基本不等式 第二课时
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3.4基本不等式(第二课时)
8 2 法二：由 2x＋8y－xy＝0 及 x>0，y>0，得 ＋ ＝1. x y 8 2 8y 2x ∴x＋y＝(x＋y)( ＋ )＝ ＋ ＋10 x y x y 8y 2x ≥2 · ＋10＝18. x y 8y 2x 当且仅当 ＝ ，即 x＝2y＝12 时等号成立． x y ∴x＋y 的最小值是 18.
的最小值．
解析： u
1 x 1 y x 2y x x 2y y 3 2y x
2 1, y 1
x y
32
2
当且仅当
x 2y y 时，即 x x x 2 y 1
2 2
时取到等号
.
“1”的代换
x y
变式：(1)已知 x>0，y>0，且1＋9＝1，求 x＋y 的最小值；
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
一正：两项必须都是正数； 二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
三相等 ： 等号成立的条件必须存在.
(C)
y log 3 x log x 30 x 1
y sinx 4 sinx
(D)
0 x
已知a，b为正数，试
2 1 a 1 b
ab
ab 2
a b
2
2
2
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
基本不等式的主要应用——求最值 1 例1：（1）已知x>1,求 x 的最小值； x 1 （2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.
的最小值．
解析： u
1 x 1 y x 2y x x 2y y 3 2y x
2 1, y 1
x y
32
2
当且仅当
x 2y y 时，即 x x x 2 y 1
2 2
时取到等号
.
“1”的代换
x y
变式：(1)已知 x>0，y>0，且1＋9＝1，求 x＋y 的最小值；
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
一正：两项必须都是正数； 二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
三相等 ： 等号成立的条件必须存在.
(C)
y log 3 x log x 30 x 1
y sinx 4 sinx
(D)
0 x
已知a，b为正数，试
2 1 a 1 b
ab
ab 2
a b
2
2
2
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
基本不等式的主要应用——求最值 1 例1：（1）已知x>1,求 x 的最小值； x 1 （2）已知0<x<1,求x(1-x)的最大值.
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
高一数学复习知识讲解课件15 基本不等式(第2课时)
2.2基本不等高一数学复习知本不等式(第2课时)
复习知识讲解课件
探究1 利用基本不等式求最值的关键条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不向；二不定，应凑出定和或定积；三不等数的单调性．
的关键是获得定值条件．解题时应对照已知、添项、配凑、变形”等方法创设使用一不正，用其相反数，改变不等号方不等，一般需用其他方法，如尝试利用函
探究2 (1)拼凑法的实质在于代数式的利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利整，做到等价变形．
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值③拆项、添项应注意检验利用基本不等(2)常数代换法求最值的方法步骤： 常数代换法适用于求解条件最值问题为：
数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，方面的问题：
注意利用系数的变化以及等式中常数的调的定值为目标． 本不等式的前提．
问题．应用此种方法求解最值的基本步骤
①根据已知条件或其变形确定定值②把确定的定值(常数)变形为1.
③把“1”的表达式与所求最值的表达式式．
④利用基本不等式求解最值．
(3)对含有多个变量的条件最值问题，尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表只含有一个变量的最值问题．
(常数)． 表达式相乘或相除，进而构造和或积的形，若无法直接利用基本不等式求解，可变量表示另一个，再代入代数式中转化为
课
后 巩 固
自 助 餐。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本
第三章 不等式
a＋b 3．4 基本不等式： ab≤ 2 第 2 课时 基本不等式的应用
a＋b [学习目标] 1.进一步掌握基本不等式 ab≤ 2 . 2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解 决一些简单的实际问题． 3.会用基本不等式的变式如 a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)证明不等式．
f(x)＝x2＋1＋x2＋2 1－1≥2 （x2＋1）·x2＋2 1－1＝ 2 2－1，当且仅当 x2＋1＝x2＋2 1，即 x2＝ 2－1 时等号成 立．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 x＞0，则 x＋4x的最小值为( ) A．2 B．3 C．2 2 D．4
解析：因为 x＞0，所以 x＋4x≥2 x·4x＝4，当且仅 当 x＝4x，即 x＝2 时等号成立．
2．常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；② 拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
[变式训练] 已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy 的最小值；(2)x＋y 的最小值． 解：因为 x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2 16xy， 所以 xy≥8，所以 xy≥64. 故 xy 的最小值为 64.
