中考题选粹之数学思想方法初中数学第二轮综合复习 2

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中考数学专题复习--《数学思想方法》典题精讲.doc

二WWW lb中考数学专题复习•…《数学思想方法》题型概述【题型特征】数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识;数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映.对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成Z后，便对数学方法起着指导作用.因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念一数学思想方法.在初屮数学屮常见如下m大数学思想方法:(1)转化化归的思想方法;(2)数形结合的思想方法;(3)方程与函数的思想方法;(4)分类讨论的思想方法.【解题策略】⑴转化化归的思想方法:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已一经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决.如解分式方程时，我们将其转化为整式方程來解、一元二次方程我们将其转化为一元一次方程来解、四边形我们将其转化为三角形来研究、立体图形将其转化为平血图形来研究等.(2)数形结合的思想方法:数形结合解题就是在解决与儿何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题.在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题.(3)方程与函数的思想方法:用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过将问题转化为函数和方程模型来解决就体现了方程与函数的思想方法•具体地，函数思想，是指用函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题•方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型 (方程、不等式或方程与不等式的泥合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解. 有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.(4)分类讨论的思想方法:当求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性吋，就要进行分类讨论.比如前面等腰三角形、直角三角形的有关计算问题、圆的有关问题(垂径定理计算问题、弦所对的圆周角的大小问题、位置关系问题等)中，往往因为已知的不确定性，需要分类讨论.这些同学们应引起重视，否则可能会出现漏解.典题精讲类型一转化化归的思想方法A.4B. -4C. 16D. -16例1若兀2—3y —5 = 0，则6y —2兀~—6的值为（）•【解析】3y —5 = 0,・•• x2 -3y = 5则6y _ 2兀_ — 6 ——2(x* — 3y) — 6 ——2x5 — 6 — -16.【全解】D1•已知血是方程兀2 一兀一1 = 0的_个根,求m（m + l）2一加2（加+ 3）+ 4的值.X 9 r — 12•解方和口一百八【考情小结】转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种方法将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题.所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题.类型二数形结合的思想方法例2如图，O为数轴原点，两点分别对应一3,3,作腰长为4的等腰AABC,连接OC,以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M ,则点M对应的实数为 ___________________C【解析】•・・AABC为等腰三角形,OA = OB = 3,・•・OC丄AB .在R临OBC中，O C Z B D-OB?「42—32 =",•・•以0为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M, ,\OM =OC = y/i .・••点M对应的数为一J7.【全解】V73.二次函数y = ax2 +/?x + c（dH0）的图象如图所示，下列结论:①2a + b = 0 ;②.a + c > b ;③抛物线与兀轴的另一个交点为（3, 0）;④。

