25.4 圆周角(3)
圆周角定理(选修4-1)PPT课件
ADC∽ ABE,
AC AD. AE AB
∴AB·AC=AE·AD.
-
7
例2 如图,AB与CD相交于圆内一点P.
⌒
⌒
求证:AD的度数与BC的度数和的一
半等于∠APD的度数.
证明:过点C作CE//AB交圆于点E, 既非圆周角
则有 APD C.
也非圆角
⌒
⌒
∵AE=BC, ( ? )
∠ABE=∠BEC
-
4
一.圆周角定理 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。 已知 在⊙O中，B⌒C所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC, ∠BOC. 求证：∠BAC= ∠1BOC.
2
A
A
A
O
O
CB
C
B
分三种(1情) 况讨论.
(2) -
O
C
B
(3) 5
圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,
Ａ
2
13
Ｅ
4Ｆ
Ｂ
Ｄ
Ｐ Ｃ
-
9
习题2.1(P26)
1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C 与⊙O的弦AB交 于点D,求证:D是AB的中点.
2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且 CD=6cm.求AD的长.
⌒⌒ 3.如图,BC是⊙O的直径, AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF和AD相交 于E.求证:AE=BE.
B
C
D
A
F
E
ACO
EA D
B B DO
C
(第1题)
(第2题) -
圆周角定理及其运用
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°=90°.源自∴ △ABC 为直角三角形.
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半．都等于这条弧度数的一半。
A
C
G
B
●O
C
A
D
B
推论
1.在同圆或等圆中，如果（1）两个圆心角（2）两 个圆周角（3）两条弧（4）两条弦（5）两条弦心 C1
距中有一组量相等，那么其他对应四组量也相等。
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆A 周角所对的弦是直径．
∠CAD=_2_5__°__；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
D
A
O 40° B
C
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
O F
E
C2
C3
·O
苏教版九年级圆周角定理
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠4．过已知点作圆(1)经过一点的圆（以这个点以外任意一点为圆心，以这一点与已知点的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个）(2)经过两点的圆(以连接这两点的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点和已知两点中任意一点的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数个)(3)经过三点的圆①经过在同一直线上三点不能作圆．②过不在同一直线上三个点可以作且只可以作一个圆．作法是：连接任意两点并作中垂线，再连接另外两点并作中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点和已知三点中任意一点的距离为半径作圆，这样的圆只有一个． 5．三角形的外接圆(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。
如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，O 为△ABC 的外心，△ABC 是⊙O 的内接三角形。
说明：1、锐角三角形的外心在三角形的内部2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。
以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。
6．三角形的“四心”三、典型例题1、如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个2．如图2，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °．3．如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF上的任意一点，则PA +PC 的最小值为 .4、在△ABC 内，AB=20，AC=15，高AD=10,求能完全覆盖△ABC 的圆的最小半径长5.如图，△ABC 内接于⊙O ， D 为BC 上一点,且AD=5,CD=3,AC=7,AB=103求△ABC 的外接圆的面积6. 已知AD 是△ABC 的外接圆直径，CE ⊥AD 交AD 于F ，交AB 于E ，求证AC 2＝AB ·AEOEDCBAOBD CA图27、如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形．8、如图，AB是⊙O的直径，=，∠COD=60°．（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OC∥BD．9、如图，已知：P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。
圆周角—知识讲解（基础）
圆周角—知识讲解（基础）圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径；4．掌握圆内接四边形的对角互补.5．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O 中，，求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55°【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ 90AB BC CD DA ====°，∴ ∠BEC ＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（优质试题?台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（优质试题?安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．类型三、圆内接四边形4.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E 是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．【思路点拨】由圆周角定理，可求得∠A的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A．【答案】65；解：∵∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵∠A+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=65°．【总结升华】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，点C是AB上一点，O是圆心，且∠AOB=120°，则∠ACB=度．【答案】120；解：设点E是优弧AB上的一点，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，。
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
圆周角(3)
思考
25.4 圆周角
如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到 D，使AD=AB若∠ADB=30°，那么 ∠BOC=
B
O
C
A
D
小结
25.4 圆周角
请同学们从下面词语中选择1个或几个谈谈自己的收获?
圆周角 同弧 数学思想
25.4 圆周角
作业； 习题25.4 1
25.4 圆周角
请同学们在自己所画的圆 上任意确定一个圆周角，再画 出同一条弧所对的圆心角。用 量角器度量这两个角的度数， 你能得到怎样的结论？
由此，你有什么猜想？
探究圆周角的大小
25.4 圆周角
猜想：一条弧所对的圆周角等于 它所对圆心角的一半
探究圆周角的大小
25.4 圆周角
比较自己以及周围同学所画的圆周角,想 一想：根据圆心与圆周角的位置关系， 可以分为几种情况?
