数值分析5-5
数值分析第5章习题
1. 过点),(),...,,(),,(551100y x y x y x 的插值多项式P(x)是（）次的多项式 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 考查知识点：插值多项式的基本概念 答案：B2. 通过点),(),,(1100y x y x 的拉格朗日插值基函数)(),(10x l x l 满足（） A. 0)(,0)(1100==x l x l B. 1)(,0)(1100==x l x l C. 0)(,1)(1100==x l x l D. 1)(,1)(1100==x l x l 考查知识点：拉格朗日插值基函数的性质 答案：D3. 设)(x L 和)(x N 分别是)(x f 满足同一插值条件的n 次拉格朗日和牛顿插值多项式，它们的插值余项分别是)(x r 和)(x e ，则（B.） 考查知识点：插值多项式的存在唯一性 A.)()(),()(x e x r x N x L =≠ B.)()(),()(x e x r x N x L == C.)()(),()(x e x r x N x L ≠=D.)()(),()(x e x r x N x L ≠≠解析：插值多项式存在唯一性定理可知，满足同一插值条件的拉格朗日插值多项式和牛顿插值实际上是同一个多项式，故，余项也相同。
4. =∇+∆k k y y _______ 考查知识点：差分的概念 答案：11-+-k k y y5. ]2,,2,2[]2,,2,2[,13)(817147f f x x x x f 和则+++=为 与[][]!80!8)(22221!7!7!7)(222)8(8710)7(710===⋯⋯===⋯⋯ξξf f f f ，，，，，，，根据差商和导数关系6. 的二次插值多项式为则时当)(4,3,0)(2,1,1x f ，x ，f x -=-= （拉格朗日插值） 解： 4,3,2,1,110210=-===-=y y x x x ，Lagrange 这里插值公式利用二次得,42=y)()()()(2211002x l y x l y x l y x L ++=3723653)1)(1(406)2)(1(32-+=-+⨯++--⨯-=x x x x x x7. 设2)(x x f =，则)(x f 关于节点2,1,0210===x x x 的二阶向前差分为_2_。
(完整版)数值分析第五版答案(全)(最新整理)
第一章 绪论1．设,的相对误差为，求的误差。
0x >x δln x 解：近似值的相对误差为*x *****r e x x e x x δ-===而的误差为ln x ()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设的相对误差为2%，求的相对误差。
x n x 解：设，则函数的条件数为()n f x x ='()||()p xf x C f x =又, 1'()n f x nx -= 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且为2(*)r e x ((*))0.02n r x nε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,, , ,*1 1.1021x =*20.031x =*3385.6x =*456.430x =*57 1.0.x =⨯解：是五位有效数字；*1 1.1021x =是二位有效数字；*20.031x =是四位有效数字；*3385.6x =是五位有效数字；*456.430x =是二位有效数字。
*57 1.0.x =⨯4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .***124x x x ++***123x x x **24/x x 其中均为第3题所给的数。
****1234,,,x x x x 解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===A A (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=A 又%1(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设，按递推公式 （n=1,2,…）028Y =1n n Y Y -=-计算到（5位有效数字），试问计算将有多大误差？100Y 27.982≈100Y解： 1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即，1000Y Y =-, 27.982≈100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯的误差限为。
数值分析第六章课后习题答案
第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k Tx x x x x x x x x x x+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。
（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)Tk k k k k k k k k TTx x x x x x x x x x++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DL U I BD L U l l l l--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--÷ç桫-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a )雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDL U I BD L Ul l¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷ø?<骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç桫llSJJ SB故高斯-塞德尔迭代法收敛。