城西分校九一部一元二次方程复习
九年级上册数学《一元二次方程期末复习资料》
一元二次方程复习资料一、一元二次方程的概念 （一）知识点:一元二次方程的概念： 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的解: （二）典型例题与练习1. 若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 。
2. 一元二次方程（a+1）x 2﹣ax+a 2﹣1=0的一个根为0，则a= 。
3. 若1x =是关于x 的一元二次方程230x mx n ++=的解，则62m n += 。
4.若11x =-是关于x 的方程250x mx +-=的一个根，则此方程的另一个根2x = 。
5.已知关于x 的的一元二次方程20x x k -+=的一个根是2，则k 的值是 。
6.已知x =3是方程260x x k -+=的一个根，则k = 。
7. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是 。
二、一元二次方程的解法（一）知识点:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 （二）典型例题与练习1. 方程()12x x -=的解是（ ）A.1x =-B. 2x =-C. 1212x x ==-，D.1212x x =-=， 2.方程()()565x x x --=-的解是（ ）A ．5x = B. 5x =或6x = Ｃ. 7x = Ｄ. 5x =或7x =3.已知三角形两边长是方程0652=+-x x 的两个根，则三角形的第三边c 的取值范围是 ．4. 若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一根是0，则m 的值等于 5.一元二次方程x 2＋x －2＝0的解是____________________．6.方程(1)(2)2(2)x x x -+=+的根是 ．7.一元二次方程2340x x +-=的解是 。
8. 方程2560x x --=的两根为( )A ． 6和-1B ．-6和1C ．-2和-3D ．2和39. 解方程：（1）2210x x --= （2） x 2+x －1=0．（3）22760x x -+= （4）24)12(3+=+x x x（5）2)3(3)3(222--=-y y y y （6）4)2)(1(22=++-+t t t t10.已知关于x 的方程a a x a x a ,0)1()1(2)2(2=++---为何值时，（1）有一个实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）有两个不等实数根11.菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程01272=+-x x 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 。
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一元二次方程章节复习一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x xkx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。
★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
九年级数学一元二次方程总复习资料
九年级数学一元二次方程总复习资料一、知识扫描1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。
这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
例如：535,53,02,3422222+===-+-x x x x x x x 都是一元二次方程。
而03132=-+x x不是一元二次方程，原因是x1是分式。
2.任何关于x 的一元二次方程的都可整理成)0(02≠=++a c bx ax 的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。
化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。
注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b 、c 均可以为零。
如方程013x 023x 02222=-=-=、、x x 都是一元二次方程。
3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。
如x=1时，022=-+x x成立，故x=1叫022=-+x x的解。
4.一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。
（1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x的解为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成()a =2的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。
一元二次方程专题复习资料全
一元二次方程专题复习知识盘点1．方程中只含有 个未知数.并且整理后未知数的最高次数是 。
这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数。
a ）。
2。
一元二次方程的解法:(1)直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方.而另一边是一个 时.可以根据 的意义。
通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax的一般步骤是：①化二次项系数为 。
即方程两边同时除以二次项系数；②移项。
使方程左边为 项和 项。
右边为 项； ③配方。
即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2()x m n +=的形式.如果n 是非负数。
即0n ≥。
就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0。
则原方程 .（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠。
当24b ac -_______ 0时。
x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 .得到两个 方程； ④解这两个方程.它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 。
（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根， 即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根。
即-----==21x x , （3)ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4。
一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x . 则12x x += 。
12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时.一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样.即审、找、设、列、解、答六步。
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一元二次方程专题复习【知识回顾】1.灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的-•般形式：做2+bx + c = 0(dH0)四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，公式法:(戸一4必$0)注意：(1) 一定要注意QHO，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进;(2)掌握一元二次方程求根公式的推导；(3)主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次” •2.根的判别式及应用(A = &2-4ac)：(1)一元二次方程ax2 +加+ c = 0(a工0)根的情况：①当A>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△ = ()时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根.(2)判定一元二次方程根的情况；(3)确定字母的值或取值范围。
