专题02 对数函数-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(二)(原卷版)

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对数函数考点与题型归纳

对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14，所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12，所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,01，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0，且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________．解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．。

高考数学复习资料2对数函数习题精选精讲

对数的运算性质1．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a MM N N=；（3）log log ()na a M n M n R =∈．证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 pM a =，qN a =， ∴pqp qMN a a a+=⋅=，∴log ()a MN =p q +，即证得log log log a a a MN M N =+．练习：证明性质2．说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ；（3）注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的，)(log )(log 1021010210-=-是不成立的；（4）当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠，试举反例， N log M log )N M (log a a a ±≠±，试举反例。

2．例题分析：例1．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ；（2）log a解：（1）log a xyzlog ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-；例2．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯；（2）．解：（1）原式=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=⨯+⨯=；（2）原式=2122lg10lg10555== （2）log alog (log a a x =-2log log log a a a x =+112log log log 23a a a x y z =+-．（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 pM a =， ∴n npM a =，∴log na M np =，即证得log log na a M n M =．例3．计算：（1）lg14-21g18lg 7lg 37-+；（2）9lg 243lg ；（3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．解：（1）解法一：18lg 7lg 37lg214lg -+-2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；解法二：18lg 7lg 37lg214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)37(714lg2⨯⨯lg10==；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题02二次函数及指对数函数的问题的探究含解析

专题02 二次函数及指、对数函数的问题的探究【自主热身，归纳提炼】1、已知4a ＝2，log a ＝2a ，则正实数的值为________．【答案】： 12【解析】：由4a ＝2，得22a ＝21，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12＝1，得＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 2、函数的定义域为．【答案】：(2,3]【解析】：由题意，1<，即031x ≤-<，解得23x <≤.3、函数f ()＝log 2(－2＋22)的值域为________．【答案】|、 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 【解析】：由题意可得－2＋22>0，即－2＋22∈(0,22]，故所求函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.4、设函数f ()＝2－3＋a .若函数f ()在区间(1,3)内有零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94 解法1 由f ()＝0得a ＝－2＋3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94.因为∈(1,3)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94，所以a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94. 解法2 因为f ()＝2－3＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－94＋a ，所以要使函数f ()在区间(1,3)内有零点，则需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94. 解后反思解法1将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a ，从而转化为求函数的值域加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系的应用；解法2则是借助于函数的图像，通过数形结合的方法解决的．5、已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R )的图像与轴相切，若直线y ＝c 与y ＝c ＋5分别交f ()的图像于A ，B ，C ，D 四点，且四边形ABCD 的面积为25，则正实数c 的值为________．【答案】4【解析】：由题意得a 2＝4b .又由2＋a ＋b ＝c 得AB ＝|1－2|＝a 2－4b －c ＝2c .同理CD ＝2c ＋5.因为四边形ABCD 为梯形，所以25＝12(2c ＋5＋2c )×5，解得c ＝4.6、．已知对于任意的，都有，则实数a 的取值范围是．【答案】： ]5,1(7、．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为．【答案】 2【解析】：设（0>t ），因为正方形ABCD 的边长为2，所以，，则，即，解之得⎩⎨⎧==22a t ，即所求的实数a 的值为2．8、若12log 11a a <-，则a 的取值范围是．【答案】()4+∞，．【解析】由题意知，1,a >所以1211a >-，解得4a >，所以a 的取值范围是()4+∞，. 9、已知函数f ()＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．【答案】 2 解法1 由1－a 2x >0，得2>a .显然a >0，所以>log 2a .由题意，得log 2a ＝12，即a ＝ 2. 解法2 (秒杀解法)当＝12时，必有1－a 2x ＝0，解得a ＝ 2. 10、已知f ()是定义在[－2,2]上的奇函数，当∈(0,2]时，f ()＝2－1，函数g ()＝2－2＋m .如果∀1∈[－2,2]，∃2∈[－2,2]，使得g (2)＝f (1)，则实数m 的取值范围是________．【答案】[－5，－2]【解析】：因为∈(0,2]，函数f ()＝2－1，所以f ()的值域为(0,3]．又因为f ()是[－2,2]上的奇函数，所以＝0时，f (0)＝0，所以在[－2,2]上f ()的值域为[－3,3]．而在[－2,2]上g ()的值域为[m －1,8＋m ]．如果对于任意的1∈[－2,2]，都存在2∈[－2,2]，使得g (2)＝f (1)，则有[－3，3]⊆[m －1,8＋m ]，所以⎩⎨⎧ 8＋m ≥3，m －1≤－3，即⎩⎨⎧m ≥－5，m ≤－2，所以－5≤m ≤－2.11、已知函数f ()＝||x 2－a ，若存在∈[]1，2，使得f ()<2，则实数a 的取值范围是________．【答案】： (－1,5) 解法1 当∈[1,2]时，f ()<2，等价于|3－a |<2，即－2<3－a <2，即3－2<a <3＋2，得到2－2x <a <2＋2x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x min <a <⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ma ，得到－1<a <5. 解法2 原问题可转化为先求：对任意∈[1,2]，使得f ()≥2时，实数a 的取值范围．则有|2－a |≥2，即|a －2|≥2x. (1) 当a ≥4时，a ≥2＋2x ≥22＋22＝5，得到a ≥5. (2) 当a ≤1时，2－a ≥2x ，有a ≤2－2x ≤1－21＝－1，得到a ≤－1.(3) 当1<a <4时，|a －2|≥0，与2x>0矛盾．那么有a ≤－1或a ≥5，故原题【答案】为－1<a <5.解后反思对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1)；也可以转化为命题的否定即恒成立问题处理(如解法2)．12、已知函数f ()＝e －1＋－2(e 为自然对数的底数)，g ()＝2－a －a ＋3，若存在实数1，2，使得f (1)＝g (2)＝0，且|1－2|≤1，则实数a 的取值范围是________.【答案】： [2,3]解后反思本题的突破口是利用函数f ()的单调性求出1＝1，然后转化成求函数值域问题，那么求实数a 的取值范围就属于常规问题了，考生要特别关注这种创新与传统相结合的试题．【问题探究，开拓思维】例1、已知函数．（1）若()f x 的两个零点均小于2，求实数a 的取值范围；（2）方程()0f x =在(1,2)上有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由题意，等价于220(2)0a f ⎧<⎪⎪∆>⎨⎪⎪⎩≥，解得1a -≤或1827a <≤．（2）①当(1)(2)0f f <时，此时()0f x =在(1,2)上有且只有一个实根，得1827a <<； ②当(1)0f =时，即2a =时，此时()0f x =有1x =，舍去；③当(2)0f =时，即187a =时，此时()0f x =有2x =或47x =，舍去，综上：1827a <<．解后反思求解复合方程的解的问题，通常将复合方程转化为简单方程的复合形式，然后分别研究简单函数的解的情况研究问题【变式1】、已知函数f()＝⎩⎨⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ），x<0，g()＝2＋1－2a.若函数y ＝f(g())有4个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|5－12<a<1或a>1 思路分析换元g()＝t ，f(t)＝0，由g()＝2＋1－2a ＝t 得2＝t －(1－2a)，因为函数有四个零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t 1，t 2，且t 1>1－2a ，t 2>1－2a ，因为方程f(t)＝0的一个解为t ＝－1，故按照1－2a 与－1的大小关系，分三种情况讨论得出a 的取值范围．设g()＝t ，因为函数y ＝f(g())有四个不同的零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t 1，t 2，且由g()＝2＋1－2a ＝t ，得2＝t －(1－2a)，故t 1>1－2a ，t 2>1－2a.当t<0时，由ln (－t)＝0得t ＝－1.若1－2a ＝－1，则a ＝1，易得函数f(g())有五个不同的零点，舍去．若1－2a<－1，则a>1，所以f(0)<0，所以方程f(t)＝0有且仅有一个正根，符合题意．若1－2a>－1，则a<1，所以方程f(t)＝0必有两个正根，且t 1>1－2a ，t 2>1－2a.因为t>0时，f(t)＝t 2－2at －a ＋1，所以a>0，Δ＝4a 2－4(－a ＋1)>0，f(0)>0，f(1－2a)＝(1－2a)2－2a(1－2a)－a ＋1>0，解得5－12<a<1. 综上可知，5－12<a<1或a>1，即{a|5－12<a<1或a>1}．解后反思本题考查复合函数的零点问题，处理f(g())＝0解的个数问题，往往通过换元令t ＝g()，f(t)＝0，研究t 的解的个数，再讨论每一个解对应的g()＝t 的解的个数，常用数形结合的方法处理．【变式2】、已知函数f ()＝2－2a ＋a 2－1，若关于的不等式f (f ())<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是________．【答案】： (－∞，－2]思路分析注意到f (f ())<0是关于的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先得降次，由于f ()可分解为[]x a ＋1[]x a －1，从而应用整体思想，可将问题转化为a －1<f ()<a ＋1，此时再研究不等式a －1<f ()<a ＋1的解集．若直接解不等式组⎩⎨⎧x 2－2ax ＋a 2－1>a －1，x 2－2ax ＋a 2－1<a ＋1，则需要进行分类讨论，且情况众多，所以应用数形结合的思想加以解决，考虑函数y ＝f ()与y ＝a －1，y ＝a ＋1的图像关系，易得到问题【答案】．。

