数值计算方法A卷标准答案
数值计算方法习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
《数值计算方法》试题集和答案解析
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
数值试卷A答案(手写版)
解得 ，即
第三步，求解
解得 ，即
七、证明题
《数值计算方法》A卷答案
一、填空题
1、4 3
解：
2.
解：
3、6 7
解：
4、
解：
5、8
解：
6、1/8
解：
7、B的谱半径<1
解：/link?url=OKcBFzq2AhWGpKyovuza_sfa0KyqVt3GTThkmOGfA6A3KItDQ-tG_Ve58ZvEBlW37hjsbDJa8yKyxAaOLq_X5r6rr6FQXWmPcuDsL568PM3
四次的Newton插值多项式：
四、计算题(共10分)
解：函数 在区间[1,9]上取9个点如下
1
2
3
4
5
6
7
8
9
则复合Simpson公式如下：
由题可知
则
函数 的四阶导数为
则复合Simpson公式的余项:
取 得最大误差为：
五、计算题
解：修改的欧拉公式
六、计算题
解：
第一步，用LU公式法可以将矩阵A分解如下
8、
解：
9、3 2
解：
二、计算题(共10分)
解：令 则函数
则有题给出的表的数据，可以得到 与 的关系如下：
1
3
5
8
10
4
5
10
1造差商表如下：
一阶差商
二阶差商
三阶阶差商
四阶差商
1
1
2
4
3
3
7
3
0
4
8
1
-1
-1/3
5
6
《数值计算方法》试题集及答案要点
《数值计算⽅法》试题集及答案要点《数值计算⽅法》复习试题⼀、填空题：1、----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ?=。
答案：--??--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则⽤⾟普⽣（⾟⼘⽣）公式计算求得?≈31_________)(dx x f ,⽤三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的⼆次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗⽇插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求⽅程)(x f x =的⽜顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算⽅法主要研究( 截断 )误差和( 舍⼊ )误差； 8、⽤⼆分法求⾮线性⽅程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，⼆分n 次后的误差限为(12+-n a b )；9、求解⼀阶常微分⽅程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为()],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y)；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则⼆次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、两点式⾼斯型求积公式?10d )(x x f ≈(?++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f)，代数精度为( 5 )；12、解线性⽅程组A x =b 的⾼斯顺序消元法满⾜的充要条件为(A 的各阶顺序主⼦式均不为零)。
数值计算方法试题及答案
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
e
2
x
数值试题
四、1、（15分）方程x3x10在x不同的等价形式（1）x3对应迭代格式
xn1
1xn
1.5附近有根，把方程写成三种
x1对应迭代格式xn1xn1；(2)
x1
1x
；（3）x
3
x1对应迭代格式xn1xn1。判
出其代数精度：
1xfxdxAfA1f10021
(3) (3) (6分)用幂法求矩阵10A111的模最大的特征值及其
相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距
8
数值试题
离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,0。
T
(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
y’xfx,yx,axb,yay0
x1
x
(x1)的形式，使计
6
数值试题
(3) (3) (2分)设(4) (4)
则
2
x12x2
fx
xx12
，则f’x
1x2是3次样条函数，
2x3,0x1
Sx3
2
xaxbxc,(3分)设
(5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算0
10
6
1
edx
x
，要求误差不超过
，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
x11.6x21
分)写出求解方程组0.4x1x22的
(6) (6) (6
代公式
Gauss-Seidel迭
，为此迭代法是否收敛。
5A
4
43
迭代矩阵
(7) (7) (4分)设
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件就是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 就是三次样条函数,则a =( ),b =( ),c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ就是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数,则∑==nk kx l0)(( ),∑==nk k jk x lx 0)(( ),当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 与节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 与=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ就是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ϕ,则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 就是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解就是唯一的。
数值计算方法试卷二A+答案
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
）敛速。 D. 三次 D. O h 2
4. 设求方程 f ( x ) = 0 的根的切线法收敛，则它具有（ A． 线性 B. 超越性 C. 平方 5. 改进欧拉法的局部截断误差为（ ） A． O h5
( )
B. O h 4
( )
C. O h3
( )
( )
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. π 的近似值 3.1428 是准确到
三、计算题（每小题 12 分，共 60 分） 1. 用已知函数表
x y
0 1
1 2
2 5Βιβλιοθήκη 求抛物插值多项式，并求 f ( ) 的近似值。
1 2
河北理工大学数值计算方法试卷
2. 用紧凑格式解方程组
⎡ 4 −1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ −1 4 −1⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢3⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ ⎣ 0 −1 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢
0
1
1 ⎡
4
⎛4
4⎞ 1⎤
因为 f ( x ) = 所以， R4 ( f
1 24 ( 4) ( 4) ， f ( x) = ， M 4 = max f ( x ) = 24 5 1+ x (1 + x )
)≤
24 1 = 4 2880 × 2 1920 x= 1 3 ( x + 1) = ϕ ( x ) 4
α (α > 0 ) 等同于求方程 x 2 − α = 0 的正根，
2
令 f ( x ) = x − α , f ′ ( x ) = 2 x ，代入切线法迭代公式得：
数值计算方法期末A卷参考答案(14-15-2)
3． ， ，
4． .
