2018年上海高考文科数学试题及答案
2018年上海高考数学真题和答案
2018 年上海市高考数学试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应地点直接填写结果 .1．（4 分）（2018 上海）队列式的值为18．【考点】 OM：二阶队列式的定义．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5R ：矩阵和变换．【剖析】直接利用队列式的定义，计算求解即可．【解答】解：队列式=4×5﹣2×1=18．故答案为： 18．【评论】此题观察队列式的定义，运算法例的应用，是基本知识的观察．2．（4 分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】 KC：双曲线的性质．【专题】 11 ：计算题．【剖析】先确立双曲线的焦点所在座标轴，再确立双曲线的实轴长和虚轴长，最后确立双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为 y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为： y=±【评论】此题观察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4 分）（2018?上海）在（ 1+x）7的二项睁开式中， x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】 DA：二项式定理．【专题】 38 ：对应思想； 4O：定义法； 5P ：二项式定理．【剖析】利用二项式睁开式的通项公式求得睁开式中x2的系数．【解答】解：二项式（ 1+x）7睁开式的通项公式为 T r+1= ?x r，令 r=2，得睁开式中 x2的系数为=21．故答案为： 21．【评论】此题观察了二项睁开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4 分）（2018?上海）设常数 a∈R，函数 f（ x） =1og2（x+a）．若 f （x）的反函数的图象经过点（ 3，1），则 a= 7．【考点】 4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【剖析】由反函数的性质得函数 f （x）=1og2（x+a）的图象经过点（ 1， 3），由此能求出 a．【解答】解：∵常数 a∈R，函数 f （x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数 f（x）=1og2（ x+a）的图象经过点（ 1，3），∴log2（1+a）=3，解得 a=7．故答案为： 7．【评论】此题观察实数值的求法，观察函数的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．5．（4 分）（2018?上海）已知复数 z 知足（ 1+i）z=1﹣ 7i（i 是虚数单位），则|z|= 5．【考点】 A8：复数的模．【专题】 38 ：对应思想； 4A ：数学模型法； 5N ：数系的扩大和复数．【剖析】把已知等式变形，而后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（ 1+i） z=1﹣7i，得，则 |z|=．故答案为： 5．【评论】此题观察了复数代数形式的乘除运算，观察了复数模的求法，是基础题．6．（ 4 分）（2018?上海）记等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 a3 =0，a6+a7=14，则S7= 14．【考点】 85：等差数列的前 n 项和．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得 a1=﹣4，d=2，∴ S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为： 14．【评论】此题观察等差数列的前 7 项和的求法，观察等差数列的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．7．（5 分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（ 0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【考点】 4U：幂函数的观点、分析式、定义域、值域．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】由幂函数 f（ x）=xα为奇函数，且在（ 0， +∞）上递减，获得 a 是奇数，且 a＜0，由此能求出 a 的值．【解答】解：∵α∈ {﹣2，﹣ 1，，1，2，3}，幂函数 f（x）=xα为奇函数，且在（ 0， +∞）上递减，∴a 是奇数，且 a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣ 1．【评论】此题观察实数值的求法，观察幂函数的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．8．（5 分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣ 1，0）、 B（ 2，0），E、F 是 y 轴上的两个动点，且 | |=2 ，则的最小值为﹣3．【考点】 9O：平面向量数目积的性质及其运算．【专题】 11 ：计算题； 35 ：转变思想； 41 ：向量法； 5A ：平面向量及应用．【剖析】据题意可设 E（ 0， a），F（0，b），进而得出 |a ﹣b|=2 ，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2 带入上式即可求出的最小值，同理将 b=a+2 带入，也可求出的最小值．【解答】解：依据题意，设E（0，a），F（ 0， b）；∴；∴a=b+2，或 b=a+2；且；∴；当 a=b+2 时，；∵ b2﹣2的最小值为；+2b∴的最小值为﹣ 3，同理求出 b=a+2 时，的最小值为﹣ 3．故答案为：﹣ 3．【评论】观察依据点的坐标求两点间的距离，依据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数目积运算，二次函数求最值的公式．9．（5 分）（2018?上海）有编号互不同样的五个砝码，此中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2 克砝码两个，从中随机选用三个，则这三个砝码的总质量为9 克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 49 ：综合法； 5I ：概率与统计．【剖析】求出全部事件的总数，求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数，而后求解概率即可．【解答】解：编号互不同样的五个砝码，此中 5 克、 3 克、 1 克砝码各一个， 2克砝码两个，从中随机选用三个， 3 个数中含有 1 个 2； 2 个 2，没有 2，3 种状况，全部的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9 克的事件只有： 5，3，1 或 5， 2，2 两个，所以：这三个砝码的总质量为9 克的概率是：=，故答案为：．【评论】此题观察古典概型的概率的求法，是基本知识的观察．10．（ 5分）（2018?上海）设等比数列n 的通项公式为n n﹣1（n∈N*），前n{a } a =q项和为 S n．若= ，则 q= 3．【考点】 8J：数列的极限．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 35 ：转变思想； 49 ：综合法； 55 ：点列、递归数列与数学概括法．【剖析】利用等比数列的通项公式求出首项，经过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列 {a n的通项公式为a =q n﹣1（n∈ N*），可得 a1，}=1因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得 q=3．故答案为： 3．【评论】此题观察数列的极限的运算法例的应用，等比数列乞降以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的观察．11．（5 分）（2018?上海）已知常数 a＞0，函数 f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若 2p+q，则a=6．=36pq【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转变思想； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值．【解答】解：函数 f （x） =的图象经过点 P（p，），Q（ q，）．则：，整理得：=1，解得： 2p+q=a2pq，因为： 2p+q=36pq，所以： a2=36，因为 a＞0，故： a=6．故答案为： 6【评论】此题观察的知识重点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（ 5 分）（2018?上海）已知实数x1、x2、 y1、y2知足： x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】 7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】 35 ：转变思想； 48 ：剖析法； 59 ：不等式的解法及应用．【剖析】设 A（x1，1），（2，2），（1，1），（ 2，2），由圆的方程y B x y= x y= x y和向量数目积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A， B 两点到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1与 d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2，y2），=（ x1，y1），=（x2，y2），由 x12+y12=1，x22 +y22=1，x1x2+y1y2= ，可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上，且 ? =1×1×cos∠AOB= ，即有∠ AOB=60°，即三角形 OAB 为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A， B 两点到直线 x+y﹣ 1=0 的距离 d1与 d2之和，明显 A，B 在第三象限， AB 所在直线与直线x+y=1 平行，可设 AB：x+y+t=0，（t ＞0），由圆心 O 到直线 AB 的距离 d=，可得 2=1，解得 t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【评论】此题观察向量数目积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，观察点与圆的地点关系，运用点到直线的距离公式是解题的重点，属于难题．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项 .考生应在答题纸的相应地点，将代表正确选项的小方格涂黑 .13．（5 分）（2018?上海）设 P 是椭圆=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．4【考点】 K4：椭圆的性质．【专题】 11 ：计算题； 49 ：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a，接利用椭圆的定义，转变求解即可．【解答】解：椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴， a=，P 是椭圆=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2．应选： C．【评论】此题观察椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（ 5 分）（2018?上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充足非必需条件B．必需非充足条件C．充要条件D．既非充足又非必需条件【考点】 29：充足条件、必需条件、充要条件．【专题】 11 ：计算题； 34 ：方程思想； 4O：定义法； 5L ：简略逻辑．【剖析】“a＞1”? “”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解： a∈R，则“a＞1”? “”，“”? “a＞1 或 a＜0”，∴“a＞1”是“”的充足非必需条件．应选： A．【评论】此题观察充足条件、必需条件的判断，观察不等式的性质等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．15．（ 5 分）（ 2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的极点为极点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【考点】 D8：摆列、组合的实质应用．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 5O ：摆列组合．【剖析】依据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：依据正六边形的性质，则D1﹣1 1，1﹣1 1 知足题意，而AABB D AAFFC1， E1，C，D，E，和 D1同样，有 2×6=12，当 A1ACC1为底面矩形，有2 个知足题意，当 A1AEE1为底面矩形，有 2 个知足题意，故有 12+2+2=16应选： D．【评论】此题观察了新定义，以及清除组合的问题，观察了棱柱的特点，属于中档题．16．（ 5 分）（2018?上海）设 D 是含数 1 的有限实数集， f（x）是定义在 D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只好是（）A．B．C．D．0【考点】 3A：函数的图象与图象的变换．【专题】 35 ：转变思想； 51：函数的性质及应用； 56 ：三角函数的求值．【剖析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意获得：问题相当于圆上由12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们能够经过代入和赋值的方法当 f（1）=，，0 时，此时获得的圆心角为，，0，但是此时 x=0 或许 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只好对应一个 y，所以只有当 x= ，此时旋转，此时知足一个 x 只会对应一个 y，所以答案就选： B．应选： B．【评论】此题观察的知识重点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题一定在答题纸的相应地点写出必需的步骤 .17．（ 14 分）（ 2018?上海）已知圆锥的极点为P，底面圆心为 O，半径为 2．（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且∠ AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，如图．求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小．【考点】 LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】 11 ：计算题； 31 ：数形联合； 41 ：向量法； 5F ：空间地点关系与距离； 5G ：空间角．【剖析】（1）由圆锥的极点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积．（2）以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的极点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，∴圆锥的体积 V===．（2）∵ PO=4，OA，OB 是底面半径，且∠ AOB=90°，M为线段 AB 的中点，∴以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OP 为 z 轴，成立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣ 4），=（0，2，0），设异面直线 PM 与 OB 所成的角为θ，则 cosθ===．∴θ=arccos ．∴异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos．【评论】此题观察圆锥的体积的求法，观察异面直线所成角的正切值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．18．（ 14 分）（ 2018?