中考数学二轮复习专题突破讲练：专题一数学思想方法

专题一数学思想方法数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是解决数学问题的根本策略，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学的精髓．在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想方法的习惯，达到触类旁通的目的．中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化与化归思想、方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等．整体思想就是整体与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决．整体思想常见的几种类型：①整体代入法求代数式的值；①用整体思想解方程(组)及不等式(组)；③运用整体思想求角度．1.(2019·常州)如果a －b －2＝0，那么代数式1＋2a －2b 的值是________．2．(2018·岳阳)已知a 2＋2a ＝1，则3(a 2＋2a )＋2的值为________．3．(2019·常德)若x 2＋x ＝1，则3x 4＋3x 3＋3x ＋1的值为________．4．(2020·朝阳)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2a ＋1，x ＋2y ＝5－5a 的解满足x ＋y ＝－3，则a 的值为________． 5．(2019·曲靖)如图，已知点O 是①ABC 的内切圆的圆心，若①BOC ＝124°，则③A ＝________.,第5题图) ,第6题图)6．(2018·黔东南州)如图，分别以n 边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π分类讨论思想分类讨论的知识点有三大类：①由数学概念、性质、运算引起的讨论；①由图形的形状或位置引起的讨论；①由实际意义引起的讨论．分类讨论思想体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；①一次分类按一个标准，找准分类讨论的标准是解题的关键；③分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．一、与数与式有关的分类讨论1．如果多项式9＋mx ＋x 2是完全平方式，那么m ＝________.2．一组数据100，100，x ，80，80的平均数和中位数相等，则x 的值为________________．3．已知实数a ，b 满足等式a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，则1a ＋1b的值是____________________．二、与方程有关的分类讨论4．已知关于x 的方程kx 2＋(2k ＋1)x ＋(k －1)＝0有实数根，则k 的取值范围为( )A ．k≥－18B ．k>－18C ．k≥－18且k≠0D ．k<－185．如果关于x 的方程a x ＋3＋1x －3＝3＋a x 2－9无解，则a 的值为________________．三、与函数有关的分类讨论6．若一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，对应的y 值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为______________________________________________．7．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围为________．8. 若点A (a, m )，B (a －1, n )(a ＞0)在反比例函数 y ＝4x上，则 m, n 的大小关系是 ________________.四、与三角形有关的分类讨论①等腰三角形①9．若等腰三角形的一个角为72°，则这个等腰三角形的顶角为____________．10．在①ABC 中，①B ＝50°，当①A 为________________时，①ABC 是等腰三角形．11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________________________________________________________________________．12．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2－8x ＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为________．13．如图，已知①ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，若①ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到①DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是__________．14．如图，在Rt①ABC 中，①C ＝90°，以①ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在①ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为________．①直角三角形①15．一个直角三角形的两边长为4和5，则另一边长是__________．16．直角三角形的一个外角是115°，则该直角三角形的锐角是____________．17．如图，四边形ABCD 中，①BAD ＝①ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为______个． ,第17题图) ,第18题图)18．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，①B ＝30°，BC ＝3，点D 是BC 边上的一动点(不与点B ，C 重合)，过点D 作DE①BC 交AB 于点E ，将①B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当①AEF 为直角三角形时，则BD 的长为________．①相似三角形①19. 如图，在①ABC 中，AB ＝4，BC ＝8，点P 是AB 边的中点，点Q 是BC 边上一个动点，当BQ ＝________时，①BPQ 与①BAC 相似．五、与圆有关的分类讨论20．(1)半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于________________________________________________________________________；(2)在半径为1的①O 中，弦AB ，AC 的长分别为3和2，则①BAC 的度数是____________；(3)已知圆内接①ABC 中．AB ＝AC ，圆心O 到BC 的距离为3 cm ，圆的半径为7 cm ，则腰长AB 为____________cm.21．已知在半径为10 cm的①O中，弦AB①CD，且AB＝16 cm，CD＝12 cm，则AB与CD 之间的距离为________cm.六、与图形位置有关的分类讨论22．如图，正方形ABCD的边长为6，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作①P.当①P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为____________．,第22题图),第23题图) 23．如图，在Rt①ABC中，①C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠①C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若①EFC和①ABC相似，则AD的长为____________．24．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是线段AC上的两动点，分别从A，C以相同的速度1 cm/s向目标C，A运动，若BD＝12 cm，AC＝16 cm，在这个运动过程中，当运动时间t＝____________s时，四边形DEBF是矩形．25．如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，CF＝8，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′处，当点D′落在直线BC上时，线段AE的长为________．,转化与化归思想在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题．常见的几种类型：①把分式方程去分母转化为整式方程，把二元一次方程组“消元”为一元一次方程来解；①在求面积时，将不规则图形通过割补转化为规则图形；①求线段和的最小值(或路程最短)时，转化为两点之间，线段最短；①立体图形问题转化为平面图形．总之，都把陌生的问题转化为我们熟悉的问题来研究．1．若代数式(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)的值为24，则x 的值可以是________(写一个不扣分)．2．已知a>b>0，且2a ＋1b ＋3b －a ＝0，则b a＝____________________________________. 3．如图，以直角三角形的两条直角边AC ，AB 为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D ，CD ＝1，BD ＝3，则图中阴影部分的面积为________(平方单位)．,第3题图) ,第4题图)4．如图，在Rt①ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，分别以AB ，AC 为直径作①O 1与①O 2，则图中阴影部分面积为________．5．如图，圆柱形玻璃杯高为24 cm 、底面周长为36 cm ，在杯内离杯底8 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.,第5题图) ,第6题图)6．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6.E ，P 分别是线段AB ，AC 上的任意一点，则PB ＋PE 的最小值为________．7．二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为x ＝－2.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－5<x<2的范围内有解，则t 的取值范围是____________．8．解方程：2x x －2－8x 2－2x＝1 ,数形结合思想著名数学家华罗庚说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数形结合思想：从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题(以数助形)．数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决．1．如果有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则||b －1＋||a －c ＋||1－c －||a ＋b ＝________.2．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形ABCD ，如图所示，它的面积是75，其中AE ＝33，空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为________．3．如图，从边长为(a ＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的一条边长是a ，另一条边长是________．4．一次函数y ＝－32x ＋3的图象如图所示，当－3<y<3时，x 的取值范围是____________． ,第4题图) ,第5题图)5．如图，函数y 1＝6x与y 2＝x ＋b 交与点A ，B 两点，其中点A 的纵坐标是3，则满足y 2>y 1的x 的取值范围是____________________．6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标一原点，A 是函数y ＝2x(x>0)图象上一点，过点A 作x 轴的平行线交函数y ＝k x(k>0，x>0)的图象于点B (点B 在点A 的右边)，若S ①AOB ＝2，则k 的值为______． ,第6题图) ,第7题图)7．快、慢车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早12小时，慢车速度是快车速度的一半．快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y (千米)与所用时间x (小时)的函数图象如图所示．在快车从乙地返回甲地的过程中，当慢车恰好在快车前，且与快车相距80千米的路程时，慢车行驶的总的时间是________小时．8．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋m ＋1交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D.下列三个判断：①当x>0时，y>0；①抛物线上有两点P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)，若x 1<1<x 2，且x 1＋x 2>2，则y 1>y 2；①点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G 、F 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝2时，四边形EDFG 周长的最小值为62，其中正确判断的序号是________．,方程与函数思想方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量的数量关系中找到等量关系，先将等量关系转化为方程(组)，然后解方程(组)使问题得以解决．函数思想是指以函数概念为基础，研究题目中的变量关系，并建立函数关系的数学思想方法．函数思想主要体现对运动变化的动态事物的描述，体现了变量在研究客观事物中的重要作用．在解题过程中，通常需要两者之间的切换，要熟练掌握两者之间的联系．一、方程思想在代数问题中的应用1．若单项式a m －1b 2与12a 2b n 的和是单项式，则m n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．92．当m ＝________时，函数y ＝－(m －2)xm 2－3＋(m －4)是关于x 的一次函数．3．若一个反比例函数的图象与直线y ＝2x －6的一个交点为A (m ，m －2)，则这个反比例函数的表达式是________________________________________________________________________．4．抛物线y ＝ax 2＋4x －2＝0(a≠0)与x 轴有交点，那么负整数a ＝________(一个即可)．二、方程思想在几何问题中的应用5．以①AOB 的顶点O 为端点引射线OC ，使①AOC①①BOC ＝5①4，若①AOB ＝27°，则①AOC＝________________________________________________________.6．如图，在①ABC中，①C＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是BC上一动点，DE①AB，DF①BC，将①BDE沿直线DF翻折得到①B′E′D，连接AB′，AE′，当①AB′E′是直角三角形时，则BD＝__________.7．我国古代数学著作《九章算术》中有题如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意译为：如图，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，四边形CDEF是Rt①ABC的内接正方形，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，则正方形CDEF边长为________．三、列方程解实际应用题8．元代《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行十二日，问良马几何追及之？”设良马x天能追上驽马，可列方程为________________________．9．某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，设这种商品每件的进价为x 元，根据题意得，列方程是_________________________________________________________．10．我国古代的数学著作《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94只脚，问鸡兔各有几何？译文：鸡和兔子圈在一个笼子中，共有头35个，脚94只，问鸡、兔各有多少只？设笼子里有鸡x只，兔y只，则可列方程组为____________．11．“绿水青山就是金山银山”．为了山更绿、水更清，某县大力实施生态修复工程，发展林业产业，确保到2021年实现全县森林覆盖率达到72.75%的目标．已知该县2019年全县森林覆盖率为69.05%，设从2019年起该县森林覆盖率年平均增长率为x，则可列方程________________________．12．(2019·江西)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：______________________________________________.四、函数与方程之间的联系13．已知抛物线y ＝ax 2－4ax －5a ，其中a<0，则不等式ax 2－4ax －5a>0的解集是____________．14．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，且对称轴是x ＝1，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝3的解为________________．15．平面直角坐标系中，过动点P (n ，0)且垂直于x 轴的直线与直线y ＝－3x －1及双曲线y ＝－2x的交点分别为B 和C ，当点B 位于点C 下方时，则n 的取值范围是________________．16．如图，在①ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若P 是BC 边上任意一点，且满足①APM ＝①ABC ，PM 与AC 边的交点为M ，则线段AM 的最小值是________．参考答案[类型1]1. 5 2. 5 3. 4 4. 5 5. 68° 6.D[类型2]1.±6 2. 40或140或90 3. －2或22－2或－22－2. 4.A 5. －1或3或－376.y ＝2x ＋7或y ＝－2x ＋37.k ≤48. m ＞n 或 m ＜n9. 36°或72° 10. 50°或65°或80° 11. 45°或135° 12. 19或21或23 13. 5或8或25814. 7个 15. 3或41 16. 25°和65° 17. 2 18. 1或2 19. 1或4 20.(1)60°或120° (2)75°或15° (3)235或214 21. 14或2 22. 94或33 23. 95或5224. 2或14 25. 4或16 [类型3]1. 0或－5 2. －1＋32 3. 3－π3 4. π2 5. 30 6. 245 7. －4≤t<128．解：去分母得：2x 2－8＝x 2－2x ，即x 2＋2x －8＝0，分解因式得：(x －2)(x ＋4)＝0，解得：x ＝2或x ＝－4，经检验x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝－4.[类型4]1. 2 2. 43 3. a ＋6 4. 0<x<45. －3<x<0或x>26. 67. 838. ② [类型5]1. D 2.－2 3. y ＝8x4.－25. 15°或135°6. 53或1337. 60178. 150×12＋150x ＝240x 9. 330×0.8－x ＝10%x 10. ⎩⎨⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝9411. 69.05%(1＋x )2＝72.75% 12. 6x ＋61.2x＝11 13. －1<x<5 14. x ＝－2或x ＝415. －1<n<0或n>23 16. 165。

