《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
复变函数与积分变换期末试题(附有答案)
复变函数与积分变换期末试题
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是
（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是
4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z
z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分）
1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；
（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；
（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.
2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C
z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2
)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n n
z c 在2=z 点收敛，则级数在
（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；
（C ）i z
+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dz z f
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四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
则v(x, y)
x, y
2
y
x dx
2x
y
dy
C
0,0
x
0
x
dx
y
0
2x
y
dy
C
1 x2 2xy 1 y2 C
2
2
四．(20 分)求下列积分的值
1． 2 3 ei
2．这里 m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的
x2
Baidu Nhomakorabeax
a2
eixd
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）
一、填空（3分×10）
1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，
，
。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：
。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==
')(z f 6．。
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。8．幂函数的映照特点是：
。9．若=F [f (t )]，则= F 。)(ωF )(t f )]
[(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)
已知，求函数使函数为解析函
222
1
21),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算
⎰=--2||6)
3)(1(z z z z dz
四、计算积分（5分×2）1．
⎰=-2||)
1(z z z dz
2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰
-c i z z
3
)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)
(1
)(i z z z f -=
1．1||0<-<i z 2．+∞
<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）
（1）与构成一对傅氏变换对。)(0t t -δo iwt e -（2）)
(2ωπδ=⎰
∞+∞
-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
(完整word版)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题（A）
吉林大学南岭校区2011年12月
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
2
3
1i-的幅角是（）；
2.)
1
(i
Ln+
-的主值是（）；
3. 2
1
1
)
(
z
z
f
+
=，=
)0()5(f（）；
4．0
=z是
4
sin
z
z
z-
的（）极点；
5．
z
z
f
1
)
(=，=
∞]
),
(
[
Re z f s（）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数),(
),(
)(y
x
iv
y
x
u
z
f+
=的导函数为（）；
（A）y
x
iu
u
z
f+
=
')
(；（B）
y
x
iu
u
z
f-
=
')
(；
（C）y
x
iv
u
z
f+
=
')
(；（D）
x
y
iv
u
z
f+
=
')
(.
2．C是正向圆周3=
z，如果函数=)(z f（），则0
d)(=
⎰C z
z
f．
（A）
2
3
-
z
；（B）
2
)1
(3
-
-
z
z；（C）
2
)2
(
)1
(3
-
-
z
z；（D）
2
)2
(
3
-
z
.
3．如果级数∑∞
=1
n n n
z c 在
2=z 点收敛，则级数在
（A ）
2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；
（C ）i z
+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰
C
dz z f
（C ）如果
0)(=⎰
C
dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是
),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．
(完整word版)复变函数期末试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换
考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多
选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）
A. 12i +
B. 12i --
C. 12i -
D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）
4.34arctan 3
A i π-+-的主辐角为
.arg(3)arg()B i i -=-
2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+
2.||D z z z ⋅=
3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面
C. 0arg 4
z π
<<
表示角形区域
D. Im()0z <表示上半平面
4．关于0
lim
z z
z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=
B. ω不存在
C.1ω=-
D. 1ω=
5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）
.z A z e +
2
sin .
1
z B z +
.tan z C z e + .sin z D z e +
6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）
A. cos z 是有界函数
B. 22Lnz Lnz =
.cos sin iz C e z i z =+
.
||D z =
7
．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ）
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
f ( z ) = z 4 z
3 3( z - 1) 3( z - 1) 3
得分
«复变函数与积分变换»期末试题（A ）
一．填空题（每小题 3 分，共计 15 分）
1 ． 1 - i 3
的幅角是（
）； 2.
2
Ln(-1 + i) 的 主 值 是
（
）；3.
f ( z ) = 1
1 + z 2
， f (5) (0) = （
）；
z - sin z
1
4． z = 0 是 的（
） 极点 ； 5 ．
，
Re s [ f ( z ), ∞] =（
）；
得分
二．选择题（每小题 3 分，共计 15 分）
1．解析函数 f ( z ) = u ( x , y) + iv( x , y) 的导函数为（
）；
（A ） f '( z ) = u + iu x
y ； （B ） f '( z ) = u x - iu
y ；
（C ）
f '( z ) = u + iv x y
；
（D ） f '( z ) = u y +
iv x .