上海）设常数 a∈R，函数（ 1）若 f （x）为偶函数，求 a 的值；（ 2）若 f （）=+1，求方程 f （x） =1﹣f（ x） =asin2x+2cosx2．在区间 [﹣π，π]上的解．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】 11 ：计算题； 38 ：对应思想； 4R：转变法； 58 ：解三角形．【剖析】（1）依据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出 a 的值，再依据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵ f（ x） =asin2x+2cosx，∴（﹣）﹣2f x = asin2x+2cosx，∵f（x）为偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），∴﹣ asin2x+2cosx=asin2x+2cosx，∴ 2asin2x=0，∴ a=0；（ 2）∵ f（） = +1，∴ asin +2cos2（）=a+1=+1，∴a= ，∴ f（x）= sin2x+2cosx= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+ ）+1=1﹣，∴sin（2x+ ）=﹣，∴ 2x+ =﹣+2kπ，或 2x+ =π+2kπ，k∈Z，∴ x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵ x∈[ ﹣π，π]，∴ x=或x=或x=﹣或x=﹣【评论】此题观察了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（ 14 分）（2018?上海）某集体的人均通勤时间，是指单日内该集体中成员从居住地到工作地的均匀用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．剖析显示：当 S 中 x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾集体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交集体的人均通勤时间不受x 影响，恒为 40 分钟，试依据上述剖析结果回答以下问题：（ 1）当 x 在什么范围内时，公交集体的人均通勤时间少于自驾集体的人均通勤时间（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；议论 g（x）的单一性，并说明其实质意义．【考点】 5B：分段函数的应用．【专题】 12 ：应用题； 33 ：函数思想； 4C ：分类法； 51 ：函数的性质及应用．【剖析】（1）由题意知求出 f （x）＞ 40 时 x 的取值范围即可；（2）分段求出 g（x）的分析式，判断 g（x）的单一性，再说明其实质意义．【解答】解；（1）由题意知，当 30＜ x＜100 时，f（x）=2x+﹣90＞40，即 x2﹣65x+900＞0，解得 x＜20 或 x＞45，∴x∈（45，100）时，公交集体的人均通勤时间少于自驾集体的人均通勤时间；（ 2）当 0＜x≤30 时，g（x）=30?x%+40（ 1﹣ x%）=40﹣；当 30＜ x＜100 时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴ g（ x）=；当 0＜x＜时， g（x）单一递减；当＜ x＜ 100 时， g（ x）单一递加；说明该地上班族 S 中有小于 %的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于 %的人自驾时，人均通勤时间是递加的；当自驾人数为 %时，人均通勤时间最少．【评论】此题观察了分段函数的应用问题，也观察了分类议论与剖析问题、解决问题的能力．20．（16 分）（2018?上海）设常数 t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 F（2，0），直线 l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤ x≤t ， y≥0）． l 与 x 轴交于点 A、与Γ交于点 B．P、Q 分别是曲线Γ与线段 AB 上的动点．（ 1）用 t 表示点 B 到点 F 的距离；（ 2）设 t=3，|FQ|=2 ，线段 OQ 的中点在直线 FP上，求△ AQP的面积；（ 3）设 t=8，能否存在以 FP、 FQ为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【考点】 KN：直线与抛物线的地点关系．【专题】 35 ：转变思想； 4R：转变法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】（1）方法一：设 B 点坐标，依据两点之间的距离公式，即可求得|BF| ；方法二：依据抛物线的定义，即可求得|BF| ；（2）依据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得 OD 的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得△ AQP 的面积；（3）设 P 及 E 点坐标，依据直线 k PF?k FQ=﹣1，求得直线 QF 的方程，求得 Q 点坐标，依据+ = ，求得 E 点坐标，则（）2（），即可求得=8+6P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（ t，2t），则 |BF|==t+2，∴|BF|=t+2 ；方法二：由题意可知：设B（t ，2t ），由抛物线的性质可知： |BF|=t+=t+2，∴ |BF|=t+2 ；（2） F（2，0），|FQ|=2 ，t=3，则 |FA|=1 ，∴ |AQ|= ，∴ Q（ 3，），设 OQ 的中点 D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得： 3x2﹣20x+12=0，解得： x=，x=6（舍去），∴△ AQP的面积 S= ××=；（ 3）存在，设 P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线 QF 方程为 y=（x﹣2），∴ y Q=（﹣），（，），8 2 =Q 8依据+ =，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得： y2=，∴存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在Γ上，且 P（，）．【评论】此题观察抛物线的性质，直线与抛物线的地点关系，观察转变思想，计算能力，属于中档题．21．（ 18 分）（ 2018?上海）给定无量数列 {a n}，若无量数列 {b n}知足：对随意n∈ N*，都有 |b n﹣ a n| ≤ 1，则称 {b n}与{a n}“靠近”．（ 1）设 {a n}是首项为 1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}能否与 {a n}靠近，并说明原因；（2）设数列 {a n}的前四项为： a1=1，a2=2， a3=4， a4 =8，{b n}是一个与 {a n}靠近的数列，记会合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求 M 中元素的个数 m；（3）已知 {a n}是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {b n }知足： {b n }与{a n}靠近，且在 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中起码有 100 个为正数，求 d 的取值范围．【考点】 8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】 34 ：方程思想； 48 ：剖析法； 54 ：等差数列与等比数列．【剖析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“靠近”，即可判断；（2）由新定义可得 a n﹣1≤b n≤ a n +1，求得 b i，i=1，2，3，4 的范围，即可获得所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得 a n，议论公差 d＞0，d=0，﹣ 2＜ d＜ 0， d≤﹣ 2，联合新定义“靠近”，推理和运算，即可获得所求范围．【解答】解：（1）数列 {b n}与 {a n}靠近．原因： {a n}是首项为 1，公比为的等比数列，可得 a n， n n+1，= b =a +1= +1则 |b n﹣n+1﹣|=1 ﹣＜1，n∈N * ，a |=|可得数列 {b n}与{a n}靠近；（2）{b n}是一个与{a n}靠近的数列，可得 a n﹣ 1≤ b n≤a n+1，数列 {a n}的前四项为： a1 =1，a2 =2，a3=4， a4=8，可得 b1∈ [0，2]，b2∈[1，3]， b3∈[3，5] ，b4∈[7， 9]，可能 b1与 b2相等， b2与 b3相等，但 b1与 b3不相等， b4与 b3不相等，会合 M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M 中元素的个数 m=3 或 4；（3） {a n}是公差为 d 的等差数列，若存在数列 {b n}知足： {b n}与 {a n}靠近，可得 a n=a1+（n﹣1）d，①若 d＞0，取 b n=a n，可得 b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中有 200 个正数，切合题意；②若 d=0，取 b n1﹣，则|b n﹣ n1﹣﹣ 1＜，∈N* ，=a a |=|a a |= 1 n可得 b n+1﹣n﹣＞，b =0则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中有 200 个正数，切合题意；③若﹣ 2＜d＜0，可令 b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则 b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（ a2n﹣1﹣ 1） =2+d＞ 0，则 b2﹣b1， b3﹣b2，，b201﹣b200中恰有 100 个正数，切合题意；④若 d≤﹣ 2，若存在数列 {b n}知足： {b n}与{a n}靠近，即为 a n﹣ 1≤ b n≤a n+1， a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得 b n+1﹣ b n≤a n+1+1﹣（ a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣ b1，b3﹣ b2，，b201﹣ b200中无正数，不切合题意．综上可得， d 的范围是（﹣ 2， +∞）．【评论】此题观察新定义“靠近”的理解和运用，观察等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，观察分类议论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
2018年上海高考数学试题(文科)
2018年上海高考数学试题（文科）部门： xxx时间： xxx制作人：xxx整理范文，仅供参考，勿作商业用途2018年上海高考数学试卷<文科）一、填空题<本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解为．2．在等差数列中，若，则．3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．4．若，，则．5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是<结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．b5E2RGbCAP7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则．8．方程的实数解为．9．若，则．10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则．p1EanqFDPw11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是<结果用最简分数表示）．DXDiTa9E3d12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为． 13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是．RTCrpUDGiT 二、选择题<本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．5PCzVD7HxA 15．函数的反函数为，则的值是< ） <A ）<B ）<C ）<D ）16．设常数，集合，．若，则的取值范围为< ）<A ）<B ）<C ）<D ）17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的< ） <A ）充分条件<B ）必要条件<C ）充分必要条件<D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆围成的区域<含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则< ）A．0 B ． C．2 D ．三．解答题<本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．<本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图B20．<本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以千M/小时的速度匀速生产某种产品<生产条件要求），每小时可获得的利润是元．<1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；<2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．21．<本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中常数．<1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；<2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．jLBHrnAILg22．<本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 已知函数．无穷数列满足．<1）若，求，，；<2）若，且，，成等比数列，求的值；<3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．23．<本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．<1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程<不要求验证）；xHAQX74J0X<2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；<3）求证：圆内的点都不是“型点”．参考答案一、选择题1．2．153．4．15．6．787．8．9．10．11．12．13．14．15．A16．B17．A18．D19．20．解：<1）每小时生产克产品，获利，生产千克该产品用时间为，所获利润为.<2）生产900千克该产品，所获利润为所以，最大利润为元。
2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)
2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。
上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=?x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018?上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018?上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，=q n．，a n+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f （x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF?k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018?上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n +1﹣b n =﹣＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d ＜0，可令b 2n ﹣1=a 2n ﹣1﹣1，b 2n =a 2n +1，则b 2n ﹣b 2n ﹣1=a 2n +1﹣（a 2n ﹣1﹣1）=2+d ＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中恰有100个正数，符合题意；④若d ≤﹣2，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1，a n +1﹣1≤b n +1≤a n +1+1，可得b n +1﹣b n ≤a n +1+1﹣（a n ﹣1）=2+d ≤0，b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