5． ， ，
6.
7. ， ， ； ， ，
8. ，
9.
10.ode23、ode45和ode113.
二、选择题（每小题4分，共40分）(D) (B) (A) (B) (C)
3、解：将原方程组改写为等价的方程组
它是一个严格对角占优方程组，故雅可比迭代格式和高斯－塞德尔迭代格式都收敛。
课程《数值计算方法》【■A卷□B卷】任课教师周小林
2014-2015学年第二学期考试时长：_100分钟【■闭卷□开卷】
说明:
1.请填写课程名称、任课教师姓名、考试时长和考试方式，并注明是A卷还是B卷；2.请在该试卷上集中出题，标清题号，学生答题纸将统一另备。
答案：
一、填空题（每小题4分，共40分）
1． ,
雅可比迭代格式：高斯ຫໍສະໝຸດ 塞德尔迭代格式：四、解：令 ，
，
.
五、解：显式欧拉公式
欧拉预估-校正公式
显式欧拉公式的解欧拉预估-校正公式的解
0.1 0 0.005
0.2 0.01 0.02
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算办法》试题集及参考答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有(2)位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f (1),=]4,3,2,1,0[f (0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为(12+-n a b )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
“数值计算方法”习题解答
“数值计算方法”习题解答配套教材：数值分析简明教程，王能超 编著，高等教育出版社，第二版第二章 数值积分2.1 机械求积和插值求积1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ⎰-++-≈hhh f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；⎰++≈10210)43()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；⎰+≈1000)()0(41)()3(x f A f dx x f 。
【解】 （1）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++)3(32)2(0)1(22020210h A A A A h A A A解得：h A h A A 34,3120===，即：⎰-++-≈h h h f f h f hdx x f )]()0(4)([3)(，可以验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(1627123)2(232)1(1210210210A A A A A A A A A解得：31,32120-===A A A ，即：])43(2)21()41(2[31)(10⎰+-≈f f f dx x f ，可以验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：⎪⎩⎪⎨⎧==324300x A即：⎰+≈1)32(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2)(x x f =公式亦成立，而对3)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
2、（p.95，习题6）给定求积节点,43,4110==x x 试构造计算积分⎰=10)(dx x f I 的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
《数值计算方法》试题集及答案解析
=
9
。
4 8 2 A= 2 5 7 1 3 6 的 A = LU ，则 U = 32、设矩阵
4 8 2 U = 0 1 6 1 0 0 − 2
。
3
33、若 f ( x ) = 3 x + 2 x + 1 ，则差商 f [ 2, 4, 8,16, 32] =
5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 C． 观察与测量 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580 是π的有( B )位有效数字的近似值。 A． 6 B． 5 C． 4 C )误差。 D． 舍入
4
D． 7
7、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( A． 模型 B． 观测
1 x +1 + x
27 、若用二分法求方程 f ( x ) = 0 在区间 [1,2] 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。
2 x 3 , 0 ≤ x ≤ 1 S (x ) = 3 2 x + ax + bx + c, 1 ≤ x ≤ 2 是 3 次样条函数，则 28、设
C． 截断
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 C．防止计算时溢出 B． 减小方法误差 D． 简化计算
x 3 9、用 1+ 3 近似表示 1 + x 所产生的误差是(
D )误差。 D． 截断 )位有效数字。 D． 8
A． 舍入
B． 观测
C． 模型
10、-324．7500 是舍入得到的近似值，它有( C A． 5 B． 6 C． 7
2010-2011(1)数值计算方法(A卷)及答案
20102011《数值计算方法》（A 卷）一、选择题（15%）1、 由四舍五入后得到 *30.120 x = , 则相对误差限 *r e =（）．(A) 0.5×10 –3(B) 0.5×10 –3 %(C) 0.00166(D) 0.00166%．2、用列主元高斯消去法解线性方程组 123 123 123 341290 531 x x x x x x x x x -+= ì ï-+-= í ï --+=- î，第 1 次消元，选择主元为 ( ).(A) 3 (B) 4 (C) －5 (D) －93、已知求积公式( ) ( ) 21131 1()(2) 626 f x dx f Af f »++ ò，则 A ＝（ ）。
（A ）16（B ） 1 3 （C ） 1 2 （D ）2 34、通过四个互异节点的插值多项式 () P x ，只要满足( ), 则 () P x 是不超过一次的多项式. (A) 初始值 0 0y = (B) 一阶均差都为 0(C) 二阶均差都为0 (D) 三阶均差都为 0 5、解非线性方程 ()0 f x = 的牛顿迭代法在重根附近（）。
