《大学物理》练习题及详细解答-—导体和电介质中的静电场
《大学物理学》习题解答静电场中的导体和电介质
根据球形电容器的电容公式，得：
C
4 0
R1R2 R2 R1
4.58102 F
【12.7】半径分别为 a 和 b 的两个金属球，球心间距为 r（r>>a，r>>b），今用一根电容可忽略的细导线将 两球相连，试求：（1）该系统的电容；（2）当两球所带的总电荷是 Q 时，每一球上的电荷是多少？
【12.7 解】由于 r a ， r b ，可也认为两金属球互相无影响。
以相对电容率 r ≈1 的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离，若两极间有电势差时，极间有电流，
从而可测出电离粒子的数量。若以 E1 表示半径为 R1 的长直导体附近的电场强度。（1）求两极间电势差的
关系式；（2）若 E1 2.0 106 V m1 , R1 0.30 mm , R2 20.00 mm , 两极间的电势差为多少？
， (R2
r) ；
外球面的电势 内外球面电势差
VR2
R2
E3 dr
Q1 Q2 4 0 R2
U
VR2
VR1
R2 R1
E2
dr
Q1 4 0
(1 R1
1) R2
可得：
Q1 6 109 C ， Q2 4 109 C
【12.4】如图所示，三块平行导体平板 A，B，C 的面积均为 S，其中 A 板带电 Q，B，C 板不带电，A 和 B 间相距为 d1,A 和 C 之间相距为 d2,求（1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；（2）将 B，C 导体 板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。
第 12 章 静电场中的导体和电介质
【12.1】半径为 R1 的金属球 A 位于同心的金属球壳内，球壳的内、外半径分别为 R2、R3 （ R2 R3 ）。
大学物理第十章有导体和电介质时的静电场习题解答和分析
第十章习题解答10-1 如题图10-1所示，三块平行的金属板A ，B 和C ，面积均为200cm 2,A 与B 相距4mm ，A 与C 相距2mm ，B 和C 两板均接地，若A 板所带电量Q =3.0×10-7C ，忽略边缘效应,求：（1）B 和C 上的感应电荷？（2）A 板的电势（设地面电势为零）。
分析：当导体处于静电平衡时，根据静电平衡条件和电荷守恒定律，可以求得导体的电荷分布，又因为B 、C 两板都接地，所以有AC AB U U =。
解：（1）设B 、C 板上的电荷分别为Bq 、C q 。
因3块导体板靠的较近，可将6个导体面视为6个无限大带电平面。
导体表面电荷分布均匀，且其间的场强方向垂直于导体表面。
作如图中虚线所示的圆柱形高斯面。
因导体达到静电平衡后，内部场强为零，故由高斯定理得：1A C q q =-2A B q q =-即 ()A B C q q q =-+ ① 又因为： AC AB U U = 而: 2AC AC d U E =⋅AB AB U E d =⋅∴ 2AC AB E E =于是：02C Bσσεε =⋅两边乘以面积S 可得：2C BS S σσεε =⋅即： 2C B q q = ②联立①②求得: 77210,110C B q C q C --=-⨯=-⨯题图10-1题10-1解图d(2) 00222C C A AC C AC AC q d d dU U U U E S σεε =+==⋅=⋅=⋅ 7334122102102.2610()200108.8510V ----⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯10-2 如题图10-2所示，平行板电容器充电后，A 和B 极板上的面电荷密度分别为+б和－б，设P 为两极板间任意一点，略去边缘效应，求： （1）A,B 板上的电荷分别在P 点产生的场强E A ,E B ; （2）A,B 板上的电荷在P 点产生的合场强E ； (3)拿走B 板后P 点处的场强E ′。
大学物理(下)练习题及答案
xyoa•••a-(0,)P y qq-大学物理（下）练习题第三编 电场和磁场 第八章 真空中的静电场1．如图所示，在点((,0)a 处放置一个点电荷q +，在点(,0)a -处放置另一点电荷q -。
P 点在y 轴上，其坐标为(0,)y ，当y a ?时，该点场强的大小为(A) 204q y πε； (B) 202q y πε；(C)302qa y πε； (D)304qa y πε.[ ]2．将一细玻璃棒弯成半径为R 的半圆形，其上半部均匀分布有电量Q +, 下半部均匀分布有电量Q -，如图所示。
求圆心o 处的电场强度。
3．带电圆环的半径为R ,电荷线密度0cos λλφ=,式中00λ>，且为常数。
求圆心O 处的电场强度。
4．一均匀带电圆环的半径为R ，带电量为Q ，其轴线上任一点P 到圆心的距离为a 。
求P 点的场强。
5．关于高斯定理有下面几种说法，正确的是(A) 如果高斯面上E r处处为零，那么则该面内必无电荷；(B) 如果高斯面内无电荷，那么高斯面上E r处处为零；(C) 如果高斯面上E r处处不为零，那么高斯面内必有电荷；(D) 如果高斯面内有净电荷，那么通过高斯面的电通量必不为零； (E) 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。
[ ]6．点电荷Q 被闭合曲面S 所包围，从无穷远处引入另一点电荷q 至曲面S 外一点,如图所示，则引入前后(A) 通过曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强不变；(B) 通过曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强不变；(C) 通过曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强变化；(D) 通过曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强变化。
[ ]7．如果将带电量为q 的点电荷置于立方体的一个顶角上，则通过与它不相邻的每个侧面的电场强度通量为xq g S Q g(A)06q ε； (B) 012q ε； (C) 024q ε； (D) 048q ε. [ ]8．如图所示，A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，A 面上的电荷面密度721.7718A C m σ--=-⨯⋅，B 面上的电荷面密度723.5418B C m σ--=⨯⋅。
《大学物理学》第四章-静电场中的导体与电介质-自学练习题
导体与电介质部分 自学练习题一、选择题:1．将一带正电的物体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，导体B 的电势将：（ ） （A ）升高; (B ）降低; （C)不会发生变化； (D ）无法确定.【提示：相当于将B 从无穷远移到A 附近，电势升高】2．将一带负电的物体M 靠近一个不带电的导体N ,在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷，若将导体N 的左端接地，则:（ ）（A)N 上的负电荷入地； (B ）N 上的正电荷入地； （C)N 上的所有电荷入地； （D ）N 上所有的感应电荷入地。
