最优化 15 使用导数的最优化方法
导数的应用之优化问题
导数的综合应用－－优化问题广东省和平县福和高级中学高三数学组颜贞1.知识与能力通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题。
2.过程与方法让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法。
3.情感、态度与价值观形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性。
激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力.4.教学重点和难点优化问题的数学建模与求解方法的掌握.上课内容详细分解：一、复习导数作为工具的具体体现：1．解决函数的单调性2．解决函数在某一区间内的极值或最值3．知识点的综合运用二、提出本节课听课要求1．深化理解导数作为工具的卓越表现力2．掌握用导数法解决生活中优化问题的一般步骤3．解决生活中优化问题时应注意的问题三、回顾解决优化问题的一般常用方法1.基本函数型（如二次函数型，指数对数型）2.基本不等式型3.线性规划型….最后提出本节课的目的：用导数法解决实际生活中的优化问题.【设计理念：通过复习知识点，构建学生的知识网络，对开展进一步的教学有一定的好处，也适合学生的学习习惯。
】四、探究实例一（用料最省问题）老师：设圆柱形金属罐的容积一定，请问怎么来设计它的高与底面的关系，才能使所用材料最身？学生：积极探索，寻求关系并初步分析问题。
部分学生可以解决问题. 老师：（详细分析）解：设圆柱的高为h ，底面半径为r ，容积为V 。
则用料最省问题即可转化为求圆柱体的表面积最小问题。
可找函数关系：222r rh S ππ+=，由V=22r V h h r ππ=⇒，有2222222)(r r V r r V r r S ππππ+=+⋅=.令0)(='r S ，可求得时用料最省。
达到最大，即此时r V rV h S V r 24,2323====πππ 【设计理念：探究性学习是我们在新课程改革中一个很重要的成果，通过这道实际例题，既可以培养学生的学习热情，又可以充分调动学生的积极探索的欲望，真正将学生从“要去学”转变到“我要学”.】五、探究实例一的变式 （问题转化为利润型问题）老师：某制造商制造并销售瓶装球形饮料，瓶子的制造成本是0.82r π 分/个，已知每出售1mL 饮料，获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm 。
导数的应用于最优化问题
导数的应用于最优化问题导数是微积分中的一个重要概念，用来衡量函数在某个点的变化率。
在数学中，导数在求解最优化问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍导数的应用于最优化问题，并详细解释其原理和算法。
一、最优化问题简介最优化问题是在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数达到最小或最大值的解。
在实际生活中，最优化问题的应用非常广泛，如经济学中的成本最小化问题，物理学中的能量最小化问题等。
最优化问题可以分为线性和非线性两种情况，本文将重点介绍非线性最优化问题。
二、导数在最优化问题中的应用1. 最小值问题在计算目标函数的导数时，可以得到函数曲线的斜率。
根据导数的性质，当导数为零时，函数达到极值点，即局部最小值或最大值。
因此，最优化问题可以通过求解目标函数的导数为零的点来获得极值点的位置。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的最优化算法，它利用目标函数在当前点的导数方向来更新解的位置，从而逐步接近最小值点。
梯度下降法的思想是根据导数的方向选择合适的步长，以便使得目标函数在每一步的迭代过程中逐渐趋于最小值。
3. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解最优化问题的方法，其基本思想是利用目标函数的导数和二阶导数来逼近函数的局部极小值点。
牛顿法的优势在于收敛速度较快，但同时也存在一些局限性，如对初始点的选择较为敏感。
4. 拟牛顿法拟牛顿法克服了牛顿法对初始点选择的敏感性，它通过近似目标函数的Hessian矩阵来逼近真实的二阶导数。
拟牛顿法的核心思想是利用历史的迭代信息来更新目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而提高算法的效率和稳定性。
三、导数在最优化问题中的应用举例为了更好地理解导数在最优化问题中的应用，我们以求解一元二次函数的最小值为例进行说明。
假设有一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望找到使函数f(x)取得最小值的点。
首先，我们计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2ax + b。
然后，令导数f'(x)为零，解得x = -b/(2a)。
拟牛顿法及其相关解法
本文链接：/miaowei/52925.html最近在看条件随机场中的优化算法。
其中就设计到了无约束化的最优化方法，也就是牛顿法。
在CRF （conditional random field）中，使用的是L-BFGS法。
费了好大的劲把算法的原理及推导算是看明白了，可是到了具体实现上，又碰到问题了，比如在求搜索方向的时候，使用但是程序中如何实现呢？现在转载一篇文章，看过之后，会非常受益。
使用导数的最优化算法中，拟牛顿法是目前为止最为行之有效的一种算法，具有收敛速度快、算法稳定性强、编写程序容易等优点。
在现今的大型计算程序中有着广泛的应用。
本文试图介绍拟牛顿法的基础理论和若干进展。
牛顿法(Newton Method)牛顿法的基本思想是在极小点附近通过对目标函数做二阶Taylor展开，进而找到的极小点的估计值[1]。
一维情况下，也即令函数为则其导数满足因此(1)将作为极小点的一个进一步的估计值。
重复上述过程，可以产生一系列的极小点估值集合。
一定条件下，这个极小点序列收敛于的极值点。
将上述讨论扩展到维空间，类似的，对于维函数有其中和分别是目标函数的的一阶和二阶导数，表现为维向量和矩阵，而后者又称为目标函数在处的Hesse矩阵。
设可逆，则可得与方程(1)类似的迭代公式：(2)这就是原始牛顿法的迭代公式。
原始牛顿法虽然具有二次终止性（即用于二次凸函数时，经有限次迭代必达极小点），但是要求初始点需要尽量靠近极小点，否则有可能不收敛。
因此人们又提出了阻尼牛顿法[1]。
这种方法在算法形式上等同于所有流行的优化方法，即确定搜索方向，再沿此方向进行一维搜索，找出该方向上的极小点，然后在该点处重新确定搜索方向，重复上述过程，直至函数梯度小于预设判据。
具体步骤列为算法1。
