第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式试题 理 新人教版 2018版高考数学大一轮复习
高考数学总复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理新人教A版
)
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(1)× (2)× (3)× (4)×
答案
-6知识梳理 考点自测
1 2 3
3π -������ 2 4 B.3
4
5
2.已知 cos A.-3
4
=
3 π , 且|θ|< , 则 tan θ= ( 5 2 3 3 C.-4 D.4
)
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∵cos
3 π ∴sin θ=-5.又|θ|< 2 , 4 3 ∴cos θ=5,则 tan θ=-4.
一 角 二 三 -α 四 π -α 五
π 2
六
π 2
2kπ+α π+ α (k∈Z)
-α
+α
正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α
-sin α -sin α -cos α cos α
tan α -tan α
sin α cos α -cos α sin α
-tan α
cos α -sin α
4.2 同角三角函数的基本关系及 诱导公式
-2知识梳理 考点自测
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α= 1
sin������ (2)商数关系: = cos������
.
π + ������π,������∈Z 2
tan α
������ ≠
.
-3知识梳理 考点自测
2.三角函数的诱导公式
口诀 函数名不变,符号看象限
函数名改变, 符号看象限
-4知识梳理 考点自测
特殊角的三角函数值
角α 角α的
0° 0
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° π
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 理 新人教A版
∴
sin������ cos������
= =
4 5
-
,
3 5
∴tan
,
α=-43.
(2)co
s2
1 ������-si
n
2 ������
= = si n2������+co s2������
co s2������-si n2������
si n 2������ +co s 2������ co s 2������
(1)对任意的角α,β有sin2α+cos2β=1.( )
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
3.关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.
考点1 考点2 考点3
对点训练1(1)已知2sin αtan α=3,则cos α的值是( )
(∴又1)2∵DA(c2.oc)-os已12由sα知α+已∈3tc知a[o-n1s得,αα1=-]B22,-s.=43-i.n1202,α(c=o3scαo+s 2α),(C2c.34os
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答案
-6-
知识梳理 考点自测
12345
2.已知 cos
3π 2
-������
=
3 5
,且|θ|<π2,则
tan
θ=
(
)
A.-43
B.43
C.-34
高中数学-第四章-三角函数、解三角形-第二节-同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[基本知识] 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α()α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．()答案：(1)×(2)×二、填空题1．已知α∈()π2，π，sin α＝35，则tan α＝________.解析：∵α∈()π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34.答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2D ．－k1－k 2 (2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k.故选B. (2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 考法二 知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式()如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧． 考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( )A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0， 所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D.2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×()－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝()－432＋11－()－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825. 突破点二 三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ()3π2＋α等于________．解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ()3π2＋α＝－sin ()π2＋α＝－cos α＝ －35.答案：－352．已知sin ()α＋π6＝45，则sin ()α＋7π6等于________．解析：sin ()α＋7π6＝sin []()α＋π6＋π＝－sin ()α＋π6＝－45.答案：－453．已知tan ()π6－α＝33，则tan ()5π6＋α＝________.解析：tan ()5π6＋α＝tan ()π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α ) ] ＝－tan ()π6－α＝－33.答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝[]sin ()π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ()3π2＋α＋cos (π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为()－π6，π3.[方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( ) A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ()π2－α＝( )A ．2 2B ．－22 C.24D ．±22解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ()π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D.3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A.4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3()π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案：1[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈()－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈()－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ()α－π3＝13，则cos ()α＋π6的值是( )A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ()α－π3＝13，∴cos ()α＋π6＝cos []π2＋()α－π3＝－sin ()α－π3＝－13，故选A.3．(2019·重庆一模)log 2()cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12C.12D.22解析：选B log 2()cos 7π4＝log 2()cos π4＝log 222＝－12.故选B.4．(2019·遵义模拟)若sin ()π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝( )A ．－2425B ．－1225解析：选A ∵sin ()π2＋α＝cos α＝－35，α∈()π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×()－35＝－2425.故选A.5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－95D.95解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.6．(2019·庄河高中期中)已知sin ()α－π12＝13，则cos ()α＋17π12等于( )A.13B.223C ．－13D ．－223解析：选A cos ()α＋17π12＝cos []3π2＋()α－π12＝sin ()α－π12＝13.故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A. 3B.2 C ．3D ．2解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.故选C.2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×()－131－()－132＝－34.