简单桁架内力计算
用截面法求桁架的内力
ΣХ=0
FN2=0
ΣMD=0 FN1×3a+F×a=0 ΣMC=0 – FN3×3a – F×2a=0
FN1 = –F/3= –10KN
FN2 = 0
FN 3= –2F/3 =－20KN
2.判别结构中的零杆
Ⅰ
aaa
C
D
F
FN1 FN3
FN2
例6：图示结构为二个正三角形，大三角形
边长为3a，小三角形边长为a，
A
C
B
为研究对象可知：
4m 4m
FNCE=FNCD=0
B.有特殊结点可知：
FNDA=FNDF= FNEB=FNEG= 0
C.取结点A或取结点F
ΣХ=0 －FNAGcosα－ FNAC= 0
A
ΣY=0 FNAGsinα + F=0
F
cosα=0.707 sinα=0.707
FNAG= FNBF= － 1.414F= － 14.14KN
F
F
F
Ⅰ
己知，F=10KN，a=4m。 F
G1 H I
J
解：
1.求支座反力， 由对称性知：
2
A
3
B
CⅠD E
4a
a
FRA=FRB=1.5F
2.用Ⅰ-Ⅰ截面将桁架切开取左边 作为研究对象画出受力图。
简单桁架内力计算
3.4 静定平面桁架
教学要求
掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法
3.4.1 桁架的特点和组成
3.4.1.1 静定平面桁架
桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较
为广泛，如XX长江大桥、钢木屋架等。
实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，
要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定：
（1）桁架的结点都是光滑的铰结点。
（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。
（3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。
通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。
3.4.1.2 桁架的受力特点
桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。
3.4.1.3 桁架的分类
（1）简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-14a）
（2）联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b）
（3）复杂桁架：不属于前两类的桁架。（图3-14c）
3.4.2 桁架内力计算的方法
桁架结构内力计算方法
桁架结构内力计算方法
在计算桁架结构内力时，可以采用以下步骤：
1.给定载荷：首先确定桁架结构所受到的外部载荷，包括竖向荷载、
水平荷载和斜向荷载等。这些载荷可以通过静力学分析或者实际测量得到。
2.确定支座反力：根据结构平衡条件，计算出桁架结构支座的反力。
支座反力是由桁架结构与支座之间的约束关系决定的。
3.确定节点平衡条件：桁架结构中的每个节点都应满足平衡条件，即
节点受力平衡。根据节点的受力平衡条件，可以得到每个节点处的力平衡
方程。
4.建立杆件的受力方程：根据构件材料的力学性质和几何形状，建立
每根杆件的受力方程。通常使用杆件受力平衡和伸缩力平衡方程。
5.解方程求解内力：将节点平衡条件和杆件受力方程组合起来，得到
一个线性方程组。通过求解这个方程组，可以求解出各个构件的内力大小
和方向。
在具体计算过程中，可以采用不同的计算方法来求解桁架结构的内力。以下是几种常用的计算方法：
1.切线法：切线法是一种基于几何形状的方法，通过假设桁架结构各
个构件处于弧形变形状态，利用切线关系计算出内力。该方法适用于相对
简单的桁架结构。
2.牛顿-拉夫逊法：牛顿-拉夫逊法是一种基于力的平衡条件的方法，
通过迭代计算桁架结构内力。该方法适用于复杂的桁架结构。
3.力法：力法是一种基于力平衡方程和几何条件的方法，通过逐个构件计算内力。该方法适用于任意形状的桁架结构。
以上是桁架结构内力计算的基本方法和一些常用的计算方法。在实际应用中，还可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。
桁架的内力计算
当另一杆受拉，且两杆拉压力相同时，不论此拉杆 是否中断，压杆的计算长度均为 0.5l ,当另一杆受 压时，若两杆压力相同且不中断，计算长度为 l ， 若另一杆断开，则压杆的计算长度将大于 l 。
刚度要求：
[ ]
容许长细比，查规范（GB50017)。
18
2.3.3杆件截面型式
2
计算内力系数
3
3.节点刚性影响 节点刚性引起杆件次应力，次应力一般较小， 不予考虑。但荷载很大的重型桁架有时需要计 入次应力的影响。
4.杆件的内力变号 屋架中部某些杆件在全跨荷载时受拉，而在半 跨荷载时可能受压。 半跨荷载：活荷载、雪荷载、积灰荷载、单侧 施工
4
5.节间荷载作用的屋架 将节间荷载分配到相邻的节点上，按只有节点荷载作 用的屋架计算各杆内力。
底板厚度：按均布荷载下板的抗弯计算，将基础 反力看成均布荷载q,底板被节点板和加劲肋分成4 块两相邻边支撑的板，其单位宽度的弯矩为：
M qa
2 1
R 底板下的平均压应力： q An
底板厚度： t 6M f
51
②加劲肋：按悬臂梁计算，固端截面的剪力 V R
固端截面弯矩
33
⑶节点板的拉剪破坏：
N f (i Ai )
i
1 1 cos2 i
i 第i段的拉剪折算系数
简单桁架内力的计算方法
桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。
3.4.1.3桁架的分类
（1） 简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图
3-14a
