2019版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形第3课时一课一练基础闯关新版北师大版
2019版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2 直角三角形(第2课时)一课一练 基础闯关 (
直角三角形一课一练·基础闯关题组直角三角形全等的判定1.(xx·澧县期中)下列不能使两个直角三角形全等的条件是( )A.一条直角边及其对角对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.斜边和一锐角对应相等D.两个锐角对应相等【解析】选D.选项A符合AAS,正确;选项B符合HL,正确;选项C符合AAS,正确;选项D因为判定三角形全等必须有边的参与,错误.故选D.2.(xx·福清市期末)如图,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到△AOB≌△COD,理由是( )世纪金榜导学号10164020A.HLB.SASC.ASAD.AAS【解析】选A.在Rt△AOB和Rt△COD中,∵AO=CO,AB=CD,∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL).3.(xx·文安县期中)如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E,F,AC∥DB,且AC=BD,那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是( )A.SSSB.AASC.SASD.HL【解析】选B.∵AC∥BD,∴∠A=∠B,∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠AEC=∠DFB,且AC=BD,∴在Rt△AEC和Rt△BFD中,满足AAS.4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是( )【解析】选A.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,∴AC=2,∠A=60°,在A选项中,同理可知斜边为4,故由HL能判定两三角形全等.【易错提醒】由两直角三角形仅有一组边对应相等,判断其两个三角形全等是错误的!5.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.世纪金榜导学号10164021(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.【解析】(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°,在Rt△ABE和Rt△CBF中,∴Rt△ABE≌△Rt△CBF(HL).(2)∵AB=CB,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°,又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由(1)知:Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°,∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.题组直角三角形全等的应用1.(xx·达州月考)如图,AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D,若AC=DB,则下列结论中不正确的是( )A.∠A=∠DB.∠ABC=∠DCBC.OB=ODD.OA=OD【解析】选C.∵AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D,∴∠A=∠D=90°(A正确).又∵AC=DB,BC=BC,∴Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ABC=∠DCB(B正确),∴AB=CD.又∵∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△DOC,∴OA=OD(D正确),C中OD,OB不是对应边,不相等.2.如图,在Rt△ABC与Rt△DEF中,∠B=∠E=90°,AC=DF,AB=DE,∠A=50°,则∠DFE=________.世纪金榜导学号10164022【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中,∵∠B=∠E=90°,AC=DF,AB=DE,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∴∠D=∠A=50°,∴∠DFE=90°-∠D=90°-50°=40°.答案:40°3.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,CD=5,则BE=________.【解析】∵BE,CD是△ABC的高,∴∠CDB=∠BEC=90°,在Rt△BCD和Rt△CBE中,BD=EC,BC=CB,∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL).∴BE=CD=5.答案:54.如图,D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过D作BC的垂线,交AC于点E,若AE=12cm,则DE的长为______cm.【解析】连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点,且BD=AB,过D作BC的垂线,交AC于E,∴∠A=∠BDE=90°,∴在Rt△DBE和Rt△ABE中,BD=AB(已知),BE=BE(公共边),∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL),∴AE=DE.又∵AE=12cm,∴DE=12cm.答案:12(xx·兰陵县期末)在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E.世纪金榜导学号10164023 (1)若B,C在DE的同侧(如图所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC.(2)若B,C在DE的两侧(如图所示),其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.【解析】(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACE中,∵AB=AC,AD=CE,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠CAE.∵∠DAB+∠DBA=90°,∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.证明如下:同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC,∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.【母题变式】[变式一]如图,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分别在直线MN与PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB=________.【解析】∵MN∥PQ,AB⊥PQ,∴AB⊥MN,∴∠DAE=∠EBC=90°,在Rt△ADE和Rt△BEC中,∵DE=EC,AD=BE,∴△ADE≌△BEC(HL),∴AE=BC,∵AD+BC=7,∴AB=AE+BE=AD+BC=7.答案:7[变式二](xx·微山县期末)如图,两棵大树间相距13m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5m,小华行走的速度为1m/s,小华走的时间是( )A.13sB.8sC.6sD.5s【解析】选B.∵∠AED=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,∵∠ABE=90°,∴∠A+∠AEB=90°,∴∠A=∠DEC,在△ABE和△DCE中,∵∠B=∠C,∠A=∠DEC,AE=DE,∴△ABE≌△ECD(AAS),∴EC=AB=5m,∵BC=13m,∴BE=8m,∴小华走的时间是8÷1=8(s).[变式三](xx·无锡月考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=________cm.【解析】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°,∠BAD+∠ABD=90°,∴∠EAC=∠ABD,∵AB=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴AD=CE,BD=AE,∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm.答案:7[变式四](xx·玉田县期末)如图,AB=12,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P,Q两点同时出发,运动________分钟后△CAP与△PQB全等.【解析】∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,∴∠A=∠B=90°,设运动x分钟后△CAP与△PQB全等;则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(12-x)m,分两种情况:①若BP=AC,则x=4,AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ;②若BP=AP,则12-x=x,解得:x=6,BQ=12≠AC,此时△CAP与△PQB不全等;综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.答案:4欢迎您的下载，资料仅供参考！。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.1.1 等腰三角形课件
A
D
B
E
C
F
第二十一页，共二十三页。
等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写(jiǎnxiě) 成“等边对等角”）．
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高互相重合（ “三线合 一”）．即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平 分底边．
第二十二页，共二十三页。
A●
∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）
∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）,
A′ ●
AB=A′B′（已知）,
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
第三页，共二十三页。
B
C ● ● B′
● ● C′
定理 : (dìnglǐ) 两角分别相等且其中一组等角
共为(重合的算一条)
(B )
A.9 B.7
C.6
D.5
解析(jiě xī):等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线 是一条.故选B.
2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是
()
B
A.∠A的平分线，AB边上(biān shànɡ)的中线，AB边上的高线
B.∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高线
第十五页，共二十三页。
（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，
则其余(qíyú)两个角为8_0_°__和_5_0_°_．
（2）如果(rúguǒ)等腰三角形的顶角为80°，则它的 一个底角为__5_0_°． （3）如果等腰三角形的一个角为80°，则其余(qíyú) 两个角为___8_0_°__和__2_0_°___或__5_0_°__和__5_0_°．
北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法 同步练习含答案
第一章三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法1．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于( )A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm2．“a＜b”的反面应是( )A．a＞b但a≠b B．a＞b C．a＝b D．a＝b或a＞b3．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC 是等腰三角形，那么你补充的条件不能是( )A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB4. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为10 5．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是( )A．等边三角形 B．等腰三角形 C．全等三角形 D．直角三角形6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )A．6 B．7 C．8 D．98. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N 处与灯塔P的距离为( )A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里9．如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( )A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC10．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个11．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是．12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD 平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有 .13. 在△ABC中，已知∠B＝∠C，则AB＝14. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中有等腰三角形个．15. 用反证法证明命题“对顶角相等”第一步假设．16. 用反证法证明：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF，证明的第一步是假定CD (平行；不平行)于EF17. 如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC，当用反证法证明时，第一步应假设AB＝18. 如图，△ABC中，AB＝AC，并且BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．20. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为 .12．已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°.下面写出了用反证法证明过程中的四个步骤：①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是 (填序号)．21. 某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB ∥CD ，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( )22. 已知：如图，直线a 、b 被c 所截，∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2.求证：a 与b 不平行．证明：假设 ，则 ，这与 相矛盾，所以 不成立，所以a 与b 不平行．23. 如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC.求证：△BDE 是等腰三角形．24. 在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 、AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P.求证：PB ＝PC ，并直接写出图中其他相等的线段．25. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证∶△BDE是等腰三角形．26. 求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.