高中新课标数学选修2-1周测试题
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套含答案解析
18.(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；
(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；
(3)p：0<m<；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.
【解】(1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，
所以{x|x>－2或x<3}{x|－2<x<3}，
而{x|－2<x<3}⇒{x|x>－2或x<3}.
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a，b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件.
(3)mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔⇔⇔⇔.
【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上.点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件.
【答案】A
5.“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()
A.∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立
【答案】B
3.已知抛物线C1：y＝2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y＝－x对称，则抛物线C2的准线方程是()
A.x＝－B.x＝
C.x＝D.x＝－
【解析】抛物线C1：y＝2x2关于直线y＝－x对称的C2的表达式为－x＝2(－y)2，即y2＝－x，其准线方程为x＝.
【答案】C
4.已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为()
高二数学选修2-1测试题及答案
高二数学选修2-1测试题及答案一、选择题1．方程x 2sin θ－1＋y 22sin θ＋3＝1所表示的曲线是( D ) A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线2．若p q Λ是假命题，则（ ）A.p 是真命题，q 是假命题B.p 、q 均为假命题C.p 、q 至少有一个是假命题D.p 、q 至少有一个是真命题 3．1F ,2F 是距离为6的两定点，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,则M 点的轨迹是 （ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆4．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( C )A ．1B ．0C ．1或0D ．1或35．中心在原点的双曲线，一个焦点为，则双曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知正方形ABCD 的顶点,A B 为椭圆的焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )A1 B ．2C 1D ．27．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．38．与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ） （A ）112322=-x y （B ）112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18222=-y x 9．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2π C ．π D ．32π 10．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） (0F 12212x y -=2212y x -=221x -=221y =A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22） 11．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2 D. 5 12．若直线m y x =+与圆m y x =+22相切，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或2二、填空题13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为________________． 14．已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是． 15．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________ 16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离为 ．三、解答题17．已知直线x ＋y －1＝0与椭圆x 2＋by 2＝34相交于两个不同点,求实数b 的取值范围．18．求渐近线方程为x y 43±=，且过点)3,32(-A 的双曲线的标准方程及离心率。
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案
高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题，则( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ）A ．⌝p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A ，2x ∉BC ．⌝p ：∃x 0∉A ，2x 0∈BD ．⌝p ：∃x 0∈A ，2x 0∉B4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（ ） A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1，0)C ．[－1，0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题9．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（ ）A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4)12．已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值X 围是________．14．若命题“∪x ∪R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．16．给出下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．已知命题p ：∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，XX 数m 的取值X 围．21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的必要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，XX 数c 的取值X 围．23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值X 围．24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示：1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题．否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题．逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．2．“p ⌝”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B.3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ，则⌝p 是特称命题：∃x 0∈A ，2x 0∉B .故选D.4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题. 9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题. 10.a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知1324x x -<⇔-<<，当2a <时，(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-，若A 是B 的充分不必要条件，则有A B ⊆且B A ≠，故有4a ->，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-，不可能有A B ⊆，故(),4a ∈-∞-.12.不等式（x -1）（x -2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.二、填空题13.(1，4) 14.[－8,0] 15.⎣⎡⎦⎤－2，9416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要提示：13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜2m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值X 围是(1，4)．14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，－2≤0成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0得－8≤a ＜0， 所以－8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．17.若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.三、解答题19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1， 所以⌝q ：c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∪. 综上所述，实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,所以x ＝a 2或x ＝－a ， 所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ．26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22B ．2C ．322D ．2210．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积．21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ． （1）求双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4． 4．若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca ＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（a b）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ．二、填空题13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82318．3 提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823．18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0）， 从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576， 所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1； （2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1，所以e 的取值X 围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713． 24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b 2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2＝36t(3t ＋4)2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．第三章 空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5B ．5C ．9 D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()．A ．0B ．ABC ．ACD ．3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )4．已知＋＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为()． A ．31B ．－32C ．33D ．375．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且<，n >＝40º，则直线PA 与平面α 所成的角为()．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且 ＝ ＋ 3＋ 2＋ x ，则x 的值是()．