（2） 联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b）
解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆的特点，使问题可解。
在具体计算时，规定内力符号以杆件受拉为正，受压为负。结
占
八、、
隔离体上拉力的指向是离开结点，压力指向是指向结点。对于方向已 知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通常假设为 拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。
实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复
杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的
结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过
其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的
(2)当结点单杆上无荷载作用时，单杆的内力必为零。
(3)如果依靠拆除单杆的方法可以将整个桁架拆完，则此桁架可以应用结点法将各杆的内力求 出，计算顺序应按照拆除单杆的顺序。
理论力学4.1、平面简单桁架的内力计算
Fix
0
F2
F1
c os30
0
F2
8.66(kN)
研究对象：D节点(图c)；
Fix Fiy
0 0
F5 F3
F2 8.66(kN) P 10(kN)
研究对象:C节点(图d)
Fix 0 F4 cos30 F1 cos30 0 F4 10(kN) 9
2、截面法
m
例4.1-2 在图示桁架中,各杆长
度都为a,FG=10kN,FH=7 kN,
FE=5kN;求1、2、3杆的内力
n
解 研究对象:整体; mA(Fi ) 0
FG * a FH * 2a FE * a cos30 FBY *3a 0 FBY 9.44(kN)
(刚化公理的应用)
6
平面简单桁架：以三角形框架为基础,每增加一个节点 就要增加两根杆,而且所有的杆件都在同一平面内；
7
平面简单桁架各杆的内力计算：节点法与截面法 1、节点销钉分析法(简称节点法)
通过研究桁架中每个节点(销钉)的受力平衡,以确 定各杆的受力情况 例4.1-1 在图示平面桁架中,节点D的铰链销钉
9knfby??设设123杆都处于受压状态用mn面同时截断杆12和杆3取右半部分为研究对象图b0??igfm?0??if?????????????????030sin30sin30cos060cos030cos33212?????aafafaffffffffbyhehby31
桁架的内力计算
图1 屋架节点荷载的计算
桁架的内力计算
当桁架只受节点荷载时，其杆件内力一般按节点荷载作用下的铰接桁架计算。这样，所有杆件都是轴心受压或轴心受拉杆件，不承受弯矩。具体计算可用数解法（节点法或截面法）、图解法（主要是节点法）、图解法（主要是节点法）、计算机法（常用有限元位移法）等。
实际桁架节点为焊缝、铆钉或螺栓连接，具有很大的刚性，接近于刚接。按刚接节点分析桁架时，各杆件将既受力又受弯矩。但是，通常钢桁架中各杆件截面的高度都较小，仅为其长度的1/15（腹杆）和1/10（弦杆）以下，抗弯刚度较小；因而按刚接桁架算得的杆件弯矩M 常较小，且杆件轴心力N 也与桁架计算结果相差很小。故一般情况都按铰接桁架计算。
对少数荷载较大的重型桁架，例
如铁路桥梁等，当杆件截面高度超过
其长度的1/10时，次应力份额逐渐增
大，可达10～30%或以上，必要时应作
计算。目前用计算机计算刚接桁架已
无困难。
据上所述，檩条或大型屋面板等
集中荷载只作用在屋架节点处时，可
按铰接桁架承受节点荷载计算杆件内
力，例如图1。这时节点荷载值即为檩
条或边肋处的集中荷载值，按式上一小节公式，即：100011122
F qA qbd d F qA qb d d d F qA qb == ==+
+== 来计算。 该图中檐口檩条集中荷载F 0在桁架计算时可归并入F 1内（或端节间按伸臂梁而将F 0（1＋d 1/ d ）并入F 1，－F 0 d 1/d 并入第二节点F ）；另外在计算上弦杆的支座截面时，除考虑轴心压力外还考虑偏心弯矩M e ＝F 0 d 1。
四平面桁架的内力计算
四平面桁架的内力计算
平面桁架是由各种杆件和节点组成的结构，用来支撑和传递荷载。在设计和分析平面桁架时，需要计算每个杆件上的内力，以确定结构的稳定性和强度。以下是平面桁架内力计算的方法。
平面桁架的内力计算可以分为两个步骤：静力平衡方程的建立和内力计算。
首先，建立静力平衡方程。根据平面桁架的静力学原理，每个节点上的力的合力应等于零，每个节点上的力的合力矩也应等于零。使用静力平衡方程可以得到各个节点上的力的关系。
节点力的计算可以通过以下步骤进行：
1.选择一个节点作为参考节点，通常选择固定支座或者荷载作用点。
2.对于选择的参考节点，假设节点上的力的方向和大小，通常选择正向或者逆时针方向。
3.根据杆件的连接方式和静力平衡方程，计算其他节点上的力的方向和大小。
4.如果计算出的节点力的方向和大小与假设的相符，则计算准确。如果不相符，则重新选择节点力的方向和大小，重复第3步。
5.重复第2和第3步，直到计算出所有节点上的力的方向和大小。
节点力的方向和大小确定后，可以计算每个杆件上的内力。
杆件内力的计算可以通过以下步骤进行：
1.根据杆件的连接方式，在每个节点上绘制弯矩图和剪力图。
2.根据支点条件和杆件的连接方式，计算杆件上的弯矩和剪力。
3.根据杆件的材料性质和截面形状，计算杆件上的正应力和切应力。
4.计算出每个杆件上的内力，包括正应力和切应力的大小和方向。
在计算内力时，需要注意以下几个问题：
1.合理选择参考节点，通常选择固定支座或者荷载作用点，可以简化
计算过程。
2.在考虑弯矩和剪力时，需要考虑实际杆件长度和杆件的连接方式。
工程力学-桁架内力的计算
以节点C为例：
从桁架中取出销钉C为分离体，画出受力图。