对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称为，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log m na a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小. （1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b,2a,2c的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与（1）证明:点C 、D 和原点O（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一设)32(log32-+=x,(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1|=lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.2解：（1）∵log 332＜log 31=0,而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞2.1log 1.1log7.00.7>,2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0.|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数，∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立.只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数.x ∈［3，+|f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+只要-log a 3≥1log a 3≤-1=log aa1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1.综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 例4（1）证明设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解：由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31,x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1,x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值.（1）log2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是（）A.log a bb bba1loglog 1<< B.b b b b aa 1log 1loglog << C.b bb aba1log 1log log << D.b bba ablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a ,由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1,在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜ 2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x xx由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p),①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时，0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p ,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2.②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］;当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

考点02 二次函数及指对数函数问题的探究(解析版)

考点02 二次函数及指、对数函数问题的探究【知识框图】【自主热身，归纳提炼】1、(2019南京、盐城一模）已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为________．【答案】－3【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－ln 2)＝－f(ln 2)＝－(e ln 2＋1)＝－(2＋1)＝－3.2、(2016常州期末）函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．【答案】. ⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0,22]，故所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 3、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为________．【答案】. (－∞，2)【解析】由题意得2－x>0，即x<2，所以函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为(－∞，2)．4、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________．【答案】 12【解析】由4a ＝2，得22a ＝21，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝12.5、(2015南京调研）设函数f (x )＝x 2－3x ＋a .若函数f (x )在区间(1,3)内有零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎦⎤0，94 解法 1 由f (x )＝0得a ＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94.因为x ∈(1,3)，所以－⎝⎛⎭⎫x －322＋94∈⎝⎛⎦⎤0，94，所以a ∈⎝⎛⎦⎤0，94.解法 2 因为f (x )＝x 2－3x ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －322－94＋a ，所以要使函数f (x )在区间(1,3)内有零点，则需f ⎝⎛⎭⎫32≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94.解后反思解法1将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a ，从而转化为求函数的值域来加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系的应用；解法2则是借助于函数的图像，通过数形结合的方法来解决的．6、(2015苏州期末）已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1－a 2x 的定义域是⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则实数a 的值为________．【答案】 2【解析】解法1 由1－a 2x >0，得2x >a .显然a >0，所以x >log 2a .由题意，得log 2a ＝12，即a ＝ 2.解法2 (秒杀解法)当x ＝12时，必有1－a2x ＝0，解得a ＝ 2.7、 (2018苏北四市、苏中三市三调）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的图像与x 轴相切，若直线y ＝c 与y ＝c ＋5分别交f (x )的图像于A ，B ，C ，D 四点，且四边形ABCD 的面积为25，则正实数c 的值为________．【答案】4【解析】：由题意得a 2＝4b .又由x 2＋ax ＋b ＝c 得AB ＝|x 1－x 2|＝a 2－4(b －c )＝2c .同理CD ＝2c ＋5.因为四边形ABCD 为梯形，所以25＝12(2c ＋5＋2c )×5，解得c ＝4.8、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ____ ．【答案】2【解析】设)log 3,(t t A a （0>t ），因为正方形ABCD 的边长为2，所以)log 2,(t t B a ，)log 2,(2t t C a ，则⎩⎨⎧=-=-2log 2log 322t t t t a a ，即⎩⎨⎧==--2log 022t t t a ，解之得⎩⎨⎧==22a t ，即所求的实数a 的值为2．9、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞U ，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】 ]5,1(【解析】当04)2(42<--=∆a a ，即0452<+-a a ，41<<a 时，满足题意；当04)2(42≥--=∆a a ，即0452≥+-a a ，1≤a 或4≥a 时，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+--≥+--<---<0)2(1050)2(2152)2(2122a a a a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<5573a a a ，所以53≤<a ，又因为1≤a 或4≥a ，所以54≤≤a ，综上所述，实数a 的取值范围为]5,1(。