2018年上海高考数学真题和答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分，第1~6题每题4分,第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．（4分）（2018•上海）行列式的值为18 ．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R :矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用,是基本知识的考查．2．(4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2,b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．(4分）（2018•上海）在（1+x)7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 :对应思想;4O:定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解:二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R,函数f（x）=1og2（x+a)．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 :函数思想；4O：定义法；51 :函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x)=1og2(x+a）的图象经过点（1,3)，由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x)=1og2（x+a）．f(x）的反函数的图象经过点（3，1)，∴函数f（x）=1og2(x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a)=3，解得a=7．故答案为:7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是基础题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i(i是虚数单位）,则｜z|= 5 ．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A :数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由(1+i）z=1﹣7i，得，则｜z｜=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018•上海)记等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想;4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列｛a n｝的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴,解得a1=﹣4，d=2,∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为:14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是基础题．7．(5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3｝，若幂函数f （x)=xα为奇函数，且在(0,+∞）上递减,则α=﹣1 ．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f(x）=xα为奇函数,且在(0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0,由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈｛﹣2，﹣1，，1,2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为:﹣1．【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．(5分）(2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A(﹣1，0）、B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且｜｜=2，则的最小值为﹣3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 :计算题；35 :转化思想；41 ：向量法；5A :平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a）,F(0，b）,从而得出｜a﹣b｜=2,即a=b+2，或b=a+2,并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0,a）,F(0，b）；∴;∴a=b+2,或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分)（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB:古典概型及其概率计算公式．【专题】11 :计算题；34 :方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个,从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2,3种情况,所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有:5，3，1或5，2,2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是:=,故答案为:．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分)（2018•上海）设等比数列｛a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N＊），前n项和为S n．若=,则q= 3 ．【考点】8J:数列的极限．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 :综合法;55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可．【解答】解:等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1(n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1,，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查．11．（5分)(2018•上海)已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p,），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f(x）=的图象经过点P（p，）,Q（q，）．则:，整理得:=1,解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以:a2=36，由于a＞0,故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）(2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 :转化思想；48 ：分析法;59 :不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1）,B(x2,y2）,=（x1,y1）,=(x2,y2)，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1,+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解:设A(x1,y1），B（x2，y2），=(x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。
高三数学-2018年高考数学试题(上海卷文科) 精品
2018年高考数学试题（上海卷文科）一、填空题1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期=T ．2．若3π=x 是方程1)cos(2=+αx 的解，其中)2,0(πα∈，则=α ．3．在等差数列}{n a 中，35=a ，26-=a ，则=+++1054a a a ． 4．已知定点)1,0(A ，点B 在直线0=+y x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 ．5．在正四棱锥ABCD P -中，若侧面与底面所成二面角的大小为︒60，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 ．（结果用反三角函数值表示） 6．设集合}4|||{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且=∉}B A x 7．在△ABC 中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=∠BAC ．（结果用反三角函数值表示）8．基首项为1a ，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项1a ，公比q 的一组取值可能是=),(1q a ．9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为 ．（结果用分数表示） 10．方程18lg 3=+x x 的根=x ．（精确到0.1）11．已知)2,0(n A ，)2,0(n B -，)0,24(nC +，其中n 为正整数．设n S 表示△ABC 外接圆的面积，则=∞→n n S lim ．12．给出问题：1F 、2F 是双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由8||||||21=-PF PF ，即8|||9|2=-PF ，得1||2=PF 或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确结果填在下面空格内．二、选择题13．下列函数中，既为偶函数又在),0(π上单调递增的是 （A ）||x tg y = （B ）)cos(x y -=（C ）)2sin(π-=x y （D ）|2|x ctgy = 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （A ）α、β都垂直于平面γ（B ）α内存在不共线的三点到平面β的距离相等 （C ）l 、m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β（D ）l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β15．在)1,1(P 、)2,1(Q 、)3,2(M 和)41,21(N 四点中，函数x a y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点（A ）P （B ）Q （C ）M （D ）N 16．)(x f 是定义在区间],[c c -上的奇函数，其图象如图所示，令b x af x g +=)()(，则下列关于函数)(x g 的叙述正确的是（A ）若0<a ，则函数)(x g 的图象关于原点对称； （B ）若1=a ，20<<b ，则方程0)(=x g 有大于2的实根（C ）若0,2=-=b a ，则)(x g 方程的图象关于y 轴对称 （D ）2,0=≠b a 0)(=x g ，则方程0)(=x g 有三个实根三解答题17．已知复数i z -=θcos 1，i z +=θsin 1，求||21z z ⋅的最大值和最小值．18．已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 平面ABC D ，2,4==AD AB ，若BC D B ⊥1，直线D B 1与平面ABCD 所成角等于︒30，求平行六面体1111D C B A ABCD -的体积．19．已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.20．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状． （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少米？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=），柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）21．在以O 为原点的直角坐标系中，点)3,4(-A 为△OAB 的直角顶点．已知||2||OA AB =，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围．22．已知数列}{n a （n 是正整数）是首项为1a ，公比为q 的等比数列．（1）求和：223122021C a C a C a +-，334233132031C a C a C a C a -+-； （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； （3）设1≠a ，n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：nnn n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-。
2018年高考真题——文科数学(上海卷)+word版含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。
2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。
7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2 （B ）2此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号（C）2（D）414.已知a R∈，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）16定16.设D是含数1的有限实数集，f x（）是义在D上的函数，若f x（）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f（）的可能取值只能是（）（A（B（C（D）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R∈，函数f x（）22?asin x cos x=+（1）若f x（）为偶函数，求a的值；（2）若4fπ〔〕1=，求方程1f x=（）ππ-［，］上的解。
2018年上海卷高考真题数学试卷(详解版)(加密版)