算法1：(1) 给定初始点，设定收敛判据，.(2) 计算和.(3) 若 < ，则停止迭代，否则确定搜索方向.(4) 从出发，沿做一维搜索，令.(5) 设，转步骤(2).在一定程度上，阻尼牛顿法具有更强的稳定性。
最优化方法方向导数与梯度例题
最优化方法方向导数与梯度例题一、引言在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。
在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。
本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。
二、方向导数与梯度的定义1. 方向导数方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。
在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。
2. 梯度梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间有着密切的关系。
事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。
这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。
这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。
四、例题分析为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。
解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。
计算过程如下：∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。
利用导数处理最优化问题
利用导数处理最优化问题在经济领域和日常生活中，人们总是追求投入最小、产出最大，以期达到最优化目标.导数是解决这类问题的得力工具——如果实际问题可以归结为求函数的最值问题，便可以应用导数来处理.例1.某人在湖中划一小船，此刻离岸边最近的A 处的距离为3km ，如图3.4(7)—1.若现在他要尽快赶到岸边离A 处6km 的B 处公干.设船速为3km/h ，此人的步行速度为5km/h ，问在离A 处多远登岸，再弃船步行，能以最少时间赶到B 处？ 解：设在离A 处xkm 的C 处登岸，再从C 步行到B 处，所用时间为T(x)=√32+x 23+6−x 5x ∈[0，6]. ∵ T ′(x)=3√x 2+9− 15，令T ′(x)=0，解得5x -3√x 2+9=0,⇒x =±2.25(负舍).又∵ T(x)在区间[0，6]的端点及x=2.25处的函数值分别为T(0)=2.2，T(6)=5，T(2.25)=2. 答：在离A 处2.25km 的C 处登岸再步行到B 处，所用时间最少.例2.在直径为1m 的圆桌正上方安装一吊灯，桌面上各点的照度y=k ∙sinφr 2，其中r 是吊灯与被照点间的距离，φ是光线与桌面的夹角，k 为常数.为使桌面边缘最亮，吊灯应离桌面多高？解：设吊灯离桌面中心的距离为x ，桌面边缘照度为 f(x)= k ∙sinφr 2=k ∙x(0.52+x 2)32=kx(0.52+x 2)−32，x ∈(0，+∞). ∵ f ′(x)= k(0.52+x 2)−32- 32kx(0.52+x 2)−52∙2x ，令f ′(x)=0， 解得x=√0.25√2≈0.36. 注意到f(x)是单峰函数，∴ 函数f(x)的极值点也是最值点，即x=0.36时，f(x)取得最大值. 答：离桌面高约为0.36m 处安装吊灯可使桌边最亮.例3.从椭圆x 2a 2+y 2b2 = 1形铁板中裁下四边平行于椭圆轴的矩形板材，其最大面积是多少？解：设内接矩形在第一象限顶点坐标为(x ，y)，则其面积 S(x)=4xy =4bx a√a 2−x 2 ，(0<x<a). ∵ S ′(x)=4b a√a 2−x 2 + 4bx a∙−2x 2√a 2−x 2，令S ′(x)=0，得 a 2−x 2=x 2，∴ x=√2a2. 由于S(x)在0<x<a 无最小值，而x=√2a2又是极r xφ图3.4(7)—2小船A C图3.4(7)—13kmx值点，因此x 0=√2a2是S(x)的最大值点.故 [S(x)]max =S(√2a2)=2ab. 说明：此题也可以设矩形的一个顶点坐标为P(acos θ，bsin θ)，则S(θ))=4abcos θsin θ=2absin2θ≤2ab.来求解例4.计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit).为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n .为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域．(1)是不是r 越小，磁盘的存储量越大？ (2)r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R−rm.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2πr n.所以，磁盘总存储量： f (r )=R−r m×2πr n= 2πrmn(R -r).(1)它是一个关于r 的二次函数，从解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大． (2)∵ f ′(r )=2πmn (R −2r)，令 f ′(r )=0，解得r= R2，由单峰函数的特性知， 当r= R2时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为πR 22mn.例5.某企业拟建造如图3.4(7)—3的容器,(不计厚度.单位：米). 其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要 求容器的体积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3).设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r . 解: (1)∵ 容积V=πr 2l +43πr 3，∴ l =V−43πr 3πr 2=803r 2−43r =43(20r 2−r)，由于l ≥2r ，得 0<r ≤2.∴ y=2πr l ×3+4πr 2c=4π(c -2)r 2+160πr(0<r ≤2).(2)由(1)知，y ′=8π(c −2)r −160πr 2=8π(c−2)r 2(r 3−20c−2)，0<r<2， ∵ c>3，∴ c −2>0，当r=√20c−23时，y ′=0. 令√20c−23=m ，m>0. y ′=8π(c−2)r 2(r −m)(r 2+rm+m 2).