【提示：N 上感应出来的正电荷被M “吸住”，负电荷入地】3．如图所示，将一个电荷量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电导体球附近,点电荷距导体球球心为d ,设无限远处为电势零点，则导体球心O 点的场强和电势为：（ ) (A)0E =，04q V dπε=;（B ）204q E d πε=，04q V d πε=；（C ）0E =，0V =； (D ）204qE d πε=,04qV Rπε=。
【提示：静电平衡状态下，导体球内部不会有电场线；导体球是一个等势体，电势由所在的电场分布决定】4．如图所示，绝缘带电导体上a 、b 、c 三点，电荷密度是（ ）； 电势是（ ）: (A ）a 点最大； （B ）b 点最大； （C ）c 点最大; (D ）一样大.【提示：在静电平衡状态下，孤立导体在曲率较大处电荷面密度和场强的值较大；导体是等势体】5．当一个带电导体达到静电平衡时：（ ）(A ）表面上电荷密度较大处电势较高; （B ）表面上曲率较大处电势较高； （C)导体内部的电势比导体表面电势高;（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零. 【见上题提示】6．一个半径为R 带有电量为Q 的孤立导体球电容的决定式为：( ） （A ）04Q C Rπε=; （B ）204Q C R πε=；（C)04C Rεπ=；（D)04C R πε=。
3-2电磁-静电场中的导体与电介质 大学物理作业习题解答
C'' 1F A
C5和C6串联后,再与C’’并联的电容为
C C'' C''' C'' C5C6 3F C5 C6
C3 C1
C4
C5
C2 C6 B
(2)设V＝200伏，则AB间电荷为 q CV 6 104 C
由于 C'' : C''' 1 : 2 故
q'' : q''，' 因1 此: 2
(3)若球外r处又放一点电荷q，在球外表面上又感应出等量异号
电荷，但他在球心电势为零，故球心处电势为：
v0
q0 40r0
q0 40R1
Q q0 40R2
q 40r
补充2.3 有两个同轴的圆柱面，面内柱面半径为R1,电势为U1，外 柱面半径为R2,电势为U2，求两柱面间两点的电势差。
解：设内筒单位长度的电量为1，外筒为2，故R1与R2之间的电
0r2s2 1 d
2-2 如图平行板电容器面积为S，两板间距为d.(1)在保持电源与 电容器的极板相连接情况下扦入厚度为d’介质,求介质内外场强 之比；(2)电容器与电源断开,再扦入介质,情况如何?(3)扦入不
是介质,而是金属平板.(1),(2)这两种情况如何?
解：(1)在保持电源与电容器的极板相连接情 d
C=C球形+C球
4 0 R 2R1 R2 R1
4 0 R 2
4 0 R 2 2 R2 R1
11
2-11 三个平行金属板A、B、C面积均为200平方厘米，AB间距离
4.0毫米，AC间距离2.0毫米，B和C都接地。如果使A板带正电，
大学物理第十章有导体和电介质时的静电场习题解答和分析
第十章习题解答10-1如题图10-1所示，三块平行的金属板A,B和C,面积均为200cm2,A与B相距4mm , A与C相距2mm，B和C两板均接地，若A板所带电量Q=3.0 × 10-7C,忽略边缘效应，求:（1）B和C上的感应电荷？（2）A板的电势（设地面电势为零）。
分析：当导体处于静电平衡时，根据静电平衡条件和电荷守恒定律，可以求得导体的电荷分解：（1）设B、C板上的电荷分别为q B、q C。
因3块导体板靠的较近，可将6个导体面视为6个无限大带电平面。
导体表面电荷分布均匀，且其间的场强方向垂直于导体表面。
作如图中虚线所示的圆柱形高斯面。
因导体达到静电平衡后，内部场强为零，故由高斯定理得：q A1 - 7cq A2 =7B即Q A =-9B q C)①又因为：U AC =U ABU AC =E ACEAC =2 EABq c =2Q B联立①②求得q C= -2 10 ^C Z B=T10 RC布，又因为B、C两板都接地，所以有UAC= U AB。
-B疋：两边乘以面积S可得:=2 -；0S；「C SJ B-=2 B；0 ； 0即:题图10-1题10-1解图ABdU=U U=U =E —AACCAC AC272如0一4 12 200 x10 一疋8.85 汉10 一3 3 2 10 - =2.26 10 (V)10-2 如题图10-2所示，平行板电容器充电后，A和B极板上的面电荷密度分别为+6和—6,设P为两极板间任意一点，略去边缘效应，求：(1) A,B板上的电荷分别在P点产生的场强E A,E B;(2) A,B板上的电荷在P点产生的合场强E;(3) 拿走B板后P点处的场强E '。
分析：运用无限大均匀带电平板在空间产生的场强表达式及场强叠加原理求解。
解：(1) A B两板可视为无限大平板•所以A、B板上的电何在P点产生的场强分别为E A=",方向为：垂直于A板由A指向B板2%E B=二一，方向与E A相同•2 ；。
清华出版社《大学物理》专项练习及解析 10导体、介质中的静电
2 0
， E0
2 0
．
(B)
E0
2 0
， E0
2 0
．
(C)
E0
2 0
， E0
2 0
．
(D)
E0
2 0
E0
2 0
．
［
］
10、（1205C45） A、B 为两导体大平板，面积均为 S，平行放置，如图所示．A 板带
+Q1 A
电荷＋Q1，B 板带电荷＋Q2，如果使 B 板接地，则 AB 间电场强度的大
(A) R / r ．
(B) R2 / r2．
(C) r2 / R2．
(D) r / R ．
［
］
6、（1171B30）
选无穷远处为电势零点，半径为 R 的导体球带电后，其电势为 U0，则球外离球心距离为 r 处
的电场强度的大小为
(A)
R 2U 0 r3
．
(B)
U0 ． R
(C)
RU 0 r2
．
(D)
(A) 1 ＝ －， 2 ＝ ＋．
(B)
1
＝
1 2
，
2
＝
1 2
．
(C)
1
＝
1 2
，
1
＝
1 2
．
AB
(D) 1 ＝ －， 2 ＝ 0． 5、（1140B30）
［
］
半径分别为 R 和 r 的两个金属球，相距很远．用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带
电．在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比R / r 为
Rd O +q
(A) 0 ．
(B)
q
．
西南交通大学大物参考答案NO导体介质中的静电场
A 球电势 U A
= q1 4πε 0r1
+
q内 4πε 0r2
+
q外 4πε 0 r3
= 5400 V
B 球电势 U B
= q1 4πε 0r3
+
q内 4πε 0r3
+
q外 4πε 0 r3
=
q外 4πε 0r3
= 3600 V
4．一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为εr 的
电场强度 E′ = σ ′ / ε 0ε r = Q′ / S / ε 0ε r = ε rQ / S / ε 0ε r = E
电场能量W ′
=
1 C′V 2 2
=
1 2 ε rCV
2
= ε rW
即分别为 ε r ，1， ε r 倍
5．一空气平行板电容器，电容为 C，两极板间距离为 d。充电后，两极板间相互作用力
分布为
E = λ /(2πε r)
设电容器内外两极板半径分别为 r0，R，则极板间电压为
∫ ⋅ ∫ R � � R
U = E dr =
λ
