第十二讲代数法解题

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初中数学代数解题技巧归纳

初中数学代数解题技巧归纳代数是数学的一个重要分支，而代数解题是数学学习中不可忽视的部分。

初中阶段正是学习代数的关键时期，因此掌握一些常用的代数解题技巧对学生来说是必不可少的。

本文将对初中数学代数解题技巧进行归纳总结，希望对广大初中生的数学学习有所帮助。

1. 代数字母的含义在求解代数题目时，首先要明确每一个字母所代表的含义。

常见的字母代表包括：x、y、z代表未知数，即我们需要求解的值；a、b、c代表已知数，即题目中给出的数值。

理解字母的含义有助于理解题目、分析问题和建立方程。

2. 代数基本运算代数中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。

掌握这些运算的规则是解决代数题目的基础。

需要特别注意的是，当两个负数相乘或相除时，结果为正数，当一个正数与一个负数相乘或相除时，结果为负数。

3. 一元一次方程一元一次方程是初中数学中最常见的代数题型之一。

一元一次方程的一般形式为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

解一元一次方程可以采用逆运算法。

首先，将方程中的常数项移到等号的另一侧。

然后，将x系数的前面的系数约掉，使得系数为1。

最后将方程两边乘以逆元素，求解出未知数x的值。

例如，对于方程2x + 3 = 7，首先可以将方程转化为2x = 7 - 3，再化简为2x = 4。

然后将方程两边都除以2，得到最终答案x = 2。

4. 一元一次方程组一元一次方程组由多个一元一次方程组成，其中每个方程都是一组等式。

求解一元一次方程组的关键是联立方程求解。

通过使用消元法或代入法，可以将方程组转化为只有一个未知数的一元一次方程，然后按照前文提到的求解一元一次方程的方法得到结果。

例如，对于方程组2x - y = 9和3x + y = 15，可以将第二个方程中的y表示为y = 15 - 3x，然后将其代入第一个方程得到2x - (15 - 3x) = 9。

再通过化简、整理，解出x的值，再带回方程得到y的值。

5. 因式分解和配方法因式分解和配方法在代数解题中应用广泛。

2014 暑假四年级精英班第12讲列方程解应用题(一) 教师版

第十二讲列方程解应用题（一）知识要点：从三年级开始，我们学习了各种类型的应用题，如和倍差倍、植树、盈亏、鸡兔同笼、年龄、还原、行程等，总体说来，往往用的是逆向思维的方法，有利于我们训练逻辑思维能力。

而列方程解应用题，用的是顺向思维来思考问题，思路比较简单直接。

列方程解应用题的基本思路是：首先用字母代替待求的未知数，然后沿着题目的条件找出等量关系，并将字母当作已知数建立方程，进而算出未知数的值。

列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。

解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。

针对方程是代数思想的重要体现，我们在小学阶段四、五年级各设一讲，系统地讲解方程及其应用。

列方程解应用题的主要步骤是：(1)仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；(2)设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其它量；(3)找到题目中的等量关系，建立方程；(4)运用加减法、乘法的互逆关系解方程；(5)通过求到的关键量求得题目答案；(6)检验答案。

一、基础应用【例1】大林请三名同学去看电影，买完票之后还剩下一张10元钱、一张5元钱和两张1元钱。

这时又来了两名同学，大林也想请他们一起看，可是他发现还差3元钱。

请问：大林一共有多少钱？【解析】设一张电影票的价格是x 元；由题意，得()()31105123123x x ++++⨯=++-；解得10x =；所以大林一共有()1041051257⨯+++⨯=或()1042357⨯+-=元钱。

【例2】有两款数码相机，一款是高档专业相机，一款是普通家用相机。

家用相机价格较低，比专业相机便宜了4600元。

买1台专业相机的钱足够买4台家用相机，而且还能剩下100元。

请问：专业相机的价格是多少？【解析】设家用相机的价格是x 元，则专业相机的价格是()4100x +元；由题意，得()41004600x x +-=；解得1500x =元。

中考备考数学总复习第12讲二次函数(含解析)