故选C.3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A. 4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，则tan α的值是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ()π2＋α＋cos ()3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴α∈()π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43，故选A.5．(2019·平顶山、许昌联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( )A.1－32B.1＋32C. 3D ．－3解析：选B ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋ cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝ 1＋32＝1＋32，故选B. 7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55， 即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：()sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 答案：2339．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈()π2，π，则tan θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－4310．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin ()－π2－α·cos ()－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则 sin α＝________，cos α＝________.解析：sin ()－π2－αcos ()－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.解⎩⎨⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4511．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ()π2－2αcos ()π4＋α的值． 解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈()0，π4， 平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴原式＝cos 2αcos ()π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.12．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B 2＝cos ()π2－C 2＝sin C2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ()π2＋A sin ()3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式练习-人教版
第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[A 级 基础巩固]1．(多选题)若cos(π＋α)＝－12，则sin(α－2π)可以等于()A.12B ．－12 C.32D ．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，所以sin α＝±32，故sin(α－2π)＝sin α＝±32. 答案：CD2．(2020·某某模拟)已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝() A.25B ．－65 C ．－45D ．－125解析：由题意知tan α＝2，所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－2tan 2α＋1＝25. 答案：A3．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B.32C ．－34D.34解析：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， 所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 答案：B4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，又|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D5．(2020·某某重点中学联考)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos(5π14＋α)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫15π14＋α＝()A ．－53B ．－35C.35D.53 解析：由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53.答案：A6．(2020·某某一中月考)已知cos(α＋π)＝25，则sin(2α＋π2)＝()A.725B ．－725C.1725D ．－1725解析：由cos(α＋π)＝25，得cos α＝－25，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－1725.答案：D7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是()A.35B ．－35 C ．－3 D ．3解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝ 1＋tan α1＋tan 2α＝35. 答案：A8．(多选题)已知－π2<θ<π2，则sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0，1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是()A ．－3B ．－13C ．－14D ．－1解析：由sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0，1)， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22， 又－π2<θ<π2，所以0<θ＋π4<π4，从而－π4<θ<0，因此－1<tan θ<0，则满足题目的取值为－13与－14.答案：BC9．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．解析：由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z)，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z)，所以sin β＝sin α＝13.答案：1310．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－3311．(2020·潍坊一中质检)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan αtan β＝________． 解析：因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β， tan αtan β＝2. 答案：212．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2， sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－25[B 级 能力提升]13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝()A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：因为f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，所以a sin α＋b cos β＝1，所以f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.答案：A14．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝()A.15B.55C.255D ．1 解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 所以tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， 所以|a －b |＝55. 答案：B15．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4， 所以m ＝1－ 5. 答案：1－ 5[C 级 素养升华]16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0<α<π4，所以0<sin α<cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：3545。
第4章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
6.(2021·沈阳模拟)已知 2sin(π－α)＝3sinπ2＋α，则 sin2α－21sin 2α－cos2α＝ __－__11_3___.
解析 由 2sin(π－α)＝3sinπ2＋α，得 2sin α＝3cos α.
所以
tan
α ＝ 32 ， 从 而
sin2α
－
1 2
sin
2α
－
cos2α
＝－ cos2A＋sin2A－2sin Acos A
＝－
1－2×－18＝－
5 2.
索引
(3)(2021·兰州诊断)已知 sin α＋cos α＝75，则 tan α＝____43_或__34______. 解析 将 sin α＋cos α＝57两边平方得 1＋2sin αcos α＝4295， ∴sin αcos α＝1225， ∴sisni2nαα＋cocsosα2α＝tatna2nα＋α 1＝1225， 整理得 12tan2α－25tan α＋12＝0，解得 tan α＝43或 tan α＝34.
＝－cos
17°＋cos
17°－
33＝－
3 3.
索引
感悟提升
1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将 2π的整数倍去掉后再进行运算.