λR d r = ln
r
r 2πε r
2πε r0
电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到 E0 时电容器击穿，这时应有
λ = 2πε r0 E0
R U = r0 E0 ln r0
适当选择 r0 的值，可使 U 有极大值，即令
dU /d r0 = E0 ln(R / r0 ) − E0 = 0
得 显然有
r0 = R / e
d2 U
< 0， 故当
d r0 2
r0 = R / e
大学物理第7章 静电场中的导体和电介质 课后习题及答案
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。
用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。
忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。
试证明：Rr =21σσ 。
证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为R R V 0211π4επσ=14εσR= 半径为r 的导体球的电势为r r V 0222π4επσ=24εσr= 用细导线连接两球，有21V V =，所以Rr =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E S∆+==⋅⎰)(10320σσε 故 +2σ03=σ上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ=3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。
解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V由电势叠加原理，球心电势为=O V R qdq R 3π4π4100εε+⎰03π4π400=+'=Rq R q εε 故 -='q 3q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。
8.导体和介电质中的静电场大学物理习题答案
r R1 ： E1
q 0 r ； 4 0 r 2 q 0 r 4 0 r 2
R1 r R2 ： E 2 0 ；
3
2
1 q
R1 -q
r R2 ： E 3
电势分布
q
r R1 ： U E d l E1 d l E 3 d r
Q 1 1 1 1 1 1 [( ) ( ) ] 4 0 r R1 r R1 R2 R2
R1 r R2 ： U 3 E d l E3 d r E 4 d r
r r R2
R2
Q 1 1 1 1 [ ( ) ] 4 0 r r R2 R2
3 B 球壳所带净电荷 Q ' q 'q Q q 4 3 （2）用导线将和相连，球上电荷与球壳内表面电荷相消。 Q" q' Q 4 2 8-3 两带有等量异号电荷的金属板 A 和 B， 相距 5.0mm，两板面积都是 150cm ，电量大小都是 2.66×l0 8C，
E dl
r
R0
r
E1 d l
R1
R0
E2 d r
R2
R2
R1
E3 d r
R2
E4 d r
R1
R0
Q dr 4 0 r 2
R2
R1
Q dr 4 0 r r 2
Q dr 4 0 r 2
大学物理静电场中的导体和电介质习题答案
第13章 静电场中的导体和电介质P70．13．1 一带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0， 可得P 点的电场强度为204q E rπε=．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为04cq U r πε=．13．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，可得电位移为 D = λ/2πr ， 其方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ， 方向也垂直中心轴向外．13．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一点电荷q ，求球心o 的电势为多少？[解答]点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为000111444o q q Q qU r a bπεπεπε-+=++13．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，忽略边缘效应．求（1）B 、C 板上的电荷为多少？图14.3图14.4（2）A板电势为多少？[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q1 = σ1S和q2 = σ2S，在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程q = q1 + q2 = σ1S + σ2S．①A、B间的场强为E1 = σ1/ε0，A、C间的场强为E2 = σ2/ε0．设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则ΔU = E1d1 = E2d2，②即σ1d1 = σ2d2．③解联立方程①和③得σ1 = qd2/S(d1 + d2)，所以q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)；q2 = q - q1 = 1×10-8(C)．B、C板上的电荷分别为q B= -q1 = -2×10-8(C)；q C= -q2 = -1×10-8(C)．(2)两板电势差为ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k = 9×109 = 1/4πε0，所以ε0 = 10-9/36π，因此ΔU = 144π= 452.4(V)．由于B板和C板的电势为零，所以U A = ΔU = 452.4(V)．13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q1 + q2 = 0．①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S，它们产生的场强大小分别为E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0．在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E1 - E2–E = 0，即σ1 - σ2–σ= 0，或者说q1 - q2 + q = 0．②解得电量分别为q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2．13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V，两板间相距为1.2mm，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2 = -σ3．两板之间的场强为E = σ3/ε0，而 E = U/d，所以面电荷密度分别为σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)，σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)．