人教版2013届高三一轮复习课时训练29：等差数列及前n项和

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高三数学一轮复习第29课时等差数列学案

某某省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习第29课时等差数列学案【学习目标】1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等差数列与一次函数的关系．【课本导读】1．等差数列的基本概念(1)定义：(2)通项公式：a n＝.a n＝a m＋.(3)前n项和公式：S n＝na1＋n n－12d＝a1＋a n n2.(4)a、b的等差中项为a＋b2.2．等差数列常用性质：等差数列{a n}中(1)若m1＋m2＋…＋m k＝n1＋n2＋…＋n k，则特别地，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝.(2)n为奇数时，S n＝na中，S奇＝n＋12a中，S偶＝n－12a中，∴S奇－S偶＝．(3)n为偶数时，S偶－S奇＝nd 2.(4)若公差为d，依次k项和S k，S2k－S k，S3k－S2k成等差数列，新公差d′＝.(5){S nn}为等差数列．【教材回归】1．若一个数列的通项公式是a n＝kn＋b(k，b为常数)，则下列说法中正确的是( ) A．数列{a n}一定不是等差数列B．数列{a n}是公差为k的等差数列C．数列{a n}是公差为b的等差数列D．数列{a n}不一定是等差数列2．设a≠b，且数列a，x1，x2，b和a，y1，y2，y3，y4，b分别是等差数列，则y4－y3x2－x1＝__________.3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1＝12，S2＝a3，则a2＝________；S n＝________.4．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( ) A．12B．16C．20D．245．等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为( ) A．1B．2C．3D．46．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )A．－6B．－4C．－2D．2【授人以渔】题型一：等差数列的基本量例1：(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝( )A．8 B．7C．6D．5例2：(1)等差数列{a n}的前n项和记为S n.已知a10＝30，a20＝50.①求通项a n；②若S n＝242，求n.(2)设{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，T n为数列{S nn}的前n项和，求T n.题型二：等差数列的性质例2 (1)在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________. (2)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( )A．58B．88C．143D．176（3）在等差数列{a n}中，a1＝－2 012，其前n项和为S n，若S1212－S1010＝2，则S2 012的值等于( )A．－2 011B．－2 012C．－2 010D．－2 013 （4）等差数列{a n}共有63项，且S63＝36，求S奇和S偶．题型三：等差数列的证明例3 已知数列{a n}，a n∈N*，S n＝18(a n＋2)2.求证：{a n}是等差数列．思考题3 已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n＋1.求证：{a n}是等差数列，并求a n.题型四：等差数列的综合应用例4：(1)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n 等于( )A．6 B．7C．8D．9(2)已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当S n最大时n的值为( )A．16B．8C．9D．10（3）．已知函数f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝( )A.12B．－12C.32D．－32（4）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝( ) （5）等差数列{a n}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？（6）等差数列{a n}的前n项和为S m，已知S10＝0，S15＝25，求nS n的最小值为。

精品高三数学课时练：等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n 项和A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·福建)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析在等差数列{a n }中，∵a 1＋a 5＝10.∴2a 3＝10，∴a 3＝5，又a 4＝7，∴所求公差为2. 答案 B2．(2013·山东实验中学诊断)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，那么S 9＝( )．A ．2B ．8C ．18D ．36解析设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 3＋a 11＝6，可得3a 1＋12d ＝6，∴a 1＋4d ＝2＝a 5.∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝9×2＝18.答案 C3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．(2012·东北三校一模)在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·江西)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35. 答案 356．(2013·沈阳四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案 6三、解答题(共25分)7．(12分)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 7＋a 12＝12，a 2·a 7·a 12＝28，求数列{a n }的通项公式．解由a 2＋a 7＋a 12＝12，得a 7＝4.又∵a 2·a 7·a 12＝28，∴(a 7－5d )(a 7＋5d )·a 7＝28， ∴16－25d 2＝7，∴d 2＝925，∴d ＝35或d ＝－35. 当d ＝35时，a n ＝a 7＋(n －7)d ＝4＋(n －7)×35＝35n －15；当d ＝－35时，a n ＝a 7＋(n －7)d ＝4－(n －7)×35＝－35n ＋415. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝35n －15或a n ＝－35n ＋415.8．(13分)在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·咸阳模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.答案 B2．(2012·广州一模)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数的正整数的个数是 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州调研)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析 ∵a n ＝2n ＋1，∴a 1＝3，∴S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，∴S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列， ∴前10项和为3×10＋10×92×1＝75. 答案 754．(2012·诸城一中月考)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7三、解答题(共25分)5．(12分)在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.6．(13分)(2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. 综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－2.(2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。

高考数学一轮复习专题：等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34 答案 B解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧ a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 3．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1， ∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0.又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2.∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6. 思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案 (1)C (2)20∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.题型二等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列， ∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n . 思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得 1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n . (2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；②求{a n }的通项公式．①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( ) A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017 答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.(2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1， ∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1.∴S 2 018＝－2 018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727B.3828C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13 ＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90 (2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110. 答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53. 方法一由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53 ＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．32 答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱答案 D解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．132 答案 D解析方法一由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6，得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9答案 C解析由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121 答案 D解析设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝(n ＋102n －1)2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121，故选D.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14.9．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题1． {a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析由S 10＝S 11得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )．A ．8B ．7C ．6D ．5解析由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值，所以S n 的最小值为－293. 答案－29310．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7 三、解答题11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列． 13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。

2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.2等差数列及其前n项和

2013高考数学一轮强化训练 5.2等差数列及其前n 项和文新人教A版1.等差数列{n a }的前n 项为为n S ,且3164S a =,=,则公差d 等于( ) A.1 B.53C.2D.3答案:C解析:∵31336()2S a a ==+且31124a a d a =+,=,∴d=2.故选C.2.已知{n a }为等差数列,且743210a a a -=-,=,则公差d 等于( ) A.-2 B.12- C.12D.2答案:B解析:7433242()21a a a d a d d -=+-+==-,解得12d =-. 3.如果等差数列{n a }中34512a a a ,++=,那么1a + 2a +…+ 7a 等于( )A.14B.21C.28D.35答案:C解析:345443124a a a a a ++==,=,∴12a a ++…747()177282a a a a ++===. 4.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若972S =,则2a +49a a += .答案:24解析:∵{n a }是等差数列,由972S =,得959S a =,5a =8, ∴24929456()()a a a a a a a a ++=++=++ 4a =5324a =. 5.在等差数列{n a }中35276a a a ,=,=+,则6a = . 答案:13解析:设等差数列{n a }的公差为d,则由已知得 1112746a d a d a d +=,⎧⎨+=++.⎩ 解得 132a d =,⎧⎨=.⎩ 所以61a a =+5d= 13.6.已知曲线C:xy-4x+4=0,数列{n a }的首项14a =, 且当 2n ≥时,点1()n n a a -,恒在曲线C 上,且n b =12an,-试判断数列{nb }是否是等差数列?并说明理由.解:∵当2n ≥时,点1()n n a a -,恒在曲线C 上,∴11440n n n a a a ---+=. 由12n b an=-得: 当2n ≥时111122422111a a n nb b n n a a a a a an n n n n n --,-=-=-----+--- 11142244222111a a a a n n n n a a a a a n n n n n ----===---+--+---.∴数列{n b }是公差为12-的等差数列.题组一等差数列的基本运算1.在等差数列{n a }中,已知12411039n a a a a =,+=,=,则n 等于( ) A.19 B.20 C.21 D.22 答案:B解析:∵2411310a a a d a d +=+++=,∴d=2. 由1(1)n a a n d =+-=39,解得n=20.2.等差数列{n a }的公差不为零,首项121a a =,是1a 和5a 的等比中项,则数列的前10项和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 答案:B解析:设公差为d,则2(1)1(14)d d +=⋅+. 因为0d ≠,解得d=2,∴10100S =.3.等差数列{n a }的前n 项和为n S ,且53655S S -=,则4a = . 答案:13解析:∵513151033S a d S a d =+,=+,∴5311653060(1515)S S a d a d -=+-+= 115a + 144515(3)155d a d a =+==, ∴413a =.4.已知数列{n a }是等差数列3410118a a a ,=,+=,则首项1a = . 答案:-3解析:∵41033()(7)28a a a d a d d +=+++=+=18, ∴d=2.∴1323a a d =-=-.另解,∵7410218a a a =+=,∴79a =.∴公差137391223734a ad a a d --===,=-=--. 题组二等差数列性质的应用5.等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若2812a a +=,则9S 等于( ) A.54 B.45 C.36 D.27答案:A解析:99()9()19285422a a a a S ++===.6.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若4518a a =-,则8S 等于( )A.68B.72C.54D.90 答案:B解析:∵4518a a =-,∴4518a a +=.∴88()8()18457222a a a a S ++===.7.已知{n a }是等差数列67782028a a a a ,+=,+=,则该数列前13项和13S 等于( )A.156B.132C.110D.100 答案:A解析:由67782028a a a a +=,+=知7448a =,∴712a =,故13713156S a ==,选A. 8.已知{n a }是等差数列451555a S ,=,=,则过点34(3)(4)P a Q a ,,,的直线的斜率为( ) A.4B.14C.-4D.-14 答案:A解析:∵{n a }是等差数列451555a S ,=,=, ∴153********a a a a +=,=,=.∴43443PQ a ak -==,-选A. 9.若等差数列{n a }的前5项和525S =,且23a =,则7a 等于( )A.12B.13C.14D.15答案:B解析:535S a =,∴35a =,∴d=2. ∴773213a =+⨯=,故选B.10.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若981S =,则 2a + 58a a += . 答案:27解析:∵99()9()19288122a a a a S ++===, ∴285218a a a +==.即2585327a a a a ++==.题组三证明数列是等差数列11.已知数列{n a }和{n b }满足1121(1)1n n n n n a a a a b a +=,-=-,=-.求数列{n b }的通项公式.解:由1n n b a =-得1n n a b =+代入11(1)n n n a a a +-=-得1(1)n n n b b b +=+, 整理得11n n n n b b b b ++-=,∵0(n b ≠否则1n a =,与12a =矛盾),从而得1111b b n n-=,+ ∵1111b a =-=,∴数列{1nb }是首项为1,公差为1的等差数列.∴1n b n=,即1n b n=.12.已知{n a }是以a 为首项,q 为公比的等比数列n S ,为它的前n 项和. (1)当134S S S ,,成等差数列时,求q 的值;(2)当m n l S S S ,,成等差数列时,求证:对任意自然数m k n k l k k a a a +++,,,也成等差数列. 解:(1)由已知1n n a aq -,=,因此13(1S a S a =,=+ 2q q + 234)(1)S a q q q ,=+++. 当134S S S ,,成等差数列时1432S S S ,+=,可得32aq aq aq =+.化简得210q q --=.解得q =.(2)证明:若q=1,则{n a }的每项n a a =,此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列. 若1q ≠,由m n l S S S ,,成等差数列可得m S +l S =2n S ,即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---. 整理得2m l n q q q +=.因此11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-+++,+=+==. 所以m k a +,、n k a +、l k a +也成等差数列.高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！。

