2.3.2向量的坐标(2)(学生版)

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【人教A版】高中数学必修第二册：9.3.2.2-向量数量积的坐标表示同步教案(学生版-教师版)

【人教A 版】高中数学必修第二册第九章§9.3.2.2 向量数量积的坐标表示目标要求1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．3、理解并掌握向量模的问题．4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量模的问题；难点：向量夹角、垂直问题．教学过程基础知识点2.平面向量数量积的坐标表示的结论结论a =,),(,y x y 21()(a x x =-+向量(a x =ab a ⊥⇔2.平面向量数量积的坐标表示的结论条件结论121a bx =+(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.【思考】已知向量(,)a x y =,则与a 共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题错误．．的是 ( )A .向量的模等于向量坐标的平方和.B .若向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则12210a b x y x y ⊥⇔-=.C .两个非零向量同向时，有a b a b ⋅=.D .若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.题2.若向量(3,),(1,2)a m b =-=-,且a b ⊥,则实数m 的值为________.题3.已知向量a =(2,2),b =(-8,6),a 与b 的夹角为θ,则cos θ=______.【关键能力·合作学习】类型一数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】题4.若(2,3),(,2)a b x x =-=,且34a b ⋅=,则x 等于 ( ) A .3 B .13 C .13- D .-3题5.如图,在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =2,D ,E 是线段BC 上的点,且DE =13BC ,则AD AE ⋅的取值范围是 ( )A.84[,]93B.48[,]33C.88[,]93 D 4[,)3+∞题6.若(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=,则()a b c ⋅⋅=________;()a b c ⋅⋅=________.【解题策略】关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时,要正确使用公式1122(,),(,)a x y b x y ==及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.【补偿训练】题7.已知向量(2,1),(1,),(2)0a b k a a b ==-⋅-=,则k = ( ) A .-12 B .-6C .6D .12题8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是 ( ) A .-2 B .32-C .43- D .-1类型二向量模的问题(数学运算)【典例】题9.已知向量(3,5),(2,1)a b ==-.(1) 求2a b -的坐标及模;(2)若()c a a b b =-⋅⋅,求c .【解题策略】向量模的问题(1)字母表示下的运算,利用22a a =将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算,若(,)a x y =,则2a x =+【跟踪训练】题10.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4),(1,3)AB AC ==,则BD = ________.【补偿训练】题11.已知213,(3,2)a b ==-,若//a b ,求a b +的坐标及a b +. .类型三向量夹角、垂直问题(数学运算) 角度1 平面向量的夹角问题【典例】题12.已知(1,1),(,1)a b λ=-=,若a 与b 的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.【变式探究】题13.已知(1,2),(1,)a b λ==,a 与b 的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.角度2 平面向量的垂直问题【典例】题14.已知向量(1,2),(3,1)a b ==-,向量,3x ka b y a b =+=-. (1)求向量,x y 的坐标; (2)若x y ⊥,求实数k 的值.【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用2a x y =+.(3)求夹角余弦值.由公式cos θ=求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量,a b 垂直问题时,一般借助12120a b a b x x y y ⊥⇔⋅=+=来解决.【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 是坐标平面内的三个点,则31213121()()()()0AC AB x x x x y y y y ⊥⇔-⋅-+-⋅-=.2.向量共线的条件由cos θ=可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有1212x x y y +=,利用此结论也可以判断两向量1122(,),(,)a x y b x y ==是否共线.【拓展训练】题15.已知A (-2,1),B (6,-3),C (0,5),则△ABC 的形状是 ( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形题16.已知向量(1,2),(2,3),(4,5)a b c ==-=,若()a b c λ+⊥,则实数λ= ( )A .12-B .12C .-2D .2题17.已知向量(1,1),(3,4)a b ==-. (1)求a b -的值;(2)求向量a 与a b -夹角的余弦值.【补偿训练】题18.已知(1,1),(0,2)a b ==-,当k 为何值时, (1)ka b -与2a b +垂直;(2)ka b -与a b +的夹角为120°.备选类型用向量解代数问题(数学建模)【典例】题19.求函数()f x =.【解题策略】向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题. 【跟踪训练】题20.已知a ,b ,m ,n ∈R ,设22222()()()a b m n am bn ++=+,其中mn ≠0,用向量方法求证:a b m n=.【课堂检测·素养达标】题21.设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=,则(2)a b c +⋅= ( ) A .12B .0C .-3D .-11题22.已知平面向量(1,2),(3,4)AB AC ==，则向量CB 的模是 ( )ABC .D .5题23.已知向量(4,3),(6,)a b m =-=,且a b ⊥,则m =______.题24.已知(4,3),(5,12)a b ==-,则,a b 夹角的余弦值等于________.题25.已知(1,2),(3,1),(4,3)a b c =-=-=. 求2,()(),(),()a b a b a b a c b a b ⋅+⋅-+⋅-.§9.3.2.2 向量数量积的坐标表示目标要求1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．3、理解并掌握向量模的问题．4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量模的问题；难点：向量夹角、垂直问题．教学过程基础知识点2.平面向量数量积的坐标表示的结论结论2a x = +,),(,y x y 21()a x x =-+2.平面向量数量积的坐标表示的结论121a b x=+(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.【思考】已知向量(,)a x y=,则与a共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?提示:与a共线的单位向量是a,则02aaa x=±=±=±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向;易知(,)b y x=-和(,)a x y=垂直,所以与a垂直的单位向量b的坐标是±.【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题错误．．的是 ( )A.向量的模等于向量坐标的平方和.B.若向量1122(,),(,)a x yb x y==,则1221a b x y x y⊥⇔-=.C.两个非零向量同向时，有a b a b⋅=.D.若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.【答案】选ABD提示:A×.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.B×.1212a b x x y y⊥⇔+=.C√.两个非零向量同向时，夹角为0，有cos0a b a b a b⋅==.D×. 当两个向量方向相反时,它们的夹角θ=180°满足cosθ=-1<0.题2.若向量(3,),(1,2)a m b=-=-,且a b⊥,则实数m的值为________.【解析】因为a b ⊥,所以(3,)(1,2)320a b m m ⋅=-⋅-=--=,解得32m =-. 答案: 32-题3.已知向量a =(2,2),b =(-8,6),a 与b 的夹角为θ,则cos θ=______. 【解析】22222cos cos ,22(8)6a b a b a bθ⋅=<>===-+⨯-+. 答案: 210-关键能力·合作学习类型一数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】题4.若(2,3),(,2)a b x x =-=,且34a b ⋅=,则x 等于 ( ) A .3 B .13 C .13- D .-3 【解析】选C .因为33(2,3)(,2)(6,9)(,2)618124a b x x x x x x x ⋅=-⋅=-⋅=-=-=, 所以13x =-.题5.如图,在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =2,D ,E 是线段BC 上的点,且DE =13BC ,则AD AE ⋅的取值范围是 ( )A.84[,]93B.48[,]33C.88[,]93 D 4[,)3+∞【解析】选A .如图所示,以BC 所在直线为x 轴,以BC 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (0,1),B (-1,0),C (1,0),设D (x ,0),则21(,0)(1)33E x x +-≤≤，据此有2(,1),(,1)3AD x AE x =-=+-，则222181()339AD AE x x x ⋅=++=++，据此可知当13x =-时, AD AE ⋅取得最小值89;当1x =-或13时，AD AE ⋅取得最大值43，所以AD AE ⋅的取值范围是84[,]93.题6.若(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=,则()a b c ⋅⋅=________;()a b c ⋅⋅=________. 【解析】因为2(1)3(2)8a b ⋅=⨯-+⨯-=-, 所以()8(2,1)(16,8)a b c ⋅⋅=-⨯=--. 因为(1)2(2)14b c ⋅=-⨯+-⨯=-, 所以()(2,3)(4)(8,12)a b c ⋅⋅=⨯-=--. 答案:(-16,-8) (-8,-12) 【解题策略】关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时,要正确使用公式1122(,),(,)a x y b x y ==及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法. 【补偿训练】题7.已知向量(2,1),(1,),(2)0a b k a a b ==-⋅-=,则k = ( ) A .