①当0<m<2，即c>92时，r=m 是函数的极小值点，也是最小值点.l r3.4(7)—3②当m ≥2，即3<c ≤92 时， r ∈(0，2]时，y ′<0，即函数为单减的函数， ∴ r=2是函数的最小值点.综上所述，当3<c ≤92时，r=2时，建造费最少；当c>92时，r=√20c−23的建造费最少.习题3.4(7)1.铁路AB 段之长为100km ，在点A 的正南方向40km 的C 处 有一工厂.要从B 处运送物资到工厂C 处，现计划在铁路 沿线选一点D 修公路通向C.为使运费最省，D 应选在何处？ 已知铁路与公路单位里程运费之比为3:5. 如图3.4(7)—4.2.两企业同在一条河的北侧，甲企业到河岸的垂直距离为AC=1km ， B 企业到河岸的垂直距离为BD=2km ，CD=3km.现计划在河岸M 处安装一台变压器供两企业使用，为使输电线路最短，问M 应选 在何处？ 如图3.4(7)—5. 3.设过椭圆x 2a 2+y 2b 2 =1上点C 的一条切线交x 轴、y 轴分别于A ，B 两点.求(S ∆AOB )min .4.用铁板做一个容积为128πm 3的圆柱形有盖储油罐，为使用料最省，油罐的底部半径和高度分别是多少m?5.某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为−t 2+5t (百万元)(0≤t ≤5).(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为−13x 3+x 2+3x (百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大. (注：收益=销售额-投入资金). 6.设某物体一天中的温度T (°C )是时间t (ℎ)的函数：T (t )=at 3+bt 2+ct +d (a ≠0)；t =0表示12点，t >0，表示12点以后，t <0表示12点以前，若测得该物体在8点的温度为8°C ，12点的温度为60°C ，13点的温度为58°C ，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率.(1)写出该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式；(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，何时温度最高？最高值时多少？【参考答案】C MD BA 图3.4(7)—5A CD B图3.4(7)—4习题3.4(7)1.设AD=xkm. 则运费f(x)=5√x 2+402+3(100−x)，(0≤x ≤100). 求导后计算知x=12km.2.设CM=xkm.则输电线总长s(x)=√1+x 2+√4+(3−x)2 (0≤x ≤3).计算得x=1km.可用导数求解，也可用对称求解.3.设切点C(x 0，y 0)，则过点C 的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1，从而可得S ∆AOB =a 2b 22x 0y 0.可用导数求解，也可以用椭圆的参数方程(三角代换)求解. (S ∆AOB )min =ab. 4.设圆柱的底面半径为r ，高为h. 则油罐的表面积S(r)=2πr 2+256πr.可用求导，也可用均值不等式求解.r=4，h=8.5.(1) 设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t ) (百万元)，则f (t )=−t 2+5t −t =−t 2+4t =−(t −2)2+4(0<t ≤2).∴ 当t =2 (百万元)时，f (t )取得最大值4百万元因此投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3−x ) (百万元)(0≤x ≤3)，设由此获得的利润为g(x)，则g (x )=(−13x 3+x 2+3x)+[−(3−x )2+5(3−x )]−3=−13x 3+4x +3(0≤x ≤3)∴ g ′(x )=−x 2+4，令g ′(x )=0；解得：x =2或x =−2 (舍去). 当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0；∴ g(x)在[0，2]上增函数，在[2，3]上是减函数，因此，当x =2时，g (x )取得最大值. 所以，将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的利益最大.6. (1)由题意得：{T (−4)=8T (0)=60T (1)=58;∴{−64a +16b −4c +d =8d =60 a +b +c +d =58 ；∵ 该物体的温度在8点和16点有相同的变化率；T ′=3at 2+2bt +c;∴T ′(−4)=T ′(4);∴48a −8b +c =48a +8b +c .得b=0；将b =0代入上述方程组得：a =1,b =0,c =−3,d =60；∴T =t 3−3t +60 (2) 由(1)得，T ′(t )=3t 2−3=3(t −1)(t +1)(−2≤t ≤2)；令T ′(t )=0得t =±1 当′可知t =−1时是函数的极大值点，且极大值为T −1=62;t =1时是函数的极小值点，且极小值为T (1)=58；而函数在区间[−2,2]的端点函数值为T (−2)=58,T (2)=62；∴ 当t =2或−1时，T (t )取得最大值；即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为620C.。
利用导数解最优化问题
利用导数解最优化问题作者：侯立成来源：《新校园·学习版》2008年第06期2007年考试说明中要求“会利用导数解决某些实际问题”，具体就是会利用导数知识解决实际生活中的最优化问题，其关键是建立函数模型.具体步骤需先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式.一般情况下，对于实际问题需要注明变量的取值范围.下面以2007年高考题为例，举例说明：一、投资最优化问题例1 （2007年湖北高考题）商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？分析：商品销售利润是根据卖出的件数与实际售价共同决定的，由于每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值的平方成正比，所以应当合理降价，以便多卖，必然存在一个数，使两者之积最大，即商品销售利润最大.解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)，又由已知条件，24=k•22，于是有k=6，所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0,30].