高三一轮复习等差数列及其前n项和

⾼三⼀轮复习等差数列及其前n项和等差数列及其前n项和突破点⼀等差数列的基本运算1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能⽤等差数列有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与⼀次函数的关系[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的差都等于同⼀个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表⽰为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋a n)2.[基本能⼒]⼀、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(3)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的⼀次函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√⼆、填空题1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．答案：32．在等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________．答案：143．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________．答案：44．在等差数列{a n}中，已知d＝2，S100＝10 000，则S n＝________.答案：n2[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12B．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代⼊上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 2．已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，∴ a 1＝2，d ＝－3或a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4，∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2 .[⽅法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，⼀般可设出a 1和d ，利⽤等差数列的通项公式和前n 项和公式列⽅程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选⽤恰当的公式，利⽤⽅程(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]1．已知数列?a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20解析：选B 法⼀：设数列?a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法⼆：由于数列a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等，问各得⼏何？”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分五钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五⼈各得多少钱？”(“钱”是古代⼀种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )A.53 B ．32C.43D ．54解析：选C 甲、⼄、丙、丁、戊五⼈所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满⾜a 1＋a 2＝10，S 5＝40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10， S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以?a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝?11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.突破点⼆等差数列的性质及应⽤[基本知识]等差数列的常⽤性质(1)通项公式的推⼴：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运⽤性质及有关公式求解．(6)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则S n n 也是等差数列，其⾸项与{a n }的⾸项相同，公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝a na n＋1.(9)若等差数列{a n}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)a n＋1；②S奇S偶＝n＋1n.[基本能⼒]1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：依题意，得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.答案：742．设{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的⾸项是________．答案：23．在等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26[全析考法]考法⼀等差数列的性质[例1](1)若数列{an}为等差数列，S n为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝()A．25B．27C．50 D．54(2)在等差数列{a n}中，若a1，a2 019为⽅程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 010＋a2 018＝() A．10 B．15 C．20 D．40[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝2a3－3＝2a1＋4d－3，∴a5＝a1＋4d＝3，S9＝9a5＝27.(2)因为a1，a2 019为⽅程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 019＝10.由等差数列的性质可知，a1 010＝a1＋a2 0192＝5，a2＋a2 018＝a1＋a2 019＝10，所以a2＋a1 010＋a2 018＝10＋5＝15.故选B.[答案](1)B(2)B[⽅法技巧]利⽤等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n 等项时，可以利⽤此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n或a m＋n＋a m－n的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应⽤，如a n＝a m＋(n－m)d，d＝a n－a mn－m，S2n－1＝(2n－1)a n，n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等． [提醒] ⼀般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .考法⼆等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利⽤⼆次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最⼩值． [解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. ⼜a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)法⼀：(⼆次函数法)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最⼩值，最⼩值为－16. 法⼆：(通项变号法) 由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n . 由S n 最⼩a n ≤0，a n ＋1≥0，即?2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92，⼜n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最⼩值为S 4＝－16. [⽅法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种⽅法(1)⼆次函数法利⽤等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配⽅或借助图象求⼆次函数最值的⽅法求解． (2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满⾜a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最⼤值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满⾜?a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最⼩值为S m .[集训冲关]1.[考法⼀]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则3a 5等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21解析：选A 因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8. ⼜S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15. 2.[考法⼀]在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选B ∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2.⼜a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10. 3.[考法⼆]等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问：数列前多少项和最⼤？解：法⼀：∵a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. ∵a 1＝25>0，由a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最⼤值．法⼆：∵a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 从⽽S n ＝25n ＋n (n －1)(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最⼤．突破点三等差数列的判定与证明[典例] 各项均不为0的数列{a n }满⾜a n ＋1(a n ＋a n ＋2)2＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明数列?1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)证明：依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n ＝2a n ＋1，故数列1a n 是等差数列，设数列1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，所以1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2.(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1(n ＋2)(n ＋3)＝12( 1n ＋2－1n ＋3 )，故S n ＝12( 13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3 )＝n 6(n ＋3).[⽅法技巧]等差数列的判定与证明⽅法[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前⼀项的差是同⼀常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这⼀关键条件． [针对训练]已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴a 1＝4，d ＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2.(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2 ＝－6n 2－4n －6，2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4，若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5，∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．[课时跟踪检测][A 级基础题]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28D ．27解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.2．数列{2n －1}的前10项的和是( ) A ．120 B ．110 C ．100D ．10解析：选C ∵数列{2n －1}是以1为⾸项，2为公差的等差数列，∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(1＋19)×102＝100.故选C.3．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于( ) A ．2 B ．0 C ．－1D ．－2解析：选D 因为a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，所以数列{a n }为等差数列，公差d 为－1，所以a 4＝a 1＋3d ＝1－3＝－2，故选D.4．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选C ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2，故选C.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60D ．80解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得?a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.[B 级提升题]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列1S n 的前10项和为( )A.1112 B ．1011C.910D ．89解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 9＝12a 12＋6及等差数列的通项公式得a 1＋5d ＝12，⼜a 2＝4，∴a 1＝2，d ＝2，∴S n ＝n 2＋n ，∴1S n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S 10＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.选B.2．已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 2，则a 8＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选D 法⼀：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.法⼆：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，由S 3＝a 2可得3a 2＝a 2，解得a 2＝3或a 2＝0(舍去)，则d ＝a 2－a 1＝2，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于( ) A ．－18 B ．27 C ．18D ．－27解析：选B 法⼀：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27，故选B. 法⼆：由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×62＝27，故选B.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列?S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为⾸项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n2n ＝－n ，∴数列S n n 是以－1为⾸项，－1为公差的等差数列，∴数列S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5．《九章算术》“⽵九节”问题：现有⼀根9节的⽵⼦，⾃上⽽下各节的容积成等差数列，上⾯4节的容积共3升，下⾯3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升B ．6766升C.4744升 D ．3733升解析：选B 设该等差数列为{a n }，公差为d ，由题意得 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B. 6．已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最⼤值是( ) A ．15 B ．20 C ．26D ．30解析：选C 设数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 5－a 15－1＝－3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋14，由a n ≥0，a n ＋1≤0?14－3n ≥0，11－3n ≤0，解得113≤n ≤143，即n ＝4，所以{a n }的前4项和最⼤，且S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26，故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018＝( ) A ．2 018 B ．－2 018 C ．4 036D ．－4 036解析：选C 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，∴S n n 是等差数列．∵S 1212－S 10 10＝2，∴S n n 的公差为1，⼜S 11＝a 11＝－2 015，∴S n n 是以－2 015为⾸项，1为公差的等差数列，∴S 2 0182 018＝－2 015＋2 017×1＝2，∴S 2 018＝4 036.故选C.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满⾜b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n <2T n B ．b 4＝0 C ．T 7>b 7D ．T 5＝T 6解析：选D 因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，⼜b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9,2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D. 9．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n 有最⼤值，且a 2 019a 2 018<－1，则使得S n >0的n 的最⼤值为( ) A ．2 018 B ．2 019 C ．4 035D ．4 037解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知d <0，a 2 018>0，a 2 018＋a 2 019<0，所以S 4 035＝4 035(a 1＋a 4 035)2＝4 035a 2 018>0，S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2<0，所以使得S n >0的n 的最⼤值为4 035，故选C.10．设等差数列{a n }满⾜a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最⼩值，则这个最⼩值为( ) A ．－10 B ．－12 C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，⼜a 4a 6＝275，联⽴，解得a 4＝11，a 6＝25或a 4＝25，a 6＝11，当a 4＝11，a 6＝25时，可得a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最⼩值；当 a 4＝25，a 6＝11时，可得a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最⼩值．综上，a n a n ＋1的最⼩值为－12.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，∴a 1＋2d ＝5，a 1＋7a 1＋21d ＝10a 1＋20d ，解得?a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.答案：2n －112．设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．解析：法⼀：设数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴a n ＝6n －3.法⼆：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴a n ＝6n －3.答案：a n ＝6n －313．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最⼤值时，n 的值是________．解析：依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0.⼜数列{a n }是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，⾃第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最⼤值时，n ＝6. 答案：614．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 5，a 11成等⽐数列，且a 11＝2(S m －S n )(m >n >0，m ，n ∈N *)，则m ＋n 的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a 2，a 5，a 11成等⽐数列，所以a 25＝a 2a 11，所以(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋10d )，解得a 1＝2d ，⼜a 11＝2(S m －S n )(m >n >0，m ，n ∈N *)，所以2ma 1＋m (m －1)d －2na 1－n (n －1)d ＝a 1＋10d ，化简得(m ＋n ＋3)(m －n )＝12，因为m >n >0，m ，n ∈N *，所以 m －n ＝1，m ＋n ＋3＝12或m －n ＝2，m ＋n ＋3＝6，解得?m ＝5，n ＝4或m ＝52，n ＝12(舍去)，所以m ＋n ＝9.答案：915．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝45，S 6＝60. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满⾜b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *)，且b 1＝3，求?1b n 的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 6＝S 6－S 5＝15，所以?a 6＝a 1＋5d ＝15，S 5＝5a 1＋10d ＝45，解得a 1＝5，d ＝2，所以a n ＝2n ＋3.(2)b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋3＝n 2＋2n ，所以1b n ＝1n (n ＋2)＝121n －1n ＋2，所以T n ＝121＋12－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 4n 2＋12n ＋8.16．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c ，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1，a 2(a 12·4＝2n 2－n .(2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c＝2n 2－n n －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为⾸项，2为公差的等差数列.。