DB
所以，∠BA2C=∠DAC-∠DAB
1
1
= =
2∠DOC 1∠BOC。
∠DOB
2
2
练习
1、如图,点C、D在圆上,圆心角 ∠AOB=100°，则∠ADB= 50°.
25.4 圆周角
D O
变式1：如图,点C、D在圆上,圆心 A 角∠AOB=100°，∠ACB= 130°.
B C
C 130° B
D A
25.4 圆周角
回顾与思考
前面我们学习了与圆 有关的什么角?
顶点在圆心 的角,叫圆心角。
25.4 圆周角
A
O
B
C
25.4 圆周角
25.4 圆 周 角
25.4 圆周角
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边 都能与圆还另有一个交点的 角叫圆周角。
部编版九年级数学上册第四单元圆的有关性质圆周角及其定理课件PPT模板
以练助学
8．如图，把直角三角板的直角顶点 O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分 别交于点 M、N，量得 OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是( B )
A． 10 cm C．6 cmB．5 cm D．10 cm
以练助学
9．如图，在⊙O 中，半径 OC⊥弦 AB 于点 D，点 E 在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝4， C
第四章圆的有关性质第4课时 主讲人：小XX
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
以练助学
2．【湖北宜昌中考】如图，点 A、B、C 均在⊙O 上，当∠OBC＝40°时，∠A 的度数 是( A )
A．50° C．60°
B．55° D．65°
以练助学
3．【广东广州中考】如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，交⊙O 于点 C，连接 OA、OB、 BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB 的度数是( D )
以练助学
人教版数学九年级上册
第四章—圆的有关性质
4.4.1圆周角及其定理
第四章圆的有关性质第4课时 主讲人：小XX
以练助学
知识点1 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角．
如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，则∠ABC、∠ACB、∠BAC、 ∠ACD、∠BCD、∠CDE都是圆周角．
九年级下册数学课件(沪科版)圆周角定理及推论
四边形ABCD的对角线，完成下列填空：
∠1= ∠4 .
D
∠2= ∠8 .
78
∠3= ∠6 . ∠5= ∠7 .
A1 2 34
(
O
6 5
C
B
D 思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC = 90°， ∠ABC= 90°.
A
O
C
B
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径.
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相
等吗？请说明理由.
相等，∵ BAC 1 BOC，
D
2
BDC 1 BOC， 2
∴∠BAC=∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？
相等，
AB
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
证明：∵ ACB 1 AOB， 2
BAC 1 BOC， 2
∠AOB=2∠BOC，
A
O C
∴∠ACB=2∠BAC.
B
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交
BC于D，交AC于E.
(1) BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解：BD=CD. 理由如下：连接AD，
A
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
解：连接BC，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°.
A 又∵∠BAD=∠DCB=30°， ∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°.
专题04 圆周角定理(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法(人教版)
专题04 圆周角定理1.圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形（1）圆心O 在∠BAC 的一边上（如图甲）（2）圆心O 在∠BAC 的 内部（如图乙）（3）圆心O 在∠BAC 的外部（如图丙）甲 乙 丙4.圆周角和直径的关系概念规律 重在理解12BAC BOC ∠=∠半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.5.方法总结在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．6.圆内接四边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.推论1：圆的内接四边形的对角互补.推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．典例解析掌握方法【例题1】（2021湖南邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【例题2】（2021黑龙江鹤岗）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．【答案】5．【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．解：如图，连接OC．∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝5（cm），∴⊙O的半径为5cm．【例题3】如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？【答案】见解析。
初中数学《2、4圆周角》知识点+教案课件+习题
知识点：1.圆周角定义:像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。
3.圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
要点诠释:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上:圆心在圆周角的内部:圆心在圆周角的外部，(如下图)视频教学：练习：1.已知☉O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则反映直线l与☉O的位置关系的图形是 ()2.在平面直角坐标系中,☉P的圆心坐标为(-4,-5),半径为5,那么☉P与y轴的位置关系是 ()A.相交B.相离C.相切D.以上都不是3已知半径为10的☉O和直线l上一点A,且OA=10,则直线l与☉O的位置关系是 ()A.相切B.相交C.相离D.相切或相交4 在直角坐标平面内,已知点M(4,3),以点M为圆心,r为半径的圆与x轴相交,与y轴相离,那么r的取值范围为 ()A.0<r<< span="">5B.3<r<< span="">5 </r<<></r<<>C.4<r<< span="">5D.3<r<< span="">4</r<<></r<<>5.如图1,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 ()图1A.相切B.相交C.相离D.无法确定课件：教案：教学目标：知识与技能：理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；过程与方法：渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．情感态度与价值观：通过学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理等实验过程，培养学生合作意识和创新能力。
25.4 圆周角 课件9(沪科版九年级下册)
(4)两种思想方法：分类讨论和转化
作 业 课本31页习题25.4 1、2、3、4
过点A作直径AD.由(1)可得:
D
O
A
C
1 1 ∠CAD = ∠COD,∠BAD = ∠BOD, 2 2
1 ∠CAD-∠BAD = (∠COD-∠BOD), 2
B
∴
∠BAC =
1 ∠BOC. 2
定 理：
一条弧所对的圆周角等于 它所对圆心角的一半。
推论1：
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等，相等 的圆周角所对的弧也相等。
安徽省2012年初中数学青年教师
新课程优秀课评比参评课
马鞍山市外国语学校 汪宁 2012年12月6日
问 题
D C
B
A
顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个交点的 问题：将圆心角顶点移至圆周上，观察得到的 角叫做圆周角。 ∠BAC有什么特征？ A
O
B
Hale Waihona Puke C（第1课时）练习:下列图中，哪些角是圆周角?
