初中数学全等11个黄金模型及证明结论,全等三角形经典模型总结典型例题及答案解析
初中数学11个黄金模型
初中数学11个黄金模型
每年中考数学题，一般都把试题分为容易题(基础题)，中档题以及难题。
近年中考数学题中，难题一般都占全卷总分的四分之一强，难题不突破学生是很难取得中考好成绩的。
今天X推荐解数学题的方法。
中学数学难题解题方法
1，思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。
2，题意新或解题思路新的题目。
3，探究性或开放性的数学题。
有些老师认为，对全班进行面上的复习只要复习到中等题就行，不必进行难题的复习，那些智力好的学生你不帮他们复习他们也会做，那些智力差的学生你教他们也白白浪费时间。
其实，学生有一定的数学知识和基本的解题技能也不一定能解出难题，这是因为从数学基础知识出发到达中考的难题的答案，或者思维深度要求较高——学生思维深度
不够，或者思路很新——学生从来没有接触过。
但很多有经验的初三毕业班的老师的多年的实践证明，针对难题进行专题复习是很有必要的，只要复习得好，对中等以上学生解难题的能力的提高作用是较大的。
对此，我们在第二阶段复习中就要针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练。
当然，这种训练这种训练要注意题目的选择，不只针对中考，也要针对自己思维的不足，一定量的训练是必要的，但要给出足够的时间给进行解题方法和思路的反思和总结，只有多反思总结，我们的解题能力才能提高。
我们对难题进行分类专题复习时，应该把重点放在进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及迅速正确分析出解题思路这一点上，并从中培养自己解题的直觉思维。
应当先把难题进行分类。
然后进行分类训练。
全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型（一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE丄射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，Z C=90°,AD平分Z CAB,BC=6cm,BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.2、如图，已知，Z1=Z2,Z3=Z4,求证：AP平分Z BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分Z ABC，求证：Z A+Z C=180°.BE=1(AC-AB).例2、如图，在△ABC 中,Z BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ,且AB =AD ,作CM 丄AD 交 AD 的延长线于M.求证：AM=2（AB+AC ）.2（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A 、例题AE♦BOB辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF 〃射线OB 例1、如图，在A ABC 中，Z ABC =3Z C ,AD 是Z BAC 的平分线，BE 丄AD 于F. 求AE CDB三）角分线，分两边，对称全等要记全cNB B两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使OB=OA,从而使△OAC9A OBC.A、例题1、如图，在△ABC中，Z BAC=60°,Z C=40°,AP平分Z BAC交BC于P,BQ平分Z ABC交AC 于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ.2、如图，在△ABC中，AD是Z BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在厶ABC中，AB>AC,AD是Z BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB-AC>PB-PC.2、如图，A ABC中，AB=AC,Z A=100°,Z B的平分线交AC于D,求证：AD+BD=BC.3、如图，A ABC中，BC=AC，Z C=90°，Z A的平分线交BC于D，求证：AC+CD=AB.二、等腰直角三角形模型(一)旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：(1)将厶ABD逆时针旋转90°，得△ACM9△ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形.(2)辅助线作法：过点C作MC I BC，使CM=BD，连结AM.(二)旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.(1)使BF=AE(或AF=CE),导出△BDF9△ADE.(2)使Z EDF+Z BAC=180°，导出△BDF9△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，Z BAC=90°，点M、N在斜边BC上滑动，且Z MAN=45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M,连接M E、M C.试判断A EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt^ABC中，AB=AC，Z BAC=90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.(1)试判断A OMN的形状，并证明你的结论.(2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE=3,EF=5,DF=4,求Z BAE+Z DCF为多少度.三）构造等腰直角三角形1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC,Z ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC，求证：Z BCP=15°.diAABE^ABCD d 岀 ED=AE-CD由公ABE^ABCD 悼出EC=AB-CD tilAABE^ABCD 艸出BC=BE+ED=AB+CDA 、例题已知：如图所示，在A ABC 中，AB =AC ,Z BAC =90°,D 为AC 中点，AF 丄BD 于点E ,交BC 于F ,连接DF.