（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12)．故x=12时，f(x)达到极大值.因为f(0)=9072，f(12)=11264，所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．二、设计最优化问题例2 （2007年北京高考题）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），则点C的横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程+ =1(y≥0)，解得y=2 (0S= (2x+2r)•2 ，=2(x+r)•其定义域为{x|0（II）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2)，0则f′(x)=8(x+r)2(r-2x)．令f′(x)=0，得x= r．因为当00；当即梯形面积S的最大值为 r2．点评：在实际问题中，若函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大（小）值即可，不必再与端点函数值比较.巩固训练1、（2007年福建高考题）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q （a）.2、（2007年重庆高考题）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？巩固训练答案：1、解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2，x∈[9,11]．（Ⅱ）L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x)．令L′=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ ．在x=6+ a两侧L′的值由正变负．所以（1）当8≤6+ aLmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)．（2）当9≤6+ a≤ 即≤a≤5时，Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)[12-(6+ a)]2=4(3- a)3，所以Q(a)=9(6-a)，3≤a< ，4(3- a)3，≤a≤5.2、解：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h= =4.5-3x(m)(0故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)(0从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x)．令V′(x)=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．当00；当1故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V=V(1)=9×12-6×13=3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m．答：当长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
最优化理论与方法
X
( k 1)
X
(k )
f (X
2
( k ) 1
) f ( X
(k )
)
2 ( k ) 1 (k ) d [ f ( X )] f ( X ) Newton方向： k
Newton法及其改进
定理（Newton法收敛定理） * 设 f ( X )二阶连续可微，X 是 f ( X ) 的局 * 部最优解，f ( X ) 0， 2 f ( X ( k ) ) 正定，Hesse 矩阵 2 f ( X )满足Lipschitz条件：即存在 ， 0 使得对所有的 i，j，有 2 2 n f ( X ) (i , j ) f (Y ) (i , j ) X Y , X , Y R
Newton法及其改进
阻尼牛顿法的缺点： 阻尼牛顿法克服了牛顿法要求初始点充分靠 近目标函数的极小点的缺点，但只有当目标函数 的Hesse矩阵处处正定时，才具有全局收敛性。如 果Hesse矩阵不是处处正定，当初始点远离局部极 小点时，Hesse矩阵可能不正定，这时Hesse矩阵可 能奇异也可能是非奇异。若Hesse矩阵奇异，求解 方向的方程组可能无解，或者虽然有解，但求出 的方向不能使迭代过程继续进行下去；若Hesse矩 阵非奇异，但不正定，则求得的方向可能不是下 降方向。
使用导数的无约束最优化方法
d k H k f ( X
(k )
)
方法 最速下降法 Newton法 共轭梯度法 拟Newton法
策略 线性近似 二次近似
表现形式
H k [ f ( X )]
2 (k )
Hk I
1
用布鲁丹（Broyden）族 或黄（Huang）族 修正公式
导数.06导数在最优化中的应用(A级)文科.学生版
一、 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1) 分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系().y f x =2) 求出函数的导数'()f x ，解方程'()0.f x =3) 比较函数在区间端点和'()0f x = 的点的函数值得大小，最大（小）者为最大（小）值．二、 特别提醒：1) 在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合题意的值应该舍去．2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．知识要点导数在最优化中应用【例1】 某市在一次降雨过程中，降雨量y （mm ）与时间t （min ）的函数关系式可近似的表示为()2100t f t =，则在时刻10min t =的降雨强度为（ ）A ．15mm/min B ．14mm/min C ．12mm/min D ．1mm/min【例2】 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2s =梯形的周长梯形的面积，则s 的最小值是 ．【例3】 设球的半径为时间t 的函数()R t ．若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y =210(63a x x +--），其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（I ）求a 的值（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．例题精讲【例5】 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为()10x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）【例6】 某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式3 5 (06),814 (6).k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，，已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。