高考必考点：快到碗里来——对数函数

高考必考点：快到碗里来——对数函数
16、17 世纪之交，随着天文学的发展，为了解决繁杂的数字运算，英国数学家纳皮尔发明了对数，恩格斯给对数很高的评价，把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为 17 世纪数学的三大发明，伽利略甚至说：“给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙来”。

随着计算器和计算机等先进计算工具的普及，虽然对数的简化功能无法得到很好的体现，但是，对数函数仍然是重要的基本初等函数之一，在自然科学和社会科学的各个领域中应用广泛。

但是，我们目前的主要任务还是应对高考，我们就着重讲解一下对数以及对数函数的基本性质、用法以及易错点。

(请大家耐心点，题目不难，但很有代表意义)
基础知识
特殊结论
对数函数的图像与性质
典题剖析
角度1、对数函数定义域值域问题
点评：
（1）基本方法：求定义域时,思考问题要全面,限制条件要摆全,勿遗漏,对数函数的底、真数的允许值范围要记熟,在求函数值域时,千万不要忘记函数的定义域.
（2）知能提升：对数问题的真数为正,是解决对数问题首先要考虑的条件;对数函数绝大部分问题是对数函数与其他函数的复合函数,讨论其单调性是解决问题的重要途径.
角度2、定义域和值域中R问题的研究
点评：
(1) 思维误点：函数的定义域为R,值域为R是两个不同的概念。

(2) 知能提升：
角度3、对数函数单调性问题的研究
点评：
(1) 思想方法：“定义域优先”是处理函数的奇偶性、周期性以及对称性、单调性等必须遵循的原则.
(2) 知能提升:
希望对大家有所帮助！。

2019高考数学考点突破——基本初等函数：对数函数+Word版含解析

对数函数【考点梳理】1．对数的概念如果a x ＝N(a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b(a ＞0，且a ≠1)．(2)换底公式：log a b ＝log c b log ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ，③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y ＝log a x(a ＞0且a ≠1)叫做对数函数图象a ＞10＜a ＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4．反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【考点突破】考点一、对数的运算【例1】计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝()A．1 B．0 C．2 D．4 [答案] B[解析]原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0.【类题通法】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.【对点训练】(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.[答案] 2[解析]原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.考点二、对数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，则实数a的取值范围是________．[答案](1) B(2) (1，2][解析](1)法一：易知函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数f(x)单调递增，所以只有选项B正确．法二：函数f(x)＝lg(|x|－1)的图象可由函数y＝lg x的图象向右平移1个单位，然后再关于y轴对称得到．由y＝lg x的图象可知选 B.(2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝log a x图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，又即log a2≥1，所以1<a≤2，即实数a的取值范围是(1，2]．【类题通法】1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【对点训练】1．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝log a|x|的图象大致是()A B C D[答案] B[解析]若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y ＝log a|x|的大致图象如图所示．2．已知函数f(x)＝log2x，x＞0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．[答案](1，＋∞)[解析]如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中。

对数函数考点分析及经典例题讲解

对数函数考点分析及经典例题讲解1．对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性质过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析：考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8；（2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9；（4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-；（2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。

对数函数(解析版)

考点15 对数函数【命题解读】1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题【基础知识回顾】1、对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数 a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0 当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论2、反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为( )A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32B . ⎝⎛⎦⎤－∞，32 C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【答案】B【解析】由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]得所求函数值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B .2、当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )【答案】 C ．[来源:学。