变式1、已知：如图所示，在△ABC 中，AB =AC ,AM =CN ,AF 丄BM 于E ,交BC 于F ,连接NF.求证：（1）Z AMB =Z CNF ；（2）BM =AF +FN.三、三垂直模型（弦图模型） ①.②. ③-求证：Z ADB =Z CDF.变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM 和FN 分别延长交于点P ,求证：（1）PM =PN ；（2）PB =PF +AF.四、手拉手模型「△ABE和厶ACF均为等边三角形结论：(1)A ABF9A AEC.(2)Z BOE=Z BAE=60°.(3)OA平分Z EOF.(四点共圆证拓展：A ABC和A CDE均为等边三角形结论：(1)AD=BE；(2)Z ACB=Z AOB；(3)A PCQ为等边三角形；(4)PQ〃AE；(5)AP=BQ；(6)CO平分Z AOE；(四点共圆证(7)OA=OB+OC；(8)OE=OC+OD.((7),(8)需构造等边三角形证明)例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形厶ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.(1)求证：△AMB9AENB；(2)若AM+BM+CM的值最小，贝称点ABC的费尔马点.若点ABC的费尔马点，试求此时ZAMB、ZBMC、ZCMA的度数；(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以4BC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD =CF ；（2）BD 丄CF.变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS 丄BC 交FD 于T ,求证：（1）T 为FD 中点；（2）SSABC ADF2、A ABD 和A RCE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE =CD ；（2）BE 丄CD.F变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S,求证：AS丄BC.H360°4、如图，以A ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：Z1=Z2=180°-五、半角模型条件：a =1卩,且卩+9=180。
初二物理：全等三角形经典模型及例题详解
初二物理：全等三角形经典模型及例题详解全等三角形是初中物理中重要的概念之一，它涉及到三角形的形状和属性。
全等三角形意味着两个三角形在形状和大小上完全相同。
在本文档中，我们将详细讨论全等三角形的经典模型以及解决例题的方法。
1. 全等三角形的定义全等三角形的定义是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等。
当两个三角形的全部对应边长和对应角度分别相等时，我们可以说它们是全等三角形。
2. 全等三角形的经典模型在初二物理中，有一些经典的全等三角形模型，它们是我们解决问题时的基础。
- SSS模型：当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。
我们可以根据给定的三边长，推导出全等三角形的其他属性。
- SAS模型：当两个三角形的一边和两个对应角相等时，它们是全等三角形。
我们可以根据给定的一个边和两个对应角，推导出全等三角形的其他属性。
- ASA模型：当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。
我们可以根据给定的两个角和一边，推导出全等三角形的其他属性。
3. 全等三角形的例题详解通过解决一些例题，我们可以更好地理解全等三角形的概念和应用。
例题1：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，BC = EF，∠ABC = ∠DEF。
问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据SSS模型，当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。
根据题目条件，AB = DE，BC = EF，∠ABC =∠DEF，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。
例题2：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，∠ABC = ∠DEF，∠ACB = ∠DFE。
问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据ASA模型，当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。
根据题目条件，AB = DE，∠ABC =∠DEF，∠ACB = ∠DFE，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。
全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型（一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm,BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知,∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°。
(二)角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图,在△ABC中，∠ABC＝3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于F 。
求证：1()2BE AC AB=-。
例2、如图,在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证:1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中,∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ 。
2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由。
B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）。
