－tan 30°）tan 30°sin 30°cos 180°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3333×12×（－1）＝－3210．已知角α终边上一点A 的坐标为(3，－1)，求sin 2（2π－α）tan （π＋α）cos （π－α）tan （3π－α） tan （－α－π）. 解：∵x ＝3，y ＝－1，∴r ＝（3）2＋（－1）2＝2.∴sin α＝y r ＝－12.原式＝sin 2（－α）tan α（－cos α）tan （－α）tan （－α）＝－sin 2αtan αcos αtan α tan α＝－sin 2αsin α＝－sin α＝12.。

1.7 正切函数的诱导公式学案高中数学必修4(北师大版)

【学习目标】1. 能借助正切函数的图像和已学诱导公式推导出正切函数的诱导公式.2. 进一步体会数形结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.【重点难点】重点：正切函数的诱导公式及应用.难点：正切函数诱导公式的灵活应用.【使用说明】结合正切函数的图像和已学诱导公式推导正切函数的诱导公式，并用其解决相关问题.【自主学习】1. 观察下图，当22παπ<<-时，角α与角απ+2， απ-2，απ-，απ+，α-的正切函数值有什么关系？当角α是任意角呢？=+)2tan(απ_________； =-)tan(α__________；=-)2tan(απ_________； =-)tan(απ___________；=+)tan(απ_________.2.利用学习过的诱导公式证明以下公式：（1）ααπcot )2tan(-=+；（2）ααπcot )2tan(=-.3.所有三角函数的诱导公式可概括为：)(2Z k k ∈±⋅απ的各三角函数.当k 为偶数时，得α的同名三角函数，当k 为奇数时，得α的异名三角函数，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆.4.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的步骤：任意负角的三角函数→正角的三角函数→___________________→_______________.【合作探究】1. 比较下列各组数的大小.（1） 138tan 与 143tan ；（2）)713tan(π-与)815tan(π-.2. 化简：)5sin()4tan()2tan()tan()3cos()sin(απαππαπααπαπ+------.3.已知41log )sin(8=-απ，且)0,2(πα-∈，求)23tan(απ+的值.【课堂检测】1. 化简：（1）πππ2tan 2cossin k q p ++；（2）πππππ2sin 23cos sin 2cos tan r q p n m ---+；（3）)280tan()72tan()370tan()18tan(αααα---+ .2. 已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ（） A.33 B.33- C.3 D.3-3. 求︒︒︒︒+--210tan 315tan 675tan )60tan(的值.【课堂小结】【课后训练】1. 化简：（1）)(cos 2)sin()2sin(12ααππα--+-+；（2） 1080tan )690tan()300tan(765tan 675tan +-+-++.。

高中数学必修四正切函数的诱导公式教案北师大版Word版

班级:高一年级科目:数学周次教学时间月教案序号课题1-7-2 正切函数的诱导公式课型新授教学目标(识记、理解应用、分析、创见) 知识目标：用类比的方法学习、熟记正切函数的诱导公式.能力目标：能学以致用，会利用正切函数的诱导公式来解决实际问题；情感目标：培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心.教学重点及难点重点：理解并熟记正切函数的诱导公式；难点：会利用正切函数的诱导公式来解决实际问题．教学方法观察、思考、交流、讨论、概括。

教学反馈板书设计1-7-2 正切函数的诱导公式（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠zkkxx,2|ππ；（2）值域：R（3）周期性：π=T（4）奇偶性：()xx tantan-=-奇函数（5）单调性：在开区间zkkk∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增（6）对称中心：（2πk，0）k∈z一、交流订正问题1: 下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ+α(k∈Z) π+α-α图示与角α终边的关系角π-α错误！未找到引用源。

-α错误！未找到引用源。

+α图示与角α终边的关系问题2: 请根据点的对称性推导“-α,π+α,π-α”的诱导公式.设角α与单位圆的交点为(a,b),(1)-α与α的终边与单位圆的交点关于x轴对称,-α与单位圆的交点为(a,-b)则sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)= .(2)α+π与α的终边与单位圆的交点关于原点对称,α+π与单位圆的交点为(-a,-b). sin(α+π)=-sinα,cos(α+π)=-cosα,tan(π+α)= .(3)π-α与α的终边与单位圆的交点关于y轴对称,π-α与单位圆的交点为(-a,b),sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)= .问题3:形如“错误！未找到引用源。

-α,错误！未找到引用源。

+α”的诱导公式的推导设角α与单位圆的交点为(a,b),(1)错误！未找到引用源。

高中数学第一章三角函数 1.7 正切函数学案北师大版必修4(2021年整理)

高中数学第一章三角函数1.7 正切函数学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.7 正切函数学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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正切函数知识梳理1。

任意角的正切函数（1)定义如图1-6—1所示，单位圆与角α的终边交于P 点。

设P （a,b ）,则ab是角α的函数,称为正切函数,记为ab=tanα（α∈R ）。

通常用x ，y 表示自变量和因变量，将正切函数表示为y=tanx 。

(2)正切线如图1-6—1所示，单位圆与x 轴的正半轴交于点A,过点A 作x 轴的垂线AT ，交角α的终边或反向延长线于T ，则有向线段AT 叫做角α的正切线.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在.图1—6—1（3）正切线所表示的正切值可如下确定：正切线的方向表示正切值的符号，同y 轴一致,向上为正,向下为负；正切线的长度是正切值的绝对值。

（4）任意角的正切函数定义的推广图1—6—2如图1—6—2所示，设P （x ，y ）是α的终边上任意一点,则tanα=xy 。

对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正切值与之对应，所以这个对应法则都是以角α为自变量的函数，叫做正切函数。