求证：AB＝AC.27. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F.求证：DF＝EF.28. 用反证法证明：等腰三角形的底角必是锐角．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：△ABC的底角为锐角．29. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD 相交于点O.求证：(1)△DBC≌△ECB；(2)OB＝OC.30. 如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明道理；(2)小敏说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？31. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D 不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝，∠DEC＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．答案;1---10 ADCDB ADDAB11. 等腰三角形12. ①②13. AC14. 515. 对顶角不相等16. 不平行17. AC18. △OBC19. 820. ③④①②21. 24°22. a∥b ∠1＝∠2 ∠1≠∠2 a∥b23. 证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．24. 证明：∵AE＝AF，AB＝AC，∠EAC＝∠FAB，∴△AFB≌△AEC，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，其余相等的线段有：BF＝CE，PE＝PF，BE＝CF.25. 证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．26. 证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是中线，∴BD＝CD.在△ADC和△ED B 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ∠BDE＝∠CDABD ＝CD，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴BE ＝AC ，∠BED ＝∠CAD.∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠BAD.∴∠BED ＝∠BAD ，∴AB ＝BE ，∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．27. 证明：过点D 作DG∥AC 交BC 于G ，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF， ∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴DG＝BD ＝CE.在△DFG 与△EFC 中，∠DGF＝∠ECF，∠DF G ＝∠EFC，DG ＝EC ，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF. 28. 证明：假设△ABC 的底角不为锐角，则底角为钝角或直角，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C≥90°，∴∠B ＋∠C≥180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，∴等腰三角形的底角必是锐角． 29. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ECB＝∠DBC.在△DBC 与△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ∠DBC＝∠ECB BC ＝CB，∴△DBC≌△ECB；(2)由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC.30. 解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°.又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°.∴∠DBC ＝∠E.∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC.理由：∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°.∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E.∴BD ＝DE. 31. 解：(1)25°；115°；小；(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE.理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°.又∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°.∴∠ADB ＝∠DEC.又∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)；(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°.理由：当∠BDA ＝110°时，∠ADC ＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．。
2019版八年级数学下册三角形的证明1.1等腰三角形(第2课时)一课一练基础闯关(新版)北师大版
等腰三角形一课一练·基础闯关题组等腰三角形中相关线段的性质1.(2017·和县模拟)等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( )A.42°B.60°C.36°D.46°【解析】选A.如图:△ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高.∵∠A=84°,且AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-84°)÷2=48°;在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠C=48°;∴∠DBC=90°-48°=42°.2.(2017·崇州市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=35°,则∠BAC的度数为( )世纪金榜导学号10164004A.40°B.45°C.50°D.55°【解析】选A.∵AE∥BD,∴∠CBD=∠E=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBA=70°,∵AB=AC,∴∠C=∠CBA=70°,∴∠BAC=180°-70°×2=40°.3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【解析】选A.∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=∠A=×30°=15°.4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和9cm,则它的周长为________. 【解析】①若腰长和腰长的一半的和是9,则腰长为6,底边长为15-×6=12,∵6+6=12,∴此时不能组成三角形;②若腰长和腰长的一半的和是15,则腰长为10,底边长为9-×10=4,能组成三角形,∴它的周长为10+10+4=24(cm).综上所述,该等腰三角形的周长是24cm.答案:24cm【易错提醒】此类问题要分情况进行讨论,且要注意检验得到的三边能否构成三角形.【备选习题】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分,则这个等腰三角形的底边长是( )A.6B.22C.6或22D.10或18【解析】选A.设AD=x,则当2x+x=15时,x=5,即AB=AC=10,∴底边长为27-5=22(不符合三角形三边关系,舍去);当2x+x=27时,x=9,即AB=AC=18,∴底边长为15-9=6(符合三角形的三边关系),综上可知,底边BC的长为6.5.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. 世纪金榜导学号10164005(1)求证:OB=OC.(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD,CE是△ABC的两条高线,∴∠BEC=∠BDC=90°,∴△BEC≌△CDB.∴∠DBC=∠ECB,BE=CD.在△BOE和△COD中,∵∠BOE=∠COD,BE=CD,∠BEC=∠BDC=90°,∴△BOE≌△COD,∴OB=OC.(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°,∴∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=180°-80°=100°.题组等边三角形的性质及应用1.(2017·南充中考)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )A.(1,1)B.(,1)C.(,3)D.(1,)【解析】选D.如图所示,过点B作BC⊥AO于点C,∵△AOB是等边三角形,∴OC=AO=1,∴在Rt△BOC中,BC==,∴B(1,).2.如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为________.世纪金榜导学号10164006【解析】∵直线y=2x+4与y轴交于B点,∴x=0时,得y=4,∴B(0,4).∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,∴C在线段OB的垂直平分线上,∴C点纵坐标为2.将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=-1.所以点C′的坐标为(-1,2).答案:(-1,2)3.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC=________度.【解析】∵△ABD,△ACE都是等边三角形,∴AD=AB,∠DAB=∠EAC=60°,AC=AE,∴∠DAC=∠EAB,∴△DAC≌△BAE(SAS),∴DC=BE,∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°.答案:120【变式训练】如图,O为等边三角形ABC内一点,∠OCB=∠ABO,则∠BOC的度数是________.【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠OCB=∠ABO,∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°,∴在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°.答案:120°4.(2017·宁夏中考)在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,M,N分别为垂足.求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.【证明】连接AP,过C作CD⊥AB于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴AB·CD=AB·PM+AC·PN,∴PM+PN=CD,即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.5.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.世纪金榜导学号10164007【解析】猜想:AP=CQ.证明:在△ABP与△CBQ中,∵AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°,∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ,∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ.(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中,点D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=______.【解析】如图,作AG⊥BC于点G,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴AG=AB=2,连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴AB·DE+AC·DF=BC·AG,∵AB=AC=BC=4,∴DE+DF=AG=2.答案:2【母题变式】[变式一](2017·唐河县期末)如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.8【解析】选D.从B向AC作垂线段BP,交AC于P,点P即为所求.设AP=x,则CP=5-x,在Rt△ABP中,BP2=AB2-AP2,在Rt△BCP中,BP2=BC2-CP2,∴AB2-AP2=BC2-CP2,∴52-x2=62-(5-x)2,解得x=1.4,在Rt△ABP中,BP==4.8,∴AP+BP+CP的最小值为5+4.8=9.8.[变式二]已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( )A. B.C. D.不能确定【解析】选B.等边三角形的边长是3,所以等边三角形的高是.设点P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则×3(h1+h2+h3)=×3×,所以h1+h2+h3=.[变式三]已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的距离是__________.【解析】如图,连接PA,PB,PC,作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,AH⊥BC于点H,则PD=1,PF=2,AH=4,∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∵S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA,∴AH·BC=PD·AB+PE·BC+PF·AC,∴4=1+PE+2,∴PE=1,即点P到BC的距离为1.答案:1[变式四]等边三角形的边长为a,P是等边三角形内一点,则P到三边的距离之和是________.【解析】如图,∵等边三角形的边长为a,∴等边三角形的高为a,连接PA,PB,PC,设点P到AB,BC,AC边的距离分别为h1,h2,h3,则S△ABC=a·a=AB·h1+BC·h2+AC·h3,即a·a=a·h1+a·h2+a·h3, 整理得,h1+h2+h3=a,即P到三边的距离之和是 a.答案: a。
八年级数学下册 第一章《三角形的证明》1.1《等腰三角形》课件4 (新版)北师大版.pptx
求证:∠A=∠C.
证明:连接BD,
开拓思维
在△BAD和△DCB中,
∵ AB=CD(
)
AD=CB(
)
A
BD=DB(
)
∴ △BAD≌ △DCB( ) B
∴ :∠A=∠C (
)
D C
15
2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线
上,AB=DE,AC=DF,BE=CFA.
D
求证:∠A=∠D
B E
C
F
16
A′ ●
● ● C′
AB=A′B′（已知）,
∠B=∠B′ （已证）,
驶向胜利 的彼岸
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
4
几何的三种语言
w推论: w两角及其一角的对边对应 相等的两个三角形全等
（AAS）. 在△ABC与△A′B′C′中
●
A
′ ∵∠A=∠A′ ∠C=∠C′
AB=A′B′
A′ ●
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
13
1.在△ABC中，AB=AC.
（1）若∠A=40°，则∠C等于多少度？
（2）若∠B=72°，则∠A等于多少度？
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD， AC=BC=CD，
（1）求证： △ABD是等腰三角形;
（2）求∠BAD的度数.
A
B
C
D
14
1.将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图,AB=CD,AD=CB.
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
w轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的 三种不同形式的运用.