-12B .-6C .6D .12【解析】选D . 2(4,2)(1,)(5,2)a b k k -=--=-,由(2)0a a b ⋅-=,得(2,1)·(5,2-k )=0,所以10+2-k =0,解得k =12.题8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是 ( ) A .-2 B .32-C .43- D .-1 【解析】选B .以BC 所在的直线为x 轴,BC 的垂直平分线AD 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,可知A 3B (-1,0),C (1,0).设P (x ,y ),则(,3),(1,),(1,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--，所以(2,2)PB PC x y +=--.所以222333()22(3)22(222PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+---≥，当点P 的坐标为3(0,2时, ()PA PB PC ⋅+取得最小值为32-. 类型二向量模的问题(数学运算)【典例】题9.已知向量(3,5),(2,1)a b ==-.(1)求2a b -的坐标及模;(2)若()c a a b b =-⋅⋅,求c . 四步内容理解题意条件: (3,5),(2,1)a b ==-.(2)若()c a a b b =-⋅⋅, 结论:(1)a -2b 的坐标及模;(2)|c |.思路探求(1)先运用线性运算求2a b -的坐标,再用公式求模;(2)先运用线性运算求c的坐标,再用公式求模书写表达(1)222(3,5)2(2,1)(7,3),27358a b a b -=--=-=+=.(2) (3,5)(2,1)3(2)511a b ⋅=⋅-=⨯-+⨯=-,所以()(3,5)(2,1)(1,6)c a a b b =-⋅⋅=+-=,所以21637c =+=.①注意向量书写规范,向量与坐标之间用等号;②注意求模不要忽略根号.题后反思在()a b b ⋅⋅中,前面的a b ⋅是数值, ()a b b ⋅⋅相当于数乘运算.【解题策略】向量模的问题(1)字母表示下的运算,利用22a a =将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算,若(,)a x y =,则2a x =+【跟踪训练】题10.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4),(1,3)AB AC ==,则BD = ________.【解析】因为在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线, (2,4),(1,3)AB AC ==,所以(1,3)(2,4)(1,1)AD BC AC AB ==-=-=--, 所以(1,1)(2,4)(3,5)BD AD AB =-=---=--,则(BD =-=.答案【补偿训练】题11.已知213,(3,2)a b ==-,若//a b ,求a b +的坐标及a b +. 【解析】设(,)a x y =,则由213a =,得2252x y +=.由//a b ,可知2x +3y =0,解方程组2252,230,x y x y ⎧+=⎨+=⎩得6,4,x y =-⎧⎨=⎩或6,4,x y =⎧⎨=-⎩所以(6,4)a =-或(6,4)a =-,所以(3,2)a b +=-或(9,6)a b +=-,所以2222(3)213,9(6)a b a b +=-+=+=+-=类型三向量夹角、垂直问题(数学运算) 角度1 平面向量的夹角问题【典例】题12.已知(1,1),(,1)a b λ=-=,若a 与b 的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围. 【思路导引】,a b 的夹角θ为钝角等价于0a b ⋅<且θ≠180°. 【解析】因为(1,1),(,1)a b λ=-=,所以22,1,1a ba b λλ==+⋅=-.因为,a b 的夹角θ为钝角,所以10,1,λλ-<⎧⎪≠-即21,210,λλλ<⎧⎨++≠⎩所以λ<1且λ≠-1.所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 【变式探究】题13.已知(1,2),(1,)a b λ==,a 与b 的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由已知得, (1,2)(1,)12a b λλ⋅=⋅=+.因为a 与b 的夹角为锐角,所以cos θ>0且cos θ≠1,所以0a b ⋅>且,a b 不同向.由0a b ⋅>,得12λ>-,由a 与b 同向得λ=2. 所以实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2-+∞.角度2 平面向量的垂直问题【典例】题14.已知向量(1,2),(3,1)a b ==-,向量,3x ka b y a b =+=-. (1)求向量,x y 的坐标; (2)若x y ⊥,求实数k 的值.【思路导引】(1)根据向量的坐标运算可得出答案; (2)根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程得出答案.【解析】(1)因为(1,2),(3,1)a b ==-,所以(1,2)(3,1)(3,21)x ka b k k k =+=+-=-+，3(1,2)3(3,1)(10,1)y a b =-=--=-.(2)因为x y ⊥,所以0x y ⋅=,即10(3)(21)0k k --+=，解得318k =. 【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用2a x y =+.(3)求夹角余弦值.由公式cos θ=求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量,a b 垂直问题时,一般借助12120a b a b x x y y ⊥⇔⋅=+=来解决. 【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 是坐标平面内的三个点,则31213121()()()()0AC AB x x x x y y y y ⊥⇔-⋅-+-⋅-=.2.向量共线的条件由cos θ=可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有1212x x y y +=,利用此结论也可以判断两向量1122(,),(,)a x y b x y ==是否共线.【拓展训练】题15.已知A (-2,1),B (6,-3),C (0,5),则△ABC 的形状是 ( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形【解析】选A .由题设知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以AB AC ⊥,所以∠BAC =90°,故△ABC 是直角三角形. 【题组训练】题16.已知向量(1,2),(2,3),(4,5)a b c ==-=,若()a b c λ+⊥,则实数λ= ( ) A .12-B .12C .-2D .2 【解析】选C .因为(1,2),(2,3)a b ==-,所以(12,23)a b λλλ+=-+，又()a b c λ+⊥,所以()0a b c λ+⋅=, 即4(12)5(23)0λλ-++=，解得λ=-2. 题17.已知向量(1,1),(3,4)a b ==-. (1)求a b -的值;(2)求向量a 与a b -夹角的余弦值.【解析】(1)因为(4,3)a b -=-,所以5a b -=;(2)由(1)知()(1,1)(4,3)141(3)1,2,5a a b a a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯-==-=,所以()cos ,52a ab a a b a a b⋅-<->===- 【补偿训练】题18.已知(1,1),(0,2)a b ==-,当k 为何值时, (1)ka b -与2a b +垂直;(2)ka b -与a b +的夹角为120°.【解析】因为(1,1),(0,2)a b ==-,(1,1)(0,2)(,2)ka b k k k -=--=+,2(1,1)(0,4)(1,3)a b +=+-=-,(1,1)(0,2)(1,1)a b +=+-=-.(1)因为ka b -与2a b +垂直,所以k -3k -6=0,所以k =-3, 即当k =-3时,ka b -与2a b +垂直.(2)因为2ka b k -=+21(a b +=+=()()(,2)(1,1)22ka b a b k k k k -⋅+=+⋅-=--=-，因为ka b -与a b +的夹角为120°,所以()()cos120ka b a b ka b a b-+=-+，即12-=化简整理,得2220k k +-=,解得1k =-±即当1k =-±,ka b -与a b +的夹角为120°. 备选类型用向量解代数问题(数学建模)【典例】题19.求函数()f x =.【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型求解.【解析】设(12,5),(19,a b x ==-，则1219a b ⋅=，因为(12,5),(19,a b x ==-，所以13,3a b ==, 又因为a b a b ⋅≤,所以13339a b ⋅⨯=≤,当且仅当,a b 共线时,等号成立,即0=，解得1915169x =，当1915169x =时,a b ⋅的最大值为39,即函数()f x =39.【解题策略】向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.【跟踪训练】题20.已知a ,b ,m ,n ∈R ,设22222()()()a b m n am bn ++=+,其中mn ≠0,用向量方法求证:a b m n=. 【证明】设(,),(,)c a b d m n ==,且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°), 则222222,,c d am bn c a b dm n ⋅=+=+=+,因为22222()()()a b m n am bn ++=+, 所以222()cd c d =⋅,又cos c d c d θ⋅=,所以22cos 1θ==,所以2cos 1θ=,又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即//c d , 所以an -bm =0,又mn ≠0,所以a bm n=. 课堂检测·素养达标题21.设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=,则(2)a b c +⋅= ( ) A .12B .0C .-3D .-11【解析】选C .因为(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=,所以2(5,6)a b +=-,所以(2)(5,6)(3,2)15123a b c +⋅=-⋅=-+=-. 题22.已知平面向量(1,2),(3,4)AB AC ==，则向量CB 的模是 ( )ABC .D .5【解析】选C .因为向量(1,2),(3,4)AB AC ==，所以(1,2)(3,4)(2,2)CB AB AC =-=-=--，所以22CB =题23.已知向量(4,3),(6,)a b m =-=,且a b ⊥,则m =______.【解析】因为向量(4,3),(6,),a b m a b =-=⊥,所以0a b ⋅=,即-4×6+3m =0,m =8. 答案:8题24.已知(4,3),(5,12)a b ==-,则,a b 夹角的余弦值等于________.【解析】因为(4,3),(5,12)a b ==-,所以203616a b ⋅=-+=.又5,13a b ==, 设a 与b 的夹角为θ,所以1616cos 51365a b a bθ⋅===⨯. 答案:1665题25.已知(1,2),(3,1),(4,3)a b c =-=-=. 求2,()(),(),()a b a b a b a c b a b ⋅+⋅-+⋅-. 【解析】因为(1,2),(3,1),(4,3)a b c =-=-=, 所以(4,3),(2,1),(3,5)a b a b a c +=--=+=, 所以(1,2)(3,1)325a b ⋅=-⋅-=+=,()()(4,3)(2,1)835a b a b +⋅-=-⋅=-+=-, ()(3,5)(3,1)954a c b +⋅=⋅-=-+=-,222()(2,1)(2,1)215a b -=⋅=+=.。