3.根与系数的关系(韦达定理)的应用：b c韦达定理:如一元二次方程ax1 +Z?x + c = 0(«^0)的两根为,则西+无=——，占•匕=— a ~ a适用题型：(1)已知一根求另一•根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)己知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号：(西,召是方程两根)；(6)题冃给出两根Z间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是/?/△的两直角边求斜边等悄况.注意：(1 ) %]2 + =(X] + 兀2)~ — 2兀]• X,(2) (x, -x2)2 = (Xj +x2)2 -4^ -x2；x} -x2 =+x2)2 -4x, -x 2A>0（3）①方程有两正根，贝iJ<X]+兀2>0；-x2 > 0A>0②方程有两负根，贝IJ西+兀；x l-x2>0[A>0③方程冇一正一负两根，贝叽“[x A -x2 < 0[A>0④方程一根人于1,另一根小于1,贝几仃 .、八[（x, — l）（x2 -l）<0（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时, 一•般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以西,吃为根的一元二次方程为X2-U.十兀2）兀+西*2 =0 ；求字母系数的值时，需使二次项系数QH0，同时满足△》（）；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根Z和坷+乞，两根Z积旺的代数式的形式，整体代入。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习资料一元二次方程专题复知识盘点：1.一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，且整理后未知数的最高次数为2的方程。
通常可写成如下的一般形式：ax^2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）。
2.一元二次方程的解法：1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的平方，而另一边是一个常数时，可以根据平方的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
2）配方法：用配方法解一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为一次项和常数项，右边为零项；③配方，即方程两边都加上b/2a的平方；④化原方程为(x+m)^2=n的形式，如果n是非负数，即n≥0，就可以用开平方法求出方程的解。
如果n＜0，则原方程无实数解。
3）公式法：方程ax^2+bx+c=0（a≠0），当b^2-4ac>0时，x=(-b±√(b^2-4ac))/2a；当b^2-4ac=0时，x=-b/2a；当b^2-4ac<0时，方程无实数解。
4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为零；②将方程的左边化成两个一次项的乘积；③令每个因式都等于零，得到两个一次方程；④解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式：1）b^2-4ac>0，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，即x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a；2）b^2-4ac=0，即一元二次方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-b/2a；3）b^2-4ac<0，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）无实数根。
4.一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1和x2，则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
一元二次方程复习要点
一元二次方程的复习一、1、一元二次方程的要点：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知数，且未知数的最高次数是2。
2、能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。
一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数．例题讲解：1、把方程x x 2)1(32=-化成一般形式是______________2、当m_________时，关于x 的方程(m-1)x m 2+1+2mx+3=0是一元二次方程。
二、一元二次方程的解法：（一）”夹逼法”的思想，列表，观察。
此类题主要在填空或选择题中，方程的解或根在代数式的值的正与负之间。
一般地，对于形如 或 的方程，根据平方根的定义，可解．这种解一元二次方程的方法叫做开平方．切记，开平后有正负两种情况。
例题讲解：（1）方程x 2＝49的根是____； (2)9x 2－16＝0的根是____；配方的步骤：（1）先把二次项系数化为1；（2）先把方程常数项移到方程的右边，即移项．（3）方程的两边同加一次项系数的一半的平方，左边配成完全平方式；（4）若方程右边为非负数时，就可以用开平方法解出方程的根；（5）若配方后，方程右边为负数，那么原方程无解。
即:化、移、配、开、解例题：1、03522=-+x x （用配方法解）2、例题讲如果x2+2（m －2）x+9是完全平方式，那么m 的值等于（ ）A.5B.5或－1C.－1D.－5或－13、2x 2-9x+8=04、用配方法证明：5x 2－6x ﹢11的值恒大于0..(四1）把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值.（2）求出的值.（3）代入求根公式 : （4）写出方程的解例题讲解:1. 2325x x =+ （用公式法解）2.x 2+4x+4=0)0(02≠=++a c bx ax 的根为.2421a ac b b x -+-=，.2422a ac b b x ---=∴,2221a b a b x x -=-=+.4)4(22221a c a ac b b x x =--= 综上所述得，设)0(02≠=++a c bx ax 的两根为1x 、2x ，则有,21a b x x -=+ .21a c x x ==b 2-4a c ＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4a c=0时,方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4a c ＜0时,方程没有实数根请利用以上结论解决下列问题：1、（1）若02=++c bx x 的两根为1和3，求b 和c 的值。
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一元二次方程专题复习知识盘点1. 方程中只含有 _个未知数.并且整理后未知数的最高次数是 _ 这样的_ 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式(a 、b、C、为常数.a ) 。
2. 一元二次方程的解法：(1)____________________________________________________________ 直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 _____________________ 的平方•而另一边是一个 ________ 时•可以根据 ________ 的意义•通过开平方法求出这个方程的解。