A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于()．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()．A ．4B ．－4C ．21D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2；②A 1·(11B A －A A 1)＝0；③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|． 错误命题的个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为()．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形 二、填空题11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝．1AA12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小．14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且<n 1，n 2>＝60º，则二面角α－l －β 的大小为．15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点．A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O（第17题）(1)求BN ·M C 1；(2)求cos<1BA ，1CB >．19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．ACBA 1C 1B 1N M（第18题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值X 围．参考答案一、选择题 1．D2．A3．D 4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1，-1），再得 b ＝（1，－2，1），则cos<a ，b >＝||||b a •＝－32． 5．B6．D7．C8．B9．B 10．D解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90º，同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6) ．12．14． 13．90°．BACPE FD（第20题）14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0．提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2)1030． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴．19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0．(2)31． 提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝11n n | |1·E D ＝31． (3)2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4x ＝2－3．20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴．(2)k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．。
高二数学选修2-1测试题及答案
姓名：___________班级：___________一、选择题1．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．若p q Λ是假命题，则（ ） A.p 是真命题，q 是假命题 B.p 、q 均为假命题C.p 、q 至少有一个是假命题D.p 、q 至少有一个是真命题3．1F , 2F 是距离为6的两定点，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,则M 点的轨迹是 （ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆4． 双曲线221169x y -=的渐近线方程为（ ） A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 34±= 5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，，则双曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知正方形ABCD 的顶点,A B 为椭圆的焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( ) A1 B 1 D ．27．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．38．与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ） （A ）112322=-x y （B ）112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18222=-y x 9．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB u u u r u u u r 与的夹角是（ ） A ．0B ．2πC ．πD ．32π (0F 12212x y -=2212y x -=221x =221y -=10．与向量(1,3,2)a =-r平行的一个向量的坐标是（ ）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22） 11．已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（ ）A.22(1)(1)2x y ++-=B. 22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 12．若直线m y x =+与圆m y x =+22相切，则m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 二、填空题13．直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为_______________.14．已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是 ．15．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________16．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ． 三、解答题17．求过点(－1，6)与圆x 2+y 2+6x －4y+9=0相切的直线方程．18．求渐近线方程为x y 43±=，且过点)3,32(-A 的双曲线的标准方程及离心率。
(新)高中数学选修2-1综合测试卷(有详细答案)
模块综合测试时间：90 分钟分值： 150分第Ⅰ卷 (选择题，共 60分)一、选择题 (每小题 5 分，共 60分)1．命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤ 0”的否定是 ( )A ．不存在 x∈R， x3－x2＋ 1≤0B．存在 x∈R， x3－x2＋1≤0C．对任意的 x∈R，x3－ x2＋1>0D．存在 x∈R， x3－x2＋1>0解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论．答案：D2．命题“若 A? B，则 A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有 ( )A．0 个B．2个C．3个D．4 个解析：逆命题与否命题正确，原命题与其逆否命题错误．答案：Bx 2y23．设椭圆的标准方程为k－x3＋5－y k＝1，其焦点在 x 轴上，则 k 的取值范围是 ( )A ．4<k<5 B． 3<k<5C． k>3 D． 3<k<4解析：由题意知， k－3>5－k>0，解得 4<k<5. 答案：A 4．已知α，β表示两个不同的平面， m 为平面α内的一条直线，则“ α⊥β”是“ m⊥β”的 ( )A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若 m⊥β，由面面垂直的判定定理，则α⊥β，反之不成立．答案：B5．已知条件 p：|x－1|<2，条件 q：x2－5x－6<0，则 p是 q的( )A ．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：命题 p：－ 1<x<3，记 A＝{ x|－1<x<3} ，命题 q：－ 1<x<6，记 B＝{x|－1<x<6} ，∵A B，∴p是 q的充分不必要条件．答案：B16．已知命题 p：“x∈ R 时，都有 x2－x＋4<0”；命题q：“存在x∈R，使 sinx＋ cosx＝ 2成立”．则下列判断正确的是 ( ) A．p∨q为假命题B．p∧q 为真命题C．綈 p∧ q 为真命题D．綈 p∨綈 q 是假命题解析：易知 p假， q真，从而可判断得 C正确．答案：Cx 2y27．以双曲线x4－y5＝1 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ( )A．y2＝12x B．y2＝－ 12xC．y2＝6x D．y2＝－ 6xx 2y2解析：由4－5＝1，得 a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9.∴右焦点的坐标为 (3,0)，故抛物线的焦点坐标为 (3,0)，顶点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为 y2＝12x.答案：A8．对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，有如下关系：6O→P＝O→A＋2O→B＋3O→C，则 ( )A．四点 O、A、B、C 必共面B．四点 P、A、B、C 必共面C．四点 O、P、B、C 必共面D．五点 O、 P、A、 B、C 必共面1 1 1 1 1 1解析：由已知得 O→P＝6O→A＋3O→B＋2O→C，而6＋3＋2＝1，∴四点 P、A、B、C 共面．答案：B9．如图，将边长为 1的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角， 11 若点 P 满足B →P ＝12B →A －21B →C ＋B →D ，则|B →P|2的值为 ( )解析：由题可知 |B →A|＝1，|B →C|＝1，|B →D|＝ 2.〈B →A ，B →D 〉＝ 45 °， 〈 B →D ，B →C 〉＝ 45 °，〈B →A ，B →C 〉＝ 60 °.∴|B →P|2＝(12B →A －12B →C ＋B →D)2＝14B →A2＋14B →C2＋B →D2－12B →A ·B →C ＋ B →A ·B →D －B →C ·B →D1 1 1 12 2 9＝ 4＋4＋2－2×1×1×2＋1× 2× 2 －1× 2× 2 ＝4.答案：Dx2 y 210．已知 P 是双曲线 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)上的点， F 1，F 2是其焦 点，双曲线的离心率是 54，且P →F 1·P →F 2＝0，若△2B3PF1F2的面积为 9，则 a＋b的值为 ( )A ．5 B． 6C． 7 D． 8解析： 由P →F 1·P →F 2＝0，得P →F 1⊥P →F 2，设 |P →F 1|＝m ，|P →F 2|＝n ，不妨设 m>n ，则 m 2＋n 2＝4c 2，m－n ＝ 2a ， 12mn ＝9，c a ＝54，解得 a ＝4，c ＝5，故 b ＝ 3.因此 a ＋ b ＝ 7，选 C. 答案：C11．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线 BC 1 与平面 A 1BD 所成 角的余弦值为 ( )B.32D.23解析：建立如下图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)， A 1(1,0,1)，B(1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1＝(1,0,1)，DB ＝(1,1,0)，BC 1＝(－1,0,1)． 设平面 A 1BD 的法向量为 n ＝(x ， y ，z)，则 n ·D →A 1＝0，n ·D →B ＝0.A.C.答案：C12．双曲线 a x2－ b y2＝1（a>0， b>0）的两个焦点为 F 1、F 2，若 P 为其上一点，且 |PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）解析： 由题意知在双曲线上存在一点 P ，使得 |PF 1|＝ 2|PF 2|，如右 图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点 P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a.x ＋z ＝0， x ＋y令 x ＝1，则 n ＝（1，－ 1，－1），∴cos 〈n ，BC 1〉 n ·B →C 1 ＝ －2＝－ 6|n||B →C 1| 3· 23∴直线BC 1与平面 A 1BD 所成角的正弦值为 6. 3. ∴直线BC 1与平面 A 1BD 所成角的余弦值为3.3.A ．(1,3) C ． (3，＋B ．(1,)∴|OF 2|－ |OA|＝ c－a≤ 2a.∴c≤ 3a. 又∵c>a，∴a<c≤3a.c∴1< ≤3，即 1<e≤3.a答案：B第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（每小题 5 分，共 20分）13．命题 p：? m∈ R，方程 x2＋mx＋ 1＝0 有实数根，则“非 p” 形式的命题是___________ ，此命题是命题（填“真”或“假” ）．解析：命题 p 为特称命题，所以綈 p 是全称命题，∴ 綈 p 是? m ∈R，方程 x2＋mx＋1＝0没有实数根．∵m≥2或m≤－2时，Δ≥0，即该方程有实数根，所以 p真，綈 p假．