高三一轮复习等差数列及其前n项和

等差数列及其前n项和突破点一等差数列的基本运算1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋a n)2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(3)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√二、填空题1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．答案：32．在等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________．答案：143．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________．答案：44．在等差数列{a n}中，已知d＝2，S100＝10 000，则S n＝________.答案：n2[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12B．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 2．已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]1．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( ) A.53B ．32C.43 D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎨⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10， S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.突破点二等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解． (6)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(9)若等差数列{a n}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)a n＋1；②S奇S偶＝n＋1n.[基本能力]1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：依题意，得a2＋a4＋a6＋a8＝(a2＋a8)＋(a4＋a6)＝2(a3＋a7)＝74.答案：742．设{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．答案：23．在等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26[全析考法]考法一等差数列的性质[例1](1)若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝()A．25B．27C．50 D．54(2)在等差数列{a n}中，若a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 010＋a2 018＝() A．10 B．15C．20 D．40[解析](1)设等差数列{a n}的公差为d，a1＝2a3－3＝2a1＋4d－3，∴a5＝a1＋4d＝3，S9＝9a5＝27.(2)因为a1，a2 019为方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 019＝10.由等差数列的性质可知，a1 010＝a1＋a2 0192＝5，a2＋a2 018＝a1＋a2 019＝10，所以a2＋a1 010＋a2 018＝10＋5＝15.故选B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件；若求a m项，可由a m＝12(a m－n＋a m＋n)转化为求a m－n，a m＋n或a m＋n＋a m－n的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a n＝a m＋(n－m)d，d＝a n－a mn－m，S2n－1＝(2n－1)a n，S n＝n(a1＋a n)2＝n(a2＋a n－1)2(n，m∈N*)等．[提醒]一般地，a m＋a n≠a m＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m－n＋a m＋n＝2a m.考法二等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． [解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)法一：(二次函数法)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 法二：(通项变号法) 由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n . 由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92，又n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最小值为S 4＝－16. [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[集训冲关]1.[考法一]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于( ) A ．15 B ．17 C ．19D ．21解析：选A 因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8. 又S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15. 2.[考法一]在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选B ∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10. 3.[考法二]等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问：数列前多少项和最大？解：法一：∵a 1＝25，S 17＝S 9， ∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值．法二：∵a 1＝25，S 17＝S 9， ∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 从而S n ＝25n ＋n (n －1)2(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大．突破点三等差数列的判定与证明[典例] 各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1(a n ＋a n ＋2)2＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)证明：依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n ＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，所以1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2.(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1(n ＋2)(n ＋3)＝12( 1n ＋2－1n ＋3 )，故S n ＝12( 13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3 )＝n6(n ＋3).[方法技巧]等差数列的判定与证明方法[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件． [针对训练]已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2.(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2 ＝－6n 2－4n －6，2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4，若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5， ∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．[课时跟踪检测][A 级基础题]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．27解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.2．数列{2n －1}的前10项的和是( ) A ．120 B ．110 C ．100D ．10解析：选C ∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(1＋19)×102＝100.故选C.3．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于( ) A ．2 B ．0 C ．－1D ．－2解析：选D 因为a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，所以数列{a n }为等差数列，公差d 为－1，所以a 4＝a 1＋3d ＝1－3＝－2，故选D.4．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选C ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2，故选C.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60D ．80解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.[B 级提升题]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 9＝12a 12＋6，a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前10项和为( )A.1112 B ．1011C.910D ．89解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 9＝12a 12＋6及等差数列的通项公式得a 1＋5d ＝12，又a 2＝4，∴a 1＝2，d ＝2，∴S n ＝n 2＋n ，∴1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011.选B.2．已知等差数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 2，则a 8＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选D 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得3＋3d ＝1＋d ，解得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.法二：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，由S 3＝a 2可得3a 2＝a 2，解得a 2＝3或a 2＝0(舍去)，则d ＝a 2－a 1＝2，所以a 8＝1＋7×2＝15，故选D.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于( ) A ．－18 B ．27 C ．18D ．－27解析：选B 法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27，故选B. 法二：由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×62＝27，故选B.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n＝－n2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升C.4744升 D ．3733升解析：选B 设该等差数列为{a n }，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B. 6．已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( ) A ．15 B ．20 C ．26D ．30解析：选C 设数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 5－a 15－1＝－3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋14，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－3n ≥0，11－3n ≤0，解得113≤n ≤143，即n ＝4，所以{a n }的前4项和最大，且S 4＝4×11＋4×32×(－3)＝26，故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018＝( ) A ．2 018 B ．－2 018 C ．4 036D ．－4 036解析：选C 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．∵S 1212－S 1010＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 015，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，∴S 2 0182 018＝－2 015＋2 017×1＝2，∴S 2 018＝4 036.故选C.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n <2T n B ．b 4＝0 C ．T 7>b 7D ．T 5＝T 6解析：选D 因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9,2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D. 9．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n 有最大值，且a 2 019a 2 018<－1，则使得S n >0的n 的最大值为( ) A ．2 018 B ．2 019 C ．4 035D ．4 037解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知d <0，a 2 018>0，a 2 018＋a 2 019<0，所以S 4 035＝4 035(a 1＋a 4 035)2＝4 035a 2 018>0，S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2<0，所以使得S n >0的n 的最大值为4 035，故选C.10．设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋7a 1＋21d ＝10a 1＋20d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 答案：2n －112．设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．解析：法一：设数列{a n }的公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴a n ＝6n －3.法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴a n ＝6n －3.答案：a n ＝6n －313．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是________．解析：依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0.又数列{a n }是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.答案：614．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 5，a 11成等比数列，且a 11＝2(S m －S n )(m >n >0，m ，n ∈N *)，则m ＋n 的值是________．解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a 2，a 5，a 11成等比数列，所以a 25＝a 2a 11，所以(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋10d )，解得a 1＝2d ，又a 11＝2(S m －S n )(m >n >0，m ，n ∈N *)，所以2ma 1＋m (m －1)d －2na 1－n (n －1)d＝a 1＋10d ，化简得(m ＋n ＋3)(m －n )＝12，因为m >n >0，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝1，m ＋n ＋3＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝2，m ＋n ＋3＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝5，n ＝4或⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12(舍去)，所以m ＋n ＝9.答案：915．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝45，S 6＝60.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *)，且b 1＝3，求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 6＝S 6－S 5＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝15，S 5＝5a 1＋10d ＝45，解得a 1＝5，d ＝2，所以a n ＝2n ＋3.(2)b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋3＝n 2＋2n ，所以1b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n4n 2＋12n ＋8.16．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)在(1)中，设b n ＝S nn ＋c ，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4， ∴S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n .(2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2. ∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列.。

