高三数学模拟试题(理)
江西省贵溪市实验中学2023届高三第三次模拟考试数学(理)试题
(1)求角 A 的大小；
(2) D 是线段 BC 上的点，且 AD = BD = 2 ， CD = 3 ，求△ABD 的面积． 18．某人预定了 2023 年女足世界杯开幕式一类门票一张，另外还预定了两张其他比赛 的门票，根据主办方相关规定，从所有预定一类开幕式门票者中随机抽取相应数量的 人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买一类开幕式门票，另外，对于开幕式 门票，有自动降级规定，即当这个人预定的一类门票未成功时，系统自动使他进入其 它类别的开幕式门票的预定.假设获得一类开幕式门票的概率是 0.2，若未成功，仍有 0.3 的概率获得其它类别的开幕式门票的机会，获得其他两张比赛的门票的概率分别是 0.4，0.5，且获得每张门票之间互不影响. (1)求这个人可以获得 2023 年女足世界杯开幕式门票的概率；
所以函数 f ( x) 为奇函数，故 B、D 错误；
( ) 又因为1Î
æ çè
0,
π 2
ö ÷ø
，则
f
(1)
=
2-1 - 2
cos1
=
-
3 2
cos1
<
0
，故
C
错误；
故选：A. 6．C 【分析】法一：所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排
法即可；法二：分甲、乙同组和甲、乙不同组进行讨论即可 【详解】法一：所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排
-
5p 24
-
x
ö ÷ø
，且
f
(x)
在区间
æ çè
p 3
,
p 2
ö ÷ø
上单调，则
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
高三数学(理科)模拟试题及答案
高三数学（理科）模拟试题及答案姓名： 班级： 座位号： 分数： 一、选择题：（每题 分，总计 分，把答案填在答题卡上。
）1、 10i2-i =A 、 -2+4iB 、 -2-4iC 、 2+4iD 、 2-4i 答案：解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i==-+、故选A 、2、 设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A 、 ∅ B 、 ()3,4 C 、()2,1- D 、 ()4.+∞ 答案：解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭、(3,4)A B ∴=、故选B 、3、 已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =A 、 1213B 、513C 、513-D 、 1213-答案：解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈、12cos 13A ===-故选D 、4、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A 、 20x y --=B 、 20x y +-=C 、450x y +-=D 、 450x y --= 答案：解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---,故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B 、5、 已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A 、B 、 15C 、D 、 35答案：解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。
在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。
故选C6、 已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b =A 、B 、C 、5D 、 25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。
四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟(三)理科数学试题(含答案)
四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟（三）数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）A ．B ．2C ．D ．43．“”是“方程表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知为锐角，若，则（ ）ABCD5．正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则（ ）A ．4B ．3C ．D ．6．已知非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）{}240,A x x x x =-≤∈Z {}14B x x =-≤<A B = []1,4-[)0,4{}0,1,2,3,4{}0,1,2,3i ()242i z m m =---m =2±2-13m <<22113x y m m+=--αsin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos α=ABCD E AD F DC ()EB EF BF +⋅=4-3-a b 1a b >+221a b >+122a b +>24a b>1ab b>+()214f x x =+()sin g x x =A ．B ．C ．D ．8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A ．B ．C．D ．9．已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）A ．B ．C ．D ．10．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬，有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚测得山顶得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达点（，，，在同一个平面内），在处测得山顶得仰角为，则鼎湖峰的山高为（ ）米()()14y f x g x =+-()()14y f x g x =--()()y f x g x =()()g x y f x =cm 3cm 22π8π223π163π356131234A P 45︒15︒B A B P Q B P 60︒PQA ．B ．C ．D ．11．已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）A ．6B ．CD12．已知，分别是双曲线：（，）的左右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，点在轴上，，平分，则双曲线的离心率（ ）ABCD ．二、填空题：本题共4小题；每小题5分，共20分。
黑龙江省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析
黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（ ）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（ ）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（ ） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确； 对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同 故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱 故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减 则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意 所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟 所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出； （2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的 一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则 所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩； 解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试(数学试题理)试题
广西钦州市2024学年高三3月第一次模拟考试（数学试题理）试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）A 1BCD2．已知集合{lgsin A x y x ==+，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．22⎛⎫⎪⎪⎝⎭3．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 5．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+-+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．32D ．6．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．33C ．22D ．327．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-8．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．139．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 10．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．211．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-12．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学模拟试题
高三数学模拟试题(理)一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．1. 设f x x →：是集合A 到集合B 的映射．若{}3,0,3A =-，则AB =（ ）A ．{0}B ．{0，3}C ．{3}D ．{3-，0}2. 已知等差数列{a n }满足：35111380a a a a +++=，则a 8 =（ ）A ．18B ．20C ．22D ．243. “a = 3”是“直线210ax y --=与直线640x y c -+=平行”的（ ）条件A ．充要B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要4. 00tan15cot15-的值为（ ）A ．23-B ．3-C ．3D ．235. 已知双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6. 若函数()cos 21f x x =+的图像按向量a 平移后，得到的图像关于原点对称，则向量a 可以是（ ） A ．（1，0）B ．(1)2π-，C ．(1)4π-，D ．(1)4π，7. 关于x 的函数y =log 21(a 2－ax +2a )在［1，+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－1)B ．（-∞，0）C ．(1-，0)D ．(0，2]8. 已知数列{a n }的通项为*1log (2)()n n a n n N +=+∈，我们把使乘积123n a a a a 为整数的n 叫做“优数”，则在(12010]，内的所有“优数”的和为（ ） A ．1024B ．2003C ．2026D ．20489. 已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2，则12||2F F c =，点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c ==且，则椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．22C ．312- D ．512- 10. 定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1[ 1.3]2=-=-，，当*[0)()x n n N ∈∈，时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为a n ，则式子90n a n+的最小值为（ ） A ．10B ．13C ．14D ．16二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11. 不等式22log 1x x -≥的解集为______________． 12. 函数sin()(10)()3(1)(0)x x f x f x x π⎧-≤<⎪=⎨⎪-≥⎩，则(1)f =________________． 13. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若59611229a Sa S ==，则______________． 14. x 、y 满足约束条件：225040y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则1|5|2z x y =+-的最小值是______________．15. 已知集合{|18}M x x x N =≤≤∈，，对于它的非空子集A ，将A 中的每个元素k ，都乘以(1)k -再求和，（如A = {1，3，6}，可求和得到136(1)1(1)3(1)62-+-+-=），则对M 的所有非空子集，这些和的总和是________________．三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. (本小题满分13分)已知函数()sin 2sin 2cos 2(66f x x x x a a a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，为常数）．求函数的最小正周期；求函数的单调递增区间；若02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为– 2 ，求a 的值．17. (本小题满分13分) 数列{a n }中，a 1 = 1，当2n ≥时，其前n 项和满足21()2n n n S a S =-求S n 的表达式； 设21nn S b n =+，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．18. (本小题满分13分) 已知圆C ：22(1)(2)25x y -+-=，直线l ：(21)(1)740()m x m y m m +++--=∈R ．证明：不论m 取什么实数时，直线l 与圆恒交于两点； 求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程．19. (本小题满分12分)已知2(1)()(0)2x p x pf x p x p+++=>+ 若p > 1时，解关于x 的不等式()0f x ≥； 若()2f x >对24x ≤≤时恒成立，求p 的范围．20. (本小题满分12分)已知点A (– 2，0)，B (2，0)，动点P 满足：2APB θ∠=，且2|||s i n2P A P B θ=.求动点P 的轨迹G 的方程；过点B 的直线l 与轨迹G 交于两点M 、N ．试问在x 轴上是否存在定点C ，使得CM CN 为常数.若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．21. (本小题满分12分)数列{a n }中a 1 = 2，111()2n n n a a a +=+，{b n }中*91log 11n n n a b n N a +=∈-，． 求证：数列{b n }为等比数列，并求出其通项公式； 当*3()n n N ≥∈时，证明：2312312337444414(1)(1)(1)(1)n nn b b b b ++++<+-+-+-+-．参考答案1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．A 8．C 9．D 10．B 11．[20)-， 12．32- 13．2 14．3215．512 16．解： (1) ()2sin 2coscos 23sin 2cos 22sin 266f x x x a x x a x a ππ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期22T ππ== (2) 当222262k x k πππππ-≤+≤+即()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，故所求区间为()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，(3) 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2x π=∴时，()f x 取得最小值2sin(2)2126a a ππ⋅++=-=-∴∴17．解：(1) 当2n ≥时，1n n n a S S -=-代入已知得211()()2n n n n S S S S -=--化简得：111122n n n n S S S S --=- 两边同除以11112n n n n S S S S ---=得 ∴111(1)212(1)21n n n n S S =+-=+-=- ∴ 121n S n =- (2) ∵ 1111121()2121(21)(21)22121n n S n b n n n n n n -====-++-+-+ ∴ 12n n T b b b =+++111111(1)2335212111(1)221n n n =-+-++--+=-+21nn =+ 18．解：(1) 由(27)(4)0m x y x y +-++-=知直线l 恒过定点又27341x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩∴ 直线l 恒过定点A （3，1），且22(31)(12)525-+-=<⇒A （3，1）必在圆内，故直线l 与圆恒有两交点． (2) ∵ 圆心为C （1，2），定点为A （3，1） ∴ 211132AC k -==-- 由平面几何知识知，当直线l 与AC 垂直时所截线段最短，此时2l k = ∴ l 方程为：12(3)25y x y x -=-⇒=-，此时||415d AC ==+=∴ 最短弦长225545=-=19．解：(1) ()(1)()02x p x f x x p++=≥+ ①12{|1}2pp x p x x <<-≤≤->-时，解集为或② p = 2时，解集为{|21}x x x ≥-≠-且③ p > 2时，解集为{|1}2px p x x -≤<-≥-或(2)2(1)22x p x px p+++>+2(1)42x p x p x p +++>+ ∴ 2(3)024x p x p x +-->≤≤对恒成立∴ 232(2)2411x x p x x x x ->=--+≤≤--对恒成立∵ 2()(2)[24]1g x x x =--+-在，上递减 ∴max ()(2)2g x g == ∴ p > 2 20．解：(1) 由余弦定理得：222||||||2||||cos2AB PA PB PA PB θ=+-即16＝222||||2||||(12sin )PA PB PA PB θ+--＝222||||2||||4||||sin PA PB PA PB PA PB θ+-+2(||||)8PA PB =-+ 所以2(||||)8PA PB -=，即||||||224||PA PB AB -=<= （当动点P 与两定点A ，B 共线时也符合上述结论）所以动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点，实轴长为22的双曲线 所以，轨迹G 的方程为222x y -= (2) 假设存在定点C (m ，0)，使CM CN 为常数.①当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为22(2)2y k x x y =--=，代入整理得2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=由题意知，1k ≠± 设1122()()M x y N x y ，，，，则212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-于是()()()2222121212122224y y k x x k x x k x x k =--=-++∴21122121212()()()CM CN x m y x m y x x m x x y y m ⋅=--=-+++，， ＝()()()22221212124k x x k m x x m k +-++++＝22222222(42)(1)4(2)411k k k k m m k k k +++-++-- 2222222242(24)211k k m k m m mk k -+-+=+=+--22222(1)(24)2244(1)2(12)11k m m m m m m k k --++--=+=++--- 要是使得CM CN 为常数，当且仅当1m =，此时1CM CN =- ②当直线l 与x 轴垂直时，(22)(22)M N -，，，,当1=m 时1CM CN =-．故，在x 轴上存在定点C (1，0)，使得CM CN 为常数21．证明：(1) 由21191919111()1121log 1log 1log ()11111()12n n n n n n n n n n na a a ab b b a a a a +++++++++=⇒=⇒=--+-1912log 11n n n a b a ++⇒=- 又91log 11nn n a b a +=- ∴ 112n n b b += 又n = 1时，119111log 121a b b a +=⇒=- ∴ {}n b 为等比数列，b 1 = 2，12q =，∴ 12112()()22n n n b --== (2) ∵ 21141()4()2122()2n n n n nn b b -==⇒== ∴ 42(1)(1)n nnn nn n C b ==+-+- 先证：1(3)2(1)2n n nn n n +<≥+-当n 为偶数时，显然成立；当n 为奇数时，即证1222121212n n n n n nn n n n n n +<⇔<-+-⇔>+- 而当3n ≥时，21n n >+显然也成立，故1(3)2(1)2n n nn n n +<≥+-当4n ≥时，令45645645656712121212(1)2222n n nn n T +=++++<+++++-++- 又令45656712222nn A +=++++① 561156122222n n n n A ++=++++② ①－②：4561151111222222n n n A ++=++++-4345111[1()]5111151316212222282412n n n n n n A ---++⇒=++++-=+-<-∴ 34T <又123123123236412121215735C C C ++=++=++=-+- ∴ 所证式子左边6433693703735414014014<+=<=即2312312337444414(1)(1)(1)(1)nn n b b b b ++++<+-+-+-+-。