答案： ? m∈R，方程 x2＋mx＋1＝0没有实数根假14．双曲线x a2－b y2＝1 的离心率 e∈（1,2），则其中一条渐近线的斜率取值范围是．a2＋b2b解析： e＝a∈（1,2），解得 0<a b< 3，又双曲线的渐近线方 aa程为 y＝±a b x，故其中一条渐近线的斜率取值范围是（0，3）或（－ 3， 0））．答案：（0， 3）或（－ 3，0）15．如图，在四棱锥 O —ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形， OA ⊥平面 ABCD ，OA ＝2，M 为 OA 的中点．则异面直线 OB 与 MD 所成角余弦值为解析：以 A 为原点建立空间直角坐标系，如图则O →B ＝（2,0，－2），M →D ＝（0,2，－1）．设O →B ，M →D 所成的角为 θ，O →B ·M →D ＝ 2 ＝ 10. |O →B||M →D |2 2·5 10 16．若直线 y ＝ kx －2 与抛物线 y 2＝8x 交于 A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是 2，则|AB|＝ __ .y 2＝8x ， 4k ＋8解析： k 2x 2－（4k ＋8）x ＋4＝0，x 1＋x 2＝ k 2 ＝4，y ＝ kx －2， k则 cos θ＝ 答案：10 10得 k ＝－1或 2，当 k ＝－1 时，x 2－4x ＋4＝0 有两个相等的实数根，不合题意．当 k ＝2 时，|AB|＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 5 x 1＋x 2 2－ 4x 1x 2＝ 5 16－ 4＝2 15.答案： 2 15三、解答题 （写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分）轴上的椭圆； q ：实数 t 满足不等式 t 2－（a － 1）t －a<0.（1）若 p 为真，求实数 t 的取值范围；（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．x 2 y 2解：（1）∵方程 x ＋ y ＝1 所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆，3－ t t ＋1∴3－t>t ＋1>0.解得－ 1<t<1.（2）∵p 是 q 的充分不必要条件，∴ { t|－1<t<1}是不等式 t 2－（a －1）t －a<0解集的真子集．解方程 t 2－（a －1）t －a ＝0得 t ＝－1或 t ＝a.①当 a>－1时，不等式的解集为 {t|－1<t<a}，此时，a>1.②当 a ＝－ 1时， 不等式的解集为 ?，不满足题意．③当 a<－1 时，不等式的解集为 {t|a<t< 17．（10 分）已知 p ：方程 223－t ＋t＋1 1 所表示的曲线为焦点在－1} ，不满足题意．综上， a>1.18．（12 分）ABC— A1B1C1 中， CA＝ CB，AB＝ AA1，∠ BAA1＝ 60°.(1)证明： AB⊥A1C；(2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝ CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值．解：(1)取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B.因为 CA＝ CB，所以 OC⊥ AB.由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B 为等边三角形，所以 OA1 ⊥AB.因为 OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C.又 A1C? 平面 OA1C，故 AB⊥ A1C.(2)由(1)知 OC⊥ AB，OA1⊥AB.又平面 ABC⊥平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC⊥平面AA1B1B，故 OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以 O 为坐标原点， O →A 的方向为 x 轴的正方向， |O →A|为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系 O － xyz.由题设知 A （1,0,0），A 1（0， 3， 0）， C （0,0，3），B （－1,0,0）．则B →C ＝（1,0， 3），B →B 1＝ A →A 1＝（－1， 3，0），A →1C ＝（0，－ 3， 3）．设 n ＝（x ，y ，z ）是平面 BB 1C 1C 的法向量，n ·B →C ＝0x ＋ 3z ＝ 0 则 → ，即n ·B →B 1＝0 －x ＋ 3y ＝ 0可取 n ＝（ 3，1，－ 1）．所以 A 1C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值为 19．（12 分）已知定点 F （0,1）和定直线 l 1：y ＝－ 1，过定点 F 与直 线 l 1 相切的动圆圆心为点 C.（1）求动点 C 的轨迹方程；（2）过点 F 的直线 l 2交轨迹于两点 P ，Q ，交直线 l 1于点 R ，求R →P ·R →Q 的最小值．解：（1）由题意，点 C 到点 F 的距离等于它到 l 1的距故 cos n ， A →1C n ·A →1C ＝－ 10 |n||A →1C| 5 105离，∴点C 的 轨迹是以 F 为焦点， l 1 为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为 x 2＝4y.（2）由题意，直线 PQ 的斜率存在，且不为 0，设直线 l 2 的方程为 y ＝kx ＋1（k ≠ 0），与抛物线方程联立消去 y ，得 x 2－ 4kx －4＝0.记 P （x 1， 2y 1），Q （x 2，y 2），则 x 1＋ x 2＝4k ，x 1x 2＝－ 4.易得点 R 的坐标为 －k ，－1 ， → → 2 2 2 2∴R →P ·R →Q ＝ x 1＋ k ， y 1＋ 1 ·x 2＋k ，y 2＋1 ＝ x 1＋ k x 2＋k ＋ （kx 1＋2）（kx 2 ＋ 2）＝ （1 ＋ k 2）x 1x 2 ＋ k 2＋2k （x 1 ＋ x 2） ＋ k 42 ＋ 4 ＝ － 4（1 ＋ k 2） ＋ 2 4 1 14k k ＋2k ＋k 2＋4＝ 4 k 2＋k 2 ＋8，∵k 2＋k 2≥ 2，当且仅当 k 2＝1 时取到 等号，∴R →P ·R →Q ≥4×2＋8＝16，即 R →P ·R →Q 的最小值为 16.x 2y220．（12 分）设 F 1，F 2 分别是椭圆： a 2＋b 2＝ 1（a>b>0）的左、右焦 点，过 F 1倾斜角为 45°的直线 l 与该椭圆相交于 P ，Q 两点，且 |PQ| 4＝3a.（1）求该椭圆的离心率．（2）设点 M （0，－ 1）满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程． 解：（1）直线 PQ 斜率为 1，设直线 l 的方程为 y＝ x＋c，其中 c＝ a2－b2.y＝x＋c，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 P，Q 两点坐标满足方程组 x2 y2＋b2＝1，a2化简得（a2＋ b2）x2＋2a2cx＋a2（c2－ b2）＝0，－ 2a2c a2c2－b2则 x1＋ x2＝ 2 2， x1x2＝ 2 2.a2＋b2a2＋ b2所以 |PQ|＝ 2|x2－x1|＝ 2[ x1＋ x2 2－4x1x2] ＝34a.4 4ab2得34a＝a42＋ab b2，故a2＝2b2，(2)设 PQ 的中点为 N(x0，y0)，2x1＋ x2 －a2c 2 c y0＝x0＋c＝3由|MP|＝ |MQ|得 k MN＝－ 1.y0＋1即0x＋01＝－1，得 c＝3，从而 a＝3 2，b＝ 3.x 2y2 故椭圆的方程为1x8＋y9＝1.21．（12 分）所以椭圆的离如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中， PA⊥平面 ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)求证： PC⊥AD；(2)求二面角 A－ PC－D 的正弦值；(3)设E为棱 PA上的点，满足异面直线 BE与 CD所成的角为 30°，求 AE 的长．解：如右图所示，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11A(0,0,0)， D(2,0,0)，C(0,1,0)，B －2，2，0 ，P(0,0,2)．(1)证明： P→C＝(0,1，－2)，A→D＝(2,0,0)，所以P→C·A→D＝0，所以PC ⊥AD.（2）解：P →C ＝（0,1，－2），C →D ＝（2，－1,0）． 设平面 PCD 的法向量为 n ＝ （x ， y ， z ），故平面 PCD 的一个法向量为 n ＝（1,2,1）．可取平面 PAC 的法向量为 m ＝（1,0,0）．所以二面角 A —PC — D 的正弦值为 630.（3）解：设点 E 的坐标为 （0,0，h ），其中 h ∈[0,2] ，→1 1→ 由此得B →E ＝ 2，－2，h ，又C →D ＝（2，－1,0），以 ＝ cos30 ＝°2 ，解得 h ＝ 10 h ＝－ 1100舍去 ，即AE ＝10＋20h2 2 10 1010.10 .22．（12分）（2014 大·纲全国卷 ）已知抛物线 C ：y 2＝2px （p>0）的焦点5n ·PC ＝0， n ·C →D ＝0， y －2z ＝0， 即 2x －y ＝0.不妨令 z ＝ 1，则 x ＝1， y ＝ 2， 于是 cos m ， n m ·n 1 6|m| ·|n|＝ 6＝，从而 sinm ，n 30＝6，故 cos 〈 B →E ，C →D 〉 ＝B →E ·C →D |B →E| ·|12＋h 2× 5 10＋ 20h 2为 F，直线 y＝4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|＝4|PQ|.（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′ 与 C相交于 M，N两点，且 A，M，B，N四点在同一圆上，求 l 的方程．8解：（1）设 Q（x0,4），代入 y2＝ 2px 得 x0＝p.8 p p 8 所以|PQ|＝p，|QF|＝2＋x0＝2＋p.p 8 5 8由题设得2p＋8p＝45×p8，解得 p＝－ 2（舍去）或 p＝2.所以 C 的方程为 y2＝4x.（2）依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 x ＝ my＋ 1（m≠0）．代入 y2＝4x 得 y2－ 4my－ 4＝ 0.设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故 AB 的中点为 D（2m2＋1,2m），|AB|＝ m2＋1|y1－ y2|＝4（m2＋ 1）．1又 l′的斜率为－ m，所以 l′的方程为 x＝－m y＋2m2＋3.4将上式代入 y2＝ 4x，并整理得 y2＋m y－4（2m2＋3）＝0.4设 M（x3，y3），N（x4，y4），则 y3＋y4＝－m，y3y4＝－ 4（2m2＋3）． 22故 MN 的中点为 E m2＋2m2＋3，－m，1 4 m 2＋1 2m2＋ 1|MN|＝ 1＋m2|y3－y4|＝m2 .由于 MN 垂直平分 AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于 |AE|1 1 1＝|BE|＝2|MN|，从而4|AB|2＋|DE|2＝4|MN|2，22即 4（m2＋1）2＋ 2m＋m2＋m2＋ 2 24 m2＋1 2 2m2＋ 1＝m4，化简得 m2－1＝0，解得 m＝1 或 m＝－ 1.所求直线 l 的方程为 x－y－1＝0 或 x＋y－1＝0.。
(新)高中数学选修2-1综合测试卷(有详细答案)
模块综合测试时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论．答案：D2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有()A．0个B．2个C．3个D．4个解析：逆命题与否命题正确，原命题与其逆否命题错误．答案：B3．设椭圆的标准方程为x2k－3＋y25－k＝1，其焦点在x轴上，则k的取值范围是()A．4<k<5 B．3<k<5C．k>3 D．3<k<4解析：由题意知，k－3>5－k>0，解得4<k<5.答案：A4．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊥β，由面面垂直的判定定理，则α⊥β，反之不成立．答案：B5．已知条件p：|x－1|<2，条件q：x2－5x－6<0，则p是q的() A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：命题p：－1<x<3，记A＝{x|－1<x<3}，命题q：－1<x<6，记B＝{x|－1<x<6}，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．答案：B6．已知命题p：“x∈R时，都有x2－x＋14<0”；命题q：“存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立”．则下列判断正确的是() A．p∨q为假命题B．p∧q为真命题C．綈p∧q为真命题D．綈p∨綈q是假命题解析：易知p假，q真，从而可判断得C正确．答案：C7．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系： 6OP→＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面 D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面解析：由已知得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，∴四点P 、A 、B 、C 共面．答案：B9．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP→|2的值为( ) A.32 B ．2 C.10－24 D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD→ ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 答案：D10．