科。

网]【解析： y ＝a －x＝⎝⎛⎭⎫1a x，∵a >1，∴0<1a <1，则y ＝a －x 在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C. 3、不等式log 12(2x ＋3)<log 12(5x －6)的解集为( )A.(－∞，3)B.⎝⎛⎭⎫－32，3C.⎝⎛⎭⎫－32，65D.⎝⎛⎭⎫65，3【答案】 D【解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3. 4、(2018苏州期末）已知4a＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________．【答案】12【解析】由4a ＝2，得22a ＝21，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝12.5、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．【答案】(2,3]【解析】由题意，10->，1<，即031x ≤-<，解得23x <≤. 6、已知表中的对数值有且只有一个是错误的．x 3 5 6 8 9 lg x2a －ba ＋c －11＋a －b －c3(1－a －c )2(2a －b )试将错误的对数值加以改正为________．【答案】 lg 5＝a ＋c【解析：由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c ．因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c ．考向一对数函数的性质及其应用例1、（1）函数y ＝2－log 2x 的定义域是（）A. (]0,4B. (],4-∞C. ()0,+∞D. ()0,1．（2）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．（3）若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．【答案】（1） A ．（2）(－1，0)∪(1，＋∞)．（3） [1，2) 【解析】（1）由2－log 2x ≥0，得log 2x ≤2＝log 222，解得0＜x ≤4．∴所求定义域是(0，4]．（2）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ），解得a ＞1或－1＜a ＜0． ∴a 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．（3）．令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴x ＝a ，要使函数在上(－∞，1]递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，a ≥1，，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2)．变式1、（1）函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b（3）设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【答案】（1）B （2）D （3）C 【解析】（1）由已知得，解得.故选B（2）因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b .（3）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ），解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. 变式2、（1）已知是偶函数，则（）A ．B ．C ．D ．（2）（2020·浙江衢州·期中）已知，，，则（）0.22a =2log 0.2b =0.2log 0.3c =A ．B ．C ．D ．【答案】（1） C （2）C 【解析】（1）∵是偶函数， ∴∴∴∴，函数为增函数，∵，∴故选：C （2）：，，，且，所以，，，故. 故选：C方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考向二对数函数的图像及其应用例1、（1）已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，且a ≠1)的图象如图，给出以下结论正确的是（）A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1，0＜c ＜1；C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1，0＜c ＜1．（2）当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是（） A. 20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B. 2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭． a b c <<a c b <=22log 0.2log 10b =<=0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.20.2log 0.3log 10>=1a >0b <01c <<b c a <<（3）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】（1） C （2）B （3）1＜a ≤2．【解析】（1）由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1．又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1．（2）由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x＜log a x ⎝⎛⎭⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2．把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22．若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1．（3）．由题意f (x )的图象如下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2．变式1、函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )【答案】A【解析】令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D. 由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．变式2、关于函数()||2||f x ln x =-下列描述正确的有( ) A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增 B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点【答案】ABD ．【解析】函数()||2||f x ln x =-的图象如下图所示：由图可得：函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确；若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=，C 错误；函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确．故选：ABD ．变式3、（2020·浙江月考）已知函数y =sin ax +b (a >0)的图像如图所示，则函数y =log a (x +b )的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．详解：由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点. 结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C.方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考向三对数函数的综合及应用例3、关于函数f (x )＝ln 1－x1＋x ，下列说法中正确的有( ) A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2【答案】 BD【解析】函数f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1，其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1， ∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．sin (0)y ax b a =+>a b log ()a y x b =+sin (0)y ax b a =+>201,23b a πππ<<<<213a ∴<<log ()a y xb =+(1,0)b -函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， ∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对． f (x 1)＋f (x 2)＝ln 1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对．变式1、(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增【答案】 BC【解析】函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数， ∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．变式2、已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x ．(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(34)(3)t t t --恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．变式3、已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解析】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12，使f (x )的最小值为0.方法总结：：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．1、(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．2、(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B 【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．3、（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称【答案】C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确．4、（2017新课标Ⅱ）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ．5、（2020全国Ⅱ理9）设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x（） A ．是偶函数，且在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 B ．是奇函数，且在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减 C ．是偶函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， ()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确．故选D 6、(2018全国卷Ⅰ)已知函数22()log ()=+f x x a ，若(3)1=f ，则a =________．【答案】7-【解析】由(3)1f =得，22log (3)1a +=，所以92a +=，即7a =-．7、(2018全国卷Ⅲ)已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()f a -=___．【答案】2-【解析】由())14f a a =+=，得)3a =，所以())11)1f a a a -=+=-+=-+312=-+=-．8、已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．【解析】(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1．故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3) 因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，(4) 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1，解得0<x <1．所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．。

高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)

专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

2019高中数学高考真题分类：考点7-指数函数、对数函数、幂函数

考点7 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. （2018·大纲版全国卷高考文科·Ｔ6）与（2018·大纲版全国卷高考理科·Ｔ5）相同函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数()1=f x -（） A.()1021x x >- B.()1021x x ≠- C.()21x x R -∈ D.()210x x -> 【解题指南】首先令)11(log 2xy +=求出x ，然后将y x ,互换，利用反函数的定义域为原函数的值域求解. 【解析】选A.由)11(log 2x y +=，0>x ，得函数的值域为0>y ，又x y 112+=，解得121-=y x ，所以()1=f x -121-x )0(>x 2.(2018·北京高考理科·T5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)= ( )A.e x+1B.e x-1C.e -x+1D.e-x-1 【解题指南】把上述变换过程逆过来,求出y=e x 关于y 轴对称的函数,再向左平移1个单位长度得到f(x).【解析】选D.与y=e x 关于y 轴对称的函数应该是y=e -x ,于是f(x)可由y=e -x 向左平移1个单位长度得到,所以f(x)=e -(x+1)=e -x-1.3.（2018·广东高考文科·Ｔ2）函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞【解题指南】函数的定义域有两方面的要求：分母不为零，真数大于零，据此列不等式即可获解.【解析】选C. 解不等式10,10x x +>-≠可得1,1x x >-≠是定义域满足的条件.4.（2018·山东高考文科·Ｔ5）函数()f x =的定义域为（） A.(-3，0] B.(-3，1]C.(,3)(3,0]-∞--D.(,3)(3,1]-∞--【解题指南】定义域的求法:偶次根式为非负数，分母不为0.【解析】选A. ⎩⎨⎧>+≥-03021x x ，解得03≤<-x .5.（2018·陕西高考文科·Ｔ3）设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( )A ． ·log log log a c c b a b =B . b a b c c a log log log =⋅C. c b bc a a a log log )(log ⋅=D. ()log g og o l l a a a b b c c +=+【解题指南】a, b,c ≠1，掌握对数两个公式: a b b y x xy c c a a a a log log log ,log log log =+= 并灵活转换即可得解.【解析】选B.对选项A: ba b a b b c c a c c a log log log log log log =⇒=⋅,显然与第二个公式不符，所以为假。