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2324x A x -=> {}5B x x =≤，则A B =（ ）．A ．752x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．552x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．52x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．{}5x x ≤2．当a<0时，则关于x 的不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，则1212ab x x x x =++取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值 1b ≤-B ．有最小值b ≥-C ．有最大值 5b ≤-D ．有最小值b ≤3．已知扇形的半径为2 圆心角为45，则扇形的弧长是（ ） A ．45B ．π4C ．2π D ．904．在极坐标中点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A ．3πBC ．2D5．设0.33a = 30.3b = 0.3log 3c =，则a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ 若78a a =，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知直线y =双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于不同的两点A 和B F 为双曲线C 的左焦点且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2 C1 D8．已知函数||||12e sin 432e 2x x x f x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．404 B ．4044 C ．2022D ．2024二、多选题9．已知复数0z 、z 其中02i 3z =-，则下列结论正确的是（ ） A ．0z 的虚部为2iB ．0z 的共轭复数02i 3z =--C ．0z 是关于x 的方程26130x x ++=的一个根D ．若03z z -=，则z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 10．已知函数31()423f x x x =-+ 下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的极大值为223 极小值为103- B ．当[]3,4x ∈时，则函数()f x 的最大值为223 最小值为103- C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+11．已知线段BC 的长度为4 线段AB 的长度为m 点D ,G 满足AD DC = 0DG AC ⋅= 且G 点在直线AB 上 若以BC 所在直线为x 轴 BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则（ ） A ．当4m =时，则点G 的轨迹为圆B ．当68m ≤≤时，则点G 的轨迹为椭圆 且椭圆的离心率取值范围为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当2m =时，则点G 的轨迹为双曲线 且该双曲线的渐近线方程为y =D ．当5m =时，则BCG 面积的最大值为312．我国有着丰富悠久的“印章文化” 古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成 本是官员或私人签署文件时代表身份的信物 后因其独特的文化内涵 也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件 除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2 已知正四棱柱和正四棱锥的高相等 且底面边长均为2 若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．正四棱柱和正四棱锥的高均为12B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+C ．球O 的表面积为9πD ．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为α、π2βα⎛⎫< ⎪⎝⎭，则αβ<三、填空题 13．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-=__________.14．设{}n a 是等差数列 且13a = 2414a a += 若37m a =，则m =___________.15．一批电池(一节)用于无线麦克风时，则其寿命服从均值为34.3小时，则标准差为4.3小时的正态分布 随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+= ()220.9545P X μσμσ-<≤+=)16．已知函数()()e 1xf x x =+ ()()1lng x x x =+ 若()()()121f x g x m m ==>，则112ln x x x m+的最小值为______．四、解答题17．如图 在ABC 中2BC = AC =π4A = 点M ､N 是边AB 上的两点 π6MCN ∠=.(1)求ABC 的面积；(2)当BN =求MN 的长.18．已知正项等比数列{}n a 前n 项和为12,n S a = 且324,2,a S a 成等差数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n b a = 其前n 项和为n T 求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．19．盲盒 是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子 具有随机性．因其独有的新鲜性 刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M 系列盲盒共有12个款式 为调查M 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱 向00前、00后人群各随机发放了50份问卷 并全部收回．经统计 有45%的人未购买该系列育盒 在这些未购买者当中00后占23．(1)请根据以上信息填表 并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？(2)一批盲盒中每个盲盒随机装有一个款式 甲同学已经买到3个不同款 乙、丙同学分别已经买到m 个不同款 已知三个同学各自新购买一个盲盒 且相互之间无影响 他们同时买到各自的不同款的概率为13．①求m ；②设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数 求X 的分布列和数学期望．20．已知直线,a b 平面,αβ 且a α⊂ b β⊂ //αβ．判断直线,a b 的位置关系 并说明理由． 21．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边 222cos cos 1cos A C B +=+且1b = (1)求B ； (2)若12AB AC ⋅<求11a c +的取值范围.22．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点 求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．B【分析】解指数不等式求得集合A 根据集合的交集运算可得答案. 【详解】解不等式2324x -> 即232522232,2,x x x ->->∴>∴ 故{}235242x A x x x -⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭ 故552A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭故选：B 2．C【解析】计算得到124x x a += 2123x x a =计算b ≤根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x 故124x x a += 2123x x a =.1212114433a b x x a a x x a a ⎛⎫=++=+=--+≤-= ⎪-⎝⎭当143a a -=-即a =时等号成立 根据充分条件的定义知C 满足. 故选：C .【点睛】本题考查了充分条件 不等式的解 均值不等式 意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．C【分析】由弧长公式求解即可.【详解】因为圆心角的弧度数为π4 所以扇形的弧长是ππ242⨯=.故选：C 4．C【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程 再求点到圆心的距离得解.【详解】由题得ππ2cos 1,2sin 33x y =⨯==⨯=所以点的坐标为因为4cos ρθ= 所以24cos ρρθ= 所以2240x y x +-= 即22(2)4x y -+= 所以圆心的坐标为(2,0)2=故选：C. 5．C【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为0.30331>= 300.3100.3<=< 0.30.3log 3log 10<= 所以c b a << 故选：C 6．D【分析】根据二项展开式分别求出78,a a 的表达式 解方程即可求得结果.【详解】由题可知 ()77777777C 122C n n n a x x x -=⨯⨯= 所以7772C n a =； 同理可得8882C n a =；由78a a =可得77882C 2C n n = 即78C 2C n n =所以(1)(2)(6)(1)(2)(7)212371238n n n n n n n n --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 即7218n -⨯= 解得11n =. 故选：D 7．C【分析】由题意设A B 的坐标 代入直线和双曲线的方程可得A B 的坐标 再由AF BF ⊥ 可得数量积0FA FB →→⋅= 可得a c 的关系 进而求出离心率. 【详解】设()()0000,,,,(,0)A x y B x y F c ---则2200221x y a b-=① 因为AF BF ⊥ 所以0FA FB →→⋅=即()()0000,,0x c y x c y +⋅-+-=可得22200c x y -=②因为AB 在直线y 上 所以0y x = 由①②③得42840e e -+=解得24e =+所以1e 故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质 及直线的垂直用数量积为0表示 属于中档题. 8．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】||||||12e sin 4sin 322e 2e 2x x x x x f x ++⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭ ()||||sin 1sin 3222e 2e 2x x x x f x --⎛⎫-+=+=- ⎪++⎝⎭所以1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以12x -替换3x 得()()1111142222f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫-++-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令122022202320232023f f f S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=则202220211202320232023f f S f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=两式相加得220224,4044S S =⨯=. 故选：B 9．BCD【分析】利用复数的概念可判断A 选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B 选项的正误；解方程26130x x ++=可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项 复数0z 的虚部为2- A 错； 对于B 选项 02i 3z =-- B 对；对于C 选项 解方程26130x x ++= 即()()22342i x +=-=± 可得32i x +=± 解得32i x =-± C 对；对于D 选项 设()i ,z x y x y R =+∈，则()()032i z z x y -=++-所以 03z z -== 即()()22329x y ++-=故z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 D 对. 故选：BCD. 10．ACD【分析】利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性 利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程 根据计算结果可得答案. 【详解】因为31()423f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'由()0f x '> 得<2x -或2x > 由()0f x '< 得22x -<<所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增 在[]22-,上递减 在(2,)+∞上递增 故选项C 正确 所以当2x =-时，则()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=在2x =时，则()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=- 故选项A 正确当[]3,4x ∈时，则()f x 为单调递增函数 所以当3x =时，则()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-当4x =时，则()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+= 故选项B 不正确因为(0)4f '=- 所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=-- 即42y x =-+ 故选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间 考查了导数的几何意义 属于基础题.11．BCD【分析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC = 利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC =当4m =时，则线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B 点G 即点B A 错误； 当68m ≤≤时，则如图1 点G 在线段AB 上 连接GC 则GC GB GA GB AB m +=+==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的椭圆 即,22m a c则椭圆的离心率412,23c eamB 正确； 当G 为椭圆短轴顶点时，则BCG 面积的最大 若5m =时，则则2253,2,22ac b a c 最大面积为3bc = D 正确； 当2m =时，则过点C 作圆B 的切线 切点为,M N若点A 在劣弧MN （不包括端点,M N ）上 如图2 点G 在BA 的延长线上 连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧MN （不包括端点,M N ）上 如图3 点G 在AB 的延长线上 连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的右半支 则点G 的轨迹为双曲线∴1,2,a c b ===渐近线方程为by x a=±= C 正确； 故选：BCD ．12．BC【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为h球O的半径为r根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心球的直径2r 即为正四棱柱的体对角线 且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h r = 根据正四棱柱的体对角线公式得2222224348(22292)r h r r r ⇒=+⇒+==+ 因此1h = 所求球的表面积为294π4π9π4r =⋅= 故选项A 不正确 C 正确； 在直角三角形EFG中EG ==所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：14222421122⨯⨯⨯+⨯⨯=+所以选项B 正确 如图所示：1tan tan 11EGFα1tan tan 12FHE β=∠==显然有tan tan αβαβ>⇒>所以选项D 不正确 故选：BC13．【详解】222221tan 2,sin 2cos ,sin 4cos 1cos 4cos cos 5αααααααα=∴=∴=⇒-=⇒= 2sin cos 116cos 3sin cos 55ααααα++=+=- 14．18【分析】根据等差数列的通项公式 结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为d 因为13a =所以由2414333142a a d d d +=⇒+++=⇒=由373(1)23718m a m m =⇒+-⋅=⇒=故答案为：1815．0.84135【分析】由题知()2~34.3,4.3X N 故()()30P X P X μσ≥=≥- 再结合正态分布3σ原则求解即可得答案.【详解】解：由题意知 ()2~34.3,4.3X N所以()()()3034.3 4.3P X P X P X μσ≥=≥-=≥-故()()1110.68270.841352P X μσ≥-=--=. 所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.故答案为：0.8413516．e【分析】利用函数同构及函数单调性得到12ln x x = 问题转化为求()ln x h x x =（1x >）的最小值 利用导函数 研究其单调性 求出最小值.【详解】()()()()ln 1ln e 1ln ln x g x x x x f x =+=+=，则 ()()()12ln 1f x f x m m ==> 因为()()111e 11x f x x =+> 故1>0x 又当0x >时，则()()1e 10x f x x '=++>恒成立 即()()e 1x f x x =+单调递增 所以12ln x x =，则112l l n n x x x m m m=+ 令()ln x h x x =（1x >） ()()2ln 1ln x h x x -'= 当()1,e x ∈时，则()0h x '< 当()e,+x ∈∞时，则()0h x '> 所以()h x 在e x =处取得最小值 ()e e e ln e h == 112ln x x x m +的最小值为e .故答案为：e17．【分析】（1）利用正弦定理sin sin BC AC A B = 可求得1π6B = 根据()sin sinC A B =+结合面积公式求解；（2）在BCN △中利用余弦定理求1CN = 在直角CMN 中根据tan MN MCN CN=∠求解．【详解】（1）在ABC 中BC AC >，则A B >由正弦定理得：sin sin BC AC A B = 2sin 4π=，则1sin 2B = 因为(0,π)B ∈，则1π6B =或5π6B =（不合题意 舍去）则()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=ABC 的面积为1sin 2ABC S CB CA C =⋅⋅⋅=△（2）在BCN △中2BC = BN =π6B =由余弦定理可得1CN == 则有222BC BN CN =+ 所以CN AB ⊥在直角CMN 中1CN = π6MCN ∠=πtan 6MN CN ==MN =18．(1)2n n a =； (2)21n n +.【分析】（1）设{}n a 的公比为q 列方程求得q 后可得通项公式；（2）由题可得n b n T 然后利用裂项相消法即得．