连续系统振动(a)-杆的纵向振动

(ES ) 2 S
2020年3月20日 24
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
(ES ) 2 S
杆的简单边界 ： 固定端 (x) 0 自由端 ES(x) 0
x=0或l
x=0或l
i
i (x)
j
j (x)
(ESi) i2Si
(ESj ) 2j Sj
乘 j (x)并沿杆长积分：
l 0
j
(ESi)dx
i2
l
0 Si jdx
分部积分：
l
0 j (ESi)dx
j
(ESi)
l 0
l 0
ESi j dx
任一端上总有 0 或 0 成立
2020年3月20日
l 0
ESi
j dx
i2
l
0 Si jdx
25
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
(ESi) i2Si
机械振动理论
连续系统的振动
－实际振动系统都是连续体，具有连续分布的质量与弹性， 又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
(0) 0
c2 0
0
ku(l,t) ES u (l,t) x
k(l) ES (l,t)
x
k sin l ES cos l
a0
a0
a0
kx
l
u(x,t) (x)q(t)
(x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
tg(l / a0 ) ES 常数
l / a0
kl
频率方程
振型函数：
2020年3月20日
i (x)
ci
sin
a0
x
22
《振动力学》
例： 一均质杆，左端固 定，右端与一集中 质量M固结
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0
M
x
l
推导系统的频率方程
边界条件： u(0,t) 0
2020年3月20日 《振动力学》
M
2u t 2
(l , t )
ES
u x
(l , t )
自己推导！
23
主振型的正交性
自由端轴向力为零
x
l
边界条件 ： u(0,t) 0 (0) 0
ES u(l,t) 0 x
(l) 0
c2 0
cos l 0 频率方程
a0
固有频率：i
( 2i 1) 2
a
l
,
i 1,2,...
或：
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
模态函数：i (x)
ci sin(
2i 1
2l
x),
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
u(x, t) ai i sin(it i ) i 1 2020年3月20日
15 《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定
0
特征：两端位移为零
x
l
边界条件： u(0,t) (0)q(t) 0 u(l,t) (l)q(t) 0
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性
杆可以是变截面或等截面
质量密度及截面积 S 等都可以是 x 的函数
动力方程 ：
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p( x, t )
自由振动：
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
主振动 ： u(x,t) (x)a sin(t )
y
F
o x
y( x, t ) p( x, t )
dx
F
x
在分布力作用下作横向振动 振动中认为张力不变 微段受力情况
：单位长度弦质量
p(x,t) ：单位长度弦上分布的作用力
微振
sin
dx pdx
F dx
x
建立坐标系 xoy
y(x,t) ：弦上 x 处横截面 t 时刻的横向位移
F Adx 2 y 达朗贝尔 t2 惯性力
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度 系统是完全类似的
2020年3月20日 2
《振动力学》
教学内容
• 一维波动方程
• 梁的弯曲振动
• 集中质量法
• 假设模态法
• 模态综合法（1）
• 有限元法
2020年3月20日
• 模态综合法（2）
3
《振动力学》
同理
(ESj
)
2 j
S
j
乘 j (x)并沿杆长：
l 0
j
(ESi)dx
i2
l
0 Si jdx
乘i (x)并沿杆长积分：
l 0
i
( ES j
)dx
2 j
l
0 Si jdx
l 0
ESi j dx
i2
l
0 Si jdx
相减
l 0
ESi
j dx
2 j
l
0 Si jdx
i j时
i j
(
2 i
（1）杆的纵向振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2 y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
2
t 2
a02
2
x2
1
Ip
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
0,1,2, )
ix
(i 0,1,2, l
)
频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移
2020年3月20(日x)
《振动力学》
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
u(x,t) (x)q(t)
17
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（3）一端固定，一端自由
0
特征：固定端位移为零
2020年3月20日 14
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2u t 2
a02
2u x 2
q(t) a sin(t )
u(x,t) (x)q(t)
(x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
i
一一对应
i (x)
第 i 阶主振动：
u(i) (x, t) aφi i (x) sin(it i ), (i 1,2 )
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p( x, t )
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Ip
材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
(x,t) ：杆上距离原点 x 处的截面在时
刻 t 的角位移
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
16
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由
0
x
特征：自由端的轴向力为零
l
边界条件 ： ES u(0,t) 0 ES u(l,t) 0
x
x
(0) 0
(l) 0
c1 0
cos l 0 频率方程
a0
固有频率：i
ia0
l
模态函数：i (x) ci
(i cos
x
(l) 0
(0) 0
c1 0
cos l 0 频率方程
a0
固有频率： 模态函数：
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
i (x)
ci
sin(
i
2l
x),
i 1,3,5,...