高三数学对数与对数函数试题答案及解析

高三数学对数与对数函数试题答案及解析1.设命题函数的定义域为;命题对一切的实数恒成立,如果命题“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】a≤2．【解析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假p，q至少有一个为假命题，故其反面为：p，q都为真命题；先求出p，q都为真命题时实数k的取值范围，再求其在实集上的补集就是所求实数k的取值范围．试题解析：要使函数的定义域为R，则不等式对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为-x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．记，∴要使3x-9x＜a对一切的实数x恒成立，则a＞，即q：a＞．要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【考点】复合命题的真假．2.函数y＝(x2－4x＋3)的单调递增区间为()A．(3，＋∞)B．(－∞，1)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝u与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.∴函数y＝(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．3.函数y＝的定义域为________．【答案】(－2,8]【解析】由题意可知，1－lg(x＋2)≥0，整理得lg(x＋2)≤lg 10，则，解得－2<x≤8，故函数y＝的定义域为(－2,8]．4.函数y＝(x2－6x＋17)的值域是________．【答案】(－∞，－3]【解析】令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝为减函数，所以有≤＝－3.5.（5分）（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍．【答案】6，10000【解析】根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA﹣lgA=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴．故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．6.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则 ()A．a<c1,0<log54<1,0<log53<1，所以(log53)2<log53<log54，所以b<a<c，选D.7.函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．8.函数的值域为 .【答案】【解析】由得 ,所以函数的定义域是：设点=所以，,所以答案填：【考点】1、对数函数的性质；2、数形结合的思想.9.定义“正对数”：现有四个命题:①若，则;②若，则;③若，则;④若，则．其中的真命题有．(写出所有真命题的编号)【答案】①③④【解析】对于①:当时，有，此时;当时，有，此时;当时，有，此时，而综合知①正确对于②:令，则，而，故不成立，②错误对于③:当时，有，或，或验证知: 成立;当时，有，或，或，验证知:成立;当时，成立，故③正确对于④:分四种情况讨论:当时，不妨令，有此时成立;同理，当或或时，成立，故④正确综合知①③④正确10.如果函数的图像过点，则________.【答案】1【解析】依题意得.所以.【考点】1.函数的知识.2.数列的求和公式.3.极限的运算.11..【答案】2【解析】由对数运算法则得：.【考点】对数运算.12.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0]【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2，设t＝1－x2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋(t2－1)，t∈(0，1]，设0<t1<t2≤1，则lgt1<lgt2，<，所以lgt1＋(－1)<lgt2＋(－1)，所以函数y＝lgt＋(t2－1)在t∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．13.设a是实数，讨论关于x的方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实数解的个数．【答案】两个【解析】原方程等价于方程组即在同一坐标系下作直线y＝a 与抛物线y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a≤3或a＝时，原方程只有一个实数解；当3<a< 时，原方程有两个不同的实数解．14.求下列各式的值．(1)log535＋2－log5－log514；(2)log2×log3×log5.【答案】（1）2（2）－12 【解析】(1)原式＝log 5＋2＝log 553－1＝2.(2)原式＝＝－12.15. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．【答案】【解析】左边＝log a m ＋log a＋log a＋…＋log a＝log a＝log a (m ＋n)，∴已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1. ∵m 、n 为正整数，∴解得16. 若点(a,b)在y=lgx 的图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( )A ．(,b)B ．(10a,1-b)C ．(,b+1)D ．(a 2,2b)【答案】D【解析】∵点(a,b)在函数y=lgx 的图象上, ∴b=lga,则2b=2lga=lga 2,故点(a 2,2b)也在函数y=lgx 的图象上.17. 已知实数a,b 满足等式2a =3b ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤ D ．③④⑤【答案】B【解析】设2a =3b =k, 则a=log 2k,b=log 3k.在同一直角坐标系中分别画出函数y=log 2x,y=log 3x 的图象如图所示,由图象知:a<b<0或0<b<a 或a=b.18. 已知函数f(x)=|log 2x|,正实数m,n 满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2,则m,n 的值分别为( )A ．,2B ．,4C ．,D ．,4【答案】A【解析】f(x)=|log2x|=则函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, 又m<n且f(m)=f(n),则0<m<1,n>1,∴0<m2<m<1,∴f(m2)>f(m)=f(n),即函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为f(m2).由题意知f(m2)=2,即-log2m2=2,∴m=,由f(m)=f(n)得-log2=log2n,∴n=2.19.已知函数，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数，所以，，所以=，选A.【考点】分段函数，对数运算，指数运算.20.已知，不等式成立，则实数a的取值范围是_____________．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，，所以恒成立，须恒成立.所以，故答案为.【考点】绝对值的几何意义，对数函数的性质.21.已知函数.（1）若，当时，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）这实质上是解不等式，即，但是要注意对数的真数要为正，，；（2）上奇函数满足，可很快求出，要求在上的反函数，必须求出在上的解析式，当时，，故，当然求反函数还要求出反函数的定义域即原函数的值域；（3）可转化为，这样利用对数函数的性质得，变成了整式不等式，问题转化为不等式在区间上有解，而这个问题通常采用分离参数法，转化为求相应函数的值域或最值．试题解析：（1）原不等式可化为 1分所以，， 1分得 2分（2）因为是奇函数，所以，得 1分当时，2分此时，，所以 2分（3）由题意， 1分即 1分所以不等式在区间上有解，即 3分所以实数的取值范围为 1分【考点】(1)对数不等式；（2）分段函数的反函数；（3）不等式有解问题．22.______________.【答案】【解析】.故填.本题关键是对数的基本运算.同底的对数的加减运算，运算法则是底数不变真数相乘或相除.结合对数的性质及可得结论.【考点】1.对数的性质.2.对数的加减运算.23.已知函数（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)通过求导可得.又因为x=2是极值点.即可求得.（2）通过对对数的定义域可得符合题意的不等式.在上恒成立.所以转化为研究二次函数的最值问题.通过对称轴研究函数的单调性即可得到结论.本题的的关键是对含参的函数的最值的讨论.以二次的形式为背景紧扣对称轴这个知识点.试题解析：（1）因为.因为x=2为f(x)的极值点.所以即.解得.又当时.从而x=2为f(x)的极值点成立. （2）因为f(x)在区间上为增函数.所以.在区间上恒成立. ①当时. 在上恒成立.所以f(x)在上为增函数.故符合题意.②当时.由函数f(x)的定义域可知，必须有时恒成立.故只能.所以在区间上恒成立.令g(x)= .其对称轴为.因为.所以<1.从而g(x) 在上恒成立.只需要g(3) 即可.由g(3)= .解得：.因为.所以.综上所述. 的取值范围为.【考点】1.对数函数的知识点.2.最值问题.3.含参的讨论.24.关于的不等式（为实常数）的解集为，则关于的不等式的解集为 .【答案】【解析】，则.由题意得：不等式的解为.所以，不等式即为，.【考点】1、一元二次不等式、指数不等式及对数不等式的解法；2、韦达定理.25.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】解得：.【考点】求函数的定义域26.的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】1、对数的性质及求值；2、三角函数的恒等变换及化简求值.27.给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程有个实数根，其中正确命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】①在区间上，，是减函数，，是增函数，错误；②如图在第一象限，底数越大，函数的图像越高，∴，正确；③函数的图像向右平移一个单位，得到的图像，对称中心为（1,0），正确；④或或或，正确.【考点】幂函数，对数函数，指数函数的图像与性质.28.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，且，.【考点】指数与对数运算29.已知数列满足，且，则的值是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由可以推出，数列是以3为公比的等比数列，故，故.【考点】等比数列性质和对数运算.30.已知函数.（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；（2）用定义证明函数在上是增函数；（3）如果当时，函数的值域是，求与的值.【答案】．解：（1），函数是奇函数.（2）设、算、证、结（3），【解析】思路分析：（1）由，求得计算知函数是奇函数.另证：对任意0，（2）利用“定义”“设、算、证、结”。