【详解】（1）设{}n a 的公比为q (0q >)因为12a = 且324,2,a S a 成等差数列所以()3421244a a S a a +==+所以23224(22)q q q +=+ 即()214(1)q q q +=+ 又0q > 所以2q所以2n n a =；（2）由题可知2log n n b a n ==所以n T ()1122n n n +=+++=()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n 所以11111122121223111n n H n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19．(1)有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关(2)① 4；②见解析【分析】（1）列出列联表 计算出2K 然后判断.（2）①利用概率的乘法公式计算；②分析X 的取值后 由概率的加法公式和乘法公式计算 得到分布列 然后计算期望.【详解】（1）由题意可得则()22100353015201009.091 6.6355050455511K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关. （2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为9121211212123m m 解得20m =或4 因为012m <≤ 所以4m =.②由题X 的所有可能取值为0 1 2 33441012121236P X； 94438471212121212121236P X； 9843884221212121212129P X ； ()133P X == 其分布列为所以数学期望()174125012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【分析】利用反证法 根据两条直线交点的个数 可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ 直线,a b 分别在平面α β内可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点 那么这个点也是平面α β的公共点这与是平面α β平行矛盾．因此直线,a b 不相交 它们是平行直线或异面直线．21．(1)π2(2)()+∞【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12AB AC ⋅<推得0c << 再由221a c +=设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭ 将11a c +转化为sin cossin cos θθθθ+ 再引入(sin cos ,t t θθ=+∈ 得(2112,1t t a c t +=∈- 最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b += 所以ABC 为直角三角形所以π2B =（2）221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< 所以0c < 而221a c += 所以设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=令(πsin cos ,4t t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为22(sin cos )12sin cos t θθθθ=+=+ 所以21sin cos 2t θθ-=所以(2112,1t t a c t +=∈-令(222,11t y t t t t ==∈-- 因为1t t -在(t ∈上单调递增 所以21y t t =-在(t ∈上单调递减所以21y >=所以11a c +的取值范围为()+∞. 22．(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意 列出方程组求得()321f x x x x =+-+ 得到()2321f x x x '=+- 进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+- 结合条件列出不等式组 即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩ 解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知 ()g x 在=1x -处取得极大值 在13x =处取得极小值()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意 要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m << 经检验 (2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理 可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
四川省内江市2023届高三第三次模拟考试数学(理科)试题
一、单选题二、多选题1. 已知等比数列的公比为负数，且，已知，则 ( )A．B．C．D ．22. 满足的的一个取值区间是（ ）A．B．C．D．3. 已知点在曲线上，那么的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知向量，满足，，，则（ ）．A．B．C．D．5. 鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm ），则此构件的表面积为（）A．B．C．D．6. 若数列满足，，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（ ）A．B．C．D．9.已知函数，则有（ ）A．B．C ．是函数图象的对称中心D ．方程有三个实根10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，函数有3个零点B．当时，若函数有三个零点，则C ．若函数恰有2个零点，则四川省内江市2023届高三第三次模拟考试数学（理科）试题四川省内江市2023届高三第三次模拟考试数学（理科）试题三、填空题四、解答题D ．若存在实数m 使得函数有3个零点，则11. 已知，则（ ）A．B．C．D．12. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ）A．为奇函数B．C ．当时，在上有4个极值点D ．若在上单调递增，则的最大值为513. 为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有______种不同的排队方法．14. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，且，则△ABC 的面积为___．15. 已知向量，，且，则向量与的夹角为______.16. 已知函数，其中实数.（1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.17. （本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分）已知函数（1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求的值；（3）若在上恒成立 , 求的取值范围．18.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知．(1)求角的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：，；条件②：，；条件③：，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：，，．20. 已知数列的前项和为，且满足：.(1)求证：数列为常数列；(2)设，求.21. 已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围.。
2023届四川省内江市高三第三次模拟考试数学(理)试题【含答案】
2023届四川省内江市高三第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（ ）(13i)(2)10z z +-=i z z z =A ．B ．C ．D ．1+i 1i-1i-+1i--【答案】A【分析】设，后由共轭复数，复数乘法，复数相等知识可得答案.i z a b =+【详解】设，则，i z a b =+i z a b =-()()(13i)(2)1013i 3i 10z z a b +-=⇔+-=，则()()9101933i=103301a b a a b a b a b b +==⎧⎧⇔++-⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩i =1+i z a b =+.故选：A2．已知全集，，，则（ ）R U ={}2430M x x x =-+≤∣{}2log 1N x x =≤∣()U M N ⋃= A ．B ．(,0](3,)-∞+∞ (3),-∞C ．D ．(,1)(3,)-∞+∞ (3)+∞【答案】A【分析】化简集合M ，N ，后由并集及补集定义可得答案.【详解】，则；()()243031013x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤{}13M x x =≤≤∣，则.222log 1log log 202x x x ≤⇒≤⇒<≤{}02N x x =<≤∣则或.{}(){030U M N x x M N x x ⋃=<≤⇒⋃=≤ }3x >故选：A3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为0[050501010010)5)[[)，、，、，、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和2[50)100，、[)200300，[)300500，“严重污染”六个等级，如图是某市4月1日至14．日连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（ ）A ．从2日到5日空气质量越来越差B ．这14天中空气质量指数的中位数是214C ．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日D ．这14天中空气质量指数的平均数约为189【答案】D【分析】观察数据变化可判断A 项；将14天的空气质量指数由小到大依次排列，即可得出中位数，判断B 项；根据折线图及方差的概念可判断C 项；根据数据计算平均数可判断D 项.【详解】对于A 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，A 选项错误；对于B 选项：由图象可知，14天的空气质量指数由小到大依次为：80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，所以中位数为，B 选项错误；179214196.52+=对于C 选项：方差表示数据波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方差最小的是9日到11日，C 选项错误；对于D 选项：这14天中空气质量指数的平均数约为，D 选项正确；214275243157801552608316517913821422126318914+++++++++++++=故选：D.4．我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．某“阳马”的三视图如图所示，则该四棱锥中棱长的最大值为（ ）A B C D ．2【答案】C【分析】先由三视图得到几何体的直观图，再分别求得棱长比较下结论.【详解】解：由三视图得该几何体如图所示：，故选：C 5．函数的部分图像大致为（ ）()()cos sin ln ||f x x x x x =+A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除选项C 、D ；再由，即可求解.()f x ππln 022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭【详解】函数的定义域为，()()cos sin ln ||f x x x x x =+{}|0x x ≠且，()()()()()cos sin ln cos sin ln f x x x x x x x x x f x -=--+--=--=-⎡⎤⎣⎦所以函数是奇函数，其函数图像关于对称，所以选项C 、D 错误；()f x ()0,0又，所以选项B 错误；ππππππcos sin ln ln 0222222f ⎛⎫=-+⋅=> ⎪⎝⎭故选：A.6．已知函数和有相同的极大值，则（ ）()e xxf x a =-ln ()x g x b x =+a b +=A ．2B ．0C ．-3D ．-1【答案】B【分析】利用导数法求得和的极大值，然后根据与有相同的极大值建立方程()f x ()g x ()f x ()g x 求解即可.【详解】，则，()e x xf x a =-()1e x x f x -'=令，解得，令，解得，()0f x ¢>1x <()0f x '<1x >所以在上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞()1,+∞所以在处取得极大值，()f x 1x =()11e f a =-又，则，ln ()xg x bx =+()21ln x g x x -'=令，解得，令，解得，()0g x '<e x >()0g x '>0e x <<所以在上单调递增，在上单调递减，()g x ()0,e ()e,+∞所以在处取得极大值，()g x e x =()1e e g b =+依据题意，和有相同的极大值，()f x ()g x 故，所以，所以.()()1e f g =11e e a b -=+0a b +=故选：B.7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）A ．4B ．C ．D ．622【答案】C【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与球各面（含球面部分）都相切，18进而求半径最小值.【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切，18此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角O A OA 线，且该小球与半球球面上的切点与共线，,O A所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即,OA 2故选：C8．位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太ABC ∠阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则ADC ∠DB 表高（即的长）约为（ ）（其中，）AC 3tan 32.55︒≈27tan 79.55︒≈A ．9.27米B ．9.33米C ．9.45米D ．9.51米【答案】C 【分析】根据题意，，进而代入数据求解即可.,tan tan AC ACBC CD ABC ADC ∠=∠=14BC CD -=【详解】解：如图，，32.579.5,1,4AD DB C C AB ∠∠===设表高，则由题知，，AC h =tan ,tan AC ACABC BC C ADC D ∠=∠=所以，,tan tan AC ACBC CD ABC ADC ∠=∠=因为，，，3tan 32.55︒≈27tan 79.55︒≈14=DB 所以，解得，5514327h h -=27189149.454020h =⨯==所以，表高（即的长）约为米.AC 9.45故选：C9．已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（）ABC ．3D ．2【答案】D【分析】结合圆锥的母线长和侧面积可求得底面圆的周长、半径，再得到轴截面的顶角，进而得到截面三角形顶角的取值范围，故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，即得解π2【详解】由圆锥的母线长为2，侧面积为，假设底面圆周长为，因此，l 122l ⨯⨯=故底面圆周长为由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径.故当截2π3面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时.π21π22sin 222S =⋅⋅⋅=故选：D【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和截面面积问题，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理，数学运算能力，为中档题10．已知双曲线上有不同的三点A 、B 、P ，且A 、B 关于原点对称，直线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>PA 、PB 的斜率分别为、，且，则离心率的值为（ ）PAk PBk 34PA PB kk ⋅=e A BCD【答案】B【分析】设，由斜率坐标公式求出，再利用点差法得，即可求出()22,P x y 12k k ⋅2222122221y y b ax x -=-，进而求得.2234b a =e【详解】设，，根据对称性，知，()11,A x y ()22,P x y ()11,B x y --所以.2221212122212121PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-因为点A ，P 在双曲线上，所以，两式相减，得，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2222212122x x y y a b --=所以，所以，所以，2222122221y y b a x x-=-2234PA PB b k k a ⋅==222274a b e a +==所以.e =故选：B11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若()()sin 0f x x ωω=>π2()g x 是的一个单调递增区间，且在上有5个零点，则（ ）π0,ω⎛⎫⎪⎝⎭()g x ()g x ()0,πω=A ．1B ．5C ．9D ．13【答案】B【分析】由题知，进而结合题意得，再根据在()()πsin 02g x x ωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭14,Z k k ω=-∈()g x 上有5个零点即可得答案.()0,π【详解】解：因为函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，()()sin 0f x x ωω=>π2()g x 所以，()()πsin 02g x x ωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭因为是的一个单调递增区间，π0,ω⎛⎫⎪⎝⎭()g x 所以，，即，解得，()10πsin 2g ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ππ2π22k ω-=-+14,Z k k ω=-∈因为在上有5个零点，作出其草图如图，()g x ()0,π所以，由上图可知，，解得 ，9π11ππ22ωω<≤91122ω<≤所以，当时，1k =-145k ω=-=故选：B 12．设，，，则（ ）13ln5a =2627b =4tan 5c =A ．B ．C ．D ．c b a >>c a b>>b c a>>a c b>>【答案】A【分析】利用正切函数单调性借助1比较b ，c 大小；根据对数结构构造函数比较()xf x e ex =-a ，b 大小，即可解答.【详解】因为在上单调递增，于是，即，tan y x =π(0,24π26tan tan 15427>=>c b >令，则，所以在上单调递减，()e e ,01xf x x x =-<<()e e 0x f x '=-<()f x (0,1)所以，即，()(1)0f x f >=e e xx >取，则，所以，即，2627x =2627262613e e 2.7 2.627275>⋅>⨯==2613ln275>b a >所以.c b a >>故选：A二、填空题13．已知，且，则向量在向量上的投影为__________.4,3a b == ()2a a b ⊥+ a b 【答案】83-【分析】先求出，再利用投影公式可得向量在向量上的投影.a b ⋅ a b【详解】因为，所以，即；()a a b⊥+ ()20a ab ⋅+=220a a b +⋅=由可得；4,3a b == 2211822a b a a ⋅=-=-=-则向量在向量上的投影为.a b 83a b b⋅=-故答案：.83-14．若的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是______.()53()2x a x +-4x 【答案】5【分析】利用赋值法令表达出展开式的各项系数和，求出，根据二项式展开式的通项公1x =1a =式计算即可得出结果.【详解】解：因为的展开式的各项系数和为32，()53()2x a x +-令，得，所以，1x =5(1)(21)32a +-=1a =又，()53535()22()()x a x x a x x a =+-+-+所以该展开式中的系数是．4x 1444552C 1C 1055a a a a ⋅⋅-⋅⋅=-=故答案为：515．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为23．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、12乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________．【答案】4172【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，2312若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，1212所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；1121111723222224P =⨯⨯+⨯⨯=（2）第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，1323若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，1223所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为.2112112523322318P =⨯⨯+⨯⨯=综上所述，甲、乙各胜一局的概率为.7541241872+=故答案为：.417216．