2.3.2《空间向量基本定理》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1

2
2
= 1 AD + AC AB 2
（2）MN = 1 CD = 1 AD AC
2
2
EF MN = 1 AD + AC AB 1 AD AC
2
2
= 1
2
2
AD AC
=0
4
江西省新余市第一中学
刘斌
03 问题探究
如果向量e1 ,e2 ,e3是空间三个不共面的向量, a 是空间任一向量,
05 典例讲评
练习2 .如图，已知三棱锥O - ABC ,M 为 AB 中点, N为OM中点，OA OB OC 1 , 且OA,OB,OC 两两垂直，
(1)试用AO, AB, AC 表示CN ;
解: (1)
因为 CN = AN AC
= 1 AO AM AC 2
=
1 2
AO
1 2
AB
面的向量作为基底表 2.从上节课的空间向量的正交分解到本节课的空间向量基本
示其它向量，并解决定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义.
一些简单问题
07 课后作业
1. O, A,B,C 为空间中的四点，且向量 OA,OB,OC 不能构成空间中的一个基底，则（） A. OA,OB,OC 共线 B. OA,OB 共线 C.OB,OC 共线 D.O, A,B,C四点共面
c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,
则 a,b,c 构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①为真命题,构成基底的向量
必须不共面; ②为真命题;
③为假命题,a,b不共线,
当 c = λa + μb λ, μ R且λμ 0 ,

空间向量的分解与坐标表示教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册

第二章空间向量与立体几何2．3空间向量基本定理及坐标表示2．3.1空间向量的分解与坐标表示新课程标准解读核心素养1．了解空间向量的基本定理及其意义数学抽象、直观想象2．掌握空间向量的正交分解及坐标表示数学抽象、数学运算教学设计一、目标展示二、情境导入如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3.问题(1)e1，e2，e3共面吗？―→(2)如何用e1，e2，e3表示向量AC1三、合作探究知识点一共面向量1．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．2．向量共面的充要条件(1)如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x e1＋y e2．这就是说，向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示．(2)在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面．知识点二空间向量基本定理1．设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝x e1＋y e2＋z e3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝x e1＋y e2＋z e3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′．2．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝x e1＋y e2＋z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标．知识点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2．空间向量的直角坐标表示(1)在空间中任意取一点O 为原点，分别以标准正交基{i ，j ，k }中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 用从原点O 出发的有向线段OP ―→表示，则有向线段的终点P 对应于这个向量p .(2)向量p ＝OP ―→在标准正交基{i ，j ，k }下的坐标(x ，y ，z )就是点P 在这个直角坐标系中的坐标．(3)标准正交基的基向量的坐标分别是i ＝(1，0，0)，j ＝(0，1，0)，k ＝(0，0，1)．(4)一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．(5)向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在相应坐标轴上的坐标．四、精讲点拨【例1】已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．(1)OM ―→＋OB ―→＝3OP ―→－OA ―→；(2)OP ―→＝4OA ―→－OB ―→－OM ―→.【例2】 (1)下列能使向量MA ―→，MB ―→，MC ―→成为空间的一组基的关系式是( )A ．OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→ B ．MA ―→＝MB ―→＋MC ―→C ．OM ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→D ．MA ―→＝2MB ―→－MC ―→(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一组基，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【例3】如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.。

2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角．考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角．考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

2.3.2平面向量基本定理(2)

丽水中学2009届高一数学
【例题剖析】
例3、已知OA、OB不共线，设OC=aOA+bOB，求证：A、C、B 三点共线的充要条件是a+b=1. 【解题回顾】由本题证明过程可知，若C是AB中点，则有
1 OC = (OA+OB).利用本题结论，可解决一类几何问题. 2
思考题：平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=1/3BD，求证：M、N、C三点共线。
x
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思考: （ 1 ）已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 怎样求 AB
的坐标 ?
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
y
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )
O
x
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思考2:
（2）你能标出坐标为(x2 x1, y2 y1)的P点吗？
例 1、在平行四边形 ABCD中，设对角线 AC=a,BD=b ，试用 a,b表示AB，BC. D
C A B
【解题回顾】解法1应用向量加、减法的定义直接求解；
解法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法.
思考题：已知G是 GA+GB+GC=0
ABC的重心，求证：
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【例题剖析】
其中e1， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
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向量的夹角:
已知两个非零向量 a、 b , 作OA a ,
b的 OB b , 记AOB , 叫向量a、夹角.
当 0 , a、 b同向;
o

人教版数学必修四：2.3.2向量的坐标(2)(学生版)

课题 2.3.2平面向量的坐标运算（2）总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】1．理解平面向量平行的含义，掌握平面向量平行的坐标表示2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。

【重点难点】学习重点：平面向量共线的充要条件，学习难点：平面向量共线的充要条件的灵活运用。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1：向量a=()41-，与b=()82，-是否平行？问题2：设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)（a ≠0）如果a ∥b ，则问题3：如果x 1 y 2- x 2y 1=0，则二、知识建构与应用：向量平行的坐标表示：设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)（a ≠0），如果a ∥b ，则x 1 y 2- x 2y 1=0；如果x 1 y 2- x 2y 1=0，那么a ∥b .证明：三、例题讲解例1 已知a =（1，0），b =（2，1），当实数k 为何值时，向量k a -b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向？例2 设()()(),,10,5,4,12,k k ===当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？例3 已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为（0，0），（3，4），（-1，2），（1，1），是否存在常数t ，使得OC OB t OA =+成立？解释你所得结论的几何意义.四、巩固练习1．已知(1,2)a =--，(2,4)b =，求证：//a b .2．已知向量(4,3)a =，(6,)b y =，且//a b ，求实数y 的值.3．已知□ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1),(1,3),(3,1)A B C -，求第四个顶点D 的坐标.4．已知(0,2),(2,2),(3,4)A B C -，求证：,,A B C 三点共线.5．已知A(-3，－2)，B(－2，－4). 若AC → = 3AB →，求点C 的坐标.。