2020年高考数学一轮复习考点29等差数列及其前n项和必刷题理含解析

考点29 等差数列及其前n 项和1、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28 D ．27【答案】C【解析】由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝8，S 6＝54，则数列{a n }的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．92 【答案】A【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝8，S 6＝6a 1＋15d ＝54，解得a 1＝4，d ＝2.故选A.4、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6【答案】D【解析】.由题意得S 11＝11a 1＋a 112＝112a 1＋10d2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.5、已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为 ( ) A ．24 B ．39 C ．104 D ．52【答案】D【解析】因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48.所以a 4＋a 10＝8.其前13项的和为13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×82＝52，故选D.6、在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 020＝( )A ．2 020B ．－2 020C ．4 040D ．－4 040【答案】C【解析】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．∵S 1212－S 1010＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 017，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴S 2 0202 020＝－2 017＋2019×1＝2，∴S 2 020＝4 040.故选C.7、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，公差d ≠0，若S 11＝132，a 3＋a k ＝24，则正整数k 的值为 ( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】A【解析】依题意，得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6＝132，a 6＝12，于是有a 3＋a k ＝24＝2a 6，因此3＋k ＝2×6＝12，k ＝9，故选A.8、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＜2T nB ．b 4＝0C ．T 7＞b 7D ．T 5＝T 6【答案】D【解析】因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9,2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D.9、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9【答案】C【解析】由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7.该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8.故选C.10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升 C.4744升 D ．3733升【答案】B【解析】设该等差数列为{a n }，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B.11、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 3S 5＝25，则a 6a 12＝( )A ．4B ．2 C.14 D ．12【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝25，可得a 1＝d ，故a 6a 12＝a 1＋5d a 1＋11d ＝6d 12d ＝12.故选D.12、下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4【答案】D【解析】{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以{a n }是递增数列，故p 1正确；对p 2，举反例，令a 1＝－3，a 2＝－2，d ＝1，则a 1＞2a 2，故{na n }不是递增数列，p 2不正确；a n n ＝d ＋a 1－dn，当a 1－d ＞0时，{a n n}递减，p 3不正确；a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d,4d ＞0，{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．故p 1，p 4是正确的，选D.13、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则 ( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7【答案】D【解析】由条件，得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1.所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零．所以S n 的最小值为S 7.故选D.14、数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11【答案】B【解析】∵{b n }为等差数列，设其公差为d ，由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B.15、在等差数列{a n }中，已知a 3＝5，a 7＝－7，则S 10的值为( ) A ．50 B ．20 C ．－70 D ．－25【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d .∵a 7－a 3＝4d ＝－12，∴d ＝－3，∴a 10＝a 7＋3d ＝－16，a 1＝a 3－2d ＝11，∴S 10＝10a 1＋a 102＝－25.故选D.16、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列 D ．{d 2n }是等差数列【答案】A【解析】作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|， ∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|.设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)， ∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]， ∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列．17、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0的n 的最大值为________．【答案】19．【解析】∵a 11a 10＜－1，且S n 有最大值， ∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10＞0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0，故使得S n ＞0的n 的最大值为19.18、若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为________．【答案】23．【解析】因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，所以使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.19、在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 【答案】99【解析】∵a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99.20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．【答案】21【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该女最后一天织21尺布．21、已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝________. 【答案】－1【解析】因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11，即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋10d )，解得a 1＝－1.22、设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．【答案】1941【解析】因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.23、设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 【答案】130【解析】由a n ＝2n －10(n ∈N *)，知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0；当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.24、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】(1) 2n ＋2 (2) －n 2＋10n T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.25、记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．【答案】(1) (－2)n. (2) S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 11－q n 1－q ＝－23＋(－1)n·2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n·2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n·2n ＋13＝2S n，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．26、在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)若数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．【答案】(1)n ＋83. (2) －1或1【解析】(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1·(a 1＋7d )，解得a 1＝9d . 由数列{a n }的前10项和为45得10a 1＋45d ＝45，即90d ＋45d ＝45，所以d ＝13，a 1＝3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝n ＋83.(2)因为b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1，即T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 1＋nd ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19－19＋n ＝19－19＋n，因此1d2＝1，解得d ＝－1或d ＝1.故数列{a n }的公差为－1或1.27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 【答案】(1) a ＝2，k ＝10 (2)n n ＋32【解析】(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)，得S n ＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32.28、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2n －1 n2(2) 存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋16d ＝34，3a 1＋3d ＝9，解得a 1＝1，d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. (2)由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t，要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须有2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t，移项得2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ＝6＋6t －3－t3＋t 1＋t，整理得m ＝3＋4t －1. 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2,3,5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．。

2013届高考数学一轮复习课时检测第五章第二节等差数列及其前n项和理

第五章第二节等差数列及其前n 项和一、选择题1．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：由S 3＝9，S 5＝20，得d ＝1，a 1＝2，∴a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝3×9＝27. 答案：D2．(2012·西南大学附中模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( )A ．18B ．36C ．45D ．60解析：∵{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝15－a 5 ∴3a 5＝15，即a 5＝5. ∴S 9＝9a 1＋a 929a 5＝45.答案：C3．在等差数列{a n }中，a n ＜0，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，那么S 10等于( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15解析：由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0， ∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 3＋a 8)＝5×(－3)＝－15.答案：D4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6解析：a n ＝23＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞0a 7＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧23＋5d ＞023＋6d ＜0，解得－235＜d ＜－236，又d 为整数，所以d ＝－4. 答案：C5．(2011·大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：依题意得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2(2k ＋1)＋2＝24，解得k ＝5. 答案：D6．(2011·四川高考)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.答案：B 二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：748．(2011·广东高考)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以[1＋(k －1)×(－16)]＋[1＋(4－1)×(－16)]＝0.即k ＝10. 答案：109．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 5＝13，则a 5＋a 6＋a 7＝________. 解析：由a 1＋a 6＝a 2＋a 5得a 6＝11. 则a 5＋a 6＋a 7＝3a 6＝33.答案：33 三、解答题10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2＋a 4＝14，S 7＝70. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n{b n }的最小项是第几项？并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝147a 1＋21d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3..所以a n ＝3n －2.(2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n2所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥23n ·48n－1＝23.当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5.所以a 6＝－3－5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9a 1d ＋10d 2＋1＝0.两边同乘以8，得16a 21＋72a 1d ＋80d 2＋8＝0，化简得(4a 1＋9d )2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2(n ≥2，n 为正整数)，a 1＝12.(1)令b n ＝2n a n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围．解：(1)由2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，得2S n ＋1＝S n －(12)n ＋2，两式相减得2a n ＋1＝a n ＋(12)n，上式两边同乘以2n 得2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即b n ＋1＝b n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝1，故数列{b n }是等差数列，且公差为1，又因为b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，因此2n a n ＝n ，从而a n ＝n ·(12)n .(2)由于2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，所以2S n －S n －1＝2－(12n －1，即S n ＋a n ＝2－(12)n －1，S n ＝2－(12)n －1－a n ，而a n ＝n ·(12)n ，所以S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ＝2－(n ＋2)·(12)n . 所以S n ＋1＝2－(n ＋3)·(12)n ＋1，且S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋1＞0，所以S n ≥S 1＝12，又因为在S n ＝2－(n ＋2)·(12)n 中，(n ＋2)·(12)n ＞0，故S n ＜2，即S n 的取值范围是[12，2)。

高考数学一轮复习第五章数列第2课时等差数列及其前n项和课时作业理新人教版

第2课时等差数列及其前n项和1. 等差数列的定义如果一个数列从______ 项起，每一项与它的前一项的差都等于那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的___________ ,通常用字母__________ 表示.2. 等差数列的通项公式若等差数列｛a n｝的首项为a i,公差是d,则其通项公式为a n= __________ .3. 等差中项如果___________ ,那么A叫做a与b的等差中项.4. 等差数列的常用性质(1) 通项公式的推广：a n=a m+ ______ (n, N).(2) 若｛a n｝为等差数列，且m+n=p+q贝U_______________________________ ( m n, p, q€ N).⑶若｛a n｝是等差数列，公差为d,则a k, a k+m, a k+2m…(k, m€ N)是公差为 _____________ 的等差数列.⑷数列S m Sa m-S m, S3m-2m,… 也是等差数列.⑹若丹为偶如则S黑一务=臥若«为奇数Ml] S a-S fl=的(中间项).5. 等差数列的前n项和公式若已知首项a i和末项a n,则S n= __________ ,或等差数列｛a n｝的首项是a i,公差是d,则其前n项和公式为s= ________基础自测1.（教材改编）已知｛a n｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）.A. 4B. 5C. 6D. 72. 设数列｛a n｝是等差数列,其第n项和为S,若a6=2且S=30,则S等于（）.A. 31B. 32C. 33D. 343. （教材改编）已知数列｛a n｝,其通项公式为a n=3n-17,则其前n项和S取得最小值时n的值为（）.A. 4B. 5C. 6D. 74. （教材改编）有两个等差数列2,6,10，…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列｛a n｝的通项公式a n= ______ .5,（课本精迭题｝已知两个数列龙7厂蚣*心7与“ gy都是等差数列* 且则工二字的值为址_析 ---------指点迷津• 一个常数吐一心t =』（心2a）恆成立/为常数即公差*■一个中项任何两个数&与。