中考复习资料-数学思想方法专题

第二章数学思想方法专题第4讲．化归思想✌ 【专题精讲】数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等✌ 【典例精析】例1、（嘉峪关）如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．分析：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．例2、（自贡）解方程：22(1)5(1)20x x ---+=分析：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可有些人说工作忙，没时间学习，我认为问题不在时间忙，而在于你愿不愿意学习，会不会挤时间学习。

一块好的木板，上面一个洞也没有，但为什么钉子能够钻进去，这就是靠压力硬挤根据方程的特点，含未知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．例3、（达川）如图3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．分析：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．例4、（新泰模拟）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．分析：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．例5、（临沂）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

中考数学第二轮专题复习(解题思想方法)

PF
值；若变化，说明变化规律。
y
C
E
y
C
E
G AO M
P
G
B
X
AO F
M
B
X
D
D
例5、已知⊙O过点D（4、3），点H与点D关于y轴对称，过H作 ⊙O的切线交y轴于点A（如图（1））
（1）求⊙O的半径；
（2）sin∠HAO的值；
（3）如图（2），设⊙O与y轴正半轴交于点为P，点E，F是线段OP上的动点（与点P不重合），连结并延长DE、DF交⊙O于点B、C、直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探求sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由。
方程（组）模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以通过数量关系准确、清晰地揭示问题的本质，认识现实生活中的数学现象。
例2、某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购一个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律9折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）
s
解：（1）①过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，则 ∠HPN=900，∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN，
又∵∠CPD=900，∴∠CPH=∠DPN
∴Rt△PCH≌Rt△PDN, ∴PC=PD
②∵PC=PD，∠CPD=900，∴∠PDG=450，而∠POD=450，
∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG，
例4、如图，在平面直角坐标系xoy中，点M在 x轴的正半轴上， ⊙M交x轴于A，B两点，交 y 轴与C，D两点，且C为弧AE的中点， AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8。

2020年数学中考专题复习专题复习(一) 数学思想方法

第二轮中考题型专题复习专题复习(一)数学思想方法类型1整体思想前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

整体思想是一种解题思想，它主要渗透在解题步骤当中．常见的有：1．求代数式的值时，不是求出代数式中每个字母的值，而是求代数式中整体某一个部分的值．2．求零散图形的面积时，利用它们的结构特点或全等变换进行整体求出．1．(2019·泰州)若2a －3b ＝－1，则代数式4a 2－6ab ＋3b 的值为(B)A ．－1B ．1C ．2D ．32．若3x 2－5x ＋1＝0，则5x(3x －2)－(3x ＋1)(3x －1)＝(A)A ．－1B ．0C ．1D ．－23．(2019·北京)如果m ＋n ＝1，那么代数式(2m ＋n m 2－mn＋1m )·(m 2－n 2)的值为(D) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D ．34．(2018·南充)已知1x －1y ＝3，则代数式2x ＋3xy －2y x －xy －y的值是(D) A ．－72 B ．－112 C.92 D.345．如图，分别以n 边形的顶点为圆心，2为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为(D)A ．ΠB ．2πC ．3πD ．4π6．(2018·玉林)已知ab ＝a ＋b ＋1，则(a －1)(b －1)＝2．7．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点．若AB ＝30，BC ＝40，则图中阴影部分的面积为600．8．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －my ＝5，2x ＋ny ＝6的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，则关于a ，b 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（a ＋b ）－m （a －b ）＝5，2（a ＋b ）＋n （a －b ）＝6的解是⎩⎨⎧a ＝32b ＝－12．9．(2018·内江)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为1．类型2 分类讨论思想分类讨论思想常见的几种类型：1．等腰三角形：如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要考虑所给的边是腰还是底边，所给的角是顶角还是底角进行分类解决．2．直角三角形：在直角三角形中未明确哪个角为直角时，要注意分情况进行讨论(分类讨论)，然后利用勾股定理或解直角三角形即可求解．3．相似三角形：若题目中出现两个三角形相似，则需要讨论各边的对应关系；若出现位似，则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论．4．圆：圆的一条弦(直径除外)对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论；求圆中两条平行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论．10．(2018·安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A) A．12 B．9 C．13 D．12或911．(2018·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝－1或7．12．(2019·本溪)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为(2，1)或(－2，－1)．13．已知在半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝22，则∠COD的度数为30°或150°．14．(2019·通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为15．(2019·徐州)函数y＝x＋1的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有4个．16．在一个等腰三角形中，若腰上的高与底角的平分线的比值为32，则这个等腰三角形的顶角的度数为20°或100°．17．(2019·绥化)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为18．(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为类型3化归思想化归思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”，将“陌生”转化为“熟悉”，将“复杂”转化为“简单”的解题方法．化归思想常见的六种类型：1．在解方程和方程组中的应用：通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程；通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程；通过去分母把分式方程转化为整式方程．2．多边形化为三角形：解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决．3．立体图形转化为平面图形：立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化．4．一般三角形转化为直角三角形：通过作已知三角形的高，将问题转化为直角三角形问题．5．化不规则图形为规则图形：根据图形的特点进行平移、旋转、割补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解．6．转化和化归在圆中的应用：圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是可以相互转化的．19．(2019·娄底)如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝1x和y＝－1x，则阴影部分的面积是(C)A．4π B．3πC．2π D．π20．(2018·东营)如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是(C)A ．31＋πB ．3 2 C.34＋π22D ．31＋π221．在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b(a ＞b)的正方形纸片按图1、图2两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2.当AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为(B)图1 图2A ．2aB ．2bC ．2a －2bD ．－2b 22．已知x 为实数，且3x 2＋x －(x 2＋x)＝2，则x 2＋x 的值为1． 23．如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵交OB 于点E.若OA ＝4，∠AOB ＝120°3(结果保留π)24．(2018·无锡)如图，已知∠XOY ＝60°，点A 在边OX 上，OA ＝2.过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边△ABC ，点P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E.设OD ＝a ，OE ＝b ，则a ＋2b 的取值范围是2≤a ＋2b ≤5．类型4 数形结合思想数形结合思想常见的四种类型：1．实数与数轴：实数与数轴上的点具有一一对应关系，因此借助数轴观察数的特点，直观明了．2．在解方程(组)或不等式(组)中的应用：利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题更直观、形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解．3．在函数中的应用：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法．4．在几何中的应用：对于几何问题，我们常通过图形找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系，得出图形的性质等．25．数轴上有O ，A ，B ，C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d －5|＝|d －c|，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是(D)A ．在A 的左边B ．介于A ，C 之间C ．介于C ，O 之间D ．介于O ，B 之间26．(2019·娄底)如图，直线y ＝x ＋b 和y ＝kx ＋2与x 轴分别交于点A(－2，0)，点B(3，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b>0，kx ＋2>0的解集为(D)A ．x ＜－2B ．x ＞3C ．x ＜－2或x ＞3D ．－2＜x ＜327．(2019·梧州)已知m ＞0，关于x 的一元二次方程(x ＋1)(x －2)－m ＝0的解为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是(A)A ．x 1＜－1＜2＜x 2B ．－1＜x 1＜2＜x 2C ．－1＜x 1＜x 2＜2D ．x 1＜－1＜x 2＜228．(2018·河南)如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1 cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y(cm 2)随时间x(s)变化的关系图象，则a 的值为(C)图1 图2 A. 5 B ．2C.52 D ．2 5 29．(2019·贵阳)在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y ＝12x ＋12上．若抛物线y ＝ax 2－x ＋1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是(C)A ．a ≤－2B ．a ＜98C ．1≤a ＜98或a ≤－2D ．－2≤a ＜92类型5 方程、函数思想方程与函数思想是一种重要的数学思想：(1)在某些图形的折叠问题中，求线段长时，通常利用勾股定理建立方程模型来解决问题；(2)在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决．30．如图，正方形ABCD 的边长为3，将正方形折叠，使点A 落在边CD 上的点A′处，点B 落在点B′处，折痕为EF.若A′C ＝2，则DF 的长是(B)A ．1 B.43C.53D ．231．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为(C)A ．19 cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 232．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门(AD 和BC)，门边缘D ，C 两点到门槛的距离是1尺，两扇门的间隙CD 为2寸，则门宽AB 是101寸．(1尺＝10寸)。