（A ）线性收敛（B ）三次收敛（C ）平方收敛 （D ）不收敛二、填空题(15%)1、 *0.002650 x = 是按“四舍五入”原则得到的近似数，则它有______位有效数字。
2、为了提高数值计算精度，当 1 | | >> x 时，应将 x x - +1 改写为____________。
3、设 32()231 f x x x =+- ，则均差 = ] 3 , 2 , 1 , 0 [ f _________________________。
4、n 个节点的插值型求积公式的代数精度至少为_________次。
5、求方程 ) (x f x = 根的牛顿迭代公式是：_____________________。
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一. 填空题（每空2分，共34分）1. 设 *2.40315x = 是真值 2.40194x =的近似值，则 *x 有 3 位有效数字。
2.求方程c ox x =根的牛顿迭代格式是1c o s _____________1s inkkk kkx x xx x+-=-+。
3． 迭代法12213k k kx x x +=+收敛于*__________x=，此迭代格式是__2__阶收敛的。
5. 形如 0()()nbk k a k f x dx A f x =≈∑⎰的插值型求积公式, 其代数精度至少可达_________n 次，至多可达___21______n +次。
6. 向量 (3,2)TX =-，, 矩阵7231A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则=1AX___36____，Cond ()___90_____A ∞=。
7．对矩阵A 作如下的LU 分解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=601032211012001542774322b aA ，则 ___2____a =，___3____b =8. 设100aA b ⎛⎫=⎪⎝⎭，要使lim 0kk A →∞=，a 与b 应满足 ___1,1____a b <<。
10. 设(0,1,2,3,4,5)i x i =为互异节点，()i l x 为对应的5次Lagrange 插值基函数，则5540((ln 2)1)()i i i i x x l x =++∑=54__(ln 2)1_________x x ++二. (12分)设函数)(x f 在区间[0,2]上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ，并写出其余项()()()R x f x H x =- 的表达式解：2()(0)[0,1]()[0,1,2]()(1)N x f f x f x x =++-213(1)321x x x x x =++-=-+ （5分）2()()(1)(2)H x N x ax x x =+--'()62(1)(2)43x H x x a x x a ==-+--== （8分）2232()3213(1)(2)3641H x x x x x x x x x =-++--=-++ （10分）令)()()(x H x f x R -=，作辅助函数2()()()()(1)(2)g t f t H t k x t t t =----则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：21,0,，x t = 反复利用罗尔定理可得：!4)()()4(ξfx k =，)0)(()4(=ξg所以(4)2()()(1)(2)4!fR x x x x ξ=--(12分)三．（12分） 求积公式 1'0100()(0)(1)(0),f x dx A f A f B f ≈++⎰ 又知其误差余项为'''(),[0,1]R kf ξξ=∈。
试确定系数010,,A A B 及，使该求积公式有尽可能高的代数精度，指出其代数精确度的次数并确定误差式中的 k 值。
解：将2()1,,f x x x =分别代入公式得：0110100111121233613A A A B A A B A ⎧⎪=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得＝，＝， ＝（6分）当3()f x x =时，左边等于14，右边等于13，所以求积公式最高代数精度为2。
（9分） 将3()f x x =代入有误差项中的积分式中1311643172x dx kk ==+=-⎰（12分）四．(12分)分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组121223324x x x x +=⎧⎨+=⎩ 写出迭代格式，并判断收敛性。
若将原方程组变为121232423x x x x +=⎧⎨+=⎩ 再用上述两种迭代法求解是否收敛？说明原因。
解: 雅可比迭代格式为10233202k k x x +-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦()B ρ= 发散 （4分） 高斯-赛德尔迭代格式为13025032k kx x +⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦()3B ρ=发散 (8分)方程组变为形式后方程均严格对角占优，则收敛。
（12分）五. （16分）1.（8分） 用Gauss 列主元消去法解方程组：1231231234,54312,211.x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩解：5431211145431212854312111405552111121111131790555⎛⎫ ⎪------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪--→--→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭（3分）5431254312131791317900555555128550005551313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭(6分)(3,6,1)x T=- (8分)六.（下列2题任选一题，8分）1．设0a >，试建立计算x =的牛顿迭代公式，并分析其收敛性。
解：1. 1. 解：问题转换为求解2()(0)f x x a x =->的正根。