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标:会根据向量的坐标，判断向量是否共线教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教学过程: 、复习引入:平面向量基本定理：如果 e , e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数入1,入2使a = x 10+入2e 2(2)基底不惟一，关键是不共线;二、讲解新课:1 .平面向量的坐标表示其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O 2②式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为 (x,y). • ••••••••••特别地，i (1,0) , j (0,1) , 0 (0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点0为起点作OA a ，则点A 的位置由a 唯一确定.(1) 理解平面向量的坐标的概念; (2) 掌握平面向量的坐标运算;⑴我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (3)由定理可将任一向量a 在给出基底 e i 、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量如图，在直角坐标系内，我们分别取与底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 y ，使得 i 、j 作为基a xi yj …… ……O 1O11 1我们把(x, y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作rAa (x,y) ••….... O 2 Oox设OA xi yj ，则向量OA 的坐标（x, y ）就是点A 的坐标；反过来，点 A 的坐标（x, y ）也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表2 .平面向量的坐标运算(1 ) 若 a(X 1, y 1)， b (X 2,y 2)，则a b (X 1 X 2,y 1 y 2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB OA =( X 2，y 2) (X 1，y 1)= (X 2 X 1， y 2 y 1)(3)若 a (X, y)和实数，则 a ( X , y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j ，则a (Xi yj) xi yj ，即 a (X, y)三、讲解范例:例 1 已知 A （X 1，y i ）， uuu B （x 2， y 2），求AB 的坐标. r例2已知a =（2, 1）, r r 3a +4b 例3已知平面上三点的坐标分别为 A （ 2， 1）， B （ 1， 3），这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为 ABCD 时，由AB DC 得D I =（2 , 2）b= 0C （3, 4）,求点D 的坐标使当平行四边形为ACDB 时，得D 2=（4, 6），当平行四边形为 DACB 时，得D 3=（ 6， 0）例 4 已知三个力 F , (3， 4)， F 2 (2， 5), F 3(X ,y)的合力 F , + F 2+ F 3 =0，求F 3a b (X 1 X 2, y 1 y ?)，设基底为i 、j ，则a b （X 1i y 1 j ）(X 1(y 1 y 2)j即a b （X 1X 2,y 1 站，同理可得(X 1 X 2, y 1 y 2) (2)若 A (X 1, y 1)， B(X 2,y 2)，则 ABX 2X 1,y 2y 1解: 由题设F I+F2+F3=0 得：（3，4）+ （2，5）+（x，y）=（0，0）即:F3（ 5,1）四、课堂练习1 .若M（3 ,-2）N（-5,-1）且MP^MN2求P点的坐标2 .若A（0,1）,B（1,2），C（3, 4）,则AB 2 BC =3 .已知：四点A（5，1），B（3，4），C（1，3），D（5，-3），求证：四边形ABCD是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记:232平面向量正交分解及坐标表示课前预习学案、复习回顾: 平面向量基本定理:基底不惟一，关键是即入1,入2是被a , e, , e 2唯一确定的数量二、提出疑惑:如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何一、探究学习1. 平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与X 轴、y 轴方向相同的两个单位向量底•任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数X 、y ，使得我们把（x, y ）叫做a (x,y)其中X 叫做a 在X 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，O2式叫做等的向量的坐标也为（Xy ）.•••••••••\J /理解：（1）我们把不共线向量e1、62叫做表示这一平面内所有向量的a xi yjO1由定理可将任一向量 a 在给出基底e 1> e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式呢？课内探究学案i 、j 作为基，记作特别地，i= j= 0=如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作O A a，则点A的位置由a唯一确定.设OA xi yj，则向量OA的坐标(X, y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2 .平面向量的坐标运算(1)若a (x i, y i),b (X2,y2)，则a b =两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i、j，则a b (x1i y1 j) (x2i y2 j) (x1x2 )i,同理可得a b =(2)若A(x i, y i), B(X2,y2)，则AB 他人小y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =0B OA =( x2, y2) (x i, y i)=(3)若a (x, y)和实数，则a ( x, y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(y i y2)j设基底为i、j，则a (xi yj) xi yj，即a ( x,二、讲解范例:已知A(x i , y i), B(X2,uuuy2),求AB的坐标.已知a=(2, i), rb=(-3, 4)，求a +b , a-b , 3a+4b 的坐标.已知平面上三点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1 , 3), C(3, 4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点六、课后作业（略）七、板书设计（略）课后练习与提高1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则uv ULV OA = _________________ ，OB =v2、已知向量|a|4 ,的方向与X 轴的正方向的夹角o3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是v A . a v(0,0), b(1, 2)v B . av(1,2), b (5,7)vC. av (3,5) b (6,10)v D . av(2, 3)b(4, 6)v 4、已知向量a 2,4) v b (1,r r2）则a 与b 的关系是（）A .不共线B . 相等C. 同向D .反向 5、已知点A (2, 2)B (-2, 2)C (4, 6)D (-5, 6)E (-2, -2）F （ -5，-6）例4已知三个力F 1 （3,4),F 2 (2， 5)， F 3(X ，y)的合力 F i +F 2 + F 3 =0，求 F 31 .若 M(3 , -2)N(-5, -1)且 MP-MN , 22 •若 A(0,1),B(1, 2), C(3, 4),则 AB3 .已知：四点 A(5,1), B(3, 4),C(1, 3),是梯形.D （5, -3）, 求证：四边形 ABCD是30v，则a 的坐标为三、课堂练习:求P 点的坐标2BC =五、小结ULV uuv uuv uuv uuv LUV在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。

