海潮及滨海含水层地下水位变化的拟合与预测

称为基波，而 cos k"t 或 sin k"t 称为 k 次谐波。 若有一个函数 Z（ t）的周期为 T，且在 T 内分段
单调，则函数 Z（ t）可以用傅立叶级数表示：
图 1 ZK34 水位变化趋势 图 2 B8 - 3 孔水位变化趋势
" " Z（ t）= a0 + ak cos k"t + bk sin k"t （4）
式中 j 通常称为波数。如果一个水位历时曲线 （z t）
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勘察科学技术
2006 年第 1 期
有 p 个不同周期的函数叠加而成，则 （z t ）的 拟 合表
达式为：
p
p
! ! （z t）= a0 + ap cOS2!fp t + Jp Sin2!fp t（5）
=1
=1
利用最小二 乘 法 确 定 其 中 的 傅 立 叶 系 数，以 O
2 . Institute of Tianjin GeothermaI Investigation DeveIopment and Design 3 . Beihai Institute of ~ydrogeoIogy，Engineering GeoIogy and MineraI Resources in Guangxi）
图 # 海潮与观测孔水位频谱
表 $ 海潮与观测孔水位曲线的频率值
观测井 ZK34
f1 0 . 002
f2 0 . 0029
f3 0 . 0068
f4 0 . 038
f5 0 . 0391
f6 0 . 04
f7 0 . 041
f8 0 . 042
f9 0 . 043
f 10 0 . 0439
f 11 0 . 0811
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fitting and Prediction of the Changes in Tide and Groundwater Levels in Coastal Aguifers
Zhou Xun1 Ruan Chuanxia1，2 Fang Bin1 Ou Yecheng3 （1 . SchooI of Water Resources and Environment，China University of Geosciences，
设动态采 样 值 为 x（ t ）：xl ，x2 ，x3 ，. . . . . . ，xI 。 为了能应用式（4），将等间距采样时 间 tl ~ tI 视 为 0 ~ 2!，把时间 t 转化为 l，2，. . . . . . . ，I 。用傅立叶级 数 表 示 采 样 值 变 化 ，有 ：
k
" x^（ i）= a^ 0 + ( a^ j co（s 2!ji / I）+ b^ j sin（2!ji / I）) j=l
所示。可以看出 地 下 水 位 有 逐 渐 下 降 的 趋 势，这 是
因为所选择的观 测 时 间 为 降 雨 量 较 少 的 冬 季，滨 海
含水层地下水位处于整体缓慢下降时期。用线性函
数拟合其下降趋 势，可 以 得 到 各 观 测 孔 水 位 时 间 序
列的趋势项的方程如图 l、图 2 和图 3 中所列。
k=l
k=l
式中 a0 、ak 、bk 称 为 傅 立 叶 系 数。 如 果 能 够 确 定
a0 、ak 、bk ，则式（4）就能确定。
式（4）是 由 无 限 个 谐 波 叠 加 而 成 ，但 对 地 下 水 位
历 时 曲 线 来 说 ，其 采 样 样 本 容 量 是 有 限 的 ，用 傅 立 叶
级数拟合只能取有限项。
表示误差平方和：
I
p
p
!{ ! ! }2
O=
xi - a0 + ap cOS2!fpt + Jp Sin2!fpt （6）
i=1
=1
=1
!"!"! 周期函数的确定
对海潮和 3 个观测孔水位时间序列进行频谱分 析（图 4），可以确定功率 谱 比 较 大 时 的 频 率 值 fp ，当 fp 的 个 数 确 定 之 后，p 值 也 就 能 够 确 定。 ZK34、 B8 - 3和 ZK17 孔各有 11 个比较大的功率谱，对应的 频率即为所求的 fp ，海潮有 7 个比较大的功率谱，对 应的频率 即 为 所 求 的 fp ，见 表 1。 利 用 MATLAB 编 程求出傅立叶系数 a0 、ap 、Jp ，见表 2，从而确 定 其 周 期函数。
x（ t）= Asin（"t + !）
（3）
式中：" = 2!/ T，为 圆 频 率；l/ T 为 基 频。将 式（3）进
行分解：
x（ t）= Asin!cos"t + Acos!sin"t 令 a = Asin!，b = Acos!，则有：
x（ t）= a cos"t + b sin"t
显然有 A = !a2 + b2 及 ! = artg a / b 。 cos"t 或 sin"t
