2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 22.3.2

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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 22.3.2
抛物线型建筑问题
1.如图,一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE的函数解析式为( )
A.y=(x+3)2
B.y=-(x+3)2
C.y=(x-3)2
D.y=(x-4)2
【解析】选C.由题知OF=3cm,设抛物线的解析式为y=a(x-3)2.又(1,1)在图象上,∴a×(1-3) 2=1,解得a=,∴y=(x-3)2.
2.某大学的校门是一抛物线型水泥建筑物(如图所示),大门的地面宽度为
8m,两侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环,两铁环的水平距离为6m,
则校门的高为(精确到0.1m,水泥建筑物的厚度忽略不计)( )
A.5.1 m
B.9 m
C.9.1 m
D.9. 2 m
【解析】选C.以大门的最高点为顶点建立坐标系,设抛物线解析式为y=ax2,
把点(3,n),(4,n-4)代入上式,得
解得
所以解析式为y=-x2,
当x=4时,y=-×42=-.
≈9.1,校门的高约为9.1m.
3.隧道的截面是抛物线,且抛物线的解析式为y=-x2+3.5,一辆车高 2.5m,宽4m,该车
通过该隧道.(填“能”或“不能”)
【解析】当x=2时,y=-×22+3.5=3,因为2.5<3,所以该车能通过该隧道.
答案:能
4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6m,宽度OM为12m.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.
(2)求出这条抛物线的函数解析式.
【解析】(1)M,P.
(2)设这条抛物线的函数解析式为:y=a+6.
∵抛物线过O(0,0),
∴a(0-6)2+6=0,解得a=-.
∴这条抛物线的函数解析式为:
y=-+6,
即y=-x2+2x.
【知识归纳】
用二次函数解决实际问题,应由低到高处理好如下三个方面的问题:
①首先必须了解二次函数的基本性质;
②学会从实际问题中建立二次函数的模型;
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
抛物线型运动问题
1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是( )
A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m
【解析】选A.y=-x2+4x=-(x-2)2+4,所以水喷出的最大高度为4m.
2.如图,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成
一点)的路线是抛物线y=-x2+3x+1的一部分,演员弹跳离地面的最大高度为.
【解析】y=-x2+3x+1=-+,
∵-<0,
∴函数的最大值是.演员弹跳离地面的最大高度为m.
答案:m
3.平时我们在跳绳时,绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线,如图建立直角坐标系,抛物线的函数解析式为y=-x2+x+,绳子甩到最高处时刚好通过站在x=2点处跳绳的学生小明的头顶,则小明的身高为m.
【解析】当x=2时,y=-x2+x+=1.5(m).
答案:1.5
4.(2013·肥城安站中学质检)竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0·t,其中
t(s)是物体运动的时间,v 0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉,喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水的速度应该达到多少?(结果精确到0.01m/s) 【解析】h=-5t 2
+v 0·t,其对称轴为 t=-=
.
∴当t=时,
h max =-5·+v 0·
=
=15,
=300,
∴v 0=10
=17.32(m/s).
答:喷水的速度应该达到17.32m/s.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x 2
+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则她与篮底的距离是 m.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:__________________________________ ______________________. 答案：(1)①
(2)把点C 的纵坐标y=3.05代入解析式，得-
15
x 2
+3.5=3.05,x=1.5或x=-1.5，OB=1.5 m ，
即她与篮底的距离是1.5+2.5=4 m
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2019-2020年九年级数学上册提技能·题组训练 23.1
旋转的相关概念
1.在旋转过程中,确定一个三角形旋转的位置所需的条件是( )
①三角形原来的位置; ②旋转中心; ③三角形的形状; ④旋转角.
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
【解析】选A.一个三角形旋转后的位置与三角形的形状无关.
【知识归纳】准确理解旋转变换中的“三个要素”
1.旋转中心:旋转中心是点而不是直线,比如生活中的开门、关门,虽然门转动了,但它是绕轴旋转一定的角度,所以不属于我们要研究的绕定点旋转.
2.旋转角:因为经过旋转,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,不要把图形中的某些对应角误以为是旋转角.
3.旋转方向:旋转方向通常指顺时针方向或逆时针方向.
2.下列关于旋转的说法不正确的是( )
A.旋转中心在旋转过程中保持不动
B.旋转中心可以是图形上的一点,也可以是图形外的一点
C.旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定
D.旋转由旋转中心所决定
【解析】选D.旋转由旋转中心、旋转角、旋转方向所决定.
