《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

«复变函数与积分变换»期末试题（A）正文：一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）；2.)1(iLn+-的主值是（）；3. 211)(zzf+=，=)0()5(f（）；4．0=z是4sinzzz-的（）极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs（）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A）yxiuuzf+=')(；（B）yxiuuzf-=')(；（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B）2)1(3--zz；（C）2)2()1(3--zz；（D）2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛；（B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛；（D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dz z f （C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-C z z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：t e d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分）1----5 B D C B D三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数zz e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z ei z e i z e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'=== 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．⎰=++3342215d )2()1(z z z z z 解：设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在：3<z 内，由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----（5分）]1)1([Re 22zz f s i π= ----（8分） 234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz z z f ++= 0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z ⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------（10分） （4）函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.解 ：∞±±±==-+-=，的奇点为Λ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z k k z πsin ,,,,,Λ（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±==（3）的一级极点，为)(3z f z= （4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z Λ±-=（5）的非孤立奇点。

为)(z f ∞备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1解：（1）当110<-<z])11(1[)1(1)1(1)(2'+---=-=z z z z z f 而])1()1([])11(1[0'--='+-∑∞=n n n z z ∑∞=---=01)1()1(n n n z n∑∞=-+--=021)1()1()(n n n z n z f -------6分（2）当10<<z)1(1)1(1)(22z z z z z f --=-==∑∞=-021n n z z ∑∞=--=02n n z -------10分（3）当∞<<z 1)11(1)1(1)(32zz z z z f -=-=∑∑∞=+∞===03031)1(1)(n n n n z z zz f ------14分 每步可以酌情给分。

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：⎩⎨⎧='===+'-''-1)0(1)0()(4)(5)(y y e x y x y x y x解：对)(x y 的Laplace 变换记做)(s L ，依据Laplace 变换性质有11)(4)1)((51)(2+=+----s s L s sL s s L s …（5分） 整理得 )4(151)1(65)1(101 11)4(151)1(61)1(101 11)4)(1)(1(1)(-+-++=-+-+--+=-+--+=s s s s s s s s s s s s L …（7分） x x x e e e x y 415165101)(++=- …（10分） 六、（6分）求)()(0>=-ββt et f 的傅立叶变换，并由此证明： t e d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos 解：)()(0>=-+∞∞--⎰βωβω dt ee F t t i --------3分 )()(000>+=-+∞-∞--⎰⎰βωβωβω dt e e dt e e F t t i t t i )()()(000>+=⎰⎰+∞+-∞--βωβωβ dt e dt e t i t i)()()(00>+--=+∞+-∞--βωβωβωβωβ i e i e t i t i )()(021122>+=++-=βωββωβωβω i i F ------4分 )()()(021>=⎰+∞∞-βωωπω d F e t f t i - -------5分 )(022122>+=⎰+∞∞-βωωββπω d e t i )()sin (cos 0122>++=⎰+∞∞-βωωωωββπ d t i t )(sin cos 0222022>+++=⎰⎰+∞∞-+∞βωωβωβπωωβωπβd t i d t)(cos )(02022>+=⎰+∞βωωβωπβd t t f ， -------6分 te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（B)一．填空题（每小题3分，共计15分）二．1．21i -的幅角是（ ）；2.)(i Ln +-的主值是（ ）； 3. a =（ ），)2(2)(2222y xy ax i y xy x z f +++-+=在复平面内处处解析．4．0=z 是 3sin zz z -的（ ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ）x y iv u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）y x iu u z f +=')(.2．C 是正向圆周2=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C z z f ．（A ） 13-z ； （B ）13-z z ； （C ）2)1(3-z z ； （D ）2)1(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在i z 2=点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2-=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果0)(=⎰Cdz z f ,其中C 复平面内正向封闭曲线, 则)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（C ）函数)(z f 在0z 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0z z -的幂级数，而且展开式是唯一的；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．（A ）、lnz 是复平面上的多值函数； cosz )B (、是无界函数；z sin )C (、 是复平面上的有界函数；（D ）、z e 是周期函数．三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分） （1）设)))((),()(y g x i y x u z f ++=2是解析函数，且00=)(f ，求)(),,(),(z f y x u y g ．（2）．计算⎰-+C z i z z zd ))(1(22．其中C 是正向圆周2=z ；（3）．计算⎰-C z z e z z d )1(12，其中C 是正向圆周2=z ；（4）．利用留数计算⎰--C z z z d )2)(1(12．其中C 是正向圆周3=z ；（5）函数33221)(sin ))(()(z z z z z f π+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题12分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级（1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题8分）求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明： t e d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B）填空题（每小题3分，共计15分）1．21i-的幅角是（Λ,2,1,24±±=+-kkππ）；2.)1(iLn--的主值是（42ln21πi-）；3. 211)(zzf+=，=)0()7(f（ 0 ）；4．3sin)(zzzzf-=，=]0),([Re zfs（ 0 ）；5．21)(zzf=，=∞]),([Re zfs（ 0 ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1-------5 A A C C C三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）求dcba,,,使)()(2222ydxycxibyaxyxzf+++++=是解析函数，解：因为)(zf解析，由C-R条件yvxu∂∂=∂∂xvyu∂∂-=∂∂ydxayx22+=+,22dycxbyax--=+,2,2==da，,2,2dbca-=-=,1,1-=-=bc给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。