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝5，故b ＝3.因此a ＋b ＝7，选C. 答案：C11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )A.24B.23C.33D.32解析：建立如下图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.∴⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33. 答案：C12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如右图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a.∴c≤3a.又∵c>a，∴a<c≤3a.∴1<ca≤3，即1<e≤3.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是________，此命题是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p为特称命题，所以綈p是全称命题，∴綈p是∀m ∈R，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根．∵m≥2或m≤－2时，Δ≥0，即该方程有实数根，所以p真，綈p假．答案：∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根假14．双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e∈(1,2)，则其中一条渐近线的斜率取值范围是________．解析：e＝a2＋b2a∈(1,2)，解得0<ba<3，又双曲线的渐近线方程为y＝±ba x，故其中一条渐近线的斜率取值范围是(0，3)或(－3，0))．答案：(0，3)或(－3，0)15．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．则异面直线OB 与MD 所成角余弦值为________.解析：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图 则OB→＝(2,0，－2)，MD →＝(0,2，－1)． 设OB→，MD →所成的角为θ， 则cos θ＝OB →·MD →|OB →||MD →|＝222·5＝1010.答案：101016．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝________.解析：⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4，得k ＝－1或2，当k ＝－1时，x 2－4x ＋4＝0有两个相等的实数根，不合题意． 当k ＝2时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝516－4＝215.答案：215三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q ：实数t 满足不等式t 2－(a －1)t －a <0.(1)若p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)∵方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴3－t >t ＋1>0.解得－1<t <1.(2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴{t |－1<t <1}是不等式t 2－(a －1)t －a <0解集的真子集．解方程t 2－(a －1)t －a ＝0得t ＝－1或t ＝a .①当a >－1时，不等式的解集为{t |－1<t <a }，此时，a >1.②当a ＝－1时，不等式的解集为∅，不满足题意．③当a <－1时，不等式的解集为{t |a <t <－1}，不满足题意．综上，a >1.18．(12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)． 则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·BC→＝0n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)． 故cosn ，A 1C →＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.19．(12分)已知定点F (0,1)和定直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解：(1)由题意，点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意，直线PQ 的斜率存在，且不为0，设直线l 2的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1，∴RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8，∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ→的最小值为16. 20．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝43a .(1)求该椭圆的离心率．(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程． 解：(1)直线PQ 斜率为1， 设直线l 的方程为y ＝x ＋c ， 其中c ＝a 2－b 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.所以|PQ |＝2|x 2－x 1| ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43a .得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|MP |＝|MQ |得k MN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 21．(12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．解：如右图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，P (0,0,2)． (1)证明：PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，所以PC →·AD→＝0，所以PC ⊥AD .(2)解：PC→＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·PC→＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，则x ＝1，y ＝2，故平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量为m ＝(1,0,0)． 于是cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin m ，n ＝306，所以二面角A —PC —D 的正弦值为306.(3)解：设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]， 由此得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，h ，又CD →＝(2，－1,0)， 故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h2，所以310＋20h 2＝cos30°＝32，解得h ＝1010⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＝－1010舍去，即AE ＝1010.22．(12分)(2014·大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
数学选修2-1测试题(含答案)(1)
数学选修2-1 综合测评时间:90分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的）1．与向量a＝（1,－3,2)平行的一个向量的坐标是(）A.错误!B．(－1，－3，2）C。
错误!D．(错误!，－3，－2错误!）解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b≠0,a∥b⇔a＝λb，a＝(1，－3,2)＝－1错误!，故选C.答案：C2．若命题p：∀x∈错误!，tan x〉sin x，则命题綈p：（)A．∃x0∈错误!,tan x0≥sin x0B．∃x0∈错误!，tan x0>sin x0C．∃x0∈错误!，tan x0≤sin x0D．∃x0∈错误!∪错误!,tan x0〉sin x0解析：∀x的否定为∃x0，〉的否定为≤,所以命题綈p为∃x0∈错误!,tan x0≤sin x0.答案：C3．设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β且l∥β,m∥αB．l⊂α，m⊂β且l∥mC．l⊥α，m⊥β且l∥mD．l∥α，m∥β且l∥m解析：由l⊥α,l∥m得m⊥α,因为m⊥β，所以α∥β，故C选项正确．答案:C4．以双曲线错误!－错误!＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C。
x216＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析:由错误!－错误!＝1，得错误!－错误!＝1。
∴双曲线的焦点为（0,4),（0，－4)，顶点坐标为（0，2错误!)，（0,－2错误!）．∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1。
答案：D5．已知菱形ABCD边长为1,∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离为（）A。
错误! B.错误! C.错误!D。
错误!解析:菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则AC′⊥BD，沿AC 折叠后，有BO⊥AC′，DO⊥AC，所以∠BOD为二面角B－AC－D的平面角,即∠BOD＝60°.因为OB＝OD＝12，所以BD＝错误!.答案：B6．若双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2（r〉0）相切，则r＝（)A.错误!B．2 C．3 D．6解析:双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为y＝±错误!x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3）2＋y2＝r2(r>0）相切，故圆心（3,0）到直线y ＝±错误!x的距离等于圆的半径r,则r＝错误!＝错误!。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合素质检测 全册
本册综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．给出命题：p：3>1，q：4∈{2,3}，则在下列三个命题：“p ∧q”，“p∨q”，“綈p”中，真命题的个数为()A．0B．3C．2D．1[答案]D[解析]p：3>1，是真命题，q：4∈{2,3}是假命题，∴“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，“綈p”是假命题．2．(2013·山东理，7)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q⇒/ p，所以p 是綈q的充分不必要条件．3．命题“存在n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是() A．不存在n∈N*，n2＋3n能被10整除B．存在n∈N*，n2＋3n不能被10整除C．对任意的n∈N*，n2＋3n不能被10整除D．对任意的n∈N*，n3＋3n能被10整除[答案] C[解析] 特称命题的否定是全称命题，故选C.4．已知方程x 21＋k ＋y 24－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <4B ．k <－1或k >4C ．k <－1D ．k >4[答案] B[解析] 由题意，得(1＋k )(4－k )<0，∴(k ＋1)(k －4)>0，∴k >4或k <－1.5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 [答案] B[解析] 由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1， 即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.6．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55.7．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ，∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.8．(2013·山东理，11)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433[答案] D[解析] 由已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为A (0，p 2)，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为B (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .设M (x 0，y 0)，则y 0＝x 202p ，由k MA ＝k MB 得x 202p －p 2x 0＝p 2－2，(1)由y ＝x 22p 知，y ′＝x p ，则y ′|x ＝x 0＝x 0p ＝33， 代入(1)式中消去x 0并解之得p ＝433.9．