2．C 是正向圆周 z = 3 ，如果函数 f ( z ) = （
），则 ⎰ f ( z )dz = 0 ．
C
（A ） ； （B ） ； （C ） ； （D ） .
z - 2 z - 2 ( z - 2) 2 ( z - 2) 2
∞
3．如果级数
∑
c z
n
n
在 z = 2 点收敛，则级数在
n =1
（A ） z
= -2 点条件收敛
； （B ） z = 2i 点绝对收敛；
（C ） z = 1 + i 点绝对收敛； （D ） z = 1 + 2i 点一定发散．
４．下列结论正确的是(
)
（A ）如果函数 f ( z ) 在 z 点可导，则 f ( z ) 在 z 点一定解析；
复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题
一．填空题每小题3分,共计15分
1．231i -
2.
)1(i Ln +-的主值是
；
3.
2
11
)(z z f +=
,
=
)0()
5(f
0 ,4．0=z 是
4
sin z z z -的 一级 极点；
5． z
z f 1
)(=,=∞]),([Re z f s -1 ；
二．选择题每题3分,共15分
1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为 ；
A
y x iu u z f +=')(； B y x iu u z f -=')(；
C
y x iv u z f +=')(； D x y iv u z f +=')(.
2．C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ,则0d )(=⎰C
z z f ．
A
23-z ； B 2
)
1(3--z z ； C 2)2()1(3--z z ；
3．如果级数∑∞
=1
n n
n
z c 在
2=z 点收敛,则级数在
A 2-=z
点条件收敛 ； B i z 2=点绝对收敛；
C i z
+=1点绝对收敛； D i z 21+=点一定发散．
４．下列结论正确的是
A 如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析；
C 如果
0)(=⎰
C
dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；
D 函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域
内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是 ．
A 的可去奇点；为z
1
sin ∞ B 的本性奇点；为z sin ∞
《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
2
31i -的幅角是（ 2,1,0,23
±±=+-
k k ππ
）
； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 4
32ln 21π
+ ）； 3. 2
11)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4
sin z
z
z -的（ 一级 ）极点； 5．
z
z f 1
)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；
二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数
),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）
； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；
（C ）
y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.
2．C 是正向圆周
3=z ，如果函数=)(z f （ D ）
，则0d )(=⎰C
z z f ． （A ）
23-z ； （B ）2
)
1(3--z z ； （C ）
2)2()1(3--z z ； （D ）
2
)2(3
-z .
3．如果级数∑∞
=1
n n n
z c 在
2=z 点收敛，则级数在（C ）
（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；
（C ）
i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．
４．下列结论正确的是( B )
（A ）如果函数
)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；
(B) 如果
)(z f 在C 所围成的区域内解析，则
0)(=⎰
C
dz z f
（C ）如果0)(=⎰
复变函数与积分变换试题及答案
复变函数与积分变换试题与答案
一、填空（3分×10）
1．)31ln(i --的模 ，幅角
。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为： 。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。 6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。
二、判断题（每题2分，共20分，请在正确的题打“√”，错误的题后打
“×”）
1．区域Im(z)＞0是无界的单连通的闭区域。（ ）
2．初等函数在其定义域内解析，可导。（ ）
3．解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )的u(x ,y )与v (x ,y )互为共扼调和函数。（ ）
4．如果f (z )在z o 解析，那么f (z )在z o 连续。（ ）
5．如果)(o z f '存在，那么f (z )在z o 解析。（ ）
6．如果z o 是f (z )的奇点，那么f (z )在z o 不可导。（ ）
7．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。（ ）
8．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（ ）
9．幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。（ ）
10．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成泰勒级数。（ ）
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷
Q(z) f(z)=
复变函数与积分变换试题（一）
一、填空（3分×10）
1．)31ln(i --的模
，幅角
。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。 3．Ln z 在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：
。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f
。
6．=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s
。 7．指数函数的映照特点是： 。 8．幂函数的映照特点是：
。 9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f
。 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=
。
二、(10分)
已知222
1
21),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为
解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算
⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz
四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2
||)
1(z z z dz
2．⎰
-c i z z
3
)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)
(1
)(i z z z f -=
在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z
六、证明以下命题：（5分×2）
（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。 （2）)(2ωπδ=⎰
∞+∞
-ω-dt e t i
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案
得分
得分
«复变函数与积分变换»期末试题（A ）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
2
3
1i -的幅角是（）；2.
)1(i Ln +-的主值是
（）；3.