所以 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－－232＝ 35.故选 A.
索引
(2)已知 cosπ6－θ＝a(|a|≤1)，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值是____0____.
解析 ∵cos56π＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a， sin23π－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a， ∴cos56π＋θ＋sin23π－θ＝0.
2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系(2024·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125 .[解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨：sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cosx ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 【变式训练】1．已知sin 2θ＝14，且π4<θ<π2，则cos θ－sin θ＝( B )A ．32B ．－32C ．12D ．－12[解析] ∵(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ＝34，∴要求cos θ－sin θ，只需判断cos θ－sin θ的符号． ∵π4<θ<π2，∴cos θ<sin θ，即cos θ－sin θ<0. ∴cos θ－sin θ＝－cos θ－sin θ2＝－32. 2．(2024·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C )A ．75 B ．725 C ．257D ．2425[解析] 解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C ． 解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C ．。
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形《同角三角函数的基本关系及诱导公式》练习理含解析
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式[基础题组练]1．(2019·辽宁五校联考)sin 1 470°＝( ) A.32B.12 C ．－12D ．－32解析：选B.sin 1 470°＝sin(1 440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin 30°＝12，故选B.2．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选 B.因为α是第三象限角，故sin α<0，cos α<0，所以原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3.3．(2019·贵阳模拟)已知f (x )＝tan x ＋1tan x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A ．2 3 B.433C ．2D ．4解析：选D.因为f (x )＝tan x ＋1tan x ＝sin x cos x ＋cos x sin x ＝1sin x cos x ＝2sin 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sinπ6＝4，故选D.4．若sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D.因为sin （π－θ）＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－13，则tan(π2－α)的值为( )A ．2 2B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选D.因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝13，则cos α＝±223，所以tan(π2－α)＝sin （π2－α）cos （π2－α）＝cos αsin α＝±2 2.故选D.6．(2019·山西晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝( )A.56B.1718C.89D.23解析：选B.|sin θ|＋|cos θ|＝233，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝43，所以|sin 2θ|＝13，所以sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 2 2θ＝1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1718，故选B.7．(2019·安徽皖南八校第二次联考)已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且12sin θ＋12cos θ＝35，则tanθ＝( )A.34 B.43 C ．±34D.34或43解析：选D.依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以t >0，则原式化为12t ＝35·t 2－12，解得t ＝75⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－57舍去，故sin θ＋cos θ＝75，则sin θcos θ＝1225，即sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1225，即tan θ1＋tan 2θ＝1225，12tan 2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝34或43.8．(2019·安徽五校联盟第二次质检)若α是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝________．解析：因为0<α<π2，所以π6<α＋π6<2π3，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×3－35×12＝43－310.答案：43－3109．(2019·兰州市诊断考试)已知sin α＋cos α＝75，sin α>cos α，则tan α＝________．解析：法一：由题意，将已知等式两边平方并化简可得 sin αcos α＝1225，因为sin α>cos α，sin 2α＋cos 2α＝1, 所以sin α＝45，cos α＝35，所以tan α＝43.法二：由题意，将已知等式两边平方并化简可得sin αcos α＝1225，所以sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝1225，即12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34，因为sin α>cos α，所以tan α＝43.答案：4310．(2019·河南安阳一模)若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝________．解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin 2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝35，所以cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－25.答案：－2511．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13，所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 12．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值； (2)求tan A 的值．解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝125，即1＋2sin A cos A ＝125，故sin A cos A ＝－1225.(2)在△ABC 中，sin A >0，又sin A cos A <0，所以cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝（sin A －cos A ）2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝75，①又sin A ＋cos A ＝15，②由①②知，sin A ＝45，cos A ＝－35，因此tan A ＝sin A cos A ＝－43.[综合题组练]1．(创新型)(2019·河北衡水模拟)已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sinθ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C. 13D ．－14解析：选D.由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ＝－14.故选D.2．(创新型)(2019·湖北部分重点中学联考)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝m ，m ∈(0，1)，则tan θ的可能取值为( )A ．－3B ．3C ．－13D.13解析：选A.由m ∈(0，1)，得sin θ＋cos θ>0，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4.又因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 2，m ∈(0，1)，从而得2sin θcos θ<0，得θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.综上可得θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，则tan θ<－1，所以可能的取值为－3，故选A.3．(应用型)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎥⎤0，π2内有解，则a 的取值范围是________．解析：方程cos 2x －sin x ＋a ＝0，即sin 2x ＋sin x －a －1＝0.由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以0<sin x ≤1.设sin x ＝t ∈(0，1]，则问题转化为方程t 2＋t －a－1＝0在(0，1]上有解．设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12在区间(0，1]的左侧，图象如图所示． 因此f (t )＝0在(0，1]上有解， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <0，1－a ≥0，解得－1<a ≤1，故a 的取值范围是(－1，1]． 答案：(－1，1]4．(应用型)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12， sin θcos θ＝m2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0，2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式习题 理 新人教A版