高考数学专题复习对数及对数函数(原卷版+解析版)

第六讲对数及对数函数【套路秘籍】一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【套路修炼】考向一对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝. （2）若3a=5b=225，则1a +1b = 。

（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。

【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.4.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．考向二对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38【举一反三】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y =log 3(x +1)B ．y =log a (2x)(a >0,a ≠1)C ．y =lnxD ．y =log a x 2(a >0,a ≠1) 2．下列函数，是对数函数的是 A ．y=lg10xB ．y=log 3x2C ．y=lnxD ．y=log13（x –1）3．在M=log （x –3）（x+1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为A ．（–∞，3]B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）考向三对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题02函数的图象与性质热点难点突破理

1专题02函数的图象与性质1 •下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是 ( )A • y = 2xB • y = 2|x|_x — xx — xC. y = 2 — 2 D • y = 2 + 2解析：因为y = 2x 为增函数，y = 2—x 为减函数，所以y = 2x — 2—x 为增函数，又y = 2x — 2—x 为奇函数，所以选C. 答案：C 2 •函数y =笔的定义域是( )x — 2A . ( — 1 ,+^)B • [ — 1 ,+^)C. ( — 1,2) U (2 ,+^) D • [ — 1,2) U (2 ,+^)x — 2工 0,解析：由题意知，要使函数有意义，需 <即一1<x <2或x >2,所以函数的定义域为(一1,2) U (2 ,x + 1>0+ m ).故选C. 答案：Cx __C. y = 2 D . y = log 2| x |解析：因为函数的图象是轴对称图象，所以排除在(0 ,+^)上单调递增，所以排除 D.故选B.答案：B了 1 + log 2 2 — x , x <1,4 •设函数 f (x ) =5 x —1f ( — 2) + f (log 212)=( )I 2 , x 》1,A . 3B . 6 C. 9 D . 12 解析：T — 2<1 ,•••f( — 2) = 1 + log 2[2 — ( — 2)] = 3;•••log 212>1 ,• f (log 212) = 2log 212— 1 = 2log 26 = 6. • f ( — 2) + f (log 212) = 9.优解由 f ( — 2) = 3,「. f ( — 2) + f (log 212)>3 排除 A.3.下列函数中，图象是轴对称图象且在区间(0，+m )上单调递减的是(22 一A . y = -B • y =— x + 1 x由于 log 212>1，要用 f (x ) = 2xT 计算，则 f (log 212)为偶数，••• f ( — 2) + f (log 212)为奇数，只能选 C. 答案：C5 .已知函数f (x )的定义域为(一1,0)，则函数f (2x + 1)的定义域为( )A . ( — 1,1) B. i - 1，— 2 C. ( — 1,0) D. 2，11 f 1 \解析：由已知得一1<2x + 1<0,解得一1<x < — 2所以函数f (2x + 1)的定义域为一1，— 2，故选B. 答案：B6 .已知f (x )是定义在［—2b, 1 + b ］上的偶函数，且在［—2b,0］上为增函数，则 f (x — 1) < f (2 x )的解集为( )A !-1，3'B . ］-1,3］ C. ［ — 1,1］ D. g, 1 I解析：；函数皿虚定义在［-边1十可上的偶函数…A+1十0=1,函数/W 的定义域为Lm 又的数血)在［-2:0］±单调递増…1的数金)在叩］上单调递减，二仪-1)虫2环1 02x|), \ — — 1<2^ | 一 >［x- 1 > 2x j L|x — 1 > j答案：BA C,又y = —•函数cos x>0,• f (x)<0，可排除选项D,故选B.答案：B8. 已知f(x)是R上的奇函数，且y= f(x + 1)为偶函数，当一K x W0时，f(x) = 2x2,贝U f1 1A. 2 B .—2C. 1 D . —1解析：因为函数f (x)为奇函数，所以f ( —x) =—f (x)，又y = f (x +1)为偶函数，所以f(x+1) = f ( —x+1)，贝y f (x) = f( —x+ 2) =—f (x —2) =—f( —x+ 4) = f(x —4)，所以函数f (x)的周期为4,所以f£；= f 4—2 =f —2 = 2X —1 2= 2 故选A.答案：A9. 现有四个函数：① y = x • sin x，②y = x • cos x，③y = x • |cos x|，④y=x・2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A.①④②③ B .①④③②C.④①②③ D .③④②①解析：函数①y = x • sin x为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C, D;对于函数④y = x・2x, y z= 2x(1 + x ln2) , x>0时，y' >0,函数单调递增，所以函数④ y = x ^2'对应的是第二个函数图象；又x>0时，函数③y= x • |cos x| >0,对应的是第四个函数图象，从而排除选项B,故选A.