【知识归纳】平移、轴对称、旋转的联系
1.共同点:都是一种图形的变换,变换前后的两个图形全等.
2.不同点:见表格.
3.(2013·玉溪中考)如图,点A,B,C,D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为( )
A.30°
B.45°
C.90°
D.135°
【解析】选C.对应点与旋转中心的连线的夹角,就是旋转角,∠BOD,∠AOC都是旋转角.由图可知∠BOD=90°.
4.正方形ABCD又可看成是由正方形FGCE绕点,顺时针旋转得到的.
【解析】观察图形可得,旋转中心为点C,旋转角为180°.
答案:C 180°
5.如图,若△ABD绕A点逆时针方向旋转60°得到△ACE,
则(1)旋转中心是.
(2)图中为60°的角有.
【解题指南】找出旋转图形中的任何一组对应点,连接对应点和旋转中心所组成的角,该角即表示旋转角.
【解析】(1)根据旋转的概念可得旋转中心是点A.
(2)由题意可知旋转的角度为60°,点B和点C是一组对应点,点D和点E是一组对应点,对应点与旋转中心所连线段的夹角有∠BAC,∠DAE,所以∠BAC和∠DAE都表示旋转角,即∠BAC=∠DAE=60°.
答案:(1)点A (2)∠BAC,∠DAE
6.钟表的指针在不停地转动,从2时到6时,时针转动了度.
【解析】从2时到6时,时针转动了4个大格,每个大格30°,即120°.
答案:120
【知识拓展】12点后,时针与分针何时首次重合?
时针、分针转动一周都经过12大格或60小格.因此,每小时时针转动=30°,每分钟时针
转动=0.5°,每分钟分针转动=6°.设x时y分时针与分针重合,则时针转了
×30度,分针转了6y度,∵时针与分针重合其度数差为0°,∴×30-6y=0,∴y=x,当x=1时,得y=,∴时针与分针首次重合为1点分.
旋转的性质
1.在图形旋转中,下列说法错误的是( )
A.连接一组对应点和旋转中心正好组成一个等腰三角形
B.旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上
C.图形中每一个点的位置都要改变
D.图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等
【解析】选C.在旋转的过程中,如果图形上的某一个点是旋转中心,则该点的位置并不改变.
2.(2013·莆田中考)如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=
90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点
C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A.55°
B.70°
C.125°
D.145°
【解析】选C.根据旋转的定义,可以得到旋转角为∠BAB1,因为∠BAB1是△ABC的外角,得到∠BAB1=90°+35°=125°.
3.如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,若AC⊥A′B′,则
∠BAC等于( )
A.50°
B.60°
C. 70°
D.80°
【解析】选A.∵△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C,∴∠ACA′=
40°,∴∠A′=90°-40°=50°,
∴∠BAC=∠A′=50°.
4.如图所示,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF 交AD于点H,求DH的长.
【解析】连接线段HC,如图所示,
由旋转的性质可以知道∠BCF=∠DCG=30°,∴∠FCD=60°,
∵∠F=∠D=90°,FC=DC,HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边,根据HL公理可以判断Rt△FHC ≌Rt△DHC,
∴∠FCH=∠DCH=30°,∴HC=2DH,
根据勾股定理可得DH2+DC2=HC2,
即DH2+DC2=(2DH)2,∵DC=3,∴DH=.
5.如图,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A1B1C,连接BB1.设CB1交AB于D,A1B1分别交AB,AC于E,F.在图中不再添加其他任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以证明(△ABC与△A1B1C全等除外).
【解析】由旋转性质,旋转角∠A1CA=α,△ABC≌△A1B1C.
∴∠A1=∠A,A1C=AC.
又∵AC=BC,∠A=∠CBA,∴∠A1=∠CBA,
又∵∠A1CF=∠BCD=α,A1C=BC,∴△A1FC≌△BDC.
【错在哪？】作业错例课堂实拍
如图,将△ABC逆时针旋转得到△ADE,若∠DAC=15°,∠BAE=105°,AB=AD,则旋转角度为多少度?
(1)找错:从第步开始出现错误.
(2)纠错:
.
答案: (1)①
(2)∵∠BAD和∠CAE都表示旋转角,∠BAE=105°,∴∠BAD+∠CAE+
∠DAC=105°,即2∠BAD+15°=105°,得∠BAD=45°,所以旋转角为45°.
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