解析：因为 x＞1，所以 x－1＞0.
又 y＝x＋ 2 ＝(x－1)＋ 2 ＋1≥2 2＋1.
x－1
x－1
等号成立的条件是 x－1＝ 2 x－1
即 x＝1＋ 2. 故当 x＝1＋ 2时，y 取最小值 1＋2 2. 答案： 2＋1 1＋2 2
5．若 0＜x＜1，则函数 f(x)＝2＋log2 x＋log52 x的最 大值是________．
证明：因为 n＞2，所以 n－1＞1. 所以 logn(n－1)＞0，logn(n＋1)＞0， 所以 logn(n－1)logn(n＋1)≤
a＋b 3．4 基本不等式： ab≤ 2 第 2 课时 基本不等式的应用
a＋b [学习目标] 1.进一步掌握基本不等式 ab≤ 2 . 2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解 决一些简单的实际问题． 3.会用基本不等式的变式如 a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)证明不等式．
f(x)＝x2＋1＋x2＋2 1－1≥2 （x2＋1）·x2＋2 1－1＝ 2 2－1，当且仅当 x2＋1＝x2＋2 1，即 x2＝ 2－1 时等号成 立．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 x＞0，则 x＋4x的最小值为( ) A．2 B．3 C．2 2 D．4
解析：因为 x＞0，所以 x＋4x≥2 x·4x＝4，当且仅 当 x＝4x，即 x＝2 时等号成立．
2．常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；② 拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
[变式训练] 已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy 的最小值；(2)x＋y 的最小值． 解：因为 x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2 16xy， 所以 xy≥8，所以 xy≥64. 故 xy 的最小值为 64.
解析：因为 x＞1，所以 x－1＞0.
又 y＝x＋ 2 ＝(x－1)＋ 2 ＋1≥2 2＋1.
x－1
x－1
等号成立的条件是 x－1＝ 2 x－1
即 x＝1＋ 2. 故当 x＝1＋ 2时，y 取最小值 1＋2 2. 答案： 2＋1 1＋2 2
5．若 0＜x＜1，则函数 f(x)＝2＋log2 x＋log52 x的最 大值是________．
证明：因为 n＞2，所以 n－1＞1. 所以 logn(n－1)＞0，logn(n＋1)＞0， 所以 logn(n－1)logn(n＋1)≤
2.2 第2课时 基本不等式的综合应用(课件)
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
跟踪训练6
x 元）
某商品进货价为每件 50 元，
经市场调查得知，
当销售单价 （
在区间 50,80
时，每天售出的件数 P
为每件多少元？
105
x 40
2
．若想每天获得的利润最大，销售价格应定
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
解：设销售价格定为每件 x(50≤x≤80)元，每天获得利润为 y 元，则
2x
思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”
、
“二定”
、
“三相等”
，现在
1
1
x<0，
0 ，通过变形 y x
2 再利用基本不等式求最值。
2x
2 x
解：∵x<0，∴
通过变形，
∵
∴
当且仅当
，即
时，等号成立，取得最大值
。
经典例题
题型二
2x
2
解： y＝ 2
＝ 1.
x ＋1
x＋
x
∵x＞0，
1
1
∴x＋ ≥2 x· ＝2，
x
x
2
∴0＜y≤2＝1，
1
当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时，等号成立．故 y 的最大值为 1.
经典例题
题型五
变形构造定值—常值代换法“1”的代换
1 1
,
例 5 已知a 0, b 0, a b 2, 求 的最小值。
＋ (x － 3) ＋ 3 ＝ － 3－x
x－3
x－3
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
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38
13
栏目导航
14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
基本不等式(第2课时)
2.不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
分析:水池呈长方体形,它的高是3m, 底面的长与宽没有确定.如果底 面的长与宽确定了,水池的总造 价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造 价最低
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意,有: z 150 4800 120(2 3x 2 3y)
3 240000 720(x y)
3.4基本不等式 (第2课时)
一、复习引入
（1）重要不等式： a2 b2 2ab(a,b R),当且仅当a b等号成立； (2)基本不等式： a b ab(a,b 0),当且仅当 a b等号成立。 2
（3）利用基本不等式求最小值 求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
结论：两正数之积为定值，两数之和有最小值。
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy x y 2 100, 2
2(x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.
