第17讲 导数的概念及其运算(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

9、(2019 南通、泰州一调） 若曲线 y＝xlnx 在 x＝1 与 x＝t 处的切线互相垂直，则正数 t 的值为________． 【答案】 e－2 【解析】、y′＝lnx＋1，由题意得(ln1＋1)·(lnt＋1)＝－1，所以 t＝e－2.
10、(2019 常州期末） 已知函数 f(x)＝bx＋lnx，其中 b∈R.若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y＝f(x)相切，
8 （2）x＋y＋e12＝0
【解析】 (1)设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q(x0，y0)，则过点 Q 的曲线 S 的切线斜率为 k＝
y′|x＝x0＝－2x20＋2x0＋4，又当 x0≠0 时，kPQ＝yx00， ∴－2x20＋2x0＋4＝yx00. ①∵点 Q 在曲线 S 上，∴y0＝－23x30＋x20＋4x0.②
（ex）2
ex
(2)由已知 f(x)＝x－ln x＋2x－x12.
∴f′(x)＝1－1－ 2 ＋ 2 ＝x3－x2－2x＋2.
x x2 x3
x3
(3)∵y＝xsin
2x＋π 2 cos
2x＋π 2
＝1xsin(4x＋π)＝－1xsin
4x，
2
2
∴y′＝－1sin 4x－1x·4cos 4x＝－1sin 4x－2xcos 4x.
4 【解】 (1)由函数 f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
二、基础wenku.baidu.com识回顾
1. 导数的概念 设 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 上 有 定 义 ， 且 x0 ∈ (a ， b) ， 若 Δx 无 限 趋 近 于 0 时 ， 比 值 Δy ＝
Δx f（x0＋Δx）－f（x0）无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0
x
x
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在同一直角坐标系内作出函数 y＝ln x 与 y＝1的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程 f(x) x sin x
＝f′(x)存在实数解，故 C 符合要求；若 f(x)＝tan x，则 f′(x)＝ cos x ′＝co1s2x，令 tan x＝co1s2x，化简得 sin xcos
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3、
设
M
为曲线
C：y＝2x2＋3x＋3
上的点，且曲线
C
在点
M
处切线倾斜角的取值范围为
3π，π 4
，则点
M
横坐标的取值范围为(D )
A. [－1，＋∞)
－∞，－3
B.
4
－1，－3
－1，－3
C.
4 D.
4
【答案】D
【解析】、
由题意
y′＝4x＋3，切线倾斜角的范围是
基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝xα
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1
续表
基本初等函数
导函数
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0) f(x)＝lnx
f′(x)＝－sinx f′(x)＝ex
f′(x)＝axlna f′(x)＝1 x
2 8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速 度 v＝________ m/s，加速度 a＝________ m/s2.
【答案】－9.8t＋6.5 －9.8
【解析】、v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.
A．(sin x)′＝cos x
C．(log3x)′＝ 1 3ln x
【答案】AD
1
B.
x
′＝ 1 x2
D．(ln x)′＝1 x
1
【解析】
因为(sin x)′＝cos x，
x
′＝－x12，(log3x)′＝xln1
，(ln 3
x)′＝1，所以 x
A、D
正确．
6．(多选)已知函数 f(x)及其导函数 f′(x)，若存在 x0 使得 f(x0)＝f′(x0)，则称 x0 是 f(x)的一个“巧值点”．下列选
－2x30＋x20＋4x0
将②代入①得－2x20＋2x0＋4＝ 3
，化简，得
x0
43x30－x20＝0，∴x0＝34或
x0＝0，
当 x0＝3时，则 k＝35，过点 P 的切线方程为 y＝35x.
4
8
8
当
x0＝0
时，则
k＝4，过点
P
的切线方程为
y＝4x，故过点
P
的曲线
S
的切线方程为
y＝4x
或
y＝35x. 8
Δx 处的导数，记作 f′(x0)． 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f′(x)． 2. 导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点 P 的切线 方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3. 基本初等函数的导数公式
x＝1，变形可得 sin 2x＝2，无解，故 D 不符合要求．故选 A、C. 7、已知曲线 f(x)＝xsinx＋1 在点(π，f(π))处的切线与直线 ax－y＋1＝0 互相垂直，那么实数 a 的值为____．
22 【答案】－1 【解析】 f′(x)＝sinx＋xcosx，当 x＝π时， f′(x)＝1，∴a＝－1.
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第 17 讲：导数的概念及其运算
一、课程标准
1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1的导数．
x 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
A. 3x－y－π＝0 B. x－y＋π＝0
2
2
C. 3x－y－3π＝0 D. x－y－π＝0
2
2
【答案】B.
【解析】 f(x)＝2x＋cosx，f(π)＝π，f′(x)＝2－sinx，f′(π)＝1，在点(π，f(π))处的切线方程为
2
2
22
y－π＝x－π，即为 x－y＋π＝0.故选 B.