7 2018 年上海卷高考真题数学试卷一、填空题（1~6 每小题 4 分，7~12 每小题 5 分，共 54 分）1.行列式|4 1|的值为．2 5【答案】 18【解析】|4 1| = 4 × 5 − 1 × 2 = 18.2 52.双曲线x 2 − y 2 = 1的渐近线方程为．4【答案】 y = ±x 2【解析】 ∵ x 2− y 2 = 1，∴ a = 2, b = 1，∴y = ± 4x .23.在(1 + x )7的二项展开式中，x 2项的系数为．（结果用数值表示）【答案】 21【解析】 C 2 = 21.4.设常数a ∈ R ，函数f (x ) = log 2(x + a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a = ．【答案】 7【解析】 由题意得：函数经过点(1,3)，∴ log 2(1 + a ) = 3，∴ a = 7. 5.已知复数z 满足(1 + i)z = 1 − 7i （i 是虚数单位），则|z | =．【答案】 5【解析】 由题意得：z =1−7i = −3 − 4i ，∴ |z | = √(−3)2 + (−4)2 = 5．1+i6.记等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，若a 3 = 0，a 6 + a 7 = 14，则S 7 = ．【答案】 14【解析】 a 6 + a 7 = 2a 3 + 7d = 14，∴ d = 2，S 7 = 7a 4 = 14．7.已知α ∈ {−2, −1, − 1 , 1 , 1,2,3}，若幂函数f (x ) = x α为奇函数，且在(0, +∞)上递减，则2 2α =．【答案】 −1【解析】 由题意得：f (x )为奇函数，∴ α为奇数，又∵ 在(0, +∞)递减，∴ α < 0，故α = −1．→8.在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF | = 2，则→ →AE ⋅ BF 的最小值为．【答案】 −3→ →【解析】 设E (0, t ), F (0, t + 2)，∴ AE ⋅ BF = (t + 1)2 − 3，∴ 最小值为−3．9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 ．（结果用最简分数表示）【答案】1 5【解析】 总共有(5,3,1), (5,2,2)两种情况， P =21C 3 = 5.10.设等比数列{a }的通项公式为a = q n +1(n ∈ N ∗)，前n项和为S．若lim S n = 1，则nnq =．nn→∞ a n +12【答案】 3【解析】 若q = 1，则a n +1 = 1，S n = n ，∴ lim S n = lim n ≠ 1；若q ≠ 1，则a= q n ，S= a 1(1−q n )，n→∞ a n +1n→∞2a 1(1−q n )n +1n 1−q∴ lim S n = lim 1−q= a 1 lim 1−q n ．当q = −1时，极限不存在，显然不满足题 n→∞ a n +1 n→∞q n 1−q n→∞ q n 意；当|q | < 1时， lim S n = ∞ ≠ 1，不满足题意；当|q | > 1时， lim S n = a 1 lim ( 1 n→∞ a n +1 2 − 1) = a 1 = 1，n→∞ a n +1 1−q n→∞ q n∵ a 1 = 1，q−1 2∴ q = 3．综上，q = 3．11.已知常数a > 0，函数f (x ) =2x的图像经过点 6、1，若2p +q = 36pq ，则a =．(2x +ax )p (p , ) 5 Q (q, − )5【答案】 6【解析】 由题意得： 2p2p +ap+ 2q2q+aq= 1，∴ 2p +q = a 2pq = 36pq ，∴ a = 6.12.已知实数x 、x 、y 、y 满足：x 2 + y 2 = 1，x 2 + y 2 = 1，x x+ y y = 1，则|x 1+y 1−1| + 121211221 21 2 2 √2|x 2+y 2−1|的最大值为 ．√2【答案】 √2 + √3【解析】 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则P 、Q 在单位圆x 2 + y 2 = 1上．→ →∵ OP = (x 1, y 1)，OQ = (x 2, y 2)，→→→→→→1∴ OP ⋅ OQ = x 1x 2 + y 1y 2 = |OP ||OQ |cos ⟨OP , OQ⟩ = 2， →→∵ |OP | = |OQ | = 1，5→→1∴ cos ⟨OP, OQ⟩ = ，2→→∵ ⟨OP, OQ⟩∈ [0, π]，→→π∴ ⟨OP, OQ⟩ = ，3∴△ OPQ为正三角形，∴|x1+y1−1| +|x2+y2−1|为P、Q两点到直线l：x + y− 1 = 0的距离和|PP′| + |QQ′|．取√2 √2PQ中点M，过点M作MM′ ⊥ l于点M′．根据梯形中位线可得|PP′| + |QQ′| = 2|MM′|．∵ |OM| =√3，2∴点M在圆x2 + y2 = 3上运动，故点M到直线l的最大距离为√3 + √2，4 2 2∴ (|PP′| + |QQ′|) = 2 × (√3 +√2) = √3 + √2．max 2 2二、选择题（每小题5 分，共20 分）13.设P是椭圆x 2+ y2 = 1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）．5 3A.2√2B.2√3C.2√5D.4√2【答案】C【解析】椭圆x 2+ y2 = 1的焦点坐标在x轴，a = √5，P是椭圆x2 + y2 = 1上的动点，由椭圆的5 3 5 3定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =2√5．故选C．14.若a∈ R，则“a > 1”是“1 < 1”的（）．aA.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条【答案】 A【解析】 由a > 1，一定能得到1< 1．a但当1< 1时，不能推出a > 1（如a = −1时），a故a > 1是1< 1的充分不必要条件．a故选A ．15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）．A.4B.8C.12D.16 【答案】 D【解析】 符合条件的面有4个，每一个面对应的顶点有4个，∴4 × 4 = 16．16. 设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图像绕原点逆时针旋转π后与6原图像重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）．A. √3B. √32C. √33D.0【答案】B【解析】设f(1)处的点为A，若f(x)逆时针旋转π后与原图象重合，1 6则旋转后的图象g(x)上A1的对应点A2，同时有A2的对应点A3，以此类推，则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点．当f(1)取值为√3时，点(1, √3)在图象上，点(1, −√3)也在图象上，此时，x = 1时，有两个y的值与之对应，不符合函数定义．同理，f(1) =√3和f(1) = 0亦不符合函数定义．3故选B．三、解答题（第17 题14 分，第18 题14 分，第19 题14 分，第20 题16 分，第21 题18 分）17.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．( 1 )设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积．( 2 )设PO = 4，OA，OB是底面半径，且∠AOB = 90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小．【答案】(1)8√3π．3(2) arc tan √17．。
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=?x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018?上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018?上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．＞1”是“＜1”的（）14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，则“ａA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，∴“ａ＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ＝==．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF?k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018?上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n ∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
2018年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析
2018年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4.00分)行列式的值为.2.(4.00分)双曲线－y2＝1的渐近线方程为.3.(4.00分)在(1＋x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).4.(4.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝1og2(x＋a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a ＝.5.(4.00分)已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位),则|z|＝.6.(4.00分)记等差数列{an }的前n项和为Sn,若a3＝0,a6＋a7＝14,则S7＝.7.(5.00分)已知α∈{－2,－1,－,1,2,3},若幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,则α＝.8.(5.00分)在平面直角坐标系中,已知点A(－1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||＝2,则的最小值为.9.(5.00分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).10.(5.00分)设等比数列{an }的通项公式为an＝q n－1(n∈N*),前n项和为Sn.若＝,则q＝.11.(5.00分)已知常数a＞0,函数f(x)＝的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p＋q＝36pq,则a＝.12.(5.00分)已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12＋y12＝1,x22＋y22＝1,x1x2＋y1y2＝,则＋的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5.00分)设P是椭圆＝1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A.2B.2C.2D.414.(5.00分)已知a∈R,则“a＞1”是“＜1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.(5.00分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1为底面矩形的一边,是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.1616.(5.00分)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )A. B. C. D.0三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14.00分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO＝4,OA、OB是底面半径,且∠AOB＝90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.(14.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝asin2x＋2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值；(2)若f()＝＋1,求方程f(x)＝1－在区间[－π,π]上的解.19.(14.00分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 20.(16.00分)设常数t ＞2.在平面直角坐标系xOy 中,已知点F(2,0),直线l ：x ＝t,曲线Γ：y 2＝8x(0≤x ≤t,y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B.P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3,|FQ|＝2,线段OQ 的中点在直线FP 上,求△AQP 的面积； (3)设t ＝8,是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ,使得点E 在Γ上？若存在,求点P 的坐标；若不存在,说明理由.21.(18.00分)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *,都有|b n －a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为的等比数列,b n ＝a n ＋1＋1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,a 4＝8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M ＝{x|x ＝b i ,i ＝1,2,3,4},求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近,且在b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.(4.00分)行列式的值为18 .【分析】直接利用行列式的定义,计算求解即可.【解答】解：行列式＝4×5－2×1＝18.故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用,是基本知识的考查.2.(4.00分)双曲线－y2＝1的渐近线方程为±.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解：∵双曲线的a＝2,b＝1,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y＝±∴双曲线的渐近线方程为y＝±故答案为：y＝±【点评】本题考察了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想3.(4.00分)在(1＋x)7的二项展开式中,x2项的系数为21 (结果用数值表示).【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解：二项式(1＋x)7展开式的通项公式为＝•x r,Tr＋1令r＝2,得展开式中x2的系数为＝21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题,是基础题.4.(4.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝1og(x＋a).若f(x)的反函数的图象经过点(3,1),则a2＝7 .【分析】由反函数的性质得函数f(x)＝1og2(x＋a)的图象经过点(1,3),由此能求出a.【解答】解：∵常数a∈R,函数f(x)＝1og2(x＋a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),∴函数f(x)＝1og2(x＋a)的图象经过点(1,3),∴log2(1＋a)＝3,解得a＝7.故答案为：7.【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.5.(4.00分)已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位),则|z|＝ 5 .【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由(1＋i)z＝1－7i,得,则|z|＝.故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.6.(4.00分)记等差数列{an }的前n项和为Sn,若a3＝0,a6＋a7＝14,则S7＝14 .【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1＝－4,d＝2,由此能求出S7.【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn,a3＝0,a6＋a7＝14,∴, 解得a1＝－4,d＝2,∴S7＝7a1＋＝－28＋42＝14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5.00分)已知α∈{－2,－1,－,1,2,3},若幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,则α＝－1 .【分析】由幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,得到a是奇数,且a＜0,由此能求出a的值.【解答】解：∵α∈{－2,－1,－,1,2,3},幂函数f(x)＝xα为奇函数,且在(0,＋∞)上递减,∴a是奇数,且a＜0,∴a＝－1.故答案为：－1.【点评】本题考查实数值的求法,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.8.