第12讲二次函数[锁定目标考试]考标要求考查角度1.理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质． 3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 二次函数是中考考查的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.[导学必备知识]知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y ＝______________(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．二次函数的两种形式：(1)一般形式：____________________________；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________．二、二次函数的图象及性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线x ＝－b 2a 直线x ＝－b 2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a增减性当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b 2a时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a 当x ＝－b 2a 时，y 有最______值4ac －b 24a三、二次函数图象的特征与a ，b ，c 及b 2－4ac 的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的________和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1．设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．2．设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．3．设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h )2＋k (a ≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．六、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是抛物线与x 轴交点的________．3．当Δ＝b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点坐标分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝________，x 1·x 2＝________.自主测试1．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0,1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－32. 如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b 2-4ac ＞0；(2)c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个3．当m ＝__________时，函数y ＝(m －3)xm 2－7＋4是二次函数．4．(上海)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．5．(广东珠海)如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B ．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．[探究重难方法]考点一、二次函数的图象及性质【例1】 (1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )A ．(－1,8)B ．(1,8)C ．(－1,2)D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b 2a＝－－62×(－3)＝－1， 4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A ．(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∴y1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法总结1.将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－b2a ，顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是()A．a＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根据－b2a＝－1，推出b＝2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2小明从如图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，观察得出了下面五个结论：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你认为其中正确的结论有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2＋(3)2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)． (2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标．考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)．(2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．触类旁通5一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．[品鉴经典考题]1．(湖南株洲)如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1,0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标是( )A ．(－3,0)B ．(－2,0)C ．x ＝－3D ．x ＝－2 2．(湖南郴州)抛物线y ＝(x －1)2＋2的顶点坐标是( )A ．(－1,2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1,2)3. (湖南娄底)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1x 2＝12.(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．4．(湖南长沙)在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40－x ，25≤x ≤30，25－0.5x ，30<x ≤35(年获利＝年销售收入－生产成本－成本)．(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？(2)求该公司第一年的年获利W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式，并说明的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？(3)第二年，该公司决定给希望工程捐款Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．5. (湖南湘潭)如图，抛物线y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为(4,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；(3)若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．[研习预测试题]1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( )A ．(3，－4)B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( )A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．参考答案【知识梳理】一、ax 2＋bx ＋c (1)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) (2)(h ，k )二、小大三、y 轴左右四、形状六、2.横坐标 4.－b a c a导学必备知识自主测试1．C2．D ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0；与y 轴交点在(0,0)与(0,1)之间，∴0＜c ＜1，∴(2)错；∵－b 2a ＞－1，∴b 2a＜1，∵a ＜0，∴2a ＜b ，∴2a －b ＜0；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故选D.3．－3 由题意，得m 2－7＝2且m －3≠0，解得m ＝－3.4．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)．∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.探究考点方法触类旁通1.D触类旁通2.C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0.由题图知当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13， ∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0. 又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3.A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4.解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0. ∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3. ∴m ＝6.(2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)．触类旁通5.解：(1)(10＋7x ) (12＋6x )(2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x .(3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4，∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．品鉴经典考题1．A 点A 到对称轴的距离为2，由抛物线的对称性知，另一个交点的横坐标为－3，所以另一个交点坐标为(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x 1＋x 2＝m 2－2，x 1x 2＝－2m .∵1x 1＋1x 2＝12，即x 1＋x 2x 1x 2＝12， ∴m 2－2－2m ＝12，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝1时，y ＝x 2＋x －2，得A (－2,0)，B (1,0)；当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去．∴这个二次函数的解析式为y ＝x 2＋x －2.(2)由(1)得A (－2,0)，B (1,0)，C (0，－2)．假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC ，根据平移知识可得P (－1,2)，经验证P (－1,2)在直线y ＝x ＋3上，故在直线y ＝x ＋3上存在一点P (－1,2)，使四边形P ACB 为平行四边形．4．解：(1)当x ＝28时，y ＝40－28＝12.所以，产品的年销售量为12万件．(2)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20)－25－100＝－x 2＋60x －925＝－(x －30)2－25，故当x ＝30时，W 最大为－25，即公司最少亏损25万元；②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20)－25－100＝－12x 2＋35x －625＝－12(x －35)2－12.5，故当x ＝35时，W 最大为－12.5，及公司最少亏损12.5万元，综上所述，的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万元；(3)①当25≤x ≤30时，W ＝(40－x )(x －20－1)－12.5－10＝－x 2＋61x －862.5，令W ＝67.5，则－x 2＋61x －862.5＝67.5，化简得x 2－61x ＋930＝0，x 1＝30，x 2＝31，此时，当两年的总盈利不低于6.75万元时，x ＝30.②当30＜x ≤35时，W ＝(25－0.5x )(x －20－1)－12.5－10＝－12x 2＋35.5x －547.5，令W ＝67.5，则－12x 2＋35.5x －547.5＝67.5，化简得x 2－71x ＋1 230＝0，x 1＝30，x 2＝41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元时，30＜x ≤35.所以，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x ≤35.5．解：(1)将点B (4,0)代入y ＝ax 2－32x －2(a ≠0)中，得a ＝12.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2. (2)∵当12x 2－32x －2＝0时，解得x 1＝4，x 2＝－1， ∴A 点坐标为(－1,0)，则OA ＝1.∵当x ＝0时，y ＝12x 2－32x －2＝－2，∴C 点坐标为(0，－2)，则OC ＝2.在Rt △AOC 与Rt △COB 中，OA OC ＝OC OB ＝12， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB .∴∠ACO ＝∠CBO .∴∠ACB ＝∠ACO ＋∠OCB ＝∠CBO ＋∠OCB ＝90°.∴△ABC 为直角三角形．∴△ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫32，0.(3)连接OM .设M 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，12x 2－32x －2，则S △MBC ＝S △OBM ＋S △OCM －S △OBC ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12x 2＋32x ＋2＋12×2×x －12×2×4 ＝－(x －2)2＋4.∴当x ＝2时，△MBC 的面积有最大值为4，点M 的坐标为(2，－3)．研习预测试题1．A 2.C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D.4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2， ∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y 取得最大值，②错误． 7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b －2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧ a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t . ∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295. ∴10－t ＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x ＝2或顶点的横坐标为2；都经过A (1,0)，B (3,0)两点．②线段EF 的长度不会发生变化．∵直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，∴kx 2－4kx ＋3k ＝8k ，∵k ≠0，∴x 2－4x ＋3＝8，解得x 1＝－1，x 2＝5.∴EF ＝x 2－x 1＝6，∴线段EF 的长度不会发生变化．。