(2)配方法：用配方法解一元二次方程aχ2∙ bx ∙ c = O a = O的一般步骤是：①化二次项系数为.即方程两边同时除以二次项系数；②移项.使方程左边为 ______ 项和________ 项.右边为______ 项；③配方.即方程两边都加上_________________ 的平方；④化原方程为(X - m)2= n的形式.如果n是非负数.即n _ 0.就可以用____________ 法求出方程的解。
如果n v 0.则原方程_______ 。
(3) ______________________________________________ 公式法：方程ax2+bx+c = 0(a ≠0).当b2—4ac ___________________________ 0 时.x = ________(4)因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为_______ ;②将方程的左边化成两个_____ 的乘积；③令每个因式都等于. 得到两个______________ 方程；④解这两个方程.它们的解就是原方程的解。
3. 一元二次方程的根的判别式(1) ______________________________________________________ b2—4ac>0= —元二次方程aχ2∙ bx ∙ c = 0 a = 0有两个_____________________ 的实数根,即X^= ------------------ , X2 = --------------------(2)b2 -4ac=0= —元二次方程有两个________ 的实数根.即Xi =X2 ------ -------- ,(3)b2 -4ac<0= —元二次方程aχ2■ bx■ c = 0 a = 0 ____ 实数根。
专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练
2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【知识梳理】1．一元二次方程的有关概念：（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（2）配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为20++=（a≠0）的形式；ax bx c②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．（3）公式法：把x b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.一元二次方程根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4.一元二次方程根与系数的关系：（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+ x2=-p，x1x2=q反过来可得p=-（x1+ x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，反过来也成立，x1+ x2=—ba ，x1x2=ca（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【典例剖析】【考点1】一元二次方程的定义【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若（m+3）x|m|−1−(m−3）x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0B．x2−4=(x+3)2C．x2+3x−5=0D．3x(x−4)=0【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于x的方程(a+2)x a2−2−3x−1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）A．a=±2B．a=−2C．a=2D．a为任意实数【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程(a−1)x2+x=0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a=1B．a>1C．a≠1D．a<1【考点2】一元二次方程的一般形式【例2】（2022·浙江温州·八年级期末）把一元二次方程x(2x−1)=x−3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3=0B．2x2−2x−3=0C．2x2−x+2=0D．2x2−2x+3=0【变式2.1】（2022·全国·九年级单元测试）将一元二次方程（x+1）（x+2）＝0化成一般形式后的常数项是___．【变式2.2】（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程(2+x)(3x−4)=5化为一般形式为______，它的二次项是_______，一次项是_______，常数项是_______．【变式2.3】（2022·山东淄博·八年级期末）关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为__．【考点3】一元二次方程的根【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．【变式3.1】（2022·广西崇左·八年级期末）已知x=1是一元二次方程x2+ax−2=0的一个根，则a的值为_________．【变式3.2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）若a是方程2x2−x−5=0的一个根，则代数式2a−4a2+1的值是_________．【变式3.3】（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为_____．【考点4】一元二次方程的解法—配方法选填题【例4】（2022·西藏·江达县第二初级中学校九年级期末）将一元二次方程x2−6x−6=0配方后可写为________．【变式4.1】（2022·山东烟台·八年级期末）把一元二次方程x2−4x−8=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值为________．【变式4.2】（2022·四川宜宾·九年级期末）将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3)2=n，则m+n的值是_______．【变式4.3】（2022·山东威海·八年级期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最小值为n，那么m+n的值为_________．【考点5】一元二次方程的解法—因式分解法选填题【例5】（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）一元二次方程(2x−3)2＝9(x+1)2的根为x1＝_____，x2＝_____．【变式5.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）x2=2x的根为_____．【变式5.2】（2021·黑龙江哈尔滨·八年级期末）若一个一元二次方程x2−5x+6=0的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，则Rt△ABC斜边长为___．【变式5.3】（2021·河南·邓州市城区第五初级中学校.九年级阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若（m+2）◎（m﹣3）=24，则m=_____．