13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R1和R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式202214RCR Rπε=-表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R>>R2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为P2图14.5图14.61210012211441/1/R R C R R R R πεπε==--外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为2023141/1/C R R πε=-．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为12120022144R R C C C R R R πεπε=+=+-202214R R R πε=-． 方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为0201`044q q R R πεπε+=，因此感应电荷为12`R q q R =-． 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为122002`44R q q E r R rπεπε==-， 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为1122d d R R R R U E r =⋅=⎰⎰E l121202()d 4R R R qr R rπε=-⎰ 1212021202()11()44R q R R q R R R R πεπε-=-= 球面间的电容为202214R q C U R R πε==-．13．8 球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？[解答]球形电容器的电容为120012211441/1/R R C R R R R πεπε==--．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：0121212R R C R R πε=-．当电容器中充满介质时，电容为：0122212r R R C R R πεε=-．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：01212212(1)r R R C C C R R πεε+=+=-．13．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C 1 = ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2． 总电容的倒数为122112*********d d d d C C C S S Sεεεεεε+=+=+=， 总电容为 122112SC d d εεεε=+．13．10 圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的内半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U ；（2）介质中的电场强度E 、电位移D ； （3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，高斯面包围的自由电荷为 q = λl ， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = λ/2πr ， 方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ， 方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为21d d d 2R LLR U E r r r λπε=⋅==⎰⎰⎰E l 21ln 2R R λπε=． 电容为 212ln(/)q lC U R R πε==． 在真空时的电容为00212ln(/)l q C U R R πε==， 所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．13．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：（1）介质层内、外D 、E 、P 的分布； （2）介质层内、外表面的极化电荷面密度．[解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为2d d 4d SSD S r D Φπ=⋅==⎰⎰D S高斯面包围的自由电荷为q = Q 0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = Q 0/4πr 2， 方向沿着径向．用矢量表示为D = Q 0r /4πr 3．电场强度为E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3， 方向沿着径向．由于 D = ε0E + P ， 所以 P = D - ε0E = 031(1)4rQ rεπ-r． 在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以D = Q 0r /4πr 3，E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为E 0 = Q 0r /4πε0r 3；极化电荷q 1`产生的场强为E` = q 1`r /4πε0r 3；总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3． 由于 E = E 0 + E `，解得极化电荷为 `101(1)rq Q ε=-，介质层内表面的极化电荷面密度为``01122111(1)44r Q q R R σπεπ==-． 在介质层外表面，极化电荷为``21q q =-，面密度为``02222221(1)44r Q q R R σπεπ==-．13．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1． 两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2． 13．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为C = ε0S/d ，当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ； 另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．两个电容器并联，总电容为C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，静电能为W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ． 