已知，，P 是圆O ：上的一个动点，则的最大值为()1,0A -()3,0B 2249x y +=sin APB ∠_________.【答案】713【分析】设外接圆半径为R ，由正弦定理可得，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O 相内切PAB 时，最大.sin APB ∠【详解】设外接圆半径为R ，由正弦定理，，当外接PAB 22si n si n ABAB R APBAPB R=⇒=∠∠圆半径最小，即外接圆与圆O 相内切时，最大.sin APB ∠设外接圆圆心为M ，由题可得其在AB 中垂线上，可设其坐标为：.PAB ()1,x 则，，又圆M 与圆O 相内切，则圆心距等于半径之差，则R MA==MO =7=-.267=即外接圆半径为R 的最小值为.PAB 267则此时最大，最大值为.sinAPB ∠47522137AB R==故答案为：713三、解答题17．已知数列的前项和为，且满足，．{}n a n n S 12a =122n n S S +=+(1)求数列的通项公式．{}n a (2)记，求数列的前项和．()()12nn na b n n =++{}n b n nT【答案】(1)2nn a =(2)1212n n T n +=-+【分析】（1）方法一：由之间关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得；,n n a S {}n a n a 方法二：由已知关系式可证得数列为等比数列，由此可推导求得，利用之间关系可{}2n S +n S ,n n a S 求得；n a （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.n b 【详解】（1）方法一：当时，由得：，即，1n =122n n S S +=+2122S S =+12122a a a +=+又，；12a =24a ∴=当时，，2n ≥11122222n n n n n n a S S S S a ++-=-=+--=又，满足，即当时，成立，12a =24a =212a a =1n =12n na a +=数列是以为首项，为公比的等比数列，.∴{}n a 22()2n n a n *∴=∈N 方法二：由得：，又，122n n S S +=+()1222n n S S ++=+11224S a +=+=数列是以为首项，为公比的等比数列，，∴{}2n S +42112422n n n S -+∴+=⨯=即，122n n S +=-当时，，2n ≥1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=又满足，.12a =2n n a =()2nna n *∴=∈N （2）由（1）得：，()()12221221n n nn n b n n n n +⋅==-++++.2132431112222222222213243541212n n n n n n T n n n n n -++∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++++18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(1)当，时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为1a =0b =n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．(3)记乙型号电视机销售量的方差为，根据茎叶图推断a 与b 分别取何值时，达到最小值．（只2s 2s 需写出结论）【答案】(1)m n =(2)分布列见解析(3)时，达到最小值0a b ==2s 【分析】（1）计算甲乙的平均数比较大小即可；（2）分析数据，列出X 的分布列并求出数学期望；（3）根据方差的性质，时，离散程度越小，达到最小值．0a b ==2s 【详解】（1）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为，101014182225273041432410+++++++++=乙组数据的平均数为，101820222331323130432610+++++++++=甲型号电视机的“星级卖场”数量为，乙型号电视机的“星级卖场”数量为，5m =5n =所以；m n =（2）的可能取值为0，1，2，由（1）知，甲型号电视机的“星级卖场”数量为5，X ，，，0255210C C 2(0)C 9P X ===1155210C C 5(1)C 9P X ===2055210C C 2(2)C 9P X ===X 的分布列为：X12P295929()252012 1.999E X ∴=⨯+⨯+⨯=（3）方差代表和中心偏离的程度，101820222331324324.8758+++++++=时，离散差越小，达到最小值．0a b ==2s 19．在中，，过点作，交线段于点（如图1），沿ABC 45,3ACB BC ∠==A AD BC ⊥BC D 将折起，使（如图2），点分别为棱的中点.AD ABD △90BDC ∠=,E M ,BC AC(1)求证：；CD ME ⊥(2)在①图1中，②图1中，③图2中三棱锥的体积最大.4tan23B =-2133AD AB AC =+ A BCD -这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知__________，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的CD N EN BM ⊥BMN CBN 夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质可得，结合中位线的性质可得，即CD AB ⊥ME AB ∥可证明；（2）选①：由二倍角的正切公式求出，进而求出BD ，选②：根据向量的线性运算求出tan BBD ，选③：设，利用线面垂直的判定定理和性质可得平面，则(03)BD x x =<<AD ⊥BCD ，利用导数求出体积的最大值，求出BD .分别建立如图空间直角坐标系，()321696A BCD V x x x -=-+利用向量法求出面面角即可；【详解】（1），平面，CD AD CD BD AD BD D ⊥⊥= ，，AD BD ⊂、ABD 平面平面.CD \^ABD AB ⊂ ，ABD CD AB ∴⊥，又分别为的中点，,M E ,AC BC .ME AB CD ME ∴∴⊥，∥（2）选①，在图1所示的中，由，ABC 242tan tan231tan BB B =-=-解得或（舍去）.tan 2B =1tan 2B =-设，在R t 中，，AD CD x ==ABD △tan 23AD xB BD x ===-解得.21x BD =∴=，以点为原点，分别为轴建立如图所示的坐标系，D ,,DB DC DA ,,x y z D xyz -，()()()()()10,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,,1,02D B C A M E ⎛⎫⎪⎝⎭则.()1,1,1BM =-设，则.()0,,0N a 1,1,02EN a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，即，解得，0EN BM EN BM ⊥∴⋅= ，()1,1,01,1,102a ⎛⎫--⋅-= ⎪⎝⎭12a =当（即是的靠近的一个四等分点）时，.10,,02N ⎛⎫∴∴ ⎪⎝⎭，12DN =N CD D EN BM ⊥设平面的一个法向量为，且，BMN (),,n x y z =11,,02BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由得令，则，0,0,n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,20,x y x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-++=⎩1x =()1,2,1n =-取平面CBN 的一个法向量，()0,0,1m =则，cos ,m平面BMN 与平面∴CBN 选②，在图1所示的中，设，ABC BD BC λ=则，()()1AD AB BD AB BC AB AC AB AB ACλλλλ=+=+=+-=-+又，由平面向量基本定理知，即.2133AD AB AC =+ 13λ=1BD=以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DB DC DA ,,x y z D xyz -，()()()()()10,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,,1,02D B C A M E ⎛⎫⎪⎝⎭则.()1,1,1BM =-设，则，()0,,0N a 1,1,0.02EN a EN BM EN BM ⎛⎫=--⊥∴⋅= ⎪⎝⎭ ，即，解得，()1,1,01,1,102a ⎛⎫--⋅-= ⎪⎝⎭110,,022a N ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭当（即是的靠近的一个四等分点）时，.∴12DN =N CD D EN BM ⊥设平面的一个法向量为，且，BMN (),,n x y z =11,,02BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由得令，则.0,0,n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,20,x y x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-++=⎩1x =()1,2,1n =- 取平面的一个法向量，CBN ()0,0,1m =则，cos ,m平面与平面∴BMN CBN 选③，在图1所示的中，设，则，ABC (03)BD x x =<<3CD x =-为等腰直角三角形，.45AD BC ACB ADC ∠⊥=∴ ，，3AD CD x ∴==-折起后，且，平面，AD DC AD BD ⊥⊥，BD DC D = BD DC ⊂、BCD 平面，又，AD ∴⊥BCD ()19032BCD BDC S x x ∠=∴=- ，，()()()()32111133690,33326A BCD BCD V AD S x x x x x x x -=⋅=-⋅-=-+∈ ，令，()()()()()3211691362f x x x x f x x x =-+-'=-，当时，；当时，，01x <<()0f x ¢>13x <<()0f x '<时，三棱锥的体积最大.1x BD ∴==A BCD -以点为原点，分别为轴建立如图所示直角坐标系，D ,,DB DC DA ,,x y z D xyz -，()()()()()0,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1D B C A M ，则，1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,1,1)BM =- 设，则.()0,,0N a 1,1,02EN a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，即，0EN BM EN BM ⊥∴⋅= ，()1,1,01,1,102a ⎛⎫--⋅-= ⎪⎝⎭解得，110,,022a N ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，当（即是的靠近的一个四等分点）时，.∴12DN =N CD D EN BM ⊥设平面的一个法向量为，且，BMN (),,n x y z =11,,02BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由得令，则.0,0,n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10,20,x y x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-++=⎩1x =()1,2,1n =- 取平面的一个法向量，CBN ()0,0,1m =则，cos ,m平面与平面∴BMN CBN 20．若存在实数k ，b ，使得函数和对其定义域上的任意实数x 同时满足：()f x ()g x 且，则称直线：为函数和的“隔离直线”.已知()f x kx b ≥+()g x kx b≤+:l y kx b =+()f x ()g x ，（其中e 为自然对数的底数）.试问：()2f x x =()2lng x e x=（1）函数和的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；()f x ()g x （2）函数和是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说()f x ()g x 明理由.【答案】（1）存在，交点坐标为；（2）存在，)e y e=-【分析】（1）构造函数，求导得到函数的单调区间，得到函数在()()()F x f x g x =-x 最小值为0，得到答案.（2）设直线，根据得到，再证明恒成立，(y e k x -=()f x kxe≥-k =()g x e≤-令，求导得到单调区间，计算最值得到证明.()()G x e g x =--【详解】（1）∵，()()()()22ln 0F x f x g x x e x x =-=->∴，令，得()22e F x xx '=-=()0F X '=x=当时，，，0x <<()0F X '<x >()0F X '>故当取到最小值，最小值是0，x ()F x 从而函数和的图象在.()f x ()g x x )e （2）由（1）可知，函数和的图象在()f x ()g x x =因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，()f x ()g x设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为，(y e k x -=即，y kx e =-由，可得在上恒成立，()()f x kx e x R ≥-∈20x kx e -+-≥x R ∈则，只有(22440k e k ∆=-=-≤k =此时直线方程为：，下面证明恒成立，y e =-()g x e≤-令，()()2ln G x e g x e e x=--=--，()2e G x x '===x ()0G X '=当时，函数单调递减；，函数单调递增，0x <<()0G X '<x >()0G X '>则当取到最小值是0，x ()G x所以，则当时恒成立.()()0G x e g x =--≥()g x e≤-0x >∴函数和存在唯一的隔离直线.()f x ()g x y e =-【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，求新定义“隔离直线”方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、1C O 1F 2F 2C O 为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角，，2F A 1C 2C 21AF F ∠172AF =．252AF =(1)求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；1C 2C(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别和曲线和交于、、、四点，若为的2F x 1C 2C B E C D G CD 中点，为的中点，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．H BE 22BE GF CD HF ⋅⋅【答案】(1)椭圆方程为，抛物线方程为．2231982x y x ⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭2342y x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭(2)是，且223BE GF CD HF ⋅=⋅【分析】（1）设椭圆方程为，利用椭圆定义可求得的值，设、()222210x y a b a b +=>>a (),A x y 、，利用两点间的距离公式和抛物线的定义可得出关于、、的方程组，结合()1,0F c -()2,0F c x y c 已知条件得出，解出的值，即可得出椭圆和抛物线的方程；1x >c （2）设、、、，设直线的方程为，其中，()11,B x y ()22,E x y ()33,C x y ()44,D x y BE 1x my =+0m ≠将直线的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定可计算出BE 的值，即可得出结论.22BE GF CD HF ⋅⋅【详解】（1）解：设椭圆方程为，则，得，()222210x y a b a b +=>>12752622a AF AF =+=+=3a =设、、，抛物线方程为，其中，(),A x y ()1,0F c -()2,0F c 24y cx =0c >则，，()22272x c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()22252x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭两式相减得，由抛物线定义可知，32xc =252AF x c =+=因为为钝角，则，解得，21AF F ∠x c >132c x =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，椭圆方程为，抛物线方程为．2231982x y x ⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭2342y x x ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭（2）解：设、、、，()11,B x y ()22,E x y ()33,C x y ()44,D x y 设直线的方程为，其中，BE 1x my =+0m ≠联立可得，2218972x my x y =+⎧⎨+=⎩()228916640m y my ++-=由韦达定理可得，，1221689m y y m +=-+1226489y y m =-+联立可得，由韦达定理可得，，214x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=344y y m +=344y y =-所以，22B E C GF D HF ⋅=⋅.3===【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保1C 持不变，纵坐标缩短为原来的得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极122C O x 坐标系．曲线的极坐标方程为．1C ρ4cos α=（1）求曲线的参数方程；2C （2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大M MNPQ 2C MNPQ 值，并求周长最大时点的坐标．M 【答案】（1）（2）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩M 【分析】（1）先将曲线化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线的普通方程和参1C 2C 数方程；（2）根据题意，设点，则，利用辅助角公式化简周长()2cos ,sin 02M πθθθ≤≤（）8cos 4sin l θθ=+的解析式，即可求出最大值及其对应的点的坐标.l M 【详解】解：（1）由得4cos ρα=24ρcos ρα=将代入，整理得曲线的普通方程为，222=cos x y x ρρα⎧+⎨=⎩1C ()2224x y -+=设曲线上的点为，变换后的点为1C (',')x y (,)x y由题可知坐标变换为，即代入曲线的普通方程，整理得='21'2x x y y -⎧⎪⎨=⎪⎩'=2'2x x y y +⎧⎨=⎩1C 曲线的普通方程为 ，2C 2214x y +=曲线的参数方程为(为参数).∴2C 2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩θ（2）设四边形的周长为，设点，MNPQ l ()2cos ,sin 02M πθθθ≤≤（），8cos 4sin l θθ=+=θθ⎫⎪⎭()θϕ=+且cos ϕ=sin ϕ= ，02πθ≤≤ ++2πϕθϕϕ∴≤≤()sin sin 12πϕθϕ⎛⎫∴+≤+≤ ⎪⎝⎭． max l ∴=且当时，取最大值，此时，2πθϕ+=l 2πθϕ=-所以，.2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==M 【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.23．已知函数（）．()224=-++f x x x a x ∈R (1)若，求证：；1a =()4f x ≥(2)若对于任意，都有，求实数a 的取值范围．[]1,2x ∈()4f x ≤【答案】(1)证明见解析；(2).30a -≤≤【分析】（1）法一：由绝对值的几何意义及二次函数的性质即可证结论；法二：讨论、2x ≥分别求的范围，即可证结论.2x <()f x （2）将问题化为在上恒成立，即可求参数a 的范围.2222--≤-+≤a x x x x [1,2]x ∈【详解】（1）法一：，而，()22|24|125=-++≥-+f x x x x x 2225(1)44x x x -+=-+≥所以．()4f x ≥法二：当时，，2x ≥()()22325≥=+-=f x x x f 当时，，2x <()()22514≥=-+=f x x x f 综上，．()4f x ≥（2）当时，，[1,2]x ∈()242=-++f x x x a 由，得， ()4f x ≤2222--≤-+≤a x x x x 设，，()22=--h x x x ()22g x x x =-+对任意有恒成立，所以，[1,2]x ∈()4f x ≤()()max min h x a g x ≤≤因为在上，，[]1,2()()max 13h x h ==-()()min 20g x g ==所以．30a -≤≤。