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96 [答案] C[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48，选C.10．(2013·新课标全国Ⅱ理，7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别为(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )[答案] A[解析] 在空间直角坐标系中画出各点，可见这四点为正四面体的四个顶点，将其置于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，易得此四面体在zOx 平面投影图形为A.11．(2013·大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1] D ．[34，1][答案] B [解析] 如图：直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0， ∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)． 同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵KA 1M ＝12727＋2＝34，KA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线PA 1斜率的取值范围是[38，34]．12. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°[答案] B[解析] 解法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，AB ＝2，则|a |＝|b |＝2，|c |＝1，a ·c ＝0，b ·c ＝0，a ·b ＝1. ∴AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝BC →＋CC 1→＝(b －a )＋c ，∵AB 1→·BC 1→＝a ·b －|a |2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋|c |2＝0， ∴AB 1→⊥BC 1→，即AB 1⊥C 1B .解法二：取AC 中点D ，建立如图所示的坐标系．设AB ＝1，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，22，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，22，∴cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B→|AB 1→||C 1B →|＝0.∴AB 1与C 1B 所成的角为90°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．[答案] 33[解析] 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10.由P 是双曲线上一点得，||PF 1|－|PF 2||＝16.∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33.14．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于________．[答案] －34a ＋12b ＋12c[解析] 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →＝12b ＋12c －34a . 15．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为________．[答案] 32 [解析]当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4y 2＝4x，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －4).消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32， 综上可知y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.16．过二面角α－l －β内一点P 作PA ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若PA ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的度数为________．[答案] 120°[解析] 设PA →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a |2 ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49，∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”，若p ∨q 为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．[解析] ∵直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交，则|1＋0－m |2<1，∴m ∈(1－2，1＋2)． ∵mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，则m －4m <0，即0<m <4.又∵p ∨q 为真，綈p 为真，∴p 假，q 真，∴m ∈[1＋2，4)．18．(本小题满分12分)已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．[解析]如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点，即定点A(－3，0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b＝42－32＝7的椭圆，方程为：x2 16＋y27＝1.19．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M 在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz .(1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°.∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)，又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)，∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，设CM →＝λDP →＋μDA →，则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32，∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵C ∉平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .(2)作BE ⊥PA 于E ，|PB |＝|AB |＝4，∴E 为PA 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)．∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0，∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面PAD ，由于BE ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PAD .[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常将向量几何证明方法与综合几何证明方法结合使用．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°的角，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)设E 是棱PD 上一点，且PE ＝13PD ，求异面直线AE 与PB 所成的角．[解析] 如图，建立空间直角坐标系A －xyz .∵PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°，∴∠PBA ＝60°.取AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0，3)，D (0,2,0)．(1)∵AC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0，3)，CD →＝(－1,1,0)，∴AC →·CD →＝－1＋1＋0＝0，AP →·CD →＝0. ∴AC ⊥CD ，AP ⊥CD ， ∴CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAC .(2)∵PE →＝13PD →，∴E (0，23，233)，∴AE →＝(0，23，233)．又PB →＝(1,0，－3)，∴AE →·PB →＝－2.∴cos 〈AE →·PB →〉＝AE →·PB →|AE →|·|PB →|＝－243×2＝－34. ∴异面直线AE 与PB 所成的角为arccos 34.21．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x－2a 2＝0.①所以⎩⎨⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0.解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得，－2a 21－a2＝28960.由a >0，所以a ＝1713. 22．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)若AD ＝3，求二面角A －EC －D 的平面角的余弦值．[解析] 解法一：(1)如下图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB.又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．在Rt△PAB中，PA＝AB＝6，所以AE＝12BP＝12PA2＋AB2＝ 3.(2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC 于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD ⊥AE，从而DE＝AE2＋AD2＝ 6.在Rt△CBE中，CE＝BE2＋BC2＝ 6.由CD ＝6，所以△CDE 为等边三角形，故点F 为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点．连接DG .则在Rt △ADC 中，DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32.所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63.解法二：(1)如下图，以A 为坐标原点，射线 AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，则B (6，0,0)，C (6，a,0)，P (0,0，6)，E (62，0，62)．因此AE →＝(62，0，62)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(6，a ，－6)．则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线 AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)因为|AD →|＝3，则D (0，3，0)，C (6，3，0)．设平面AEC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0.又AC →＝(6，3，0)，AE →＝(62，0，62)，故 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6x 1＋3y 1＝0，62x 1＋62z 1＝0.所以y 1＝－2x 1，z 1＝－x 1.可取x 1＝－2，则n 1＝(－2，2，2)．设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0，又DC →＝(6，0,0)，DE →＝(62，－3，62)，高中数学-打印版精心校对 故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0，62x 2－3y 2＋62z 2＝0.所以x 2＝0，z 2＝2y 2，可取y 2＝1，则n 2＝(0,1，2)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63. 所以二面角A －EC －D 的平面角的余弦值为63.[点评] 利用法向量解决立体几何问题时要注意正确写出点的坐标，求出法向量，从而表示出所要求的距离及角．。
高中数学选修2-1综合测试题及答案