当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的
方向由节点指向外，沿杆的方向作用。
A
D 0
P
C 00 F
B
FCD
P
C
FCF
E
10
对有n个节点、S根杆的桁架，每个节点的平面汇交 力系可建立2个平衡方程，共有2n个独立方程，此外， 对桁架整体，共有S+3个未知力(S根杆的内力、3个 对桁架整体的外部约束力)，若2n=S+3，则各杆的内 力可根据各节点的平衡方程一步步求得。
E \\
FDB
1 2
(
P) 2
P 4
FAy A
\\ 0
D
GP
FBy
B
15
例题
例题6
§7 力系的平衡
3. 取节点G
Fi 0 FGD cos30 P cos30 0
FGD P
已求得：
FGB
P 2
Fi 0 FGC FGB P cos60 FGD cos60 0 C
FGC
G
FDG
21
例题
§7 力系的平衡
例题7
3.取整体为研究对象
FAy 2m
Fix 0 FAx FGH 0
简单桁架内力的计算方法
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3.4 静定平面桁架
教学要求
掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法
3.4.1 桁架的特点和组成
3.4.1.1 静定平面桁架
桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。
实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定：（1）桁架的结点都是光滑的铰结点。
（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。
（3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。
通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。
3.4.1.2 桁架的受力特点
桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。
3.4.1.3 桁架的分类
（1）简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-14a）
（2）联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b）
平面简单桁架的内力分析
Y 0 Y A S5 sin P 0 S5 0 X 0 S6 S5 cos S4 X A 0 S6 Pa
h
三、特殊杆件的内力判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
S1 S2 0
0 X 0 S2 S1 cos 30 0 0 Y 0 N A S1 sin 30 0
解得S2 8.66kN, S1 10kN(表示杆受压)
X 0 Y 0
S4 cos 300 S1 ' cos 300 0
S3 S1 'sin 300 S4 sin 300 0
代入S1' S1
解得: S3 10 kN, S4 10 kN
X 0
' S5 S 2 0
' 代入S2 S2后
解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
' 解得S 10 kN, 3
恰与 S 3相等,计算准确无误。
平面简单桁架的内力分析
桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。
节点
杆件
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
③外力作用在节点上。
主要方法 ： 节Hale Waihona Puke Baidu法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力
桁架内力计算
以节点D为例：
从桁架中取出销钉D为分离体，画出受力图。
当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的
方向由节点指向外，沿杆的方向作用。
P
A
P
P
C
D
F
E
P
D
F3
B
F1
F2
每个节点可建立2个平衡方程，对有n个节点、S根杆 的静定桁架，共有2n个独立方程，此外，对桁架整体， 共有S+3个未知力(S个未知内力、3个对桁架整体的未 知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方 程一步步求得。
FA
A
FO O FO O
B
FB
FA
A
FO O FO O
B
FB
FO 或 FO 称为二力杆的内力。可用代数值FO表示。
二力杆内力的符号规定：
二力杆的内力以拉力为正，压力为负。
FAB
FA B
FCD
FCD
A
B
C
D
AB杆内力FAB为正
CD杆内力FCD为负
通常约定二力杆的内力未知时按受拉假设：
FADPP 21243P
E
FAxA FAy
FAE FA D
A
F
E
B
2-6-1平面简单桁架的内力计算-节点法
平面简单桁架的内力计算
平面简单桁架
节点
1、各杆件为直杆， 各杆轴线位于同一平面内；
2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；
3、载荷作用在节点上，
且位于桁架几何平面内； 4、各杆件自重不计或均分布在节点上
在上述假设下， 桁架中每根杆件均为二力杆，称为理想桁架。 关于平面桁架的几点假设：
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求解桁架内力的方法
1、节点法
2、截面法
桁架的每个节点都受一个平面汇交力系作用。为了求每一个杆件的内力，可以逐个地取节点为研究对象，由已知力求出全部未知的杆件内力的方法。
例题 已知: P =10kN,尺寸如图；
求: 桁架各杆件受力. 解: 取整体，画受力图.