高三数学理科模拟练习4
高三数学（理）模拟试题4第Ⅰ卷 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．设集合2{|560},{|57}A x x x B x x =--<=≤≤，则A B = （ ）A ．[5，7]B ．[5，6）C ．[5，6]D ．（6，7] 2．命题“2,20x R x x ∃∈-=”的否定是（ ）A ．2,20x R x x ∀∈-= B ． 2,20x R x x ∃∈-≠C ．2,20x R x x ∀∈-≠D ． 2,20x R x x ∃∈-> 3．如图所示，程序框图运行后输出k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．直线0x +-=与圆224x y +=交于A ，B 两点， 则OA ·OB =（ ） A ．4 B ． 3C ．2D ．－25．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为 （ ）A ．πB ．34πC ．2πD ．4π 6．已知函数21||()n x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）7．数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若b 4·b 5=2，则a 9= （ ） A ．4 B ． 8 C ．16 D ． 32 8．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b=0，则|a+b －c|的最小值为（ ）A1 B ．1 C1+ D9.双曲线22212:1(0,0)x y C m b b m -=>>与椭圆22222:1(0)x y C a b b a+=>>有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则221211e e +=（ ）A ．12B ． 1CD ． 210．已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0)()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立若a=（20.2）·0.2(2),(12)f b n =·)41(log )41(log ),2(ln 2121f c f ⋅=,则a,b,c 的大小关系是A ． a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸的相应位置。
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（ ）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（ ） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（ ） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（ ）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为 ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（ ）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ） 对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意． 在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意 即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个； 设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时 如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误； 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确； 对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去； 当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意； 综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称； 若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74． 故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+； 解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．； ．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”， 设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。
天津市高三模拟考试(理科)数学试卷-带答案解析
天津市高三模拟考试（理科）数学试卷-带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．集合{}24A x x => 和 {}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}52x x -<<-B ．{}22x x -<<C ．{}21x x -<<D ．{}21x x -≤<2．若21:|34|2,:02p x q x x -<<--，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2114cos 22x x x xf x ---+=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．为了了解一片经济林的生长情况 ，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ） ， 所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示 ，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100cm 的棵数是（ ）A ．18B ．24C ．36D ．485．当曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点时， 实数k 的取值范围是（ ） A ．3(,0)4-B ．35,4[)12-C ．3[1,)4--D ．3(,]4-∞-6．设,,1,1x y R a b ∈>>，若3x y a b == 2a b +=，则11x y+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知双曲线22:1124x y C -= ，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（ ）A ．2+B ．C ．8D ．108．将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象 若()g x 在5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 则ω的最大值为（ ） A ．14B ．34C ．12D ．19．已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩ 若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃ 且n a <127232mn ab k +-< 则实数k 的取值范围为（ ）A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．已知i 为虚数单位 则复数2021i =_______.11．若2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 则展开式中常数项是__________． 12．已知2x > 则42x x +-的最小值是______．13．圆柱的体积为34π 若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上 则该球的体积为____________.三、双空题14．某志愿者召开春季运动会 为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍 欲从4名男志愿者 3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长 则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是___________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数 则()E X =___________.15．已知平面四边形ABCD AC BD ⊥ 3AB = 2AD = 712DC AB =则BAD ∠=______；动点E F 分别在线段DC CB 上 且DE DC λ= CF CB λ= 则AE AF ⋅的取值范围为____.四、解答题16．记ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c 已知点D 为AB 的中点 点E 满足2AE EC = 且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．(1)求A ；(2)若BC =DE =求ABC 的面积． 17．如图,正三棱柱111ABC A B C 中,E 是AC 中点．(1)求证:1AB 平面1BEC ;(2)若2AB =,1AA ,求点A 到平面1BEC 的距离;(3)当1A A AB 为何值时,二面角1E BC C --18．已知坐标平面内三点()()()2,4,2,0,1,1A B C ---. (1)求直线AB 的斜率和倾斜角；(2)若,,,A B C D 可以构成平行四边形且点D 在第一象限 求点D 的坐标； 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 公差0d > 且231424,10a a a a =+=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()*12111N n nT n S S S =++⋯+∈ 求n T ． 20．已知函数()2e xf x x =．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0x >时 ()3e 2e xf x ≥-．参考答案与解析1．D【分析】解出集合A 利用补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】24x > 则2x >或<2x - 则{2A xx =<-∣或2}x > R{22}A x x =-≤≤∣{51}B x x =-<<∣ 则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ 故选：D. 2．B【分析】首先解不等式得到p ⌝：2x ≥或23x ≤q ⌝：2x ≥或1x ≤- 再根据包含关系即可得到答案. 【详解】|34|2x -< 得2342x -<-< 即223x << 即p ⌝：2x ≥或23x ≤.由2102x x <--得220x x --< 即12x -<< q ⌝：2x ≥或1x ≤-.因为{|2x x ≥或1}x ≤-{|2x x ≥或2}3x ≤所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件． 故选：B 3．C【分析】由已知可得 ()04f = 可得出A 、B 项错误；根据()π0f > 可得出D 项错误. 【详解】由已知可得 ()f x 定义域为R 且()21104cos0442210f --+==+= 所以A 、B 项错误；又()()()()2211114cos 4cos 2222x x x x x x x xf x f x -------+-+-===++ 所以()f x 为偶函数. 又()22π1π1π1π1π4cos ππ4π02222f ------+-==>++ 所以D 项错误 C 项正确.故选：C. 4．B【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可. 【详解】由频率直方图可知：树木的底部周长小于100cm 的棵数为：(0.0150.025)106024+⨯⨯=故选：B 5．C【分析】作曲线y =24y kx k =++的图象 计算出直线24y kx k =++与曲线y =时对应的实数k 的值 数形结合可得结果.【详解】对方程y =224y x =- 即()2204y x y +=≥所以曲线y 224x y +=的上半圆对直线方程变形得()24y k x =++ 该直线过定点()2,4P - 且斜率为k 如下图所示：当直线24y kx k =++与半圆y 2= 解得34k =-当直线24y kx k =++过点()2,0A 时 440k += 解得1k =-.由图形可知 当曲线y 24y kx k =++有两个相异的交点时 31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：C 6．C【分析】先解出,x y 再根据对数性质化简 最后根据基本不等式求最值. 【详解】3log 3,log 3x y a b a b x y ==∴==333log l 1og log ()1a b ab x y∴+=+=29a b ab +=≤（当且仅当2a b =时取等号）因此3log 1192y x +≤=即11x y+的最大值为2 故选：C【点睛】本题考查指数式与对数式转换、对数运算性质、基本不等式求最值 考查综合分析求解能力 属中档题. 7．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离 利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++' 利用当,,P F E '三点共线时 2F a PE P ++'取得最小值 即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b == (40)F ，设双曲线左焦点为(40)F '-，不妨设一条渐近线为:b l y x x a =-= 即0x = 作PE l ⊥ 垂足为E 即||PE d = 作F H l '⊥,垂足为H 则||2F H '==因为点P 为C 左支上的动点所以2PF PF a '-= 可得2PF a PF '=+ 故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'由图可知 当,,P F E '三点共线时 即E 和H 点重合时 2||a PE F P ++'取得最小值最小值为2||2F H '⨯=即||d PF +的最小值为2 故选：A ． 8．B【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+ 结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式 由此可得出ω的最大值.【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以4444x πωπππωωπ<-+<+ 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 所以4πωππ+≤ 304ω<≤ 所以ω的最大值为34.故选：B. 9．A【分析】易知0k > 由表达式画出函数图像 再分类讨论y k =与函数图像的位置关系 结合不等关系即可求解【详解】易知当0k > 0x 时 22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时 22724k k k << 得1427k <<,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根即2220x kx k k ++-=的两根 故22mn k k =-； 而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<即2644850k k -+< 解得1588k << 所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时 22k k 且0k > 得102k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-< 得51162k <≤.所以 k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系 数形结合思想 分类讨论思想 属于中档题 10．i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==； 故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算 考查了虚数单位i 的性质 是基础题． 11．28【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得n 的值 然后再利用展开式通项公式求得常数项.【详解】解：因为2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 所以2256n= 故8n = 即该二项式为882223x x x -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝设其展开式的通项为1k T + 则1k T +=()()()2216282338811kk k kkk k k C xx C x----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当216203k k --=时 即6k = 此时该项为()668128C ⨯-=故答案为：28. 12．6【分析】根据给定条件 利用均值不等式计算作答.【详解】2x >则44(2)22622x x x x +=+-+≥=-- 当且仅当422x x =-- 即4x =时取“=” 所以42x x +-的最小值是6. 故答案为：6 13．43π 【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高 由勾股定理求出球的半径 根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h圆柱体积为34π 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭1h = 设球半径为R 则()22221R =+244R = 可得1R =∴球的体积为34433R ππ= 故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质 以及柱体与球体的体积公式 意在考查综合运用所学知识解答问题的能力 考查了空间想象能力 属于中档题. 14．217 97##219 【分析】由条件概率公式计算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率 由古典概型概率公式计算事件0,1,2,3X =的概率 再由期望公式公式得结论．【详解】由题意三人全是男志愿者 即事件X 0= 34374(0)35C P X C === 21433718(1)35C C P X C ===()12433712235C C P X C === 33371(3)35C P X C ===181219()1233535357E X =⨯+⨯+⨯= 再记全是男志愿者为事件A 至少有一名男志愿者为事件B 4()(0)35P A P X ===34()1(3)35P B P X =-== 4()235(|)34()1735P AB P A B P B ===．故答案为：217；97． 15．2π3##120︒ 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到1cos 2BAD ∠=- 求出2π3BAD ∠= 建立直角坐标系 写出点的坐标 表达出向量,AE AF 的坐标 从而求出向量数量积的关系式 求出取值范围. 【详解】712AC AD DC AD AB =+=+BD AD AB =- 所以()22757121212AC BD AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭57554cos 9cos 0121242AB AD BAD BAD =-⋅⋅∠-⨯=--∠= 解得：1cos 2BAD ∠=-因为()0,πBAD ∠∈ 所以2π3BAD ∠=以A 作坐标原点 AB 所在直线为x 轴 垂直AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系 则()()(30,0,3,0,,4A B DC ⎛- ⎝因为DE DC λ= CF CB λ= 01λ≤≤ 所以设((),,E m F n t由()71,0,04m λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：714m λ=-39,,44nt λ⎛⎛-= ⎝⎝解得：93,44n t λ=+= 所以)279363639144416164AE AF λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭、26318116264λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当12λ=时 26318116264AE AF λ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值 最小值为8164 当0λ=或1时 取得最大值 最大值为94所以AE AF ⋅的取值范围是819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：2π3 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．(1)2π3A =；【分析】（1）由三角形内角性质及正弦定理边角关系可得sin A A = 进而求角的大小；（2）在△ABC 、△ADE 中应用余弦定理可得2219b c bc ++=、32b c =求出b 、c 再由三角形面积公式求面积.