代数方法解题

代数方法解题【引言】在数学领域，代数方法是一种广泛应用于解决各种数学问题的方法。

它不仅可以帮助我们更好地理解问题，还可以简化问题的解决过程。

本文将介绍代数方法解题的基本原理，以及如何在实际问题中运用代数方法。

【代数方法解题的基本原理】代数方法解题的核心是将问题转化为数学表达式，并通过运算和变换来求解。

这包括以下几个步骤：1.分析问题，找出关键信息，明确已知和未知条件。

2.建立数学模型，将问题转化为代数方程或不等式。

3.化简和整理方程或不等式，寻求解法。

4.求解方程或不等式，得到问题的解答。

【常见代数问题的解决方法】在实际解题过程中，常见的代数问题包括方程与不等式的求解、函数与导数、概率与统计等。

针对这些问题，我们可以采用以下方法：1.方程与不等式的求解：利用代数运算、因式分解、配方法、换元法等方法求解方程和不等式。

2.函数与导数：分析函数的性质，如单调性、奇偶性等；求解函数的极值、最值问题；利用导数研究函数的单调性、极值等问题。

3.概率与统计：运用概率论的基本原理和方法解决随机事件、条件概率等问题；运用统计学方法分析数据，得出结论。

【代数方法在实际应用中的案例分析】以下是一个代数方法在实际问题中的应用案例：问题：一家公司生产的产品销售额与广告投入之间存在一定关系。

已知去年销售额为200万元，广告投入为10万元，今年销售额为250万元，广告投入为15万元。

请问广告投入与销售额之间是否存在线性关系？解答：步骤1：分析问题，找出关键信息。

已知去年和今年的销售额及广告投入金额。

步骤2：建立数学模型。

设广告投入与销售额之间的线性关系为：销售额= a * 广告投入+ b。

步骤3：利用已知条件求解方程。

将去年和今年的数据代入方程，得到以下方程组：200 = a * 10 + b250 = a * 15 + b步骤4：解方程组，求得参数a和b的值。

步骤5：验证线性关系。

将求得的参数a和b带入原方程，分析广告投入与销售额之间的线性关系。

代数法解题的常用方法和技巧

代数法解题的常用方法和技巧
代数法解题是数学中最常用的方法之一，它可以帮助我们解决复杂的数学问题。

下面介绍一些常用的代数法解题方法和技巧。

首先，要解决代数问题，需要先了解问题的背景，把问题分解成一个个小问题，然后再一步步解决。

其次，要把问题分解成一个个小问题，可以使用代数的基本概念，如等式、不等式、方程、函数等，来分析问题，从而找出问题的解决方案。

此外，在解决代数问题时，要注意把握好等式的结构，把等式的左右两边分别拆分成几个因子，然后再把这些因子进行组合，从而得出结果。

另外，要注意把握好等式的结构，把等式的左右两边分别拆分成几个因子，然后再把这些因子进行组合，从而得出结果。

最后，在解决代数问题时，要注意把握好等式的结构，把等式的左右两边分别拆分成几个因子，然后再把这些因子进行组合，从而得出结果。

此外，要注意把握好等式的结构，把等式的左右两边分别拆分成几个因子，然后再把这些因子进行组合，从而得出结果。

总之，代数法解题是一种有效的解决复杂数学问题的方法，它可以帮助我们更好地理解问题，找出问题的解决方案。

要想更好地解决代数问题，就要掌握好代数法解题的常用方法和技巧。

初中数学代数题解题方法梳理

初中数学代数题解题方法梳理代数是数学中的一个重要分支，它涉及到运算符号和未知数的运算和关系。

在初中数学中，代数是一个非常重要的内容，也是同学们常常感到困惑的学科。

为了帮助同学们更好地掌握代数题的解题方法，下面将对初中数学代数题的解题方法进行梳理。

一、解一元一次方程解一元一次方程是初中代数中最常见的题型之一。

一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

解一元一次方程的基本步骤如下：1. 整理方程：将方程的各项都移到等号的一边，使得方程变为形如ax = b的形式。

2. 求解：将等号的一边除以系数a，得到x = b / a，即为方程的解。

需要注意的是，如果方程的系数是分数，为了简化计算，我们可以通过乘以分母的方法将方程转化为整数系数的方程。

二、解一元二次方程解一元二次方程是初中代数中的重点内容，一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0。