(5.00分)在平面直角坐标系中,已知点A(－1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且||＝2,则的最小值为－3 .【分析】据题意可设E(0,a),F(0,b),从而得出|a－b|＝2,即a＝b＋2,或b＝a＋2,并可求得,将a＝b＋2带入上式即可求出的最小值,同理将b＝a＋2带入,也可求出的最小值.【解答】解：根据题意,设E(0,a),F(0,b)；∴；∴a＝b＋2,或b＝a＋2；且；∴；当a＝b＋2时,；∵b2＋2b－2的最小值为；∴的最小值为－3,同理求出b＝a＋2时,的最小值为－3.故答案为：－3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离,根据点的坐标求向量的坐标,以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式.9.(5.00分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).【分析】求出所有事件的总数,求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可. 【解答】解：编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,3个数中含有1个2；2个2,没有2,3种情况,所有的事件总数为：＝10,这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5,3,1或5,2,2两个,所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：＝,故答案为：.【点评】本题考查古典概型的概率的求法,是基本知识的考查.10.(5.00分)设等比数列{an }的通项公式为an＝q n－1(n∈N*),前n项和为Sn.若＝,则q＝ 3 .【分析】利用等比数列的通项公式求出首项,通过数列的极限,列出方程,求解公比即可.【解答】解：等比数列{an }的通项公式为a＝q n－1(n∈N*),可得a1＝1,因为＝,所以数列的公比不是1,,an＋1＝q n.可得＝＝＝＝,可得q＝3.故答案为：3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用,是基本知识的考查.11.(5.00分)已知常数a＞0,函数f(x)＝的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p＋q＝36pq,则a＝ 6 .【分析】直接利用函数的关系式,利用恒等变换求出相应的a值.【解答】解：函数f(x)＝的图象经过点P(p,),Q(q,).则：,整理得：＝1,解得：2p＋q＝a2pq,由于：2p＋q＝36pq,所以：a2＝36,由于a＞0,故：a＝6.故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,代数式的变换问题的应用.12.(5.00分)已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12＋y12＝1,x22＋y22＝1,x1x2＋y1y2＝,则＋的最大值为＋.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),＝(x1,y1),＝(x2,y2),由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示,可得三角形OAB为等边三角形,AB＝1,＋的几何意义为点A,B两点到直线x＋y－1＝0的距离d1与d2之和,由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),＝(x1,y1),＝(x2,y2),由x12＋y12＝1,x22＋y22＝1,x1x2＋y1y2＝,可得A,B两点在圆x2＋y2＝1上,且•＝1×1×cos∠AOB＝,即有∠AOB＝60°,即三角形OAB为等边三角形,AB＝1,＋的几何意义为点A,B两点到直线x＋y－1＝0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x＋y＝1平行,可设AB：x＋y＋t＝0,(t＞0),由圆心O到直线AB的距离d＝,可得2＝1,解得t＝,即有两平行线的距离为＝,即＋的最大值为＋,故答案为：＋.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系,运用点到直线的距离公式是解题的关键,属于难题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.(5.00分)设P是椭圆＝1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A.2B.2C.2D.4【分析】判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴,求出a,接利用椭圆的定义,转化求解即可.【解答】解：椭圆＝1的焦点坐标在x轴,a＝,P是椭圆＝1上的动点,由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝2.故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的定义的应用,是基本知识的考查.14.(5.00分)已知a∈R,则“a＞1”是“＜1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”,“”⇒“a＞1或a＜0”,由此能求出结果.【解答】解：a∈R,则“a＞1”⇒“”,“”⇒“a＞1或a＜0”,∴“a＞1”是“”的充分非必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.15.(5.00分)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设AA1为底面矩形的一边,是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质,则D1－A1ABB1,D1－A1AFF1满足题意,而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×6＝12,当A1ACC1为底面矩形,有2个满足题意,当A1AEE1为底面矩形,有2个满足题意,故有12＋2＋2＝16故选：D.【点评】本题考查了新定义,以及排除组合的问题,考查了棱柱的特征,属于中档题.16.(5.00分)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是( )A. B. C. D.0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)＝,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x＝0或者x＝1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x＝,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14.00分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO＝4,OA、OB是底面半径,且∠AOB＝90°,M为线段AB的中点,如图.求异面直线PM与OB所成的角的大小.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解：(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4,∴圆锥的体积V＝＝＝.(2)∵PO＝4,OA,OB是底面半径,且∠AOB＝90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),＝(1,1,－4),＝(0,2,0),设异面直线PM与OB所成的角为θ,则cosθ＝＝＝.∴θ＝arccos.∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos.【点评】本题考查圆锥的体积的求法,考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.18.(14.00分)设常数a∈R,函数f(x)＝asin2x＋2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值；(2)若f()＝＋1,求方程f(x)＝1－在区间[－π,π]上的解.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出,(2)先求出a的值,再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解：(1)∵f(x)＝asin2x＋2cos2x,∴f(－x)＝－asin2x＋2cos2x,∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),∴－asin2x＋2cos2x＝asin2x＋2cos2x,∴2asin2x＝0,∴a＝0；(2)∵f()＝＋1,∴asin＋2cos2()＝a＋1＝＋1,∴a＝,∴f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋)＋1,∵f(x)＝1－,∴2sin(2x＋)＋1＝1－,∴sin(2x＋)＝－,∴2x＋＝－＋2kπ,或2x＋＝π＋2kπ,k∈Z,∴x＝－π＋kπ,或x＝π＋kπ,k∈Z,∵x∈[－π,π],∴x＝或x＝或x＝－或x＝－【点评】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.19.(14.00分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝(单位：分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 【分析】(1)由题意知求出f(x)＞40时x的取值范围即可；(2)分段求出g(x)的解析式,判断g(x)的单调性,再说明其实际意义.【解答】解；(1)由题意知,当30＜x＜100时,f(x)＝2x＋－90＞40,即x2－65x＋900＞0,解得x＜20或x＞45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0＜x≤30时,g(x)＝30•x%＋40(1－x%)＝40－；当30＜x＜100时,g(x)＝(2x＋－90)•x%＋40(1－x%)＝－x＋58；∴g(x)＝；当0＜x＜32.5时,g(x)单调递减；当32.5＜x＜100时,g(x)单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题,也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力.20.(16.00分)设常数t＞2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l：x＝t,曲线Γ：y2＝8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离；(2)设t＝3,|FQ|＝2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积；(3)设t＝8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上？若存在,求点P的坐标；若不存在,说明理由.【分析】(1)方法一：设B点坐标,根据两点之间的距离公式,即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义,即可求得|BF|；(2)根据抛物线的性质,求得Q点坐标,即可求得OD的中点坐标,即可求得直线PF的方程,代入抛物线方程,即可求得P点坐标,即可求得△AQP的面积；(3)设P及E点坐标,根据直线kPF •kFQ＝－1,求得直线QF的方程,求得Q点坐标,根据＋＝,求得E点坐标,则()2＝8(＋6),即可求得P点坐标. 【解答】解：(1)方法一：由题意可知：设B(t,2t),则|BF|＝＝t＋2,∴|BF|＝t＋2；方法二：由题意可知：设B(t,2t),由抛物线的性质可知：|BF|＝t＋＝t＋2,∴|BF|＝t＋2；(2)F(2,0),|FQ|＝2,t＝3,则|FA|＝1,∴|AQ|＝,∴Q(3,),设OQ的中点D,D(,),kQF＝＝－,则直线PF方程：y＝－(x－2),联立,整理得：3x2－20x＋12＝0,解得：x＝,x＝6(舍去),∴△AQP的面积S＝××＝；(3)存在,设P(,y),E(,m),则kPF ＝＝,kFQ＝,直线QF 方程为y ＝(x －2),∴y Q ＝(8－2)＝,Q(8,),根据＋＝,则E(＋6,),∴()2＝8(＋6),解得：y 2＝,∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ,使得点E 在Γ上,且P(,).【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查转化思想,计算能力,属于中档题.21.(18.00分)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *,都有|b n －a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为的等比数列,b n ＝a n ＋1＋1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,a 4＝8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M ＝{x|x ＝b i ,i ＝1,2,3,4},求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近,且在b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”,即可判断；(2)由新定义可得a n －1≤b n ≤a n ＋1,求得b i ,i ＝1,2,3,4的范围,即可得到所求个数； (3)运用等差数列的通项公式可得a n ,讨论公差d ＞0,d ＝0,－2＜d ＜0,d ≤－2,结合新定义“接近”,推理和运算,即可得到所求范围. 【解答】解：(1)数列{b n }与{a n }接近. 理由：{a n }是首项为1,公比为的等比数列,可得a n ＝,b n ＝a n ＋1＋1＝＋1,则|b n －a n |＝|＋1－|＝1－＜1,n ∈N *,可得数列{b n }与{a n }接近；(2){b n }是一个与{a n }接近的数列, 可得a n －1≤b n ≤a n ＋1,数列{a n }的前四项为：a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,a 4＝8, 可得b 1∈[0,2],b 2∈[1,3],b 3∈[3,5],b 4∈[7,9],可能b 1与b 2相等,b 2与b 3相等,但b 1与b 3不相等,b 4与b 3不相等, 集合M ＝{x|x ＝b i ,i ＝1,2,3,4}, M 中元素的个数m ＝3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近, 可得a n ＝a 1＋(n －1)d,①若d ＞0,取b n ＝a n ,可得b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＝d ＞0,则b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中有200个正数,符合题意； ②若d ＝0,取b n ＝a 1－,则|b n －a n |＝|a 1－－a 1|＝＜1,n ∈N *,可得b n ＋1－b n ＝－＞0,则b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中有200个正数,符合题意； ③若－2＜d ＜0,可令b 2n －1＝a 2n －1－1,b 2n ＝a 2n ＋1, 则b 2n －b 2n －1＝a 2n ＋1－(a 2n －1－1)＝2＋d ＞0,则b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中恰有100个正数,符合题意； ④若d ≤－2,若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近, 即为a n －1≤b n ≤a n ＋1,a n ＋1－1≤b n ＋1≤a n ＋1＋1, 可得b n ＋1－b n ≤a n ＋1＋1－(a n －1)＝2＋d ≤0,b 2－b 1,b 3－b 2,…,b 201－b 200中无正数,不符合题意. 综上可得,d 的范围是(－2,＋∞). 【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用,考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.。