（1）由πA B C ++=得：()()cos cos cos sin a B C a B C A C -++-=- 即2sin sin cos sin a B C A C =-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =在△ABC 中sin 0B > sin 0C > 故sin A A = 则tan A =因为()0,πA ∈ 所以2π3A =． （2）在△ABC 中 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得2219b c bc ++=在△ADE 中 由余弦定理得2247943b c bc ++= 所以()22224794319b c bc b c bc ++=++ 化简得225224810b bc c --= 即()()2326270b c b c -+= 所以32b c = 代入2219b c bc ++=得：3b = 2c =则△ABC 的面积12πsin 3sin 23ABC S bc A ===． 17．(1)证明见解析(3)1【分析】(1) 连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF ,根据中位线即可证明1EF AB ∥,再利用线面平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及1,BEC ABE S S ,再用等体积法即可求得;(3)建立合适空间直角坐标系,设出1,AB A A 长度,找到平面1EBC 及平面1BC C 的法向量,建立等式,求出1,AB A A 长度之间的关系即可证明.【详解】（1）证明:连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF 如图所示:因为三棱柱111ABC A B C所以四边形11BB C C 为平行四边形所以F 为1CB 中点因为E 是AC 中点所以1EF AB ∥因为EF ⊂平面1BEC ,1AB ⊄平面1BEC所以1AB 平面1BEC ;（2）由题知,因为正三棱柱111ABC A B C所以1CC ⊥平面ABC且ABC 为正三角形因为2AB =,1AA所以BE =1EC 1BC 所以1BEC △为直角三角形11322BEC S =112ABE S =⨯△ 记点A 到平面1BEC 的距离为h则有11A BEC C ABE V V --= 即111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即131323h ⨯⨯=解得h =故A 到平面1BEC （3）由题,取11A C 中点为H ,可知1EH CC ∥所以EH ⊥平面ABC因为ABC 为正三角形,E 是AC 中点所以BE AC ⊥故以E 为原点,EC 方向为x 轴,EH 方向为y 轴,EB 方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系不妨记1AB a,A A b所以1300000000222a a a E ,,,B ,,,,b,,,,C C 1133,,0,0,,0,,0222,a a ab EB b BC CC记平面1EBC 的法向量为()111,,x n y z =则有100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020a x by z ⎧+=⎪⎪=取12x b ,可得()2,,0b a n =-;记平面1BC C 的法向量为()222,,m x y z =则有1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2x =可得()3,0,1m =;因为二面角1E BC C --所以cos ,m nm n m n ⋅===解得: a b = 即当11A AAB =时,二面角1E BC C --18．(1)斜率为1 倾斜角为π4；(2)()3,5；【分析】（1）根据直线的斜率公式可求得AB 的斜率 进而求得倾斜角；（2）根据平行四边形对边平行 可得对边斜率相等 设(),D x y ,由斜率公式列出方程组即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知直线AB 的斜率为4122-=--直线倾斜角范围为[0,π) 所以直线AB 的倾斜角为π4；（2）如图 当点D 在第一象限时 ,CD AB BD AC k k k k ==设(),D x y 则11114212y x y x -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪--+⎩ 解得35x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为()3,5；19．(1)2n a n =(2)1n nT n =+【分析】（1）利用等差数列下标和性质得2310a a += 联立解得234,6a a == 求出d 值 写出通项即可；（2）利用等差数列前n 和公式求得(22)(1)2n n n S n n +==+ 则1111n S n n =-+ 最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）等差数列{}n a 公差0d > 23142324,10a a a a a a =+=+=． 解得234,6a a == 或236,4a a == 但此时20d =-<故2d = ()()224222n a a n d n n ∴=+-=+-=（2）12422a a d =-=-= 则(22)(1)2n n n S n n +==+ 1111(1)1n S n n n n ∴==-++ 1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．(1)3e 2e 0x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出切线的斜率 再求出切点即得解；（2）令()()3e 2e x F x f x =-+ 利用导数求出函数的最小值即得证.【详解】（1）解：由题得()22e e x x f x x x '=+ 所以()13e f '=又()1f =e 所以切线方程为()e 3e 1y x -=- 即3e 2e 0x y --=.（2）证明：令()()23e 2e e 3e 2e x x x F x f x x =-+=-+()()()()222e e 3e e 23e 31x x x x x F x x x x x x x '=+-=+-=+-当()0,1x ∈时 ()0F x '< 当()1,x ∈+∞时 ()0F x '>．所以()F x 在()0,1上单调递减 在()1,+∞上单调递增．所以当0x >时 ()min ()10F x F == 0x ∴>时 ()0F x ≥故当0x >时 ()3e 2e x f x ≥-.。
高三高考理科数学模拟卷
2022年普通高等学校招生全国统一考试预测卷（理科数学）（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){},02lg <+=x x A 集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫⎝⎛≤=2211xx B ，则=⋃B A （ ）A.()0,2-B.()1,2--C.(]0,2-D.()0,1- 2.若复数z 满足i i z ,33=-为虚数单位，则4-z 的最大值为（ ） A. 8 B.6 C.4 D.2 3.“0>a ”是“函数()()xe a x xf -=在()+∞,0上有极值”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,1,1541a S a =+=则=4a （ ） A.32 B.24 C.16 D.85.函数()333x x f xx --=的图像大致为（ ）6.某市教育局准备举办主题为“学党史,争当新时代先锋”的党史知识竞赛,要求每个学校派出一支代表队参赛,每支代表队由3人组成,且既有男生又有女生,既有教师又有学生,已知甲校通过校内初赛选拔出8名选手,其中男、女教师各1名,男、女学生各3名,若从中选取3人组成代表队参赛,则不同的选法种数为（ ）A.18B.24C.30D.367.已知20242023452024log ,log 2,20232022===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b <<D.c b a <<8.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，且,3,2,0===⋅CD BD BC AD 则()=⋅+BC AC AB （ ） A.25 B.25- C.5- D.59.已知圆()()92:221=++-y m x O 与圆()()12222=+++y n x O ：相切，则22n m +的最小值为（ ） A.8 B.2 C.3 D.410.已知△ABC 中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且(),tan tan sin sin tan 2B A B C B +=,7=a 5=c ，则△ABC 的面积为（ ）A.340B.320C.315D.31011.已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为()0,2F ，过点F 的直线交抛物线C 于B A ,两点，△OAB 的重心为点G ，则点G 到直线0133=+-y x 的距离的最小值为（ ）A.22B.2C.2D.22 12.若函数()a x x xe x f x---=ln 存在零点，则a 的取值范围为（ ）A.()1,0B.[)∞+，1 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e e ,1 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛1,1e二、填空题：本题欧共4小题，每小题5分，共20分.13.在正六边形内任取一点，则该点取自正六边形内切圆内的概率为 .14.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≤+-,02,02,022y x y x y x 则24+-=y x z 的最小值为 .15.已知直三棱柱111C B A ABC -的底面为正三角形，,421==AB AA D 是侧棱1BB 上一点，且1DC AD ⊥，则三棱锥D C B A 11-外接球的体积为 .16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()11,1111+=-=++n n n n a a a a a .若[]x 表示不超过x 的最大整数，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n n S n b 212，则数列{}n b 的前n 项和=2021T .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第2117-题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*+∈+==N n S S a n n ，12,111（1）证明：数列{}1+n S 为等比数列； （2）设11++=n n n n S S a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1<n T .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，2,1,,,60111==⊥⊥︒=∠AA AC AB C A BC AC AC A . （1）求证：ABC C A 平面⊥1；（2）若直线1BA 与平面11B BCC 所成角的正弦值为43，求二面角C BB A --11的余弦值.19.（本小题满分12分）核酸检测也就是病毒DNA 和RNA 的检测,是目前病毒检测最先进的检验方法,在临床上主要用于新型冠状、乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测,通过核酸检测,可以检测血液中是否存在病毒核酸,以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本,设计了如下试验,预备12份试验用血液标本,其中2份阳性,10份阴性,从标本中随机取出n 份分为一组,将样本分成若干组,从每一组的标本中各取一部分,混合后检测,若结果为阴性,则判定该组标本均为阴性,不再逐一检测;若结果为阳性,需对该组标本逐一检测.依此类推,直到确定所有样本的结果,若每次检测费用为a 元,记检测的总费用为x 元. (1)当3=n 时,求X 的分布列和数学期望；(2)△比较3=n 与4=n 两种方案哪一个更好,说明理由.△试猜想100份标本中有2份阳性,98份阴性时,n=5和n=10两种方案哪一个更好(只需给出结论不必证明).20.（本小题满分12分）已知椭圆()012222>>=+b a by a x E ：的离心率为322，E B A 是,的上，下顶点，E F F 是21,的左、右焦点，且四边形21BF AF 的面积为24. （1）求椭圆E 的方程；（2）若上是E Q P ,异于B A ,的两动点，且,2-=PAQB k k 证明：直线PQ 恒过定点.21.（本小题满分12分）已知函数()()()xe x a x x x x x g R a x a x xf --++++=∈-+=ln cos sin 1,ln 122.（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）若函数()()(),0,>-=x x g x f x H 讨论()x H 的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()为参数ααααα⎩⎨⎧-=++=cos 3sin 4cos 4sin 33y x ，以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()R ∈=ρπθ4.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于点,,B A 求OBOA 11-.23.（本小题满分10分）选修54-：不等式选讲 已知函数()a x x f -=.（1）若()12-≥x x f 的解集为[]2,0，求实数a 的值；（2）若对于任意的R x ∈，不等式()322+>++a a x x f 恒成立，求实数a 的取值范围.。
江苏省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设集合204x A x x +⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭∣和{2,3,4,5}B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}3,4 D ．{}2,3,42．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（ ） A ．21B ．25C ．29D ．333．1sin cos ,sin25ααα+=-=（ ）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-4．下列不等式成立的是（ ）A 1>B ．若0m >，则1122m m +>+ C ．若a b >，c d >则a c b d ->- D ．若0m >，0n >且1m n +=，则2818m n+≥ 5．已知直线l ：3470x y -+=圆C ：()()22210x y r r -+=>若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则r =（ ） A ．1B ．3C ．125D ．46．已知向量,a b 的夹角的余弦值为23，(3)(3)a b a b -⊥+和1b =，则()?a b b -=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．47．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知60,1A b =︒=sin sin sin a b cA B C++++的值为( )A B C D8．已知()f x 为定义在R 上的周期函数，其周期为2，且当[1,1]x ∈-时，则πcos ,012(),101x f x x a x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪-≤<⎪-⎩则7(2)2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．52B ．0C ．12D ．239．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20f x f x x'+>，则不等式()()()202320233332023x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}2020x x >-B ．{}2020x x <-C ．{}20230x x -<<D ．{}20232020x x -<<-二、多选题10．已知双曲线221916y x -=的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为34y x C ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为9D ．点P 到两渐近线的距离乘积为1442511．对于ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰三角形C ．若10a =，9b =与60B =︒，则符合条件的ABC 有两个D ．若222sin sin sin A B C +>，则ABC 是锐角三角形12．已知函数()()2e xf x x a =+，则（ ）A ．函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥B ．当1a =时，则函数()f x 的极值点为－1C ．当8a <-时，则函数()f x 有一个大于2的极值点D ．当0a =时，则若函数()y f x m =-有三个零点123,,x x x ，则1233x x x ++<-三、填空题13．某活动中，有42人排成6行7列，现从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_____（用数字作答）．14．已知抛物线C ：26x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若AB 的中点的纵坐标为5，则AF BF +=______．15．已知0a >和0b >，且1ab =，则111822a b a b+++的最小值为___________.四、双空题16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A ，B ，M 是该多面体的三个顶点，点N 是该多面体外接球表面上的动点，且总满足MN AB ⊥，若4AB =，则该多面体的表面积为______；点N 轨迹的长度为______．五、解答题(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若数列(){}1nn n a b -⋅的前n 项和为n T ，求()1962n n T n ++⨯-的表达式.18．若△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ．若sin a B =，sin b C =且()c a λλ+=∈R ． (1)若2λ=，求cos B ； (2)证明：3B π≤(3)求λ的范围．19．如果，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 与侧面ABB 1A 1都是菱形，AB =4，60BAD ∠=︒平面11CDD C ⊥平面ABCD ，E ､F ､M ､G 分别是1111C D BC AD BB ,,,的中点，N 是AC 上的点且AC =4AN(1)求证：//MN 平面EFG ；(2)若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为48，求二面角A EC G --的余弦值.20．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++和n a b c d =+++.21．已知抛物线()2:20C x py p =>上的点(),4t 到焦点F 的距离等于圆2224310x y x y +-+-=的半径．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的直线1l 与2l ，直线1l 交C 于M ，N 两点，直线2l 交C 于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的最小值．22．若对实数0x ，函数()f x ，()g x 满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称()()()00,,f x x x F x g x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩为“平滑函数”，0x 为该函数的“平滑点”.已知()323122f x ax x x =-+和()ln g x bx x =.(1)若1是平滑函数()F x 的“平滑点” （ⅰ）求实数a ，b 的值；（ⅱ）若过点()2,P t 可作三条不同的直线与函数()y F x =的图象相切，求实数t 的取值范围； (2)对任意0b >，判断是否存在1a ≥，使得函数()F x 存在正的“平滑点”，并说明理由．参考答案与解析1．B【分析】先解不等式204x x +≤- ，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意204x x +≤- ，解得2x -≤＜4 {}2,3A B ∴= 故选：B. 2．A【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立 ∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()1121212242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+= ⎪+--+⎝⎭ 当且仅当21x y +=-时，则即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21． 故选：A 3．A【分析】把已知等式平方化简即得解. 