弧度制与任意角知识梳理

弧度制与任意角知识梳理第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) §4.1弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ； ②α是第二象限角可表示为 ； ③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ．(3)非象限角如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限．①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z}；②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________；③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作_____________________________________ ____；④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作_____________________________________ ____；⑤终边在x轴上的角的集合可记作_____________________________________ ____；⑥终边在y轴上的角的集合可记作_____________________________________ ____；⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_____________________________________ ____；(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．⎪⎪⎪⎪α＝ ，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad≈0.01745rad ，反过来1rad＝≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_______；扇形面积公式S扇＝＝ ．3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝r y (y ≠0)．(2)正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sinα①cosα②tanα③(3)三角函数值在各象限的符号sinαcosαtanα4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P 作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x ＝________，MP＝y＝________，AT＝＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的、、，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值角α 0° 30° 45°60° 90°120° 135° 150° 180° 270°360°角α的弧度数sin α cos α tan α※sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．【自查自纠】1．(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)原点 非负半轴②⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ③⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或 {α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z}(3)坐标轴②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z ④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z}⑥⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π2，k ∈Z (4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z}或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}2．(1)半径长 l r (2)2π π π180 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π° (3)⎪⎪⎪⎪αr 12⎪⎪⎪⎪αr 2 12lr3．(1)y r x r y x(2)①R ②R ③⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z 4．cos α sin α yx tan α 正弦线 余弦线正切线 5.角α 0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角 α 的弧 度 数 0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πsin α12 22 32 132 2212－1cos α 1 3222120 －12－22 －32－1 0 1tan α 0331 3不存 在－ 3 －1－330 不存 在与－463°终边相同的角的集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋463°，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋103°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋257°，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°－257°，k ∈Z解：显然当k ＝－2时，k ·360°＋257°＝－463°.故选C .给出下列命题：①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2k π(k ∈Z)．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：①锐角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，故不正确；②钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，而第二象限角为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，故不正确；③若α＝β＋2k π，k ∈Z ，α与β的终边相同，但当k ≠0时，α≠β，故不正确；④正确．故选B .若cosα＝－32，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是() A．2 3 B．±2 3C．－2 2 D．－2 3解：由cosα＝xx2＋4＝－32，解得x＝－2 3.故选D.若点P⎝⎛⎭⎫x，y是30°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解：yx＝tan30°＝33.故填33.半径为R的圆的一段弧长等于23R，则这段弧所对的圆心角的弧度数是____________．解：圆心角的弧度数α＝23RR＝2 3.故填23.类型一 角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置． 解：∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)． (1)∵180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z)，故2α的终边在第三或第四象限或y 轴的负半轴上．(2)∵45°＋k ·180°＜α2＜90°＋k ·180°(k ∈Z)，当k ＝2n (n ∈Z)时，45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°.∴α2的终边在第一或第三象限． (3)∵30°＋k ·120°＜α3＜60°＋k ·120°(k ∈Z)，当k ＝3n (n ∈Z)时，30°＋n ·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z)时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z)时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°.∴α3的终边在第一或第二或第四象限． 【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置．已知角2α的终边在x 轴的上方(不与x 轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z)， ∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z)．当k ＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k ＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k ∈Z ，α为第一或第三象限角． 故α的终边在第一或第三象限．类型二 扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1)AB︵的长； (2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3，R ＝6，∴l AB⌒＝2π3×6＝4π.(2)S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12l AB⌒R －12R 2sin ∠AOB ＝12×4π×6－12×62×32＝12π－9 3. 【评析】①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用．扇形AOB 的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．解：设扇形半径为r ，则弧长为8－2r ， ∴S ＝12·(8－2r )·r ＝3，∴r ＝1，或r ＝3.∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或23.类型三 三角函数的定义已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，所以r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a .sin α＝y r ＝2a 5a＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55，tan α＝y x ＝2a a＝2.【评析】若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解．已知角α的终边经过点P (3m －9，m＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值； (2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围．解：(1)∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5.∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43＝0.(2)∵cos α≤0且sin α＞0，∴⎩⎨⎧3m －9≤0，m ＋2＞0.∴－2＜m ≤3.类型四 三角函数线的应用用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sin α|＋|cos α|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy 和单位圆． (1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox 轴，设它交单位圆于A 点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA ＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.图1图2(2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP ，设它交单位圆于A 点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，如图2，则sin α＝BA ，cos α＝OB .在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1， 所以|sin α|＋|cos α|＞1. 综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．求证：当α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT 中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S △POA <S 扇形POA <S △AOT ，即12OA ·MP < 12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.1．将角的概念推广后，要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合为{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z}，显然锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行换算，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z)，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z)的写法都是不正确的． 3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，但要注意对可能情况的讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎨⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)k sin α.7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．。