高考数学一轮复习课后限时集训29等差数列及其前n项和理含解析新人教A版

∴公差d＝＝＝6，
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×6＝6n－3.]
7．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a ＝a ＋a (n∈N*，n≥2)，则a7＝________.
[由2a ＝a ＋a (n∈N*，n≥2)，得数列{a }是等差数列，公差d＝a －a ＝3，首项a ＝1，所以a ＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝，∴a7＝ .]
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课后限时集训(二十九) 等差数列及其前n项和
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．(20xx·南宁模拟)等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于( )
C[因为a1＞0，a2 019＋a2 020＞0，a2 019·a2 020＜0，所以d＜0，a2 019＞0，a2 020＜0，所以S4 038＝
＝＞0，
S4 039＝＝4 039a2 020＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 038.]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则m＝( )
3．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为( )
A．15B．21 C．23D．25
D[由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2d.
∴λ＝＝＝＝25，故选D.]
4．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝( )
A. B．1 C. D.
即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，

高考数学一轮复习第五章数列课时达标29 等差数列及其前n项和

第29讲等差数列及其前n 项和[解密考纲]主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．已知等差数列{a n }的前13项之和为39，则a 6＋a 7＋a 8＝( B ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18解析由等差数列的性质得，S 13＝13a 7＝39，∴a 7＝3.由等差中项，得a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝9，故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( C ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析由已知得a 1＋4d ＝8,3a 1＋3×22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝16，故选C ．3．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9解析由题意可得S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴2(a 7＋a 8)＝0，即a 7＋a 8＝0.又∵a 1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．∴当S n 最大时，n ＝7.4．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10＝( C ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析在等差数列{a n }中，∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120，∴a 8＝24.2a 9－a 10＝a 8＝24，故选C ．5．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( C )A ．24B ．48C ．66D ．132解析设公差为d ，a 9＝12a 12＋3即a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋3，整理，得a 1＋5d ＝6，即a 6＝6.∴S 11＝a 1＋a 112＝11×2a 62＝66，故选C ．6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( C ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意的n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n >0不成立．二、填空题7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝__13__.解析由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋a 1＋a k ＋12＝k ＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.8．(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是__20__.解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝－4，从而a 9＝a 1＋8d ＝20.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是__(－3,21)__.解析设S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6. 因为－3<3a 3<3,0<6a 6<18，两式相加即得－3<S 9<21. 三、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋－2n2＝2n －n 2.由S k ＝－35，得2k －k 2＝－35，即(k ＋5)(k －7)＝0，又k ∈N *，故k ＝7.11．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析 (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1n －＝n －1－n 2nn －＝－12n n －.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －，n ≥2.12．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝－2101－2＋1＋2＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.。

高考数学总复习课时作业29 等差数列及其前n项和试题文新人教A版

课时作业(二十九) 等差数列及其前n项和A 级1．等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为( )A．1 B．2C．3 D．42．若等差数列{a n}的前5项和为S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )A．12 B．13C．14 D．153．设等差数列{a n}的前n项和S n，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝( ) A．18 B．17C．16 D．154．(2013·北京模拟)在等差数列{a n}中，2(a1＋a4＋a7)＋3(a9＋a11)＝24，则此数列的前13项之和等于( )A．13 B．26C．52 D．1565．在等差数列{a n}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是( )A．24 B．48C．60 D．846．(2012·广东卷)已知递增的等差数列{a n}满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝________.7．已知数列{a n}中，a1＝1且1a n＋1＝1a n＋13(n∈N*)，则a10＝________.8．各项均不为零的等差数列{a n}中，若a2n－a n－1－a n＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则S2 012等于________．9．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2 700，则a1＝________.10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－5，且它的前11项的平均值是5.(1)求等差数列的公差d；(2)求使S n＞0成立的最小正整数n.11．(2012·重庆卷)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．B 级1．设等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，S 21＝a 21，且a 1＞0，则有( ) A ．{a n }为递减数列，且S n 的最大值为S 10 B ．{a n }为递增数列，且S n 的最小值为S 11 C ．{a n }为递增数列，且S n 的最大值为S 10 D ．{a n }为递减数列，且S n 的最小值为S 112．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若{a n }是等差数列，求其通项公式；(2)若{a n }满足a 1＝2，S n 为{a n }的前n 项和，求S 2n ＋1.详解答案课时作业(二十九)A 级1．B 方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.方法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2. 2．B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝25，a 1＋d ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴a 7＝a 1＋6d ＝1＋6×2＝13.3．A 设{a n }的公差为d ，S 8－S 4＝12，(a 5＋…＋a 8)－S 4＝16d ，d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.4．B ∵2(a 1＋a 4＋a 7)＋3(a 9＋a 11)＝6a 4＋6a 10＝24， ∴a 4＋a 10＝4. ∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝26.5．C 由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60，故选C.6．解析：设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4， ∴d 2＝4，∴d ＝±2.由于该数列为递增数列，∴d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案： 2n －1 7．解析：由1a n ＋1＝1a n ＋13知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则1a n ＝1＋13(n －1)，即a n ＝3n ＋2.∴a 10＝310＋2＝14.答案： 148．解析： ∵a n －1＋a n ＋1＝2a n ， ∴a 2n －a n －1－a n ＋1＝a 2n －2a n ＝0，解得a n ＝2或a n ＝0(舍)．∴S 2 012＝2×2 012＝4 024. 答案： 4 0249．解析：根据题意可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50＝200①a 51＋a 52＋a 53＋…＋a 100＝2 700②②－①可得50×50d ＝2 500，可得d ＝1.由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50＝25×(a 1＋a 50)＝25(2a 1＋49d )＝200. 解得a 1＝－20.5. 答案：－20.510．解析： (1)∵S 11＝55，∴11×(－5)＋11×102d ＝55，∴d ＝2.(2)S n ＝(－5)n ＋n n －12×2＞0，n ＞6，所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为7.11．解析： (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.B 级1．A ∵S 21＝a 21，∴S 20＝0，又∵a 1＞0，∴d ＜0.∴{a n }为递减数列，∴a 10＋a 11＝0，a 10＞0，a 11＜0，∴S 10最大． 2．解析： ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：19413．解析： (1)由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，①a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②②－①得a n ＋2－a n ＝4，∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2.∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1，∴a 1＝－12，∴a n ＝2n －52.(2)∵a1＝2，a1＋a2＝1，∴a2＝－1.又∵a n＋2－a n＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，∴a2n－1＝4n－2，a2n＝4n－5，S2n＋1＝(a1＋a3＋…＋a2n＋1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(n＋1)×2＋n＋1n2×4＋n×(－1)＋n n－12×4＝4n2＋n＋2.。

高考数学一轮复习课时规范练29等差数列及其前n项和理新人教B版

【2019最新】精选高考数学一轮复习课时规范练29等差数列及其前n项和理新人教B版基础巩固组1.已知等差数列{an}中,a4+a5=a3,a7=-2,则a9=( )A.-8B.-6C.-4D.-22.(2017陕西咸阳二模,理4)《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺?( )A.3B.4C.5D.63.已知在每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=2(n∈N*,且n≥2),则a81等于( )A.638B.639C.640D.6414.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取最大值时,n的值是( )A.18B.19C.20D.215.(2017辽宁沈阳质量检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=( )A.5B.6C.7D.86.(2017北京丰台一模,理10)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a2=2,S9=9,则a8= .7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15= .8.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d= .9.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:成等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.〚导学号21500542〛10.Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1 000项和.综合提升组11.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为( )A.6B.7C.8D.912.(2017四川广元二诊,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,其中m≥2,则nSn的最小值为( )A.-3B.-5C.-6D.-913.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=anan+1an+2(n∈N+),设Sn为{bn}的前n项和.若a12=a5>0,则当Sn取得最大值时,n的值等于.14.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式an;(2)求Sn的最小值;(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.〚导学号21500543〛创新应用组15.有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若,则的值为( )A. B. C. D. 〚导学号21500544〛参考答案课时规范练29 等差数列及其前n项和1.B 解法一:由已知可得解得a1=10,d=-2,所以a9=10+(-2)×8=-6.解法二:因为a4+a5=a3,所以a3+a6=a3,a6=0,又a7=-2,所以d=-2,a9=-2+(-2)×2=-6.2.C 设第n天织布an尺,则数列{an}是等差数列,且S30=390,a30=21,∴S30=(a1+a30),即390=15(a1+21),解得a1=5.故选C.3.C 由已知Sn-Sn-1=2,可得=2,∴{}是以1为首项,2为公差的等差数列,故=2n-1,Sn=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.4.C a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.5.D 解法一:由题知Sn=na1+d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.解法二:Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.0 ∵{an}为等差数列,Sn为其前n项和.a2=2,S9=9,∴解得d=-,a1=,∴a8=a1+7d=0.7.211 由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n≥2),∴数列{an}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+×2=211.8.5 设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由题意得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.9.(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以=2.又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得=2n,∴Sn=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-.当n=1时,a1=不适合上式.故an=10.解 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.(2)因为bn=所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.11.B ∵a1=19,an+1-an=-3,∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{an}的前k项和数值最大,则有k∈N+.∴∴≤k≤.∵k∈N+,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.12.D 由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=2,am+1=3,所以d=1,∵Sm=0,故ma1+d=0,故a1=-,∵am+am+1=5,∴am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,解得m=5.∴a1=-=-2,nSn=nn3-n2,设f(n)=n3-n2,则f'(n)=n2-5n,令f'(n)=0,得n=或n=0,由n∈N+,得当n=3时,nSn取最小值×27-×9=-9.故选D.13.16 设{an}的公差为d,由a12=a5>0,得a1=-d,a12<a5,即d<0,所以an=d,从而可知当1≤n≤16时,an>0;当n≥17时,an<0.从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….因为a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故Sn中S16最大.故答案为16.14.解(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,∴∴通项公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,∴Sn=na1+d=2n2-n=2.∴当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,∴bn=,∴b1=,b2=,b3=.∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,即×2=,∴2c2+c=0,∴c=-(c=0舍去),故c=-.15.D 由题意,知a1+a2+a14+a19=2(a8+a10)=4a9,同理b1+b3+b17+b19=4b10,又∵,且Sn和Tn都是关于n的二次函数,∴设Sn=kn×3n=3kn2,设Tn=kn×(2n+1),a9=S9-S8=3k×17,b10=T10-T9=39k,∴.。

