河南省201x年中考数学专题复习 专题四 与圆有关的计算训练

专题四与圆有关的计算类型一与切线有关的简单证明与计算(xx·昆明)如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF.(1)求证：AD⊥ED；(2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．【分析】(1)连接OC，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；(2)OC交BF于H，如解图，利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH＝CD，∠CHF ＝90°，利用垂径定理得到BH＝FH，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【自主解答】(1)证明：连接OC，如解图，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；例1题解图(2)解：OC交BF于点H，如解图，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，易得四边形CDFH 为矩形， ∴FH＝CD ＝4，∠CHF＝90°， ∴OH⊥BF， ∴BH＝FH ＝4， ∴BF＝8，在Rt△ABF 中，AB ＝AF 2＋BF 2＝22＋82＝217， ∴⊙O 的半径为17.1．(xx·河南说明与检测)如图，AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上任一点．(1)若∠BAC＝30°，过点C 作半圆O 的切线交直线AB 于点P.求证：△PBC≌△AOC；(2)若AB ＝6，过点C 作AB 的平行线交半圆O 于点D ，当以点A 、O 、C 、D 为顶点的四边形为菱形时，求BC ︵的长．2．(xx·河南说明与检测)如图，在⊙O 中，∠AOB＝120°，点C 为AB ︵的中点，延长OC 到点D ，使CD ＝OC ，AB 交OC 于点E. (1)求证：DA 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝6，求弦AB 的长．3．(xx·河南说明与检测)如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，∠CAE＝∠ADF. (1)判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF∶PC＝1∶2，AF ＝5，求CP 的长．4．(xx·金华)如图，在Rt△ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD.已知∠CAD＝∠B. (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝8，tan B ＝12，求⊙O 的半径．5．(xx·玉林)如图，在△ABC 中，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，∠DAC＝∠B. (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)点E 是AB 上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝12，⊙O 的半径是4，求EC 的长．6．(xx·天津)已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC＝38°. (Ⅰ)如图①，若D 为AB ︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；(Ⅱ)如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若DP∥AC，求∠OCD 的大小．图①图②7．(xx·信阳一模)如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O 于点F，且CE＝CB.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数．8．(xx·河南说明与检测)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB ︵的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E 是OB 的中点，CE 的延长线交切线BD 于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH. (1)求证：AC ＝CD ； (2)若OB ＝2，求BH 的长．类型二 与四边形判定结合的证明与计算(xx·河南)如图，AB 是⊙O 的直径，DO⊥AB 于点O ，连接DA 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交DO 于点E ，连接BC 交DO 于点F. (1)求证：CE ＝EF ；(2)连接AF 并延长，交⊙O 于点G.填空：①当∠D 的度数为________时，四边形ECFG 为菱形；②当∠D的度数为________时，四边形ECOG为正方形．例2题图【分析】(1)连接OC，如解图，利用切线的性质得∠1＋∠4＝90°，再利用等腰三角形的性质和互余证明∠1＝∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；(2)①要证明四边形ECFG为菱形，可知△CEF为等边三角形，∵∠ACB＝90°，∠CFE＝60°，∴∠D可求；②∵四边形ECOG为正方形，∴∠COG＝90°，∠COF＝45°，则∠COA＝45°，根据△ACO是等腰三角形，在Rt△AOD中，已知∠DAO，则∠D可求．