13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + εr )ε0S /2d ． （2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ， 充电后所带电量为 Q = C 0U ． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ． 设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得01112211/C U C QQ C C C C ==++， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为00112122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S dεσε===++． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为0021222(/1)(1)r r C U UC C S dεεσε==++．13．15 平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm ，电容器内有一块1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V 的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？[解答]平行板电容器的电容为C 0 = ε0εr S/d ，静电能为 W 0 = C 0U 2/2． 玻璃板抽出之后的电容为C = ε0S/d ．（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU 2/2， 电能器能量变化为ΔW = W - W 0 = (C - C 0)U 2/2 = (1 - εr )ε0SU 2/2d = -3.18×10-5(J)． （2）充电后所带电量为 Q = C 0U ， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为W = Q 2/2C ，电能器能量变化为2000(1)2C C U W W W C ∆=-=- 20(1)2r r SU dεεε=-= 1.59×10-4(J)．13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a 、b ．试证明电容器能量的一半储存在半径R =[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r ， 能量密度为 w = ε0E 2/2， 体积元为 d V = 2πrl d r ， 能量元为 d W = w d V ．在半径a 到R 的圆柱体储存的能量为20d d 2VVW w V E V ε==⎰⎰2200d ln 44Ral l R r r a λλπεπε==⎰．当R = b 时，能量为210ln 4l b W aλπε=；当R =22200ln48l l b W aλλπεπε==，所以W 2 = W 1/2，即电容器能量的一半储存在半径R =13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为a 、b ，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q )时，求：（1）在半径为r (a < r < b )、厚度为d r 、长度为l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？（2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？[解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l ，根据介质是高斯定理，可知电位移为D = λ/2πr = Q /2πrl ，场强为 E = D/ε = Q /2πεrl ， 能量密度为w = D ·E /2 = DE /2 = Q 2/8π2εr 2l 2．薄壳的体积为d V = 2πrl d r ， 能量为 d W = w d V = Q 2d r /4πεlr ．（2）电介质中总能量为22d d ln 44bV aQ Q bW W r lr l a πεπε===⎰⎰．（3）由公式W = Q 2/2C 得电容为222ln(/)Q lC W b a πε==．13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V 和300PF/900V ．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V 电压，是否会被击穿？[解答]当两个电容串联时，由公式211212111C C C C C C C +=+=， 得 1212120PF C C C C C ==+．加上U = 1000V 的电压后，带电量为Q = CU ，第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．。
大学物理下 静电场中的导体和电介质习题解答
q
q q
2．如图所示，一带负电荷的金属球，外面同 心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点 P处的场强大小与电势（设无穷远处为电势零 点）分别为：
(A) E = 0，U > 0． (B) E = 0，U < 0． B
(C) E = 0，U = 0． (D) E > 0，U < 0．
P
球壳内表面带正电荷，外表面带负电荷 金属球壳是一个等势体
ε1 ε2
5. 一导体球外充满相对介电常量为εr的均匀电介质，若测得导 体表面附近场强为 E ，则导体球面上的自由电荷面密度ε0 εr E 。
D ds Dds ds D
s
D
0
r
E
6. 一电荷为q的点电荷，处在半径为R、介电常量为ε1的各向同性、
均匀电介质球体的中心处，球外空间充满介电常量为ε2的各向同
性、均匀电介质，则在距离点电荷r (r<R) 处的场强为
，
电势 (选U∞=0)为
。
D ds qi
s
i
4r 2 Dr q
Er Dr
U
E
4Rrq1rR2
Er d r , U
q 4π1
1 r
1 R
q 4 2 R
2 1 qr R
7. 两金属球的半径之比为1:4，带等量的同号电荷。当两者的距 离远大于两球半径时，系统具有电势能W04 r
q 4 r
0
0
球心O点处总电势为分布在球壳内、外表面上的电荷和点电荷
q在O点产生的电势的代数和，
U 0
Uq
Uq
UQq
q 4 r
0
q 40R1
q Q 4 R
02
8大学物理习题及综合练习答案详解
导体8-1两个同心导体球壳A 和B ，A 球壳带电+Q ，现从远处移来一带+q 的带电体（见图8-1），试问（请阐明理由）：（1）两球壳间的电场分布与无+q 时相比有无变化？（2）两球壳间的电势差是否变化？（3）两球壳的电势是否变化？（4）如将B 球壳接地，上述（1）、（2）、（3）的情况又如何？ 解：（1）由于静电屏蔽作用，+q 对两球壳间的电场没有影响。
（2）由⎰⋅=B A AB l E U d 可知，由于E 不变，所以AB U 不变，即两求壳间的电势差不变。
（3）由电势叠加原理，+q 使两球壳的电势升高。