11、利用导数解决生活中的优化问题(可用)
利用导数解决生活中的优化问题永吉实验高中薛丽英生活中经常有一些与我们联系密切的问题，例如怎样使建筑用料最省，怎样构造图形最适合，怎样设计按揭方案最合理……这些通常都可以用数学知识解决。
其中，用料最省、效率最高、利润最大等问题被称为生活中的优化问题。
解决优化问题的本质就是求函数的最值，这类问题可以建立数学模型，然后利用数学中相关的求最值的工具来解决问题。
其中，导数是求最值的最有力的工具。
因此，以函数为载体导数为工具，解决生活中的优化问题，是数学应用领域的一个重要课题.要利用导数解决这一类问题，首先必须熟练掌握用导数求最值的方法。
那就是要利用使'()0f x=，在定义域区间内求出函数的极大值或极小值，然后把极大值和极小值与区间端点函数值进行比较，找出最大的那个是最大值，最小的则是最小值。
在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x=的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值，事实上这也适用于开区间或无穷区间。
其次，要认真分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，也就是建立适当的数学模型，以更好地匹配实际问题，从而利用导数来得到实际问题的解。
例题：（2007北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上。
记CD=2x，梯形面积为S 。
.（1） 求面积S 以x 并写出其定义域； （2） 求面积S 的最大值。
解：(1)依题意，以AB 横坐标为x 。
点C 的纵坐标y 满足方程22221(4x yy rr+=≥解得)y x r =<<1(22)2()2S x r x r =+⋅=+其定义域为{}0xx r <<（3） 记222()4()(),0f x x r r x x r=+-<<则'2()8()(2)f x x r r x =+- 令'()0f x =，得12x r=。
最优化方法求解技巧
最优化方法求解技巧在最优化问题中，我们首先需要定义一个目标函数，这个函数的极值是我们需要求解的最优解。
然后，我们需要确定约束条件，这些条件描述了变量可能的取值范围。
最后，我们使用最优化方法来找到使目标函数取得极值的变量取值。
1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种基于负梯度方向的迭代方法，通过不断调整变量的取值来降低目标函数的值。
梯度是目标函数对变量的偏导数，负梯度方向是目标函数下降最快的方向。
梯度下降法的一个重要参数是学习率，它决定了每次迭代中变量取值的调整幅度。
学习率太大可能导致无法收敛，学习率太小可能导致收敛速度过慢。
2. 牛顿法（Newton's Method）：牛顿法是一种基于二阶导数的迭代方法，它通过利用目标函数的局部二次近似来求解最优解。
牛顿法的一个重要参数是初始点的选择，不同的初始点可能导致不同的解。
牛顿法在一些问题上可以收敛得很快，但在一些问题上可能会出现不稳定的情况。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是用于非线性最小二乘问题的一种优化算法。
它是一种基于梯度的算法，可以有效地处理大规模问题。
Levenberg-Marquardt算法在求解非线性最小二乘问题方面有很强的适应性和鲁棒性。
4. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种模拟自然界进化过程的优化方法。
它从一个随机生成的种群开始，通过交叉、变异和选择等操作来迭代生成新的种群，最终找到最优解。
遗传算法的一个优势是能够在局部最优解附近到全局最优解。
除了上述方法，还有很多其他的最优化方法，如线性规划、整数规划、动态规划等。
不同的方法适用于不同类型的问题，我们可以根据问题的特点选择合适的方法。
在实际应用中，求解最优化问题时，有一些常用的技巧可以提高效率和精度。
以下是一些常见的技巧：1.初始点的选择：初始点的选择对于求解的效果具有很大的影响。
利用导数解决最优化问题
利用导数解决最优化问题在数学中，最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数的最大值或最小值的问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，比如经济学、物理学和工程学等。
而利用导数解决最优化问题的方法，可以为我们提供一种高效而快捷的解决方案。
本文将介绍导数在最优化问题中的应用，并通过具体的例子来进一步说明其原理和方法。
首先，导数是描述函数变化率的工具。
对于一个函数f(x)，导数可以衡量函数在某一点x0处的变化速率。
利用导数求解最优化问题的基本原理是，我们希望在函数的变化率最小或最大的点找到最优解。
因此，我们需要通过求导来确定函数在各个点的斜率，进而找到变化率最小或最大的点。
其次，导数的求解过程中，我们可以利用一些基本的求导规则来简化计算。
比如，对于多项式函数，我们可以利用幂函数求导法则来求取导数。
而对于复合函数，则可以应用链式法则。
除此之外，还有一些常用的函数的导数公式，如指数函数、对数函数以及三角函数等。
通过灵活运用这些求导规则，我们可以大大简化求解最优化问题的过程。
接下来，我们通过一个具体的最优化问题来说明导数在解决最优化问题中的应用。
假设我们要求解一个函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1 的最小值。
首先，我们需要求出函数f(x)的导数。
根据幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 4x - 3。
接下来，我们将f'(x) = 0，得到 x = 3/4。
这个x的取值使得函数的斜率为零，因此可能是函数的最小值点。
为了验证这一点，我们需要求出 f''(x) = 4。
根据导数的二阶导数定义，如果 f''(x) > 0，则说明在该点处存在极小值。
而 f''(x) < 0 则说明在该点处存在极大值。
所以在我们的例子中，f''(x) > 0，表明我们求的是函数的最小值。