正切函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小。

2.任意角的正切值的符号（1）用图形表示:正切函数值在各象限的符号如图1-6-3所示.图1-6—3（2)用表格表示tanα x 非负半轴 0 第一象限 + y 非负半轴不存在第二象限 - x 非正半轴 0 第三象限 + y 非正半轴不存在第四象限-3。

高中数学第一章三角函数 1.7.3 正切函数的诱导公式教案北师大版必修4

正切函数的诱导公式整体设计教学分析正切函数的诱导公式是高中阶段最后研究的一个函数的压轴公式,它前承正、余弦函数,后有同角三角函数的基本关系,不仅是对正、余弦诱导公式探究方法的一种再现,更是一种提升,同时又为以后研究三角函数问题奠定了基石.教材安排上是单刀直入,只给出正切函数图像,没有给出任何提示就直接得出诱导公式.教材这样处理很微妙,说明正切函数与正弦、余弦函数在研究方法上类似,学生完全可以运用类比的思想方法自己得出结论,这样处理发展了学生的思维,留给了学生一定的提示空间;这样不仅发挥了学生的主观能动性,增强动脑、动手的能力,而且在此过程中,学生更会有一个回顾及施展自己能力的机会.教学过程中,教师不要侵占了学生这一空间.我们已经看出来,在正、余弦函数中,是先学诱导公式,再学图像与性质的,而在学正切函数时,却是先学图像与性质,再学诱导公式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图像,通过观察图像获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识如正切函数的定义、正切线等先来研究图像和性质,再来研究它的诱导公式.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式,通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像上观察总结出正切函数的性质,归纳出正切函数的诱导公式.教学方法上本着以人为本的教学理念及充分发挥学生主动性,使学生成为课堂的主体的教学原则,遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律,通过学生的自主探索,探究出正切函数的诱导公式;在此过程中体现学生之间、师生之间的合作探究,互相帮助的团队精神,使学生的内在潜能得以挖掘;通过例题的分析,使学生分析问题及严密推理能力得以提高,让学生体会到探究发现的乐趣,同时发现数学不但美妙而且神奇,并在此过程中体验成功后的喜悦.三维目标通过观察正切函数的图像,掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能,养成善于用数形结合的思想理解和处理问题;通过绘图,观察,类比推理,探索知识,能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式.会用联系的观点看问题,激发学生的学习积极性,培养学生分析问题、解决问题的能力,让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神,以及尊重客观规律,懂得实践是认知的源泉,从而发现数学美,体验成功后的喜悦.重点难点教学重点:正切函数的概念、诱导公式及其应用.教学难点:熟练运用诱导公式和性质对三角函数进行求值、化简和证明,提高解决综合问题的能力.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先让学生回忆正弦、余弦函数诱导公式的探究过程,因是在学习正弦、余弦函数图像与性质前,所以是借助单位圆推得的.学过正弦、余弦函数图像后,你能从正弦、余弦函数图像上看出来吗？我们上节课已经学过了正切函数的图像和性质,你能观察归纳出正切函数的诱导公式吗？让学生画图归纳正切函数的诱导公式,由此展开新课.思路2.设置情景,先让学生计算tan 3π,tan(-3π),tan 32π,tan 34π,tan 35π,tan 37π(它们分别是3,-3,-3,3,-3,3)的值.观察数值并猜想结论,然后通过正切函数图像进一步来验证,这种思路比较符合学生的思维特点,也是一种不错的选择.推进新课新知探究提出问题①计算:tan 3π,tan(-3π),tan 32π,tan 34π,tan 35π,tan 37π(它们分别是3,-3,-3,3,-3,3),类比正弦、余弦函数的诱导公式,猜想角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.②画出正切函数图像,如图1,类比正弦、余弦函数的诱导公式,观察归纳角α与2π+α,2π-α,π-α,-α,π+α的正切函数值的关系.③角α与角2π±α有怎样的关系？ ④类比正弦、余弦诱导公式的记忆方法,怎样记忆正切函数的诱导公式？⑤学过三角函数诱导公式后,想一想,怎样将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数的问题？活动:学生完成问题①的计算后,心中就已经有了结论;然后教师让学生动手画出正切函数图像,以加强学生对正切函数图像的感知;实际上,学生画图的过程就是集中注意力对已有的猜想进行进一步观察、思考、归纳、验证的过程.教师适时地演示课件,动态演示函数y ＝tanx 与y=tan(2π+x),y=tanx 与y=tan(-x),y=tanx 与y=tan(2π-x),y=tanx 与y=tan (π-x),y=tanx 与y=tan(π+x)的图像,让学生观察同一自变量的值所对应不同函数的函数值之间的关系,从而归纳得出正切函数以下的诱导公式:图1tan(2π+α)＝tanα;tan(-α)=-tanα;tan(2π-α)＝-tanα;tan(π-α)＝-tanα;tan(π+α)＝tan α.我们可以验证,无论角α是哪个象限的角,上面的诱导公式都是正确的;利用我们学习过的诱导公式很容易证明以下公式: tan(2π+α)=cot α;tan(2π-α)=cot α. 以上六个公式都叫作正切函数的诱导公式,其中角α可以为使得等式两边都有意义的任意角.这样,我们就可以利用诱导公式将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数问题,利用三角函数诱导公式的变换程序可用如下的框图来表示:要求学生熟记2π±α,-α,π±α,2π±α的正切函数的诱导公式,这些诱导公式可以帮助我们把任意角化到［0°,360°)范围内,进而找到锐角,利用这些熟知角进行化简、求值或证明等.让学生类比正弦、余弦函数诱导公式的记忆歌诀,自己得出正切函数诱导公式的记忆歌诀.我们最熟悉的三角函数值是角在0°到90°之间,利用三角函数诱导公式,我们就能将0°到360°之内的角化为0°到90°之间的角来求它的三角函数值,对于任一0°到360°的角β,有四种可能(其中α为不大于90°的非负角),解题时可根据题目条件灵活选用.β=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒∈-︒︒︒∈+︒︒︒∈-︒︒︒∈).360,270[,360),270,180[,180),180,90[,180),90,0[,βαβαβαβα当当当当应用示例例1 若tanα=32,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值. 活动:三角函数诱导公式至此已经学完,本例目的是让学生回顾任意角的三角函数定义,对于三角函数定义教材上是分两次完成的,切函数与弦函数分别进行,通过本例要让学生明确三角函数定义中点P 的任意性;本例是一道基本概念题,可先让学生回忆任意角三角函数定义及正弦、余弦、正切在各个象限的符号,养成求值先看角所在象限的习惯;然后由学生自己独立完成,必要时教师给予点拨.解:∵tanα＝32＞0,∴α是第一象限或第三象限的角. (1)如果α是第一象限的角,则由tanα＝32可知,角α终边上必有一点P(3,2). 