高考数学一轮复习课时作业28 等差数列及其前n项和文-人教版高三全册数学试题

课时作业28 等差数列及其前n 项和[基础达标]一、选择题1．[2020·某某某某二中月考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，S 3＝15，则a 7＝( )A ．11B ．12C ．9D ．15解析：通解 ∵{a n }为等差数列，S 3＝15，∴3a 2＝15，∴a 2＝5，又a 1＝3，∴公差为2，∴a 7＝3＋6×2＝15，故选D 项．优解 ∵a 1＝3，S 3＝15，∴a 2＋a 3＝12，∴a 1＋a 4＝12，∴a 4＝9，∴a 1＋a 7＝2a 4＝18，∴a 7＝15，故选D 项．答案：D2．[2020·某某南开中学月考]设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.56 解析：∵S 5＝3(a 2＋a 8)，∴5a 3＝6a 5，∴a 5a 3＝56，故选D 项．答案：D3．[2020·某某龙泉中学模拟]已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *)，若a 5－a 3a 2＝1，则a 4的值为( )A ．2B ．4C ．12D ．16解析：因为a n ＋1－a n ＝3(n ∈N *)，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，a 5－a 3a 2＝6a 1＋3＝1，所以a 1＝3，所以a 4＝3＋3×3＝12，故选C 项．答案：C4．[2020·某某某某模拟]在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A ．6B ．12C ．24D ．48解析：∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D.答案：D5．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：设项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd ＝2n ＝25－15＝10，故选A 项．答案：A二、填空题6．[2020·某某荆州模拟]在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10，则a 7＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 1＋d ＋a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝43，∴a 7＝a 1＋6d ＝1＋8＝9.答案：97．[2020·某某某某月考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝8，则S 9＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 3＋a 10＝8，∴3a 1＋12d ＝8，∴a 1＋4d ＝a 5＝83，∴S 9＝9a 5＝24.答案：248．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n >6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.三、解答题 9．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列． 10．[2019·全国卷Ⅰ]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值X 围．解析：(1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n n －9d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10.所以n 的取值X 围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }． [能力挑战]11．[2020·某某某某六中期中]已知数列{a n }为等差数列，a 3＝3，设{a n }的前n 项和为A n ，则A 6＝21，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若对一切n ∈N *，恒有S 2n －S n >m 16，则m 能取到的最大整数是( )A ．6B ．7解析：∵a 3＝3，A 6＝3(a 3＋a 4)＝21，∴a 4＝4，∴数列{a n }的公差为1，∴a 1＝1，∴a n ＝n ，∴1a n ＝1n ，∴S 2n －S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .令T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则T n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，∴T n ＋1－T n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴T n ＋1>T n ，∴T n 的最小值为T 1＝12，∴m 16<12，∴m <8，∴m 能取到的最大整数是7，故选B 项．答案：B12．[2019·某某某某期末]对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，已知数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －20}的前n 项和为S n ，则S n 最小值为( )A ．－70B ．－72C ．－64D ．－68 解析：∵数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，∴H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n ＝2n ＋1，∴a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，∴2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2)，∴a n ＝4n －2(n －1)＝2n ＋2(n ≥2)，又a 1＝4，满足上式，∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，∴a n －20＝2n －18，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n －20＝2n －18≤0，a n ＋1－20＝2n －16≥0得8≤n ≤9，∴S n 的最小值为S 8＝S 9＝－72，故选B 项．答案：B 13．[2020·某某某某第十六中学月考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为________．解析：∵S 17>0，S 18<0，∴17a 9>0,9(a 9＋a 10)<0，∴a 9>0，a 10<0且公差d <0，∴1≤n ≤9时，S n a n >0,10≤n ≤15时，S n a n <0，又1≤n ≤8时，0<a n ＋1<a n ，S n ＋1>S n >0，∴S 9a 9最大．答案：S 9a 9。

广西高考数学一轮复习考点规范练29 等差数列及其前n项和文-人教版高三全册数学试题

考点规范练29 等差数列及其前n 项和一、基础巩固1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 8=6,则S 9等于( )A.272B.27C.54D.1089=9(a 1+a 9)2=9(a 2+a 8)2=27.2.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( )A.172B.192C.10D.12公差d=1,S 8=4S 4,∴8(a 1+a 8)2=4×4(a 1+a 4)2, 即2a 1+7d=4a 1+6d ,解得a 1=12.∴a 10=a 1+9d=12+9=192.3.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A.-12B.-10C.10D.123S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d ,则3a 1+3d=d ,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.4.已知等差数列{a n }的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为( )A.110B.200C.210D.260{a n }的前n 项和为S n .∵在等差数列{a n }中,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列,又S 4=30,S 8=100,∴30,70,S 12-100成等差数列,∴2×70=30+S 12-100,解得S 12=210.5.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 是( )A.18B.19C.20D.211+a 3+a 5=105⇒a 3=35,a 2+a 4+a 6=99⇒a 4=33,则{a n }的公差d=33-35=-2,a 1=a 3-2d=39,S n =-n 2+40n ,因此当S n 取得最大值时,n=20. 6.在等差数列{a n }中,若aa a 2a 是一个与n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( ) A.{1}B.{1,12}C.{12}D.{0,1,12}.若aa a 2a =1,则数列{a n }是一个常数列,满足题意;若a aa 2a =12, 设等差数列的公差为d ,则a n =12a 2n =12(a n +nd ),化简,得a n =nd ,即a 1+(n-1)d=nd ,化简,得a 1=d ,也满足题意;若aa a 2a =0,则a n =0,不符合题意.故选B .7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+8×72×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.8.在数列{a n}中,其前n项和为S n,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S15=.S n+1+S n-1=2(S n+S1),得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),则数列{a n}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以S15=1+2×14+14×132×2=211.9.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1a a}成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以1a a −1a a-1=2.又1a1=1a1=2,故{1a a}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)可得1a a =2n,S n=12a.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12a −12(a-1)=a-1-a2a(a-1)=-12a(a-1).当n=1时,a 1=12不适合上式.故a n ={12,a =1,-12a (a -1),a ≥2.10.在等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3,解得a 1=1,d=25.所以{a n }的通项公式为a n =2a +35. (2)由(1)知,b n =[2a +35].当n=1,2,3时,1≤2a +35<2,b n =1; 当n=4,5时,2≤2a +35<3,b n =2;当n=6,7,8时,3≤2a +35<4,b n =3; 当n=9,10时,4≤2a +35<5,b n =4.所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.二、能力提升11.若数列{a n }满足:a 1=19,a n+1=a n -3(n ∈N *),则当数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A.6B.7C.8D.9a 1=19,a n+1=a n -3,∴数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列. ∴a n =19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n }的前k 项和数值最大,则有{a a ≥0,a a +1≤0,k ∈N *. ∴{22-3a ≥0,22-3(a +1)≤0.∴193≤k ≤223. ∵k ∈N *,∴k=7.∴满足条件的n 的值为7.12.(2018安徽皖中名校联盟联考)已知数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,且2a 1+3a 3=S 6,给出以下结论:①a 10=0;②S 10最小;③S 7=S 12;④S 19=0.其中一定正确的结论是( )A.①②B.①③④C.①③D.①②④{a n }的公差为d ,则2a 1+3a 1+6d=6a 1+15d ,即a 1+9d=0,a 10=0,故①正确;若a 1>0,d<0,则S 9=S 10,且它们为S n 的最大值,故②错误; S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,即S 7=S 12,故③正确;S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10=0,故④正确.13.已知数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n =a n a n+1a n+2(n ∈N *),设S n 为{b n }的前n 项和.若a 12=38a 5>0,则当S n 取得最大值时,n 的值等于 .{a n }的公差为d ,由a 12=38a 5>0,得a 1=-765d ,a 12<a 5,即d<0,所以a n =(a -815)d ,从而可知当1≤n ≤16时,a n >0; 当n ≥17时,a n <0.从而b 1>b 2>…>b 14>0>b 17>b 18>…,b 15=a 15a 16a 17<0,b 16=a 16a 17a 18>0, 故S 14>S 13>…>S 1,S 14>S 15,S 15<S 16,S 16>S 17>S 18>…. 因为a 15=-65d>0,a 18=95d<0,所以a 15+a 18=-65d+95d=35d<0,所以b 15+b 16=a 16a 17(a 15+a 18)>0,所以S 16>S 14,所以S n 中S 16最大.故答案为16.14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2<0,且1,a 2,81成等比数列,a 3+a 7=-6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a a a }的前n 项和T n 取得最小值时n 的值.∵a 3+a 7=-6=2a 5,∴a 5=-3.∵1,a 2,81成等比数列,∴a 22=1×81.又a 2<0,∴a 2=-9.∴等差数列{a n }的公差d=a 5-a 25-2=-3-(-9)5-2=2.∴a n =a 2+(n-2)×2=2n-13.(2)∵S n =a (-11+2a -13)2=n 2-12n. ∴a a a =n-12.由n-12≤0,解得n ≤12.因此,当n=11或n=12时,{a a a }的前n 项和T n 取得最小值. 15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项公式a n ;(2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =aa a +a ,求非零常数c.∵数列{a n }为等差数列,∴a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117,∴a 3,a 4是方程x 2-22x+117=0的两实根.又公差d>0,∴a 3<a 4,∴a 3=9,a 4=13,∴{a 1+2a =9,a 1+3a =13,∴{a 1=1,a =4.∴通项公式a n =4n-3. (2)由(1)知a 1=1,d=4,∴S n =na 1+a (a -1)2d=2n 2-n=2(a -14)2−18. ∴当n=1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n2-n ,∴b n =a a a +a =2a 2-a a +a , ∴b 1=11+a ,b 2=62+a ,b 3=153+a .∵数列{b n }是等差数列,∴2b 2=b 1+b 3,即62+a ×2=11+a +153+a ,∴2c 2+c=0,∴c=-12(c=0舍去),故c=-12.三、高考预测16.已知各项均为正数的等差数列{a n }满足:a 4=2a 2,且a 1,4,a 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有a n 的和:①20≤n ≤116;②n 能够被5整除.∵a 4=2a 2,且a 1,4,a 4成等比数列, ∴{a 1+3a =2(a 1+a ),a 1·(a 1+3a )=16,解得{a 1=2,a =2. ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,+1=20.∴满足条件的n组成等差数列{b n},且b1=20,d=5,b n=115,∴项数为115-205∴{b n}的所有项的和为S20=20×20+1×20×19×5=1350.2又a n=2n,即a n=2b n,∴满足条件的所有a n的和为2S20=2×1350=2700.。