答案：A10. 若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1) ? x € R,都有f( —x) + f(x) = 0;r +亠f X1 —f X23⑵？X1, X2€ R,且X1^X2,都有<0.X1—X2①f (x) = sin x；② f( x) =—2x3:③ f (x) = 1 —x:④f (x) = ln( x2+ 1 + x).以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A. 0 B . 1C. 2 D . 3解析：由条件(1)，得f(X)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数.对于①，f(x) = sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x) = —2X3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x) = 1 —x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”.故选 B.45答案：B11 •下列函数中既是奇函数，又在区间(0 ,+s )上是减函数的为(A . y = xB .叫xC. y = 2D . y = x +1x答案 Blog-, x2都是非奇非偶函数，排除A, C.解析由题意得，对于函数 y = x 和函数y =1又函数y = x + -在区间(0,1)上单调递减，在区间(1 ,+^)上单调递增，排除 D,故选B.x12.已知函数 f (x ) = a ^^是奇函数，则f (a )的值等于()A .B . 3 C.1 D.§或 3答素解析函数兀门为奇函数』则笊一 A-)= -Ax), 命在定义域內恒趁/Jr J*— I — 7*整理可得奈石占即川=1恒成立…：尸±1, 当尸1时，函数貝◎的解析式为当片—1时'函数卫工)的解析式为—1 —聲—1 —貞.^=<-1)=^7+3^=3 综上可得血的值为-殳it父(6a ,b 满足不等式f (2 a + b ) + f (4 — 3b )>0 ,贝U 下列不等式恒成立的是 ()A . b — a <2B . a + 2b >2 C. b — a >2 D . a + 2b <2 答案 C1 —2解析由题意得f (— x ) = 1^2丁+1 —2 2x = — 1 + x , 1 + 2 1+ 2' 故函数f (x )在R 上单调递减.•/ f (2a + b ) + f (4 — 3b )>0 ,••• f (2a + b )> — f (4 — 3b ) = f (3b — 4),2a + b <3b — 4,• b — a >2.故选 C.f(log 13)15.已知f (x )是定义在(—a, +s )上的偶函数，且在(—g,0］上单调递增，若a =5,b = f (log 35),c = f (0.2 0.5)，贝U a , b , c 的大小关系为()A . a <b <cB . c <a <bC. b <a <cD. c 0. 14.已知函数f (x )=帛,实数-x= 2—1 =— 幷 =—f (x )，故函数f (x )为奇函数.x .2 — 1 又 f ( x ) =一 x =1 +2 答案 C••• 1= log 5 5<log 53<1,1 = log 33<log 35,78答案 A1 — ln| x |解析设 f (x ) = 1 + 呵 x | • sin x , , 1/• 0.2 0.5<log 53<log s 5,••• f (x )在(—g,0]上是增函数，f (x )是定义在R 上的偶函数，••• f (x )在[0，+g )上为减函数，则 f (0.2 0.5)>f (log 53) >f (log 35), 即b <a <c ，故选C.2x + 1, x > 1,16 .若函数 f (x ) = * 2—x + ax + 1, x <1 在R 上是增函数,a 的取值范围为(A . [2,3]B . [2 ,+g )C . [1,3]D . [1 ,+g) 答案 A解析由题意得庐1，—1 + a +K 2+ 1,• a € [2,3]，故选 A.1 — l n | x l17.函数y = 十 • sin x 的部分图象大致为()1 + ln| x |由1+ ln| x| 丰0,得X M土一，e则函数f (x)的定义域为910则实数a 的值可以是( ) 11 B・ 6119u o, e u e.1 — ln| — x |f( — x) =1 + ln| — x | sin( — x)=—；-件 x| • sin x =— f (x ),1 + ln| x |•••函数f (x )为奇函数，排除D.1又1> ,且f (1) = sin 1>0，故可排除 e1 — —2 1 1 匸厂•sin 尹―3・sin 尹°,2x = log 3y = log 5z = k ( k <0),3 1 — k 5 1 — k厂3 ， z =5 ，又 1— k >0.2 3 5< < .故选A.x y z1 + x19.已知奇函数 f (x )满足 f (x + 1) = f (1 — x )，若当 x € ( — 1,1)时，f (x ) = lg ，且 f (2 018 — a ) = 1, i x•函数f (x ) =x 1—k 在(0,+^)上单调递增, 1 ——OO—— 一B.1— ln 1-2e 1 1+ ln re故可排除 C.故选A.18已知 log _ 3 52x = log 3y = log 5Z <0，则一，一，一的大小排序为(2 3 5 A. << x y z5 2 3 C. <3 2 5 B. <一<一y x z5 3 2答案解析 x ,z 为正实数，且 log 2x = log 刮=log 5z <0,令log k ，A 3k — 1 z k — 1 '，5= 52 1—k可得x =2 1 1 0<眾，且f-sin解析：：7U+1)=7U —d 心)三心―◎又的数金)为奇的数二g, 二贝一 Q 二一 yp —◎二用+町二一贝环. . [+ X Q「._心+4)=—加+丄)=血)，二|2^盘)为周期函数，周期为4一当x€ I, - 1J)时，令％x}=lgj7T^=l 』得”=TP 又R2 018-应)=贝2 — 6=夬4),二。