第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式习题 理 新人教A 版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.若cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于________.解析 ∵cos α＝45＞0，α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34.答案 342.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝________.解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15，∴sin α＝－55.答案 －553.(2016·肇庆模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.解析 由已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.答案 －454.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝________.解析 1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2 ＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 sin 2－cos 25.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________. 解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝25－1＝－35. 答案 －356.sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________. 解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案 －3347.(2015·四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________. 解析 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－55＝－1. 答案 －18.已知sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ的值是________. 解析 ∵sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 答案 －229二、解答题9.已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，k ∈Z .求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ； (2)14sin 2θ＋25cos 2θ. 解 由sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，知tan(θ＋k π)＝－2，故tan θ＝－2，(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－23tan θ＋5＝10.(2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝14tan 2θ＋25tan 2θ＋1＝725.10.已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.解 (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265.故f (α)＝265.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于________.解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79. 答案 －7912.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m 4. 又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1± 5. 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.答案 1－ 513.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案 912 14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形2同角三角函数基本关系式及诱导公式练习含解析
同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式公式一 二三四五 六 角2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－απ2－απ2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin αcos αcos α余弦 cos α －cos α cos α－cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α －tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(4)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.( √ )教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为． 答案 －255解析 ∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为．答案 －2316解析 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝.答案 0解析 ∵cos α＝－513<0且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132 ＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.答案 －53 135解析 已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝.答案 －125解析 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125.教师备选1．(2022·锦州联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin2α等于( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案 A解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α ＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为( ) A.23B ．－23C.43 D ．－43答案 C解析 由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ等于( )A ．－65B ．－25C.25D.65答案 C解析 方法一 因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θsin θ＋cos θ2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θsin θ＋cos θ2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25. (2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( )A.223B ．－223C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝.答案 34解析 ∵θ是第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－35， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝34.(2)tan π－αcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －α－πsin －π－α的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 原式＝－tan α·cos α·－cos αcos π＋α·[－sin π＋α]＝tan α·cos 2α－cos α·sin α ＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.教师备选1．已知函数f (x )＝ax －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α等于( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 B解析 易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)，故tan α＝32，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23.2．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2等于( )A.310 B ．－310C.34 D ．－34答案 A解析 易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－3cos x ，所以tan x ＝－3，所以cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝310. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数．跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝.答案 0解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°， (15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)] ＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin －3π＋α＋cos α－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝. 答案 3解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2， sin －3π＋α＋cos α－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝sin π＋α＋cos π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3.题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；(3)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α×cos α×－cos α－cos α×sin α＝－cos α. (2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.教师备选设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)．(1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－2sin α·－cos α－－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α2sin α＋1sin α2sin α＋1＝cos αsin α＝1tan α.(2)当α＝－23π6时，f (α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6 ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)．(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin2x ＋2sin 2x1－tan x ＝.