【自主解答】(1)证明：连接OC，如解图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，即∠1＋∠4＝90°，∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°，∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠B＝90°，又∵OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE；(2)解：①当∠D＝30°时，四边形ECFG为菱形，【解法提示】∵四边形ECFG为菱形，∴CE＝CF＝FG＝EG，由(1)知CE＝EF，∴△ECF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，∵∠ACB＝90°，∵∠DCF＝90°，∴∠D＝90°－60°＝30°.②当∠D＝22.5°时，四边形ECOG为正方形．【解法提示】例2题解图∵四边形ECOG为正方形，∴CO＝CE，∴∠OCE＝90°，∴△COE是等腰直角三角形，∴∠COE＝45°，∵DO⊥AB，∴∠DOA＝90°，∴COA＝∠DOA－∠COE＝45°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝67.5°，∴∠D＝90°－62.5°＝22.5°.1．(xx·河南)如图，在R t△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MD＝ME；(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝______；②连接OD，OE，当∠A的度数为__________时，四边形ODME是菱形．2．(xx·河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD、PO.(1)求证：△CDP≌△POB；(2)填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为______；②连接OD，当∠PBA的度数为__________时，四边形BPDO是菱形．3．(xx·河南)如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.(1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；(2)填空：①当DP＝______ cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝________ cm时，四边形AOBP是正方形．4．(xx·驻马店一模)如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC＝CO，点B在⊙O上，且∠CAB＝30°.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5 cm时，①当弧CD长为______时，四边形ADPB为菱形；②当弧CD长为______时，四边形ADCB为矩形．5．(xx·濮阳一模)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC.(1)求证：四边形OCAD 是平行四边形； (2)探究：①当∠B＝________°时，四边形OCAD 是菱形； ②当∠B 满足什么条件时，AD 与⊙O 相切？请说明理由．6．(xx·河南模拟)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，⊙O 是经过A 、B 、C 三点的圆，CD 与⊙O 相切于点C ，点P 是BC ︵上的一个动点(点P 不与B 、C 点重合)，连接PA 、PB 、PC. (1)求证：CA ＝CB ；(2)①当点P 满足______________时，△CPA≌△ABC，请说明理由； ②当∠ABC 的度数为__________时，四边形ABCD 是菱形．7．(xx·河南说明与检测)如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E.(1)求证：△ABE≌△CDE.(2)填空：①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝3，AB＝22，则DE的长为_________．︵8．(xx·河南说明与检测)如图，半圆O的直径为AB，点M为半圆上一动点(不与点A，B重合)，点N为AM的中点，ND⊥AB于点D，过点M的切线交DN的延长线于点C.(1)若MC∥AB，①求证：AD＝CN；②填空：四边形OMCD是何种特殊的四边形？________．(2)填空：当∠ANM＝____________时，四边形ANMO为菱形．9．(xx·河南说明与检测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证：OE∥AD；(2)填空：①∠BAC＝________°时，四边形ODEB是正方形；②当∠BAC＝________°时，AD＝3DE.10．(xx·濮阳一模)如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF.(1)求证：△DAC≌△ECP；(2)填空：①四边形ACED是何种特殊的四边形？②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是______________．11．如图，已知⊙A的半径为4，EC是⊙A的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A 于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF.(1)试判断直线BF与⊙A的位置关系，并说明理由；(2)填空：①当∠CAB＝__________时，四边形ADFE为菱形；②当EF＝___________时，四边形ACBF为正方形．12．(xx·河南说明与检测)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG.设⊙O的半径为5.①当CF＝__________时，四边形ABCG为菱形；②当BC＝45时，四边形ABCG的面积是__________．参考答案类型一 针对训练1．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°. ∵OB＝OC ，∴△OBC 是等边三角形． ∴OC＝BC ，∠OBC＝∠BOC＝60°. ∴∠AOC＝∠PBC＝120°. ∵CP 是⊙O 的切线，∴OC⊥CP. ∴∠OCP＝90°.∴∠ACO＝∠PCB. 在△AOC 和△PBC 中，⎩⎨⎧∠AOC＝∠PBCOC ＝BC∠AOC＝∠PCB，∴△PBC≌△AOC. (2)解：如解图①，∵四边形AOCD 为菱形， ∴OA＝AD ＝CD ＝OC. 连接OD ，则OA ＝OD ＝OC ，∴△AOD和△COD都是等边三角形．∴∠AOD＝∠COD＝60°.∴∠BOC＝60°.∴BC ︵的长为60π×3180＝π. 如解图②，同理，∠BOC＝120°，BC ︵的长为120π×3180＝2π. 综上可知，BC ︵的长为π或2π.图①图②第1题解图2．(1)证明：如解图，连接AC.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵.第2题解图∵∠AOB＝120°，∴∠AOC ＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC ，∴△AOC 是等边三角形．∴∠OAC＝∠OCA＝60°，AC ＝OC.∵CD＝OC ，∴CD＝AC.∴∠DAC＝∠D＝12∠OCA＝30°. ∴∠DAO＝∠OAC＋∠DAC＝90°.∵OA 是⊙O 的半径，∴DA是⊙O的切线．(2)解：∵OA＝OC ，∠AOC＝∠BOC＝60°，∴AE＝BE ，OE⊥AB.在Rt△AOE 中，AE ＝OA·sin 60°＝6×32＝3 3. ∴AB＝2AE ＝6 3.3．(1)证明：AB 与⊙O 相切，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，∵∠CAE＝∠ADF，∠AEC＝∠FDC，∴∠ADF＋∠FDC＝90°，即∠ADC＝90°.∴CD⊥AB.又∵CD 为⊙O 的直径，∴AB 与⊙O 相切．第3题解图(2)解：连接FC ，DE ，如解图，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠DCF，∴∠CAE＝∠DCF，即∠CAP＝∠FCP， ∵∠CPA＝∠FPC，∴△CAP ～△FCP，∴PC PF ＝PA PC， ∴PC PA ＝PF PC ＝12， ∴PA＝2PC ＝4PF ，∴PF＝13AF ＝53，∴CP＝2PF ＝103.4．(1)证明：连接OD ，∵OB＝OD ，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD 中，∠1＋∠2＝90°，∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，第4题解图∴OD⊥AD，∵OD 为⊙O 的半径，∴AD 为⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，在Rt△ABC 中，AC ＝BC·tan B＝4，根据勾股定理得：AB ＝42＋82＝45，∴OA＝45－r ，在Rt△ACD 中，tan∠1＝tan B ＝12， ∴CD＝AC·tan∠1＝2，根据勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2＝16＋4＝20，在Rt△ADO 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，即(45－r)2＝r 2＋20，解得：r ＝352. 5．(1)证明：∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°，∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB ，设EC ＝EB ＝x ，在Rt△ABC 中，tan∠B＝AC AB ＝12，AB ＝8， ∴AC＝4，在Rt△AEC 中，∵EC 2＝AE 2＋AC 2，∴x 2＝(8－x)2＋42，解得x ＝5，∴CE＝5.6．解：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∠ABC ＝52°，∵D 为AB ︵的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°.(Ⅱ)连接OD ，如解图，∵DP 切⊙O 于点D ，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由DP∥AC，又∵∠BAC＝38°，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD 是△ODP 的一个外角，∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°，∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA ，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°.