【详解】1sin cos 5αα+=-两边平方得()21sin cos 25αα∴+= 221sin 2sin cos cos ,25αααα∴++= 112sin cos 25αα∴+=24sin225α∴=-故选：A 4．D【分析】利用作差法可判断A ，B ，利用特值法可判断C ，利用乘1法，结合基本不等式的性质可判断D ．【详解】由)(()221484220-=+-==<1<A 选项错误；由1102224m m m m +-=>++，可知1122m m +>+，故B 选项错误；若故C 选项错误；由()281442252518m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13m =，23n =时取等号，故D 选项正确. 故选：D. 5．B【分析】由数形结合结合点线距离即可求【详解】由题意得()1,0C ，则点C 到直线l 的距离为372916d圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则如图所示，直线l 交圆于A 、B 垂直半径CP 于B ，BP=1. 故12BC d r ，故3r =.故选：B6．C【分析】可由题意设出(),a x y =，()1,0b =由(3)(3)a b a b -⊥+，根据向量垂直的性质得22(3)?(3)90a b a b x y -+=+-=，再由向量,a b 的夹角的余弦值为23，可解得2x =，再代入求解即可.【详解】由题意不妨设(),a x y = ()1,0b = 则()33,a b x y +=+ ()33,a b x y -=-由(3)(3)a b a b -⊥+，可得22(3)?(3)90a b a b x y -+=+-=，即229x y += 又由233x==，解得2x =所以()2··211a b b a b b -=-=-=. 故选：C. 7．A【分析】根据面积可求得4c =，然后根据余弦定理得到a = 【详解】∵ABC ∆60,1A b =︒=∴11sin 1sin 6022bc A c =⨯⨯⨯︒==∴4c =．由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=∴a =．由正弦定理得sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A ．【点睛】正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式都能反应三角形中的边角关系，因此这些内容常综合在一起考查，成为命题的热点．在解题是要注意公式的灵活应用，特别是在应用正弦定理时要注意公式的常用变形，如本题中所涉及的式子等． 8．D【分析】先根据周期性得到()()11f f -=，由此计算出a 的值，然后利用周期性将7(2)2f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭转变为()102f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据解析式可求得结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的周期为2的周期函数，所以()()11f f -= 所以1cos 022a π-==-，所以1a = 所以[]1,1x ∈-时，则πcos ,012()1,101x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪-≤<⎪-⎩所以()()()1171122222200cos01222312f f f f f f -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- 故选：D. 9．D【分析】设()()2,0g x x f x x =>，已知()()20f x f x x'+>，得出()0g x '>，则可求出函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数，不等式()()()202320233332023x f x f x ++<+可转化为()()20233g x g +<，再根据函数()g x 的单调性即可求解.【详解】解：根据题意，设()()2,0g x x f x x =>，则导函数()()()22g x x f x xf x ''=+函数()f x 在区间()0,∞+上，满足()()20f x f x x'+>，则有()()220x f x xf x '+> 所以()0g x '>，即函数()g x 在区间()0,∞+上为增函数()()()()()()222023202333202320233332023x f x f x f x f x ++<⇒++<+所以()()20233g x g +< 则有020233x <+< 解得20232020x -<<-即此不等式的解集为{}20232020x x -<<-10．BD【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A 选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B 选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C 选项；利用点到直线的距离公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，该双曲线的离心率为53c e a ==，A 错； 对于B 选项，该双曲线的渐近线方程为34a y x xb =±=±，B 对； 对于C 选项，若12PF PF ⊥，则()1222212262100PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩ 所以()()222121212264PF PF PF PF PF PF ⋅=+--=，可得1232PF PF ⋅=故12121162PF F S PF PF =⋅=△，C 错； 对于D 选项，设点()00,P x y ，则2200169144y x -=双曲线的两渐近线方程分别为340x y += 340x y -= 所以，点P 到两渐近线的距离乘积为22000000229163434144342525x y x y x y --⋅+==+，D 对.故选：BD. 11．AC【分析】根据三角函数的单调性可判断A 选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B 选项，利用正弦定理可判断C 选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D 选项.【详解】对于A ：由A B >，则当0,2A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，则sin sin A B >，当,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则由A B π+<可知2B A ππ<-<，所以()sin sin sin B A A π<-=，故A 选项正确；对于B ：由()0,A B π+∈得：22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 选项错误；对于C ：由根据正弦定理sin sin a b A B =得：sin 533sin 92a B Ab ==> 233A B πππ∴<<=- 且2A π≠，所以满足条件的三角形有两个，C 选项正确；对于D ：由正弦定理可将222sin sin sin A B C +>转化为222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以2C π<，但无法判断,A B 的范围，D 选项错误.12．ACD【分析】利用导数与函数单调性的关系可判断A ；利用导数与函数的极值点之间的关系判断B ，C ；对于D ，作出函数大致图象，判断123,,x x x 的范围，进而根据122212e e x x x x =，可得到21212lnx x x x -=，由此采用换元法并构造函数(),(02)n 1(1l )1t t t th t =<+<-+，从而证明1233x x x ++<-，判断D. 【详解】对于A ，由()()2e xf x x a =+可得()()2e 2x f x x x a '=++若函数()f x 在R 上单调递增，则()0f x '≥恒成立，即220x x a ++≥恒成立 故440a ∆=-≤，故1a ≥经验证1a =时，则()2e (1)0xf x x '=+≥，仅在=1x -时取等号，适合题意故函数()f x 在R 上单调递增，则1a ≥，A 正确；对于B ，当1a =时，则()()2e 1xf x x =+()2e (1)0x f x x '=+≥，仅在=1x -时取等号，()f x 在R 上单调递增 函数无极值点，B 错误；对于C ，由于()()2e 2xf x x x a '=++当8a <-时，则222(1)10x x a x a ++=++-=，则不妨取1211x x =-=-且1x x <或2x x >时，则函数220y x x a =++> 0fx当12x x x <<时，则函数220y x x a =++< ()0f x '<故21x =-()f x 的极小值点，且由于8a <-，则19a ->，则22x >，C 正确；对于D ，当0a =时，则 ()()22e ,e (2)x xf x x f x x x '=∴=+当<2x -或0x >时，则0f x，当20x -<<时，则函数()0f x '<则()f x 在(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，且()0f x ≥ 故可作出其大致图像如图：函数()y f x m =-有三个零点123,,x x x ，即函数()f x 的图象与直线y m =有三个交点不妨设123x x x <<，由于()224e f --=，而()21e 4e f -=>，且234(e )f x m -=<，故301x <<由图象可知122,20x x <--<<考虑到当m 趋近于0时，则1x 会趋近于无限小，2x 趋近于0，故猜测124x x +<-下面给以证明：由题意可知122212e e x x x x =，故1222212211e ,2ln x x x x x x x x -=∴-= 设21,01x t t x =<<，则21x tx =，故1122ln 2ln (1)2ln ,,11t t t x t t x x t t-=∴==-- 则122ln 2ln 2(1)ln 111t t t t t x x t t t++=+=--- 要证明124x x +<-，即证2(1)ln 41t t t +<--，即2(1)ln 01t t t -+<+ 设(),(02)n 1(1l )1t t t th t =<+<-+，故22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t --'=+=>++ 故()h t 在(0,1)上单调递增故()(1)0h t h <=，即2(1)ln 41t t t+<--成立，故124x x +<- 而301x <<，故1233x x x ++<-成立，D 正确故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题要综合应用导数与函数的单调性以及极值点之间的关系等知识，同时注意数形结合以及构造函数等方法，难点在于判断1233x x x ++<-时，则要首先判断出三者的范围，进而数形结合，合理猜测，进而利用构造函数的方法加以证明.13．4200【详解】先按顺序依次选三人共有111423020C C C再去掉顺序数：111423020334200.C C C A = 故答案为：4200.14．13【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.【详解】抛物线C ：26x y =的准线方程为32y =-，设()11,A x y 和()22,B x y 由抛物线定义得：132AF y =+，232BF y =+因AB 的中点的纵坐标为5，则有1210y y += 所以121233()()31322AF BF y y y y +=+++=++=． 故答案为：1315．6 【分析】将111822a b a b+++化简，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+> 1ab =111818222a b a b a b ab a b +∴++=+++1862a b a b +=+≥=+当且仅当6a b +=时取等号，结合1ab =，解得33a b =-=+或33a b =+=-.故答案为：6.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，则要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，则必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N 的轨迹，然后代入公式即可求出长度.【详解】根据题意该正四面体的棱长为3=12AB ，点A ，B ，M 分别是正四面体的棱三等分点.该正四面体的表面积为141212sin602︒⨯⨯⨯⨯=该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体每个角上小正四面体的侧面积为1344sin 602︒⨯⨯⨯⨯=每个角上小正四面体的底面积为144sin602︒⨯⨯⨯=所以该多面体的表面积为44⨯⨯=如图，设点H 为该多面体的一个顶点则8HF MF == 4BF =.在HBF 中 22212cos606416248482HB HF BF HF BF ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=则HB =222HB BF HF +=HB BF ∴⊥，即HB AB ⊥，同理MB AB ⊥又MB HB B =，AB ∴⊥平面MHB .点N 是该多面体外接球表面上的动点，由题可知正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足MN AB ⊥∴点N 的轨迹是HBM △的外接圆.BH BM ==21283MH =⨯= 在HBM △中，由余弦定理得2221cos23HB MB HM HBM HB MB +-∠===⋅sin HBM ∴∠== 设HBM △的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2sinMHrHBM===∠r∴=∴点N的轨迹长度为2πr=.故答案为：【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N的轨迹.17．(1)21na n=-2nnb=(2)n为偶数时，则1196(2)22n nnT n+++⋅-=-；n为奇数时，则1196(2)22n nnT n+++⋅-=+．【分析】(1)设{}n a公差为d，设{}n b公比为q，根据已知条件列出方程求出d、1a和q即可得到两个数列的通项公式；(2)分n为偶数和奇数时，则利用错位相减法求出数列(){}1nn na b-⋅的前n项和为nT，从而求出()1962nnT n++⨯-的表达式．【详解】（1）设{}n a公差为d424S S=()()11144144222a d a d d a-⇒+=+⇒=()()2111212121110n na a a n d a n d a d⎡⎤=+⇒+-=+-+⇒-+=⎣⎦（2）令()(1)(1)212n n nn n na b n c-=--⋅=，则()21221412nn nc c n--+=+⋅当n为偶数时12n n T c c c =+++()1315292212n n T n -=⋅+⋅+++⋅，① ()()311452232212n n n T n n -+=⋅++-⋅++⋅，②①－②得：()3511352424242212n n n T n -+-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅ ()()121181461223104212149n n n n n n T n T -++⎛⎫⋅- ⎪-⋅+⎝⎭-=+⋅-+⋅⇒=- 当n 为奇数时，则()()167222129n n n n n n T T c n --⋅+=+=--⋅ n ∴为偶数时()111196(2)61226222n n n n n T n n n +++++⋅-=-⋅+-⋅=-n 为奇数时()()11196(2)672292126222n n n n n n T n n n n ++++⋅-=-⋅+-⋅-⋅+⋅=+．18．(1)3cos 4B = (2)证明见解析(3)λ∈⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求解即可；（2）由余弦定理及均值不等式，利于余弦函数的单调性即可证明；（3）由B 的范围求出λ范围，再结合a b c +>，a b c -<确定λ的范围.【详解】（1）由题，可得sin sin a B b C=，由正弦定理得a b b c =，即2b ac =． 由于2c a =，且由余弦定理2222cos b a c ac B ac =+-=化简可得34cos B =，解得3cos 4B =． （2）由（1）得222cos a c ac B ac +-=，代入c a λ=，则有()222212cos a a B a λλλ+-=化简可得()212cos B λλλ+-=即211111cos 222222B λλλλλ-+==+-=≥当且仅当122λλ=即1λ=时，则等号可以取到． 因此，π3B ≤．（3）由（2），可得21111cos ,122222B λλλλλ-+⎡⎫==+-∈⎪⎢⎣⎭及0λ>，解得λ∈⎝⎭．又因为a b c +>，a b c -<><及0b ≠解得λ∈⎝⎭．综上，λ∈⎝⎭． 19．(1)证明见解析【分析】（1）根据平行四边形得线线平行即可求证（2）根据面面垂直以及体积公式可得1C H =进而建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于O ,连接1,D O FO ，故O 是AC 中点因为F 是BC 中点，所以1//,,2=OF AB OF AB 又1111111//,2=D E A B D E A B ,故11,//=OF D E OF D E 因此四边形1OFED 为平行四边形，故1//OD FE又AC =4AN ，所以N 为AO 中点，又M 为1AD 中点所以1////,⊄MN OD EF MN 平面EFG ,EF ⊂ 平面EFG ,所以//MN 平面EFG（2）则平面11CC D D内过点1C作1C H DC⊥，垂足为H，连接HB因为平面11CC D D⊥平面ABCD，且平面ABCD平面11CC D D CD=所以1C H⊥平面ABCD易得,ABD BCD是等边三角形因此四棱柱的体积为11144sin6048ABCDV S C H C H C H=⋅=⨯⨯⋅=⇒=所以2DH CH==，即H为DC的中点BH=1,,C H BH CH两两垂直故建立如图所示的空间直角坐标系；则()(()(()14,0,0,,0,2,0,,,--A E C C B因为112=BG CC，则(-G故()()(0,4,23,23,6,0,23,,CE AC GE=-=-=--设平面ACE的法向量为(),,m x y z=则060040m AC ym CE y⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，取y=()3,3,2m=设平面GCE的法向量为()111,,xn y z=则11111040ym GEm CE y⎧⎧--=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，取1y=122m⎛⎫= ⎪⎝⎭设二面角A EC G--的平面角为θ，由图可知二面角A EC G--的平面角为锐角，故172cos cos,4m nm nm nθ⋅====⨯故二面角A EC G --20．(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关；(2)分布列见解析()1E X = 2()3D X =.【分析】（1）求出2χ，比较临界值可得；（2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率得分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．【详解】（1）2290(2525355) 5.625 3.84160303060χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ ∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P == X 的所有可能取值为0，1，2，3和1~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭328(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()2131241C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()2231222C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ 311(3)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ∴X 的分布列如下：()1313E X ⨯== 112()31333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 21．(1)28x y =(2)128【分析】（1）根据圆的半径及抛物线的定义可得方程；（2）分别联立两条直线与抛物线，可得线段MN 与PQ 长度，进而可得面积，结合基本不等式可得最小值.【详解】（1）由题设知抛物线的准线方程为2p y =-由点(),4t 到焦点F 的距离等于圆2224310x y x y +-+-=的半径而2224310x y x y +-+-=可化为()()221236x y -++=，即该圆的半径为6 所以462p +=，解得4p = 所以抛物线C 的标准方程为28x y =；（2）由题意可知直线1l 与直线2l 的斜率都存在，且焦点F 坐标为()0,2因为12l l ⊥，不妨设直线1l 的方程为2y kx =+，直线2l 的方程为12y x k=-+ 联立282x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得28160x kx --=，2Δ64640k =+>恒成立． 