中考专题复习数学思想方法

2.方程、不等式模型（方法型）；如果关于x的一元二次方程x² －6x＋c＝0(c是常数)没有实根，那么c的取值范围是________．
3.映射模型（结构型）；如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米， P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是()
【变式训练】1.(2015·东营中考)如图,一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运动的路径是最短的, 则AC的长为__________.
【解析】将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,∵△BCM∽△ACN,
MB MC，即 4 MC 2,即MC 2NC, AN NC 2 NC
大小关系用含字母,的不等式表示为_________.
图6
1.过点(0,-2)的直线
l1:y1=kx+b(k≠0)与直线l2:y2=x+1交于点P(2,m). (1)写出使得y1<y2的x的取值范围. (2)求点P的坐标和直线l1的解析式.
2.如图,边长为 a,b 的矩形的周长为 14,面积为 10,则 a2b+ab2 的值为 ( ) A.140 B.70 C.35 D.24
（2）数形结合思想
由数想形
1.如图
6，直线 l
:
y
2 3
x
3与直线
y
a
(
a
为常数)的交点在第四象限，则
a 可能在(
)
A.1 a 2
B. 2 a 0
见形C思. 数3 a 2 D. 10 a 4
2.有如图所示的两种广告牌,其中图是由两个等腰直角三角形构成的,