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差e∗（x为准确值）：e∗=x∗−x近似值的误差限ε∗：|x∗−x |≤ε∗近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）：e r∗=e∗x≈e∗x∗近似值相对误差限εr∗：εr∗=ε∗|x∗|函数值的误差限ε∗(f(x∗))：ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字：ε∗=12×10m−n+1εr∗=ε∗|x∗|≤12a1×10−n+1第二章：插值法1.多项式插值P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中：P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n{a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1⋮a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值L n(x)=∑y k l k(x)nk=0=∑y kωk+1(x)(x−x k)ωn+1′(x k) nk=0n次插值基函数：l k(x)=(x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n),k=0,1,⋯,n引入记号：ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项：R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x) ,ξ∈(a,b)3.牛顿插值多项式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：f[x0,x1,⋯,x n−1,x n]=f[x1,⋯,x n−1,x n]−f[x0,x1,⋯,x n−1]x n−x0余项：R n(x)=f[x,x0,x1,⋯,x n]ωn+1(x) 4.牛顿前插公式（令x=x0+tℎ，计算点值，不是多项式）：P n(x0+tℎ)=f0+t∆f0+t(t−1)2!∆2f0+⋯+t(t−1)⋯(t−n−1)n!∆n f0n阶差分：∆n f0=∆n−1f1−∆n−1f0余项：R n(x)=t(t−1)⋯(t−n)ℎn+1(n+1)!f(n+1)(ξ) ,ξ∈(x0,x n)5.泰勒插值多项式：P n(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)nn阶重节点的均差：f[x0,x0,⋯,x0]=1n!f(n)(x0)6.埃尔米特三次插值：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中，A的标定为：P′(x1)=f′(x1)7.分段线性插值：Iℎ(x)=x−x k+1x k−x k+1f k+x−x kx k+1−x kf k+1第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. S(x)属于 n维空间φ：S(x)=∑a jφjnj=02.范数：‖x‖∞=max1≤i≤n |x i| and maxa≤i≤b|f(x)|‖x‖1=∑|x i|ni=1 and∫|f(x)|badx‖x‖2=(∑x i2ni=1)12 and (∫f2(x)badx)123.带权内积和带权正交：(f,φk)=∑ω(x i)f(x i)φk(x i)mi=0 and ∫ρ(x)f(x)φk(x)badx(f(x),g(x))=∫ρ(x) f(x)g(x)dxba=0 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：最优一致（∞-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖∞=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖∞最佳平方（2-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖22=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖22最小二乘拟合（离散点）P∗(x)：‖f−P∗‖22=minP∈Φ‖f−P∗‖225.正交多项式递推关系：φn+1(x)=(x−αn)φn(x)−βnφn−1(x)φ0(x)=1,φ−1(x)=0αn=(xφn(x),φn(x))(φn(x),φn(x)),βn=(φn(x),φn(x))(φn−1(x),φn−1(x))6.勒让德多项式：正交性：∫P n(x)P m(x)dx 1−1={0 ,m≠n22n+1, m=n奇偶性：P n(−x)=(−1)n P n(x)递推关系：(n +1)P n+1(x )=(2n +1)xP n (x )−nP n−1(x)7．切比雪夫多项式：递推关系：T n+1(x )=2xT n (x )−T n−1(x )正交性：∫n m √1−x 21−1=∫cos nθcos mθπdx ={0 , m ≠n π2 , m =n ≠0π , m =n =0T n (x )在[−1，1]上有n 个零点：x k =cos2k −12nπ,k =1,⋯,n T n+1(x )在[a,b ]上有n +1个零点：（最优一致逼近）x k =b −a 2cos 2k +12(n +1)π+b +a2,k =0,1,⋯,n 首项x n 的系数：2n−18.最佳平方逼近：‖f (x )−S ∗(x)‖22=min S(x)∈φ‖f (x )−S(x)‖22=min S(x)∈φ∫ρ(x)[f (x )−S (x )]2dx ba法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交函数族的最佳平方逼近：a k ∗=(f,φk )(φk ,φk )9.