新高考数学一轮复习课时规范练29 等差数列及其前n项和新人教A版高三全册数学试题

课时规范练29 等差数列及其前n项和基础巩固组1.(2019山西晋城三模,4)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=272,则a3+a9+a15=()A.64B.48C.36D.242.(2019重庆模拟)设S n是等差数列{a n}的前n项和,S5=3(a2+a8),则a5a3的值为()A.16B.13C.35D.563.已知等差数列{a n}的公差为d,且a8+a9+a10=24,则a1·d的最大值为()A.12B.14C.2D.44.(2019江西上饶六校联考一,5)已知等差数列{a n}的首项a1=2,前n项和为S n,若S8=S10,则a18=()A.-4B.-2C.0D.25.(2019四川峨眉山仿真考)在等差数列{a n}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,则数列{a n}的前11项和等于()A.66B.132C.-66D.-1326.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则S11=()A.66B.55C.44D.337.(多选)等差数列{a n}的前n项和为S n,若a9<0,a10>0,则下列结论正确的是()A.S10>S9B.S17<0C.S18>S19D.S19>08.设数列{a n}{b n}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.9.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1a a}成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.10.(2019湖南六校联考,17)已知数列{a n}中,a1=1,S n是其前n项和,且对任意的r,t∈N*,a aa a =(aa)2.(1)判断{a n}是否为等差数列,并证明你的结论;(2)略.11.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2aa +1=1a a+1aa +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A.a n =1aB.a n =2a +1C.a n =2a +2D.a n =3a12.(2019福建漳州质检二,3)《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺,在粗的一端截下一尺,重4斤;在细的一端截下一尺,重2斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的题设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是( )A.73斤B.72斤C.52斤D.3斤13.(2019安徽江淮十校模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =na n +n (n-1),且a 5是a 2和a 6的等比中项.(1)证明:数列{a n }是等差数列并求其通项公式;(2)略.14.(2019第三次全国大联考,11)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=30,2a n =a n+1+a n-1+2(n ∈N *且n ≥2),则数列{a n }的最大项的值是( )A.225B.226C.75D.7615.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 .16.已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a a -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a a -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列.(2)求数列{a n }中的通项公式a n .参考答案课时规范练29等差数列及其前n项和1.B由等差数列性质可知,S17=5(a1+a17)2=17a9=272,解得a9=16,故a3+a9+a15=3a9=48.故选B.2.D已知S5=3(a2+a8),由等差数列的性质可得5a1+10d=3(2a1+8d),即a1=-14d,所以a5a3=a1+4aa1+2a=-14a+4a -14a+2a =56.3.C∵a8+a9+a10=24,∴a9=8,即a1+8d=8,∴a1=8-8d,a1·d=(8-8d)d=-8d-122+2≤2,当d=12时,a1·d的最大值为2,故选C.4.B设等差数列{a n}的公差为d,由S8=S10,得a9+a10=0,所以2a1+17d=0,且a1=2,所以d=-417,得a18=a1+17d=2+17×(-417)=-2.故选B.5.D因为a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,所以a3+a9=-24,又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12,S11=11×(a1+a11)2=11×2a62=-132,故选D.6.D由等差数列的性质可得2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=36,即a1+a11=6.则S11=11(a1+a11)2=11×3=33.故选D.7.ABD根据题意可知数列为递增数列,a9<0,a10>0,∴前9项的和最小,故A正确,S 17=(a 1+a 17)×172=2a 9×172=17a 9<0,故B 正确,S 19=(a 1+a 19)×192=2a 10×192=19a 10>0,故D 正确,∵a 19>0,∴S 18=S 19-a 19,∴S 18<S 19,故C 不正确.故选ABD .8.35 ∵数列{a n },{b n }都是等差数列,设数列{a n }的公差为d 1,数列{b n }的公差为d 2,∴a 3+b 3=a 1+b 1+2(d 1+d 2)=21,而a 1+b 1=7,可得2(d 1+d 2)=21-7=14.∴a 5+b 5=a 3+b 3+2(d 1+d 2)=21+14=35.9.(1)证明当n ≥2时,由a n +2S n S n-1=0,得S n -S n-1=-2S n S n-1,所以1a a−1a a -1=2.又1a 1=1a 1=2,故{1a a}是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1a a=2n ,所以S n =12a .当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12a−12(a -1)=a -1-a 2a (a -1)=-12a (a -1).当n=1时,a 1=12不适合上式.故a n ={12,a =1,-12a (a -1),a ≥2.10.(1)解{a n }是等差数列.证明如下:因为对任意的r ,t ∈N*,都有aaa a=(a a )2,所以对任意的n ∈N *,有aa a 1=n 2,即S n =n 2.从而n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-1,且n=1时此式也成立.所以a n+1-a n =2(n ∈N *),即{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列.11.A由已知式2a a+1=1a a+1a a+2可得1a a+1−1a a=1a a+2−1a a+1,知{1a a}是首项为1a1=1,公差为1 a2−1a1=2-1=1的等差数列,所以1a a=n,即a n=1a.12.B依题意,金箠由粗到细各尺构成一个等差数列,设首项a1=4,则a5=2,设公差为d,则2=4+4d,解得d=-12.所以a2=4-12=72.故选B.13.证明(1)由S n=na n+n(n-1)得S n+1=(n+1)a n+1+n(n+1),所以S n+1-S n=(n+1)a n+1-na n+2n,又S n+1-S n=a n+1,所以na n=na n+1+2n,故a n+1-a n=-2.故数列{a n}是公差为-2的等差数列,且a5是a2和a6的等比中项,即a52=a2a6,得(a1-8)2=(a1-2)(a1-10),解得a1=11,所以a n=13-2n.14.B∵2a n=a n+1+a n-1+2,∴(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=-2,∴数列{a n+1-a n}是公差为-2的等差数列.∵a2-a1=29,∴a16-a15=29+15×(-2)=1>0,a17-a16=29+(16-1)×(-2)=-1<0.又∵数列{a n+1-a n}是单调递减数列,∴数列{a n+1-a n}的前15项和最大,即(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a16-a15)=a16-1最大,∴数列{a n}的最大项是第16项a16.又∵a16-1=15×29+15×142×(-2)=225,∴a16=226,∴数列{a n }的最大项的值是226.15.-49 由S n =na 1+a (a -1)2d 得{10a 1+45a =0,15a 1+105a =25,解得{a 1=-3,a =23,则S n =-3n+a (a -1)2·23=13(n 2-10n ), 所以nS n =13(n 3-10n 2),令f (x )=13(x 3-10x 2),则f'(x )=x 2-203x=x (a -203),当x ∈(1,203)时,f (x )单调递减, 当x ∈(203,+∞)时,f (x )单调递增,又因为6<203<7,f (6)=-48,f (7)=-49,所以nS n 的最小值为-49. 16.(1)证明因为a n =2-1a a -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a a -1.所以n ≥2时,b n -b n-1=1a a -1−1a a -1-1=1(2-1a a -1)-1−1a a -1-1=a a -1a a -1-1−1a a -1-1=1. 又b 1=1a 1-1=-52,所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知,b n =n-72,则a n =1+1a a=1+22a -7.。