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海潮及滨海含水层地下水位变化的拟合与预测
周 训1 阮传侠1，2 方 斌1 欧业成3
（1 . 中国地质大学水资源与环境学院 北京市 100083 2 . 天津地热勘查开发设计院 天津市 300250 3 . 广西北海水文工程矿产地质勘察院 广西·北海 536000）
析法确定已知水位曲线所包含的不同频率成分的简
谐波，将其 叠 加 合 成，构 成 地 下 水 位 变 化 的 数 学 模
型 ，用 该 模 型 对 地 下 水 位 时 间 序 列 进 行 拟 合 。
一个简谐振动可用正弦函数表示：
x（ t）= Asin（2T!t + !）
（2）
式中：A 为 振 幅；T 为 周 期；! 为 相 位 角；t 为 时 间。 式（2）也 可 以 写 成
图 3 ZK17 孔水位变化趋势 注：水位标高为实际水位加上 lm
2.2 周期项函数
2.2.1 基本原理
排除趋势项之后的水位历时曲线可分解为不同
振 幅 、相 位 、频 率 的 简 谐 波 。 用 傅 立 叶 级 数 拟 合 海 潮
及海岸带地下水 位 变 化 的 周 期 项 时，可 以 用 频 谱 分
的简谐波，可以 用 傅 立 叶 级 数 拟 合。 其 中 海 潮 没 有
趋 势 性 变 化 ，只 需 用 傅 立 叶 级 数 拟 合 。
2.1 趋势项函数
根据 海 岸 带 观 测 孔 ZKl7、ZK34 和 B8 - 3 水 位
观测资料绘制 地 下 水 位 变 化 图，如 图 l、图 2 和 图 3
1 引言
地下水位变化的拟合与预测是地下水动态研究 的重要内容，许多 学 者 在 这 方 面 做 了 很 多 研 究 工 作 并取得了有意 义 的 结 果。 受 海 潮 的 影 响，滨 海 含 水 层地下水位的变 化 比 较 复 杂，出 现 与 海 潮 相 似 的 周 期性波动。在以往的大多数研究中由于观测的时间 不够长（数天），一 般 的 做 法 是 将 海 潮 简 单 地 处 理 成
Abstract CompIex periodic changes and trending changes can be observed in tide and groundwater IeveI affected by the tide in coastaI aguifers . In this paper，mathematic modeIs incIuding a trending term and a periodic term are deveIoped to describe the changes in the water IeveI . The trending term can be described by using a Iinear function and the periodic term by a Fourier series . The spectrum anaIysis method and the minimum sguare method are used to construct the Fourier series . Fitting is verified with the sum of sguare of deviation of observed and computed water IeveI untiI satisfactory fitting is obtained . The deveIoped mathematicaI modeI can be used to predict the changes in tide and groundwater IeveI in coastaI aguifers . The predictive water IeveI is thought to refIect characteristics of observed time series of tide and groundwater IeveI near coastaI area . The modeI is suitabIe in short-time prediction of water IeveI in coastaI aguifer . Keywords coastaI aguifer；spectrum anaIysis；fitting；prediction
基 金 项 目 ：教 育 部 博 士 学 科 点 科 学 研 究 基 金 项 目（20020491001）。 作者简介：周训，男，1963 年生，博士，教 授，博 士 生 导 师，从 事 水 文 地 质 、环 境 地 质 的 教 学 和 科 研 工 作 。 收稿日期：2005 - 09 - 10