2
11
)(z z f +=
，
=)0()5(f （
）；
4．0=z 是4
sin z
z
z -的（）极点；5．z
z f 1
)(=，
=∞]),([Re z f s （
）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（
）；
（A）y x iu u z f +=')(；
（B）y x iu u z f -=')(；
（C）
y x iv u z f +=')(；
（D）
x y iv u z f +=')(.
2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （
），则0d )(=⎰C
z z f ．
（A）
2
3
-z ；（B）
2)1(3--z z ；（C）2)2()1(3--z z ；（D）2
)
2(3
-z .3．如果级数∑∞
=1
n n
n z c 在2=z 点收敛，则级数在
（A）2-=z 点条件收敛
；（B）
i z 2=点绝对收敛；
（C）i z
+=1点绝对收敛；（D）i z 21+=点一定发散．
４．下列结论正确的是(
)
（A）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；
(B)如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0
)(=⎰
C
dz z f （C）如果
0)(=⎰
C
dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；
（D）函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是
复变函数与积分变换期末考试复习题及参考答案-专升本
《复变函数与积分变换》复习题
一、填空题
1、写出复数1i +的其他两种表示形式：______________________；
______________；
2、ln(3)-= __________________；
3、221Re [3,]s z z z
++∞=___________； 4、映射2w z =，在1z i =+处的旋转角是___________，伸缩率_____________；
5、设2()cos f t t t =+，则()f t 的拉氏变换为______________。
6、3270z +=的根为__________；
7、1i e -+ 的模__________；
8、2213Re [2(1),1](1)1
s z z z ++-=--__________； 9、3,02i z e θθπ=≤≤，表示何种曲线_________；
10、映射21w z =-，在z i =处的旋转角是________，伸缩率_________。
二、计算题
1、解方程 380z +=
2、(1Re )C
z dz +⎰，其中C 为沿虚轴从i -到i 3、()
21z zdz z =-⎰ 4、112cos z z dz z
=⎰ 5、用留数定理计算积分22sin (1)z z dz z z =-⎰，
6、()=w F ()()()11i w w πδδ-++的傅氏逆变换式。
7、求幂级数21n
n
z n ∞
=∑的收敛半径，并指出在收敛圆周上的敛散性；
8、C z dz ⎰，其中C 为沿虚轴从i -到i 。
9、5sin 2z zdz z π=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰
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«复变函数与积分变换»期末试题（A）
正文：
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
2
3
1i-
的幅角是（）；2.)
1
(i
Ln+
-的主值是
（）；3. 2
1
1
)
(
z
z
f
+
=，=
)0()5(f（）；
4．0
=
z是4
sin
z
z
z-
的（）极点；5．
z
z
f
1
)
(=，=
∞]
),
(
[
Re z
f
s（）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数)
,
(
)
,
(
)
(y
x
iv
y
x
u
z
f+
=的导函数为（）；
（A）y
x
iu
u
z
f+
=
')
(；（B）
y
x
iu
u
z
f-
=
')
(；
（C）y
x
iv
u
z
f+
=
')
(；（D）
x
y
iv
u
z
f+
=
')
(.
2．C是正向圆周3
=
z，如果函数=
)
(z
f（），则0
d)
(=
⎰C z
z
f．
（A）
2
3
-
z
；（B）
2
)1
(3
-
-
z
z
；（C）
2
)2
(
)1
(3
-
-
z
z
；（D）
2
)2
(
3
-
z
. 3．如果级数∑
∞
=1
n
n
n
z
c在2
=
z点收敛，则级数在
（A）2
-
=
z点条件收敛；（B）i
z2
=点绝对收敛；
（C）i
z+
=1点绝对收敛；（D）i
z2
1+
=点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；
(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则
0)(=⎰C dz z f （C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z
1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1的孤立奇点为z
∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a
（2）．计算
⎰-C z z z z e d )
1(2其中C 是正向圆周：2=z ；
（3）计算⎰=++33
42215
d )2()1(z z z z z
（4）函数
32
3 2
)
(sin
)3 (
)2
)(
1
(
)
(
z z
z
z
z
z
f
π-
+
-
=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
四、（本题14分）将函数)
1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 五． （本题 10 分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x 六、（本题6分）求 )()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明： t e d t ββπωω βω-+∞=+⎰2022cos «复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准 一．填空题（每小题3分，共计15分）