2018上海高考数学真题与答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. （4分）（2018?上海）行列式° 1的值为18 .2 5【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可.【解答】解：行列式°】=4X 5-2X1=18.2 5故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （4分）（2018?上海）双曲线匚-y2=1的渐近线方程为.【考点】KC双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.2 °【解答】解：•双曲线］「—1的a=2, b=1，焦点在x轴上2 2 ,而双曲线-^7；- -1的渐近线方程为y=±—芷a2 b3 a2双曲线/二1的渐近线方程为y=±y X■ £故答案为：y=± —【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）.【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解：二项式（1+x） 4 5 6展开式的通项公式为T r+1='〔？乂,令r=2，得展开式中x2的系数为c2=21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题.4. （4 分）（2018?上海）设常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.若f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,则a= 7 .【考点】4R反函数.【专题】11 :计算题；33 :函数思想；40:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,由此能求出a.【解答】解：•常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,•••函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,••• Iog2 （1+a）=3,解得a=7.故答案为：7.4（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1 - 7i （i是虚数单位），则|z| =5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；5N :数系的扩充和复数.【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由（1+i）z=1 - 7i,则|Z|= • 4 ■-故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.6. （4分）（2018?上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S,若a3=0, a e+a7=14, 贝U S7= 14 .【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；54 :等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=- 4, d=2,由此能求出S7. 【解答】解：•••等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a3=0, a e+a7=14,If ai+2d=0a 严d二14L 1 1解得a1= - 4, d=2,3=7屛i=- 28+42=14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 7且a v0,由此能求出a的值.【解答】解:：a { - 2,- 1, 1, 1, 2, 3},7（5 分）（2018?上海）已知a€ ｛- 2,- 1,-二，y , 1, 2 , 3｝，若幕函数f （x）=X a为奇函数，且在（0, +X）上递减，则a= - 1 .【考点】4U:幕函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；4O:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由幕函数f （x）=x a为奇函数，且在（0, +7 上递减，得到a是奇数，幕函数f (x) =x"为奇函数，且在(0, +x)上递减，二a是奇数，且a v0,--a=— 1.故答案为：-1.【点评】本题考查实数值的求法，考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.8. (5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中，已知点A (- 1, 0)、B( 2, 0),i ■】耳 * ■E、F是y轴上的两个动点，且|卩|=2,贝U 的最小值为-3 .【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题；35 :转化思想；41 :向量法；5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E (0, a), F (0, b),从而得出| a-b| =2, 即卩a=b+2，或并可求得- • •，将a=b+2带入上式即可求出2'- - 1F的最小值,b=a+2,同理将b=a+2带入，也可求出的最小值.【解答】解：根据题意，设E (0, a), F (0, b);I-:;••• a=b+2,或b=a+2；且厂门・..「—，:；-.-..；当a=b+2时，…丨，—I | ：；v b2+2b - 2的最小值为二：;；•••垃•甬的最小值为-3，同理求出b=a+2时，瓦•祈的最小值为-3.故答案为：-3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.9. （5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是丄（结果用最简分数表示）.【考点】CB古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；49 :综合法；51 :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2; 2个2,没有2, 3种情况，所有的事件总数为：C ；=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5, 3，1或5, 2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：吕士，10 5故答案为：丄.【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查.10. （5分）（2018?上海）设等比数列｛a n｝的通项公式为a n=q nr （n € N*），前n 项和为S n .若'II —，则q= 3 .nr w a n-+l 2【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；35 :转化思想；49 :综合法；55 : 点列、递归数列与数学归纳法.【分析】禾I」用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可.【解答】解：等比数列｛a n｝的通项公式为a =q n一1（n€ N*），可得a1=1，H因为： ------ -- ，所以数列的公比不是1,n-^^a n+l 戈；-,a n+i =q n . 口1-Q1 n1-q2网+2卩典+2口亦a 2pq解得：2^q =a i 2pq ， 由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36， 由于a >0, 故：a=6.可得1 ■ l-q inn ----- L g (1_Q)Q=H IT严8 L-<1 =1 a a-1 2 可得q=3. 故答案为：3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用， 等比数列求和以及等比数列的 简单性质的应用，是基本知识的考查.11. （5分）（2018?上海）已知常数a >0,函数f （x ）= ”2s fax£）, Q （q ，卡）•若 2p+q =36pq ，则 a= 6 .【考点】3A :函数的图象与图象的变换.的图象经过点P （p ，【专题】 35 :转化思想；51 :函数的性质及应用. 直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值.的图象经过点P （p ，—），Q （q ，丄）.【分析】2p +ap 2 Q +aq故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.12. (5 分)(2018?上海)已知实数 x i 、X 2、y i 、y 2满足：x i 2+y i 2=1, X 22+y 22=1, x i X 2+y i y 2丄，贝U ： |一'的最大值为.】+.「；.【考点】7F ：基本不等式及其应用；IT ：点到直线的距离公式. 【专题】35 :转化思想；48 :分析法；59 :不等式的解法及应用.【分析】设 A (x i , y i ), B (X 2, y 2), 0A = (x i , y i ), 0& = (X 2, y 2),由圆的方程即有/ AOB=60,即三角形OAB 为等边三角形,到直线x+y - i=0的距离d i 与d 2之和，显然A , B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=i 平行, 可设 AB ： x+y+t=0, (t > 0),和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形 OAB 为等边三角形，AB=i , I 蛊］+ ¥厂11 + II 七+ y厂11的几何意义为点A , B 两点到直线x+y -仁0的距离d i与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值. 【解答】解：设 A (X i , y i ), B (X 2, y 2),'-■= (X i , y i ), L..j = (X 2, y 2),由 x i 2+y i 2=i ,2 2X 22+y 22=i , x i x 2+y i y 2〒,可得A , B 两点在圆x 2+y 2=i 上,1七4坯11近B 两点由圆心O 到直线AB 的距离且-?>=i x i x cos /AB=1,的几何意义为点A ,故答案为：一 7+ :;.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点 与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确 选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. （5分）（2018?上海）设P 是椭圆 44 =1上的动点，贝u P 到该椭圆的两个 焦点的距离之和为（）A. 2 :?B. 2 二C. 2 仃D. 4. ■: 【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a,接利用椭圆的定义，转 化求解即可.2 2|【解答】解：椭圆％+^厂=1的焦点坐标在x 轴，a 卫，5 J2 2P 是椭圆1 I - =1上的动点，由椭圆的定义可知：贝U P 到该椭圆的两个焦点的5 3 距离之和为2a=2.・. 故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用， 椭圆的定义的应用，是基本知识的考 查.即有两平行线的距离为1：=：：＞V2 2I| +1 Jtg+yg-l |~?2雹的最大值为:■:+ ■；,14. （5 分）（2018?上海）已知a€ R,贝1”是“<1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5L :简易逻辑.土”？“a1 或a v 0”a故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识, 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15. （5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；50 :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质，则D1 - A1ABB，D1- A1AFF满足题意，而C1，E1，C，D，E,和D1 一样，有2X6=12,当A1ACC为底面矩形，有2个满足题意，当A i AEE为底面矩形，有2个满足题意,【分析】aT? “a1 或a v0”,由此能求出结果.解：a€ R,贝U “a 1”？“厂Ia“a 1 "是a故有12+2+2=16故选：D.Di Ci【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.16. (5分)(2018?上海)设D是含数1的有限实数集，f (x)是定义在D上的函数，若f (x)的图象绕原点逆时针旋转一后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A. . ；B.二C. —D. 0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想；51 :函数的性质及应用；56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转丄个单位后与下一个点会重合.6我们可以通过代入和赋值的方法当f (1) = ^ —，0时，此时得到的圆心角为—,，0,然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数5 6的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=L，此时旋转一，此时2 &满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. (14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO=4,OA、OB是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，如图•求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角；L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF: 棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4 能求出圆锥的体积.(2)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解：(1)v圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4, I 圆锥的体积V二〕一…■- L •- ■'1I3~.(2)v PO=4, OA, OB 是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，•••以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P (0, 0, 4), A (2, 0, 0), B (0, 2, 0),M (1,1, 0), O (0, 0, 0),PH= (1,1,—4), 0B= (0, 2, 0),设异面直线PM与OB所成的角为9,os .6•••异面直线PM与0B所成的角的为【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.18. (14分)(2018?上海)设常数a€ R,函数f (x) =asin2>+2coSx.(1)若f (x)为偶函数，求a的值；(2)若f (弓T =胚+1，求方程f (x) =1-厲在区间［-n, n上的解.【考点】GP两角和与差的三角函数；GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，(2)先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解：(1)： f (x) =asin2x+2cos2x,• f ( —x) =—asin2x+2cos2x,= pJ*o5 |2|n p| OB1届・26则cos9二9 =arccarccos6••• f (x )为偶函数， ••• f (- x ) =f (x ),•••- asin2x+2coEx=asin2x^2cos 2x , • 2as in 2x=0, • a=0; (2)T f () = ：-+1 ,4• asi 』^+2cos 2 (工)=a+仁岛+1 ,2 4 • a=：,• f (x ) =_ _;sin2X +2CO E X = ；sin2x+cos2x+ 仁2sin (2x^—) +1,&T f (x ) =1 -^2,19. （14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从 居住地到工作地的平均用时•某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通 勤.