取节点A ，画受力图
. ∑=0x F ∑=0y F ∑=0B M 0=Bx F 042=−Ay F P kN
5=Ay F 0
=−+P F F By Ay kN 5=By
F ∑=0y F
030sin 01=+F F Ay kN 101−=F (压)
∑=0x F 0
30cos 0
12=+F F kN 66.82=F (拉
)
取节点C ,画受力图. ∑=0x F 030cos 30cos 0'104=−F F kN 10
4−=F (压)
∑=0y F ()030sin 0
4'
13=+−−F F F kN 10
3=F (拉)
取节点D ,画受力图.
∑=0x F 0
'2
5=−F F kN 66.8
5=F (拉) 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
取节点C ,画受力图. ∑=0x F 030cos 30cos 0'104=−F F kN 10
简单桁架内力的计算方法
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3.4 静定平面桁架
教学要求掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法
3.4.1 桁架的特点和组成
3.4.1.1 静定平面桁架
桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。
实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定：
（1）桁架的结点都是光滑的铰结点。
（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。
（3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。
通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。
3.4.1.2 桁架的受力特点
桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。
3.4.1.3 桁架的分类
（1）简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-14a）
（2）联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图3-14b）
桁架的内力计算
M0为将上弦节间视为简支梁所得跨中弯矩。
好运动者健，好思考者智，好助人
6
者乐，好读书者博，好旅游者悦，
2.3.2桁架杆件的计算长度
计算长度概念：将端部有约束的压杆化作等 效的两端铰接的理想轴心压杆。
P 2EI cr1
(a)
L2
P 2EI
(b) cr2
( 0.5 L ) 2
(c)
P 2EI cr3 ( L ) 2
好运动者健，好思考者智，好助人
2
者乐，好读书者博，好旅游者悦，
计算内力系数
好运动者健，好思考者智，好助人
3
者乐，好读书者博，好旅游者悦，
➢ 3.节点刚性影响 节点刚性引起杆件次应力，次应力一般较小， 不予考虑。但荷载很大的重型桁架有时需要计 入次应力的影响。
➢ 4.杆件的内力wenku.baidu.com号 屋架中部某些杆件在全跨荷载时受拉，而在半
2.3 钢屋架设计
❖桁架的内力计算 ❖桁架杆件的计算长度 ❖杆件截面型式 ❖一般构造要求与截面选择 ❖桁架的节点设计 ❖桁架施工图
好运动者健，好思考者智，好助人
1
者乐，好读书者博，好旅游者悦，
2.3.1 桁架内力计算
➢ 1. 荷载分项系数及荷载组合系数按《建筑结构荷 载规范》选取。
➢ 2. 按节点荷载作用下的铰接平面桁架分析内力， 常用的内力分析方法有图解法、解析法、电 算。具体分析时，可先分别计算全跨和半跨单 位节点荷载作用下的内力，根据不同的荷载组 合，列表计算。
平面简单桁架的内力计算
FAy A
FAx
F
E FE FB
a a aa
CD B
FC
30
FAy FAx A
F m E FE FB a a aa
CD B FC m
作一截面m-m将三杆截断，取 左部分为分离体，受力分析如图。
由平衡方程
FAAy FAx
FF
E
FE
F a
C
CDE
FFC CD
联立求解得
31
求内力时，可利用下列情况简化计算：
a A a a aB
CD
FC
FAy A
FAx
联立求解得 FAx= －2 kN，FAy= 2 kN，FB = 2 kN
F
E FE FB
a a aa
CD B
FC
25
A FAx
FAF FAC
取节点A，受力分析如图。由平衡方程
FAy
F
FFE
FFA
FFC
FCF
C
FCA
FCE FCD
取节点F，受力分析如图。由平衡方程 取节点C，受力分析如图。由平衡方程
§2-6 平面简单桁架的内力计算 需要解决的问题：
1 什么是理想桁架？ 2 平面简单桁架 3 桁架计算的节点法 4 桁架计算的截面法 5 桁架中的零力杆
工程中的桁架结构
2
工程中的桁架结构