2
2
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2
2
2
变式 2、已知 f(x)＝ln 2x－1，则 f′(x)＝________. 2x＋1
【答案】4x24－1.
ln 2x－1
1 2x－1
【解析】、f′(x)＝ 2x＋1 ′＝2x－1 2x＋1 ′
2x＋1
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（2x－1）′（2x＋1）－（2x－1）（2x＋1）′
3π，π 4
，则切线的斜率
k
的范围是[－1，0)，∴－1≤4x
＋3<0，解得－1≤x<－3. 故选 D. 4
4、.设 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝0，则 x0 等于(A )
A. 1
B. e
C. e2 D. 1
e
【答案】A.
【解析】 f′(x)＝ln x＋1，由 f′(x0)＝0， 得 ln x0＋1＝0，∴ln x0＝－1，即 x0＝1e. 故选 A. 5、(多选)下列求导数运算正确的有( )
例 1、求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1；
x (3)y＝coesx x. 【解析】、(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝
ln
x＋1 x
′＝(ln
x)′＋
1 x
′＝1x－x12.
(3)y′＝
cos x ex
项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x
D．f(x)＝tan x
【答案】AC
【解析】选 若 f(x)＝x2，则 f′(x)＝2x，令 x2＝2x，得 x＝0 或 x＝2，方程显然有解，故 A 符合要求；若 f(x)
＝e－x；则 f′(x)＝－e－x，令 e－x＝－e－x，此方程无解，故 B 不符合要求；若 f(x)＝ln x，则 f′(x)＝1，令 ln x＝1，
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4. 导数的运算法则
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f′(x)＝ 1 xlna
若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
则 k－b 的值为________．
【答案】 1 e
f（x0）＝bx0＋lnx0＝y0＝kx0，
【解析】、设直线方程为 y＝kx，切点为 A(x0，y0)，则有 f′（x0）＝b＋x10＝k，
从而有 bx0＋lnx0＝
kx0＝bx0＋1，解得
x0＝e，所以
k－b＝ 1 ＝1. x0 e
11、(2019 苏州期末） 曲线 y＝x＋2ex 在 x＝0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
＝2x＋1·
（2x＋1）2
＝4.
2x－1
4x2－1
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求
导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内
∴x0＝e12.
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由 f′(x0)＝－1 得切线方程是 x＋y＋e12＝0. 变式 1、已知函数 f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－1x＋3 垂直，求切点坐标与切线方程．
逐层求导，必要时可换元
考点二 求导数的切线方程
例 2、(1)已知曲线 S：y＝－2x3＋x2＋4x 及点 P(0，0)，那么过点 P 的曲线 S 的切线方程为____． 3
(2)已知函数 f(x)＝xlnx，过点 A(－e12，0)作函数 y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____． 【答案】（1）y＝4x 或 y＝35x
′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin x＋cos x. ex
变式、求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋x； ex
(2)f(x)＝x3＋2x－x2ln x－1； x2
2x＋π 2x＋π (3)y＝xsin 2 cos 2 .
【解析】、(1)f′(x)＝（2x＋1）ex－（x2＋x）ex＝1＋x－x2.
(2)设切点为 T(x0，y0)，则 kAT＝f′(x0)，
x0lnx0 ∴x0＋e12＝lnx0＋1，即 e2x0＋lnx0＋1＝0. 设 h(x)＝e2x＋lnx＋1，则 h′(x)＝e2＋1，当 x>0 时，h′(x)>0，
x
1 ∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0 最多只有一个根. 又 h e2 ＝e2×e12＋lne12＋1＝0，
B.x－2y＋2＝0
C.2x－y－1＝0
D.x＋2y－2＝0
【答案】A
【解析】、 由 f(x)＝ x ，得 f′(x)＝ 2 ，
x＋2
（x＋2）2
又 f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.
因此函数在 x＝－1 处的切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 2x－y＋1＝0.
2、 函数 f(x)＝2x＋cosx 在点(π，f(π))处的切线方程为( ) 22
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x，即 y 对 x 的导数等于 y
对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
三、自主热身、归纳总结
1、知函数 f(x)＝ x ，则函数在 x＝－1 处的切线方程是( ) x＋2
A.2x－y＋1＝0
【答案】 2 3
【解析】、由 y＝x＋2ex，得 y′＝1＋2ex，切点为(0，2)，切线斜率为 3，切线方程为 y＝3x＋2.切线与坐标轴
的交点为
A
2，0 3
，B(0，2)，所以
S△AOB＝12·23·2＝23.
四、例题选讲
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考点一、基本函数的导数
f（x） (3) g（x） ＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．
g2（x）
5. 复合函数的求导法则
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为
函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x))．