答案 －24175解析 由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin xcos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.课时精练1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3等于( ) A ．－32 B ．－12C.12 D.32答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3＝cos 19π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12. 2．若cos165°＝a ，则tan195°等于( ) A.1－a 2B.1－a2aC ．－1－a2aD ．－a1－a2答案 C解析 若cos165°＝a ， 则cos15°＝cos(180°－165°) ＝－cos165°＝－a ， sin15°＝1－a 2，所以tan195°＝tan(180°＋15°) ＝tan15°＝sin15°cos15°＝－1－a2a.3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α等于( ) A ．－513B ．－1213C.1213D.513答案 D解析 因为7π10－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝π2， 所以7π10－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝513.4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于( ) A ．2B.12C ．－2D ．－12答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sinB ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π， 则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确． sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确．tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则( )A.π2<α<π B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案 ABD解析 ∵sin α＋cos α＝15，等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125，解得sin αcos α＝－1225，故B 正确；∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，故A 正确；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925，解得cos α－sin α＝－75，故D 正确．7．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝. 答案 0解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°＋cos91°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°－cos89°－…－cos3°－cos2°－cos1° ＝cos90°＝0.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 22π－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－32＋2cos 2π＋θ＋cos －θ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝. 答案 －512解析 ∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2， 又cos 17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π3 ＝cosπ3＝12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值；(2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．解 (1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，又α是第三象限角，所以cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(2)∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0， 把sin x ＋cos x ＝－713，两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169，即sin x －cos x ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213，∴cos x －2sin x ＝－2213.10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)． (1)求sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值；(2)若α是第二象限角，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解 (1)∵m ≠0，∴cos α≠0， 即sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α.又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)， ∴tan α＝－6m3m ＝－2，故sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan α－11＋2tan α＝2－11＋2×－2＝－13.(2)∵α是第二象限角，∴m <0， 则sin α＝－6m 3m2＋－6m2＝－6m 35|m |＝255， cos α＝3m 3m 2＋－6m2＝3m 35|m |＝－55， ∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255＝－1＋255.11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin α＋k πsin α＋cos α＋k πcos α(k ∈Z )的取值可能为( ) A ．－2 B ．－1或1 C ．2 D ．－2或2或0答案 AC解析 当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α等于( )A.35B.53C.45D.54 答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝.答案 45解析 由题意得y ′＝f ′(x )＝e x＋2x －23，所以f ′(0)＝e 0－23＝13，所以tan α＝13，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝310，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝. 答案 75解析 由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12，所以3sin 2α＋2sin αcos α ＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α ＝3×14＋2×121＋14＝75.15．(多选)已知f (α)＝2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤π2，则下列说法正确的是( ) A ．f (α)的最小值为－ 2 B ．f (α)的最小值为－1 C ．f (α)的最大值为2－1 D ．f (α)的最大值为1－ 2 答案 BD解析 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，由0≤α≤π2，得π4≤α＋π4≤3π4， 则1≤t ≤2，又由(sin α＋cos α)2＝t 2， 得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝t 2－1－2t ＋1＝t －1－2t ＋1，又因为函数y ＝t －1和y ＝－2t ＋1在[1，2]上单调递增， 所以g (t )＝t －1－2t ＋1在[1，2]上单调递增， g (t )min ＝g (1)＝－1， g (t )max ＝g (2)＝1－ 2.16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ. 由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知得sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，21 所以1＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式真题演练集训
的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A 版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A版的全部内容。
数的基本关系与诱导公式真题演练集训理新人教A版1．［2016·新课标全国卷Ⅲ］若tan α＝错误!，则cos2α＋2sin 2α＝( ）A.6425B.错误!C．1 D.错误!答案：A解析：解法一：由tan α＝错误!＝错误!，cos2α＋sin2α＝1，得错误!或错误!则sin 2α＝2sin αcos α＝24 25 ,则cos2α＋2sin 2α＝错误!＋错误!＝错误!.解法二：cos2α＋2sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
2．[2014·大纲全国卷]设a＝sin 33°,b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( ）A．a〉b〉c B．b〉c>aC．c>b>a D．c〉a〉b答案：C解析:∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，c＝tan 35°＝错误!，又0〈cos 35°〈1，∴c〉b〉a.3．［2015·四川卷］已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．答案：－1解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－1.课外拓展阅读分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用［典例］(1）已知A＝错误!＋错误!(k∈Z),则A的值构成的集合是( )A．｛1，－1，2,－2} B．{－1，1}C．{2，－2} D．｛1,－1,0，2，－2｝(2)在△ABC中，若sin（2π－A）＝－错误!sin（π－B），错误!cos A＝－错误!cos(π－B）,则C＝________.[思路分析] （1）角中有整数k，应对k是奇数还是偶数进行讨论；（2）利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．［解析] (1)当k为偶数时，A＝错误!＋错误!＝2；当k为奇数时，A＝错误!－错误!＝－2。
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形2第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理
(教材习题改编)已知
tan
α
＝
2
，
则
sin sin
α＋cos α－cos
α α
的
值
为
________．
解析：sin sin
α＋cos α－cos
α＝tan α tan
αα＋－11＝22＋－11＝3.