(完整版)北师大版八年级三角形证明课后题汇总
1.1 等腰三角形1、将下面证明中每一步的理由写在括号内：已知：如图，AB＝CD，AD＝CB．求证：∠A＝∠C．证明：连接BD．在△BAD和△DCB中，∵AB＝CD( )AD＝CB( )BD＝DB( )∴△BAD≌△DCB( )∴∠A＝∠C( )2、已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．3、如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D，求∠BAD的度数。
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE,CE,请找出图中所有相等的角。
5、如图，在△ABC中，AB=BC,点D,E都在BC上，且AD=AE,证明BD=CE.1、如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BD=BC,则∠A等于多少度？2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，点E,F分别在AB和AC尚，并且AE=AF.求证：DE=DF3、已知：如图，D，E分别是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且AD=CE。
求证：CD=BE4、如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC⑴分别在AB,AD的中点E,F处拉两根彩线EC,FC.证明:这两根彩线的长度相等。
⑵如果AE=1/3AB,AF=1/3AD,那麼彩线的长度相等吗?如果AE=1/4AB,AF=1/4AD呢?由此你能得到什麼结论?1、已知：如图，∠CEA是△ABC的外角，AD平行BC，且∠1=∠2.求证：AB=AC.2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP垂直于BC，垂足为P，EP交AB于点F。
求证：△AEF是等腰三角形。
3、如图，一艘船从A处出发，以18kn的速度向北航行，经过10h到处B处。
分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求从B处到灯塔C 的距离．1、已知：如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E, 求证：△ADE是等边三角形。
2019版八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形第1课时教学课件(新版)北师大版
几何的三种语言 判定公理: 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）．
在△ABC与△A′B′C′中， ∵ AB=A′B′，
BC=B′C′， AC=A′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
判定公理: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）．
在△ABC与△A′B′C′中， ∵ AB=A′B′，
边的长应为7或3.当第三条边的长为3时，3＋3＜7，
则三角形不存在.所以第三条边的长是7.
3．将下面证明中每一步的理由写在括号内: 已知:如图，AB=CD，AD=CB．
求证:∠A=∠C．
A
【证明】连接BD,
在△BAD和△DCB中,
B
∵ AB=CD( )，
AD=CB( )，
BD=DB( )，
∴ △BAD≌ △DCB( )，
∴ ∠A=∠C (
)．
D C
4．(金华·中考）如图，在△ABC中，D是BC边上的点
（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，
CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再
添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证
明．
（1）你添加的条件是：
;（2）证明.
A
FBDC源自E【解析】（1）BD=DC(或点D是线段BC的中点)， FD=ED，CF=BE中任选一个即可﹒ （2）以BD=DC为例进行证明： ∵CF∥BE， ∴∠FCD﹦∠EBD． 又∵ BD=CD ，∠FDC﹦∠EDB， ∴△BDE≌△CDF．
1.证明命题的一般步骤. 2.会用“探索—发现—猜想—证明”的过程证明命 题．
信念！有信念的人经得起任何风暴。 ——奥维德
∠A=∠A′， AC= A′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第一章 三角形的证明 第3课时 等腰三角形的判定与反证法
8．(8分)用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角． 证明：假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是大于等于90°的角， 则____∠__B__＋__∠__C_≥_1_8_0_°________， 从而__∠__A_＋__∠__B_＋__∠__C_______＞180°， 这与__三__角__形__内__角__和__为__1_8_0_°__矛盾． 则假设___不__成__立_____， 所以∠B，∠C只能为__锐__角． 故等腰三角形的两底角必为锐角．
6．(4 分)用反证法证明“ 5 是无理数”时，最恰当的证法是先假设 5 是( C ) A．分数 B．整数 C．有理数 D．实数
7．(4 分)(驻马店月考)在用反证法证明命题“在一个三角形中， 至少有一个内角大于或等于 60°”时， 应首先假设___在__一__个__三__角__形__中___，__三__个__内__角__都__小__于__6_0_°_________．
数学 八年级下册 北师版
第一章 三角形的证明
1．1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1．(4 分)在△ABC 中，已知∠B＝∠C，则下列关系正确的是( B) A．AB＝BC B．AB＝AC C．BC＝AC D．∠A＝60° 2．(4 分)满足下列哪组条件可使△ABC 是等腰三角形( D ) A．∠A＝50°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝100° C．∠A＋∠B＝90°
第10题图
11．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O.过点O作DE∥BC， 分别交AB，AC于点D，E.若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是__9__．
第11题图
三、解答题(共36分) 12．(10分)如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CD.
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形(第3课时)课件
【学霸提醒(tí 】 xǐng)
利用反证法证明的“三步法”
第二十二页，共三十三页。
【题组训练(xùnliàn)】
1.用反证法证明“a>b”时,应假设 ( B )
A.a<b
B.a≤b
C.a≥b
D.a≠b
第二十三页，共三十三页。
2.用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一
个角大于等于(děngyú)90°”,我们应该假设
第八页，共三十三页。
知识点一 等腰三角形的判定(P8例2拓展(tuò ) zhǎn) 【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线 上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F,FD∥AC交BC于点D.
求证:△AEF是等腰三角形.
第九页，共三十三页。
【尝试解答】∵FD∥AC, ∴∠PFD=_____∠__E_,∠FDB=________∠, C
性质2:等腰三角形的___顶__角__(d_ǐ_nɡ_j_iǎ_o)_平__分、线______底__边__上_ 的
__中__线___、底边上的高互相重合.(简写成“三线合
一”)
第三页，共三十三页。
【新知预习】 阅读(yuèdú)教材P8-9的内容,回答下列问题:
1.探究:等腰三角形判定方法
(1)用直尺和量角器或三角板画△ABC,使∠B=∠C=30°,
第十一页，共三十三页。
∵∠PFB=∠AFE,∴∠PFD=∠AFE, …………等量(děnɡ 代换 liànɡ)
∵∠PFD=∠E,∴∠E=∠AFE, …………等量代换
∴_____A_E_=______A_F, …………等角对等边
即△AEF是等腰三角形. …………
等腰三角形定义
2019版八年级数学下册第一章三角形的证明试题(新版)北师大版
第一章三角形的证明1.等腰三角形的性质与判定的应用(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB 相交于点M.(1)求证：∠FMC=∠FCM.(2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤.【信息解读·破译解题秘钥】信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余；信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形；信息③直译为：AF=EF；破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF.破译：整合条件①②③，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC ≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM.信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”.信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”.破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC.【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF.又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF.又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF.∴∠FMC=∠FCM.(2)AD⊥MC.理由如下：如图，延长AD交MC于点G.由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC.∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC.(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.【标准解答】∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠C=∠E，∵∠E=∠B.∴∠C=∠B，∴AB=AC.(3)等边三角形的性质与判定等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是60°的角.【例3】如图，点E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点①，且BE=AF②，CE，BF交于点P.(1)求证：CE=BF.(2)求∠BPC的度数.【信息解读·破译解题秘钥】条件①翻译为：AB=BC③=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°④；条件②直译为：BE=AF⑤，破译：整合条件①④，得到∠FAB=∠EBC⑥，破译：整合条件②③⑥，应用“SAS”定理，判定△BCE≌△ABF⑦.信息⑦翻译为：CE=BF，∠PCB=∠ABF⑧；破译：读图、析图得，∠PBC+∠ABF=60°⑨，∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°⑩，破译：整合信息⑧⑨得∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=60，破译：整合信息⑩⑪得到：∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°.【标准解答】(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，在△BCE与△ABF中，∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF.(2)由(1)知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，∴∠BPC=180°-60°=120°.1.在等边△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是( )A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等边三角形D.△ADE的周长是92.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，点D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE，求证：MD=ME.2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论.(1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.【例1】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为( )A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对【标准解答】选C.70°角可能是顶角，也可能是底角.当70°角是底角时，则顶角的度数为180°-70°×2=40°；当70°角是顶角时，则底角的度数为(180°-70°)÷2=55°.所以这个等腰三角形的另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°.(2)已知等腰三角形的两边求周长：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.【例2】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9 cmB.12 cmC.15 cm或12 cmD.15 cm【标准解答】选D.当6为腰，3为底时，6-3<6<6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形.(3)已知等腰三角形的中线分周长成两部分，求一边长【例3】在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A.7B.11C.7或11D.7或10【标准解答】选C.已知条件并没有指明哪一部分是15，哪一部分是12，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是x，底边长为y，可得或解得或∴底边长为7或11.(4)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，求顶角.