推理与证明期末复习

选修2-2期末复习

第二章 推理与证明 2．1 合情推理与演绎推理

一、基础知识

1．推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理一般分为合情推理与演绎推理两类。

行归纳、类比，然后提出猜想的推理，把它们通称合情推理。

3．演绎推理

定义：从 出发，推出某个 下的结论的推理。 特点：由 到 。 模式：三段论——演绎推理的一般模式

“三段论”的结构：大前提——已知的 ； 小前提——所研究的 ；

结论——根据一般原理，对 做出的判断。 “三段论”的表示：大前提： ； 小前提： ； 结论：S 是P 。

二、习题精耕 1．已知函数)(x f =

2

21x

x

。

(1)分别求)2(f ＋)2

1(f 、)3(f ＋)31(f 、)4(f ＋)4

1

(f 的值；

(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；

(3)求值：)1(f ＋)2(f ＋)3(f ＋…＋)2012(f ＋)21

(f ＋)3

1

(f ＋…＋)2012

1(

f 。

3．已知函数y=f(x)满足对任意a 、b ∈R ，a ≠b ，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明f(x)为R 上的单调增函数。

三、作业

1．设11

2,,(2)(3)2

3

n n n n N x x ≥∈+-+2012n

n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(

0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则23453

3

5

5

11

110,,0,,,,2

3

2

3

n T T T T T ==

-

==

-

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

其中n T = 。

2．观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝

（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为 。 3．观察(x 2

)/

=2x ，(x 4

)/

=4x 3

，(cosx)/

=－sinx ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)=

A.f(x)

B.－f(x)

C.g(x)

D.－g(x)

4．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =－

3

2，n S ＋

n

S 1＋2=n a (n ≥2)，计算1S 、

2S 、3S 、4S ，并猜想n S 的表达式。

5．在等差数列{n a }中，若10a =0，则有1a ＋2a ＋…＋n a =1a ＋2a ＋…＋

n a -19(n<19，且

n ∈N *

)成立。类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则存

在怎样的等式？

2．2 直接证明与间接证明

一、基础知识

2．间接证明 定义：要证明某一结论Q 是正确的，但不直接证明，而是先去假设 （即Q 的反面非Q 是正确的），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q 是错误的，从而断定结论Q 是正确的的证明方法。 证明步骤：

二、习题精耕

1．对于定义域为[0，1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0，1]，总有f(x)≥0，②f(1)=1，③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立，则称函数f(x)为理想函数。若函数f(x)是理想函数，证明f(0)=0。

2．已知m>0，a 、b ∈R ，求证2

)

1(

m

mb a ++≤

m

mb a ++12

2。

3．已知a ≥－1，求证方程：x 2＋4ax －4a ＋3=0，x 2＋（a －1）x ＋a 2=0，x 2＋2ax －2a=0中至少有一个方程有实数根。

4．证明2是无理数。

三、作业

1．设实数a 、b 、c 成等比数列，非零实数x 、y 分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，试证

x

a ＋

y

b =2。

2．若tan(α＋β)=2tan α，求证3sin β=sin(2α＋β)。

3．设a 、b 、c 为一个三角形的三边，且s 2=2ab ，这里s=2

1

(a ＋b ＋c)，试证s<2a 。

4．已知数列{n a }满足1a =λ，1+n a =

3

2n a ＋n －4，其中λ

为实数，n 为正整数，

对任意实数λ证明数列{n a }不可能是等比数列。

2．3 数学归纳法

一、基础知识

证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤： (1)证明当n 取n 0时命题成立；（归纳奠基）

(2)假设n=k(k ≥n 0)时命题成立，证明n=k ＋1时命题也成立。（归纳递推） 完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立。这种证明方法就是数学归纳法。

二、习题精耕

1．已知n ∈N ＋，证明1－2

1

＋31

－

4

1＋…＋

121-n －

n

21=

11+n ＋

2

1+n ＋…＋

n

21。

2．若n 为大于1的自然数，求证

1

1

+n ＋

2

1

+n ＋…＋

n

21

>24

13。

3．已知△ABC 的三边长都是有理数。 (1)求证：cosA 是有理数；

(2)求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

三、作业

1．求证1〃n ＋2〃(n －1)＋3〃(n －2)＋…＋n 〃1=6

1n(n ＋1)(n ＋2)。

2．在数列{n a }中，1a =2，1+n a =

2

n a ＋

n

a 1(n ≥1)，求证：2

n

1。