最小二乘法：‖δ‖22=min S(x)∈φ∑ω(x i )[S (x i )−y i ]2mi=0法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交多项式的最小二乘拟合:a k∗=(f,P k )(P k ,P k )第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有m 次代数精度求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m 的多项式成立，m +1不成立∫f(x)dx b a=∑A k f(x k )nk=02.插值型求积公式I n =∫L n (x)dx b a=∑∫l k (x)dx baf(x k )nk=0=∑A k f(x k )nk=0R [f ]=∫[f (x )− L n (x)]dx ba =∫R n (x)dx ba =∫f (n+1)(ξ)(n +1)!ωn+1(x)dx ba3.求积公式代数精度为m 时的余项R [f ]=∫f (x )dx ba −∑A k f (x k )nk=0=1(m +1)![∫x m+1dx ba−∑A k x k m+1nk=0]4.牛顿-柯特斯公式：将[a,b ]划分为n 等份构造出插值型求积公式I n =(b −a)∑C k (n)f(x k )nk=05.梯形公式：当n=1时，C 0(1)=C 1(1)=12T =b −a 2[f (a )+f(b)],R n (f )=−b −a12(b −a )2f ′′(η) 6.辛普森公式：当n=2时，C 0(2)=16,C 1(2)=46,C 2(2)=16S =b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f(b)],R n (f )=−b −a 180(b −a 2)4f (4)(η) 7.复合求积公式：ℎ=b−a n,x k =a +kℎ,x k+1/2=x k +ℎ2复合梯形公式：T n =ℎ2[f (a )+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 12ℎ2f ′′(η)复合辛普森公式：S n =ℎ6[f (a )+4∑f(x k+1/2)n−1k=0+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 180(ℎ2)4f (4)(η)8.高斯求积公式（求待定参数x k 和A k ）：（1）求高斯点（x k ）：令 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )与任何次数不超过n 的多项式p(x)带权ρ(x)正交，即则∫p(x)ωn+1(x )ρ(x)dx ba =0，由n +1个方程求出高斯点x 0,x 1⋯x n 。
数值分析第5版课后习题答案(清华大学出版社)-第一章
′ e * ( f1 ) = f1 e * (1.4) =
对于 f 2 = (3 − 2 2 ) 3 ，
1 1 ′ e * ( f 2 ) = f 2 e * (1.4) = 6(3 − 2 × 1.4) 2 × × 10 −1 = 0.12 × 10 −1 < × 10 −1 ，没有有效数 2 2 字；
*
1 1 1 = (0.031 × 385.6) × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) × 10 −3 ； 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
′ PAP −1 Px Ax PAx ′ 6、证明： A max = = max = max = ′ Px Px x PAP −1 。
7、证明：由范数的等价性，存在常数 C1 和 C 2 ，使得 C1 x s ≤ x t ≤ C 2 x s ，则有
C1 Ax s ≤ Ax t ≤ C 2 Ax s ，并且
∂f e (x + x + x ) = ∑ k =1 ∂x k
* * 1 * 2 * 4
n
* * * * ε ( x k ) = ε ( x1 ) + ε ( x 2 ) + ε ( x 4 ) ；
*
=
1 1 1 × 10 − 4 + × 10 −3 + × 10 −3 = 1.05 × 10 −3 2 2 2
y 0 = 1.41 1 可知， ε * ( y 0 ) = × 10 − 2 ， y n − y n = 10( y n −1 − y n −1 ) ，即 2 y n = 10 y n −1 − 1
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
数值分析5LU分解法
数值分析5LU分解法LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于解线性方程组。
本文将详细介绍LU分解法的原理、算法步骤、优缺点以及应用领域，以期能够全面地掌握这一方法。
一、LU分解法原理LU分解法是将一个方程组的系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积的形式，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，通过分解可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的基本思想是将原始方程组Ax=b分解为Ly=b和Ux=y两个方程组，其中L和U是通过A分解得到的矩阵。
二、算法步骤1.首先，将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U。
L是下三角矩阵，主对角线元素均为1，而U是上三角矩阵。
2.然后，将原始方程组Ax=b转化为Ly=b，求解y的值。
3.最后，将解y代入Ux=y，求解x的值，即可得到方程组的解。
三、算法优缺点1.优点：LU分解法将原始方程组的系数矩阵分解为两个形式简单的矩阵，简化了方程组的求解过程。
对于重复使用系数矩阵A的情况，只需要进行一次LU分解，然后根据新的b值求解新方程组，提高了计算效率。