【例4】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，求这个等腰三角形的顶角的度数. 【标准解答】依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为50°，图2中顶角为130°.(5)已知等腰三角形腰的中垂线与另一腰所在直线所成的夹角，求底角.【例5】在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=________.【标准解答】按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.如图1，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=(180°-40°)=70°.如图2，当交点在腰CA的延长线上时，△ABC为钝角三角形，此时可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=(180°-140°)=20°.故这个等腰三角形的底角为70°或20°.答案：70°或20°1.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为________.2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为________.3.如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α=________.3.直角三角形(1)运用数学思想处理问题①分类讨论思想：在一些求值计算中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解.【例1】已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm.第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为________cm2.【标准解答】设AB=20cm，AC=30cm，AD=10cm.有两种情况：一种：在直角三角形ABD中利用勾股定理BD===10cm，同理得CD=20cm，则该三角形面积=×BC×AD=×(10+20)×10=(100+50)cm2，二种：在直角三角形ABD中，BD===10cm，在直角三角形ACD中，CD===20cm，则BC=(20-10)cm，所以三角形面积为(100-50)cm2.答案：(100+50)或(100-50)②方程思想：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时可由此列出方程，运用方程思想分析问题、解决问题，以便简化求解.【例2】如图，长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为________.【标准解答】∵∠CBD=∠DBE，∠CBD=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DE=BE.设DE的长为x，则AE=8-x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即：42+(8-x)2=x2，解得：x=5.答案：51.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________.2.在长方形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，点E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________.3.如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF，如图2，展开再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为M，EM交AB于N，则tan∠ANE=________.(2)折叠问题及最短路径问题几何图形的折叠问题及最短路径问题是当前中考的热点，这两类问题都需要构造直角三角形，借助勾股定理解决.①利用勾股定理解决图形折叠问题【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C 落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________.【标准解答】∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm，∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，∴DC=DC′，BC=BC′=6cm，∴AC′=4cm，设DC=xcm，则AD=(8-x)cm，在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，即(8-x)2=42+x2，解得x=3，∴△ADC′的面积=×4×3=6(cm2).答案：6cm2【例2】如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.6【标准解答】选D.∵四边形ABCD是长方形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF由△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，CF===4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6.②最短距离问题求立体图形表面上两点之间最短距离问题，关键是把立体图形的侧面展开成平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.【例3】如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )A.4dmB.2dmC.2dmD.4dm【标准解答】选A.如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.∵圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，∴AB=2 dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴AC=2，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm.【例4】图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为________cm.【标准解答】如图所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，在Rt△BCD中，CD==6cm，∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.答案：(3+3)1.如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A. B. C.4 D.52.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是( )A.30°B.40°C.50°D.60°4.线段的垂直平分线和角平分线的应用(1)应用线段的垂直平分线和角平分线的性质证明线段相等或探究线段的大小关系.(2)应用角平分线的性质证明角相等.(3)应用线段的垂直平分线的性质求角的度数.(4)应用线段的垂直平分线的性质求线段的长度或周长问题.(5)利用角平分线的性质解决与三角形有关的面积计算问题.【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A.11B.5.5C.7D.3.5【标准解答】选B.作DM=DE交AC于点M，作DN⊥AC交AC于点N，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∴△DEF≌△DMN，∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，S△DNM=S△DEF=S△MDG=×11=5.5.【例2】如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，BD=CD，连接AD并延长.求证：AD平分∠BAC.【标准解答】∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，在△BFD与△CED中，∴△BFD≌△CED(AAS)，∴DF=DE.又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC.【例3】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为( )A.48°B.36°C.30°D.24°【标准解答】选A.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF是BC的垂直平分线，∴FB=FC，∴∠FCB=∠DBC，∵∠ABD=24°，∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°，又∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°，∴∠ACF=120°-24°-24°-24°=48°.【例4】如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则△BDC 的周长是( )A.8B.9C.10D.11【标准解答】选C.∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.1.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( )A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3，则△ABD的面积为________.3.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=________cm.4.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE，CD，点F为BE的中点，连接AF.(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF.(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立?请结合图②说明理由.跟踪训练答案解析1.等腰三角形的性质与判定的应用【跟踪训练】1.【解析】选B.由旋转易知△DBC≌△EBA，∠DBE=60°，∴∠BAE=∠C=∠ABC=60°，∴AE∥BC；△DBE是等边三角形；△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD =5+4=9.故A，C，D都正确.2.【证明】∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵M是BC的中点，∴BM=CM.在△BDM和△CEM中，∴△BDM≌△CEM(SAS).∴MD=ME.2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用【跟踪训练】1.【解析】当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4>6，满足三边关系定理，当底边是4时，另两边长是5，5，5+4>5，5-4<5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6. 答案：4或62.【解析】首先准确画图，如左图，当∠ABD=36°时，易得∠A=54°，从而运用等腰三角形的性质可以求得∠C=63°；如右图，当∠ABD=36°时，∠DAB=54°，从而可以求得∠C=27°.答案：63°或27°3.【解析】△ABC是等腰三角形，当AB=AC，则∠ACB=50°，其邻补角为130°，则∠α=130°；当CB=AC，则∠ACB=80°，其邻补角为100°，则∠α=100°；当AB=BC，则∠ACB=65°，其邻补角为115°，则∠α=115°，因此三种情况三个结果：100°或115°或130°.答案：100°或115°或130°3.直角三角形(1)运用数学思想处理问题【跟踪训练】1.【解析】当3，4为直角边时，则第三边是斜边，其长为5；当长为4的边是斜边时，第三边是直角边，其长是.故第三边长为5或.答案：5或2.【解析】①∠EFC=90°时，如图1，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A，F，C共线，∵长方形ABCD的边AD=8，∴BC=AD=8，在Rt△ABC中，AC===10，设BE=x，则CE=BC-BE=8-x，由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，∴CF=AC-AF=10-6=4，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+42=(8-x)2，解得x=3，即BE=3；②∠CEF=90°时，如图2，由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=6，综上所述，BE的长为3或6.答案：3或63.【解析】由题意得∠NEH=90°，所以∠DEH+∠AEN=90°，又因为∠A=90°，所以∠ANE+∠AEN=90°，所以∠ANE=∠DEH，在Rt△EDH中，设正方形边长为2a，则DE=a，设DH=x，则EH=HC=2a-x，所以由勾股定理得a2+x2=(2a-x)2，解得x=a，所以tan∠ANE=.答案：(2)折叠问题及最短路径问题【跟踪训练】1.【解析】选C.设BN=x，则依据折叠原理可得DN=AN=9-x，又D为BC的中点，所以BD=3，在Rt△BDN中，利用勾股定理，可得BN2+BD2=DN2，则有32+x2=(9-x)2，解得x=4，即BN=4.2.【解析】选A.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，∴AM=MC=BM，∴∠A=∠MCA，∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，∴∠ACM=∠MCD，∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°，∴∠A=30°.4.线段的垂直平分线和角平分线的应用【跟踪训练】1.【解析】选B.∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，∴A正确；∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=25°，∴∠BOC=180°-∠DBC-∠ACB=95°，∴∠DOC=180°-∠BOC=85°，故B错误；∵∠ACE=180°-∠ACB=120°，CD平分∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=60°，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=35°，C正确；∵点D在∠ABC和∠ACE的角平分线上，∴点D到AB，BC，AC的距离相等，∴点D在∠BAC外角的平分线上，∴∠DAC=55°，D正确.2.【解析】过点D作DE⊥AB，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=3，∵AB=10，∴△ABD的面积为×AB×DE=×10×3=15.答案：153.【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，∴AB=40-24=16(cm).答案：164.【解析】(1)如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF.(2)成立.如图②，延长EA交BC于点G，在AG上截取AH=AD，连接BH. ∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠BAH=∠DAC，在△ABH与△ACD中∴△ABH≌△ACD(SAS).∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF.。