最后，我们带入 x = 3/4 到原函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 中，可以得到最小值 f(3/4) = 1/8。
导数在实际生活中的最优化应用
导数在实际生活中的最优化应用在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。
数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。
本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。
标签：导数；实际生活；最优化应用一、引言将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。
导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。
本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。
二、导数知识概念的有关分析导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。
在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。
早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。
在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和系统。
在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。
对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。
对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。
通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。
例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。
对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。
导数在实际生活中的最优化应用
导数在实际生活中的最优化应用导数作为数学的重要组成部分在数学领域中得到广泛应用。
高中数学是学生获取数学知识，探索数学深层内涵的重要途径，也是高中所学课程的一项必修课。
学习导数能够极大的增强自身的数学素养，利用导数能够计算实际生活中优化问题，是研究函数性质，以及曲线性态的重要工具[1]。
本文就导数在实际生活中的应用为研究点，探讨运用导数来解决生活实践中有关材料用量、消耗成本、获取的利润和建筑选址等方面。
标签：高中数学；导数；实际生活；优化应用导数（Derivative）即所谓的微商，它是极限的一种特殊表达形式，来源于实际生活与自然科学需求，导数在函数中的运用有效反映了因变量与自变量之间的变化程度关系，是组成微积分知识的基础概念，在几何、不等式等诸多方面有着举足轻重的地位。
在函数性质以及函数极值、最小值等方面起着重要的作用，同时也是描述函数图形，解答函数问题的重要途径。
导数的应用有效解决了生活实际中重要的问题，如曲面的计算、利润最大化以及耗材最少等问题。
这些问题统称为优化问题，因此采用怎样的数学解答方式是解决这类问题的最佳方案，而利用导数可以轻快、便捷的解答这类优化问题，增强了数学在实践生活中的应用度，是导数的运用价值得到充分的体现。
一、导数的概念及几何意义设函数y=f（x）在点x0的某个邻域u=（x0，δ）内有定义，当自变量在x0处取得增量Δx时，与之相对应的函数也取得增量Δy，即Δy=（f（x0+Δx）-f（x0），如果当Δx→0时，ΔxΔy有极限存在，即limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f （x0）Δx=I（I为常数），即称函数y=f（x）在点x0处可导，极限I称为函数y=f （x）在点x0处的导数，记为f′（x0），即limΔx→0ΔyΔx=f′（x0）=df（x）dxx=x0。
曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处切线斜率为函数y=f（x），在点x0处的导数即为f′（x0）=tanα，ɑ是切线的倾角，这即为f′（x0）的几何意义。
《最优化方法》最优化方法概述
《最优化方法》最优化方法概述最优化方法是数学中研究如何寻找最优解的一类方法。
最优解是指满足一定约束条件下使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
最优化方法在多个领域中都有广泛应用，包括工程、经济、金融等。
最优化问题可以形式化地表示为以下形式：\[ \text{minimize} \ f(x) \]\[ \text{subject to} \ g(x) \leq 0 \]\[ \quad \quad \quad \quad h(x) = 0 \]其中，\(f(x)\)是目标函数，\(g(x)\)是不等式约束条件，\(h(x)\)是等式约束条件。
变量\(x\)是问题的一个解。
最优化方法根据目标函数和约束条件的不同，可以分为无约束优化方法和有约束优化方法。
无约束优化方法是指目标函数没有约束条件的优化方法。
最简单的无约束优化方法是求解目标函数的导数为0的点。
这些点称为驻点，如果该点是局部最小点，则称为局部极小点或局部最优解。
如果该点是全局最小点，则称为全局极小点或全局最优解。
求解驻点的方法包括解析法和数值法。
解析法是指直接对目标函数求导，并解方程求解驻点。
数值法是指使用数值计算的方法来逼近驻点。
有约束优化方法是指目标函数存在约束条件的优化方法。
根据约束条件的性质，有约束优化问题可以进一步分为线性约束优化问题和非线性约束优化问题。
线性规划是一种特殊的线性约束优化问题，其目标函数和约束条件都是线性函数。
线性规划具有良好的性质，可以使用多种方法求解，包括单纯形法、内点法等。
线性规划在生产、供应链管理、运输等领域有广泛应用。
对于非线性约束优化问题，由于约束条件的非线性性质，求解最优解更加困难。
非线性约束优化问题可以使用数值方法来求解，包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法利用目标函数的一阶导数、二阶导数或者近似导数来最优解。
同时，还需要考虑约束条件的满足性，可以使用拉格朗日乘子法或者内点法等方法。
最优化方法在现实中的应用非常广泛。
机器学习中导数最优化方法（基础篇）
机器学习中导数最优化⽅法（基础篇）1. 前⾔熟悉机器学习的童鞋都知道，优化⽅法是其中⼀个⾮常重要的话题，最常见的情形就是利⽤⽬标函数的导数通过多次迭代来求解⽆约束最优化问题。
实现简单，coding ⽅便，是训练模型的必备利器之⼀。