第6题解图7．(1)证明：连接OB ，如解图，∵CE＝CB ，∴∠CBE＝∠CEB，∵CD⊥OA，∴∠DAE＋∠AED＝90°，又∵∠CEB＝∠AED，∴∠DAE＋∠CBE＝90°，∵OA＝OB ，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA＋∠CBE ＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：连接OF ，交AB 于点H ，如解图，∵DF⊥OA，AD ＝OD ，∴FA＝FO ，又∵OF＝OA ，∴△OAF 为等边三角形，∴∠AOF＝60°， ∴∠ABF＝12∠AOF＝30°.第7题解图 8．(1)证明：连接OC ，如解图，第8题解图∵C 是AB ︵的中点，AB 是⊙O 的直径，∴CO⊥AB.∵BD 是⊙O 的切线，∴BD⊥AB.∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD.(2)解：∵E 是OB 的中点，∴OE＝BE.在△COE 和△FBE 中，∠CEO＝∠FEB，OE ＝BE ，∠COE＝∠FBE，∴△COE≌FBE，∴CO＝BF ，∵OB＝2，∴BF＝2，∴AF＝AB 2＋BF 2＝25，∵AB 是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴AB BH ＝AF BF， 即AB·BF＝AF·BH，∴BH＝AB·BF AF ＝4×225＝455. 类型二针对训练1．(1)证明：∵∠ABC＝90°，AM ＝MC ，∴BM＝AM ＝MC ，∴∠A＝∠ABM，∵四边形ABED 是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°，又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA，同理证明：∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)解：①由(1)可知，∠A＝∠MDE，∴DE∥AB，∴DE AB ＝MD MA， ∵AD＝2DM ，∴DM∶MA＝1∶3，∴DE＝13AB ＝13×6＝2. 故答案为2.第1题解图②当∠A＝60°时，四边形ODME 是菱形．理由如下：如解图，∵四边形ODME 是菱形，∴OD＝OE ＝DM ＝MG ，∵DM＝ME ，∴△DME 是等边三角形，∴∠EDM＝60°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠MDE＝60°.2．(1)证明：∵PC＝PB ，D 是AC 的中点，∴DP∥AB， ∴DP＝12AB ，∠CPD＝∠PBO， ∵BO＝12AB ， ∴DP＝BO ，在△CDP 与△POB 中，⎩⎨⎧DP ＝BO∠CPD＝∠PBO PC ＝PB，∴△CDP≌△POB(SAS)；(2)4【解法提示】①当四边形AOPD 的AO 边上的高等于半径时有最大面积，∵AB＝4，∴OA＝2，∴最大面积为2×2＝4；第2题解图②60°【解法提示】连接OD ，如解图，∵DP∥AB，DP ＝BO ，∴四边形BPDO 是平行四边形，∵四边形BPDO 是菱形，∴PB＝BO ，∵PO＝BO ，∴PB＝BO ＝PO ，∴△PBO 是等边三角形，∴∠PBA 的度数为60°.第3题解图3．(1)证明：连接OA，如解图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在Rt△AO P中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝30°，∵∠APO＝30°，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP是等腰三角形．(2)解：①DP＝1，理由如下：∵四边形AOBD是菱形，∴OA＝AD＝OD，∴∠AOP＝60°，∴OP＝2OA，DP＝OD.∴DP＝1，②DP＝2－1，理由如下：∵四边形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45°，∵OA＝PA＝1，OP＝2，∴DP＝OP－1，∴DP＝2－1.4．(1)证明：如解图①，连接OB、BC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠COB＝∠OAB＋∠OBA＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OC，∵PC＝OC，∴BC＝CO＝CP，∴∠PBO＝90°，∴OB⊥PB，∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．图①图②图③第4题解图(2)解：①CD ︵的长为5π3cm 时，四边形ADPB 是菱形．理由如下： 如解图②，∵四边形ADPB 是菱形，∠CAB＝30°，∴∠DAC＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∴CD ︵的长为60·π·5180＝5π3cm. ②当弧CD 的长为10π3cm 时， 四边形ADCB 为矩形，理由如下：如解图③，当四边形ADCB 是矩形时，易知∠COD＝120°，∴CD ︵的长为120·π·5180＝10π3cm. 5．(1)证明：∵OA＝OC ，AD ＝OC ，∴OA＝AD ，∠AOD＝∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD，∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO，∴∠AOC＝∠OAD，∴OC∥AD，∴四边形OCAD 是平行四边形；(2)解：①30【解法提示】∵四边形OCAD 是菱形，∴OC ＝AC ，又∵OC＝OA ，∴OC＝OA ＝AC ，∴∠AOC＝60°，∴∠B＝12∠AOC＝30°； ②当∠B＝45°时，AD 与⊙O 相切，理由如下：∵AD 与⊙O 相切，∴∠OAD＝90°，∵AD∥OC ，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝12∠AOC＝45°. 