考点31平面向量基本定理及坐标表示(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版

考点31平面向量基本定理及坐标表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【知识点】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝，λa ＝，|a |＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝，|AB →|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ .常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)..【核心题型】题型一　平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足(,)BM BA BC l m l m =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，条件:3P AM MC =uuuu r uuu u r，条件:221Q m l -=，则P 是Q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形ABC 中，13A A DB =uuu u u ru r ，13BE BC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点F ，则CD BF ×=uuu r uuu r（）A ．1B ．0C ．12-D ．【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在ABC V 中，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，且13BE BA BC l =+uuu r uuu r uuu r ，AE xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则x y l -=.【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，2AB =，BC =，M 点为BC 的中点，N 点在线段AC 上且13AN AC =，2BN =.(1)求AC ；(2)若点P 为AM 与BN 的交点，求MPN Ð的余弦值.题型二　平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知ABCD Y 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，则顶点D 的坐标为（）A ．()1,4B ．()1,5C ．()2,4D ．()2,5【变式1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 内，已知点()()1,1,1,2A AB -=-uuu r ，则OB =uuu r（）A ．()2,3-B ．()0,1-C ．()2,3-D ．()0,1【变式2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列1e u r ，2e u ur 能表示向量()3,2a =r 的是（）A ．()16,4e =u r ，()29,6e =u u rB ．()11,2e =-u r，()25,2e =-u u r C ．()13,5e =u r，()26,10e =u u r D ．()12,3e =-u r，()22,3e =-u u r 【变式3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,题型三　向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．命题点1　利用向量共线求参数【例题3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量()2,m l =r ，()2,4n l =--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数l 的值为（）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或4【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =r ，若a b r r ∥，则m =（）A ．4或2B ．2-C ．2D ．2或2-【变式2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量()3,4a =r ，()2,b k =r，且()//a b a +r r r ，则实数k = .【变式3】（2023·四川成都·一模）已知向量()sin ,1a x =r，),2b x =-r ，函数()()f x a b a =+×r r r .(1)若//a b r r ，求cos2x 的值；(2)a ，b ，c 为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()12f A =，求ABC V 面积的最大值.命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标【例题4】（2024·全国·模拟预测）已知()4,2M -，()6,4N --，且12MP MN =-uuu r uuuur ，则点P 的坐标为（）A ．()1,1B ．()9,1-C ．()2,2-D ．()2,1-【变式1】（2024·江苏南京·二模）已知向量()1,2a =r ，(),3b x x =+r ．若a b rr P ，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．6【变式2】（2023·山东青岛·一模）已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B -，若向量m OA uuu r r ∥，且mr 与OB uuu r 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m r的坐标为．【变式3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ：24y x =的焦点为F ，直线AB ，CD 过F 分别交抛物线E 于点A ，B ，C ，D ，且直线AD ，BC 交x 轴于N ，M ，其中()2,0N ，则M 点坐标为．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE FB ×=uuu r uuu r（）A ．B ．12-C ．34D ．122．（2024·河北承德·二模）在ABC V 中，D 为BC 中点，连接AD ，设E 为AD 中点，且,BA x BE y ==uuu r uuu r r r ，则BC =uuu r（）A ．42x y+r r B ．4x y-+r r C ．42x y--r r D ．42y x-r r 3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量(),23a m m =+r ，()1,41b m =+r ，则“34m =-”是“a r 与br 共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（2024·四川·模拟预测）已知向量()2,1a =r ，(),2b x =r ，若//a b r r ，则x =（）A ．4B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知向量()(),1,4,2a x b ==r r ，则（）A ．若a b r r∥，则2x =B ．若a b ^rr ，则12x =C ．若3x =，则向量a r 与向量b rD ．若=1x -，则向量b r 在向量a r上的投影向量为6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）设()1,3m =-r，()1,2n =r ，则（）A ．210m n -=r rB ．()2m n m-^r r rC ．若()2m n -r r P ()km n +r r ，则12k =-D ．n r 在m r上的投影向量为12mr 三、填空题7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA =uuu r ，()3,4OB =-uuu r，点P 在线段AB 上，且1AP =uuu r，则点P 的坐标为．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量()()3,4,3a b m ==r r ，.若向量2a b -r r与a b +r r 共线，则实数m 的值为.9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点(1,2)A -，(2,4)B ，若向量(2,)a m =r与AB uuu r垂直，则m =．四、解答题10．（2024·湖北·二模）如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =×．11．（2022·北京·三模）如图四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，AB AD ^，222AD AB BC ===，PC =E 为PD 的中点.(1)求证：直线CE ∥平面PAB(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(3)设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.【综合提升练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量(2,)a t =r，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ×=×r r r r ，当2=t t 时，a b ^rr ，则（）A ．14t =-，21t =-B ．14t =-，21t =C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =2．（2024·山西·模拟预测）已知向量()2,a x =r ，()1,3b =-r ，若a b ∥r r，则a b +=r r （）A B ．C ．3D 3．（2024·重庆·三模）已知向量(2,3),(1,21)a b m m ==-+r r ，若//a b rr ，则m =（）A ．3B ．18C ．18-D ．5-4．（2024·浙江温州·三模）平面向量()(),2,2,4a m b ==-r r，若()a ab -r r r ∥，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rB ．1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r D ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r6．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 满足20BD AD +=uuu r uu r ru ．若3CA =uuu r π4ACD Ð=，则CB =uuu r （）A ．4B ．C ．D ．7．（2023·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =uuu r（）A ．2133CA CB-+uuur uuu r B ．1526CA CB-uuur uuu r C ．5162CA CB -+uuu r uuu r D ．1233CA CB-+uuur uuu r 8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量()2,3a =-r ，()3,b m =r ，且a b r r∥，则m =（）A ．2B ．-2C ．92D ．92-二、多选题9．（2024·江西景德镇·三模）等边ABC V 边长为2，2AD DC =uuu r uuu r ，AE EB =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点F ，则（）A ．2133BD BA BC=+uuu r uuu r uuu r B ．12CF CE=uuu r uuu r C ．1BD CE ×=-uuu r uuu rD ．BD uuu r 在BC uuu r 方向上的投影向量为56BCuuur10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则（）A ．1122BO BA BC =+uuu r uuu r uuu r B ．1CB BO ×=uuu r uuu rC ．BP BC ×uuu r uuu r最大值为1D ．B ，O ，P 三点共线时2x y +=11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量()()cos ,sin ,3,4a b q q ==-r r，则下列命题为真命题的是（）A ．若//a b rr ，则4tan 3q =-B ．若a b ^rr ，则3sin 5q =C ．a b -rr 的最大值为6D ．若()0a a b ×-=r r r ，则a b -=rr 三、填空题12．（2022·黑龙江·一模）已知向量()3,4a =-r ，2AB a =uuu r r，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为．13．（2020高三上·全国·专题练习）已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v14．（2023·上海徐汇·三模）函数()ln y x =-沿着向量a r 平移后得到函数()ln 12y x =-+，则向量a r的坐标是.四、解答题15．（2023·吉林·一模）已知向量),cos a x x =r，()cos ,cos b x x =r．(1)若//a b r r且()0,πx Î，求x ；(2)若函数()12=×-r r f x a b ，求()f x 的单调递增区间．16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =-u r()si n si n ,si n si n q C B A B =++r，且p q u r r ∥.(1)求角C ；(2)若c ABC =V ABC V 的周长.17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量()1,1a =r，()2,b m =r ，R m Î．(1)若//a b r r，求m 的值；(2)若a b ^r r，求m 的值；(3)若a r 与b r夹角为锐角，求m 的取值范围．18．（2023·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-£．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin cos sin A A C C a=+，2c =.(1)求B ；(2)D 为AC 的中点，234BD BC =,求ABC V 的面积.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）已知向量()2,1AB =-uuu r ，()3,2AC =uuu r ，点()1,2C -，则点B 的坐标为（）A ．()2,1--B ．()0,5C ．()2,5-D ．()2,1-2．（2024·山东济南·一模）已知(),1a m =r ，()31,2b m =-r ，若//a b r r ，则m =（）A ．1B ．1-C ．23D ．23-3．（2024·陕西榆林·二模）若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==-uuu r uuu r uuu r P CD uuu r ，则m =（）A ．1-B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知O 为平面直角坐标系的原点，向量(1,3),(2,1),(1,2)OA AB AP ==--=-uuu r uuu r uuu r ，设M 是直线OP 上的动点，当MA MB ×uuu r uuu r 取得最小值时，OM =uuuu r （）A ．11,2æöç÷èøB ．11,2æö--ç÷èøC ．(2,1)D ．(2,1)--二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-r r .若()//()xa b a xb --r r r r ，则x =（）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量a r ，b r ，c r 为非零向量，下列说法正确的有（）A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=r r ，则()1,2b =r C ．若a b a c ×=×r r r r ，则b r 和c r 在a r 上的投影向量相等D ．已知2AB a b =+uu r u r r ，56BC a b =-+uuu r r r ，72CD a b =-uuu r r r ，则点A ，B ，D 一定共线三、填空题7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c l ==-=r r r ，若()20c a b ×+=r r r ，则实数l =8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量()1,1a =-r ，()2,1b =r ，则()a ab ×-=r r r 9．（2023·上海普陀·二模）设x 、R y Î，若向量a r ，b r ，c r 满足(,1)a x =r ，(2,)b y =r ，(1,1)c =r ，且向量a b -r r 与cr 互相平行，则||2||a b +r r 的最小值为．四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数2()cos 2sin 2f x x x x p æö=-+ç÷èø，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =．(1)求角A ；(2)若b =3，c =2，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点，求AD 的长度．11．（2023·江苏·三模）已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.。

人教版数学必修四：2.3.2向量的坐标(2)(作业纸)

错误类型涉及知识 2．填空题具体订正： _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：

1 2

(2)若 AB 2 AD, 求点 D 的坐标.

3第三讲空间向量的坐标运算-学生版

第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。

高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4

1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6，即 A 2 3,6 ，所以

OA＝ 2 3,6 .