结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
2
变式3.a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值
和此时a、b的值.
练一练：
练习1、已知正数x, y满足x y 30，则xy的 最大值为 (225)
练习2、已知x>1,y>1且lgx+lgy=4,则lgx •lgy 的最大值是(4)
练一练：
练习3：设0<x<1，求y=x(1-x) 的最大值.
高中数学 基本不等式--第二课时课件
2ab a＋b ab－2ab ∵ ab－1 1＝ ab－ ＝ a＋b a＋b ＋ a b
aba＋b－2 ab ab a－ b2 ＝ ＝ ≥0， a＋b a＋b
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.4（二）
∴ ab ≥1 1，即1 1≤ ab. a＋b a＋b
∵
2
2
a ＋b 2
∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
研一研·问题探究、课堂更高效
【跟踪测试】 x2－4x＋5 5 1 已知 x≥ ，则 f(x)＝ 有 2 2x－4 5 5 A．最大值 B．最小值 2 4 C．最大值 1 D．最小值 1
§3.4（二）
(D
)
本 讲 栏 目 开 关
1 x2－4x＋5 x－22＋1 1 解析 f(x)＝ ＝ ＝2x－2＋x－2 ≥1. 2x－4 2x－2
8 1 x 16y ∴x＋2y＝ x＋y (x＋2y)＝10＋y＋ x
本 讲 栏 目 开 关
≥10＋2
x 16y · ＝18， y x
x＝12 即 y＝3
8 1 x＋y ＝1， 当且仅当 x＝16y， x y
时，等号成立，
故当 x＝12，y＝3 时，(x＋2y)min＝18.
基本不等式的拓展 问题 a＋b 当 a>0，b>0 时， ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 2
§3.4（二）
a2＋b2 这是 2
本 讲 栏 目 开 关
一条重要的基本不等式链，请你给出证明． a＋b 证明 由于 ab≤ 成立， 2
只须证明 ab≥1 1和 ＋ a b
2
2
a2＋b2 a＋b 2 ≥ 2 成立即可．
本 讲 栏 目 开 关
第2课时 基本不等式的实际应用 高一数学
旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
· =9,
当且仅当 = ,即 y=2x 时,等号成立.
故(x+y) + 的最小值为 9.
防范措施
1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多
次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成
错误.
2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值.
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
· =9,
当且仅当 = ,即 y=2x 时,等号成立.
故(x+y) + 的最小值为 9.
防范措施
1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多
次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成
错误.
2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值.
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
2.2基本不等式(第2课时)课件(人教版)
当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
为通道，通道宽度均为 2 m，中间的三个矩形
区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个
小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为
S 平方米．
(1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使 S 取得最大值，最大值为多少？
[解析] (1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y，
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
当且仅当a＝b＝4时取等号．
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
3 已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆
柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为a，宽为b，
则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18．
因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab ，
造价为z元.
根 据 题 意 ， 有 = 150 ×
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
为通道，通道宽度均为 2 m，中间的三个矩形
区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个
小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为
S 平方米．
(1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使 S 取得最大值，最大值为多少？
[解析] (1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y，
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
当且仅当a＝b＝4时取等号．
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
3 已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆
柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为a，宽为b，
则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18．
因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab ，
造价为z元.
根 据 题 意 ， 有 = 150 ×
基本不等式第二课时
x
基本不等式的应用 对勾函数
函数 y x (kk>0)叫做对勾函数 x
单调递增区间
, k 和 k ,
单调递减区间
k ,0 和 0, k
基本不等式的应用 随堂巩固
1.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和 最小，最小值是多少？ 2.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 3.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
解：设两个正数为a,b，则a>0，b>0，且
a
+
b
由 a b 2得ab
ab
=
a b
2
1
18
2
81
8
2 2
当且仅当a=b=9时取等号
和定积最大
答：当这两个正数均为9时，它们的积最大.