求证：AB－AC＞PB－PC 。
2、如图，△ABC中,AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图,△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D,求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一)旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：(1)将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形. （2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.(二）旋转中心为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等:操作过程：连结AD。
三角形全等11大解题模型汇总
三角形全等11大解题模型汇总类别 1：角平分线模型应用模型 1：角平分性质模型：辅助线：过点 G 作 GE ⊥射线 AC【例题详解】①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1图2①2 （提示：作 DE ⊥AB 交 AB 于点 E）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.模型2：角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF∥射线OB【例题详解】已知：如图2，在中ABC ∆，,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线)(21.AC AB AM M AD AD CM +=⊥求证：的延长线于交作分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。
而此题突破口就在于 AB=AD，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点 C 作 CE∥AB 交 AM 的延长线于点 E.例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥模型3：角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA 上取点B ，使OB=OA ，从而使OAC ∆≌△OBC.【例题详解】①、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。
形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。
可过O 作BC 的平行线。
初二数学 全等三角形经典模型及例题详解
辅助线模型考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，Δ ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC交AC 于点D，CE 垂直于 BD，交BD 的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：证明：延长BA，CE 交于点F，在ΔBEF 和ΔBEC 中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
(完整)全等三角形的相关模型总结,推荐文档.docx
全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：辅助线：过点G 作 GE射线AC（1） .例题应用：①如图 1，在ABC中，C900， AD 平分 CAB , BC 6cm, BD 4cm,那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.②如图 2，已知，1 2 ，34 .求证： AP平分 BAC .图 1图2① 2（提示：作 DE AB 交 AB 于点 E ）②12 ， PM PN ，3 4 ， PN PQ ， PM PQ, PA平分 BAC .(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形 ABCD 中， BC>AB ， AD=CD ，BD 平分BAC ..求证：A C180图3练习二：已知如图4，四边形 ABCD 中，B D 1800 , BC CD.求证： AC 平分BAD .图 4练习三：如图5，Rt ABC 中， ACB900， CD AB, 垂足为 D ， AF 平分CAB ,交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F.(1)求证： CE=CF.(2)将图 5 中的△ ADE 沿 AB 向右平移到A' D ' E '的位置，使点 E'落在BC边上，其他条件不变，如图 6 所示，是猜想：BE'于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5图6练习四：如图7，∠ A90 ， AD ∥ BC ， P 是 AB的中点， PD平分∠ ADC．求证： CP平分∠ DCB．A D214E3PB C图 7练习五：如图8，AB＞ AC，∠ A 的平分线与 BC的垂直平分线相交于D，自 D 作 DE⊥ AB，DF⊥ AC，垂足分别为 E， F．求证： BE=CF．图 8练习六：如图9 所示，在△ ABC 中， BC 边的垂直平分线DF 交△ BAC 的外角平分线AD 于点 D， F 为垂足， DE ⊥AB 于 E，并且 AB>AC 。
求证： BE－ AC=AE 。
初中数学几何模型大全+经典题型及答案解析
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
全等的相关模型总结
全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE 射线AC例题1，如图1，在，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.例2.已知如图，四边形ABCD 中，⊥中ABC ∆,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分..求证：︒=∠+∠180C A练习二：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB．2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF ∥射线OBBAC∠A DE C B P 2 14 3例题一、 如图3，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC于点D ，CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。
