【课堂新坐标】高中数学苏教版选修2-2练习：1.5.3微积分基本定理

学业分层测评(十)

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0

1f (x )d x ＝________. 【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛0

1f (x )d x ，

∴⎠⎛0

1f (x )d x ＝－13. 【答案】 －13

2.⎠⎛0

π(cos x ＋1)d x ＝________. 【导学号：01580026】

【解析】 ∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，

∴⎠⎛0

π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) |π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π.

【答案】 π

3．将曲边y ＝e x ，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式________．

【答案】 ⎠⎛0

2e x d x 4．定积分⎠⎛2

33t d x (t 为大于0的常数)的几何意义是________． 【答案】 由直线y ＝3t ，x ＝2，x ＝3，y ＝0所围成的矩形的面积．

5．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图1-5-3)是________．(写成定积分形式)

图1-5-3

【答案】 ⎠⎛0

4()x 2－4d x 6．设a ＝⎠⎛01x d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛0

1x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x <⎠⎛01x 2d x <⎠⎛0

1x d x ，即a >b >c . 【答案】 a >b >c

7．计算定积分⎠⎛－11 4－4x 2d x ＝________.

【解析】 由于⎠⎛－11

4－4x 2d x ＝2⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的面积π， 所以⎠⎛－11

4－4x 2d x ＝π. 【答案】 π

8．(2016·河北衡水三模)如图1-5-4由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．

图1-5-4

【解析】 把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积．

＝22－

233＋2－13－12

＝423＋76

. 【答案】 423＋76 二、解答题

9．计算下列定积分．

(1)⎠⎛121

x x ＋d x ；

【解】 (1)∵⎠⎛12

1x x ＋d x ＝⎠⎛1

2⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝ln x －ln (x ＋1)]| 21＝ln 43.

10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛0

1f (x )d x ＝196，求f (x )． 【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，

因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，②

⎠⎛0

1

f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx | 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝196

，③ 由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2.

所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.

能力提升]

1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝________. 【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1

2(2－x )d x ＝13x 3 |10＋⎝

⎛⎭⎫2x －12x 2 |21＝56. 【答案】 56

2．(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，

【解析】

＝⎝⎛⎭⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2 ＝sin π2＋sin π2

＝1＋1＝2. 【答案】 2

3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，

x ＋⎠⎛0

a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________. 【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，

且⎠⎛0

a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1.

【答案】 1

4．计算：⎠⎛－2

2 (2|x |＋1)d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎛－22 (2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20 (－2x ＋1)d x ＋ ⎠⎛0

2(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.

【答案】 12

5．已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛0

1f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 【解】 因为f (x )＝⎠⎛－a

x (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛0

1(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2

＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.

所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.