解一元二次方程的常见方法有如下几种：1. 因式分解法：当方程存在两个整数根时，可以使用因式分解法来解题。

首先求出方程的两个因子，然后令两个因子分别等于零，解出两个未知数的值，即可得到方程的解。

2. 公式法：当方程不存在整数根时，可以使用公式法来解题。

一元二次方程的解可以通过求根公式来求解，即x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。

根据判别式Δ = b² - 4ac 的正负可以判断出方程的解的情况。

3. 完全平方公式：当方程可以写成完全平方的形式时，可以使用完全平方公式来解题。

完全平方公式是指形如(x ± a)² = b的方程，可以通过开方来解出x的值。

三、解分式方程解分式方程是初中代数中的难点内容，分式方程的未知数包含在分数中。

解分式方程的基本步骤如下：1. 求分母的最小公倍数：将分母化简为相同的分母。

2. 去分母：将方程的两边同乘以分母的最小公倍数，将分数消去。

代数法解题

代数法解题
代数法是一种用代数方法解决问题的数学方法。

它通过建立方程或不等式来描述问题，并通过求解这些方程或不等式来得到问题的解。

使用代数法解题的一般步骤如下：
1. 理解问题：仔细阅读问题，确保理解问题的要求和条件。

2. 定义变量：选择一个或多个变量来表示问题中的未知数或需要求解的量。

3. 建立方程或不等式：利用已知条件和所定义的变量，建立代数方程或不等式来描述问题。

4. 解方程或不等式：通过运用代数知识和解方程或不等式的方法，求解方程或不等式，得到变量的值。

5. 检查答案：将求得的变量值代入原方程或不等式中，验证是否满足问题的要求。

6. 给出解答：根据问题的要求，给出最终的解答。

需要注意的是，在代数法中，我们需要根据具体问题的性质和要求选择适当的代数方法和技巧，比如因式分解、配方法、消元法等。

此外，代数法也常常与几何问题相结合，通过建立代数关系来解决几何问题。

希望以上介绍对您有所帮助！。

数学--代数法解题

代数法解题一、知识要点有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。

二、精讲精练【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有4/5合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，列方程求解。

解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。

（x+12）×4/5+x＝424/5x+9+x＝429/5x＝42－9又3/5x＝1818+12＝30（个）答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。

【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少1/4，女生减少1/6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。

解：设女生有x人，则男生有（x+10）人（1－1/6）x＝（x+10）×（1－1/4）x＝9090+90+10＝190人答：原来一共有190名学生在阅览室看书。

【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的1/5比乙校参加人数的1/4少1人，甲、乙两校各有多少人参加？【思路导航】这题中的等量关系是：甲×1/5＝乙×1/4－1解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。

1/5x＝（22－x）×1/4－1x＝1022－10＝12（人）答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。

高中数学代数方程式的解题技巧

高中数学代数方程式的解题技巧在高中数学学习中，代数方程式是一个重要的内容，也是学生们常常遇到的难题之一。

解决代数方程式需要一定的技巧和方法，下面我将以具体的题目为例，介绍一些解题技巧，帮助大家更好地理解和掌握代数方程式的解题方法。

一、一元一次方程一元一次方程是最基础的代数方程式，其一般形式为ax + b = 0。

下面以一个具体的题目为例：例题：求解方程3x + 2 = 0。

解题思路：对于一元一次方程，我们可以通过移项和化简的方法求解。

首先，将方程中的常数项移到等号的另一侧，得到3x = -2。

然后，再通过除以系数的方法，消去x前面的系数，得到x = -2/3。

所以，方程的解为x = -2/3。

解题技巧：对于一元一次方程，我们可以通过移项和化简的方法求解。

在移项时，我们需要将常数项移到等号的另一侧，使得方程变为ax = -b的形式。

然后，通过除以系数的方法，消去x前面的系数，得到方程的解。

二、一元二次方程一元二次方程是高中数学中较为复杂的代数方程式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0。