所以x ＝3,y ＝2. ∵r＝|OP|＝13,∴sinα＝xy ＝13132,cosα＝r x ＝13133. (2)如果α是第三象限角,同理可得sinα＝xy ＝-13132,cosα＝r x ＝-13133. 点评:解完此题后教师可就此点拨学生,利用定义解题是非常重要的一种解题方法,而且对于本章来说,认识周期现象、将角推广及引入弧度制后就学习三角函数的定义,以后的其他内容都是在任意角三角函数定义的基础上展开的,所以说三角函数的定义在三角函数内容中显得尤为重要,要让学生熟练掌握利用定义解题的方法.变式训练(2007北京)已知cosθ·tanθ＜0,那么角θ是 ( )Ａ.第一或第二象限角Ｂ.第二或第三象限角Ｃ.第三或第四象限角Ｄ.第一或第四象限角答案:C例2 化简:)tan()3tan()tan()3tan()2tan(πααπαπαπαπ---+-+-. 活动:本例是应用正切函数诱导公式的基础题,解答此题时学生可能需要查看诱导公式,思考题中各个式子该用所学的哪个公式进行化简,教师提醒学生注意:对于诱导公式应当在理解的基础上记忆它,不要死记硬背公式,要让学生学会利用单位圆或图像来帮助记忆,待熟悉各个公式的作用后,选择最佳适用公式,迅速解题.解:原式＝αααααααπαπαπαπαtan 1)tan )(tan (tan tan )tan ()]tan()[tan()]tan([)tan(tan -=----=+----+-. 点评:化简三角函数式是三角函数中很重要的一种题型,其要求是:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数中不含三角函数;⑥次数尽量低.3.求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----. 活动:本节作为三角函数诱导公式的最后一节课,应有巩固、总结、提高的成分,而且三角函数诱导公式的主要应用在于对三角函数式进行求值、化简与证明;对于利用诱导公式证明三角函数式,一般的思路是化简较繁的一边,使之等于另一边,当然也可以两边都化简,还有分析法等,教师提醒学生不要套用固定模式,要具体问题具体分析,灵活解题.本例还需用到正弦、余弦的诱导公式,可让学生自己探究解决.证明:左边=+----=+----)sin()cos ()cos()sin()tan()5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθθθθπθθπθπθπ θθθθθθtan sin cos cos sin tan ==右边.所以,原式成立. 点评:解完此题后,教师与学生一起总结规律,证明三角函数恒等式,类型较多方法也较多,这里仅就常规通法略做练习,目的是熟练掌握三角函数的诱导公式,不必加大训练难度或加大题量.变式训练1.设tan(α+78π)=a,求:)722cos()720sin()713cos(3)715sin(πααππααπ+-+-++的值. 解法一:∵tan(α+78π)=tan ［π+(α+7π)］=tan(α+7π)=a, ∴原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)7(3cos )7(3sin )7(2cos 3)7(2(sin παππαππαππαπ=)7cos()7sin()7cos(3)7sin(παπαπαπα+-++++=131)7tan(3)7tan(++=++++ααπαπα 解法二:原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)78(2cos )78(4sin )78(3cos 3)78(sin παππαππαππαπ =)78cos()78sin()78cos(3)78sin(παπαπαπα+-+-+-+-=131)78tan(3)78tan(++=++++ααπαπα. 2.已知tan(π-α)=a 2,|cos(π-α)|=-cosα,求)cos(1απ+的值. 解:由tanα=-a 2≤0,|cos(π-α)|=-cosα≥0即co sα≤0,可知角α的终边在第二象限或x 轴的非正半轴上.若角α的终边在第二象限,即cosα＜0时,)cos(1απ+=41a +;若角α的终边在x 轴的非正半轴上,即a=0时,)cos(1απ+=-αcos 1=1. 综合上述两种情况可得)cos(1απ+=41a +.点评:一个实数的平方不一定是正数,可能是零,因此,本题不能漏掉角α的终边在x 轴的非正半轴上的情形.而由于tanα存在,这就决定了角α的终边不在y 轴上,即cosα不为零.本题很容易得到以下错解:∵tan(π-α)=a 2,∴tanα=-a 2＜0.∵|cos(π-α)|=-cosα＞0,∴cosα＜0.∴α是第二象限角.又cos(π+α)=-cosα=α2tan 11+=411a +, ∴)cos(1απ+=41a +.知能训练课本本节练习1-4.课堂小结让学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？在本节课的学习过程中,你的探究能力表现的如何？你对本节课学习的深刻体会有哪些？教师在此基础上进行画龙点睛:在运用诱导公式进行三角函数的求值或化简、证明中,使用了转化的数学思想,对角进行适当的变换,使之符合诱导公式中角的结构特征,培养了我们思维的灵活性,在发现正切函数诱导公式的过程中,提高了探究能力.要求熟记并灵活运用三角函数的诱导公式.要将本节知识纳入系统之中,从总体上把握诱导公式.作业课本习题1—6 A 组8、10.设计感想本节教案设计主线是:始终抓住以类比思想,数形结合思想,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,结合图形,由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受;同时通过多媒体教学,使学生通过对图像的观察,对知识点的理解更加直观、形象,提高学生的学习兴趣,教学过程流畅,符合高中课程标准理念.本节教案设计理念是:坚持以学生为本,以学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,让学生学会通过对图像的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.备课资料备用习题1.若tan(π+α)＝-2,则tan(3π-α)的值为( )A.2B.±2C.0D.-22.sin 600°+tan240°的值是( ) A.21 B.-21 C.23 D.-23 3.若tan(35π-α)=-5,则tan(3π+α)的值是 ( ) A.5 B.-5 C.±5 D.不确定 4.化简)180sin()180cot()360cos()180sin(αααα--•--+•+︒οοο. 5.化简)cos()sin(απαπ++n n (n ∈Z )所得的结果是( ) A.tannα B.-tannα C.tanα D.-tanα6.已知f(α)=)sin()tan()2cos()sin(απαπαπαπ------. (1)求f(α); (2)若α是第三象限角,且cos(α-23π)=51,求f(α)的值; (3)若α=-1 860°,求f(α)的值.参考答案:1.A2.C3.A4.解:∵cot(-α-180°)=cot［-(180°+α)］=-cot(180°+α)=-cotα,sin(-180°-α)=sin［-(180°+α)］=-sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα, ∴原式=ααααααcot cossin )cot (cos )sin (=•-•-=sinα.5.C6.解:(1)f(α)=ααααsin tan cos sin -••=-sinα;(2)由题意知sinα=-51,由(1)的结果,所以f(α)=51;(3)根据(1)的结果知,f(-1 860°)=f(-6×360°+300°)=-sin(-6×360°+300°)=-sin300°=sin60°=23.。