选修2-1综合测试题一、选择题1、a 、b 为实数,那么b a 22>是22log log a b >的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2、给出命题:假设函数()y f x =是幂函数,那么函数()y f x =的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( ) A.0B.1C.2D.33、函数()sin 2()3f x x xf π'=+,那么()3f π'= ( )A.12-B. 0C.12- D.324、如果命题“p 且q 〞是假命题,“非p 〞 是真命题,那么 ( )A.命题p 一定是真命题B.命题q 一定是真命题C.命题q 可以是真命题也可以是假命题D.命题q 一定是假命题5、命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,假设命题“p q ∧〞 是真命题,那么实数a 的取值范围是 ( )A.(,2]{1}-∞-B.(,2][1,2]-∞-C.[1,)+∞D.[2,1]-6．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，那么BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．327．如下图，在四面体P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －AP －C 的余弦值为( )A ．22B ．33 C ．77 D ．578、我们把由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c+=<合成的曲线称作“果圆〞(其中222,a b c =+0a b c >>>).如图,设点210,,F F F 是相应椭圆的焦点,A 1、A 2和B 1、B 2是“果圆〞与x,y 轴的交点,假设△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角,那么a,b 的值分别为( )A.1,27B.1,3C.5,3D.5,4 9、设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 假设12F F ，,(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,那么双曲线的离心率为( ) A.32 B.2 C.52D.3 10、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,假设△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,那么抛物线方程为( )A.24y x =±B.28y x =±C.24y x =D.28y x =11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，那么直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确12、平面α的一个法向量n ＝(1，－1,0)，那么y 轴与平面α所成的角的大小为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4 二、填空题13． 空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a ＝，b ＝，假设向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，那么k 的值为________．14． 向量a ＝(cos θ，sin θ，1)，b ＝(3，－1,2)，那么|2a －b|的最大值为________．15、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221x y m n-=(0,0)m n >>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c ,假设c 是a 、m 的等比中项,2n 是22m 与2c 的等差中项,那么椭圆的离心率是 . 16、现有以下命题:①命题“2,10x x x ∃∈++=R 〞的否认是“2,10x x x ∃∈++≠R 〞; ②假设{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,那么()R A B =A ; ③函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是偶函数的充要条件是()2k k ϕπ=π+∈Z ; ④假设非零向量,a b 满足a =λ,b b =λa (R λ∈),那么λ=1. 其中正确命题的序号有________.(把所有真命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共74分,解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)·O 1O 2xyO F 1 ·· F 2M17、(12分)设命题p:不等式21x x a -<+的解集是1{3}3x x -<<;命题q:不等式2441x ax ≥+的解集是∅,假设“p 或q 〞为真命题,试求实数a 的值取值范围.18、(12分)向量b 与向量a=(2,-1,2)共线，且满足a ·b=18,(ka+b)⊥(ka-b),求向量b 及k 的值. 19、(12分)如下图,圆O 1与圆O 2外切,它们的半径分别为3、1,圆C 与圆O 1、圆O 2外切。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合能力检测 全册
本册综合能力检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a <2”是“a 2<2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由a 2<2a ，得0<a <2.a <2⇒/ 0<a <2，而0<a <2⇒a <2，故选B.2．下列四个命题中正确命题的个数为( ) ①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0 ②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0 ③∃x ∈R ，使x 2<x④∃x ∈N *，使x 为29的约数A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 2x 2－3x ＋4＝2(x －34)2＋238>0，故①正确；当x ＝－1时，2x ＋1＝－1<0，故②不正确；当x ＝0.1时，x 2＝0.01，∴x 2<x ，故③正确；1是29的约数，故④正确，故选C.3．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于( )A ．85 B.85 C ．5 2 D ．50[答案] B[解析] 由题意AC ′＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以|AC ′→|2＝|AB →＋AD →＋AA ′→|2，代入计算可得，|AC ′→|2＝85. ∴AC ′＝85.4．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则向量OD →的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－32[答案] B[解析] 如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12. ∴D 点坐标为(0，－12，32)， 即向量OD →的坐标为(0，－12，32)．5．在[－4,4]上任取一个m ，使得曲线x 24＋m ＋y 2m －1＝1表示双曲线的概率是( )A.58B.516C.38D.34[答案] A[解析] 由题意可得(4＋m )(m －1)<0，解得－4<m <1，所有m 的可能结果对应的区间长度为4－(－4)＝8，而使得x 24＋m ＋y 2m －1＝1表示双曲线的对应区间长度为1－(－4)＝5，故所求概率为P ＝58，选A.6．曲线y＝－1－x2与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数是() A．4个B．2个C．0个D．与a的取值有关[答案] B[解析]曲线y＝－1－x2即x2＋y2＝1(y≤0)，曲线y＋|ax|＝0(a ∈R)，即y＝－|ax|，两曲线如图所示，必有2个交点．故选B.7．(2013·新课标Ⅱ文，10)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A, B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为() A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)D．y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)[答案] C[解析]由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1,0)，准线x＝－1，设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x得，y2－4my－4＝0.由根与系数的关系得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1>0>y 2， ∵|AF |＝3|BF |，∴y 1＝－3y 2，由⎩⎨⎧y 1y 2＝－4，y 1＝－3y 2，解得y 2＝－23，∴y 1＝2 3.∴m ＝y 1＋y 24＝33，∴直线l 的方程为x ＝33y ＋1. 由对称性知，这样的直线有两条． 即y ＝±3(x －1)．[点评] 1.求出y 1，y 2后也可以代入x ＝y 24求得x 1、x 2.由k ＝y 1－y 2x 1－x 2得到斜率用点斜式写出l 方程或用两点式直接写出l 的方程．2．由于A 、B 两点没有指明位置，故由对称性知，这样的直线应有两条，每个选项都是两条，故只需求出一种情况即可获解．3．可以用焦点弦长与倾斜角的关系|AB |＝2psin 2θ求解．(其中θ为直线AB 的倾斜角)．4．若设直线方程为y ＝k (x －1)，则可利用定义，由|AF |＝3|BF |得，x 1＝3x 2＋2，结合韦达定理求解．8．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833C.21060D.21030[答案] D[解析] ∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设AB ＝a ，则A (22a,0,0)，B (0，22a,0)，C (－22a,0,0)． 设OP ＝h ，则P (0,0，h )， ∵PA ＝2a ，∴h ＝142a . ∴OD →＝(－24a,0，144a )．由条件可以求得平面PBC 的法向量n ＝(－1,1，77)，∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.9．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1 ,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0[答案] D[解析] 设Q (x ，y )，∵|PM |＝|MQ |∴M 为PQ 中点， ∴P 为(－2－x,4－y )．∵P 在直线2x －y ＋3＝0上，∴y ＝2x ＋5，∴选D.10．如图，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 中点，则AE →·BC →等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设DC ＝DB ＝a ，DA ＝b ，则B (a,0,0)、C (0，a,0)、A (0,0，b )，E (a 2，a2，0)，所以BC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(a 2，a 2，－b )，AE →·BC →＝－a 22＋a 22＋0＝0.11．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |等于( )A.43B.423C.83D.823 [答案] B[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 得3x 2＋4x ＝0.∴x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝0， ∴|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2169＝423.故|AB |＝423.12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32[答案] A [解析] ∵|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，其中|F 1F 2|＝2c ＝3k ，∴c ＝32k .若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6k .∴a ＝3k .∴e ＝c a ＝32k 3k ＝12.若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2k ，∴a ＝k .∴e ＝c a ＝32k k ＝32.∴e 的取值为12或32.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过双曲线x 24－y 24＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.[答案] 8[分析] 由双曲线定义及条件知|MF 2|－|MF 1|＝|NF 2|－|NF 1|＝2a ＝4.[解析] 根据双曲线的定义，|MF 2|＋|NF 2|－|MN | ＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4×2＝8.14．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝52[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ，故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)， ∴2λ＝5，∴λ＝52.15．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．[答案]2 4[解析]解法一：∵四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，∴CB⊥AB，EB⊥AB，∴∠CBE＝60°.连接CE，如图所示，设正方形的边长为1，∵BC＝BE，∠CBE＝60°，∴△CEB为正三角形，CE＝BC＝1.连接CF，∵BC∥AD，∴∠CBF就是两异面直线AD与BF所成的角．又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2.又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2，∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24. 