北师大八级下《等腰三角形》课时练习含答案解析
北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为=∵4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．秒B．3秒C．秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ； 答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ； 答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．北师大版数学八年级课时练习一、选择题1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A. 8B. 9C. 10D.11答案：C解析：解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C.分析：由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC.2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A. 48°B. 36°C. 30°D. 24°答案：A解析：解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°－60°－24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°－24°=48°，故选：A.分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数. 3．如图，在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，若已知AB=10，△GBC的周长为17，则底BC的长为（）A. 10B. 9C. 7D. 5答案：C解析：解：如图，∵在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，∴AG=BG，∵AB=10，△GBC的周长为17，∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17，AC=AB=10，∴BC=7．故选C.分析：首先根据题意在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，根据线段垂直平分线的性质，可得AG=BG，继而可得△GBC的周长=AC+BC=17，则可求得答案. 4．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（）A. 30°B. 40°C. 70°D. 80°答案：A解析：解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．故选A.分析：由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案.5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，则△BCE的周长为（）A. 6B. 14C. 18D. 24答案：B解析：解：∵AC=10，BC=4，∴AC+BC=10+4=14，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=14．故选B.分析：先根据AC=10，BC=4，可得出AC+BC的长，再根据DE是线段AB的垂直平分线可得到AE=BE，进而可得出答案.6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，AB边的垂直平分线分别交AB、AC 于N、M两点，则△BCM的周长为（）A. 18B. 16C. 17D. 无法确定答案：C解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，由勾股定理得，BC=5，∵MN是AB的垂直平分线，∴MB=MA，∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，故选：C分析：根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形答案：C解析：解：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，则AO=OB，AO=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC＞90°，即△ABC是钝角三角形，故选C分析：先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC＞90°即可.8. 已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D.无法确定答案：B解析：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，∴AC=BC，AD=BD，∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，∴∠CAD=∠CBD；如图2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA，∴∠CAD=∠CBD．故选B.分析：首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，则可证得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，继而求得答案.9. 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为（）A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm答案：D解析：解：如图，连接BD，∵D在线段AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∴BD+DC+BC=AC+BC=38 cm，且AB+AC+BC=60 cm，∴AB=60 cm－38 cm =22 cm，∴AC=22 cm，∴BC=38 cm－AC=38 cm－22 cm =16 cm，即等腰三角形的腰为22 cm，底为16 cm，故选D.分析：连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD，可知两三角形周长差为AB，结合条件可求得腰长，再由周长可求得BC，可得出答案.10．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点答案：A解析：解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选A分析：根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点.11. 三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A．三条中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点答案：B解析：解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，故选：B.分析：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案.12. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）A．50°B．60°C．150°D．50°或130°答案：D解析：解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时易得∠A=90°－40°=50°，（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，易得∠DAB=90°－40°=50°，∴∠A=130°，故选D.分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC=8，BC=6，则△DBC的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．无法计算答案：B解析：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14，故选：B分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB，根据三角形周长公式求出周长.14. 如图，在△ABC中，AB=A，AC=B，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（）A．A+B B．A－B C．2A+B D．A+2B答案：A解析：解：∵ED垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=A，AC=B，∴AB=AE+BE=AE+CE=A．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=A+B．故选A分析：要求三角形的周长，知道AC=B，只要求得AE+EC即可，由DE是BC的垂直平分线，结合线段的垂直平分线的性质，知EC=BE，这样三角形周长的一部分AE+EC=AE+BE=AB，代入数值，答案可得.15. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处答案：C解析：解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．故选C.分析：要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得.二、填空题16．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于E，交BC于F．若FC=3 cm，则BF=_________．答案：6 cm解析：解：连接AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°；∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∠FAC=30°，∴∠BAF=90°，∴BF=2AF（30°直角边等于斜边的一半），∴BF=2CF=6 cm．故答案是：6 cm分析：利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC= 120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6 cm.17. 如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC=________．答案：3解析：解：∵ED为AC上的垂直平分线，∴AE=EC，∵AB=AE+EB=5，△BCE的周长=AE+BE+BC=AB+BC=8，∴BC=8－5=3．故答案为：3分析：根据ED为AC上的垂直平分线，得出AE=CE，再根据AB=5，△BCE的周长为AB+BC=8，即可求得BC.18．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC=__________ ．答案：6解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD，∵AC=10，△BDC的周长为16，∴BC=16－AC=16－10=6．故答案为：6分析：先根据DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周长为16即可求出答案.19. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=答案：15解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°－40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°，故答案为：15分析：根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案.20.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= _________．答案：7解析：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，∴PB=PA=7，故答案为：7分析：根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．三、解答题21. 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．答案：解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，则P即为售票中心解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点.22．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数答案：140°解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠B=∠EAB.∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，∴∠B=20°，∴∠AEB=180°－20°－20°=140°.分析：根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案.23．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长答案：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形.（2）30°（3）32解析：解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°－40°）÷2=70°.∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AD=12.∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.24．如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．（1）若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数．（2）若AB=AC，且△BCD的周长为18 cm，△ABC的周长为30 cm，求BE的长.答案：（1）15°；（2）6 cm解析：解：（1）∵∠A=50°，∴∠ABC=∠C=65°.又∵DE垂直平分AB，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=15°．（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AE=BE，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18 cm．∵△ABC的周长=30 cm，∴AB=30－18=12 cm，∴BE=AE=6 cm．分析：（1）已知∠A=50°，易求∠ABC的度数．又因为DE垂直平分AB根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数．（2）同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．25．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B 的度数=26°答案：B解析：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B.设∠B=x，则∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可。