答案：3
同角三角函数基本关系式的应用(多维探究)
角度一 公式的直接应用
(1)已知 sin α＝ 55，π2≤α≤π，则 tan α＝( )
角度三 sin α±cos α，sin αcos α 之间的关系 已知 α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝15.
(1)求 sin α－cos α 的值； (2)求sin12－α＋ta2nsαin2α的值．
【解】 (1)由 sin α＋cos α＝15， 平方得 sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝215， 整理得 2sin αcos α＝－2245. 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4295. 由 α∈(－π，0)，知 sin α<0，又 sin α＋cos α>0， 所以 cos α>0，则 sin α－cos α<0， 故 sin α－cos α＝－75.
【解】 由已知得 tan α＝12.
(1)ssiinnαα－＋3ccoossαα＝ttaann αα－＋31＝－53.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋
2＝
sin2α＋sin αcos sin2α＋cos2α
α＋2＝tanta2nα2＋α＋tan1
α
＋2＝121222＋＋112＋2＝153.
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻 求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 理-人教版高
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12B.32C ．－12D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 答案 C2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )． A ．－34B.34C ．－43D.43解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )．A ．0B ．1C ．－1 D.32解析∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )．A ．1＋5B ．1－ 5C ．1±5D ．－1－ 5解析 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2， 解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.答案 B6．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )．A ．16B ．72C ．86D ．100解析 由sin π7＝－sin 8π7，sin 2π7＝－sin 9π7，…，sin 6π7＝－sin 13π7，sin 7π7＝sin 14π7＝0，所以S 13＝S 14＝0. 同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0，共14个，所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C二、填空题7．已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________. 解析由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125，则tan(2π－α)＝－tan α＝125. 答案1258．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案0 9．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 解析 依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案 －142 10． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2.答案 2三、解答题11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22， 求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值． 解析由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22， ∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22. ∴cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α. 解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2. (1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 法二 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． 解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。
2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式1．已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝ 0 . [解析] ∵cos α＝－513<0且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125. 此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. (2)若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125， 此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0.综上，13sin α＋5tan α＝0. 2．已知tan αtan α－1＝－1，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ －53；sin 2α＋sin αcos α＋2＝ 135. [解析] 由已知得tan α＝12， 所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 . [解析] 由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3. 名师点拨：1．已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．2．遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如： a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α＝a tan α＋b c tan α＋d； sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 【变式训练】1．若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C ) A ．15B ．－15C ．513D ．－513 [解析] ∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512. ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513. 又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C ． 2．化简2－2sin 20°－1＋cos 20°的结果是( D )A ．2cos 10°B ．－2cos 10°C ．2sin 10°D ．－2sin 10°[解析] 利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解.2－2sin 20°－1＋cos 20°＝2sin 210°＋cos 210°－2sin 10°cos 10°－2cos 210°＝2cos 10°－sin 10°2－2cos 210°＝2(cos 10°－sin 10°)－2cos 10°＝－2sin 10°.故选D ． 3．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝ －43. [解析] 由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43.。
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2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第2讲 同
角三角函数基本关系式与诱导公式试题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2017²长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－12
13
，则tan α＝( ) A.－513
B.513
C.－125
D.125
解析 因为α是第四象限角，sin α＝－12
13，
所以cos α＝1－sin 2
α＝513
， 故tan α＝sin αcos α＝－12
5.