这篇博客主要总结⼀下使⽤导数的最优化⽅法的⼏个基本⽅法，梳理梳理相关的数学知识，本⼈也是⼀边写⼀边学，如有问题，欢迎指正，共同学习，⼀起进步。
2. ⼏个数学概念1) 梯度（⼀阶导数）考虑⼀座在 (x1, x2) 点⾼度是 f(x1, x2) 的⼭。
那么，某⼀点的梯度⽅向是在该点坡度最陡的⽅向，⽽梯度的⼤⼩告诉我们坡度到底有多陡。
注意，梯度也可以告诉我们不在最快变化⽅向的其他⽅向的变化速度（⼆维情况下，按照梯度⽅向倾斜的圆在平⾯上投影成⼀个椭圆）。
对于⼀个含有 n 个变量的标量函数，即函数输⼊⼀个 n 维的向量，输出⼀个数值，梯度可以定义为：2) Hesse 矩阵（⼆阶导数）Hesse 矩阵常被应⽤于⽜顿法解决的⼤规模优化问题(后⾯会介绍)，主要形式如下：当 f(x) 为⼆次函数时，梯度以及 Hesse 矩阵很容易求得。
⼆次函数可以写成下列形式：其中 A 是 n 阶对称矩阵，b 是 n 维列向量， c 是常数。
f(x) 梯度是 Ax+b, Hesse 矩阵等于 A。
3) Jacobi 矩阵Jacobi 矩阵实际上是向量值函数的梯度矩阵，假设F:Rn→Rm 是⼀个从n维欧⽒空间转换到m维欧⽒空间的函数。
这个函数由m个实函数组成: 。
这些函数的偏导数(如果存在)可以组成⼀个m⾏n列的矩阵(m by n)，这就是所谓的雅可⽐矩阵：总结⼀下,a) 如果 f(x) 是⼀个标量函数，那么雅克⽐矩阵是⼀个向量，等于 f(x) 的梯度， Hesse 矩阵是⼀个⼆维矩阵。
如果 f(x) 是⼀个向量值函数，那么Jacobi 矩阵是⼀个⼆维矩阵，Hesse 矩阵是⼀个三维矩阵。
b) 梯度是 Jacobian 矩阵的特例，梯度的 jacobian 矩阵就是 Hesse 矩阵（⼀阶偏导与⼆阶偏导的关系）。
导数法求解最优化模型代码
导数法求解最优化模型代码最优化模型是一种数学模型，用于在满足一定约束条件的情况下，寻找一组变量的值，使目标函数达到最优值。
使用导数法求解最优化模型需要对目标函数进行求导，并通过导数的正负性来确定函数的单调性，从而找到最优解。
以下是一个简单的 Python 代码示例，演示了如何使用导数法求解一个一元函数的最优化问题：pythondef find_maxima(f, df, x0, tol=1e-6):"""使用导数法求解函数的最大值。
参数：f (callable)：目标函数。
df (callable)：目标函数的导数。
x0 (float)：初始点。
tol (float)：迭代停止的容差范围，默认为 1e-6。
返回：float：函数的最大值。
"""x = x0fx = f(x)dfx = df(x)while abs(dfx) > tol:if dfx > 0:x = x - tol * dfxelse:x = x + tol * dfxfx = f(x)dfx = df(x)return fx# 定义目标函数和导数def f(x):return x ** 2 - 2 * xdef df(x):return 2 * x - 2# 调用 find_maxima 函数求解最大值x0 = 0max_value = find_maxima(f, df, x0)print("最大值为：", max_value)```在上述代码中，`find_maxima` 函数接受目标函数`f`、目标函数的导数 `df`、初始点 `x0` 和容差范围 `tol` 作为参数。
在函数内部，通过不断迭代更新`x` 的值，使目标函数的导数趋近于 0，从而找到函数的最大值。
请注意，上述代码仅演示了求解一元函数最大值的情况。
如果是多元函数的最优化问题，需要使用更复杂的方法，如牛顿法、梯度下降法等。
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成立，则牛顿法产生的序列收敛于x。
证明：牛顿算法映射定义为 A( x) x 2 f ( x) 1 f ( x) 定义解集合 {x }，令函数 ( x) x x 。 下证 ( x)是关于解集合和算法A的下降函数。
令x X ，且x x，又令y A( x)。因为f ( x ) 0 y x x 2 f ( x ) 1 f ( x) x ( x x ) 2 f ( x )1[f ( x) f ( x )] 2 f ( x ) 1[f ( x ) f ( x ) 2 f ( x)( x x)] y x 2 f ( x) 1 f ( x ) f ( x) 2 f ( x)( x x ) k1k2 x x x x 因此 ( x)为下降函数。 由定义y X , 故迭代产生的序列 x ( k ) X 。易知 X 为紧集，因此迭代产生的序列含于紧集中。 又算法A在紧集X 上是闭的， 所以迭代产生的序列 x ( k ) 必收敛于x。
步骤:
1.给定初点x
(k )
( 0)
E , 允许误差 0, 置k 0。
n
2.若 f ( x ) ，则停止计算；否则，转3。
3.计算 x
( k 1)
x
(k )
f ( x ) f ( x )，
2 ( k ) 1 (k )
置k : k 1，返回2。
例 : 求 min f ( x ) x 25 x
(k ) (k )
(k ) f ( x ( k ) k d ( k ) )T d ( k ) 0
得 f ( x ( k 1) )T f ( x ( k ) ) 0 即方向d ( k 1) f ( x ( k 1) )与d ( k ) f ( x ( k ) )正交。
最速下降法的收敛性
设f ( x)是连续可微实函数，解集合 {x | f ( x ) 0}， 定理： 最速下降算法产生的序列 x ( k ) 含于某个紧集，则序列 ˆ 。 x 的每个聚点x
(k )
证明： 最速下降算法A可表示为合成映射 其中D( x) ( x, f ( x))是E 2
f ( x ) 0，且 2 f ( x ) 1 存在。又设x (1)充分接近 x，使得存在k1 , k2 0，满足k1k2 1，且对每一个 x X x x x x (1) x 2 f ( x ) 1 k1和
k2
f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )( x x ) xx
(k )
(k )
，则停止计算；否则， 从x 出发，
(k ) (k ) (k ) (k )
沿d 进行一维搜索，求k，使 f (x
4.令x
( k 1)
k d
(k )
) min f ( x
0
(k )
d
)。
x
k d ，置k : k 1，返回2。
例: 求 min f ( x) ( x1 1) 2 ( x2 1) 2，取x (1) (0,0)T , 0.1. 解:
d ( 2 ) (0, 0)T d ( 2 ) 0 , (1, 1)T 为最优解。
2 ，取x (1) (2,2)T , 0.2. 例: 求 min f ( x) x12 25 x2
k
x(k )
d (k )
k
d (k ) 100 3.84 3.5 0.134
(1)
x d
(1)
(1)
(2 , 2 ) , ( ) (2 1) (2 1) .