基本不等式的应用
பைடு நூலகம்
例1.（1）若x,y皆为正数，当xy的值为常数P时，求x+y的最小值；
（2）若x,y皆为正数，当x+y的值为常数S时，求xy的最大值.
人教A版 必修五
第三章 不等式
3.4 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
基本不等式 复习回顾
不等式
重要不等式
基本不等式
文字叙述
公式 适用范围 等号成立的条件
两数的平方和不小 两个正数的算术平均数不 于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a2 b2 2ab
a b ab 2
a,b∈R a=b
a>0,b> 0
基本不等式的应用
例6. x≠0，求 x 的1取值范围.
x
解：由例5知当x>0时，x
基本不等式的应用 对勾函数
函数 y x (kk>0)叫做对勾函数 x
单调递增区间
, k 和 k ,
单调递减区间
k ,0 和 0, k
基本不等式的应用 随堂巩固
1.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和 最小，最小值是多少？ 2.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 3.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
解：设两个正数为a,b，则a>0，b>0，且
a
+
b
由 a b 2得ab
ab
=
a b
2
1
18
2
81
8
2 2
当且仅当a=b=9时取等号
和定积最大
答：当这两个正数均为9时，它们的积最大.
基本不等式的应用
பைடு நூலகம்
例1.（1）若x,y皆为正数，当xy的值为常数P时，求x+y的最小值；
（2）若x,y皆为正数，当x+y的值为常数S时，求xy的最大值.
人教A版 必修五
第三章 不等式
3.4 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
基本不等式 复习回顾
不等式
重要不等式
基本不等式
文字叙述
公式 适用范围 等号成立的条件
两数的平方和不小 两个正数的算术平均数不 于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a2 b2 2ab
a b ab 2
a,b∈R a=b
a>0,b> 0
基本不等式的应用
例6. x≠0，求 x 的1取值范围.
x
解：由例5知当x>0时，x
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（若等号成立，a与b必须相等）
六、作业布置
课本
p100习题3.4
[A]组第1、2、3题
1 16
2.已知正数 a, b满足ab 4, 那么2a 3b的最小值为
A.10
B.12
C. 4 3
D. 4 6
答案：D
ab ab 2
（2009年天津理6）
设 a 0, b 0 若 3 是 3 与
a
3
b
的等比中
1 1 项，则 的最小值为（ B ） a b
A. 8 B. 4 C. 1
a b ab 2 如果a, b R , 那么ab , ab ( ) 2 2
2 2
b a 4.如果 a, b R , 那么 2(当且仅当 a b时取“” ) a b
二、新课讲解
应用基本不等式求最值的条件：
一正 二定 三相等
ab ab 2
a与b为正实数
a与b的积或
三、题型剖析
ab ab 2
【题型2】构造和为定值，利用基本不等式 求最值
例3、已知 0 x 1，求
x 1 x 的最大值
2
练习：已知 x 0, y 0 且 2 x 5 y 案：1
三、题型剖析
ab ab 2
1 y 例4:设 0 x ， x(1 3x ) 求函数y的最大值。 3
4 当且仅当 x ,即x 2时, 等号成立 . x
三、题型剖析
ab ab 2
【题型1】构造积为定值，利用基本不等式 求最值
1 x ( x 3) 的最小值 例2、 求函数 y x3
4 y 1 练习： x =____ (x>0)时， x 有最 x 1
3 小值_____.
1 D. 4
五、归纳小结
a b 2ab
2 2
ab 2
ab
a2 b2 ab 2 ab , ab ( ) 2 2
b a 2 a b
五、归纳小结
应用基本不等式求最值的条件： 一正: a与b为正数 二定: a与b的积或和必须是定值
（积定和最小，和定积最大）
三相等:等号成立的条件必须存在
§3.4基本不等式
ab ab 2
一、复习引入：
1.重要不等式：
2 2
ab ab 2
如果a, b R, 那么a b 2ab(当且仅当a b时取“ ” )
2.基本不等式：
ab 如果 a, b R , 那么 ab (当且仅当 a b时取“” ) 2 3.公式的等价变形：
解 : x 2 1 2 x 2 1 2 x,当且仅当x 2 1
即x 1时, x 2 1有最小值2 x 2.