求证：BD=2CE 。
例题2 如图，在△ODC 中，， 过点E 作例题3如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。
巩固 1 如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．，090=∠D CE OE DCO EC ⊥∠的角平分线，且是..之间的关系，并证明与猜想：线段于点交OD EF F OC OC EF⊥21ECBA A BC DE巩固2如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．3.等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）.将△ABD 逆时针旋转，使△ACM ≌△ABD ，从而推出△ADM 为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）.过点C 作，连AM 导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：90BC MC⊥AB COMN 操作过程：连AD.（1）. 使BF=AE （AF=CE ），导出△BDF ≌△ADE.（2）.使∠EDF+∠BAC=，导出△BDF ≌△ADE.例题1 ① 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB=AC ，，O 为BC 中点，若M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM. ①、 是判断△OMN 的形状，并证明你的结论.②、 当M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动时，四边形AMON 的面积如何变化？例题2 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．180ο90=∠BACNME FACBA例题 3 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
全等三角形模型总结及经典练习题
全等三角形模型总结及经典练习题从全等三角形的角度入手，找到可以构成全等三角形的条件。
观察图形可知，△ACE和△BCD是直角三角形，且AC=BC，因此可以得到∠XXX∠CBD和△ACE≌△BCD。
接下来，需要证明AE=BD+DE，可以将BD+DE表示为BC-CE+DE，再利用全等三角形的性质证明△ACE≌△XXX，从而得到AE=BD+DE。
具体证明过程如下：ACE≌△BCDCAE=∠CBDCAE+∠EAD=∠CBD+∠XXXCAE+∠XXX∠CBD+∠EDCCAD=∠XXXXXX≌△CDEAE=CD=BD+DE（因为BD=BC-CD，CE=AE-AC，所以BD+DE=BC-CE）。
因此，得证AE=BD+DE。
角度：观察图形，可以猜测△ACE与△CBD全等。
由此可以得出XXX，以及BD=CE。
因此，可以得出AC=BC（已知），∠1=∠3（已证），∠XXX∠CDB（已证）。
根据AAS准则，可以得出△ACE≌△CBD。
因此，BD=CE，AE=CD（全等三角形的对应边相等）。
又因为AE=CE=CE+DE，所以可以进行等量代换，得出AE=BD+DE。
例3：定对象为△ABC，定角度为三角形全等。
观察图形，可以发现BE、CF、EF条件分散，不在一个三角形中。
因此，需要将三者集中在一个三角形中，可以利用角的平分线这一线索，将△BDE沿角平分线翻转180°，使B点落在AD的点B'上，连结EB'和B'F。
此时，△BDE与△B'DE完全重合，因此可以得出BE=B'E（全等三角形的对应边相等）。
在△EFB'中，可以得出EF<B'E+B'F，进行等量代换，得出EF<BE+CF。
例4：定对象为如图所示，定角度为三角形全等。
可以分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE，△ABE≌△ACD，可以得出△XXX的外角∠XXX或△ABE的邻补角∠XXX。
一网打尽全等三角形模型-十个模型(解析版)
一网打尽全等三角形模型(10个模型)目录模型梳理题型一倍长中线模型题型二一线三等角模型题型三半角模型2022·山东日照真题题型四手拉手模型2022·张家界真题2022·贵阳中考题型五对角互补+邻边相等模型题型六平行线夹中点模型题型七截长补短模型题型八绝配角模型2023·深圳宝安区二模2023·深圳中学联考二模题型九婆罗摩笈模型2022武汉·中考真题2020·宿迁中考真题题型十脚蹬脚模型(海盗埋宝藏)模型梳理模型1倍长中线模型(一)基本模型已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED=AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF=DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．(二)结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD．∵∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD=CD．∵∠BDE=∠CDF，DE=DF，∴△BDE≌△CDF．(三)解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．模型2一线三等角模型(一)基本模型已知：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论1：△CAP≌△PBD．已知：点P在AB的延长线上，∠1=∠2=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)．结论2：△APC≌△BDP．(二)结论推导结论1：△CAP≌△PBD．证明：∵∠1+∠C+∠APC=180°，∠2+∠BPD+∠APC=180°，∠1=∠2，∴∠C=∠BPD．∵∠1=∠3，AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1=∠C+∠APC，∠2=∠BPD+∠D，∠3=∠BPD+∠APC，∠1=∠2=∠3，∴∠C=∠BPD，∠APC=∠D．