2.缺点：LU分解法需要进行矩阵分解计算，计算量较大，因此对于规模较大的方程组计算效率较低。
此外，当系数矩阵A存在奇异性或病态时，LU分解法可能会失败。
四、应用领域LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，特别是在求解线性方程组方面。
例如，在工程领域中，常需要通过数值方法求解复杂的结构力学问题，此时可以使用LU分解法求解由有限元方法离散得到的大规模线性方程组。
另外，LU分解法还可以用于解非线性方程组、求逆矩阵、计算矩阵的行列式等。
总结：LU分解法是一种常用的数值分析方法，用于求解线性方程组。
通过将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积形式，可以简化方程组的求解过程。
LU分解法的优点是提高了方程组的求解效率，适用于重复使用系数矩阵A的情况。
然而，LU分解法也存在一定的缺点，如计算量较大、对奇异性和病态问题的处理较为困难。
LU分解法在科学计算领域有着广泛的应用，可以用于求解工程问题中的大规模线性方程组，解非线性方程组，求逆矩阵等。
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
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李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
7 10922.5000 23483.0000 23483.5000
8 43690.5000 80827.0000 80827.5000
21.000000000000000 17.000000000000000 16.238095238095237 16.058823529411764 16.014662756598241 16.003663003663004 16.000915583226515
3、 用规范化幂法求
按模最大的特征值和对应的特征向量，取初值
。当特征值有3位小数稳定时停止。
4、 用反幂法求矩阵
练习五
，迭代7次。
的最接近于6 的特征值和对应的特征向量，取初值
例1 令
求
的一次插值多项式，并估计插值误差。
例2 已知函数
的如下函数值表，
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f (x)
1.00
16.007498295841852 16.002385008517887
16.002177786576915 16.00069286350589
则开根号得 4.000114446266071 4.000272214059553 4.000086607000640
，对应的特征向量为
，
第五章答案
2. 解： 正则方程组为
38.000
19.5000
18.199999999999999 16.636363636363637
16.578947368421051 16.179487179487179
16.120879120879120 16.038251366120218
数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
= Jacobi 迭代法：
流程图 开
始
判断 b 中的最大值 有没有比误差大
给 x 赋初值
进行迭代
求出 x，弱到 100 次还没到，警告不收 敛 结束
1
程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e
warning('不收敛'); end end x=x0;
2
程序结果
（1）
3
（2）
4
Gauss-Seidel 迭代法：
程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3];
A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵 A 不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解 A=D+L+U,D 是对角阵，L 是下三角阵，U 是上三角阵 U=zeros(n); D=zeros(n);
G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化 L 和 U for j=1:n if i<j L(i,j)=A(i,j); end if i>j U(i,j)=A(i,j); end end end for i=1:n%初始化 D D(i,i)=A(i,i); end G=-inv(D+L)*U;%初始化 G d=(D+L)\b;%初始化 d %迭代开始 x1=x; x2=G*x+d; while norm(x2-x1,inf)>10^(-6)
数值分析5-2(高斯消去法)知识讲解
a1(n3) a2(3n) a3(3n)
... an(3n)
•
x1
x2
xn
b1(3)
b2(3)
bn(3)
…
1 0
0 1
.(nn))
0 0
...
1
xn
bn(n)
故方程组的解为
x 1 x 2 .x . n T . b 1 ( n )b 2 ( n ).b . n ( n ) T .
四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)
高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的 元素，而高斯——约当消去法则同时消去对 角线上方和下方的元素。
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
aa12((11nn))•xx12 bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式 D i 0(i1,2,..n.),
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) 0
第一次 消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
a2(22) ... a2(2n)•x2 b2(2)
...