解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |＝1，∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12.|BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2，∴|BF →|＝2，BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12，∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|＝24， 即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24.16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________．[答案] 120°[解析] 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )，∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )，设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0，∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令z ＝1，则n ＝(1,0,1)，同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)，cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－12， 而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0.且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] 由⎩⎨⎧ x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x <4.即2<x <3. ∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}，∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0.即⎩⎨⎧ 8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0.∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．(本小题满分12分)已知点A (－1,0)，B (1,0)，分别过A 、B 作直线l 1与l 2，使l 1⊥l 2，求l 1与l 2交点P 的轨迹方程．[解析] 设l 1：y ＝k (x ＋1)，(k ≠0)(1)则l 2：y ＝－1k (x －1)(2)(1)与(2)两式相乘，消去k 得，y 2＝－(x 2－1)，∴x 2＋y 2＝1，特别地，当k 不存在或k ＝0时，P 分别与A 、B 重合，也满足上述方程，∴所求轨迹方程为x 2＋y 2＝1.19．(本小题满分12分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 和平面ACC 1A 1所成角的大小．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，∵E 、F 是AA 1、AB 的中点，∴E (2,0,1)，F (2,1,0)．∴EF →＝(0,1，－1)．又B (2,2,0)，DB →＝(2,2,0)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD⊥平面ACC1A1，∴DB→为平面ACC1A1的法向量cos〈EF→，DB→〉＝EF→·DB→|EF→|·|DB→|＝12.∴EF→与DB→成的角为π3∴EF与平面ACC1A1所成的角为π6.20．(本小题满分12分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.(1)求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值．(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．[解析](1)设点A的坐标为(x1，b)，B为(x2，b)，由x24＋b2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b·|x1－x2|＝2b·1－b2≤b2＋1－b2＝1，当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(k 2＋14)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0， Δ＝4k 2－b 2＋1①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·4k 2－b 2＋114＋k 2＝2②设O 到AB 的距离为d ，则 d ＝2S |AB |＝1，又因为d ＝|b |1＋k 2，所以b 2＝k 2＋1，代入②式整理得k 4－k 2＋14＝0，解得k 2＝12，b 2＝32， 代入①式检验，Δ>0，故直线AB 的方程为y ＝22x ＋62，或y ＝22x －62，或y ＝－22x ＋62，或y ＝－22x －62.21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 是正三角形且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是矩形，E 是AB 中点，PC 与平面ABCD 的夹角为30°.(1)求平面PCE 与平面CDE 夹角的大小；(2)当AD 为多长时，点D 到平面PCE 的距离为2.[解析] 取AD 的中点O ，连接PO .∵△PAD 是正三角形，∴PO ⊥AD ，又面PAD ⊥面ABCD .∴PO ⊥面ABCD ，以O 为原点，OD 为x 轴，过O 作AB 的平行线为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，连接OC ，则∠PCO 为PC 与面ABCD 的夹角，∴∠PCO ＝30°.设AD ＝a ， 则PO ＝32a ，OC ＝32a ，CD ＝2a .∴P (0,0，32a )，D (12a,0,0)，C (12a ，2a,0)，E (－a 2，22a,0)．(1)∵PE →＝(－a 2，22a ，－32a )，PC →＝(12a ，2a ，－32a )，设平面PCE 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PE →＝0⇒－a 2＋22ay －32az ＝0，n ·PC →＝0⇒a 2＋2ay －32az ＝0.解得，n ＝(1，－2，－3)．又平面DEC 的一个法向量为OP →＝(0,0，32a )，∴cos 〈OP →，n 〉＝－3·(32a )6·32a＝－22. ∴平面PCE 与平面CED 夹角的大小为45°.(2)CD →＝(0，－2a,0)，D 到平面PCE 的距离d ＝|CD →·n ||n |＝2a 6， 由2a 6＝2，得a ＝ 6. 即AD 长为6时，点D 到平面PCE 的距离为2.22．(本小题满分14分)(2013·福建理，19)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值；(3)现将与四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)[解析] (1)取CD 的中点E ，连接BE .∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，所以CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧ AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎨⎧ －4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝|AA 1→·n |AA 1→|·|n || ＝6k36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 72k 2＋26k ， 0<k ≤518，36k 2＋36k ， k >518.[点评] 本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系、柱体的概念及表面积，在证明线面垂直时一定要写全条件，即⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫a ⊥ba ⊥cb ∩c ＝O b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α，此时极易因条件不全造成失分．。
高中数学人教A版选修2-1高二数学周周练.docx
林州一中高二数学周周练2012-11-18一、选择题1．下列语句中，是命题的个数是( )①|x +2| ②－5∈Z ③π∉R ④{0}∈NA.1B.2C.3D.42．若命题p : 0是偶数，命题q : 2是3的约数.则下列命题中为真的是( )A.p 且qB.p 或qC.非pD.非p 且非q3．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数4．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A p 或q 为假B q 假C q 真D 不能判断q 的真假5．a <0,b <0的一个必要条件为( )A. a +b <0B. a －b >0C.b a >1D. ba >－1 6．全称命题“∀x ∈Z,2x ＋1是整数”的逆命题是( )A ．若2x ＋1是整数，则x ∈ZB ．若2x ＋1是奇数，则x ∈ZC ．若2x ＋1是偶数，则x ∈ZD ．若2x ＋1能被3整除，则x ∈Z7．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A ．有一个α，使tan(90°－α)＝1tanαB ．存在实数x ，使sinx ＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD ．sin15°＝sin60°cos45°－cos60°sin45°8．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列四个条件中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a>b ，q ：a2>b2B ．p ：a>b ，q ：2a>2bC ．p ：α＝π4，q ：tanα＝1 D ．p ：x2>4，q ：x>3 10．与命题“若x ∈A ，则y ∉A”等价的命题是( )A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A11．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：①我们班学生不都是团员；②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员．正确答案的序号是( )A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③12．已知命题p ：∃x ∈R ，使sinx ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q”是真命题；②命题“p ∧⌝q”是假命题；③命题“⌝p ∨q”是真命题；④命题“⌝p ∨⌝q”是假命题．其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③13．已知命题p 、q ，则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知：m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，其中m ⊂α，n ⊂β.命题p ：若α∥β，则m ∥n 的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个15．下列说法错误的是( )A ．命题“若x2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题：“若x≠3，则x2－4x ＋3≠0”B ．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x2＋x ＋1<0”，则⌝p ：“∀x ∈R ，均有x2＋x ＋1≥0”16．条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 17．2253x x --＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－21＜x ＜3 B ．－21＜x ＜0 C ．－3＜x ＜21 D ．－1＜x ＜618．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题19．设x ，y ∈R ，命题p ：|x －y|<1，命题q ：|x|<|y|＋1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，a ，b ∈R ，对于命题“若a ＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”有下列结论：①此命题的逆命题为真命题；②此命题的否命题为真命题；③此命题的逆否命题为真命题；④此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题．其中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)21．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x”的否定为________命题．(填“真”、“假”)22．若|x －1|<a 的充分条件是|x －1|<b(其中a ，b>0)，则a ，b 之间的关系是________．23．若M 、N 为非空集合，且M N ，则“a ∈M 或a ∈N”是“a ∈(M∩N)的”______条件．24. p 是q 的充分不必要条件， r 是q 的必要不充分条件，那么p 是r 的____________条件三、解答题25．给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x2＋(a －1)x ＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．26.命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根 若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围附加题设0,,1a b c <<.求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---不同时大于41。