中考专题复习之数学思想方法

中考7大题型轻松搞定专题复习(一) 数学思想方法数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路．因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常用的解题方法与技巧，从而为夺取中考高分搭起灵感和智慧的平台．初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等．由于我们前面各种思想方法均有渗透，故本专题只是侧重如下几个思想方法予以强化．类型之一整体思想(2015²菏泽)已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，求m(m ＋1)2－m 2(m ＋3)＋4的值．【思路点拨】先将代数式化简，然后根据m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，得关于m 的等式，再整体代入求值．【解答】原式＝m(m 2＋2m ＋1)－m 2(m ＋3)＋4＝m 3＋2m 2＋m －m 3－3m 2＋4＝－m 2＋m ＋4＝－(m 2－m)＋4.∵m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，∴m 2－m －1＝0，即m 2－m ＝1.∴－(m 2－m)＋4＝－1＋4＝3.整体思想就是在解决问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的．1．(2015²天门)已知3a －2b ＝2，则9a －6b ＝________.2．(2015²呼和浩特)若实数a 、b 满足(4a ＋4b)(4a ＋4b －2)－8＝0，则a ＋b ＝__________． 3．(2015²绵阳)关于m 的一元二次方程7nm 2－n 2m －2＝0的一个根为2，则n 2＋n －2＝________.4．(2015²北京)已知2a 2＋3a －6＝0.求代数式3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)的值．类型之二分类思想(2015²襄阳)在▱ABCD 中，AD ＝BD ，BE 是AD 边上的高，∠EBD ＝20°，则∠A 的度数为________．【解答】本题分两种情况讨论：如图1，当BE 在△ABD 的内部时，∠1＝90°－∠EBD ＝90°－20°＝70°. ∴∠A ＝∠ABD ＝12(180°－∠1)＝55°.如图2，当BE 在△ABD 的外部时，∠1＝90°＋∠EBD ＝90°＋20°＝110°. ∴∠A ＝∠ABD ＝12(180°－∠1)＝35°.故答案为55°或35°.在几何问题中，当图形的形状不能确定时，需要根据图形的已知边角及图形的特征进行分类画图；在代数问题中，当某个字母的取值不能确定时，也应根据条件对字母的取值进行分类讨论．特别是对等腰三角形或直角三角形的形状不定进行分类在压轴题中渗透较多．1．(2015²烟台)等腰三角形三边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( )A ．9B ．10C ．9或10D ．8或102．(2015²黄石)当1≤x ≤2时，ax ＋2>0，则a 的取值范围是( ) A ．a>－1 B ．a>－2 C ．a>0 D ．a>－1且a ≠03．(2015²襄阳)点O 是△ABC 的外心，若∠BOC ＝80°，则∠BAC 的度数为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或140° D ．40°或100°4．(2015²东营)若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________．5．(2015²黄冈)在△ABC 中，AB ＝13 cm ，AC ＝20 cm ，BC 边上的高为12 cm ，则△ABC 面积为________cm 2.6．(2014²株洲调研)已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为__________________．第6题图第7题图7．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2 cm ，QM ＝4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心， 3 cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，请写出t 可取的一切值________(单位：秒)．类型之三转化思想(2015²黄石)解方程组：⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，①3x ＋2y ＝2.②【思路点拨】原方程组存在二次方程，先将二元一次方程化简，用未知数x 表示未知数y ，再根据方程组的特点进行消元求解．【解答】由②得4y 2＝4－43x ＋3x 2.③把③代入①，得x 2－3x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝ 3.当x 1＝0时，y 1＝1；当x 2＝3时，y 2＝－12.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－12.化归意识是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法，其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决的问题，以便利用已有的结论来解决问题．1．(2014²白银)如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．第1题图第2题图2．(2015²武汉)如图，∠AOB ＝30°，点M ，N 分别在边OA ，OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P ，Q 分别在边OB ，OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是________．3．(2015²临沂)如图，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上的一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD.(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若∠BAC ＝60°，OA ＝2，求阴影部分面积(结果保留π)．类型之四数形结合思想(2014²黄州模拟)如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1 cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与t 的函数关系的图形如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD ＝BE ＝5 cm ；②当0＜t ≤5时，y ＝25t 2；③直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t ＝294秒．其中正确的结论个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】 ①根据图2可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，BC ＝BE ，故①小题正确； ②当0＜t ≤5时，设y ＝at 2，将t ＝5，y ＝10代入求得a ＝25，故②小题正确；③根据题意可得N(7，10)，H(11，0)，利用待定系数法可以求出一次函数解析式y ＝－52t ＋552，故③小题错误；④∵∠A ＝90°，而点P 在运动过程中，∠BPQ ≠90°，∠PBQ ≠90°，∴△ABE 与△QBP 相似，Q 点在C 点处，P 点运动到CD 边上，∠PQB ＝90°.此时分△ABE ∽△QBP 和△ABE ∽△QPB 两种情况，当△ABE ∽△QBP 时，则AB QB ＝AEQP 可知QP ＝154，可得t ＝294，符合题意；当△ABE ∽△QPB 时，AB QP ＝AE QB ，可知QP ＝203>4，不符合题意，应舍去．故④小题正确．因此答案选B.数形结合主要有两种：①由数思形，数形结合，用形解决数的问题；②由形思数，数形结合，用数解决形的问题．1．(2015²莱芜)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动，设点P 经过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系图象是( )2．(2014²内江)若关于x 的方程m(x ＋h)2＋k ＝0(m 、h 、k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m(x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( )A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝23．(2015²荆州)如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA ＝8，AB ＝10，点C 在边OA 上，AC ＝2，⊙P 的圆心P在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切，若反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象经过圆心P ，则k ＝________.4．