2020年3月20(日x)
《振动力学》
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
u( x, t) ( x)q(t)19
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
x
等截面细直杆的纵向振动
0
l
杆长 l
截面积 S
材料密度 弹性模量 E
p(x,t)：单位长度杆上分布的纵向作用力
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形
2020年3月20日 6
《振动力学》
(F
F x
dx)
F
p(x,t)dx
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p(x,t)
杆的纵向强迫振动方程
等直杆ES 为常数
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
2020年3月a200日 E / 弹性纵波沿杆的纵向传播速度
8
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦的定义: 很细长 弦两端固定，以张力 F 拉紧
a0
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
i (x)
ci
sin(
i
2l
x),
i 1,3,5,...
20
例：
一均质杆，左端固 定，右端与一弹簧 连接
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
kx
0
l
推导系统的频率方程
2020年3月20日 21
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
解：
边界条件： u(0,t) 0
)
x
p( x, t )
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
p( x, t )
x dx
x
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
I
p
dx
2
t 2
2020年2t23月20a日02
2
x2
1
I p
p( x, t )
G 剪切弹性波的
a0 纵向传播速度
11
《振动力学》
小结：
I
p
dx
2
t 2
达朗贝尔 惯性力偶
截面处扭矩 T
2020年3月20日
《振动力学》
I pdx ：微段绕轴线的转动惯量
10
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理：
I
p
dx
2
t 2
(T
T x
dx) T
pdx
0
I p
2
t 2
T x
p( x, t )
材料力学：
T
GI p
x
I p
2
t 2
x (GI p
x
达朗贝尔原理：
2020年3月20日
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx) F
p(x,t)dx
7
《振动力学》
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2
假 设:
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律
（2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动为微振
2020年3月20日 4
《振动力学》
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程 • 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
2020年3月20日 5
)2
(
x)
0
通解： q(t) a sin(t )
(
x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
c1, c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
（杆的边界条件确定固有频率）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函 数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 i 有无穷多个 （下面讲述）
i
1,2,...
i (x)
ci sin(
i
2l
x),
i 1,3,5,...
2020年3月(2x0日)
《振动力学》
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
u(x,t) (x)q(t)
18
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
左端自由，右端固定
0
特征：固定端位移为零
自由端轴向力为零
x
l
边界条件 ： u(l,t) 0 ES u(0,t) 0
微段分析
0
x
p( x, t ) dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
u u dx
x
x
u p(x,t)dx
F
F F dx
x
u(x,t) ：杆上距原点 x 处截面 t 时刻的纵向位移
微段应变：
(u
u x
dx) u
u
dx
x
Sdx
2u x 2
达朗贝尔 惯性力
横截面上内力： F ES ES u
2020年3月20日 12
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
p( x, t )
• 固有频率和模态函数
x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
a0 E /
2u t 2
a02
2u x 2
自由振动
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
q(t) ：运动规律的时间函数 (x) ：杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
2020年3月20日
q(t) q(t)
a02
( x) (x)
（常数）
13
《振动力学》
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
q(t) q(t)
a02
'' (x) (x)
记： 2
q(t) 2q(t) 0
(
x)
Biblioteka Baidu
(
a0
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0
x
0
x
l
l
(0) 0 (l) 0
边界条件
(l) 0 (0) 0
l
cos 0 a0
频率方程
i
i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
固有频率
i (x)
ci
sin(
i
2l
x),
i 1,3,5,... 模态函数
2020年3月20日 《振动力学》
cos l 0
q(t)
(0) 0
(l) 0
不能恒为零
c2 0
固有频率：
i
ia0
l
sin l 0 频率方程
a0
(i 0,1,2, ) 无穷多个
模态函数：
i (x)
ci sin
ix
l
(i 0,1,2, )
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
2020年3月20日 《振动力学》
(x)
c1
达朗贝尔原理：
Adx 2 y F ( dx) F p(x,t)dx
t 2
x
令： a0 F / A 并考20虑20年到3：月20日 y
《振动力学》 x
2 y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
弦的横向强迫振动方程
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）轴的扭转振动