设()11,M x y ()22,N x y则128x x k += 1216x x =- 所以()2121248822p p MN y y k x x p k =+++=+++=+ 同理，得2218888PQ k k ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭所以四边形MPNQ 的面积()222211816488812864222S MN PQ k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11281282⎛≥+= ⎝，（当且仅当1k =±时等号成立） 所以四边形MPNQ 的面积的最小值是128．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．22．(1)（ⅰ）1a = 12b =（ⅱ）3,ln 28⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)存在，理由见解析【分析】（1）（ⅰ）求导列出a.b 的方程求解即可, （ⅱ）转化为方程：()()()2t F x F x x '=--有3个不同根，构造函数结合图像求解即可；（2）消参得()23ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立，转化为()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立，构造函数证明即可 【详解】（1）（ⅰ）由()323122f x ax x x =-+ ()lng x bx x = 则()21332f x ax x '=-+ ()()1lng x b x '=+ 由题意，1是平滑函数()F x 的“平滑点”可知10a -=，且532a b -=，解得 1a = 12b =. （ⅱ）由题意，()3231,0122ln ,12x x x x F x x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，过点()2,P t 作()F x 的切线 切点()(),x F x 满足方程：()()()2F x t F x x '-=-故题意等价于方程：()()()2t F x F x x '=--有3个不同根设()()()()2p x F x F x x '=--则()()()632,012,12x x x p x x x x ⎧---<<-≥'⎪=⎨⎪⎩令()0p x '>，即122x <<；令()0p x '<，即102x <<或2x > 所以函数()p x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递减 且11113222228p F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()()()()22222ln 2p F F =--='如图所示第 21 页 共 21 页所以3,ln 28t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （2）题意等价于0b ∀>，是否1a ∃≥，使得()32231ln 221331ln 2ax x x bx x ax x b x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩有解 消去a 有()312ln 12x b x -=-，3122ln 1x b x -=-其中由0b >，可得23x ⎛∈ ⎝ 故题意进一步化简23x ⎛∀∈ ⎝，是否1a ∃≥，使得()23ln 3122ln 1x x x a x x -+=-成立 23x ⎛⇔∀∈ ⎝，()23ln 3122ln 1x x x x x -+-≤是否恒成立 设()()2243ln 231q x x x x x x =--+- ()()83ln q x x x -'= 故2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则单调递减；(x ∈，()q x 单调递增 故()()10q x q ≥=得证即0b ∀>，31a ≥使得()F x 存在的“平滑点”．【点睛】方法点睛：定义函数问题，主要根据定义理解函数性质特征，结合函数求导求解即可.。
高三数学模拟考试试题
高三数学模拟试题〔理科〕班别： 姓名： .一．选择题〔12小题，每题5分共60分〕1、设集合},02|{},01|{2≤-=<-=x x x B x x A 那么=B A〔A 〕}21|{<<x x 〔B 〕}21|{≤<x x 〔C 〕1|{<x x 或}2≥x 〔D 〕1|{≤x x 或}2>x2、向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且那么=x〔A 〕2或3 〔B 〕–1或6 〔C 〕6 〔D 〕23、假设x x x 44cos sin ,12-=则π的值为〔A 〕21 〔B 〕21- 〔C 〕23-〔D 〕23 4、i 是虚数单位，复数ii z -+=1)1(2等于〔A 〕i --1 〔B 〕 i +-1 〔C 〕i -1 〔D 〕i +1 5、以抛物线x y 82=的焦点为焦点，且离心率为21的椭圆的标准方程为〔A 〕1121622=+y x 〔B 〕1161222=+y x 〔C 〕141622=+y x 〔D 〕116422=+y x6、假设数列{}n a 的通项公式为=+++++=99531,32a a a a n a n 则 〔A 〕5150〔B 〕2700 〔C 〕9270 〔D 〕48607、设P 〔x ，y 〕是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+023y x y y x 所表示平面区域内任意一点，那么目标函数y x z +=2的最大值是 〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5〔D 〕68、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，假设其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，那么选派方案共有〔A 〕280种 〔B 〕240种 〔C 〕180种〔D 〕96种9、正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长与底面边长相等，那么1AB 与侧面11A ACC 所成角的正切值是 〔A 〕515〔B 〕315 〔C 〕46 〔D 〕410 10、抛物线c bx x y ++=2在点〔1，2〕处的切线与其平行直线0=++c y bx 间的距离是〔A 〕42 〔B 〕22 〔C 〕223〔D 〕211、设函数1)( , )0( )0( 7)21()(<⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=a f x x x x f x若，那么实数a 的取值范围是(A) )3,(--∞ (B)),1(+∞ (C))1,3(- (D)),1()3,(+∞--∞ 12、设|2|)(2x x f -=，假设b a <<0,且)()(b f a f =,那么ab 的取值范围是〔A 〕)2,0( 〔B ]3,0( 〔C 〕]4,0( 〔D 〕]2,2(二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，满足2)9(=f ,那么)1(1-f的值是 . 14、双曲线122=+my x 的一个焦点是)0 , 3(，那么实数m 的值是 . 15、)()13(6R a xax ∈-的展开式的常数项是–20，那么=++++∞→)(lim 32n n a a a a ；16、球O 的内接三棱锥P —ABC 底面的三个顶点A 、B 、C在球O 的同一个大圆上，如果AB=AC=5，BC=8，点P 在平面ABC 上的射影恰是球心O ，那么此三棱锥 的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分17、〔10分〕三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，假设.3))((bc a c b c b a =-+++ 〔Ⅰ〕求角A 的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的结论下，假设.322cos =B 求)2sin(B A +的值.18、〔12分〕袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：〔Ⅰ〕取出的3个小球上的数字互不一样的概率； 〔Ⅱ〕随机变量ξ的概率分布列与数学期望；y19、(12分) 如图，三棱锥ABC V -中，VAB ∆是边长为2的正三角形，点V 在平面ABC 上的射影D 在AB 边上，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形〔Ⅰ〕求证：面⊥VAB 面VBC ； 〔Ⅱ〕求二面角C VA B --的大小. 20、〔12分〕数列*).(212121:}{2221N n n n a a a a n n n ∈+=-++-+- 满足 求：〔Ⅰ〕数列}{n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕数列}{n a 的前n 项与n S .21、〔12分〕).2()()(2≤++=-m e m mx x x f x〔Ⅰ〕当0=m 时，求)(x f 的单调区间； 〔Ⅱ〕证明：当0≥x 时，2)(≤x f 恒成立.22、〔12分〕如下图，圆8)1(:22=++y x C ，定点)0 , 1(A ，M 为圆上一动点，P 为AM 的中点，AM 的垂直平分线PN 交CM 于点N .〔Ⅰ〕求点N 的轨迹E 的方程；〔Ⅱ〕假设过定点)2 , 0(F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H 〔点G 在点F 、H 之间〕，且满足FG FH λ=，求实数λ的取值范围..M数学参考答案一、BDCBA ADBAC CA二、13、3 ；14、 81-；15、 21； 16、350三、17、〔Ⅰ〕由,1800212cos 222︒<<=-+=A bc a c b A 及 ∴A =60°〔Ⅱ〕由322cos =B 及0<B <90°， ∴sin B =3118、解：(Ⅰ)P 〔A 〕=3231012121235=C C C C C . 〔Ⅱ〕ξ有可能的取值为：2，3，4，5.103)4(31022161226=+==C C C C C P ξ，158)5(31022181228=+==C C C C C P ξ 随机变量ξ的概率分布〔略〕；ξ的数学期望为19、〔Ⅰ〕证明：⊥VD 面ABC ，⊂VD 面VAB ，∴面VAB ⊥面ABC ，交线为.ABAB BC ⊥ ， ⊥∴BC 面VAB ，又VBC BC 面⊂， ∴面VAB ⊥面VBC〔Ⅱ〕解：过B 作VA BE ⊥于E ,连结CE ,，由〔Ⅰ〕知,CE VA ⊥,CEB ∠∴ 就是二面角CVA B --的平面角.VABAB ∆=,2 是正三角形3=∴BE .又AB BC ==2,332tan =∠∴CEB ,. 二面角的大小为332arctan. C20、解：〔Ⅰ〕*)(2121212221N n n n a a a n n ∈+=-++-+-在〔1〕中令适合有511==a n 〔3〕式，故*)(121N n n a n n ∈+=+〔Ⅱ〕设,21+=n n n b 其前n 项与为,n T 那么21、解：〔Ⅰ〕0=m 时，)2()(2/x x e x f x +-=-，由0)(/>x f 得：f (x )的单调递增区间为〔0，2〕，∴单调递减区间为〔－∞，0〕与〔2，+∞〕2=m 时，0)(2≤-='-x e x x f 0[)(在x f ，)∞+2)0()(=≤∴f x f 成立；2<m 时， 令mx x x f -==='20,0)(或得，2max )4()2()(--=-=m e m m f x f设2)4()(--=m e m m g ，0)3()(2/>-=-m e m m g ，∴)(m g 在]2,(-∞上是增函数，∴2)2()(=≤g m g ，∴0≥x 时，2)(≤x f 恒成立22、解：〔Ⅰ〕NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.∴222||||>=+AN CN ∴动点N 的轨迹是以点C 〔–1，0〕，A 〔1，0〕为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为222=a ,焦距2c=2.1,1,22===b c a ∴点N的轨迹E 的方程为1222=+y x 〔Ⅱ〕当直线GH 的斜率存在时，GH 方程为2+=kx y 代入椭圆方程得：034)21(22=+++kx x k ，由0>∆得：232>k ，设),(11y x G ，),(22y x H 又→-→-=FH FG λ，∴)2,()2,(2211-=-y x y x λ，∴21x x λ=， ∴λλ22)1()121(316+=+k，由于232>k ，∴316)1(42<+<λλ，即331<<λ 又10<<λ，∴131<<λ，又当直线GH 的斜率不存在时，31=λ，∴)1,31[∈λ。
高三数学模拟试题10
高三数学模拟试题（理科） 2010.3第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题12小题．每小题5分，共60分．在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}10,1，-=M ，{}N x x ab a b A a b ==∈≠，，且，则集合M 与集合的关系是（ ）.A ．M =NB ．M NC ．M N D ．M ∩N =∅2．已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于（ ）.A ．9B ．1C ．－1D ．－93．函数x x y ln =在)5,0(上是（ ）.A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在)1,0(e 上单调递增，在)5,1(e 上单调递减；D ．在)1,0(e 上单调递减，在)5,1(e上单调递增.4．设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ）.A ．15-B ．35-C ．15D ．356．如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、 俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这 个几何体的体积为（ ）. A ．1 B ．21 C ．31 D ．617．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于（ ）.A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或8．已知yx y x y x 311,2lg 8lg 2lg ,0,0+=+>>则的最小值是（ ）.A ．2B ．22C ．4D ．239．“21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线互相垂直”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．若数列{an}的前n 项由如图所示的流程图输出依次给出，则数列{an}的通项公式an=（ ）.A ．)1(21-n nB ．)1(21+n nC ．n －1D ．n11．]4,3[sin 2)(ππωω-=在区间是正实数，函数x x f 上递增，那么（ ）.A ．230≤<ω B ．20≤<ωC ．7240≤<ωD ．2≥ω12．已知抛物线222222(0)1x y y px p a b=>-=与双曲线)0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）. A ．215+ B ．12+ C ．13+ D ．2122+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上. 13．1992年底世界人口达54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y （亿），那么y 与x 的函数关系式是_____. 14．过圆422=+y x 外一点P （2，4）作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆 方程为 .15．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB = 1，AA 1 = A 、C 两点间的球面距离为 ．16．如图所示，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通。
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高三数学模拟试题（理）
命题人:铁一中张晓灵、郑革功
一、选择题（（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）
１．设集合，则( )
ＡＢＣＤ
2.在复平面内，满足条件i)=2的复数z对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 设向量a=(1, x-1)，b=(x+1,3)，则“x=2”是“a//b”的（）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．在△中，，则△是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．两直角边互不相等的直角三角形
5．在正方体中，，分别为和的中点，
则直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
6. 阅读右侧的算法流程图，输出的结果的（）
A. B. C.31 D.63
7．若函数（）的最小正周期为，则该函数的图象（）
A．关于点（,0）对称B．关于直线x= 对称
C．关于点（,0）对称D．关于直线x= 对称
8．二项式的展开式中常数项是
A．-28 B．-7 C．7 D．-28
9．若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值等于A．-5 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
11．设等差数列的前n项和为，若，则= ；
12．若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则的取值范围是
13 设，则的内角=___________.
14．一个总体分为A、B两层，其个体数之比为4:1 ，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是；
15．选做题（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．）
A．（选修4—4坐标系与参数方程）极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为；
B．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是；
C．(选修4—1 几何证明选讲）如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分，且AE=2，则AC= ；
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）
16.设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I）求及；
（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
17．（12分）设函数，其中
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且f(A)＝2,a＝3,b＋c＝3,
求b,c的值．
18. （12分）某中学学生参加一次活动.该校高三（1）班共50名学生参加活动情况如图所示.
(Ⅰ) 从高三（1）班任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；
（Ⅱ）从高三（1）班任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及均值.
19. (12分) 已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.
(1) 证明：？
(2) 若点为的中点，求平面DAE与平面BAE的夹角的大小
20.已知椭圆C: =1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值
21．（本小题满分14分）定义在上的三个函数f(x)、g(x)、h(x)，已知f(x)= ，
，且在处取得极值．[来源:学。
科。
网]
(1) 求的值及的单调区间；
（2）求证：当；
(3)把对应的曲线向上平移6个单位后得到曲线，求与对应曲线的交点的个数，并说明道
答案
班级姓名
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B C A C B D
11 72 12 1<r<3 13
14 40 15 A B a>-1 C
16.解（Ⅰ）当，
（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
17．解：（I）由题意知
当，即时
（II）由（I）知
由余弦定理得即
．
18. 解：(Ⅰ)由题意得：参加1次活动的5人，2次活动的25人，3次活动的20人。
记事件“=从高三（1）班任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等”
则.
（Ⅱ）可能取值为0、1、2，
, ,
,所以的分布列为：
0 1 2
.
19.解：由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，
(1)不论点在何位置，都有.
证明如下：连结，∵是正方形，∴.
∵底面，且平面，∴ .
又∵，∴平面.
∵不论点在何位置，都有平面. ∴不论点在何位置，都有；
(2) 解法1：在平面内过点作于，连结.
∵，，，∴Rt△≌Rt△，
从而△≌△，∴.∴为二面角的平面角.
在Rt△中，，
又，在△中，由余弦定理得
，
∴. 平面DAE与平面BAE的夹角为60
解法2：如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则，从而，，，. 设平面和平面的法向量分别为，，
由，取. 由，取. 设二面角的平面角为，则，∴，即二面角的大小为 .
20.（Ⅰ），由，得.所以.
（Ⅱ），
设，恒成立，故必有两根.
在区间上单调递减，在上值恒非正，
或解得.
故当时，在上单调递减.
20.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．。