(2015²黄石)已知双曲线y ＝1x (x>0)，直线l 1：y －2＝k(x －2)(k<0)过定点F 且与双曲线交于A ，B 两点，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)，直线l 2：y ＝－x ＋ 2.(1)若k ＝－1，求△OAB 的面积S ；(2)若AB ＝522，求k 的值；(3)设N(0，22)，P 在双曲线上，M 在直线l 2上且PM ∥x 轴，求PM ＋PN 最小值，并求PM ＋PN 取最小值时P 的坐标．(参考公式：在平面直角坐标系中，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离为AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2)类型之五方程、函数思想(2015²莱芜)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，扇形半径为r ，点C 在弧AB 上，CD ⊥OA ，垂足为D ，当△OCD 的面积最大时，弧AC 的长为________．【思路点拨】由OC ＝r ，点C 在弧AB 上，CD ⊥OA ，求得DC ＝r 2－OD 2，运用S △OCD ＝12OD ²r 2－OD 2，求得△OCD的面积最大时，△OCD 是等腰直角三角形，由此可得弧AC 的圆心角为45°，利用弧长公式可求得弧AC 的长度．【解答】 ∵OC ＝r ，点C 在弧AB 上，CD ⊥OA ，∴DC ＝r 2－OD 2.∴S △OCD ＝12OD ²r 2－OD 2.∴S △OCD 2＝14OD 2²(r 2－OD 2)＝－14(OD 2－12r 2)2＋116r 4.∴当OD 2＝12r 2，即OD ＝22r 时，△OCD 的面积最大．此时DC ＝r 2－OD 2＝22r. ∴DC ＝OD.∴∠COD ＝45°.∴弧AC 的长为45°²π²r 180°＝π4r.故答案为π4r.在问题中涉及“最大值”或“最小值”时，一般要运用函数思想去解决问题，解决这里问题的关键是建立两个变量之间的函数关系．1．(2015²潍坊)如图，有一块边长为6 cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A. 3 cm 2B.32 3 cm 2C.92 3 cm 2D.2723 cm 2第1题图第2题图2．(2014²安徽)如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53B.52C ．4D ．5 3．(2014²武汉)如图，若双曲线y ＝kx 与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC ＝3BD ，则实数k 的值为________．第3题图第4题图4．(2015²莱芜)如图，反比例函数y ＝kx (x>0)的图象经过点M(1，－1)，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在x轴的正半轴上取一点P(t ，0)，过点P 作直线OM 的垂线l ，若点N 关于直线l 的对称点在此反比例函数的图象上，则t ＝________.参考答案类型之一整体思想1．6 2.－12或1 3.264.原式＝3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)＝6a 2＋3a －4a 2＋1＝2a 2＋3a ＋1.∵2a 2＋3a －6＝0，∴2a 2＋3a ＝6， ∴原式＝7.类型之二分类思想1．B2.A 提示：①当a>0时，得x>－2a ，∴－2a <1，即a>－2.又a>0，∴a>0；②当a ＝0时，原不等式为2>0，∴当1≤x ≤2时，不等式恒成立； ③当a<0时，得x<－2a ，∴－2a>2，即a>－1.又a<0，∴－1<a<0.综上所述，a 的取值范围是a>－1.故选择A.3.C 提示：分△ABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．4.±1 提示：分整理得的整式方程无解和分式方程增根两种情况讨论．5.66或126 提示：分当高在三角形内部和外部两种情况讨论．6.(3，4)或(2，4)或(8，4)7.t ＝2或3≤t ≤7或t ＝8类型之三转化思想1．122.10 提示：如图，作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接OM ′、ON ′、PM ′、QN ′、M ′N ′.由M ′P ＋PQ ＋N ′Q ≥M ′N ′(PQ 在M ′N ′上时等号成立)，则利用勾股定理求出M ′N ′的长即可．3.(1)证明：∵⊙O 切BC 于D ， ∴OD ⊥BC. ∵AC ⊥BC ， ∴AC ∥OD.∴∠CAD ＝∠ADO. ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO.∴∠CAD ＝∠DAO ，即AD 平分∠CAB. (2)设EO 与AD 交于点M ，连接ED.∵∠BAC ＝60°，OE ＝OA ， ∴△AEO 是等边三角形． ∴AE ＝OA ＝OD. 又AE ∥OD ，∴四边形AEDO 是平行四边形．∴EM ＝MO ，AM ＝MD. 又AE ＝OD ，∴△AME ≌△DMO. ∴S △AEM ＝S △DMO .又∠DOE ＝2∠DAE ＝∠BAC ＝60°， ∴S 阴影＝S 扇形EOD ＝60°³π³22360°＝2π3.类型之四数形结合思想1．C 2.B3.－5 提示：如图，连接AP 并延长交OB 于点E ，作PD ⊥OA 于点D ，EF ⊥AB 于点F.易求一些线段的长，再利用△ADP ∽△AOE 得AD OA ＝DPOE，计算得出DP 的长，得到P 点的坐标，从而得k 值．4.(1)当k ＝－1时，l 1解析式为y ＝－x ＋22，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋22，y ＝1x，得x 2－22x ＋1＝0，∴x 1＝2－1，x 2＝2＋1.设直线l 1与y 轴交于点C ，则C(0，22)．∴S △OAB ＝S △BOC －S △AOC ＝12²22(x 2－x 1)＝2 2.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －2），y ＝1x，得kx 2＋2(1－k)x －1＝0(k<0)，∴Δ＝2(1－k)2＋4k ＝2(k 2＋1)>0，则x 1，x 2是方程的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2（k －1）k ，x 1²x 2＝－1k.①AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（1x 1－1x 2）2＝（x 1－x 2）2（1＋1x 12x 22）＝[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2²（1＋1x 12x 22）. 将①代入，得AB ＝2（k 2＋1）2k 2＝2（k 2＋1）－k(k<0)． ∴2（k 2＋1）－k ＝52 2.∴2k 2＋5k ＋2＝0.∴k ＝－2或k ＝－12.(3)由题可知：F(2，2)，设P(x ，1x )，则M(－1x ＋2，1x ) 则PM ＝（x ＋1x －2）2＋（1x －1x）2＝（x ＋1x－2）2＝x 2＋1x 2－22（x ＋1x ）＋4PF＝（x －2）2＋（1x －2）2＝x 2＋1x 2－22（x ＋1x）＋4，∴PM ＝PF.∴PM ＋PN ＝PF ＋PN ≥NF ＝2.且当P 在NF 上时等号成立，此时NF 的方程为y ＝－x ＋2 2. 由(1)知，P(2－1，2＋1)，∴当P(2－1，2＋1)时，PM ＋PN 最小值是2.类型之五方程、函数思想1．C2.C 提示：设BN ＝x ，则依据折叠原理可得DN ＝AN ＝9－x. 又D 为BC 的中点，∴BD ＝3.在Rt △NBD 中，利用勾股定理，可得BN 2＋BD 2＝DN 2，则有32＋x 2＝(9－x)2，解得x ＝4，即BN ＝4. 故选择C. 3.934提示：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，设OC ＝3x ，则BD ＝x.在Rt △OCE 中，∠COE ＝60°，则OE ＝32x ，CE ＝332x ，∴点C 坐标为(32x ，332x)．在Rt △BDF 中，BD ＝x ，∠DBF ＝60°，则BF ＝12x ，DF ＝32x ，∴点D 的坐标为(5－12x ，32x)．将点C 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝934x 2.将点D 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝532x －34x 2.∴934x 2＝532x －34x 2，解得x 1＝1，x 2＝0(舍去)．故k ＝934³12＝934.4.1＋52提示：作点N 关于直线l 的对称点E ，连接PE.则NE ⊥l ，PN ＝PE. ∵OM ⊥l ，∴NE ∥OM.∴∠PNE ＝∠POM.∵M(－1，1)，∴ON ＝MN ＝1.∴∠NOM ＝45°.∴∠PNE ＝∠PEN ＝45°，PE ＝PN ＝t －1.∴EP ⊥x 轴．∴反比例函数的关系式为y ＝－1x. ∵E(t ，1－t)，∴1－t ＝－1t ，解得t ＝1±52. ∵t ＞0，∴t ＝1＋52.。