高中数学北师大版必修四教学案第一章 §7 第2课时正切函数的诱导公式 Word版含答案

第课时正切函数的诱导公式[核心必知]诱导公式＋α()(π)；α＝－()(α)α－；＝－π(α())；－α＝－π()()α＝α；－＋π()(α＝；)α()＝*－；α*()α＝．[问题思考]．以上公式中的角α是任意角吗？提示：是任意角，但α必须使公式两边的函数值有意义．即公式 ()～()中α≠＋π，∈；()，()中α≠π，∈.．以上公式符合正、余弦函数诱导公式的规律“奇变偶不变，符号看象限”吗？提示：符合．讲一讲．求下列各式的值()；()°＋°（－°）－（－°）).[尝试解答] () ＝－＝－＝－＝－＝－＝－.()原式＝°＋°)＝°＋°,－°＋°)＝＝＋.利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程如下：α),\(（－α）＝－α))练一练．计算：°.解：原式＝－ (°＋°)＝－(π＋) °＝°＝×＝.讲一讲．化简＋.[尝试解答] 原式＝＋αα,（－α）)＝α）α)－ααα)＝－＝.利用诱导公式对三角函数关系式进行化简时要熟练诱导公式，化简的结果要力求简单，分母中一般不含三角函数，能求值的要求值．练一练. 化简：.解：原式＝αα（°＋α）（－α）)＝.讲一讲。

北师大版高中数学必修四1.7.3正切诱导公式教案

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.7正切函数的诱导公式学案北师大版必修.doc

2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.7正切函数的诱导公式学案北师大版必修【学习目标】1、进一步体会数形结合的思想，提高分析问题解决问题的能力；2、能借助正余弦函数的诱导公式推导出正切函数的诱导公式；3、掌握诱导公式在求值和化简中的应用．【学习重点】正切函数的诱导公式及应用【学习难点】正切函数诱导公式的推导【学习过程】一、预习自学1.观察课本38页图1-46，当-2π＜α＜2π时，角α与角2ααπαπαπαπ-+--+,,,2,的正切函数值有什么关系？我们可以归纳出以下公式：tan （2απ+）= tan （-α）= tan （2απ-）= tan （)απ-= tan （)απ+=2.我们可以利用诱导公式，将任意角的三角函数问题转化为锐角三角函数的问题，参考下面的框图，想想每次变换应该运用哪些公式。

给上述箭头上填上相应的文字二、合作探究探究1 试运用2πα-，+2πα的正、余弦函数的诱导公式推证公式tan （ααπcot )2=-和tan (+)-cot 2παα=.探究2 若tan 32=α,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值.探究3 求︒-︒-︒+︒675tan )60tan(570tan 315tan 的值.三、达标检测 1下列各式成立的是（）A tan （)απ+= -tan αB tan （)απ-= tan αC tan （-α）= -tan αD tan （2απ-）= tan α 2求下列三角函数数值 (1)tan(-)6π (2) tan240(3)tan(-1574 )3化简求值 tan675 + tan765 + tan(-300 ) + tan(-690 ) + tan1080四、课后延伸。