下面以一个具体的题目为例：例题：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

解题思路：对于一元二次方程，我们可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。

对于这个例题，我们可以通过因式分解的方法求解。

首先，将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

然后，根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。

所以，方程的解为x = 2或x = 3。

解题技巧：对于一元二次方程，我们可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解。

在因式分解时，我们需要将方程化为两个因式相乘的形式，然后根据乘积为零的性质，得到方程的解。

三、一元高次方程一元高次方程是高中数学中较为复杂的代数方程式，其一般形式为ax^n +bx^(n-1) + ... + c = 0。

下面以一个具体的题目为例：例题：求解方程x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0。

数学学科中的代数方程和解题方法

数学学科中的代数方程和解题方法数学作为一门学科，包含着众多的分支和领域，其中代数方程是数学中的重要内容之一。

代数方程是指含有未知数和系数的方程，通过对方程进行变换和求解，可以得到未知数的值。

在数学中，代数方程的研究具有重要的理论和实际意义，可以应用于各个领域，如物理学、经济学等。

一、代数方程的基本概念和分类代数方程是数学中的一种基本概念，它由未知数和系数组成。

未知数是指在方程中未知的量，用字母表示；系数是指未知数前面的常数。

代数方程可以分为一元方程和多元方程两种。

一元方程是指只含有一个未知数的方程，它的一般形式为：ax + b = 0，其中a 和b为已知常数。

一元方程是最简单的代数方程，求解一元方程的方法也是最基本的解题方法之一。

多元方程是指含有多个未知数的方程，它的一般形式为：f(x1, x2, ..., xn) = 0，其中f为已知函数。

多元方程的求解相对复杂，需要借助于更高级的数学工具和技巧。

二、代数方程的解题方法1. 一元方程的解题方法求解一元方程的方法有多种，常见的有等式两边加减法、等式两边乘除法、移项法等。

下面以一元一次方程为例进行说明。

首先，对于一元一次方程ax + b = 0，可以通过等式两边加减法将未知数的项移到一边，常数项移到另一边，得到ax = -b。

然后，通过等式两边乘除法将未知数的系数消去，得到x = -b/a。

最后，求得未知数的值。

除了基本的解题方法外，还可以通过图像法、代数法等方法求解一元方程。

图像法是通过绘制方程的图像，通过图像的交点来求解方程。

代数法是通过变量代换和等式变换来求解方程。

2. 多元方程的解题方法求解多元方程相对复杂，需要借助于更高级的数学工具和技巧。

常见的多元方程包括二元一次方程、二元二次方程等。

对于二元一次方程ax + by = c和dx + ey = f，可以通过联立方程组的方法求解。

联立方程组是将两个方程同时考虑，通过变量消去或代入的方式求解未知数的值。

如何选择正确的解法来解决代数问题

如何选择正确的解法来解决代数问题代数问题在数学中占有重要的地位，是许多学生认为较难的一个领域。

然而，只要我们掌握了选择正确的解法，就能够轻松地解决代数问题。

本文将通过讨论几种常见的代数问题解法，以帮助读者选择正确的解法来解决代数问题。

一、代数问题的分类在选择正确的解法之前，让我们先来了解一下代数问题的分类。

一般而言，代数问题可以分为一元一次方程、一元二次方程和不等式三个大的类别。

每个类别都有其特定的解法，需要根据问题的具体要求来选择合适的解法。

二、一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的代数问题之一。

解决一元一次方程时，我们可以通过移项、合并同类项和分离变量等方法来求得解。

其中，移项是指将方程中的项全部移到一个侧边，合并同类项是指将具有相同未知数的项合并，分离变量是指将包含未知数的项分离出来。

根据具体情况，我们可以选择其中一种或多种方法来求解一元一次方程。

三、一元二次方程的解法一元二次方程比一元一次方程稍复杂一些，但也有相应的解法。

对于一元二次方程，可以通过因式分解、二次根式和配方法等方法来解决。

其中，因式分解是将一元二次方程进行因式分解，找到方程的两个根，二次根式是通过计算方程的判别式来求得方程的根，配方法是通过将方程配成完全平方的形式，从而求得方程的根。

选择合适的方法对于解决一元二次方程至关重要。

四、不等式的解法除了方程外，不等式也是代数问题中常见的一种形式。

对于不等式问题，我们可以通过图像法、代数运算法和试值法等方法来解决。

图像法是通过绘制不等式的图像，来确定不等式解的范围；代数运算法是通过代数变换来求解不等式，比如加减乘除等运算；试值法是通过试验各个可能的解，来确定不等式的解集。

针对不同的问题，我们应选择适合的方法来解决不等式。

五、选择正确的解法在解决代数问题时，我们需要根据问题的具体要求来选择合适的解法。

首先，我们需要将问题归类为一元一次方程、一元二次方程或不等式等类型；然后，根据各种类型的解法，选择合适的方法来解决问题。

数学学习中的代数方程解题方法

数学学习中的代数方程解题方法教案主题：数学学习中的代数方程解题方法引言：数学是一门需要理性和逻辑思维的学科，而代数方程作为数学的一个重要分支，是解决实际问题的关键。