牛顿迭代公式为211(),0,1,222k k k k kkx a a x x x k x x +-=-=+=（2分）下面证明对任何初值00x >迭代过程收敛。
'()20,"()20.f x x f x =>=>根据定理2.8,对于任何0x >，迭代公式收敛。
（5分）当0x ∈f 的单调性知010000000()'()'())'())f x x x f x f x x f x x x ξ=-=+>+=对任何初值00x >迭代过程收敛。
（8分） 七.（6分）设()f x 在[,]a b 上具有二阶连续导数，且()()0,f a f b ==证明2''1()()()8maxmaxa x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-证明：''''()()()()()()()()()()2!()()()2!x b x a f x f x f a f b x a x b a b b b f x x a x b --=++----=-- （3分）则''2''1()()()()21()()8m axm axm axa x ba x ba x bf x x a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤≤≤--≤- （6分）*********************** 一. 填空题（每空2分，共40分）1. 设 *0.231x = 是真值 0.229x =的近似值，则 *x 有 2 位有效数字。
5. 向量 (2,3)TX =-，, 矩阵2154A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则=1AX___3_____，Cond ()___21_____A ∞=。
7. 设 1021344A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭，则 lim ___0____kk A →∞=。
9. 设()(0,1,,)i l x i N = 是n 次Lagrange 插值基函数，则 0()____1________ni i l x ==∑。
11. 写出求解方程组 12123511425x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 的Gauss-Seidel 迭代公式为()(1)21(1)1(1)21531254k k k k x x x x +++⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，迭代矩阵为01012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭5－3。
此迭代法是否收敛 收敛 。
四. （16分）1.（8分） 用Gauss 列主元消去法解方程组：1231231234,54312,211.x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩解：5431211145431212854312111405552111121111131790555⎛⎫ ⎪------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪--→--→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭（3分）5431254312131791317900555555128550005551313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪⎪ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭(6分)(3,6,1)x T=-***************************** 一. 填空题（每空2分，共40分7. 设 1021344A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭，则 lim ___0____kk A →∞=。
9. 设()(0,1,,)i l x i N = 是n 次Lagrange 插值基函数，则 0()____1________ni i l x ==∑。
二.（12分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)xx 11+=对应迭代格式nn x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。
判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。
解：（1）321(31)(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（ϕ，故收敛； （3分）（2）xxx 1121)(2+-='ϕ，117.05.1<='）（ϕ，故收敛； （6分）（3）23)(x x ='ϕ，15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。
（9分） 选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，32476.15=x ，32472.16=x （12分） 三. (12分)四. （16分）1.（8分） 用Gauss 列主元消去法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++276234532424321321321x x x x x x x x x解：3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.6667 30.00005.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭→（分）6 4.3333⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（分）()T x 0000.5,0000.3,0000.2= （8分）五．（12分）数值积分公式形如⎰'+'++=≈10)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf（1）试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设]1,0[)(4C x f ∈，推导余项公式⎰-=1)()()(x S dx x xf x R ，并估计误差。