高中数学第一章三角函数 1.7 正切函数学案北师大版必修4

7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式1．理解任意角的正切函数的定义．2．能画出y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(重点)4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)[基础·初探]教材整理1 正切函数的定义、图像及性质阅读教材P 36～P 38“动手实践”以上部分，完成下列问题． 1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )．2．正切线如图1－7－1所示，线段AT 为角α的正切线．图1－7－13．正切函数的图像与性质判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y ＝tan x 的定义域为R .( ) (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期为π.( ) (3)正切函数y ＝tan x 是奇函数．( )(4)正切函数y ＝tan x 的图像关于x 轴对称．( )【解析】 (1)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)y ＝tan x 的周期为k π(k ∈Z )，最小正周期为π.(3)因为y ＝tan x 的定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z关于原点对称，且tan(－x )＝－tan x ，故为奇函数．(4)由图知，正切函数图像既不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 正切函数的诱导公式阅读教材P 38～P 39例1以上部分，完成下列问题．正切函数的诱导公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cot α.( ) (2)正切函数的诱导公式中的角为任意角．( ) (3)tan(k π－α)＝－tan α.( ) 【解析】 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α，所以(1)正确．(2)无论角α是哪个象限的角，诱导公式都适合，故(2)正确． (3)tan(k π－α)＝－tan α，故(3)正确．【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]如图1是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．图1－7－2(1)若已知角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，求tan θ；(2)若已知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，试求tan α. 【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后，利用正切函数的定义求解．【自主解答】 (1)∵角θ的终边与OP 所在的射线关于x 轴对称，且P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，故θ的终边与单位圆交于P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，则tan θ＝－1232＝－33.(2)∵∠AOQ ＝α且Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45， ∴tan α＝4535＝43.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝b a.2．已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．3．tan α＝sin αcos α知其中两个，可求另一个．[再练一题]1．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，求tan α的值.【导学号：66470022】【解】由题意知cos α＝－bb 2＋42＝－35，∴b ＝±3.又cos α＝－35<0，∴P 在第二象限，∴b ＝3. ∴tan α＝－43.(1)化简：sπ＋απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α；(2)求值：tan 3π4－tan2π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.【精彩点拨】解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．【自主解答】 (1)原式＝－sin α－cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－cot αα＝sin αcos α·cot α－cot αα＝－cos α.(2)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3tan π4＝－tan π4＋tanπ31＋tanπ3＝3－13＋1＝2－ 3.在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，π2＋α，π2－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．[再练一题]2．(1)化简：－αα－α＋α－＋α－α－；(2)若a ＝α＋π2π＋απ＋απ＋α3－α－π，求a 2＋a ＋1的值．【解】 (1)－αα－α＋α－＋α－α－＝－αα－αtan α＋α－α＝－tan α－cot ααtan α－cot α－tan α＝tan α·cot α·t an αtan α·cot α·tan α＝1.(2)a ＝α＋π2π＋απ＋απ＋α3－α－π＝－cos α2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α－cos 3α＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3.利用正切函数的图像作出y ＝|tan x |的图像，并写出使y ＝3的x 的集合．【精彩点拨】先化成分段函数，再借助正切函数的图像作图．【自主解答】 ∵当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π时，y ＝tan x ≤0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2时，y ＝tan x >0，∴y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－tan x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤k π－π2，k πk ∈Z ，tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .如图所示．使y ＝3的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π±π3，k ∈Z.1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等．[再练一题]3．求下列函数的定义域． (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝tan x ＋lg(1－tan x )．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π－π4k ∈Z ，x ≠k π＋π2k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)要使函数y ＝tan x ＋lg(1－tan x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x >0⇒0≤tan x <1.由正切函数的图像可得k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .∴原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π≤x <k π＋π4，k ∈Z .[探究共研型]探究1 【提示】不是，正切函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.正切曲线在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增加的，但在整个定义域上不是增加的．探究2 函数y ＝tan x 的周期是多少？y ＝|tan x |的周期呢？【提示】 y ＝tan x 的周期是π，y ＝|tan x |的周期也是π. 探究3 函数y ＝tan x 的图像有什么特征？【提示】正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷支曲线组成的，是间断的，无对称轴，只有对称中心．已知f (x )＝－a tan x (a ≠0)．(1)判断f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的奇偶性； (2)求f (x )的最小正周期； (3)求f (x )的单调区间；(4)若a >0，求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上的值域．【精彩点拨】通过f (－x )与f (x )的关系判断奇偶性，求单调区间时注意a 的符号．【自主解答】 (1)∵f (x )＝－a tan x (a ≠0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， ∴f (－x )＝－a tan(－x )＝a tan x ＝－f (x )．又定义域⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．(2)f (x )的最小正周期为π.(3)∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上单调递增， ∴当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递减，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上单调递增． (4)当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，故x ＝π4时，f (x )max ＝－a ，无最小值．∴f (x )的值域为(－∞，－a ]．1．由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像． 2．由函数的图像又可以直观地总结函数的性质．函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．[再练一题]4．画出函数y ＝tan |x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性．【解】由y ＝tan |x |得， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0且x ≠π2＋k πk ∈Z ，－tan x ，x <0且x ≠π2＋k πk ∈Z根据y ＝tan x 的图像，作出y ＝tan |x |的图像如图所示：由图像可知，函数y ＝tan |x |是偶函数．单调增区间为：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，3π2＋k π(k ＝0,1,2,3，…)；单调减区间为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＋k π，－π2＋k π(k ＝0，－1，－2，－3，…)．[构建·体系]1．tan 5π6的值为( )A ． 3B ．－ 3 C.33D ．－33【解析】 tan 5π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－tan π6＝－33. 【答案】 D2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z【解析】由题意得x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π＋π4，k ∈Z .【答案】 D3．已知角α的终边上一点P (－2,1)，则tan α＝________. 【解析】由正切函数的定义知tan α＝1－2＝－12.【答案】－124．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________.【导学号：66470023】【解析】函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的，所以y max ＝tan π4＝1，y min ＝tan 0＝0.【答案】 [0,1]5．求以下各式的值．(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；(2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°. 【解】 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan 180°＋45°＋tan 2×360°＋30°－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