本教案将介绍数学学习中常见的代数方程解题方法，帮助学生提高问题解决能力。

一、概述解题方法是指在解决问题时所采用的思维策略和步骤。

在数学学习中，我们遇到的问题大多数都可以通过代数方程来求解。

因此，了解代数方程解题的方法非常重要。

二、一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的代数方程。

常见的解题方法包括等价变形法、折线图法以及图形解法。

其中，等价变形法适用于大部分的一元一次方程解题，通过逐步变换等式两边的式子，使方程变为形如“x=数”的形式，进而找出未知数的解。

三、一元二次方程的解法一元二次方程的解法相对复杂一些。

在解题时，可以运用求解一元二次方程的传统方法，如配方法和因式分解法；也可以使用图像法，即通过绘制一元二次方程的图像，根据图像与坐标轴的交点求解方程的解。

四、应用题的解题方法在实际问题中，我们经常遇到需要建立数学模型来求解的问题。

解决这类问题时，可以通过列方程和方程求解的方法来求解，具体包括代数方程的建立和解方程。

五、高次代数方程的解法对于高次代数方程，我们需要借助定理来求解。

常见的方法包括韦达定理、根与系数的关系以及因式定理等。

通过对高次方程进行简化和转化，再应用相应的定理，可以找到方程的解。

六、多元方程组的解法多元方程组由多个方程组成，是一种常见的数学问题。

我们可以通过代数运算、等价变形等方法来解决多元方程组。

另外，还可以使用矩阵运算和高斯消元法等方法求解。

七、小结代数方程解题方法是数学学习中的重要内容，它们帮助我们解决实际问题。

在学习和应用代数方程的解题方法时，我们需要灵活运用各种数学工具和知识，提高解题的准确性和效率。

结语：通过本节课的学习，我们了解了数学学习中常见的代数方程解题方法，包括一元一次方程、一元二次方程、应用题、高次代数方程和多元方程组的解法。

数学代数方程的解法

数学代数方程的解法数学代数方程是数学中的重要概念，解决数学代数方程的问题是数学领域中的一项基本任务。

本文将介绍几种常见的数学代数方程的解法。

一、一元一次方程的解法一元一次方程是最基本的代数方程形式，通常可以表示为ax + b = 0，其中a和b是已知常数。

解这类方程可以通过移项、化简等步骤来实现。

通过将方程两边加上相反数b，然后除以系数a，即可得到方程的解x= -b/a。

例如，对于方程2x + 3 = 0，可以将方程两边减去3，得到2x = -3，然后再除以2，即可得到x = -3/2。

二、一元二次方程的解法一元二次方程是一种常见的数学代数方程形式，通常可以表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，且a ≠ 0。

解这类方程可以通过求根公式、配方法等步骤来实现。

1. 求根公式法：一元二次方程的解可以通过求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)来求解。

其中，b^2 - 4ac被称为判别式。

当判别式大于0时，方程有两个不同实根；当判别式等于0时，方程有两个相同实根；当判别式小于0时，方程无实根。

例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，根据求根公式可以计算判别式：b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-3) = 16。

由于判别式大于0，因此方程有两个不同实根。

通过代入求根公式，可以得到x = (-2 ± √16)/(2*1)，即x = (-2 ± 4)/2。

解得x1 = 1，x2 = -3，即方程的两个根分别为1和-3。

2. 配方法：对于一些特定的一元二次方程，可以使用配方法进行求解。

配方法的核心思想是通过构造完全平方来简化方程。

例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，可以将x^2 + 4x + 4表示为(x + 2)^2 = 0。

通过开方的方式求解，可得(x + 2) = 0，即x = -2。

因此，方程的解为x = -2。

初中数学教案解决实际问题的代数方法

初中数学教案解决实际问题的代数方法代数方法在解决实际数学问题时起着重要的作用。

本文将介绍一些初中数学教案中常用的代数方法，以解决实际问题。

无论是简单的线性方程问题还是复杂的应用题，使用代数方法可以帮助学生更好地理解和解决问题。

一、代数符号的引入在初中数学教案中，通常会引入代数符号来表示问题中的未知数。

通过引入代数符号，可以将实际问题转化为数学问题，从而更便于解决和分析。

举个例子，假如有一个问题：一个矩形的长是宽的3倍，如果矩形的周长是24厘米，求矩形的长和宽。

我们可以引入代数符号，假设矩形的宽为x，则矩形的长为3x。

根据周长的定义，周长等于两倍的长加两倍的宽，可以得到方程2(3x+x)=24。

通过解方程，可以得到矩形的宽为4厘米，长为12厘米。

二、一次方程的应用在初中数学教案中，一次方程经常被用来解决实际问题。

一次方程是指未知数的最高次数是1的方程，可以表示为ax+b=0的形式。

举个实际问题的例子：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了t小时后与另一辆以每小时80公里的速度行驶的汽车在同一地点相遇。