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记 为 A(2)x = b(2))
a1(11)
数值分析第五版
数值分析第五版1. 简介数值分析是一门研究如何用数值方法来求解数学问题的学科。
它主要关注数值计算方法的设计、分析和实现。
《数值分析第五版》是一本经典的数值分析教材，由Richard L. Burden 和J. Douglas Fres合著，已经出版了多个版本。
2. 内容概述《数值分析第五版》的内容主要涵盖以下几个方面：2.1 数值计算的基础•数值计算的误差与收敛性•计算舍入误差分析•稳定性与条件数2.2 数值线性代数•线性方程组与矩阵运算•泛函与内积空间•最小二乘问题•特征值与特征向量2.3 非线性方程求根•近似求解法•迭代法和收敛性•多项式插值2.4 数值微积分•数值积分•微分方程初值问题的数值解•边值问题与本征值问题2.5 优化问题•无约束优化•线性规划3. 主要特点《数值分析第五版》具有以下几个主要特点：3.1 理论与实践相结合本书在理论讲解的，也会介绍实际问题的求解方法，并通过具体的例子帮助读者理解和运用数值计算方法。
3.2 算法深入浅出书中详细介绍了各种数值计算方法的算法原理和实现细节，并提供了众多算法的伪代码和MATLAB代码。
3.3 常用数值工具的介绍本书介绍了常用的数值计算工具，如MATLAB、等，以及相应的数值计算库和函数。
3.4 实例与习题丰富书中包含了大量实例和习题，帮助读者巩固所学知识，并通过实践提高数值计算的能力。
4. 资源推荐除了《数值分析第五版》这本教材外，还有一些相关的推荐资源：•《数值分析》（高级）王天浩，郭中杰•《数值计算方法》（第3版）何书进•网课资源：Coursera、edX等平台提供了一些优秀的数值分析课程5.《数值分析第五版》是一本全面而深入的数值分析教材。
它不仅覆盖了数值计算的基础知识，还介绍了数值线性代数、非线性方程求根、数值微积分和优化问题的相关内容。
这本教材以理论与实践相结合的方式呈现，通过丰富的实例和习题帮助读者理解和应用数值计算方法。
如果你对数值计算感兴趣或者需要用数值方法解决实际问题，《数值分析第五版》是一本值得推荐的书籍。
数值分析试卷习题5
32 第五章 习题解答与问题一、习题解答1．求经过A (0，1)，B (1，2)，C (2，3)三个样点的插值多项式解：令x 0 = 0，x 1 = 1，x 2 = 2，则有f (x 0)=1，f (x 1)=2，f (x 2)=3，由Lagrange 二次插值公式)())(())(()())(())(()())(())(()(2120210121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x L ----+----+----=3)12)(02()1)(0(2)21)(01()2)(0(1)20)(10()2)(1(⨯----+⨯----+⨯----=x x x x x x = x+12．已知函数)(x f y =的数据如下表试作一个三次插值多项式P 3(x ),利用P 3(x )计算3解：令x k = kk根据Newton )]}()[({))(()()(2342121213412213-+-++=--+-++=x x xx x x x x x x P由于被插值函数xx f 3=)(，故取 x = 1/2，便得222134212122112133=-+-++=≈)]}()[({)/(P3．已知函数y = f (x )解：由于x=0是二重零点，令3。
又由3，H 3(1)=1得方程组33⎩⎨⎧=+-=-11b a a b 解之：a =1，b = 0 所以，H 3(x ) = x 3。
4．设被插值函数f (x )在区间[x 0，x 1]上具有2阶连续导数，求证：两点线性插值函数L (x )的误差界满足不等式8)(|)(|max |)(|20110x x x f x R x x x -''≤≤≤证：由拉格朗日插值误差定理，得))((!2)()()()(10x x x x f x L x f x R --''=-=ξ 令h (x ) = (x – x 0)(x – x 1)，求导数并令其为零，可得极值点x *=0.5×(x 0 + x 1)。
数值分析 教学大纲
教学大纲课程编号：13000071课程名称：数值分析（Numerical Analysis）学分：4总学时：72学时分配：课时总学时：64学时。
其中：理论课学时：60学时；习题课学时：12学时；实验学时：课内0学时，课外16学时。