【考点6】一元二次方程的解法—解答题【例6】（2022·山东省泰安南关中学八年级期中）解下列方程(1)2x2−4x+1=0（用配方法）；(2)3x2−4x−1=0（公式法）；【变式6.1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）按照指定方法解下列方程：(1)x2＋4x＋1＝13（配方法）；(2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）；(3)（x＋1）2＝3（x＋1）(4)（x﹣3）（x＋2）＝6【变式6.2】（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）解方程：(1)2x2+2x=1(2)2x2−3x−5=0【变式6.3】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=﹣2（舍去）；（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x1=﹣5，x2=2（舍去）；综上所述，原方程的解是x1=5，x2=﹣5．问题：仿照上面的方法，解方程：x2−2|2x+3|+9=0．【考点7】根的判别式【例7】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x(x−2)=k．(1)若k=3，求此方程的解；(2)当k≥−1时，试判断方程的根的情况．【变式7.1】（2022·江苏南通·八年级期末）已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+(2a+1) x+2=0．(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【变式7.2】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的方程p x2+(2p+1)x+(p−1)=0有两个不相等的实根，判断关于x的方程x2−3x−2p=0的根的情况．【变式7.3】（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x的一元二次方程k x2+(3k+1)x+2k+2=0(k≠0)．(1)求证：无论x取何值，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两根都是整数，求整数k的值．【考点8】根与系数的关系【例8】（2022·广西玉林·二模）关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−2k+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分为x1、x2，且x2+x22+x1x2=19，求k的值．1【变式8.1】（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1，x2满足x1＋x2＝12，请求出方程的两根．【变式8.2】（2022·山东淄博·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−2kx+k−12=0．(1)判断该方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的两个实数根之和等于两根之积，求k的值．【变式8.3】（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0，(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．(2)若x1，x2是原方程的两根，且1x1+1x2=−2，求m的值．【考点9】配方法的综合应用【例9】（2022·福建·福州十八中八年级期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝(x+3)2﹣4∵(x+3)2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5x﹣1＝(x+a)2+b，则ab的值是_______．(2)求证：无论x取何值，代数式x2+7的值都是正数；(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．【变式9.1】（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式x2−6x−7因式分解，可以分解如下：x2−6x−7=x2−6x+9−9−7=(x−3)2−16=(x−3+4)(x−3−4)=(x+1)(x−7)(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2−8x+7因式分解．(2)拓展：当代数式x2+2xy−3y2=0时，求xy的值．【变式9.2】（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x−3最小值．x2+2x−3=x2+2x⋅1+12−12−3=(x+1)2−4∵(x+1)2≥0∴当x=－1时，x2+2x−3有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)x2+5=x2+2+2+2=(x+a)2+b，则a＝__________，b＝__________；(2)若代数式x2−2kx+7的最小值为3，求k的值．【变式9.3】（2022·全国·九年级课时练习）先阅读，后解题．已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．即(m+1)2+(n−3)2=0．∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m＝－1，n＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．。
九年级第1讲 一元二次方程专题复习
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
跟踪训练12（2011资阳期末）
答案
例1：C；跟踪训练1：A跟踪训练2．解：∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，a+1≠0且a2-1=0，∴a=1．故答案为1．例2解：∵x2-2x=2x+1，∴x2-4x=1，∴x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，∴x-2=± ，∴x1=2+ ，x2=2- ．例3解：解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A跟踪训练3D解：x2-2x+1=3599+1，即（x-1）2=3600，x-1=60，x-1=-60，解得：x=61，x=-59，∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=-59，∴2a-b=2×61-（-59）=181，故选D．跟踪训练4D 跟踪训练5解：这里 =1， =－6， =－2， ．所以=3 ．原方程的解是： =3＋ ， =3－ ．例4解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k＞0，∴－ ≤k＜ 且k≠0．故选D．例5解：（1）证明：（m-2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为： ；该直角三角形的周长为1+3+ =4+ ；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 ；则该直角三角形的周长为1+3+2 =4+2 ．跟踪训练6A．跟踪训练7解：（1）∵当m=3时，△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=-3．跟踪训练8△=b2-4ac=4a2-4(b+c)(b-c)=0,可得a2+b2=c2所以△ABC为直角三角形跟踪训练9将x、y看作是关于m的一元二次方程m2-2m+z2+1=0的两个根,所以△=b2-4ac=4－4（z2+1）=－4z2≤0，显然－4z2=0，原方程才有解，∴z=0，故x+y+z的值为2例6：－3例7：C
苏州城西中学数学一元二次方程(提升篇)(Word版 含解析)