【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算

人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算教案苏教版必修4

2．3.2 平面向量的坐标运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．过程与方法(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．●重点难点重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算．难点：平面向量平行条件的理解．(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量的坐标的概念教学教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”．2．关于平面向量的坐标的线性运算的教学教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌握平面向量的坐标的线性运算．3．关于平面向量平行的坐标表示的教学教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题．●教学流程创设问题情境，引入平面向量的坐标概念.⇒引导学生结合向量加、减及数乘运算，推导出平面向量的坐标的线性运算.⇒引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握结合图形用坐标表示向量的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握平面向量坐标的线性运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平行向量的坐标表示，解决有关向量平行问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，任作一向量OA →.根据平面向量基本定理，OA →＝x i ＋y j ，那么(x ，y )与A 点的坐标相同吗？【提示】相同．2．如果向量OA →也用(x ，y )表示，那么这种向量OA →与实数对(x ，y )之间是否一一对应？【提示】是一一对应．(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)平面向量的坐标运算①已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．②已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2设a ＝(1,3)，b ＝(2,6)，向量b 与a 共线吗？【提示】 b ＝(2,6)＝2(1,3)＝2a ，∴b 与a 共线．设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .图2－3－10在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图2－3－10所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．【思路探究】利用三角函数求出各向量在x 轴、y 轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．【自主解答】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×(－12)＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝(－32，332)，c ＝(23，－2)．1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．图2－3－11如图2－3－11，已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，求向量OA →的坐标．【解】过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →(2)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，试求向量3AB →＋12CA →，BC →－2AB →.【思路探究】 (1)中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．【自主解答】 (1)∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(0,5)， ∴3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．【答案】 (5，－8)(2)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)． ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)，∴3AB →＋12CA →＝3(1,5)＋12(4，－1)＝(5，292)，BC →－2AB →＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．若题(2)中条件不变，如何求2AB →－3BC →＋CA →呢？【解】 ∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， ∴2AB →→→AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？【思路探究】 (1)判断AB →∥CD →→判断点A 是否在直线CD 上→结论．(2)求A ，B ，C 三点共线时k 的值，则一定有AB →＝λAC →成立．先求AB →，AC →，再列方程组求解k .【自主解答】 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →.所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →，AD →有共同的起点A ，所以A ，B ，C ，D 四点共线．因此直线AB 与CD 重合． (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝ (10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值．【解】因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.忽略平行四边形顶点顺序的讨论致误已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，若A ，B ，C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标．【错解】设点D 的坐标为(x ，y )，则由AD →＝BC →，得x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故所求点D 的坐标为(－2,3)．【错因分析】错解中认为平行四边形的四个顶点的顺序是ABCD .事实上，本题没有给出是四边形ABCD ，因此，需要分类讨论．【防范措施】在求平行四边形某一顶点的坐标时，常常需要对平行四边形顶点顺序进行讨论．【正解】设点D 的坐标为(x ，y )．当四边形为平行四边形ABCD 时，则有AD →＝BC →，从而有x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故点D 的坐标为(－2,3)．当四边形为平行四边形ADBC 时，则有AD →＝CB →，从而有x －2＝3－(－1)，y －1＝2－4，即x ＝6，y ＝－1，故点D 的坐标为(6，－1)．当四边形为平行四边形ABDC 时，则有AC →＝BD →，从而有x －3＝－1－2，y －2＝4－1，即x ＝0，y ＝5，故点D 的坐标为(0,5)，故第四个顶点D 的坐标为(－2,3)或(6，－1)或(0,5)．1．向量的坐标运算(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 2．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝________. 【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．【答案】 (7,3)2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点坐标为________．【解析】设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)． ∵MP →＝12MN →，∴(2x －6,2y ＋4)＝(－8,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝－8，2y ＋4＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.【答案】 (－1，－32)3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，是k ＝________. 【解析】 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.【答案】 54．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.【证明】 ∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)∴E (－13，23)，F (73，0)．∴EF →＝(83，－23)．又AB →＝(4，－1)，所以AB →＝32EF →.即EF →∥AB →.一、填空题1．下列说法正确的有________． (1)向量的坐标即此向量终点的坐标； (2)位置不同的向量其坐标可能相同；(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； (4)相等的向量坐标一定相同．【解析】我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．【答案】 (2)(4)2．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则向量2b ＋a 的坐标是________．【解析】 2b ＋a ＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)．【答案】 (3,0)3．已知a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】设a ＝λb ，则(－1，x )＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，λ＝－22.又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】24．(2013·连云港高一检测)已知点M (3，－2)，N (－6,1)，且MP →＝2PN →，点P 的坐标为________．【解析】设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， PN →＝(－6－x,1－y )，∴由MP →＝2PN →得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－12－2x ，y ＋2＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝0，∴点P 的坐标为(－3,0)．【答案】 (－3,0)5．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.【解析】设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)．【答案】 (－2,1)6．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.【解析】由题意得AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，∵AB →与BC →共线． ∴(4－k )×(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或11. 【答案】－2或117．下列说法正确的有______________． (1)存在向量a 与任何向量都是平行向量；(2)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2；(3)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0；(4)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b .【解析】 (1)当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；(3)(4)正确．【答案】 (1)(3)(4)8．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则a b等于________．【解析】 a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b )＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵a m ＋b n 与m －2n 共线，∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12.【答案】－12二、解答题9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5) 及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．【解】 (1)设P (x ，y )，AB →＝(3,3)，由OP →＝OA →＋tAB →得(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .若P 在x 轴上，则y P ＝0，即2＋3t ＝0，∴t ＝－23.若P 在y 轴上，则x P ＝0，即1＋3t ＝0，∴t ＝－13.若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，∴－23＜t ＜－13.(2)四边形OABP 不能为平行四边形．因为若四边形OABP 能构成平行四边形，则OP →＝AB →，即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3， t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形． 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1tb ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．【解】不存在．理由：依题意，x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3)．y ＝－1k a ＋1tb＝－1k (1,2)＋1t(－2,1)＝(－1k －2t，－2k ＋1t)．假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)·(－1k －2t)＝0，化简得t 2＋1k ＋1t ＝0，即t 3＋t ＋k ＝0. ∵k ，t 为正实数，∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .(教师用书独具)已知△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．【思路探究】由已知条件易求得点C ，D 的坐标，再由点M 是AD 与BC 的交点，即A ，M ，D 三点共线与B ，M ，C 三点共线可得到以点M 的坐标为解的方程组，解方程组即可．【自主解答】 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，OC →＝14OA →＝(0，54)， ∴点C 的坐标为(0，54)．同理可得D (2，32)．设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，∵A ，M ，D 共线，∴AM →与AD →共线．又AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)， ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①∵CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4－0,3－54)＝(4，74)， CM →与CB →共线，∴74x －4(y －54)＝0，即7x －16y ＝－20.②由①②得x ＝127，y ＝2， ∴M 的坐标为(127，2)．在求点或向量的坐标中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．【解】法一设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t ) －(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. 所以OP →＝(4t,4t )＝(3,3)，所以P 点的坐标为(3,3)．法二设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0.①又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，所以P点的坐标为(3,3)．。

2.3.1,2向量的坐标表示和空间向量基本定理课件(北师大版选修2-1)

→ → ∵ CA1 ＝a＋b＋c， C1D ＝b－c，∴(a＋b＋c)· (b－c)＝0⇒a·b ＋|b|2＋c· b－a· c－b· c－|c|2＝0. 1 2 1 1 1 2 ∴2m ＋m ＋2m－2m－2m－1＝0⇒3m2－m－2＝0， 2 解得：m＝1或m＝－ (舍去)． 3 → → 当m＝1时，由 CA1 · BD ＝(a＋b＋c)· (b－a)⇒a·b＋|b|2＋c· b－ |a|2－a· b－a· c＝0，∴CA1⊥BD. CD 综上，当CC ＝1时，A1C⊥平面C1BD. 1
1 1 1 1＋1－＋－1＝ . 2 2 2
→ → 1 EF·AC 2 2 → → 则有：cos〈EF，AC〉＝＝＝2， → → 2 |EF||AC| 2 π → → → → ∵〈EF，AC〉∈[0，π ]，∴〈EF，AC〉＝ 4 .(12分) → → → 【题后反思】用已知模和夹角的基底 OA 、 OB 、 OC 表示目标向量是解决本题的关键．
→ → → [规范解答] 设 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1， π 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝ 3 ， 1 ∴a·b＝a· c＝b· c＝2.(3分) 1→ → → → 1 → → (1)EF＝OF－OE＝ (OB＋OC)－ OA 2 2 1 1 1 1 ＝－ a＋ b＋ c＝－ (a－b－c)， 2 2 2 2
解
→ → → → 2 → 1→ 2 → → OG＝OM＋MG＝OM＋ MN＝ OA＋ (ON－OM) 3 2 3
1 → 2 1→ → → 1 ＝2OA＋3 （OB＋OC）－ OA 2 2 1→ 1 → → 1→ 1→ 1→ 1→ ＝2OA＋3(OB＋OC)－3OA＝6OA＋3OB＋3OC， → 1→ 1→ 1→ ∴OG＝ OA＋ OB＋ OC. 6 3 3 规律方法利用向量加减法，把目标向量用已知的基底表示，

2.3.3空间向量运算的坐标表示教案(北师大版选修2-1)

3.3空间向量运算的坐标表示●三维目标1．知识与技能(1)掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示．(2)能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度和夹角．2．过程与方法通过坐标运算提高学生的运算能力．3．情感、态度与价值观从平面向量运算的坐标表示到空间向量运算的坐标表示，培养学生的类比、迁移能力．●重点难点重点：空间向量运算的坐标表示及空间向量模与夹角的求法．难点：空间向量的坐标运算在解决简单的立体几何问题中的应用．通过提问让学生类比平面向量的坐标运算去定义空间向量的坐标运算，在获得运算法则后，引导学生比较二者的差异．在比较中，深化学生对空间向量坐标运算的认识．为了突破难点，可设置一组不同层次的问题，引导学生从简单的做起，在求解的过程中，让学生体会空间向量的数字运算方法和空间向量的坐标运算在解决立体几何中的应用．(教师用书独具)●教学建议本节课可采用“启发探究”教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中重点突出以下两点：(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线．(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法．在教学中通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索．将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．●教学流程回顾：平面向量的坐标运算―→类比：空间向量的坐标运算―→体验：空间向量运算的应用―→总结：升华对空间向量运算的认识1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？【提示】a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？【提示】设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.1．空间向量运算的坐标表示设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则：(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和．(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差．(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．(4)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.。