2020学年高中数学第1章三角函数77.3正切函数的诱导公式学案北师大版必修4(最新整理)

7。

3 正切函数的诱导公式学习目标核心素养1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式错误!。

2．掌握正切函数的诱导公式. 1.通过推导诱导公式错误!体会逻辑推理素养．2．通过运用正切函数的诱导公式解决问题，提升数学运算素养。

正切函数的诱导公式角x函数y ＝tan x记忆口诀k π＋α(k ∈Z ）tan α 函数名不变, 符号看象限－α －tan α π－α －tan α π＋αtan α 错误!＋α －cot α 函数名改变，符号看象限错误!－αcot α思考:错误!并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？［提示］因为tan α＝错误!错误!，所以口诀对正切函数依然适用．1．公式tan （π－α)＝－tan α成立的条件是（ ) A ．α为锐角B ．α为不等于错误!的任意角C ．α为任意角D ．α≠k π＋π2（k ∈Z )D ［由正切函数的定义可知α≠k π＋错误!(k ∈Z ）．］ 2．下列诱导公式中错误的是( ） A ．tan(π－α)＝－tan αB．cos错误!＝sin αC．sin（π＋α)＝－sin αD．cos(π－α）＝－cos α[答案］B3．tan错误!等于( ）A．－cot αB．cot αC．tan αD．－tan α［答案］A4．tan 错误!的值为( )A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!D［tan 错误!＝tan错误!＝－tan错误!＝－错误!。

]三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－错误!.（1)求sin α＋cos α的值；(2)求错误!的值．［解］（1）因为tan α＝错误!＝－错误!,所以y＝－4，则r＝5.∴sin α＝－错误!,cos α＝错误!,则sin α＋cos α＝－错误!.（2）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－10.三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化;正用可以做到切化弦,逆用可以做到弦化切。