中考数学专题复习：数学思想方法

专题01 数学思想方法【要点提炼】一、【分类讨论的思想方法】有些问题包含的对象比较复杂，很难用一种情况概括它的全貌，这时往往按照一种标准把问题分成几类，分别进行讨论，再综合起来进行说明，这种思想方法称为分类讨论思想。

二、【数形结合思想】数形结合思想就是数学问题的题设与结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决。

在进行二次根式的化简时，可以利用数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简。

三、【整体思想】整体思想是一种重要的思想方法，它把研究对象的一部分(或全部)视为整体，在解题时，则把注意力和着眼点放在问题整体结构上，从而触及问题的本质，避开不必要的计算，使问题得以简化。

四、【转化的思想方法】如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a ＞0)，那么x=a或-a.【专题训练】一、单选题（共10小题）1.将一元二次方程x2+4x+2＝0配方后可得到方程（）A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6【答案】B【解答】解：x2+4x+2＝0，x2+4x＝﹣2，x2+4x+4＝2，（x+2）2＝2．故选：B．【知识点】解一元二次方程-配方法2.若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（）A．a＜0 B．a＞4 C．a＜0或a＞4 D．0＜a＜4【答案】D【解答】解：令y=x2+ax+a，这个函数开口向上，式子的值恒大于0的条件是：△=a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜4．故选：D．【知识点】配方法的应用3.已知a，b，c为有理数，当a+b+c＝0，abc＜0，求的值为（）A．1或﹣3 B．1，﹣1或﹣3 C．﹣1或3 D．1，﹣1，3或﹣3【答案】A【解答】解：∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a、a+c＝﹣b、a+b＝﹣c，∵abc＜0，∴a、b、c三数中有2个正数、1个负数，则原式＝+﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3或1﹣1+1＝1或﹣1+1+1＝1．故选：A．【知识点】绝对值、代数式求值4.若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．3 B．4 C．9 D．12【答案】C【解答】解：a3b﹣2a3b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2将a﹣b＝3，ab＝1代入，原式＝1×32＝9，故选：C．【知识点】整式的混合运算—化简求值5.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b【答案】A【解答】解：由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2故选：A．【知识点】二次根式的性质与化简、实数与数轴6.若一个正比例函数的图象经过点A（1，﹣2），B（m，4）两点，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【答案】B【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），将A（1，﹣2）代入y＝kx，得：﹣2＝k，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x．当y＝4时，﹣2m＝4，解得：m＝﹣2．故选：B．【知识点】待定系数法求正比例函数解析式7.下列分式方程无解的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵方程A去分母，得2x＝3（x﹣3），解得x＝9，当x＝9时，x（x﹣3）≠0，所以原方程的解为x＝9；方程B去分母，得x2﹣1＝2x﹣2，解得x＝1，当x＝1时，（x﹣1）（x2﹣1）＝0，所以原方程无解；方程C去分母，得x+3﹣4x＝0，解得x＝1，当x＝1时，2x（x+3）≠0，所以原方程的解为x＝1；方程D去分母，得3x＝2x+3x+3，解得x＝﹣，当x＝﹣时，3x+3≠0，所以原方程的解为x＝﹣．故选：B．【知识点】分式方程的解8.当时，x+y的值为（）A．2 B．5 C．D．【答案】D【解答】解：∵+＝﹣，∴两边平方得出x+y+2＝8﹣2，∵＝﹣，∴两边同乘2，得2＝2﹣2，∴x+y+2﹣2＝8﹣2，则x+y＝8﹣4+2．故选：D．【知识点】二次根式的化简求值9.已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是（）x…﹣2 ﹣10 1 2 …y…4 3 2 1 0…A．y＝﹣2x B．y＝x+4 C．y＝﹣x+2 D．y＝2x﹣2【答案】C【解答】解：设y与x之间的函数关系的解析式是y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，y与x之间的函数关系的解析式是y＝﹣x+2．故选：C．【知识点】待定系数法求一次函数解析式10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣9，7），B（﹣3，0），点P在x轴的正半轴上运动，将线段AB沿直线AP翻折到AC，当点C恰好落在y轴上时，直线AP对应的函数表达式可以是（）A．y＝x+8 B．y＝﹣C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x+4【答案】B【解答】解：连接BC，交P A于Q，由题意可知，P A垂直平分BC，设直线P A的解析式为y＝kx+b，把A（﹣9，7）代入得，7＝﹣9k+b，∴b＝9k+7，∴直线P A的解析式为y＝kx+9k+7，设直线BC的解析式为y＝﹣x+n，把B（﹣3，0）代入得0＝+n，∴n＝﹣，∴C（0，﹣），∴Q（﹣，﹣），∵Q在直线P A上，∴﹣＝﹣k+9k+7，整理得，15k2+14k+3＝0，解得k1＝﹣，k2＝﹣，∴直线P A的解析式为y＝﹣x+，或y＝﹣x+4，故选：B．【知识点】待定系数法求一次函数解析式二、填空题（共8小题）11.用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为﹣．【答案】（x-1）2=7【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝6，配方得：x2﹣2x+1＝7，即（x﹣1）2＝7．故答案为：（x﹣1）2＝7．【知识点】解一元二次方程-配方法12.如图，字母b的取值如图所示，化简：|b﹣1|+＝．【答案】4【解答】解：由数轴得2＜b＜5，所以原式＝|b﹣1|+＝|b﹣1|+|b﹣5|＝b﹣1+5﹣b＝4．故答案为4．【知识点】实数与数轴、二次根式的性质与化简13.若关于x的方程﹣1＝有无解，则m＝﹣﹣．【解答】解：去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，整理得：（2m+1）x＝﹣6，当2m+1＝0，即m＝﹣时，整式方程无解，即分式方程无解；当2m+1≠0，即m≠﹣时，x＝﹣，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，把x＝0代入整式方程无解；把x＝3代入整式方程得：m＝﹣，综上，m＝﹣或﹣，故答案为：﹣或﹣【知识点】分式方程的解14.如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．【解答】解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD，∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD，∵BC＝3，∴CD+2CD＝3，∴CD＝，∴DB＝2，故答案为：2．【知识点】勾股定理、含30度角的直角三角形16.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b均为常数）与正比例函数y＝k2x（k2为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为．【答案】x＜3【解答】解：两条直线的交点坐标为（3，﹣1），且当x＜3时，直线y＝k2x在直线y＝k1x+b的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＜3．故答案为x＜3．【知识点】一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象17.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．若劣弧的长为，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：连接OA，如图，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵劣弧的长为，∴＝，解得OC＝2，∵∠D＝30°，∠DOA＝60°，∴∠OAD＝90°，∴AD＝OA＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△AOD﹣S扇形AOC＝×2×2﹣＝2﹣π．故答案为2﹣π．【知识点】弧长的计算、扇形面积的计算、圆周角定理18.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为直线x＝﹣1．则该抛物线的解析式为﹣﹣．【答案】y=-x2-2x+3【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴A点坐标为（﹣3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3．故答案为y＝﹣x2﹣2x+3．【知识点】抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质三、解答题（共8小题）19.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【解答】解；解不等式x+1＜2，得：x＜1，解不等式2（1﹣x）≤6，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【知识点】在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组20.（1）解方程：．（2）关于x的分式方程无解，求a的值．【解答】解：（1）方程整理得：+＝+，即＝，当2x+8＝0，即x＝﹣4时，方程成立；当2x+8≠0，即x≠﹣4时，方程无解，经检验x＝﹣4是分式方程的解；（2）去分母得：x2﹣ax﹣3x+3＝x2﹣x，即﹣ax﹣3x+3＝﹣x，由分式方程无解，得到x＝0或x﹣1＝0，解得：x＝0或x＝1，把x＝0代入整式方程得：无解；把x＝1代入整式方程得：a＝0，则a的值为1．【知识点】分式方程的解、解分式方程21.某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为168m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长．（2）养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你用配方法求出；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x 米，则x（40﹣2x）=168，整理得：x2﹣20x+84=0，解得：x1=14，x2=6，∵墙长25m，∴0≤BC≤25，即0≤40﹣2x≤25，解得：7.5≤x≤20，∴x=14．答：鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米．（2）围成养鸡场面积为S，则S=x（40﹣2x）=﹣2x2+40x=﹣2（x2﹣20x）=﹣2（x2﹣20x+102）+2×102=﹣2（x﹣10）2+200，∵﹣2（x﹣10）2≤0，∴当x=10时，S有最大值200．即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10米时，围成养鸡场面积最大，最大值200米2．【知识点】一元二次方程的应用、二次函数的应用、配方法的应用22.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝5cm，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）平行四边形ABCD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AO＝CO，BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分），∵△AOB是等边三角形（已知），∴OA＝OB＝OC＝OD（等量代换），∴AC＝BD（等量代换），∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；（2）因为AB＝5，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝10，则BC＝＝5，所以平行四边形ABCD的面积S＝5×5＝25（cm2）．【知识点】等边三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质23.如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝8，点D、E分别在边AB、BC上（不与顶点重合），且∠CDE＝∠A＝∠B，CE＝5，设AD＝x，BD＝y．（1）求y关于x的函数关系式（不用写x的取值范围）；（2）当AB＝10时，求AD的值．【解答】解：（1）∵CB＝8，CE＝5，∴BE＝CB﹣CE＝3，∵∠ADB是△ADC的一个外角，∴∠BAE+∠CDE＝∠A+∠ACD，∵∠CDE＝∠A，∴∠ACD＝∠BDE，∵∠A＝∠B，∴△ACD∽△BDE，∴＝，即＝，整理得，y＝；（2）当AB＝10，即x+y＝10时，10﹣x＝，整理得，x2﹣10x+24＝0，解得，x1＝4，x2＝6，则AD的值为4或6．【知识点】等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质24.四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD．求∠CAD的大小；（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB＝BC，OC∥AB，求∠ACO的大小．【解答】解：（1）∵BC＝CD，∴＝，∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝35°；（2）连接BD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵OC∥AB，∴∠BAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BAC＝∠BCA＝∠OAC，由圆周角定理得，∠BCA＝∠BDA，∴∠BAC＝∠BDA＝∠OAC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ACO＝30°．【知识点】圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质、圆周角定理25.如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵AB⊥OD，∴∠OCB＝90°，AC＝BC＝AB＝，∵点C为OD的中点，∴OC＝OB，∵cos∠COB＝＝，∴∠COB＝60°，∴OC＝BC＝×＝1，∴OB＝2OC＝2，∴OD＝OB＝2；（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB＝﹣××1＝π﹣．【知识点】勾股定理、垂径定理、扇形面积的计算26.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．已知B（1，0），C（0，﹣3）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接AP，AP的垂直平分线交直线PE于点M，则线段EM 的长为．注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（0，﹣3），代入得：，解得：，∴抛物线表达式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）∵直线PE为抛物线对称轴，∴E（﹣1，0），∵B（1，0），∴A（﹣3，0），∴AP＝＝，∵MN垂直平分AP，∴AN＝NP＝，∠PNM＝90°，∵∠APE＝∠MPN，∴△PMN∽△P AE，∴，即，解得：PM＝，∴EM＝PE﹣PM＝4﹣＝，故答案为：．【知识点】二次函数图象与系数的关系、线段垂直平分线的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征。