2019版八年级数学下册第一章三角形的证明.等腰三角形第课时教案新版北师大版.doc
第一章三角形的证明1等腰三角形第1课时【教学目标】知识技能目标1.理解作为证明基础的几条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性质定理.2.在证明过程中,掌握推理证明的基本要求,明确条件和结论,能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理.3.熟悉证明的基本步骤和书写格式.过程性目标1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.2.鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性,提高逻辑思维水平.情感态度目标1.启发引导学生体会探索结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.2.培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好学习习惯.【重点难点】重点:探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法.难点:明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等.【教学过程】一、创设情境提醒学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件:1.(推论)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明;2.回忆全等三角形的性质.有了前面的铺垫,学生一般都能得到该推论的证明思路,但由于一个暑假的遗忘,可能部分学生的表述未必严谨、规范,教学中注意提醒学生分析条件和结论,画出简图,写出已知和求证,并规范地写出证明过程.二、探究归纳探究一:活动内容:在提问:“等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?”的基础上,让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中,可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质,然后再以六人为一小组进行交流,互相弥补不足.活动目的:通过折纸活动过程,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸和发展,熟悉证明的基本步骤和书写格式.活动效果与注意事项:由于有了教师引导下学生的活动,以及具体的折纸操作,学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理,当然,可能部分学生得到的定理并不全面,在学生小组的交流中,通过同伴的互相补充,一般都可以得到所有的性质定理.在教学过程中,教师应注意小组的巡视,提醒学生思考多种证明思路,思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”.探究二:活动内容:在学生小组合作的基础上,教师通过分析、提问,和学生一起完成以下两个性质定理的证明,注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后,教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法,让学生明晰证明过程.(1)等腰三角形的两底角相等.(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.活动目的:和学生一起完成性质定理的证明,可以让学生自主经历命题的证明过程;明晰证明过程,给学生一定的规范,起到一种引领作用;活动2则是前面命题的直接推论,力图让学生形成拓广命题的意识,同时也是一个很好的巩固练习.三、交流反思1.具体有关性质定理.2.通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明,为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据.3.体会了证明一个命题的严格的要求,体会了证明的必要性.4.通过这节课的学习,掌握探索的步骤:观察—归纳—猜想—证明;探索出等腰三角形的性质.四、检测反馈学生自主完成P4第2题:如图,在△ABD中,AC⊥BD,垂足为C,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形.(2)求∠BAD的度数.五、布置作业P4习题1.1第1,2题.六、板书设计全等三角形的判定学生板演练等腰三角形的性质七、教学反思本节关注学生已有活动经验的回顾过程,关注了“探索—发现—猜想—证明”的活动过程,关注了学生的自主探究过程,学生学习的主体性发挥较好,应该说取得了较好的教学效果.在具体活动中,如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡,具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整.。
2019版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形第3课时一课一练基础闯关新版北师大版
等腰三角形一课一练·基础闯关题组等腰三角形判定定理的应用1.(xx·新会区期末)下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是( )A.1,1,2B.2,2,5C.3,3,5D.3,4,5【解析】选C.∵1+1=2,无法构成三角形,故A选项错误;∵2+2<5,无法构成三角形,故B选项错误;∵3+3>5,3=3,故组成等腰三角形,故C选项正确;∵3,4,5没有相等的边,不是等腰三角形,故D选项错误.2.(xx·丛台区月考)下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是世纪金榜导学号10164008( )A.∠A=30°,∠B=60°B.AB=5,AC=12,BC=13C.∠A=30°,∠B=75°D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5【解析】选 C.当∠A=30°,∠B=60°时,∠C=90°,不是等腰三角形,A选项错误.当AB=5,AC=12,BC=13,52+122=132,所以是直角三角形,不是等腰三角形,B选项错误;当∠A=30°,∠B=75°,∠C=75°,是等腰三角形,C选项正确,当∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,三个内角度数分别为45°,60°,75°,不是等腰三角形,D选项错误.3.(xx·单县期中)在△ABC中,∠A的相邻外角是70°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B为( )A.70°B.35°C.110°或35°D.110°【解析】选B.∵∠A的相邻外角是70°,∴∠A=180°-70°=110°,∵△ABC为等腰三角形,∴∠B=(180°-110°)=35°.4.(xx·周村区一模)如图,是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )【解析】选B.A.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;B.不能够分成两个等腰三角形;C.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;D.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形.5.如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD=________. 世纪金榜导学号10164009【解题指南】解答本题的关键是:从已知中求出图形中各个角的度数,然后找出相等的角,根据“等角对等边”,将未知CD与已知AB“搭桥”.【解析】∵∠BAC=100°,∠B=40°,∴∠ACB=40°,∵∠D=20°,∴∠CAD=20°,∴CD=AC=AB=3.答案:36.如图,△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于点F,交BC于点E.求证:△DBE是等腰三角形.【证明】因为BA=BC,所以∠A=∠C.因为DF⊥AC于点F,交BC于点E,所以∠C+∠CEF=90°,∠A+∠D=90°,所以∠D=∠CEF.又因为∠CEF=∠DEB,所以∠D=∠DEB,所以BD=BE,所以△DBE是等腰三角形.题组反证法的应用1.用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应假设( )A.四边形中至多有一个角是钝角或直角B.四边形中至少有两个角是钝角或直角C.四边形中四个角都是钝角或直角D.四边形中没有一个角是钝角或直角【解析】选D.因为“至少有一个”的反面是“没有一个”,所以用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设:四边形中没有一个角是钝角或直角.2.(xx·雨城区月考)用反证法证明“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,第一步应假设为世纪金榜导学号10164010( )A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是奇数或至少有两个偶数C.a,b,c都是偶数D.a,b,c中至少有两个偶数【解析】选B.用反证法证明一个命题成立,首先假设命题的否定成立.因为“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反面是“自然数a,b,c中有两个偶数或都是偶数”,因此选B.3.若a∥b,b∥c,证明a∥c.用反证法证明的第一步是先假设_____________ _____.【解析】用反证法证明a∥c时,应先假设a与c不平行.答案:a与c不平行4.用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.【证明】①设等腰三角形底角∠B,∠C都是直角,则∠B+∠C=180°,而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.②设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角,则∠B+∠C>180°,而∠A+∠B+∠C >180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.综上所述,假设①②错误,所以∠B,∠C只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角.【归纳整合】运用反证法应注意的问题1.必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的关键.2.必须明确推理的特点否定结论导出矛盾是反证法的任务,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准.只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,矛盾一经出现,证明即告结束.3.了解矛盾的种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题(定义或基本事实或定理或性质)相矛盾,可能与临时假设矛盾,或推出一对相互矛盾的结果等.(xx·北京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC. 世纪金榜导学号10164011【证明】∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,交AC于点D,∴∠ABD=∠DBC=36°,∠BDC=72°,∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,∴AD=BD=BC,∴AD=BC.【母题变式】[变式一]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,则图中的等腰三角形有( )A.5个B.4个C.3个D.2个【解析】选A.共有5个.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;∵BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°,又BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形.∴图中共有5个等腰三角形.[变式二]如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )图1A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选D.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD=36°,∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形;在△BCD中,∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△BCD是等腰三角形;∵BE=BC,∴BD=BE,∴△BDE是等腰三角形;∴∠BED=(180°-36°)÷2=72°,∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°,∴∠A=∠ADE,∴DE=AE,∴△ADE是等腰三角形;∴图中的等腰三角形有5个.[变式三]如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD,CE分别为△ABC的角平分线,BD,CE相交于O,则图中等腰三角形有( )图2A.5个B.6个C.7个D.12个【解析】选D.