求与其相遇时两辆汽车已经行驶的距离。

我们可以设另一辆汽车行驶的时间为t1小时，则相遇时的距离为60t=80t1。

通过解这个方程，我们可以得到t1=t/4，意味着另一辆汽车行驶的时间是总时间的四分之一。

将t1代入60t=80t1中，即可得到相遇时两辆汽车已经行驶的距离为60t=80(t/4)=20t。

三、解决多项式问题在初中数学教案中，多项式经常被用来解决实际问题。

多项式是由变量和常数通过加法、减法和乘法运算得到的表达式。

举个实际问题的例子：小明用积木搭建一个长方体，长和宽分别为x和2，体积是5x²+25x+30，求长方体的高。

我们可以使用多项式的因式分解来解决这个问题。

观察多项式5x²+25x+30，发现可以因式分解为(x+3)(5x+10)。

根据长方体的定义，体积等于长乘以宽乘以高，即体积等于x*2*h=2xh。

代数方程解代数方程

代数方程解代数方程代数方程是数学中的重要概念，它描述了含有未知数的带有运算符的等式。

解代数方程的过程是找到使等式成立的未知数的值。

在本文中，我们将讨论代数方程的解法以及一些常见的代数方程类型。

一、一元代数方程的解法一元代数方程是只含有一个未知数的代数方程。

解一元代数方程的常用方法包括平方根法、因式分解法、配方法、求根公式方法等。

1. 平方根法：对于形如x²=a的方程，可通过取平方根的方式求解。

例如，对于方程x²=16，我们可以得到x=±4。

2. 因式分解法：对于形如ax²+bx+c=0的方程，可通过将其因式分解并利用因式分解的性质求解。

例如，对于方程x²+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0，从而得到x=-2或x=-3。

3. 配方法：对于形如ax²+bx+c=0的方程，可通过配方法将其转化为完全平方形式。

例如，对于方程x²+6x+9=0，我们可以通过配方法将其转化为(x+3)²=0，从而得到x=-3。

4. 求根公式方法：对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以利用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求解。

例如，对于方程x²-5x+6=0，可以得到x=2或x=3。

二、多元代数方程的解法多元代数方程是含有多个未知数的代数方程。

解多元代数方程的方法包括代入法、消元法、高斯-约当消元法等。

1. 代入法：对于多元代数方程组，可通过将其中一个方程的解代入其他方程，逐步求解未知数的值。

例如，对于方程组{2x+y=5x-3y=1}，可先求得y=5-2x，然后将y的值代入第二个方程，得到x=2。

从而得到方程组的解为{x=2，y=5}。

2. 消元法：对于多元代数方程组，可通过逐步消元的方式，将方程组化简为只含有一个未知数的方程。

例如，对于方程组{2x+y=5x-3y=1}，可通过将第二个方程的3倍加到第一个方程上，得到方程3x-8y=-2。

代数方程求解技巧

代数方程求解技巧在数学学习中，代数方程的求解是基础且重要的一环。

掌握一些基本的解题技巧，可以让我们更加高效地解决各类代数问题。

本文将介绍几种常见的代数方程求解技巧，帮助读者提高解题能力。

一、因式分解法对于一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，如果能够将其因式分解为 ( (dx + e)(fx + g) = 0 ) 的形式，那么方程的解可以直接通过解出 ( dx + e = 0 ) 和 ( fx + g = 0 ) 得到。

这种方法适用于当常数项较小，且容易找到因子对的情况。

二、配方法（完成平方）对于标准形式的一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，可以通过配方将其转换为完全平方形式 ( (px + q)^2 = d )，然后开方求解。

具体操作是将 ( bx ) 拆分成两部分，使 ( ax^2 + bx ) 成为完全平方项。

三、求根公式法对于任意一元二次方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，无论其是否可以因式分解，都可以直接应用求根公式：[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]来求解。