高中新课标数学选修(2-1)周测试题
高中新课标数学选修（2-1）周测试题一、选择题：（60分）（ ）1. 已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC与的夹角为A. ︒30B. ︒45C. ︒60D. ︒90 （ ）2. 抛物线24x y =的准线方程是A ．1=xB ．1-=xC ．161=y D ．161-=y （ ）3．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =Ａ．(042)，， Ｂ．(042)--，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)-，， （ ）4.中心在原点, 准线方程为x=±4, 离心率为21的椭圆方程为 （A ） 13422=+y x （B ） 14322=+y x （C ） 42x +y 2=1 （D ） x 2+42y =1（ ）5. 已知直线m 过点O （0，0，0），其方向向量是a ＝（1，1，1），则点Q （3，4，5）到直线m 的距离是 A.1 B.2 C.3 D.2（ ）6．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （ ）7. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =A ．+-a b cB ．-+a b cC ．-++a b cD ．-+-a b c（ ）8．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （A ）3 （B ） 11 （C ） 22 （D ）10（ ）9．ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为Ａ．Ｃ．2（ ）10. 已知椭圆的两个焦点是（－4,0）、（4,0），且过点（0，3），则椭圆的标准方程是A.192522=+y x B.1162522=+y x C.125922=+y x D.1251622=+y x （ ）11. 给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③R x ∈∃，0>x ；④R x ∈∀，12+x 是奇数．下列说法正确的是A. 四个命题都是真命题B. ①②是全称命题C. ②③是特称命题D.四个命题中有两个假命题（ ）12.椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F. 数列｛|P n F|｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（A ）198 （B ）199 （C ）200 （D ）201 二、填空题：（16分）13.椭圆192522=+y x 的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 __________。
(完整word版)高中数学综合测试题人教版新课标选修2-1
高中数学综合测试题新课标选修2-1一、选择题1、以下命题中，真命题的是（）（ A）命题“若ac bc ，则a b ”（ B）命题“若b 3 ，则b29 ”的抗命题（ C）命题“若x 3 ，则x 23x20 ”的否命题（D）命题“相像三角形的对应角相等”的逆否命题答案：（ D）；2、以下命题中，真命题的是（）A x2且 y 3 ，是 x y 5的充要条件（）（ B）A B是 A 是 B 的真子集的充足条件（ C）b24ac 0是一元二次不等式ax 2bx c0的解集为 R 的充要条件（ D）三角形知足勾股定理的充要条件为此三角形是直角三角形答案：（ D）；3、若“非p或非q”是假命题，则以下结论中①命题“ p q ”是真命题；②命题p q 是假命题；③命题“ p q ”是真命题；④命题“ p q ”是假命题；此中正确命题的个数为（）（ A） 1 个（ B） 2 个（ C） 3 个（ D） 4 个答案：（ B）；正确的命题为①、③4、已知a, b是异面直线，A, B a, C , D b, AC b, BD b 且 AB 2,CD1，则a, b 所成的角为（）（ A）300（B）450（ C）600（ D）900答案：（ C）5、命题甲：是第二象限的角；命题乙：sin tan0 ，则命题甲是命题乙成立的（）（ A）充足不用要条件；（ B）必需不充足条件；（ C）充要条件；（ D）既不充足也不用要条件；答案：（ A）6、若p : x 3 2x x2,q : 3 2x x 2，则p是q的（）（ A）充足不用要条件；（ B）必需不充足条件；（ C）充要条件；（ D）既不充足也不用要条件；答案：（ D）7、若F1, F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当PF1PF2，且PF1F2 300，则椭圆的离心率为（）（ A） 2 1（ B）3（ C） 3 1（D）2 32答案：（ C）8、已知双曲线x2y21和椭圆 x2y 21(a 0, m b0) 的离心率互为倒数，a2b2m2 b 2那么以 a, b, m 为边的三角形是（）（ A）锐角三形（ B）钝角三角形（ C）直角三角形（ D）形状不定答案：（ C）；9、双曲线x2y 21(mn 0) 的离心率为 2 ，有一个焦点与抛物线y24x 的焦点m n重合，则 mn 的值为（）（ A）3（B）4 3（ C）15（ D）2 51617169m n1答案：（ A）由1即得；m2 10、直线y x b 交抛物线y 1x 2于A, B两点， O 为抛物线极点， OA OB ，则b 的值为（2）（ A）2（ B）0（ C）1（ D）4y x bx 2x1 x22答案：（ A）；由2x2b1 x202by x1 x22又 y1 y2(x1b)( x2b)2b2b b2b2，由 OA OB y1y21即可；x1x211、过原点的直线与椭圆x 2y 2 b 0) 交于 A, B 两点，若右焦点为 F (c,0) ，ab 1(a22则FAB 的最大面积为（）（ A ） bc （ B ） ab（ C ） ac（ D ） b 2答案：（ A ）12、已知三角形的三极点为A(1, 1,2), B(5, 6,2), C (1,3, 1) ，则 AC 边上的高 BD 的长为（）（ A ） 3（ B ） 4 （ C ） 5 （ D ） 6答案：（ C ）；设 D( x, y, z) ，则 AD (x 1, y 1, z 2), BD ( x 5, y 6, z 2) ，x 1x 1AC (0,4, 3) ，由 AD // AC, BDAC ，得4321 1 z 2yy54( y 6) 3( z 2)22z5| BD |( x 5) 2( y 6)2( z 2) 25二、填空题13、命题 p ：0 不是自然数； 命题 q ：是无理数， 在命题 “ p q ”、“ p q ”、“ p ”“ q ”中假命题是 ___；真命题是 ___；答案：假命题是“p q ”与“ q ”；真命题是“ p q ”与“p ”；x 2 y 2 1(a b 0) 上一动点， F 1 , F 2 是椭圆的两个焦点，14、设 P(x 0 , y 0 ) 是椭圆2b 2a则| PF 1 | | PF 2 |的最大值为答案： a 2 ； | PF 1 | | PF 2| (| PF 1 | | PF 2 |) 2a 2215、直线 l 与抛物线 y 28x 交于 A, B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 F ， A(8,8) ，则线段 AB 的中点到准线的距离为答案：25y4( x 2)1, 2) ，而 | AB | | AF || BF | 25；由3得 B( 4y 2 8x22故线段 AB 的中点到准线的距离为25 ；416、已知 A(4,1,3), B(2,3,1), C (3,7, 5) ，点 P(x, 1,3) 在平面 ABC 内，则 x答案：x 11AB ( 2,2, 2), AC( 1,6, 8), AP ( x 4,2,0)，因为2 m n( x 4)由 ABm ACn AP ，得 2 6m2n x 11 ；28m三、解答题17、设 p ：实数 x 知足 x 24ax 3a 20 ，此中 a0, q ：实数 x 知足 x 2 x 6 0或 x22x8，且p 是 q 的必需不充足条件，务实数a 的范围。
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高中新课标数学选修（2-1）周测试题
一、选择题：（60分）
（ ）1. 已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC
与的夹角为
A. ︒30
B. ︒45
C. ︒60
D. ︒90 （ ）2. 抛物线2
4x y =的准线方程是
A ．1=x
B ．1-=x
C ．161=y
D ．16
1
-=y
（ ）3．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =
Ａ．(042)，， Ｂ．(042)--，， Ｃ．(040)，， Ｄ．(202)-，，
（ ）4.中心在原点, 准线方程为x=±4, 离心率为
2
1
的椭圆方程为 （A ） 13422=+y x （B ） 14322=+y x （C ） 42x +y 2=1 （D ） x 2
+
4
2y =1 （ ）5. 已知直线m 过点O （0，0，0），其方向向量是a ＝（1，1，1），则点Q （3，4，5）到直
线m 的距离是 A.1 B.2 C.3 D.2
（ ）6．抛物线24y x =
上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是
（A ）
1716 （B ）1516 （C ）7
8 （D ）0 （ ）7. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB =
b ，1CC =
c ， 则1A B =
A ．+-a b c
B ．-+a b c
C ．-++a b c
D ．-+-a b c
（ ）8．椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （A ）3 （B ） 11 （C ） 22 （D ）10
（ ）9．ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C --
为60°，则P 到AB 的距离为
Ａ．
Ｃ．2
（ ）10. 已知椭圆的两个焦点是（－4,0）、（4,0），且过点（0，3），则椭圆的标准方程是
A.
19252
2=+y x B.
116252
2=+y x C.
12592
2=+y x D.
125
162
2=+y x （ ）11. 给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③R x ∈∃，
0>x ；④R x ∈∀，12+x 是奇数．下列说法正确的是
A. 四个命题都是真命题
B. ①②是全称命题
C. ②③是特称命题
D.四个命题中有两个假命题
（ ）12.椭圆1342
2=+y x 上有n 个不同的点:
P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F. 数列｛|P n F|｝是公差大于100
1
的等差数列, 则n 的最大值是
（A ）198 （B ）199 （C ）200 （D ）201 二、填空题：（16分）
13.椭圆19252
2=+y x 的两焦点为F 1，
F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 __________。
14．已知F 1、F 2是椭圆4
2x +y 2
=1的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF 1|·|PF 2|的最大值
是 。
15. 命题“.01,2
00<-∈∃x R x ”的否定为： ．
16.已知()()(),2,4,1,,3,1,2,,,,a x b y c z a b c =-=-=-
且两两垂直，则=）（z y x ,, .
三、解答题（76分） 17．（12分）如图3，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，ADC ∠是直角，421AB CD AB AD DC ===，，，∥，求异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值。
18.（12分）如果椭圆
19
362
2=+y x 的弦被点(4，2)平分，求弦所在的直线方程。
19．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的正方形， 侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，
P
作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明⊥PB 平面EFD ；
（2）求二面角D -PB -C 的大小． （3）求点A 到面EBD 的距离。
20．（12分）过点P （2，0）且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2
=2x 于M （x 1, y 1）,N (x 2, y 2)两点。
（1）求x 1x 2与y 1y 2的值；（2）求证：OM ⊥ON 。
21．（12分）给定两个命题, P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程
02=+-a x x 有实数根.如果P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，求实数a 的取值范围．
22. （14分）直线l 交椭圆4x 2+5y 2
=80于M 、N 两点, 椭圆的上顶点为B 点, 若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 求直线l 的方程。