答案 C
2.已知tan α＝1
2，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α＝( )
A.－
5
5
B.55
C.255
D.－
25
5
解析 ∵tan α＝1
2＞0，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α＜0，
∴sin 2
α＝sin 2
αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
αtan 2
α＋1＝14
14＋1＝15
， ∴sin α＝－55
. 答案 A
3.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( ) A.sin 2－cos 2
B.sin 2＋cos 2
C.±(sin 2－cos 2)
D.cos 2－sin 2
解析
1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2
＝（sin 2－cos 2）2
＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A
4.(2017²甘肃省质检)向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝
( ) A.－1
3
B.13
C.－
23
D.－223
解析 ∵a ＝⎝⎛⎭⎫1
3，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，
∴13³1－tan αcos α＝0，∴sin α＝1
3， ∴cos ⎝⎛
⎭
⎫π2＋α＝－sin α＝－1
3.
答案 A
5.(2017²广州二测)cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝1
3，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A.1
3
B.22
3
C.－13
D.－
22
3
解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦
⎤π
2－⎝⎛⎭⎫π12
－θ
＝cos ⎝⎛
⎭⎫π12－θ＝13
. 答案 A
6.(2017²孝感模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2
α的值是( ) A.12
B.2
C.－12
D.－2
解析 原式＝sin 2
α＋cos 2
α＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2
α
＝（sin α＋cos α）2
（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos α
sin α－cos α ＝
tan α＋1tan α－1＝3＋1
3－1
＝2.
答案 B 7.已知sin α＝55
，则sin 4α－cos 4
α的值为( ) A.－15
B.－35
C.15
D.35
解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2
α－1＝－35
.
答案 B
8.(2017²西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A.－1
B.1
C.3
D.－3
解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，
∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 D 二、填空题
9.(2016²四川卷)sin 750°＝________.
解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝1
2.
答案
12
10.已知α为钝角，sin ⎝⎛
⎭⎫π4＋α＝3
4，则sin ⎝⎛⎭
⎫π4－α＝________. 解析 因为α为钝角，所以cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α＝－7
4，
所以sin ⎝⎛
⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π
2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α
＝－
7
4
. 答案 －
74
11.化简：sin 2
（α＋π）²cos （π＋α）²cos （－α－2π）
tan （π＋α）²sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋α²sin （－α－2π）＝________.
解析 原式＝sin 2
α²（－cos α）²cos αtan α²cos 3α²（－sin α）＝sin 2
αcos 2
α
sin 2αcos 2
α＝1. 答案 1
12.(2016²全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3
5，则tan ⎝
⎛⎭⎫θ－π4＝
________.
解析 由题意，得cos ⎝
⎛⎭⎫θ＋
π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3
4.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝
⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝
－1
tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4
＝－4
3.
答案 －4
3
能力提升题组 (建议用时：15分钟)
13.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2，则θ等于( )
A.－π6
B.－
π3
C.π6
D.π3
解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3
. 答案 D
14.若sin θ，cos θ是方程4x 2
＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－ 5 C.1± 5
D.－1－ 5
解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ²cos θ＝m
4.
又()
sin θ＋cos θ
2
＝1＋2sin θcos θ，
∴m 24＝1＋m
2，解得m ＝1± 5.
又Δ＝4m 2
－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B
15.sin 2
1°＋sin 2
2°＋…＋sin 2
90°＝________.
解析 sin 2
1°＋sin 2
2°＋…＋sin 2
90°＝sin 2
1°＋sin 2
2°＋…＋sin 2
44°＋sin 2
45°＋cos 2
44°＋cos 2
43°＋…＋cos 2
1°＋sin 2
90°＝(sin 2
1°＋cos 2
1°)＋(sin 2
2°＋cos 2
2°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 2
90°＝44＋12＋1＝912.
答案
91
2
16.已知cos ⎝⎛
⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝________. 解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π
6
－θ＝－cos ⎝⎛⎭
⎫π6－θ＝－a .
sin ⎝⎛
⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π
2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭
⎫π6－θ＝a ，
∴cos ⎝⎛
⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭
⎫2π
3－θ＝0. 答案 0。