适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学预修课程：数学分析/高等数学，高等代数/线性代数◇课程教学目标：数值分析是研究利用计算机求解各种数学模型的数值计算方法及理论，包括误差基本理论、插值方法、函数逼近、数值微分与积分、常微分方程数值解、非线性方程组数值解法、矩阵特征值计算等经典问题的数值方法与基本理论。
通过本课程的学习，要求学生掌握数值分析的基本思想、基本方法和基本理论，具备一定的设计、分析和实现算法的能力，培养应用计算机进行科学与工程计算的能力，提高学生应用数学与计算机解决实际问题的能力。
◇教学要求：通过本课程的学习，要求学生掌握数值计算的基本理论和方法：掌握数值逼近、数值微分与积分、微分方程初值问题、方程（组）求根的直接与迭代解法及矩阵特征值计算等方面的基本理论及经典算法，并能对算法进行误差分析。
能使用计算机对基本数值计算问题进行求解，能初步用数值分析方法进行算法分析，为解决较复杂的实际科学与工程计算问题打下必要的基础。
◇教学方法：将多媒体教学和传统的黑板板书教学相结合。
在背景知识的讲解、数值方法的意义以及计算实例的程序演示时，应充分发挥多媒体直观生动的优势，帮助学生进行感性认识。
在算法推导、理论分析等方面，可采用传统的板书讲解，引导学生去感受和思考数学逻辑的过程以及创造性的思维过程，加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和思维能力。
在课堂教学中应将课堂讲解、课堂提问、课堂讨论相结合，注重培养学生的创新意识。
在课外已到学生积极开展数值试验，撰写实验报告、让学生在初步开展科研工作方面得到更好、更有效的训练。
◇课程主要内容：第一章绪论1．该章的基本要求与基本知识点：（1）了解数值分析的特点及其研究对象；（2）了解误差来源，掌握误差的基本概念与数值的精度表示；（3）掌握数值运算中的基本方法与原则；（4）向量和矩阵的范数。
第5章数值分析
y( xn+1 ) − y( xn ) y′( xn ) = f ( xn , y( xn ))， 并用差商 近似替代 h 其中的导数 y′( xn )，结果有 y( xn+1 ) ≈ y( xn ) + hf ( xn , y( xn ))
已知， 用它代入上式右端进行计算， 设 y( xn )的近似值 yn已知， 用它代入上式右端进行计算，
y ( xn ) 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5942 1.6125 1.6733 1.7321
例
y′ = − y − xy2 用 欧 拉 法 求 解 初 值 问 题 y(0) = 1
(0 ≤ x ≤ 0.6) 取步长 h = 0.2，计算过程保留 4 位小数。 位小数。 解 h = 0.2， f ( x, y) = − y − xy2，欧拉格式为 2 yn+1 = yn + hf ( xn , yn ) = yn − hyn − hxn yn (n = 0,1,2,L) = 0.2 yn (4 − xn yn )
1991 年， 科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰 人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程， 据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程， 年以前， 推断这个冰人大约遇难于 5000 年以前，类似的实例还有 很多。在微分方程的发展史中，数学家牛顿，莱布尼茨， 很多。在微分方程的发展史中，数学家牛顿，莱布尼茨， 贝努利家族，拉格朗日，欧拉， 贝努利家族，拉格朗日，欧拉，拉普拉斯等都做出了卓 越的贡献。 越的贡献。 在微分方程中，自变量的个数只有一个， 在微分方程中，自变量的个数只有一个，称为常微 分方程。 分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫 偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的 偏微分方程。 阶数称为微分方程的阶数。 阶数称为微分方程的阶数。
研究生数值分析(5)---牛顿迭代法
内有唯一实根 x* 。
条件（4）表明曲线 y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。
曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形
y
y
f '' (x) 0
f '(x) 0
f '' (x) 0 f '(x) 0
a
0
x* x2 x1 x0 b
因为 x*是 f(x)=0在(a,b)内的单根，
所以 f(x*)=0 且 f '(x*)≠0 x* (a, b)
由条件（2），必存在区间(c,d)，
x* (c, d ) 使 g ' (x) 在(c,d)连，且 g'(x) 1
根据定理2，牛顿迭代公式在 x* 附近局部收敛。
定理6 设 x*是方程 f(x)=0 的根，在包含 x*的某 个开区间内 f "(x) 连续且 f '(x)≠0，
牛顿迭代公式
xk 1
xk
xk cos xk 1 sin xk
计算结果如下
(k 0,1, 2,
) 收敛
x1 0.750364 x2 0.739113 x3 0.739086 x4 0.739085
因为 x4 x3 0.000001105，所以 x4 0.739085 为满足精度要求的近似根。
是曲线
y=f(x)在
(xk , f (xk ))处的切线方程，迭代公式就是切线与 x 轴
交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
（2）牛顿迭代法收敛的充分条件
当
f '(x) 0
时，方程 x x
f (x) f '(x)
数值分析简明教程课后习题答案
比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε；%0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析课后习题部分参考答案解析
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求2的近似值x*，使其相对误差不超过0.1%。
解：...2 =1.4 …。
设X有n位有效数字，则|e(x)|乞0.5 10 10 。
*、，0.5 101』从而，| e r (x ) \<1故，若0.5 101』乞0.1%，则满足要求。
解之得，n丄4。
x =1.414。
(P10)7.正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过 1 cm2。
解：设边长为a，则a 100 cm。
设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计：：、2 100 e。
按测量要求，|2 100 e|_1解得，|eF0.5 10^。
Chapter 2(P47)5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1、A= 2 1 0 。
<1-10,解：设A—〔。
分别求如下线性方程组:■n■0 '0 'A。
= 0 ，A P= 1 ，AY = 04 ©先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式)Ly = 1 和 U0 =y ，得，031 3Ly = 0 和 U = 丫，得，；丫1 32 31 31 3 所以，A ，=123 32 1 -1 — ——3 3丿广1 2 1 -3)/ 、 花『1'2 5 0 -5 X 22 1 0 14 1X 316 <_3_5115丿3<8>解：平方根法："(1)1 (1)1(2)2(1) -1 (0)2 .(1)1(-1)2(0)-3」「0 0^「1 1 —1'即，L =21 0 ，U = 0-1 2 。
2 h1°0 一3」经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,■1广0、Ly = 0 和 U° = y ，得，a =0 ；厂1」(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:先求系数矩阵 A 的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式)先求系数矩阵上=2」21 二 2d = 1；t 31改进平方根法:A 的形如A = L DL T的分解，其中L = (l j )4 4为单位下三角矩阵，D =diag{d 1,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。
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二、矩阵的范数