(1) (1) T
T
2
2
1 令 ( ) 4(2 1) 4(2 1) 0，得1 2
令x
( 2)
x 1d
(1, 1) .
第二次迭代
f ( x ) E ( x ) Qx b g ( x )
最速下降法表示为
x ( k 1) x ( k ) k d ( k ) x ( k ) k g k 其中g k f x
(k )
(k )
Qx
(k )
b.
T 1 (k ) f x g k x g k Q x ( k ) g k bT x ( k ) g k 2 T g (k ) k gk f x g k 在k T 处达到极小。 g k Qg k)
gk gk T gk g k Qg k
T
引理1 最速下降法满足
2 T g g k k ( k 1) (k ) Ex 1 E x g T Qg g T Q 1g . k k k k
Kantorovich不等式
牛顿法
• 基本思想:用一个二次函数去近似目标函数 f(x),然后精确地求出这个二次函数的极小点. • ----一维搜索函数逼近法中的牛顿法的推广.
设x ( k )是f ( x )的极小点x *的第k次近似，将 f ( x )在x 点作二阶Taylor展开，得
(k )
f ( x ) ( x ) f ( x ) f ( x ) ( x x ) 1 (k ) T 2 (k ) (k ) ( x x ) f ( x )( x x ) 2 为求 ( x )的极小点，令 ( x ) f ( x ( k ) ) 2 f ( x ( k ) )( x x ( k ) ) 0 设 f ( x )可逆，则得
( k 1)
Aa (k ) E x A a
2
1 T 其中E ( x ) x x * Q x x * . 2
1 T 例：考虑二次函数f ( x ) x Qx bT x, 其中 2 0.78 0.02 0.12 0.14 0.02 0.86 0.04 0.06 Q 0.12 0.04 0.72 0.08 0.06 0.08 0.74 0.14 b 0.76,0.08,1.12,0.68
f ( x) 2( x1 1), 2( x2 1)
(1) T T
T
第一次迭代
d
(2, 2) (2, 2) , d
(1)
(1)
2 2
从x (1)出发，沿方向d (1) 进行一维搜索，求步长1。
min ( ) min f ( x d )
0 0
第十章
使用导数的最优化方法
----研究无约束问题最优化方法
解析法：在计算过程中 要用到目标函数的导数 算法 直接法：只用到目标函 数值。
精确一维搜索的一个重要性质：
设f ( x)具有连续的偏导数，且x ( k 1)是从x ( k )出发沿方向 定理： d ( k )作一维搜索而得到的，即 f ( x ( k ) k d ( k ) ) min f ( x ( k ) d ( k ) )， 则f ( x ( k 1) )T d ( k ) 0。
2 1 2 1.92 2 0.003 3 4 0.07 0.07 0.067 0
4 100 0.02 3.84 0.15 0.482 0.14 3.50 0.02 0.134 0
A 令r = , 则 a 2 2 条件数 A a r 1 1. A a r 1
结论：在相继两次迭代中,梯度方向互相正交.
证明：令
( ) f ( x ( k ) d ( k ) )
d ( k ) f ( x ( k ) ) 为求出从x 出发沿方向d 的极小点，令
2 T
其最小特征值a 0.52, 最大特征值A 0.94 A a 0.081 Aa 每次迭代将使目标函数的误差减至十分之一以上. 等价于每次迭代将增加大约一位数字的精确度.
k 0 1 2 3 4 5 6
f x 0
(k )
2.1563635 2.1744062 2.1746440 2.1746585 2.1746595 2.1746595
2 (k )
(k )
(k ) T
(k )
x
( k 1)
x
(k )
f ( x ) f ( x )。
2 ( k ) 1 (k ) 2 ( k ) 1 (k )
牛顿 方向
令d
(k )
f ( x ) f ( x )
定理： 设f ( x )为二次可微函数，x E n，x 满足
非二次情形 设f ( x)存在连续二阶偏导数，x 是局部极小点， 定理：
Hesse矩阵 2 f ( x )的最小特征值a 0，最大特征值 为A，算法产生的序列 x ( k ) 收敛于点x，则目标函 数值的序列 f x
(k )
以不大于
2
Aa A a 的收敛比线性的收敛于f ( x )。
n En En
A MD
n n En
的映射，算法M 是E E 2
的映射(即一维搜索)。 当d f ( x) 0时，由定理M 是闭映射。由于f ( x)是连续可微函数， 所以D连续， A在x(f ( x) 0)处是闭的。 其次，当x 时，d f ( x) 0,因此对于y A( x)，必有f ( y ) f ( x)， 即f ( x)是关于和A的下降函数。 由假设， x( k ) 含于紧集中，所以算法收敛。
最速下降法
最速下降方向