∵在等腰△ABC中,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD,CE平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°,∴∠BEC=∠CDB=72°,在△ACE和△ABD中,∵∠A=∠A,AC=AB,∠ACE=∠ABD,∴△ACE≌△ABD,∴AE=AD,∴∠AED=∠ADE=72°,∴∠AED=∠ABC,∴ED∥BC,∴∠CED=∠BDE=36°,∴图中相等的角有:∠A=∠ABD=∠ACE=∠ECB=∠DBC=∠CED=∠BDE=36°,∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDB=∠BOE=∠COD=∠AED=∠ADE=72°,因此等腰三角形有:△ABC,△ADE,△ABD,△ACE,△BDE,△BCE,△BEO;△CDB,△CDE,△CDO,△EDO,△BOC;共12个.[变式四](xx·简阳市期末)如图3,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线BE交AD于点F,则图中共有等腰三角形( )图3A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.∵∠ABC=60°,∠ACB=45°,AD是高,∴∠DAC=45°,∴CD=AD,∴△ADC为等腰直角三角形,∵∠ABC=60°,BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE=30°,在△ABD中,∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-60°-90°=30°,∴∠ABF=∠BAD=30°,∴AF=BF,即△ABF是等腰三角形,在△ABC中,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-45°=75°,∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=EB,即△ABE是等腰三角形,∴等腰三角形有△ACD,△ABF,△ABE,共3个.[变式五] (xx·江都区校级期中)如图4,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=72°,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,它们的交点为F,则图中等腰三角形有________个.【解析】由题意可得:∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°,∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72°,∴△ABC,△ABD,△ACE,△BEF,△CDF,△BCF,△BCE,△BCD均为等腰三角形,∴图中共有8个等腰三角形.答案:8。
2019版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形第4课时一课一练基础闯关新版北师大版
等腰三角形一课一练·基础闯关题组等边三角形判定定理的应用1.(xx·静宁县期中)△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则△ABC是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定【解析】选B.∵△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠A=∠C,∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.2.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是世纪金榜导学号10164012( )A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状【解析】选B.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.∵∠1=∠2,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°,∴△ADE是等边三角形.3.(xx·新城区期中)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则△ADE的周长为( )A.2B.6C.9D.15【解析】选B.∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED=∠B=∠C=60°,∴△ADE为等边三角形,∵AB=5,BD=3,∴AD=AB-BD=2,∴△ADE的周长为6.4.(xx·安陆市期中)△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为________.【解析】∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA=3,∴△ABC的周长为9.答案:95.在△ABC中,∠A=60°,∠ABC,∠ACB所对的边b,c满足b2+c2-4(b+c)+8=0.求证:△ABC是边长为2的等边三角形.世纪金榜导学号10164013【证明】∵b2+c2-4(b+c)+8=0,∴(b-2)2+(c-2)2=0,∴b=c=2,又∵∠A=60°,所以△ABC是边长为2的等边三角形.题组含30°角的直角三角形的性质1.(xx·蒙阴县一模)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )A.mB.4mC.4mD.8m【解析】选B.过C作CM⊥AB于M,则CM=h,∠CMB=90°,∵∠ABC=150°,∴∠CBM=30°,∴h=CM=BC=4m.2.(xx·河池中考)已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF⊥BC 于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,AD的长是( )世纪金榜导学号10164014 A.3 B.4 C.8 D.9【解析】选C.设BD=x,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE⊥AC,EF⊥BC,FG⊥AB,∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°,∴BF=2x,∴CF=12-2x,∴CE=2CF=24-4x,∴AE=12-CE=4x-12,∴AD=2AE=8x-24,∵AD+BD=AB,∴8x-24+x=12,∴x=4,∴BD=4,∴AD=12-4=8.3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD=________.【解析】∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°,∵AD平分∠CAB,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴BD=AD=2CD=2.答案:2【归纳整合】直角三角形的特殊边角关系1.两锐角的关系:直角三角形的两锐角互余.2.三边关系:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.边角之间的关系:在直角三角形中,如果一个内角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.4.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC于点A,世纪金榜导学号10164015(1)求∠BAD的度数.(2)证明:DC=2BD.【解析】(1)∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵∠DAC=90°,∴DC=2AD.∵∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD,∴DC=2BD.【变式训练】在等腰三角形ABC中,AB=AC=2a,底角为15°,求腰上的高CD的长.【解析】∵∠ABC=∠ACB=15°,∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°,又∠ADC=90°,∴CD=AC=×2a=a.如图,△ABC是等边三角形,P为△ABC内部一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵△ABP绕A点逆时针旋转后与△ACP′重合,∴AP=AP′,∠BAP=∠CAP′,∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠CAP+∠CAP′=∠PAP′=60°,∴△APP′为等边三角形,∴PP′=AP=3.【母题变式】[变式一]如图,将△ABC绕点A逆时针旋转60度后得到△AED,连接BE,CD,若∠BAC=30°,则下列说法:①BC=ED;②△ABE和△ACD都是等边三角形;③∠CAE=30°;④AE⊥CD.其中正确的说法是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④【解析】选D.∵△AED由△ABC旋转而成,∴BC=DE,故①正确;∵将△ABC绕点A逆时针旋转60度后得到△AED,∴∠BAE=60°,AB=AE,∴△ABE是等边三角形;同理,∠CAD=60°,AC=AD,∴△ACD是等边三角形,故②正确;∵∠BAE=60°,∠BAC=30°,∴∠CAE=30°,故③正确;∵△ACD是等边三角形,∠CAE=30°,∴AE是∠CAD的平分线,∴AE⊥CD,故④正确.[变式二]如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,下面结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④PQ ∥AC.其中结论正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.∵△ABD,△BCE为等边三角形,∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°,在△ABE和△DBC中,∵AB=DB,∠ABE=∠DBC,BE=BC,∴△ABE≌△DBC(SAS),∴①正确;∵△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC,∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,∴②正确;在△ABP和△DBQ中,∵∠BAP=∠BDQ,AB=DB,∠ABP=∠DBQ=60°,∴△ABP≌△DBQ(ASA),∴BP=BQ,∴△BPQ为等边三角形,∴③正确;∵△BPQ是等边三角形,∴∠PQB=60°,∴∠PQB=∠QBC,∴PQ∥AC,故④正确.[变式三]如图,△ABC是等边三角形,分别延长AB至点F,BC至点D,CA至点E,使AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,求证:△DEF是等边三角形.【证明】∵△ABC是等边三角形,∴∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°.∵AB=BC=CA,AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,∴AF=BD=CE,AE=BF=CD,∴△AEF≌△BFD≌△CDE.∴EF=FD=DE.即△DEF是等边三角形.。
2019版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形第3课时教学课件新版北师大版
【基础梳理】 一、等腰三角形的判定定理 有两个角_相__等__的三角形是等腰三角形,简述为:_等__角__对__ _等__边__.
二、用反证法证明的三个步骤 1.假设命题的_结__论__不成立. 2.从假设出发,推导出与定义、基本事实、已有定理 或已知条件_相__矛__盾__的结果. 3.说明假设不正确,从而证明命题的结论一定成立.
【互动探究】本题中DE与AB有什么数量关系? 【解析】∵∠BAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD, ∴∠BAD=∠EDA, ∴DE=AE, ∵∠B=∠EDB, ∴DE=BE,∴DE=BE=AE= 1 AB.
2
【备选例题】 已知△ABC中,AB=AC,直线DF交AB于点D,交 BC于点E,交AC的延长线于点F,BD=CF, 求证:DE=EF.
【证AB=AC, ∴∠B=∠ACB,∵∠ACB=∠FCG, ∴∠G=∠FCG,∴FC=FG,
又∵BD=CF,∴BD=GF, 又∵∠BED=∠GEF, ∴△BDE≌△GFE, ∴DE=EF.
【微点拨】 证明等腰三角形的方法
【自我诊断】
1.判断对错:
(1)只要两个角相等,那么它们所对的边也相等. ( × )
(2)在两个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对
的边也相等. ( × )
2.用反证法证明“a>b”时应假设 ( D )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a≤b
3.如果一个三角形的两个内角分别为80°和50°,则
这个三角形为 ( C )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
知识点一 等腰三角形判定定理的应用 【示范题1】(9分)(2017·内江中考)如图,AD平分 ∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC. 求证:△BDE是等腰三角形.
八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.2等腰三角形练习北师大版(new)
第一章三角形的证明1 等腰三角形（第2课时)基础导练1．若△ABC的三边长分别为a,b，c满足(a－b）（b－c）·（c－a)＝0，那么△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．锐角三角形2．下列条件中，不能得到等边三角形的是( ）A．有两个内角是60°的三角形B．有两边相等且是轴对称的三角形C．有一个角是60°且是轴对称的三角形D．三边都相等的三角形3．如图,已知∠A＝∠B，CE∥DA,CE交AB于E,且BC＝10，AD＝9,则CE＝．4．如图，AD和BC交于点O,AB∥DC，OA＝OB,试说明△OCD是等腰三角形．能力提升5．在折纸游戏中，将一条两边沿互相平行的纸带如图3折叠,小明在游戏中发现:不管折叠角是锐角、直角或钝角,△PEF始终是等腰三角形．你认为他的想法对吗？请说明理由．6．如图4,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,DE∥AB,交AC于点E，判断△ADE是不是等腰三角形，并说明理由．7．如图所示，△ABC是等边三角形，CD是AB边上的高，延长CB到E使BE＝BD，连接DE.（1)请你写出图中的一个等腰三角形（除△ABC外，不必说明理由）．(2)如果已知AC＝2 013 cm,你能求出图中CE的长吗?试试看．（3)把“CD是AB边上的高”改成什么条件仍能使（1）（2）成立?参考答案1．A2．B3．105．解：正确．由折叠,得∠PEF＝∠FEC′。
又因为BD′∥AC′,所以∠FEC′＝∠PFE。
所以∠PEF＝∠PFE，所以PE＝PF。
所以△PEF是等腰三角形．6．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,所以∠BAD＝∠CAD(等腰三角形三线合一定理）．因为DE∥AB,所以∠BAD＝∠ADE(两直线平行，内错角相等），所以∠CAD＝∠ADE,所以AE＝DE，所以△ADE是等腰三角形．7．解:（1）△BDE为等腰三角形；(2）因为△ABC为等边三角形,所以AB＝AC＝2 013 cm；又因为CD是AB边上的高，所以BD＝错误!AB＝1 006.5 cm，所以BE＝BD＝1 006。