1. 矩阵范数的定义 设对任意矩阵 A∈Rn×n，按一定的规则有一 ∈ × 实数与之对应，记为‖A‖ ‖A‖， ‖A‖满足 实数与之对应，记为‖A‖，若‖A‖满足
1) A ≥ 0;当 仅 A≡ 0时 有A = 0 (正 性 且 当 才 ； 定 )
2) cA =| c | A,∀ ∈R (齐 性 c ; 次 ) 3) A+ B ≤ A + B,(三 不 式 角 等 )
n
AF = ( ∑xij
i, j=1
n
1 2 2 )
= 1+ 2+9+16 ≈ 5.477
下面计算2-范数 下面计算 范数
x 2 = λmax (A A )
T
1 −3 1 −2 10 −14 A A= −3 4 = −14 20 −2 4
T
令 即
举例： 举例： A= 1 −2 计算 的各种范数 的各种范数. −3 4 计算A的各种范数 解： A = m ∑aij = m 1+ 2,3+4} = 7 ax ax{ ∞
1≤i≤n j=1 n
A1 = m ∑ aij | = m 1+ 3,2+4} = 6 ax | ax{
1 j≤n ≤ i= 1
4) A ≤ A B , (相 性 B 容 )
则称‖A‖为矩阵的范数 则称‖A‖为矩阵的范数 ‖A‖
2. 常用的矩阵范数
× ),常用的范数有 常用的范数有： 在Rn×n上的矩阵A=(aij),常用的范数有：
n
A∞ = m ∑aij ax
1≤i≤n j=1
n
称为∞ 范数或 称为∞－范数或行范数 称为1－范数或列范数 称为1 范数或
x 1 = ∑ xi | = 6 |
i= 1 n
x 2 = (∑
i=1
n
1 2 2 xi )
= 14
x ∞ = m xi = 3 ax
1≤i≤n
3. 向量范数的性质 定义：如果 定义：如果Rn中有两个范数 ||x||s 与 ||x||t ，存 在常数m, 维向量x， 在常数 M>0，使对任意 维向量 ，有 ，使对任意n维向量
第五章 解线性方程组的直接法 §5 向量和矩阵的范数
一、向量的范数 二、矩阵的范数 三、小结
一、向量的范数
1. 向量范数的定义 设对任意向量 x∈Rn，按一定的规则有一实 ∈ 数与之对应，记为‖x‖ ‖x‖， ‖x‖满足 数与之对应，记为‖x‖，若‖x‖满足
1) x ≥ 0; 当 仅 x ≡ 0时 有x = 0 (正 性 且 当 才 ； 定 )
A1 = m ∑ aij | ax |
1 j≤n ≤ i= 1
T x 2 = λmax (A A 称为2－范数 ) 称为2
(其中 max(ATA)表示 TA的最大特征值 其中λ 表示A 的最大特征值 的最大特征值) 其中 表示
A F = ( ∑xij
i, j=1
Hale Waihona Puke n1 2 2 )称为Frobennius－ 称为Frobennius－范数 Frobennius
mx s ≤ x t ≤M x s
则称这两个范数等价. 则称这两个范数等价 性质：对两种等价范数而言， 性质：对两种等价范数而言，某向量序列在 其中一种范数意义下收敛时， 其中一种范数意义下收敛时，则在另 一种范数意义下也收敛。 一种范数意义下也收敛。
定理： 上的任意两个范数等价. 定理：Rn上的任意两个范数等价 注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任 今后研究向量序列的收敛性时， 何一种范数意义下研究。 何一种范数意义下研究。
2) α =|α | x ,∀ ∈R (齐 性 x α ; 次 )
3) x + y ≤ x + y , x, y∈Rn(三 不 式 角 等 )
则称‖x‖为向量的范数 则称‖x‖为向量的范数 ‖x‖
2. 常用的向量范数 上的向量x 在 Rn 上的向量 x =(x1,…,xn)T∈Rn ， 三种常 ,x 用的范数为： 用的范数为：
x ∞ = m xi ax
1≤i≤n
n
称为∞－范数或最大范数 称为∞ 范数或 称为1 称为1－范数 称为2 称为2－范数 称为p－范数
x 1 = ∑ xi | |
i= 1
x 2 = (∑
i=1
n
n
1 2 2 xi )
1 p p
x p = (∑xi )
i=1
举例： 的各种范数. 举例：计算向量 x=(1, -2, 3)T的各种范数 解：
λ −10
−14
2
−14 =0 λ −20
得 2 15± λ −30λ +4 = 0 解 λ1， =15± 221
故最大的特征值为 λmax =15+ 221 所以
+ x 2 = λmax (A A = 15+ 221 )
T
作业： 作业： 习题