高中数学第一章三角函数 1.7.3 正切函数的诱导公式学案(含解析)北师大版必修4-北师大版高二

7．3 正切函数的诱导公式知识点正切函数的诱导公式[填一填]1．2π±α，－α，π±α的诱导公式 (1)tan(2π＋α)＝tan α； (2)tan(－α)＝－tan α； (3)tan(2π－α)＝－tan α； (4)tan(π－α)＝－tan α； (5)tan(π＋α)＝tan α. 2.π2±α的诱导公式 (1)tan(π2＋α)＝－cot α；(2)tan(π2－α)＝cot α.[答一答]怎样选择诱导公式？提示：诱导公式的选择方法：(1)用－α化为正角的三角函数值；(2)用2k π＋α(k ∈Z )化为[0,2π)内的角的三角函数值；(3)用π＋α，π－α，2π－α化为锐角的三角函数值．由此看利用诱导公式能将任意角的三角函数值化为锐角的三角函数值．诱导公式1可以用一句话来概括：“函数名不变，符号看象限”．即公式两边的函数名称不变，函数名前的符号则是将角α看作锐角后，原角所在象限的三角函数值的符号．诱导公式2可以概括为：奇变偶不变，符号看象限．即对形如α＋k2π，k ∈Z 的角，把α看作锐角，前面放上原函数值的符号．注：“奇”“偶”指的是π2(或90°)的奇数倍还是偶数倍，“变”与“不变”指的是函数名称是否改变．类型一化简【例1】化简：tan (540°－α)tan (α－270°)tan (α＋180°)tan (α－180°)tan (810°＋α)tan (－α－360°).【思路探究】利用诱导公式求解．【解】原式＝－tan αtan (α＋90°)tan α－tan (180°－α)tan (90°＋α)tan (－α)＝－tan α·(－cot α)·tan αtan α·(－cot α)·(－tan α)＝1.规律方法利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的．化简：sin (3π2－α)·cos (3π－α)·tan (π－α)cos (－α－π)·cos (α－π2).解：原式＝sin[π＋(π2－α)]·cos (π－α)· (－tan α)cos (π＋α)cos (π2－α)＝－sin (π2－α)·(－cos α)·(－tan α)－cos α·sin α＝－cos 2α·tan α－cos α·sin α＝cos α·sin αcos αsin α＝1.类型二求值【例2】计算：(1)sin1 590°·cos(－1 830°)＋tan1 395°·tan(－1 200°)； (2)tan330°＋tan585°tan (－45°)－tan660°. 【思路探究】利用诱导公式将负角或大角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．【解】 (1)原式＝sin(4×360°＋90°＋60°)·cos(5×360°＋30°)－tan(4×360°－45°)·tan(3×360°＋180°－60°)＝cos60°·cos30°＋tan45°·(－tan60°)＝34－3＝－334. (2)原式＝tan (360°－30°)＋tan (3×180°＋45°)－tan45°－tan (4×180°－60°)＝tan (－30°)＋tan45°－tan45°－tan (－60°)＝－tan30°＋tan45°－tan45°＋tan60° ＝－33＋1－1＋3＝33. 规律方法已知角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，通常是特殊角的三角函数值．计算：tan315°＋tan570°tan (－60°)·tan675°＝1－33.解析：原式＝tan (360°－45°)＋tan (3×180°＋30°)tan (－60°)·tan (2×360°－45°)＝－tan45°＋tan30°－tan60°·(－tan45°)＝－1＋33－3×(－1)＝1－33.类型三利用诱导公式证明三角恒等式【例3】已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋87π＝a ，求证：sin ⎝⎛⎭⎫157π＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎫α－137πsin ⎝⎛⎭⎫207π－α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.【思路探究】从角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后利用诱导公式和三角函数关系式证明．【证明】左边＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α＋87π＋3cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋87π－3πsin ⎣⎡⎦⎤4π－⎝⎛⎭⎫α＋87π－cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫α＋87π＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋87π－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋87π－sin ⎝⎛⎭⎫α＋87π－cos ⎝⎛⎭⎫α＋87π＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋87π＋3tan ⎝⎛⎭⎫α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边，∴原式成立．规律方法证明条件等式，一般有以下两种方法：(1)从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；(2)直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．已知sin(α＋β)＝0，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：∵sin(α＋β)＝0， ∴α＋β＝k π，k ∈Z .∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan(α＋β＋α)＋tan β ＝tan(k π＋α)＋tan β＝tan α＋tan β ＝tan(k π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.∴等式成立.——易错警示—— 对诱导公式记忆不准确致误【例4】化简：cos (2π＋α)sin (4π－α)tan (－α－2π)cos 2(－α)＝________.【错解】－1【正解】原式＝cos αsin (－α)tan (－α)cos 2α＝cos αsin (－α)－tan αcos 2α＝cos α(－sin α)－sin αcos α·cos 2α＝1.【错解分析】在用诱导公式化简时，sin(4π－α)化为sin α或tan(－α－2π)化为tan α，从而导致结果出错．【答案】 1【防范措施】公式的记忆应用诱导公式时要记忆准确，可借助口诀“函数名不变，符号看象限”，结合诱导公式1.8～1.12及其含义记忆，如本例中cos(2π＋α)，sin(4π－α)的化简用诱导公式1.8,1.9，对于cos(－α)的化简，若α为锐角，－α在第四象限，第四象限余弦为正，故cos(－α)＝cos α.化简：tan (2π－α)cos (－4π－α)cos (6π－α)sin (α－2π)cos (α－4π)＝( A )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：tan (2π－α)cos (－4π－α)cos (6π－α)sin (α－2π)cos (α－4π)＝－tan α·cos α·cos αsin αcos α＝－1.∴选A.一、选择题1．tan480°的值为( B ) A.3 B ．－3 C.33 D ．－33解析：tan480°＝tan(360°＋120°) ＝tan120°＝tan(180°－60°) ＝－tan60°＝－ 3. 2．tan(－676π)＝( D )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：tan(－676π)＝tan(－11π－π6)＝tan(－π6)＝－33.3．已知570°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( B ) A ．3 3 B ．－3 3 C. 3 D ．－ 3解析：由正切函数定义知tan570°＝－3a.∵tan570°＝tan(540°＋30°)＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝33，∴－3a ＝33.∴a ＝－3 3. 二、填空题4．化简sin (α＋180°)cos (－α)tan (－α＋360°)＝cos 2α.解析：原式＝－sin α·cos αtan (－α)＝－sin α·cos α－tan α＝sin α·cos αsin αcos α＝cos 2α.5．(1)tan690°＝－33； (2)tan(3π2＋π6)＝－ 3.三、解答题6．求三角函数式sin(－1 200°)·cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan945°的值．解：原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin120°·cos210°－cos300°·sin330°＋tan225°＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2.。

