弧度制与任意角知识梳理

弧度制与任意角知识梳理

第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) §4.1弧度制及任意角的三角函数

1．了解任意角的概念．

2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．

3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查．

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．

(2)象限角

使角的顶点与____________重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．

①α是第一象限角可表示为

⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|2k π<α<2k π＋π

2，k ∈Z ； ②α是第二象限角可表示为 ； ③α是第三象限角可表示为 ； ④α

是第四象限角可表示

为 ．

(3)非象限角

如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限．

①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z}；

②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作

_________________________________________；

③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作

_____________________________________ ____；

④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作

_____________________________________ ____；

⑤终边在x轴上的角的集合可记作

_____________________________________ ____；

⑥终边在y轴上的角的集合可记作

_____________________________________ ____；

⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作

_____________________________________ ____；

(4)终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________.

2．弧度制

(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．

⎪⎪⎪

⎪α＝ ，l 是半径为r 的圆的圆心角

α所对弧的长．

(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°

＝

________rad ，1°＝ rad≈0.01745rad ，

反

过

来

1rad

＝

≈57.30°＝57°18′.

(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_______；扇形面积公式S

扇

＝

＝ ．

3．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义

设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α

＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．

※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝

r y (y ≠0)．

(2)正弦、余弦、正切函数的定义域

三角函数定义域

sinα①

cosα②

tanα③

(3)三角函数值在各象限的符号

sinαcosαtanα

4．三角函数线

如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P 作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x ＝________，MP＝y＝________，AT＝＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的、、，统称为三角函数线．

5．特殊角的三角函数值

角α 0° 30° 45°

60° 90°

120° 135° 150° 180° 270°

360°

角α的弧度数

sin α cos α tan α

※sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，

tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．

【自查自纠】

1．(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)原点 非负半轴

②⎩⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π

2<α<2k π＋π，k ∈Z ③⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|2k π＋π<α<2k π＋3

2π，k ∈Z

④⎩

⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|2k π＋3

2π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或 {α|2k π－π

2<α<2k π，k ∈Z}

(3)坐标轴

②⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫α|α＝2k π＋π，k ∈Z

③⎩

⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋π

2，k ∈Z ④⎩

⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π＋3

2π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z}

⑥

⎩

⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π

2，k ∈Z ⑦⎩

⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α|α＝k π

2，k ∈Z (4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z}或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}

2．(1)半径长 l r (2)2π π π180 ⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫180π° (3)⎪⎪⎪

⎪

αr 12⎪⎪⎪⎪αr 2 12

lr