（4）B 球壳接地，由于屏蔽作用，两球壳间的电场分布不变，从而AB U 不变。
因B 球壳接地，电势不变，所以A 球壳电势也不变。
8-2半径为R 1的导体球A ，带电q ，其外同心地套一导体球壳B ，内外半径分别为R 2和R 3（见图8-2），且R 2=2R 1，R 3=3R 1。
今在距球心O 为d =4R 1的P 处放一点电荷Q ，并将球壳接地。
问（1）球壳B 所带的净电荷Q ’ 为多少？（2）如用导线将导体球A 与球壳B 相连，球壳所带电荷Q ” 为多少？ 解：（1）根据静电平衡条件，A 球上电荷q 分布在A 球表面上，B 球壳内表面带电荷-q 。
由高斯定理可得，R r R 21<<：0204r r q Eπε=A 球电势 10210208)11(4d 4d 21R q R R qr rq l E U R R BAA πεπεπε=-==⋅=⎰⎰设B 球壳外表面带电荷q ’，由电势叠加原理，A 球球心处电势40302010044'44R Q R q R q R q U πεπεπεπε++-+=1010********'244RR q R q R q πεπεπεπε++-= 1010104434'8R Q R q R q πεπεπε++=108R qU A πε==， Q q 43'-=∴ B 球壳所带净电荷 q Q q q Q --=-=43''（2）用导线将和相连，球上电荷与球壳内表面电荷相消。
静电场中的导体和电介质(含答案,大学物理作业,考研真题)
1、一片二氧化钛晶片，其面积为 1.0cm2, 厚度为 0.10mm 。把平行板电容器的两极板紧
贴在晶片两侧。此时电容器的电容为_____________. ；当在电容器的两板上加上 12V 电压时，
极板上的电荷为_____________. ；电容器内的电场强度为_____________ .。（二氧化钛的相
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3、（2018 年暨南大学）将一带电量为 Q 的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有：
（A）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q；
（B）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q，远端带+Q；
（C）金属导体两端带等量异号电荷，且电量 q<Q；
（D）当金属小球与金属导体相接触后再分离，金属导体所带电量大于金属小球所带电量。
二、 填空题
1、导体在达到静电平衡时，其导体内部的场强应为______；整个导体（包括导体表面）
的电势应是______；导体表面的场强方向应是______。
2、当空腔导体达到静电平衡时，若腔内无电荷，则给该空腔导体所带的电荷应分布
在
；若腔内有电荷，则空腔导体上的电荷应分布
在
。
3、如图所示，两同心导体球壳，内球壳带电量+q，外球壳带电量-2q。
（C）、使电容增大，但与介质板的位置无关；（D）、使电容增大，但与介质板的位置有关。
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3、（2011 年太原科技大学）两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自
孤立时的电容值加以比较，则:
（A）空心球电容值大；
（B）实心球电容值大；
（C）两球电容值相等；
（D）大小关系无法确定
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二、 填空题
（1）若两极上分别带有电荷+Q 和—Q，求各区域的电位移 D，电场强度 E，及电势 U；
大学物理第6章静电场中的导体和电解质试题及答案.docx
第6章 静电场中的导体和电解质一、选择题1. 一个不带电的导体球壳半径为F ,球心处放一点电荷，可测得球壳内外的电 场.此后将该点电荷移至距球心r/2处，重新测量电场. 的移动对电场的影响为下列哪一种情况？ [](A)对球壳内外电场无影响球壳内外电场均改变球壳内电场改变，球壳外电场不变球壳内电场不变，球壳外电场改变 T6-1-1图2. 当一个导体带电时,下列陈述中正确的是[](A)表面上电荷密度较大处电势较高(B)表而上曲率较大处电势较尚(C)表面上每点的电势均相等 (D)导体内有电力线穿过3. 关于带电导体球中的场强和电势，下列叙述中正确的是 [](A)导体内的场强和电势均为零(B) 导体内的场强为零，电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数4.当一个带电导体达到静电平衡时](A)导体内任一点与英表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高(C) 导体内部的电势比导体表面的电势髙 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 T6-1-5图5. 一点电荷q 放在一无限大导体平而附近，相距d,若无限大导体平面与地相 连，则导体平面上的总电量是q q 1(A)(B)-- (C)q (D)-g2 26. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷么则球壳内、外表面上电荷均匀 分布.若使g 偏离球心，则表面电荷分布情况为 [](A)内、外表面仍均匀分布(B)内表面均匀分布，外表面不均匀分布(B) (C) (D)(C)内、外表面都不均匀分布(D)内表面不均匀分布,外表面均匀分布10. 在一个带电量为Q 的大导体附近的P 点、,置一试验电荷q, &实验一 一()■测得它所受力为F.若考虑到q 不是足够小,则此时F/q 比P 点未放q \J P q 时的场强 ](A)小 (B)大T6-1-10 图(C)相等 (D)大小不能确定11. 有一负电荷靠近一个不带电的孤立导体,则导体内场强大小将[](A)不变 (B)增大 (C)减小 (D)其变化不能确定7.带电量不相等的两个球形导体相隔很远，现用一根细导线将它们连接起来.若大球半径为加，小球半径为弘当静电平衡后，两球表面的电荷密度Z 比s m / Sn 为加n m 2 n 2[](A) —n(B)(C) ___ 2(D) m& 真空中有两块面积相同的金属板，甲板带电4乙板带电 Q.现将两板相距很近地平行放置，并使乙板接地，则乙板所带的 电量为 [](A) 0(B) _q(C) (D) 2 2 甲乙T6-1-8 图9. 在带电量为的金属球的电场中，为测量某点的电场强度E ,现在该点放一 带电量为(+03)的试验电荷电荷受力为F,贝L 该点的电场强度满足 q 一6F 一 3F[](A) £ > 一 (B) E > 一 q q3F(C) E<3F(D)E 二—q q212.一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R的球壳中.在距球心为r(r < R )处的电场与放入小球前相比将[](A)放入前后场强相同(B)放入小球后场强增加(C)因两者电荷异号，故场强减小(D)无法判定T6-1-12图13-真空中有一组带电导体，其中某一导体表面处电荷面密度为5 ,该表面附近的场强大小E = 57%,其中£*是[](A)该处无穷小面元上电荷产生的场(B)该导体上全部电荷在该处产生的场(C)这一组导体的所有电荷在该处产生的场(D)以上说法都不对N-设无穷远处电势为零，半径为R的导体球带电后其电势为口则球外离球心距离为厂处的电场强度大小为R2U U RU U[](A)——(B) _r(C)—r2 (D) _R-平行板电容器始终与一端电压恒定的电源相连.当此电容器两极间为真空时,其场强为E。