苏州城西中学数学一元二次方程（提升篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，4,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒43个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ∆为等腰三角形；(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！【答案】（1）（4，4），（43t ，0）；（2）1101-，4； （3）存在，3109t【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可； （2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求解，即可得出结果； （3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =，则可得224BPx ，43DPx ，453DF,利用1122BDPS DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。
【详解】解：（1）∵()4,0-A ，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形， ∴点C 坐标为（4，4），又∵P 为x 轴上一动点，点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒43个单位长度运动，P 点运动时间为t ，∴P 点坐标为（43t ，0）， （2）∵B ，D 的坐标分别为：()0,4B ，4,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴4OB =,43OD =, 由勾股定理有：22224441033DB OBOD, 当BDP ∆为等腰三角形时， ①如图所示，当BDBP 时，OD OP =,∴P 点坐标为（43，0）, ∴1t =②如图所示，当BD DP =时，∵4103DB ，OP DP OD∴44410101333OP ,∴101t③如图所示，当BP DP =时，设P 点坐标为：（x ，0） 则有：2224BP x，2243DPx， ∴222443xx，解之得：163x = ∴P 点坐标为（163，0）, ∴4t =综上所述，当t 为1，101-，4时，BDP ∆为等腰三角形；（3）答：存在t ，使得ABD OBP ∠=∠。
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城西分校九一部一元二次方程复习
姓名______________ 班级______________ 日期_________
知识整理
1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
练习：
（1.）若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ）0
（D ）不等于2 （2）已知关于x 的方程()2220m m x
x m --+-=： ①m 为何值时方程为一元一次方程；②m
为何值时方程为一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式 （1）关于x 的方程06232=-+x x 中a 是 ；b 是 ；c 是 。
3.一元二次方程的解
（1）已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 。
（2）设a 是一元二次方程052=+x x 的较大根，b 是0232=+-x x 较小根，
那么b a +的值是 （ ）
（A ）-4 （B ）-3 （C ）1 （D ）2
（3）已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程
131x x +=-的解相同。
①求k 的值；②求方程220x kx +-=的另一个解。
4.一元二次方程的解法
解下列方程：
（1）()2331x x +=+ （2）()()12
11312-=-x x （3）2230x x +-=
Q P D C
B A
5.一元二次方程根的判别式
（1）已知方程2
30x x k -+=有两个不相等的实数根，则k= 。
（2）关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试判断关于x 的方程
()()02252=++--m x m x m 的根的情况。
6.一元二次方程根与系数的关系
(1)已知,αβ是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足1
1
1αβ+=-，则m 的值是 （ ）
（A ）3或-1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或1
(2)两个不相等的实数m,n 满足2264,64m m n n -=-=，则mn 的值为 。
(3)设12,x x 是关于x 的方程()()2100x
m x m m +--=≠的两个根，且满足121123x x +=-，求m 的值。
7.一元二次方程的实际应用
在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。
点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。
如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。
那么，当t 为何值时，△Q AP 的面积等于2cm 2?
一元二次方程中考链接
一、选择题
1.（2015•成都） 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范
围是 （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）且
2.已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）．
A ．－5或1
B ．1
C ．5
D ．5或－1
3.（2015•甘肃兰州） 股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是 （ ） A. 1011)1(2=+x B. 910)1(2=+x C. 101121=+x D. 9
1021=+x 4.若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）．
A ．a=b=c
B ．一根为1
C ．一根为－1
D ．以上都不对
5.已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空
6.（2015•江西） 已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则m 2－mn ＋n 2＝ ．
7.如果
21x －2x －8=0，则1x 的值是________． 8.x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________．
9. （2015•呼和浩特）若实数a 、b 满足(4a +4b ) (4a +4b －2)－8=0，则a +b=__________.
三、解答题
10.（2015•山东菏泽）已知m 是方程01x x 2=--的一个根,求4)3m (m )1m (m 22++-+的值.
11.如果x 2－10x+y 2－16y+89=0，求
x y
的值．
x 0122=-+x kx k 1->k 1-≥k 0≠k 1->k 0≠k
12.阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4－5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2－5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．
当y=1时，x 2=1，∴x=±1；
当y=4时，x 2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=－1，x 3=2，x 4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，•体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x 2+x ）2－4（x 2+x ）－12=0．
13．.设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程
12x 2－12a=0有两个相等的实数根，•方程3cx+2b=2a 的根为x=0．
（1）试判断△ABC 的形状．（2）若a ，b 为方程x 2+mx －3m=0的两个根，求m 的值．
14.。