二、新课讲解
ab ab 2
4 (3)已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4,原式有最小值4. x x
和必须是定 值
等号成立 的条件必 须存在
ab 二、新课讲解 ab 2 例1：判断以下解题过程的正误：
1 (1)已知x 0, 求x 的最值; x 1 1 解 : x 2 x 2,原式有最小值2. x x 1 (2)已知x 时, 求x 2 1的最小值; 2
1 解： 0 x 3 1 3x 0 1 1 3x 1 3x 2 1 y 3x(1 3x ) ( ) 12 3 3 2 1 1 当3x=1-3x,即x= 时， ymax 12 6
反思归纳
1.合理变形构造定值。 2.注意检验正数与等号成立的条件。
ab 四、实战训练 ab 2 1. 若x, y R , 且x 4 y 1, 则xy 的最大值为
六、作业布置
课本
p100习题3.4
[A]组第1、2、3题
1 16
2.已知正数 a, b满足ab 4, 那么2a 3b的最小值为
A.10
B.12
C. 4 3
D. 4 6
答案：D
ab ab 2
（2009年天津理6）
设 a 0, b 0 若 3 是 3 与
a
3
b
的等比中
1 1 项，则 的最小值为（ B ） a b
A. 8 B. 4 C. 1
a b ab 2 如果a, b R , 那么ab , ab ( ) 2 2
2 2
b a 4.如果 a, b R , 那么 2(当且仅当 a b时取“” ) a b
二、新课讲解
应用基本不等式求最值的条件：
一正 二定 三相等
ab ab 2
a与b为正实数
a与b的积或
三、题型剖析
ab ab 2
【题型2】构造和为定值，利用基本不等式 求最值
例3、已知 0 x 1，求
x 1 x 的最大值
2
练习：已知 x 0, y 0 且 2 x 5 y 案：1
三、题型剖析
ab ab 2
1 y 例4:设 0 x ， x(1 3x ) 求函数y的最大值。 3
4 当且仅当 x ,即x 2时, 等号成立 . x
三、题型剖析
ab ab 2
【题型1】构造积为定值，利用基本不等式 求最值
1 x ( x 3) 的最小值 例2、 求函数 y x3
4 y 1 练习： x =____ (x>0)时， x 有最 x 1
3 小值_____.
1 D. 4
五、归纳小结
a b 2ab
2 2
ab 2
ab
a2 b2 ab 2 ab , ab ( ) 2 2
b a 2 a b
五、归纳小结
应用基本不等式求最值的条件： 一正: a与b为正数 二定: a与b的积或和必须是定值
（积定和最小，和定积最大）
三相等:等号成立的条件必须存在
§3.4基本不等式
ab ab 2
一、复习引入：
1.重要不等式：
2 2
ab ab 2
如果a, b R, 那么a b 2ab(当且仅当a b时取“ ” )
2.基本不等式：
ab 如果 a, b R , 那么 ab (当且仅当 a b时取“” ) 2 3.公式的等价变形：
解 : x 2 1 2 x 2 1 2 x,当且仅当x 2 1
即x 1时, x 2 1有最小值2 x 2.
二、新课讲解
ab ab 2
4 (3)已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4,原式有最小值4. x x
和必须是定 值
等号成立 的条件必 须存在
ab 二、新课讲解 ab 2 例1：判断以下解题过程的正误：
1 (1)已知x 0, 求x 的最值; x 1 1 解 : x 2 x 2,原式有最小值2. x x 1 (2)已知x 时, 求x 2 1的最小值; 2
1 解： 0 x 3 1 3x 0 1 1 3x 1 3x 2 1 y 3x(1 3x ) ( ) 12 3 3 2 1 1 当3x=1-3x,即x= 时， ymax 12 6
反思归纳
1.合理变形构造定值。 2.注意检验正数与等号成立的条件。
ab 四、实战训练 ab 2 1. 若x, y R , 且x 4 y 1, 则xy 的最大值为