(提高)-第二节__对数函数

第二节对数函数A 组1．(2009年高考广东卷改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案：log 12x2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：a ＝log 3π>1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，故有a >b >c .答案：a >b >c3．若函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛]1,0[,4)0,1[,41x x xx，则f (log 43)＝________.解析：0<log 43<1，∴f (log 43)＝4log 43＝3.答案：3 4．如图所示，若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a 1x ＋1的图象是________．解析：由已知将点(4,2)代入y ＝a x －1，∴2＝a4－1，即a ＝213>1.又1x ＋1是单调递减的，故g (x )递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f (12010)＝4，则f (2010)的值为_．解析：设F (x )＝f (x )－2，即F (x )＝a log 2x ＋b log 3x ，则F (1x )＝a log 21x ＋b log 31x＝－(a log 2x＋b log 3x )＝－F (x )，∴F (2010)＝－F (12010)＝－[f (12010)－2]＝－2，即f (2010)－2＝－2，故f (2010)＝0.答案：06．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ，∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2. ∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2.∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x <0或log 2x >1，0<x 2－x ＋2<4.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1或x >2，－1<x <2.∴0<x <1. B 组1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点________．解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴将y ＝lg x 的图象上的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f (x )＝lg x 定义域中任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.上述结论中正确结论的序号是________．解析：由运算律f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg x 1x 2＝f (x 1x 2)，所以②对；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，∵x 1＋x 22≥x 1x 2，且x 1≠x 2，∴lg x 1＋x 22>lg x 1x 2，所以④错误．答案：②③3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2) (x >1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为________．解析：由y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，得f (x )＝ln x ，因为y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，故有g (x )＝－ln x ，g (a )＝1⇒ln a ＝－1，所以a ＝1e.答案：1e5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．解析：由log 2x |x |有意义可得x >0，所以，f (2x ＋|x |)＝f (1x )，log 2x |x |＝log 2x ，即有f (1x )＝log 2x ，故f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案：f (x )＝－log 2x ，(x >0)6．(2009年高考辽宁卷改编)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝________.解析：由题意2x 1＋2x 1＝5，①2x 2＋2log 2(x 2－1)＝5，②所以2x 1＝5－2x 1，x 1＝log 2(5－2x 1)，即2x 1＝2log 2(5－2x 1)．令2x 1＝7－2t ，代入上式得7－2t ＝2log 2(2t －2)＝2＋2log 2(t －1)，∴5－2t ＝2log 2(t －1)与②式比较得t ＝x 2，于是2x 1＝7－2x 2.∴x 1＋x 2＝T 2.答案：727．当x ∈[n ，n ＋1)，(n ∈N )时，f (x )＝n －2，则方程f (x )＝log 2x 根的个数是________．解析：当n ＝0时，x ∈[0,1)，f (x )＝－2；当n ＝1时，x ∈[1,2)，f (x )＝－1；当n ＝2时，x ∈[2,3)，f (x )＝0；当n ＝3时，x ∈[3,4)，f (x )＝1；当n ＝4时，x ∈[4,5)，f (x )＝2；当n ＝5时，x ∈[5,6)，f (x )＝3.答案：28．(2010年福建厦门模拟)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b )x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当01时，f (x )单调递减，g (x )单调递减．答案：②9．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝log 3x 及函数y ＝3x 的图象分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12＋x 22的值为________．解析：∵y ＝log 3x 与y ＝3x 互为反函数，所以A 与B 两点关于y ＝x 对称，所以x 1＝y 2，y 1＝x 2，∴x 12＋x 22＝x 12＋y 12＝9.答案：9 10．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10，＋∞)上是单调增函数，求k 的取值范围．解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1k x －1>0，即(x －1k )(x －1)>0.①当0<k <1时，x <1或x >1k ；②当k ＝1时，x ∈R 且x ≠1；③当k >1时，x <1k或x >1.综上可得当0<k <1时，函数的定义域为(－∞，1)∪(1k，＋∞)；当k ≥1时，函数的定义域为(－∞，1k)∪(1，＋∞)．(2)∵f (x )在[10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1>0，∴k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1)，故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，即lg(k ＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1)，∴k －1x 1－1<k －1x 2－1，∴(k －1)·(1x 1－1－1x 2－1)<0，又∵1x 1－1>1x 2－1，∴k －1<0，∴k <1.综上可知k ∈(110，1)．11．(2010年天津和平质检)已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并给予证明；(3)求使f (x )>0的x 的取值范围．解：(1)由1＋x1－x>0 ，解得x ∈(－1,1)．(2)f (－x )＝log a 1－x1＋x＝－f (x )，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f (x )是奇函数．(3)若a >1，f (x )>0，则1＋x 1－x >1，解得0<x <1；若0<a <1，f (x )>0，则0<1＋x1－x<1，解得－1<x <0.12．已知函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1(x －x －1)，其中a >0且a ≠1.(1)对于函数f (x )，当x ∈(－1,1)时，f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的集合； (2)x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．解：令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )，∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )．∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，∴f (x )是R 上的奇函数．当a >1时，a a 2－1>0，a x 是增函数，－a －x 是增函数，∴f (x )是R 上的增函数；当0<a <1，a a 2－1<0，a x 是减函数，－a －x 是减函数，∴f (x )是R 上的增函数．综上所述，a >0且a ≠1时，f (x )是R 上的增函数．(1)由f (1－m )＋f (1－m 2)<0有f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m <m 2－1，－1<1－m <1，－1<m 2－1<1.解得m ∈(1，2)．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴f (x )－4也是R 上的增函数，由x <2，得f (x )<f (2)，∴f(x)－4<f(2)－4，要使f(x)－4的值恒为负数，只需f(2)－4≤0，即aa2－1(a2－a－2)－4≤0，解得2－3≤a≤2＋3，∴a的取值范围是2－3≤a≤2＋3且a≠1.。

2019年高考数学文真题分项解析：专题02 函数

第二章函数1.【2019高考新课标Ⅰ，文3】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．2.【2019高考新课标Ⅰ，文5】函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．3.【2019高考新课标Ⅱ，文6】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A. e 1x -- B. e 1x -+ C. e 1x --- D. e 1x --+【答案】D 【解析】【分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x .【详解】()f x Q 是奇函数， 0x ≥时，()1xf x e =-．当0x <时，0x ->，()()1xf x f x e-=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．4.【2019高考新课标Ⅲ，文12】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． 223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．5.【2019高考北京卷，文3】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A. 12y x = B. y =2x -C. 12log y x =D. 1y x=【答案】A 【解析】【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数122,log xy y x -==， 1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.6.【2019高考北京卷，文7】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.7.【2019高考天津卷，文5】已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为 A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小。