题解6-静电场中的导体和电介质(精)
两圆柱面之间的电势差为：
uR1 uR2
R2
E
dl
R1
R2 Q dr Q ln R2
R1 2rL 0
2 0 L R1
则圆柱形电容器的电容为
C Q 2 0 L
uab ln( R2 / R1 )
20 20 20 20
20 20 20 20
解得：
1
2
Q 2S
; 3
4
Q 2S
E
Q
2 0 S
U AB
Ed
Qd 2ε0S
B板接地
(1 2 )S Q
4 0
1 2 3 4 0 1 2 3 4 0
U q
dq
4 0a
q
4 0a
（3）球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上 的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和
U0 Uq Uq UQq
q
q Qq
4 0r 4 0a 4 0b
q (1 1 1) Q
4 0 r a b 4 0b
q r2
r0
q q q
1 q
1q
U A U B
dr
rc 40 r 2
40 rc
q
3、 q q Q q
4 0r 4 0R1 4 0R2
Qq q
q
4、 (1 2 )S Q
3 4 0
1 2 3 4 0 1 2 3 4 0
20 20 20 20
20 20 20 20
《大学物理AⅠ》静电场中的导体和电介质习题、答案及解法(2010.6.4)(推荐文档)
静电场中的导体和电解质习题、答案及解法一．选择题1.一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。
在腔内离球心的距离为a 处放一点电荷q +，如图1所示。
用导线把球壳接地后，再把地线撤去。
选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ D ]（A ）aq 02πε； （B ）0 ；（C ）Rq 04πε-； （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-R a q 1140πε。
参考答案：)11(4)11(440020Ra q a R q dl Rq Edl V R aRa-=--===⎰⎰πεπεπε 2.三块互相平行的导体板之间的距离21d d 和比板面积线度小得多，如果122d d =外面二板用导线连接，中间板上带电。
设左右两面上电荷面密度分别为21σσ和，如图2所示，则21σσ为（A ）1 ； （B ）2 ； （C ）3 ；（D ）4 。
[ B ]解：相连的两个导体板电势相等2211d E d E =，所以202101d d εσεσ= 1221d d =σσ 3.一均匀带电球体如图所示，总电荷为Q +，其外部同心地罩一内、外半径分别为1r ,2r 的金属球壳。
设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势分别为[ B ] （A ）204rq πε，0 ； （B ）0，204r q πε ；（C ）0，rq 04πε ； （D ）0，0 。
参考答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-==•+•=•=⎰⎰⎰⎰∞∞∞2020201411441222r Q rQdr r Q ld E l d E ld E U r r r rpp πεπεπε4.带电导体达到静电平衡时，其正确结论是 [ D ]（A ） 导体表面上曲率半径小处电荷密度较小; （B ） 表面曲率较小处电势较高; （C ） 导体内部任一点电势都为零;（D ） 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。
参考答案：带电导体达到静电平衡时，导体是一个等势体，其外表面是一个等势面。
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导体8-1两个同心导体球壳A 和B ，A 球壳带电+Q ，现从远处移来一带+q 的带电体（见图8-1），试问（请阐明理由）：（1）两球壳间的电场分布与无+q 时相比有无变化？（2）两球壳间的电势差是否变化？（3）两球壳的电势是否变化？（4）如将B 球壳接地，上述（1）、（2）、（3）的情况又如何？ 解：（1）由于静电屏蔽作用，+q 对两球壳间的电场没有影响。
（2）由⎰⋅=B A AB l E U d 可知，由于E 不变，所以AB U 不变，即两求壳间的电势差不变。
（3）由电势叠加原理，+q 使两球壳的电势升高。
（4）B 球壳接地，由于屏蔽作用，两球壳间的电场分布不变，从而AB U 不变。
因B 球壳接地，电势不变，所以A 球壳电势也不变。
8-2半径为R 1的导体球A ，带电q ，其外同心地套一导体球壳B ，内外半径分别为R 2和R 3（见图8-2），且R 2=2R 1，R 3=3R 1。
今在距球心O 为d =4R 1的P 处放一点电荷Q ，并将球壳接地。
问（1）球壳B 所带的净电荷Q ’ 为多少？（2）如用导线将导体球A 与球壳B 相连，球壳所带电荷Q ” 为多少？ 解：（1）根据静电平衡条件，A 球上电荷q 分布在A 球表面上，B 球壳内表面带电荷-q 。
由高斯定理可得，R r R 21<<：0204r r q Eπε=A 球电势 10210208)11(4d 4d 21R q R R q r rq l E U R R BAA πεπεπε=-==⋅=⎰⎰设B 球壳外表面带电荷q ’，由电势叠加原理，A 球球心处电势40302010044'44R Q R q R q R q U πεπεπεπε++-+=1010********'244RR q R q R q πεπεπεπε++-= 1010104434'8R Q R q R q πεπεπε++=108R q U A πε==， Q q 43'-=∴ B 球壳所带净电荷 q Q q q Q --=-=43''（2）用导线将和相连，球上电荷与球壳内表面电荷相消。
Q q Q 43'"-==∴ 8-3两带有等量异号电荷的金属板A 和B ，相距5.0mm ，两板面积都是150cm 2，电量大小都是2.66×l0-8C ，A 板带正电并接地（电势为零），如图8-3所示。
略去边缘故应，求（1）两板间的电场强度E；（2）B 板的电势；（3）两板间离A 板1.0mm 处的电势。
解：建立如图所示的坐标系，左右板的电荷面密度分别为σ+和σ-。
（1）两板间的电场强度i SQ i i i E E E000022εεσεσεσ==+=+=右左N/C 100.2105.11085.81066.252128i i C ⨯=⨯⨯⨯⨯=--- 图8-1（2）V 100.1100.5100.2d d 3350⨯-=⨯⨯⨯-=⋅-=-=⋅=-⎰⎰B x ABB x E x E l E U B（3）V 0.200d 00.1310-=-=⎰-⨯x E U 8-4点电荷q 处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R 1和R 2（见图8-4）。
求电场强度和电势的分布，并画出E - r 和U - r 曲线.。