高中数学-第二章-平面向量-2.3-平面向量的基本定理及坐标表示-2.3.2-2.3.3-知识巧解学案-新人教A版必修4

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.如图2-3-11，△ABC 中，D 、E 分别是边、的中点.图2-3-11求证：DE 21BC. 证明：先选定一组基底，设=a ，=b ，则=b -a .又∵AD =21AB =21a ，AE =21=21b ， ∴=-=21b 21 a =21 (b -a ). ∴=2，即△ABC 中，DE 21BC. 学法一得利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a .由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x ，y)，使得a =x i +y j .由于向量a 与有序实数对(x ，y)是一一对应的，因此，我们就把(x ，y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a =(x ，y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a =(x ，y)叫做向量的坐标表示.显然，i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0).图2-3-12设向量a=(x，y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ.由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a|sinθ，即向量a的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.2.向量坐标的唯一性在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定.设=x i+y j，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.图2-3-13如图2-3-13所示，CD=OA=a，CD向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时OA向量的坐标等于CD的坐标，即相等向量的坐标相同.3.一一对应原理任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.学法一得①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.②由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标，与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.三、向量的坐标运算1.加法运算对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.图2-3-14如图2-3-14所示，OA =a ，OB =b ，以a 、b 为邻边作平行四边形，则OC =a +b .作BB ′⊥x 轴，垂足为B ′，AA ′⊥x 轴，垂足为A ′，CD ⊥x 轴，垂足为D ，AC ′⊥CD ，垂足为C ′.从作图过程可知Rt △BB ′O ≌Rt △CC ′A.所以OB ′=AC ′=A ′D ，BB ′=CC ′.所以C 点的坐标为x C =OA ′+A ′D=x 1+x 2，y C =C ′D+C ′C=y 1+y 2，即=(x 1+x 2，y 1+y 2)，也就是a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2).也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算由向量线性运算的结合律和分配律，可得a -b =(x 1i +y 1j )-(x 2i +y 2j )=(x 1-x 2)i +(y 1-y 2)j ，即a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标如图2-3-15，已知OA =a ，OB =λa ，不妨设λ＞0，作AA ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，垂足分别为A ′、B ′.图2-3-15由△AOA ′∽△BOB ′，∴B B A A B O A O OB OA ''=''=. 由λ1=OB OA ，OA ′=x ，A ′A=y ， ∴B O x '=λ1，B B y '=λ1，得OB ′=λx ，B ′B=λy ，即OB =(λx ，λy)，即λa =(λx ，λy).同理可证当λ＜0时，结论也成立；当λ=0时，λa =0，结论显然也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.学法一得当λ＞0时，λa 所对应的坐标可看作把a 的坐标伸长(λ＞1)或缩短(0＜λ＜1)到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a 的相反向量的坐标伸长(λ＜-1)或缩短(-1＜λ＜0)到原来的-λ倍而得到.典题•热题知识点一利用图形间的关系求坐标例1 在平面内以点O 的正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2)向量b 表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；(3)向量c 表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.解：设=a ，=b ，=c ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，R(x 3，y 3).图2-3-16(1)如图2-3-16,可知∠POP ′=45°，|OP |=2，所以a =OP =P P P O '+=2i +2j ,所以a =(2，2).(2)因为∠QOQ ′=60°，||=3，所以b ==Q O '+Q '=23-i +323j ，所以b =(23-，323). (3)因为∠ROR ′=30°，||=4，所以c ==R O '+R R '=32i -2j .所以c =(32，-2). 方法归纳求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.知识点二向量的坐标运算例2 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t .求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解： (1)=+t =(1+3t ，2+3t).若P 在x 轴上，只需2+3t=0，即t=32-；若P 在y 轴上，只需1+3t=0，即t=31-；若P 在第二象限，则需⎩⎨⎧>+<+,032,031t t 解得-32＜t ＜-31. (2)OA =(1，2)，PB =(3-3t ，3-3t).若四边形OABP 为平行四边形，需=.于是⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形.巧解提示:向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.知识点三求向量坐标例3 已知A(0，0)，B(21，31-)，C(21-，32)，则下列计算正确的是( ) A.向量的坐标为(21-，31) B.向量的坐标为(0，31) C.向量的坐标为(21-，32) D.向量+的坐标为(0，31) 思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标-起点坐标”直接得到结果.=(21，31-)-(0，0)=(21，31-)， =(21-，32)-(21，-31)=(-1，1)， CA =(0，0)-(21-，32)=(21，32-)， +AB =(21-，32)+(21，31-)=(0，31). 答案：D例4 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3，2)、B(-2，4)，求向量+的方向和长度. 解：如图2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).图2-3-17 设OC =OA +OB ，则OC =OA +OB =(3，2)+(-2，4)=(1，6).由两点间距离公式，得|OC |=376122=+. 设相对x 轴正向的转角为α，则tan α=6，使用计算器计算得α=80°32′. 所以向量+的方向偏离x 轴正方向约为80°32′，长度等于37.知识点四利用向量坐标解综合题例5 已知a =(6，-4)，b =(0，2)，c =a +λb ，若c 的终点在直线y=21x 上，求实数λ的值. 思路分析：此题是向量与直线结合的问题，关键是建立关于λ的等式关系.图2-3-18解：如图2-3-18所示，过A 作平行于y 轴的直线交直线y=21x 于C 点，则可求得C(6，3)，过C 点作直线OA 的平行线，交y 轴于D 点，则四边形AODC 为平行四边形，易求得|OD|=7，所以27||||=OB OD ，即λ=27. 巧解提示:设c =(x ，y)，由题设，可得(x ，y)=(6，-4)+λ(0，2)，即(x ，y)=(6，-4+2λ).∴⎩⎨⎧+-==.24,6λy x∵c 的终点在直线y=21x 上， ∴-4+2λ=21×6.解得λ=27. 例6 已知向量u =(x ，y)与向量v =(y ，2y-x)的对应关系用v =f(u )表示.(1)设a =(1，1)，b =(1，0)，求向量f(a )及f(b )的坐标；(2)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n 恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立；(3)求使f(c )=(p ，q)(p ，q 为常数)的向量c 的坐标.思路分析：为应用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决. 解：(1)f(a )=(1，2×1-1)=(1，1)；f(b )=(0，2×0-1)=(0，-1).(2)设a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则m a +n b =(m a 1+n b 1，m a 2+n b 2)，∴f(m a +n b )=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1)，mf(a )+nf(b )=m(a 2，2a 2-a 1)+n(b 2，2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1).∴f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立.(3)设c =(x ，y)，则f(c )=(y ，2y-x)=(p ，q)，∴⎩⎨⎧=-=.2,q x y p y∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q ，p).例7 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，如图2-3-19所示.图2-3-19 求证：EF =21(AB +DC ). 思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明.证明：建立直角坐标系，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4). 则=(x 2-x 1，y 2-y 1)，=(x 3-x 4，y 3-y 4)， ∴21(AB +)=(2,241324132y y y y x x x x --+--+). 又E(2,24141y y x x ++)，F(2,23232y y x x ++)，则=(22,2241324132y y y y x x x x +-++-+)， ∴EF =21(AB +DC ). 巧解提示:∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，图2-3-20 ∴+=+=0. 又=++，=++，两式相加得2=+，即=21(+). 问题•探究材料信息探究材料：一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-21：图2-3-21拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F 1使耙前进，一个竖直向上的力F 2把耙上提，即力F 可以用两个力F 1和F 2来代替，即力F 被分解成两个力F 1和F 2.问题能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程:由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，其实质就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决. 探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.方案设计探究问题试探究用向量求76cos 74cos 72cosπππ++的值的方法. 探究过程:要求76cos 74cos 72cos πππ++可先求cos0+cos 72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π +cos 710π+cos 712π的值，由于0、72π、74π、76π、78π、710π、712π这七个角每相邻两个角都相差72π，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为1的正七边形OABCDEF ，且使A 点的坐标为(1，0)，则由此可得出OA 、、BC BC 、CD 、、和FO 的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解.探究结论:如图2-3-22所示，将边长为1的正七边形OABCDEF 放入直角坐标系中，则图2-3-22=(1，0)，=(cos 72π,sin 72π)，=(cos 74π,sin 74π)，=(cos 76π,sin 76π)，DE =(cos 78π,sin 78π)，EF =(cos 710π,sin 710π)，FO =(cos 712π,sin 712π). 由于++++++=0，则有cos0+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 又cos 78π=cos 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π，cos0=1，所以有1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0，即cos 72π+cos 74π+cos 76π=21-. 思想方法探究问题在数学中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？探究过程:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点P 分有向线段的比为λ，即=λ，O 为平面上一定点，那么会有+λ=0，=λλ++1OB OA .事实上，因为=λ，所以+λ=0，于是有(-)+λ(-)=0,(1+λ) =+λ,所以=λλ++1OB OA . 如果在直角坐标系中，设O 为坐标原点，P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有(x,y)=)1,1(1),(),(21212211λλλλλλ++++=++y y x x y x y x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x 探究结论:P 点的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x )，此公式就叫做线段的定比分点公式.它可以直接利用线段端点的坐标来表示分点的坐标，显得方便、快捷. 如下面的问题，已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，利用公式就可以直接得到点B 的坐标.假设P(x,y)，由定比分点公式有22116210=+⨯+=x ,2113210+⨯+=y ，即P(2,1).又因为P 是线段OB 的中点，所以点B 的坐标(4,2).欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