分析显示：当S 中x% （0v x v 100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时 间为而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题:（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤• sin (2x+丄)=-厶―” 2+2k n 或 2x+一=■6 -• 2x+—=65兀 …x=- 24n +k n 或x= 或x= 244 n+2kn k€ Z,n +k n, k € Z ,或x=-或x=- 112E24【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题. f (x )? 0<x<30. .（单位：分钟），+1=1-血, • 2sin (时间？(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性, 并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题；33 :函数思想；4C :分类法；51 :函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意知求出f (x )> 40时x 的取值范围即可；(2)分段求出g (x )的解析式，判断g (x )的单调性，再说明其实际意义. 【解答】解；(1)由题意知，当30V X V 100时,即 x 2- 65x+900>0, 解得x v 20或x >45,•I x €( 45, 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2) 当 0v x < 30 时，g (x ) =30?x%+40 (1 - x%) =40 - 当 30V x v 100 时,40——也10当0v x v 32.5时，g (x )单调递减; 当32.5V x v 100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决 问题的能力.20. (16分)(2018?上海)设常数t > 2 .在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2, 0),直线I : x=t ,曲线r y 2=8x (0< x < t , y >0). l 与x 轴交于点A 、与r 交于f (x ) =2x+ 1800 -90>40,g (x ) = (2x+二-2-90)碎心 1-x%0)=-r 13 10x+58 ；点B. P、Q 分别是曲线r与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离；(2)设t=3, |FQ=2,线段0Q的中点在直线FP上，求△ AQP的面积；(3)设t=8 ,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ使得点E在r上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想；4R:转化法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得| BF ；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF| ；(2)根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得0D的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得厶AQP的面积；(3)设P及E点坐标，根据直线k PF?k Fc=- 1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据习+冠=75,求得E点坐标，贝则(彎尸)2=8 (「+6)，即可求得P 4y 8点坐标.【解答】解：(1)方法一：由题意可知：设B (t，2 :■:t)，则|BF制(1 边严+3t=t+2,••• | BF| =t+2；方法二：由题意可知：设 B (t, 2 :■:t),由抛物线的性质可知：| BF =t甘=t+2,「. |BF=t+2;(2) F (2, 0), |FQ=2, t=3，则|FA=1,，二Q (3,血)，设OQ 的中点D,D (),k QF=~VI,则直线PF方程：y=-體(x-2),联立,整理得：3x2- 20x+12=0,• △ AQP 的面积 x^：；x根据「+円；'，则E （k+6,•存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ 使得点E 在r 上，且P （2,毁5）.5 5【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计 算能力，属于中档题.21. （18分）（2018?上海）给定无穷数列｛a n ｝，若无穷数列｛b n ｝满足：对任意n€ N *，都有|b n — a n | < 1,则称｛b n ｝与®｝接近”（1）设｛a n ｝是首项为1,公比为寺的等比数列，b n =&+1+1, n € N *，判断数列｛b n ｝解得:,x=6 （舍去），（3）存在，设P （罟，y ），2E (凹—，m )，贝U k pF =yT-2，k FQ 」——8y直线QF 方程为y= 1才/ ~sT(x — 2), ••• y o=■ - ■ ~~8y~,Q( 8, ),)2=8 ( ——+6），解得：y 2丄■是否与｛&｝接近，并说明理由；(2)设数列｛a n｝的前四项为：a i=1, a2=2, a3=4, a4=8, ｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，记集合M=｛x| x=b i，i=1，2，3，4｝，求M中元素的个数m；(3)已知｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，且在b2 - b i，b3 - b2，…，b20i - b200中至少有100个为正数，求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义接近”即可判断；(2)由新定义可得a n - K b n< a n+1，求得b i，i=1，2，3, 4的范围，即可得到所求个数；(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d >0, d=0,- 2v d v 0, d< -2,结合新定义接近”推理和运算，即可得到所求范围.【解答】解：(1)数列｛b n｝与｛刘接近.理由：計匕数列，可得a n=则| b n - a n| =| v 1, n € N ,可得数列｛b n｝与｛a n｝接近；(2)｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，可得a n - 1 w b n w a n+1,数列｛a n｝的前四项为：a1=1, a2=2, a3=4, a4=8,可得b1€ [0, 2] , b2€[ 1 , 3] , b3€ [3, 5] , b4€ [7, 9],可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=｛x|x=b i, i=1, 2, 3, 4｝,M中元素的个数m=3或4;(3)｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近, 可得a n=a1+ (n - 1) d,①若 d >0,取b n=a n，可得b n+1 - b n=a n+1 - a n=d>0,则b2 - b1, b3 - b2,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；②若d=0,取b n=a i -—，则|b n- a n|=|a i-丄-a i| —v 1, n€ N*,n n n可得b n+1 - bn^ —> 0 ,n n+1则b2 —b i, b3 —b2,…，b20i —b2oo中有200个正数，符合题意；③若—2v d v 0，可令b2n-1=a2n- 1 —1，b2n=a2n+1 ,则b2n —b2n- 1 =a2n+1 —( a2n- 1 —1) =2+d > 0，则b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中恰有100个正数，符合题意；④若d< —2,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，即为a n — 1 w b n w a n+1，a n+1 — 1 W b n+1 w a n+1+1，可得b n+1 —b n w a n+1+1—(a n —1) =2+d w 0，b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中无正数，不符合题意.综上可得，d的范围是(-2，+x).【点评】本题考查新定义接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题.。
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18 ．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为=?x r，Tr+1令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．（x+a）．若f（x）4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2的反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．（x+a）的图象经过点（1，3），由【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2此能求出a．（x+a）．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2f（x）的反函数的图象经过点（3，1），（x+a）的图象经过点（1，3），∴函数f（x）=1og2（1+a）=3，∴log2解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5 ．【考点】A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018?上海）记等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α= ﹣1 ．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018?上海）设等比数列{an }的通项公式为an=q n﹣1（n∈N*），前n项和为Sn．若=，则q= 3 ．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{an }的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，an+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P （p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x 1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5O：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E 1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B． C． D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12：应用题；33：函数思想；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F （2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPF ?kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF ==，kFQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018?上海）给定无穷数列{an }，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn ﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．（1）设{an }是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；（2）设数列{an }的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{an }是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得an ﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{bn }与{an}接近．理由：{an}是首项为1，公比为的等比数列，可得an =，bn=an+1+1=+1，则|bn ﹣an|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{bn }与{an}接近；（2）{bn }是一个与{an}接近的数列，可得an ﹣1≤bn≤an+1，数列{an }的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{an }是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，可得an =a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取bn =an，可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取bn =a1﹣，则|bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得bn+1﹣bn=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n ﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{bn }满足：{bn}与{an}接近，即为an ﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1，可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）=2+d≤0，b 2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
2018年上海高考数学真题和答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018•上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018•上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f （1）的可能取值只能是（）A． B． C． D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜时，g（x）单调递减；当＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018•上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，含答案）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2． 本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编码的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1． 已知集合{}{}{}1,3,,3,4,1,2,3,4A m B A B === ，则m =________________ ． 2． 不等式204xx ->+的解集是______________________ ． 3． 行列式cos6sin 6ππ sin 6cos 6ππ的值是___________________ ．4． 若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+=________________ ．5． 将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取____________________个个体． 6． 已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱锥的体积是______________________．7． 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d =_________．8． 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则点P 的轨迹方程为______________________________．9． 函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是________________． 10． 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张， 则“抽出的2张均为红桃”的概率为____________________ （结果用最简分数表示）． 11． 2018年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应 填入_____________________．12．在n 行n 列矩阵123n ⎛⋅⋅⋅⎝2341⋅⋅⋅3452⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅212n n n n --⋅⋅⋅-112n nn -⋅⋅⋅-121n n ⎫⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪-⎭中，记位于第i 行第j 列的列数为(,1,2,,)ij a i j n =⋅⋅⋅．当9n =时， 11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=_________________ ．13．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e = 、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+、)b R ∈，则a 、b 满足的一个等式是_________________ ．14.将直线1l ：10x y +-=、2l ：0nx y n +-=、3l ：0x ny n +-=（*,2n N n ∈≥）围成的三角形面积记为n S 。