这个公式适用于所有情况，是最通用的方法。

四、图形法利用图形计算器或绘图软件，可以绘制出一元二次方程的图像，通过观察图像与 x 轴的交点，快速得出方程的解。

这种方法直观易懂，特别适合于初步判断解的个数和大致范围。

五、代入法和消元法对于多元一次方程组，可以通过代入法或消元法来求解。

代入法是将一个方程的解代入另一个方程中，逐步求解未知数；消元法则是通过加减乘除等操作，减少未知数的个数，简化方程组。

六、矩阵法对于线性方程组，可以使用矩阵表示方程组，并通过矩阵运算（如高斯消去法）来求解。

这种方法在处理大量线性方程时尤为有效。

七、特殊值代入法在选择题或是验证某个解是否正确时，可以尝试将特殊值代入方程中，看是否满足所有方程。

这种方法简单快捷，但只适用于特定情况。

代数题解决方案

代数题解决方案引言代数是数学的一个重要分支，涉及到数与符号的关系和运算规则等等。

在学习代数的过程中，常常会遇到各种各样的代数题，需要我们应用代数的知识和方法来解决。

本文将介绍一些常见的代数题解决方案，以帮助读者更好地理解和应用代数知识。

代数题类型分析在解决代数题之前，我们首先需要了解题目的类型。

常见的代数题可以分为以下几类：1.简单的代数运算：包括基本的四则运算、整式的加减乘除等。

2.求未知数：根据已知条件列方程求未知数的值。

3.求函数值：已知函数表达式，计算给定自变量对应的函数值。

4.求解等式或方程组：通过代数方法求解一元或多元方程，确定未知数的值。

5.函数图像与性质分析：根据函数的表达式或图像，分析函数的性质，如增减性、奇偶性等。

针对不同类型的代数题，我们需要采用不同的解题方法和思路。

下面将具体介绍每种类型代数题的解题方案。

简单的代数运算对于简单的代数运算题，我们只需要按照运算规则进行计算即可。

例如，计算以下算式的值：3 +4 * (5 - 2)按照运算规则，先计算括号内的值，得到3 + 4 * 3，然后进行乘法和加法运算，最终得到15。

求未知数对于求未知数的代数题，我们需要根据已知条件列方程，并求解方程得到未知数的值。

例如，若已知某数减去3的结果等于7，我们可以列方程求解：x - 3 = 7通过移项和化简，我们可以得到x = 7 + 3从而得到x的值为10。

求函数值对于求函数值的代数题，我们需要根据给定的函数表达式，将给定自变量代入函数中计算得到函数值。

例如，已知函数f(x) = 2x + 3要计算f(4)的值，我们将4代入函数表达式中：f(4) = 2 * 4 + 3 = 11从而得到f(4)的值为11。

求解等式或方程组对于求解等式或方程组的代数题，我们需要运用代数解方程的方法。

例如，已知方程2x + 3 = 7我们可以通过移项和化简来解方程，得到：2x = 7 - 3x = 4 / 2从而得到方程的解x=2。

数学代数解题技巧总结

数学代数解题技巧总结数学代数是数学的一门重要分支，几乎贯穿于整个数学领域。

在学习和解题过程中，我们常常会遇到各种复杂的问题。

本文将总结一些常见的数学代数解题技巧，希望能够帮助同学们更好地理解和解决代数题目。

一、化简与因式分解化简与因式分解是解决代数问题的关键步骤之一。

化简指的是将一个复杂的代数式简化为更简单的形式。

常见的化简技巧包括合并同类项、提取公因子、利用二次平方差公式等。

因式分解则是将一个代数式分解为两个或多个乘积的形式。

例如，对于代数式2x + 4y + 6x + 3y，可以先合并同类项得到8x + 7y，再利用因式分解将其分解为(4x + 3y)(2x + y)。

二、方程与不等式解题技巧解方程和不等式是数学代数中的基础部分。

在解题过程中，需要掌握一些常用的解题技巧。

其中，常见的方程解题技巧包括移项、消元、配方法等。

对于一元二次方程，可以利用求根公式进行求解。

对于不等式，同样可以利用很多技巧进行求解。

常见的技巧包括变形、分析符号等。

需要注意的是，解不等式时可能会出现绝对值不等式，此时需要将不等式分为两个部分分别讨论。

三、函数与图像解题技巧函数与图像是代数中重要的概念。

在解题过程中，掌握一些常见的函数与图像的性质和解题技巧是非常有用的。

首先是函数的性质。

函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等都是解题过程中需要注意的。

属性，掌握这些性质可以帮助我们更好地理解函数，并在解题时引入适当的条件。

其次是图像的性质。

图像的对称性、变化趋势、极值点等特点都是解题的关键点。

常见的技巧包括利用图像的对称性求解关于x和y的方程，以及通过观察图像的特点来确定函数的性质。

四、复数解题技巧复数是代数中的重要概念之一。

在解决一些代数问题时，会遇到复数解的情况。

对于一元二次方程，如果其判别式小于0，则可以利用复数解进行求解。

复数解题的关键在于掌握复数与实数的基本运算规则以及复数的各种性质。

例如，复数的共轭性质、虚部为0时的实数性质等。

代数方程的解法

代数方程的解法是数学中的重要内容，它可以帮助我们解决各种数学问题。

在代数学中，方程是一种含有一个或多个未知数的等式，解方程的过程就是找到使得该等式成立的未知数的值。

在本文中，我将介绍几种常见的代数方程的解法。

首先要介绍的是一次方程的解法。

一次方程是指未知数的最高次数为1的方程，例如2x+1=7。

解一次方程的方法很简单，我们可以通过逆运算来得到未知数的值。

对于这个例子来说，我们可以通过先将等式两边减去1得到2x=6，再将等式两边除以2得到x=3。

所以，这个方程的解是x=3。

接下来是二次方程的解法。

二次方程是指未知数的最高次数为2的方程，例如x²+3x+2=0。

解二次方程可以使用因式分解、配方法以及求根公式等多种方法。

其中，求根公式是一种最常用的方法。

以这个例子来说，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)来解这个方程。

将方程的系数带入公式中，我们可以得到x=(-3±√(3²-4·1·2))/(2·1)。

计算这个式子，我们可以得到两个解x=-1和x=-2，所以，这个方程的解是x=-1和x=-2。

除了一次方程和二次方程之外，还有很多其他类型的代数方程，如多项式方程、分式方程等。

要解决这些方程，我们可以使用整理式子、因式分解、公共因子提取等方法。

对于多项式方程，我们可以先将多项式进行因式分解，然后再根据零因子法求出方程的解。

对于分式方程，我们可以通过消去分母的方式将其转化为一般的方程，然后再进行求解。

除了上述方法外，还有一种常用的解方程的方法是图解法。

对于一元一次方程y=ax+b来说，我们可以将其表示为y=mx+c的形式，并在直角坐标系中画出对应的直线。

通过观察直线与坐标轴的交点，我们可以得到方程的解。

如果方程的解存在且唯一，那么直线将与x轴相交于一个点，这个点的横坐标就是方程的解。

如果方程无解，直线将平行于x轴，如果方程有无限多个解，直线将与x轴重合。