6．(1)证明：连接CO 并延长交AB 于点E ，如解图①，∵CD 与⊙O 相切于点C ，∴CE⊥CD，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，∴CE⊥AB，∴AE＝BE ，∴BC＝AC ；(2)解：①当AC ＝AP 时，△CPA≌△ABC.理由如下：∵AC＝BC ，AC ＝AP ，∴∠ABC＝∠BAC，∠APC＝∠ACP，∵∠ABC＝∠APC，∴∠BAC＝∠ACP，在△CPA 与△ABC 中，⎩⎨⎧∠APC＝∠ABC∠ACP＝∠CAB AC ＝CA，∴△CPA≌△ABC；图①图②第6题解图②当∠ABC的度数为60°时，四边形ABCD是菱形．理由如下：如解图②，连接OC，OB，∵∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠BCO＝30°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝30°，∴∠ABO＝30°，∴BO垂直平分AC，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．7．(1)证明：∵AB＝AC, CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD.∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠AEC＝180°，∠BAE＋∠BCE＝180°.∵∠CED＋∠AEC＝180°，∠ECD＋∠BCE＝180°，∴∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠BAE.∴∠CED＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB.在△ABE 和△CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD∠CED＝∠AEB，∠DCE＝∠BAE∴△ABE≌△CDE.(2)解：①60；②533. 8．解：(1)① 连接ON ，如解图．点N 为AM ︵的中点，∴AN＝MN ，∵OA＝OM ，ON ＝ON ，∴△AON≌△MON.∴∠OAN＝∠OMN，∵CM 为⊙O 的切线，∴CM⊥OM.第8题解图∴∠CMN＋∠OMN＝90°，∵ND⊥AB，∴∠NAD＋∠AND＝90°，∴∠AND＝∠CMN，∵MC∥AB，CD⊥AB，∴MC⊥ND，即∠NCM＝90°.又∵AN＝NM ，∠ADN＝90°，∴△AND≌△NMC，∴AD＝CN.②矩形．(2)120.9．(1)证明：连接OD ，∵DE 是⊙O 的切线，∴OD⊥DE，第9题解图在Rt△ODE 和Rt△OBE 中，⎩⎨⎧OD ＝OB ，OE ＝OE ，∴Rt△ODE≌Rt△OBE.∴∠DOE＝∠BOE＝12∠DOB，∵OA＝OD ，∴∠A＝∠ADO＝12∠DOB，∴∠BOE＝∠A，∴OE∥AD.(2)解：①45° ②30°10．(1)证明：∵DE 为⊙O 的切线，∴OD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∵点C 为AP 的中点，∴DC⊥AP，∴∠DCA＝∠DCP＝90°，∵AB 是⊙O 直径，∴∠APB＝90°，∴四边形DEPC 为矩形，∴DC＝EP ，在△DAC 和△ECP 中，⎩⎨⎧AC ＝PC∠ACD＝∠CPE DC ＝EP，∴△DAC≌△ECP；(2)解：①∵△DAC≌△ECP，∴AD＝CE ，∠DAC＝∠ECP，∴AD∥CE，∴四边形ACED 是平行四边形；②DF＝12AP.理由如下：∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD∥CE，∴∠ADO ＝∠DCF，∴∠DAO＝∠DCF，∴A，C ，F ，D 四点共圆，∴AC ︵＝DF ︵，∴AC＝DF ， ∵AC＝12AP ， ∴DF＝12AP. 11．(1)证明：BF 与⊙A 相切，理由如下：∵BC 是⊙A 的切线，∠ACB＝90°，∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB，又∵AE＝AF ，∴∠AEF＝∠AFE ，∴∠FAB＝∠CAB，在△ABC 和△ABF 中⎩⎨⎧AF ＝AC∠FAB＝∠CAB AB ＝AB，∴△ABC≌△ABF(SAS)；∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∵AF 是⊙A 的半径，∴BF 与⊙O 相切．(2)①解：60°理由如下：连接CF ，如解图所示，第11题解图若四边形ADFE 为菱形，则AE ＝EF ＝FD ＝DA ，又∵CE＝2AE，CE是圆A的直径，∴CE＝2EF，∠CFE＝90°，∴∠ECF＝30°，∴∠CEF＝60°，∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠CAB，∴∠CAB＝60°；②4 2.理由如下：若四边形ACBF为正方形，则AC＝CB＝BF＝FA＝4，且AF⊥AE，∴EF＝AE2＋AF2＝4 2.第12题解图12．(1)证明：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF为⊙O的切线．(2)解：①2.5.②100.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。