解：将空间分为三个区域，根据静电平衡时电荷分布和高斯定理可得 1R r <： 02014r r q Eπε=； R r R 21<<： 02=E ；2R r >： 02034r r q Eπε=电势分布1R r <：)111(4d d d 2103121R R r qr E l E l E U r R rr+-=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞πε21R r R ≤≤：2034d d 2R q r E l E U r rπε=⋅=⋅=⎰⎰∞∞2R r >：rq l E U r034d πε=⋅=⎰∞电介质8-5三平行金属板A 、B 和C ，面积都是200cm 2，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 间相距2.0mm ，B 、C 两板都接地（见图8-5）。
如果使A 板带正电3.0×10-7C ，在忽略边缘效应时，（1）求B 和C 板上的感应电荷以及A 板的电势；（2）若在A 、B 板间充满相对介电常数为εr =5的均匀电介质，求B 和C 板上的感应电荷以及A 板的电势。
解：（1）外侧面上电荷为零，其它面由左至右分别设为1、2、3、4面。
A q S S =+32σσ ，AB AC U U ∆=∆，即 AB AC d d 0302εσεσ= 322σσ=∴，得：S q A 33=σ，SqA 322=σ S q A 3221-=-=∴σσ， SqA 334-=-=σσ3C 1023271-⨯-=-==∴A C q S q σ，C 101374-⨯-=-==A B qS q σ V 1026.2323002⨯===AC AAC A d Sq d U εεσ （2）AB r AC d d εεσεσ0302=3252σσ=∴ 可得 S q A 753=σ Sq A 722=σ S q A 7221-=-=∴σσ，S q A 7534-=-=σσ，C 10767271-⨯-=-==∴A C q S q σ C 107157574-⨯-=-==A B q S q σ，V 1070.9722002⨯===AC A AC A d S q d U εεσ 8-6在一半径为R 1的长直导线外，套有内外半径分别为R 1和R 2、相对介电常数为εr 的护套。
设导线沿轴线单位长度上的电荷为λ，求空间的P E D、、。
解：取同轴长为l ，半径为r 的圆柱面为高斯面，由高斯定理rl D S D Sπ2d ⋅=⋅⎰1R r <：02=⋅rl D π，0=∴D ,0=E ,0=PR r R 21<<：l rl D λπ=⋅2，02r rD πλ=∴，0002r r DE r rεπελεε== 002)11(r rE P r e πλεεχ-==2R r >：l rl D λπ=⋅2， 02r rD πλ=∴，0002r r D Eπελε==， 00==E P e εχ 8-7半径为R 0的金属球，带电+Q ，置于一内外半径分别为R 1和R 2的均匀介质球壳中，介质的相对介电常数为εr ，如图8-7所示。
求：（1）电场强度和电位移分布；（2）电势分布；*（3）介质中的电极化强度；*（4）介质壳内外表面上的极化电荷面密度。
解：（1）作一半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理0R r <：01=E10R r R <<： Q r D S D S =⋅=⋅⎰2224d π ，0224r r Q D π=∴，0200224r r Q D Eπεε== 21R r R <<： Q r D S D S =⋅=⋅⎰2334d π ，0234r r Q D π=∴，0200334r r Q D E r rεπεεε== 2R r >：Q r D S D S =⋅=⋅⎰2444d π ，0244r r Q D π=∴，0200344r r Q D E πεε==3（2）0R r <：r E r E r E l E l E U R R R R R R rrd d d d d 221143211⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰∞∞⎰⎰⎰∞++=2211d 4d 4d 4202020R R R r R R r r Q r r Q r r Q πεεπεπε]1)11(1)11[(4221100R R R R R Q r +-+-=επε 10R r R <<：r E r E r E l E U R R R R rrd d d d 22114322⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞]1)11(1)11[(422110R R R R r Qr +-+-=επε 21R r R <<：r E r E l E U R R rrd d d 22433⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞]1)11(1[4220R R r Q r +-=επε 2R r >： r E l E U rrd d 44⋅=⋅=⎰⎰∞∞rQ 04πε=（3）02304)11(r r Q E P r e πεεχ-==（4）R 1处介质壳内表面的法向指向球心，与P反向 n P ⋅=∴'1σ214)11(R Qrπε--= R 2处介质壳外表面的法向向外，与P 同向，n P ⋅=∴'2σ224)11(R Q r πε-=电容器8-8平行板电容器，极板而积为S ，板间距为d 。
相对介电常数分别为εr1和εr2的两种电介质各充满板间的一半，如图8-8所示。
（1）此电容器带电后，两介质所对的极板上自由电荷面密度是否相等？为什么？（2）此时两介质内的电位移大小D 是否相等？（3）此电容器的电容多大？ 解：（1）设左右两侧极板上的电荷面密度分别为1σ±和2σ±，因两侧电势差相等d E d E 21=∴ 即 21E E =，有 202101r r εεσεεσ= 即2211r r εσεσ=，21r r εε≠ 21σσ≠∴ （2）对平行板 σ=D ，由21σσ≠ 可知 21D D ≠图8-8图8-7（3）左右两侧电容分别为dSC r 2101εε=，dSC r 2202εε=，两电容并联 )(221021r r dDC C C εεε+=+=8-9由半径为R 2的外导体球面和半径为R 1的内导体球面组成的球形电容器中间，有一层厚度为d 、相对介电常数为εr 的电介质，其中d ＜R 2—R 1，求该电容器的电容。
解：设两倒替球面分别带电荷Q +和Q -。
由高斯定理d R r R +<<11：02014r r Q E rεπε=；21R r d R <<+：02024r r Q E πε=两球壳间的电势差为r E r E l E U R dR dR R R R d d d 21112121⋅+⋅=⋅=∆⎰⎰⎰++⎰⎰+++=2111d 4d 42020R dR dR R r r r Q r r Q πεεπε)]11()11(1[421110R d R d R R Qr-+++-=επε)(4)]([12101212d R R R d R R R d R Q r r +--+=επεε )()(412121210d R R R d R d R R R U QC r r --++=∆=∴εεπε 电场能量8-10一个电容器电容C 1＝20.0μF ，用电压V =1000V 的电源给该电容器充电，然后拆下电源，并用另一不带电的电容器C 2接于原来电源处，已知C 2＝5.00 μF 。