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，
8×7 d＝32. 2
) 2．(2011·高考大纲全国卷)设 Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若a ＝－ 1 1，公差d＝2，S k＋ 2 S ＝ k 24，则k＝( A．8 B．7 C．6 D．5 解析：选D.∵S k＋2 －S k ＝a k＋1 ＋a k＋2 ＝a 1 ＋kd＋a 1 ＋(k＋1)d＝2a 1 ＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5. 3．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an }的前9 项和S 9 等于________．解析：∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27， 9 9 9 ∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9，则S 9 ＝2 (a 1 ＋a 9 )＝ 2 (a 4 ＋a 6 )＝ 2 ×(13＋9)＝99. 答案：99 4．(2012·荆州质检)已知数列{an}的通项公式为a n ＝2n.若 a 3 ，a 5分别为等差数列{b n }的第3 项和第5 项，试求数列{b }n 的通项公式及前n 项和S .n 解：a3＝8，a5＝32，则b 3 ＝8，b 5 ＝32.
2 3．若数列{an}的前n 项和为S ＝ ) n an ＋n(a∈R)，则下列关于数列{a } n的说法正确的是( A．{an}一定是等差数列 B．{an}从第二项开始构成等差数列 C．a≠0 时，{an }是等差数列 D．不能确定其是否为等差数列 n(n－1)d d d ＝(a － )n＋ n2 可知，该数列{a }一定是等差数列．解析：选A.由等差数列的前n 项和公式S ＝ n na ＋ 1 2 2 2 1 n ) 4．在等差数列{an}中，若S 4 ＝1，S 8 ＝4，则a 17 ＋a 18 ＋a 19 ＋a 20 的值为( A．9 B．12 C．16 D．17
b 1 ＋2d＝8， b 1 ＝－16. 设{bn}的公差为d，则有解得 b ＋4d＝32. d＝12. 1 从而b n ＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以数列{bn}的前n 项和 n(－16＋12n－28) ＝6n2－22n. S ＝ 2 n
一、选择题 1．设S n为等差数列{a n }的前n 项和，若S ＝ ( 8 30，S ＝ 4 7，则a 的值等于 4 1 9 A. 4 B.4 13 17 D. C. 4 4 d 8a ＋ 30 1 8×(8－1) ＝ 2 解析：选C.由题意可得 d 1 4×(4－1)2＝7 4a ＋
解析：选A.S 4 ＝1，S 8 －S 4 ＝3，而S ，－S ，－S 12 ，S 20 －S 16 成等差数列， 4 S － 8 S ， 4 S 12 8 S 16 即各项为1,3,5,7,9， ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.故选A. a11 ) 5．已知数列{an}为等差数列，若 <－1，且它们的前n 项和S 有最大值，则使 S >0 n n 的 n 的最大值为( a10 A．11 B．19 C．20 D．21 a11 解析：选B.∵ <－1，且S 有最大值， n a 10 ∴a10>0，a11<0，且a 10 ＋a 11 <0， 19(a1＋a19) ∴S19＝＝19· a >0， 2 10 20(a1＋a20) S ＝＝ 10( a ＋ a )<0， 2 20 10 11 故使得S n >0 的 n 的最大值为19. 二、填空题 6．(2011·高考湖南卷)设 Sn 是等差数列{an }(n∈N*)的前n 项和，且a ＝ 1 1，a ＝ 4 7，则S ＝ 5 ________. 5(a1＋a5) 解析：设等差数列的公差为d.由 a 1 ＝1，a 4 ＝7，得3d＝a －＝25. 4 a ＝ 1 6，故d＝2，∴a ＝ 5 9，S ＝ 5 2 答案：25 7．(2011·高考广东卷)等差数列{an }前 9 项的和等于前4 项的和．若a ＝ 1 1，a ＋ k a ＝ 4 0，则k＝________. 解析：设等差数列{an}的前n 项和为S ，则 S－ 0.而 a ＋ka ＝40，故k＝ n 9 S ＝ 4 0，即a ＋ 5a ＋ 6a ＋ 7a ＋ 8a ＝ 9 0,5a ＝ 7 0，故a ＝ 7 10. 答案：10 8．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9 项和S ＝ 9 ________. 解析：∵点(n，an)在定直线l 上， ∴数列{an}为等差数列．∴an＝a1＋(n－1)d. 将(5,3)代入，得3＝a 1 ＋4d＝a 5 . 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝3×9＝27. 答案：27 三、解答题 9．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10 项和S 10 ＝185.求数列{a } n 的通项公式a . n 解：设数列{an}的公差为d，因为a 2 ＝8，S 10 ＝185， a＋ d ＝ 8 1 a ＝5 ，解得 1 所以， 10×9 10a ＋ d＝3 d ＝ 185 1 2 所以a n ＝5＋(n－1)×3＝3n＋2，即 an＝3n＋2. 10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n 项和为S ，且 S＝ n k110. (1)求 a 及 k 的值； Sn (2)设数列{bn}的通项b n ＝ n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T . n 解：(1)设该等差数列为{an}，则a 1 ＝a，a 2 ＝4，a 3 ＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a ＝ 1 a＝2，公差d＝4－2＝2， k(k－1) k(k－1) 2 ×2＝k ＋k. 所以S k ＝ka 1 ＋ 2 · d＝2k＋ 2 由 Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10 或 k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. n(2＋2n) S (2)由(1)得 Sn＝＝n(n＋1)，则b ＝ n ＝n＋1， 2 n n 故 bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，＝ n(2＋n＋1) n(n＋3) 即数列{bn}是首项为2，公差为1 的等差数列，所以T ＝ n 2 2 . 11．(2012·金华联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S 4 ＝14，且a ，成等比数列． 1 a ， 3 a 7 (1)求数列{an}的通项公式； 1 }的前n 项和，若T ≤λa 对一切n∈N*恒成立，求实数λ 的最小值． (2)设 Tn 为数列{ anan＋1 n n＋1 解：(1)设公差为d.
1 1 ＝2－ n＋2 n ＝ . 2(n＋2) ∵Tn≤λan＋1， n ∴ ≤λ(n＋2)． 2(n＋2) ≤ 4 2(n＋2)2 2(4＋4)＝16. 2(n＋＋4) 1 n ∴λ 的最小值为 16.
4 a 1 ＋6d＝14，由已知得 (a1＋2d)2＝a 1 (a1＋6d)，
联立解得d＝1 或 d＝0(舍去)， ∴a1＝2，故a n ＝n＋1. 1 1 1 1 ＝－， (2) anan＋1 (n＋1)(n＋2)＝n＋1 n＋2 1 1 1 1 1 1 － ∴Tn＝2－3＋3－4＋…＋ n＋1 n＋2
人教版 2013 届高三一轮复习课时训练 29 等差数列及前 n 项和
1．设数列{an}是等差数列，其前n 项和为S ，若 a＝ ( n 6 2且S ＝ 5 30，则S 等于 8 A．31 B．32 C．33 D．34
)
a 1 ＋5d＝2 解析：选B.由已知可得 5a1＋10d＝30
26 1 a ＝ 3 解得 4 d＝－3 ，所以S 8 ＝8a 1 ＋
)
a ＝1 ，解得 1 4 d＝1
2 B. 2 2 D．－ 2
13 ，故a 4 ＝a 1 ＋3＝ 4，故选C. )
π 2．已知数列{an}为等差数列，其前n 项和为S ，若 a＋ ( n 4 a ＋ 5 a ＝ 6 ，则 9 4 cosS 的值为 1 A.2 1 C．－ 2
9(a1＋a9) π 9π 3π 3π 解析：选D.由等差数列的性质可知，a 4＋a 6＝2a 5，故a ＝，所以S ＝＝9a ＝12＝ 4 ，所以cosS ＝cos 4＝－ 5 9 2 5 9 2 12 ，故选D. 2

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