2.3.2 平面向量的坐标运算(2)

向量平行的坐标表示
起点在原点的向量的坐标就是其终点的坐标.
向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 3.向量的坐标运算（和、差、数乘）. 4.定比分点坐标公式与中点坐标公式.
课本P79作业解答：
向量共线定理
如果用坐标来表述这一结论？
【例题讲解】
例1 已知 a (4, 2)，b (6, y)，且 a // b ，求 y ．

(x,1),u a +2b
,v 2a
-

b，且 u // v
，求
x
；
4.设 a、b是不共线的非零向量，求证 a +2 b 与a -2b不平行；
5.已知 a (1,2),b (3,2)，当k为何值时，ka +b 与a -3b
平行？平行时它们是同向还是反向？
6.已知点A(1,
1)，B(1,
3)，C
(1,
5)ห้องสมุดไป่ตู้
，D(2,
7)
，向量AB与

CD
平行吗？
直线 AB 平行于直线 CD 吗？
7.与向量 a (3,4) 平行的单位向量为_____ ．
回顾反思
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式； 2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明
三点共线和两直线平行； 3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同.
例2 已知 A(0,2), B(2,2),C(3,4) ，求证：A，B，C三点共线．
例3 已知 a (1,0), b (2,1)，当实数 k为何值时，向量 ka - b 与 a ＋3b
平行？并确定此时它们是同向还是反向．
例4 已知点O，A，B，C的坐标分别为（0,0）,（3,4）,（-1,2）,（1，1)，

10. 向量的运算(学生版)

班级__________姓名____________ _______年____月____日一、知识梳理1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，_______一对实数λ1，λ2，使a ＝___________, 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝_________,λa ＝___________，|a |＝___________. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________，|AB →|＝___________. 3.平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么______；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0____________，那么a ∥b .一、基础练习1. 在平面直角坐标系中,已知点P (1,2),Q (4,3),那么向量=2. 已知向量a=(1,2),b=(3,1),那么|2a+3b|=3. 已知点A (1,2),B (4,2),向量a=(x+y ,x-2y ).若a 与向量相等,则x-y=4. 已知点A (1,-3)和向量a=(3,4).若=2a ,则点B 的坐标为 .5. 已知点P 1(1,3),P 2(4,-6),P 是直线P 1P 2上的一点,且=2,那么点P 的坐标为班级：__________学号：__________姓名：__________等第：__________1. 设x ,y ∈R,向量a=(x ,1),b=(2,y ),且a+2b=(5,-3),则x+y=2. 已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m ),若实数λ满足a+b=λc ,则λ+m=3. 设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a-λb 与向量c=(-5,-6)共线,则实数λ的值为4. 已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量同方向的单位向量为 .5. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝_______6. 已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________.订正与反思：12. 平面向量的基本定理及坐标运算班级__________姓名____________ _______年____月____日1. 理解平面向量基本定理的含义. 掌握向量的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．2. 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．【学习过程】一、问题提出（情景引入、复习回顾）向量的基本定理、坐标表达式是什么？运用向量的基本定理能解决什么？二、数学建构（知识梳理）见前置作业三、基础训练见前置作业四、例题选讲例1 (2017·淮北月考)如图,在△OAB中,C,D分别为AB,OB的中点,E为OA边上离点O最近的四等分点,F 为AD,CE的交点.若=a,=b,用向量a,b表示.(例1)变式训练：设D为△ABC中BC边上的中点,且O为AD边上靠近点A的三等分点,则= .(用,表示).小结提炼：__________________________________________________________________________________例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝__________. (2)(2016·盐城模拟)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b ＝________.变式训练：已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为_________小结提炼：__________________________________________________________________________________ 例3 (1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝______________.(2)(2016·苏锡常镇调研)如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为________.变式训练：如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.小结提炼：__________________________________________________________________________________例4（1）已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________（2）(2016·常州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________变式训练：(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________.(2)设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为_______小结提炼：__________________________________________________________________________________五、课堂总结六、课后作业学生姓名：___________ 1. 设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，且a ＋2b ＝(5，－3)，则x ＋y ＝________.2.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为_________3.(2016·江苏南京开学测试)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(m,4)，且a ∥(2a ＋b )，则实数m 的值为________.4.已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝______.(用a ，b 表示)5.已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.6.在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________.7.在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________.8.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.9.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点.若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝______.(2016·扬州中学质检)在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，AP →＝λAB →＋μAD → (λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为________.七、课后反思。

高中数学课件-2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理

已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足O→M ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
(1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面． (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
第二章 2.3 第1课时
[解析] (1)由已知，得O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)． ∴M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C. ∴向量M→A，M→B，M→C共面． (2)由(1)向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又过同一点 M， ∴四点 M，A，B，C 共面． ∴点 M 在平面 ABC 内．
①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}， ④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有________个． [答案] 3 [解析] ②③④都可以作为空间的一组基底，对于①，x＝ a＋b，显然a，b，x共面，故{a，b，x}不能作为空间的一个基底．
第二章 2.3 第1课时
A．13a＋13b＋13c
B．12a＋12b＋12c
C．a＋b＋c
D．3a＋3b＋3c
[答案] A
第二章 2.3 第1课时
[解析] 如图，取 AB 的中点 M，连结 CM，则必过 G 点，则C→M＝12(C→A＋C→B)＝12[(O→A－O→C)＋(O→B－O→C)]＝12a＋12b－c.
C→G＝23C→M＝13a＋13b－23c，所以O→G＝O→C＋C→G＝13a＋13b＋13c.
5．基底 (1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个___基__底_____． (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 __基__底____． (3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作__正__交__基__底__．

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课题 2.3.2平面向量的坐标运算（2）总第____课时
班级_______________ 姓名_______________
【学习目标】
1．理解平面向量平行的含义，掌握平面向量平行的坐标表示
2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。

【重点难点】
学习重点：平面向量共线的充要条件，
学习难点：平面向量共线的充要条件的灵活运用。

【学习过程】
一、自主学习与交流反馈
问题1：向量a=()41-，与b=()82，-是否平行？
问题2：设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)（a ≠0）
如果a ∥b ，则
问题3：如果x 1 y 2- x 2y 1=0，则
二、知识建构与应用：
向量平行的坐标表示：
设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)（a ≠0），
如果a ∥b ，则x 1 y 2- x 2y 1=0；
如果x 1 y 2- x 2y 1=0，那么a ∥b .
证明：
三、例题讲解
例1 已知a =（1，0），b =（2，1），当实数k 为何值时，向量k a -b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向？
例2 设()()(),,10,5,4,12,k k ===当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？
例3 已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为（0，0），（3，4），（-1，2），（1，1），是否存在常数t ，使得OC OB t OA =+成立？解释你所得结论的几何意义.
四、巩固练习
1．已知(1,2)a =-- ，(2,4)b = ，求证：//a b .
2．已知向量(4,3)a = ，(6,)b y = ，且//a b ，求实数y 的值.
3．已知□ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1),(1,3),(3,1)A B C -，求第四个顶点D 的坐标.
4．已知(0,2),(2,2),(3,4)A B C ，求证：,,A B C 三点共线.
5．已知A(-3，－2)，B(－2，－4). 若AC → = 3AB →，求点C 的坐标.。