(完整版)八年级下_第一章_三角形的证明_(知识点总结和习题练习),推荐文档
第一章三角形的证明—重要知识点：1、全等三角形(1)性质=辛等三角飛的対应功、対应角相罢。
(2)判定=“SAS”、SSS 、 AAS ASA 、HL(直角三角形)。
2、二免(1)性质：①^睽三角形的两底角相等。
(“等边对等角”)@腰三角形的顶角平分线、底边b的中线、底边上的髙线互相重合 (三线合一)。
(2)判定：① 有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)(3)反证法：先假设令题的结说不成立，然后推导出与已知条件相矛盾的结果命題：由条件和结论组成逆錄：由结轮和条件组成3、等边三角形(1) 定义：的三角形是等边三角形。
(2) 性质：①三个内角都等于60度，三条边都相等②具有等腰三角形的一^性质。
(3) 判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形②个角等于6Q度的等瞪三角形是等边三角形。
4、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(2)定理：在直角三角中，斜边上的中线等于斜边的一半(3)直角三角形的两锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形(4)勾股定理；直角三角形两条直角垃的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形(5) “斜边、直角垃”或“HL”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等5、线段的垂i平分线C1)线段的垂直平分线上的点到送条线段的两个端点的距离相等(2)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上6、角平分线(1)角平分线上的点到送个叫的两边的距离相等(2)在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在送个角的平分线上二、考点：考点1等腰三角形的性质1-己知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 80 °2.等腰三角形的两条边长分别为5 on和6 cm，则它的周长是3.已知等腰三角形.4BC的腰4B=AC=10 cm，底边BC=12 cm，则八4BC的角平分线AD的长是考点2等腰三角形的判定1.如图15 — 4,在中，ZB = ZC, AB=S,贝［（AC 的长为（）A* 2 B. 3 C. 4 D. 52. 如图15—5，在AABC 中，AB=AC,点£＞，£在忍6：途上，^ABD = ^DAE=^EAC=36a ,则图中共有等腰三角形的个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7考点3等垃三角形的性质1.边长为6 cni的等边三角形中，其一边上高的长度.2.如圈15—6,己知A.4BC是等逊三角形，点B r C, D, E在同一直线上，且CGr = CD, DF=DE,贝度.考点3等边三角形的性质1.边长为6 的等边三角形中，其一边上高的长度.2.如图15—6,已知AABC是等边三角形，点忍，C, D, E在同一直线上，且CG=CD, DF=DE,贝 _____________________________ 度.1.在RtAASC 中，^ACB = 90°、AB = 10, CD 是AB 逊上的中线，贝CD 的长是（）A. 20B. 10C. 5D.-2.在AASC 中，^C=90°，^ABC=60°，SD 平分交AC 于点Z>，若A/> = 6，则CD= .考点5勾股定理及其逆定理1.在RtAABC 中，ZC = 90。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等腰三角形一课一练·基础闯关题组等腰三角形判定定理的应用1.(2017·新会区期末)下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是( )A.1,1,2B.2,2,5C.3,3,5D.3,4,5【解析】选 C.∵1+1=2,无法构成三角形,故A选项错误;∵2+2<5,无法构成三角形,故B选项错误;∵3+3>5,3=3,故组成等腰三角形,故C选项正确;∵3,4,5没有相等的边,不是等腰三角形,故D选项错误.2.(2017·丛台区月考)下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是世纪金榜导学号10164008( )A.∠A=30°,∠B=60°B.AB=5,AC=12,BC=13C.∠A=30°,∠B=75°D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5【解析】选 C.当∠A=30°,∠B=60°时,∠C=90°,不是等腰三角形,A选项错误.当AB=5,AC=12,BC=13,52+122=132,所以是直角三角形,不是等腰三角形,B选项错误;当∠A=30°,∠B=75°,∠C=75°,是等腰三角形,C选项正确,当∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,三个内角度数分别为45°,60°,75°,不是等腰三角形,D选项错误.3.(2017·单县期中)在△ABC中,∠A的相邻外角是70°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B为( )A.70°B.35°C.110°或35°D.110°【解析】选B.∵∠A的相邻外角是70°,∴∠A=180°-70°=110°,∵△ABC为等腰三角形,∴∠B=(180°-110°)=35°.4.(2017·周村区一模)如图,是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )【解析】选B.A.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;B.不能够分成两个等腰三角形;C.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;D.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形.5.如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD=________. 世纪金榜导学号10164009【解题指南】解答本题的关键是:从已知中求出图形中各个角的度数,然后找出相等的角,根据“等角对等边”,将未知CD与已知AB“搭桥”.【解析】∵∠BAC=100°,∠B=40°,∴∠ACB=40°,∵∠D=20°,∴∠CAD=20°,∴CD=AC=AB=3.答案:36.如图,△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于点F,交BC于点E.求证:△DBE是等腰三角形.【证明】因为BA=BC,所以∠A=∠C.因为DF⊥AC于点F,交BC于点E,所以∠C+∠CEF=90°,∠A+∠D=90°,所以∠D=∠CEF.又因为∠CEF=∠DEB,所以∠D=∠DEB,所以BD=BE,所以△DBE是等腰三角形.题组反证法的应用1.用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应假设( )A.四边形中至多有一个角是钝角或直角B.四边形中至少有两个角是钝角或直角C.四边形中四个角都是钝角或直角D.四边形中没有一个角是钝角或直角【解析】选D.因为“至少有一个”的反面是“没有一个”,所以用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设:四边形中没有一个角是钝角或直角.2.(2017·雨城区月考)用反证法证明“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,第一步应假设为世纪金榜导学号10164010( )A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是奇数或至少有两个偶数C.a,b,c都是偶数D.a,b,c中至少有两个偶数【解析】选B.用反证法证明一个命题成立,首先假设命题的否定成立.因为“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反面是“自然数a,b,c中有两个偶数或都是偶数”,因此选B.3.若a∥b,b∥c,证明a∥c.用反证法证明的第一步是先假设_____________ _____.【解析】用反证法证明a∥c时,应先假设a与c不平行.答案:a与c不平行4.用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.【证明】①设等腰三角形底角∠B,∠C都是直角,则∠B+∠C=180°,而∠A+∠B+∠C=180°+∠A>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.②设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角,则∠B+∠C>180°,而∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.综上所述,假设①②错误,所以∠B,∠C只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角.【归纳整合】运用反证法应注意的问题1.必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的关键.2.必须明确推理的特点否定结论导出矛盾是反证法的任务,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准.只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,矛盾一经出现,证明即告结束.3.了解矛盾的种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题(定义或基本事实或定理或性质)相矛盾,可能与临时假设矛盾,或推出一对相互矛盾的结果等.(2017·北京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC. 世纪金榜导学号10164011【证明】∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,交AC于点D,∴∠ABD=∠DBC=36°,∠BDC=72°,∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠C,∴AD=BD=BC,∴AD=BC.【母题变式】[变式一]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,则图中的等腰三角形有( )A.5个B.4个C.3个D.2个【解析】选A.共有5个.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;∵BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°,又BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形.∴图中共有5个等腰三角形.[变式二]如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )图1A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选D.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD=36°,∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形;在△BCD中,∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△BCD是等腰三角形;∵BE=BC,∴BD=BE,∴△BDE是等腰三角形;∴∠BED=(180°-36°)÷2=72°,∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°,∴∠A=∠ADE,∴DE=AE,∴△ADE是等腰三角形;∴图中的等腰三角形有5个.[变式三]如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD,CE分别为△ABC的角平分线,BD,CE相交于O,则图中等腰三角形有( )图2A.5个B.6个C.7个D.12个【解析】选D.∵在等腰△ABC中,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD,CE平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°,∴∠BEC=∠CDB=72°,在△ACE和△ABD中,∵∠A=∠A,AC=AB,∠ACE=∠ABD,∴△ACE≌△ABD,∴AE=AD,∴∠AED=∠ADE=72°,∴∠AED=∠ABC,∴ED∥BC,∴∠CED=∠BDE=36°,∴图中相等的角有:∠A=∠ABD=∠ACE=∠ECB=∠DBC=∠CED=∠BDE=36°,∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDB=∠BOE=∠COD=∠AED=∠ADE=72°,因此等腰三角形有:△ABC,△ADE,△ABD,△ACE,△BDE,△BCE,△BEO;△CDB,△CDE,△CDO,△EDO,△BOC;共12个.[变式四](2017·简阳市期末)如图3,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线BE交AD于点F,则图中共有等腰三角形( )图3A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选B.∵∠ABC=60°,∠ACB=45°,AD是高,∴∠DAC=45°,∴CD=AD,∴△ADC为等腰直角三角形,∵∠ABC=60°,BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE=30°,在△ABD中,∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-60°-90°=30°,∴∠ABF=∠BAD=30°,∴AF=BF,即△ABF是等腰三角形,在△ABC中,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-45°=75°,∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=EB,即△ABE是等腰三角形,∴等腰三角形有△ACD,△ABF,△ABE,共3个.[变式五](2017·江都区校级期中)如图4,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=72°,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,它们的交点为F,则图中等腰三角形有________个.【解析】由题意可得:∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°,∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72°,∴△ABC,△ABD,△ACE,△BEF,△CDF,△BCF,△BCE,△BCD均为等腰三角形,∴图中共有8个等腰三角形.答案:8。