∵AP=BD(或AC=BP或CP=PD)，∴△APC≌△BDP．(三)解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形(正方形或矩形)为背景，在几何综合题中考查．模型3半角模型(一)基本模型等边三角形含半角已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF=60°．结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．等腰直角三角形含半角已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D，E在BC上，∠DAE=45°．结论3：DE2=BD2+CE2．(二)结论推导结论1：EF=BE+CF，∠DEB=∠DEF，∠DFC=∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG=BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBE=∠DCF=90°，∴∠DBE=∠DCG=90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE=DG，∠DEB=∠G，∠BDE=∠CDG．∵∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠CDG+∠CDF=60°，即∠GDF=60°．∵DF=DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF=FG，∠DEF=∠G，∠DFC=∠DFE．∴∠DEB=∠DEF．∵FG=CG+CF，∴EF=BE+CF．结论2：EF=BE+DF，∠AEB=∠AEF，∠AFD=∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG．∵正方形ABCD，∴∠ABG=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠G=∠AFD，∠BAG=∠DAF．∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠EAG=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG，∠AEB=∠AEF，∠AFE=∠G．∴∠AFD=∠AFE．∵EG=BE+BG，∴EF=BE+DF．结论3：DE2=BD2+CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ACF=∠B=45°，∴∠ECF=90°，∴EF2=CF2+CE2=BD2+CE2，∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=45°，∴∠CAF+∠CAE=45°，即∠FAE=45°．∵AE=AE，∴△AEF≌△AED，∴EF=DE，∴DE2=BD2+CE2．(三)解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线(延长或旋转)，构造全等，通过等量代换得到相关的结论．模型4手拉手模型(一)基本模型已知：在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE，结论2：∠BOC=∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．(二)结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD=CE．证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．结论2：∠BOC=∠BAC．证明：设OB与AC相交于点F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE．∵∠AFB=∠OFC，∴∠BOC=∠BAC．结论3：OA平分∠BOE．证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD=S△ACE，∴12BD⋅AG=12CE⋅AH．∵BD=CE，∴AG=AH，∴OA平分∠BOE．(三)解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．模型5对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型（一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE1射线ACA、例题1 如图，在△ ABC中，/ C=90°, AD平分/ CAB BC=6cm BD=4cm 那么点D到直线AB的距离是cm.2、如图，已知，/ 1 = 7 2，/ 3=7 4,求证：AP平分/ BAC.B模型巩固1、如图，在四边形ABCD中, BC> AB, AD= CD BD平分7 ABC 求证：7 A+7 C= 180° .（二）角平分线+垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线0B于F 辅助线：过点E作EF//射线OB例1、如图，在△ ABC中，7 ABC= 37 C, AD是7 BAC的平分线，BE X AD于F .1求证：BE -（AC AB）.例2、如图，在△ ABC中，/ BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB= AD,作CM L AD交AD 1的延长线于M.求证：AM —(AB AC).2(三)角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B= OA从而使△ OAQ A OBC .A、例题1、如图，在△ ABC中，/ BAC=60，/ C=40°, AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/ ABC交AC于Q,求证：AB+ BP= BQ+ AQ .2、如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+ PC与AB+ AC的大小，并说明理由.B模型巩固1、在厶ABC中，AB> AC, AD是/ BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）求证：AB- AO PB- PC .2、如图，△ ABC中，AB= AC, / A= 100°,/ B的平分线交AC于D,求证：AD+ BD= BC .3、如图，△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,/ A的平分线交BC于D,求证：AC+ CD= AB .