高中数学第一章三角函数7正切函数学案北师大版必修4

§7 正切函数学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用.知识点一正切函数的定义思考1 设角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么ba何时有意义？答案当a ≠0时，b a有意义.思考2 正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？答案 tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z . 梳理 (1)任意角的正切函数如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a ，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan α＝sin αcos α(α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z ).(3)正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其值为负.知识点二正切线思考正切线是过单位圆上哪一点作出的？答案过单位圆与x 轴的非负半轴的交点A (1，0).梳理如图所示，线段AT 为角α的正切线.知识点三正切函数的图像与性质思考1 正切函数的定义域是什么？答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z. 思考2 能否说正切函数在整个定义域内是增函数？答案不能.正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数. 梳理知识点四正切函数的诱导公式思考前面我们学习过π±α，－α，π2±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.对正切函数能适用吗？答案因为tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈R ，α≠k π＋π2，k ∈Z ，所以口诀对正切函数依然适用. 梳理类型一正切函数的概念例1 若角θ的终边经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，m ，且tan θ＝34，则m ＝ . 考点正切函数的定义题点已知正切值求参数答案－35解析由正切函数的定义得，m－45＝34，解得m ＝－35.反思与感悟 (1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba.(2)已知角终边上的一点M (a ，b )(a ≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置.跟踪训练1 已知点P (－2a ，3a )(a ≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ的值. 考点正切函数的定义题点由定义求正切值解由于a ≠0，∴tan θ＝3a －2a ＝－32. 类型二正切函数的图像及性质例2 画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性. 考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合解由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图像如图所示.由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图像在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图像在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练2 将本例中的函数y ＝|tan x |改为y ＝tan|x |，回答同样的问题，结果怎样？考点正切函数的图像及性质题点正切函数的图像及性质综合解由于y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x (x ≥0)，tan (－x )(x <0).其图像如下：由图像可知，函数y ＝tan|x |是偶函数，递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k 为正整数)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k 为负整数)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，不是周期函数. 类型三正切函数诱导公式的应用例3 求下列各式的值.(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan (－30°)－tan (－45°). 考点正切函数的诱导公式题点利用诱导公式求值解 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝tan (180°＋45°)＋tan (2×360°＋30°)－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋ta n 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋3.反思与感悟 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键. (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 跟踪训练3cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).考点同名诱导公式的综合应用题点同名诱导公式的综合应用解原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期是( ) A.π B.2π C.π2 D.π6考点正切函数的周期性题点求正切函数的周期答案 C解析最小正周期为T ＝π|ω|＝π2. 2.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z考点正切函数的单调性题点求正切函数的单调区间答案 C3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A.y ＝tan xB.y ＝cos xC.y ＝tan x2D.y ＝－tan x考点正切函数的性质题点正切函数性质的综合答案 C4.函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的奇偶性答案 A解析函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数.5.将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为 .(用“<”连接) 考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案 tan 2<tan 3<tan 1解析 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， ∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增加的，∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.1.正切函数的图像正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间.一、选择题1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )A.(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫45π，0D.(π，0)考点正切函数的对称性题点求正切函数的对称中心答案 C2.函数f (x )＝2tan(－x )是( ) A.奇函数B.偶函数C.奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数考点正切函数的奇偶性题点正切函数的奇偶性答案 A解析因为f (－x )＝2tan x ＝－2tan(－x )＝－f (x )，且f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )＝2tan(－x )是奇函数.3.满足tan A >－1的三角形的内角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π考点正切函数的单调性题点利用正切函数的单调性解不等式答案 D解析因为A 为三角形的内角，所以0<A <π.又tan A >－1，结合正切曲线得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.4.下列各点中，不是函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的图像的对称中心的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－38π，0考点正切函数的对称性题点求正切函数的对称中心答案 C解析令π4－2x ＝k π2，k ∈Z ，得x ＝π8－k π4(k ∈Z ).令k ＝0，得x ＝π8；令k ＝1，得x ＝－π8；令k ＝2，得x ＝－3π8.故选C.5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.0B.1C.－1D.π4考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像及应用答案 A解析由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 6.下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法正确的是( )A.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6上是增加的B.最小正周期是πC.图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 D.图像关于直线x ＝π6成轴对称考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题答案 B解析令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像也没有对称轴，故D 错误.故选B.7.已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A.12B.－12C.32D.－32 考点三角函数的诱导公式题点利用诱导公式求值答案 B解析由于tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2＝－cos α－sin α＝cos αsin α，所以f (α)＝sin αcos α·cos αsin α－cos α＝－cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π－π3＝－cos π3＝－12. 二、填空题8.函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的对称中心的坐标是 .考点正切函数的对称性题点求正切函数的对称中心答案 ⎝⎛⎭⎪⎫k π6－π12，0(k ∈Z ) 解析由3x ＋π4＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π6－π12(k ∈Z )，所以对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k π6－π12，0(k ∈Z ).9.函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域为 .考点正切函数的值域题点正切函数的值域答案 [－4，4]解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4，4].10.函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝ .考点正切函数的周期性题点求正切函数的周期答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.三、解答题11.判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性.考点正切函数的奇偶性题点判断正切函数的奇偶性解由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )，关于原点对称.f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.12.求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心.考点正切函数的图像及应用题点正切函数的图像与性质的综合问题解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R 且x ≠2k π＋5π3，k ∈Z .②∵T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z . ∴函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z . 13.已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值. 考点三角函数定义与诱导公式题点三角函数定义与诱导公式解 (1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1， ∴sin α＝y |OP |＝－351＝－35. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos αsin α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 四、探究与拓展14.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在区间[0，2π]上交点的个数是多少？考点正切函数的图像题点正切函数的图像解因为当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0，2π]内的图像如图所示，观察图像可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0，2π]上有3个交点.15.设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式.考点正切函数综合问题题点正切函数综合问题解由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2.从而f (x )＝tan(2x ＋φ).∵函数y ＝f (x )的图像关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π或π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z ).∵0<φ<π2，∴φ只能取π4.故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.。

北师大版数学高一(北师大)必修4学案 1.7正切函数

第一章三角函数1.7 正切函数的定义、图像及性质教学目标：（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

二、教学重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质三、教学难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题自主讲练知识点一正切函数的定义常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数。

正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠2π＋kπ(k ∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值ab是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠2π＋kπ，k ∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ααcos sin (α∈R ，α≠2π＋kπ，k ∈Z).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。

从图中可以看出：当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方；当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。

分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。

因此，我们称有向线段AT 为角α的正切线。

高中数学学案必修四《第一章正切函数的诱导公式》

2．已知tan =2,求下列各式的值：
（1） ;
（2） ;
作业
反思
板书Leabharlann 设计公式五公式六：公式七：公式八：
2.运用上面的诱导公式我们可以归纳出以下公式：
tan(2π＋α)＝tan(－α)＝
tan(2π－α)＝tan(π－α)＝
tan(π＋α)＝
问题生成记录：
精
讲
互
动
例1．若tanα＝，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值
例2．化简：
达
标
训
练
1.已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin ,cos ,tan 的值.

第课时
课题名称
时间
第周星期
课型
新授课
主备课人
目标
1.巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式
能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值
重点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
二次备课
难点
运用诱导公式求出任意角的三角函数值
自
主
学
习
1.复习：
公式一公式二：
公式三：公式四：

柞水高中数学第一章三角函数1.7正切函数的诱导公式学案北师大版必修4

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高中数学 第一章 三角函数 7 第2课时 正切函数的诱导公式教学案 北师大版必修4

1.7 正切函数的诱导公式 学案 高中数学必修4(北师大版)