2018年上海高考数学试题(文科)数学试题及答案
2018年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式021xx <-的解为 ． 2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y =，则x y += ．5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331xx+=-的实数解为 ． 9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ．10．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1r= ．11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=．若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为 ．13．设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 14．已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k la a c c +⋅+的最小值是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（ ）（A（B ） （C ）1（D ）116．设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--≥，{}|1B x x a =≥-．若A B =R ，则a 的取值范围为（ ） （A ）(),2-∞（B ）(],2-∞（C ）()2,+∞（D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41C ．2 D．三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．第19题图B20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．（1）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x+-； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>．（1）令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数()2||f x x =-．无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”．（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点； （3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”．参考答案一、填空题1．1(0,)2 2．15 3．2m =- 4．1 5．23π 6．78 7．2- 8．3log 4 9．79-10．57 12 13．1[,)5+∞ 14．5-二、选择题15．A 16．B 17．A 18．D 三、解答题 19．20．解：（1）每小时生产x 克产品，获利310051x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭， 生产a 千克该产品用时间为a x ，所获利润为2313100511005a x a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1161900003612x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以6x =，最大利润为619000045750012⨯=元。
2018年高考数学上海卷(精校版)
2018年高考数学上海卷〔精校版〕一、填空题： 1.[2018上海1]行列式4125的值为 ． 【答案：18】2.[2018上海2]双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ．【答案：12y x =±】3.[2018上海3]在()71x +的二项展开式中，2x 项的系数为 ． 【答案：21】4.[2018上海4]设常数a ∈R ，函数()()2log f x x a =+．假设()f x 的反函数的图像经过点()3,1，则a = ．【答案：7】5.[2018上海5]已知复数z 满足(1)17(i z i +=-是虚数单位)，则z = ． 【答案：5】6.[2018上海6]记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．假设30a =，6714a a +=，则7S = ．【答案：14】7.[2018上海7]已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭．假设幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α= ．【答案：-1】8.[2018上海8]在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()2,0B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为 ． 【答案：-3】9.[2018上海9]有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 ．【答案：15】 10.[2018上海10]设等比数列{}n a 的通项公式为()1*1n n a a qn -=∈N ，前n 项和为n S ．假设11lim2n n n S a →∞+=，则q = ．【答案：3】11.[2018上海11]已知常数0a >，函数()22x x f x ax =+的图像经过点61,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、．假设236p q pq +=，则a = ． 【答案：6a =】12.[2018上海12]已知1212,,,x x y y 满足22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为 ．】二、选择题：13.[2018上海13]设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为〔 〕A.B.C.D.【答案：C 】14.[2018上海14]已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的〔 〕 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案：A 】15.[2018上海15]《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，假设阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是〔 〕A.4B.8C.12D.16【答案：D 】16.[2018上海16]设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数．假设()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是〔 〕D.0【答案：B 】三、解答题：17.[2018上海17]已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. 〔1〕设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；〔2〕设4PO =，OA OB 、是底面半径，且90AOB ∠=，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．【答案】：〔1〕V =；〔2〕A 1A18.[2018上海18]设常数a ∈R ，函数()2sin 22cos f x a x x =+．〔1〕假设()f x 为偶函数，求a 的值；〔2〕假设14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =在区间[],ππ-上的解．【答案】：〔1〕0a =；〔2〕115131924242424x ππππ=--、、、．19.[2018上海19]某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩〔单位：分钟〕， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果答复以下问题： 〔1〕当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ 〔2〕求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．【答案】：〔1〕45100x <<；〔2〕()240,0301011358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩，()g x 在(]0,32.5x ∈时单调递减，在[)32.5,100x ∈时单调递增．实际意义为：当S 中32.5%的成员自驾时，该地上班族S 的人均通勤时间到达 最小值36.875分钟．20.[2018上海20]设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B .P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．〔1〕用t 表示点B 到点F 的距离；〔2〕设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；〔3〕设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？假设存在，求点P 的坐标；假设不存在，说明理由．【答案】：〔1〕2BF t =+；〔2〕AQP S =△；〔3〕25P ⎛ ⎝⎭．21.[2018上海21]给定无穷数列{}n a ，假设无穷数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”．〔1〕设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；〔2〕设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{}|,1,2,3,4i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；〔3〕已知{}n a 是公差为d 的等差数列，假设存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，…，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围．【答案】：〔1〕{}n b 与{}n a 接近；〔2〕34m =或；〔3〕2d >-.。
2018年上海卷数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。
2.双曲线2214x y −=的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示）4.设常数a R ∈，函数f (x )=log 2(x +a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 。
5.已知复数z 满足117i z i +=−（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若a 3=0，a 8+a 7=14，则S 7= 。
7.已知α∈{－2,－1,－21,21,1,2,3}，若幂函数()nf x x =为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=_____ 8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则BFAE ⋅的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若1Sn 1lim2n n a →∞+=，则q=____________11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁的最大值为__________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）22 （B ）23 （C ）25 （D ）4214.已知a R ∈，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）1616.设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） （A ）3 （B ）32 （C ）33（D ）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2 （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=+，求方程12f x =−（）在区间ππ−［，］上的解。
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在平面直角坐标系xOy中，对于直线I：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分割，则称分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长35米， 长80米，设 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 .
（1）设计中 是铅垂方向，若要求 ，问 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后. 与铅垂方向有偏差，现在实测得 求 的长（结果精确到0.01米）？
已知数列{an}满足 an≤3an+1≤3an，n N*，a1=1。
（1）若a1=2，a2=x，a3=9，求x的取值范围；
（2）若{an}是等比数列，且am= ，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；
（3）若a1，a2，…，a100成等差数列，求数列a1，a2，…，a100的公差的取值范围。
三．解答题（本大题共5题，满分74分）
19、（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥 ,其表面展开图是三角形 ，如图，求△ 的各边长及此三棱锥的体积 .
20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数 ，函数
（1）若 =4，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.
（1）求证：点A（1，2），B（-1,0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线。
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分。