二、等腰直角三角形模型(一)旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：(1 )将厶ABD逆时针旋转90°,得厶ACM也△ ABD从而推出厶ADM为等腰直角三角形(2) 辅助线作法：过点C作MCL BC,使CM= BD连结AM.二)旋转中心为斜边中点动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.(1 )使BF= AE (或AF= CE,导出△ BDF 也△ ADE.(2)使/ EDF^Z BAC= 180 °，导出△ BDF 也△ ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ ABC中，/ BAC= 90°，点M N在斜边BC上滑动，且/ MAN= 45 试探究BM MN CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°, 60°角的直角三角板ADE和ABC按如图所示放置，E、A C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M 连接ME MC.试判断△ EMC勺形状，并证明你的结论.B模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ ABC中, AB= AC, / BAC= 90° , O为BC中点，若M N分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持AN= CM.（1）试判断△ OMN勺形状，并证明你的结论.（2）当M N分别在线段AC AB上移动时，四边形AMON勺面积如何变化2、在正方形ABCD中, BE= 3, EF= 5, DF= 4，求/ BAE+Z DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（ 1 ）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ ABC中，AC= BC, Z ACB= 90°, P为三角形ABC内部一点, 满足PB= PC AP= AC 求证：Z BCP= 15三、三垂直模型(弦图模型)A、例题已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°, D为AC中点，AF丄BD于点E,交BC 于F,连接DF .求证：/ ADB=Z CDF .变式1、已知：如图所示，在厶ABC中，AB= AC, AM k CN AF丄BM于E,交BC于F,连接NF. 求证：(1)Z AMB=Z CNF； (2) BMI= AF+ FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P,求证：( 1 ) PM= PN；( 2) PB= PF＋AF .四、手拉手模型〔、△ ABE和△ ACF均为等边三角形结论：(〔)△ ABF^A AEC .(2)Z BOE=Z BAE= 60°.(3)OA平分/ EOF .(四点共圆证)拓展：△ ABC^n^ CDE均为等边三角形结论：(1) AD= BE;(2)Z ACB=Z AOB(3) A PCQ为等边三角形；(4)PQ// AE;(5)AP= BQ(6)CO平分/ AOE (四点共圆证)(7)OA= OB+ OC(8)OE= OC+ OD .(7)，(8)需构造等边三角形证明 )例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM BM CM以AB为一边向外作等边三角形厶ABE将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN(1) 求证：△ AMB^A ENB(2) 若AM+BM+C的值最小，则称点皿为厶ABC的费尔马点.若点皿为厶ABC的费尔马点，试求此时/ AMB / BMC / CMA的度数；(3) 小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以厶ABC的AB AC为一边向外作等边△ ABE和等边△ ACF连接CE BF,设交点为M则点M 即为△ ABC的费尔马点•试说明这种作法的依据.2、\ ABD^D^ ACE均为等腰直角三角形结论：(1) BE= CD (2) BE丄CD .3、四边形ABEF和四边形ACH［均为正方形结论：(1) BD= CF; (2) BD丄CF .变式1、四边形ABEF和四边形ACHD匀为正方形,AS丄BC交FD于T, 求证：（1）T 为FD中点；（2）SV A BC SV A DF .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD匀为正方形，T为FD中点，TA交BC于S, 求证：AS丄BC .360 4、如图，以△ ABC 的边AB AC 为边构造正多边形时，总有: 五、半角模型1条件：，且+ =180， 两边相等.2 思路：1、旋转辅助线：①延长 CD 到E ,使ED=BM 连AE 或延长CB 到F ,使FB=DN 连AF②将△ ADN 绕点A 顺时针旋转90°得厶ABF,注意：旋转需证 F 、B结论：（1） MN= BM+ DN ；（2） CV CMN =2 AB ; 1 2 180M 三点共线360 (3) AM AN分别平分/ BMN / MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP丄MN交MN于点P②将△ ADN △ ABM分别沿AN AM翻折，但一定要证明MA、例题例1、在正方形ABCD中，若M N分别在边BC CD上移动，且满足求证：（1）Z MAN= 45°;P、N 三点共线MN= BM+ DN⑵ CV CMN =2 AB ;(3) AM AN分别平分/ DNM .变式：在正方形ABCD中，已知/ MAN= 45°，若M N分别在边CB DC的延长线上移动, AH L MN垂足为H,(1)试探究线段MN BM DN之间的数量关系；(2)求证：AB= AH例2、在四边形ABCD中, Z B+Z D= 180°, AB= AD,若E、F分别为边BC CD上的点，且1满足EF= BE+ DF,求证：EAF BAD .2变式：在四边形ABCD中，/ B= 90°，/ D= 90°, AB= AD,若E、F分别为边BC CD上的 -口1点，且EAF — BAD，求证：EF= BE+ DF .2。