中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习(一)数学思想方法试题及答案

专题复习(一) 数学思想方法1．(2016·威海)若x 2－3y －5＝0，则6y －2x 2－6的值为(D)A ．4B ．－4C ．16D ．－162．(2016·兰州)如图，用—个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm3．(2016·恩施)已知∠AOB＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC＝42°，则∠BOC 的度数为(C) A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°4．(人教9上教材P116T8变式)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧面两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30 cm ，扇面BD 的长为20 cm ，则扇面的面积为(A)A.8003π c m 2B.203π cm 2C.803π cm 2D.1 6003π cm 25．如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1 cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE ＝5 cm ；②当0＜t≤5时，y ＝25t 2；③直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t ＝294秒．其中正确的结论个数为(B)图1 图2A ．4B ．3C ．2D ．1提示：①②④正确，直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋552.6．(2016·淄博)如图，△ABC 的面积为16，点D 是BC 边上一点，且BD ＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形．则图中阴影的面积是(B)A ．3B ．4C ．5D ．67．(2016·雅安)已知a ＋b ＝8，a 2b 2＝4，则a 2＋b22－ab ＝28或36．8．(2016·荆州)若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为1，2或－1．提示：分函数为一次函数和二次函数两种情况考虑．9．(2016·随州)已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2－8x ＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为19或21或23．10．(2016·临沂)如图，将一矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A ，C 重合，折痕为FG.若AB ＝4，B C ＝8，则△ABF 的面积为6．11．(2016·东营)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是4．提示：DE ＝2OD ，又OD 的最小值就是当OD⊥BC 时的情况，此时OD ＝12AB ＝2，∴DE 的最小值为4.12．(2016·鄂州)如图，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB 为直角三角形时，AP13．(2016·江西)如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，A D ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是14．(2016·宜宾)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点(不含B 、C 两点)，将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA 、NA ，则以下结论中正确的有①②⑤(写出所有正确结论的序号)．①△CMP ∽△BPA ；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为25；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP ＝42－4.15．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根． (1)求a 的最大整数值； (2)当a 取最大整数值时， ①求出该方程的根；②求2x 2－32x －7x 2－8x ＋11的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a 的最大整数值为7.(2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0.解得x 1＝4＋7，x 2＝4－7.②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，∴x 2－8x ＝－9.∴2x 2－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.16．(2016·岳阳)已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值(要求先化简再求值)．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4m(m ＋1)＝1，∴b 2－4ac ＞0，即方程总有两个不相等的实数根． (2)∵方程的一个根为x ＝0， ∴m(m ＋1)＝0.∴原式＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5 ＝3m(m ＋1)＋5 ＝3×0＋5＝5.。

中考数学第二轮复习方法题型

第二轮复习一化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2），所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ，所以AC ＝BD ．所以GD=DE ．在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BDBE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．解：因为222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，即：222()()()0a b b c a c -+-+-=所以a=b ，a=c ， b=c所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想

2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。

分类要做到不遗漏，不重复。

分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。

分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。

二、引起分类讨论的原因主要有：1．涉及的数学概念是分类进行的2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。

四、主要分类有：1.数与代数中的分类2.几何中图形位置关系不确定的分类。

3.动点引起的分类（一）.数与代数中的分类1.概念中的分类例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（）解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,又∵|m-n| =n-m,所以 n-m ≥0,n ≥m. 当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1; 当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49, 所以(m+n)²的值是 49 或 1.小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.练习．（1）已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则______（2）已知a ，b 为有理数，且ab>0，则的值为( )2..(2009 年钦州)当 b ≠0 时,比较1+b 与1 的大小; 解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0. 当 b>0 时,1+b>1; 当 b<0 时,1+b<1.小结：用分类讨论可以判断大小。

中考数学第二轮专题数学思想方法(二)

中考数学第二轮专题复习（三）---- 数学思想方法（二）（方程思想、函数思想、数形结合思想）一、中考专题诠释：见数学思想方法（一）二、解题策略和解法精讲：见数学思想方法（一）三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。

构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。

例5 （2013•凉山州）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．对应训练5．（2013•济南）某地计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？考点六：数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)A．x＞1 B．-1＜x＜0C．-1＜x＜0或x＞1 D．x＜-1或0＜x＜1四、中考真题训练一、选择题1．（2013•六盘水）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（）A．B．C．D．2．（2013•南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2013•娄底）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2第3题第5题第6题4．（2013•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断5．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜022A．B．C．D．8．（2013•凉山州）如图，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E（-1，2），若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）第8题第9题第10题第11题A．B．C．D．9．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b．则M，N，P中，值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．（2013•杭州）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（）。

中考数学二轮复习：重视数学思想方法训练

中考数学二轮复习：重视数学思想方法训练
2019年中考数学二轮复习：重视数学思想方法
训练
2019年中考数学二轮复习：重视数学思想方法训练！数学思想方法是数学的核心、解题的灵魂，是数学基本知识的重要组成部分。

中考数学试题特别注重突出数学思想和方法的考查。

其中，数学思想有：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想等。

在所有中考试题中，同学们普遍感到困惑的无疑是最后两题：函数中的图形、图形中的函数、分类讨论等数学思想问题。

可以说，正是这两题最终拉开了试卷的得分。

因此，在第二轮复习时，建议同学们在复习中注重数学思想方法的复习与梳理。

从数学思想方法的高度，概括、总结、揭示一类问题的解题规律，从而提高解题能力，提高自身的思维品质。

使我们不仅会梳理知识，更会用数学思想方法进行反思，能在千变万化的问题情景中，把握好数学思想方法获取数学知识，发展数学能力的动力工具，灵活运用知识，发展思维。

数学思想方法不同于某一个定理，会了理解了就能把问题解决掉，至少有个思考的方向，要用某一个定理。

对某一种数学思想的学习训练、有意识的总结体会，过一段时间后你会感觉这样解题是很自然的事，如果几何图形中，。

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抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
例 1 （2013•吉林）若 a-2b=3，则 2a-4b-5=
．
思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将 a-2b=3 整体代入并求
值即可．
解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1．
故答案是：1．
点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，
首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
对应训练
1．（2013•福州）已知实数 a，b 满足 a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3 的值是
．
1．1000
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是
将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体
2014 年中考数学二轮复习精品资料
数学思想方法（一）
（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

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中考数学第二轮专题数学思想方法（优秀版）word资料中考数学第二轮专题复习（二）----数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 （2020 •吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．对应训练1．（2020 •福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。