问 题
练习
1、如图,AB是直径,则∠ACB= 90°
C
A
O
B
推论2：
半圆或直径所对的圆周角 是直角；90度的圆周角所对的 弦是直径。
A C
O
B
练习
2.如图，AB为⊙O 直径，CD为⊙O的弦， ∠ACD=28°，求∠BAD 的度数。
内容小结：
(1)一个概念：（圆周角）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半. (3)二个推论： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等；相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
25.4圆周角(第一课时))
B
C
D
B
演示
圆周角定理
演示
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系是:
• 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它 1 所对的圆心角的一半.
即∠ABC=
C
●
A C
●
A
2
∠AOC.
A
C B
●
O
O
O
B
B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
O C
.
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和 圆周角分别是多少度？ A A O
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
《圆周角》圆PPT课件
解：连接 OD.
C
∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB=ADB=90°． 在 Rt△ABC 中，
6
O
A
10
B
BC AB2 AC2 102 62 （8 cm）.
D
∵ CD 平分ACB， ∴ ACD=BCD，
∴ AOD=BOD ． ∴ AD=BD．
在 Rt△ABD 中， AD2+BD2=AB2 ，
1 2
α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
M
又∠C＝β＝ 12∠AOB,
C
∴β＝
1 2
(90°-α)＝45°-
1 2
α.
课堂小结
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.
圆
定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
周 圆周角定理
角 及其推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论 ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆
∠FBC=α，∠ACB=β．
(1)当α=50°时，求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系，并
给予证明.
C
解：(1)连接OA，交BF于点M. ∵A是B⌒F上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C=
1 2
∠AOB=
1 2
×40°=20°,
即β=20°.
(2)β=45°-
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧：∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC
有什么关系？
证明：根据圆周角定理可知，
A
B10 圆周角教学设计
25.4 圆周角（第1课时）
关于教具制作：
1.演示同一条弧所对圆周角与圆心角大小关系的变化情况
如图8所示，准备一个矩形硬板（50×50）和一条红色橡皮筋，在矩形中间画一个圆，画出圆心O,半径OC ，弦AC.在圆心O 和点A 处固定红色橡皮筋，然后拉伸橡皮筋至圆周上点B 处，移动点B ，即可演示同一条弧所对圆周角与圆心角大小关系的变化情况.
图8 图9 2. 演示圆周角与圆心位置关系
如图9所示，在图8的反面中间画一个圆，画出圆心O ，在圆周上取两点B 、C 固定橡皮筋，然后拉伸橡皮筋至圆周上点A 处，移动点A,即可演示圆周角与圆心位置关系.。
人教版九年级数学上册第24章第1节《圆周角》优秀课件
回忆
顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 A
B
一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等， 那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
也可以看成经过折叠而成折痕与圆周角的关系.swf
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)
上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小
关系. ∵ OA=OC
A
∴∠A=∠C
O
又 ∠BOC=∠A＋∠C
B
C
∴∠BOC=2∠A
即∠A= 1 ∠BOC 2
分析论证
你能证明第2种情况吗？
B
A D
O C
巩固练习
2.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
练一练
3、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ D ）
A、50°；
B、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
4、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ B ）
A、70°； C、90°；
B、100°； D、120°
B
C
练习:1,如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上 的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿5＿00＿＿＿ .
D
A
O 40° B
C
3,如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC 于D，交⊙O于F，AE与⊙O的直径，试问 两 弦 BE 与 CF 的 大 小 有 何 关 系 ， 说 明 理 由．
人教版数学九年级上册：24.圆周角PPT课件
●2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小 关系会怎样?
A C
●O
B
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
AD C
●O
B
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.圆周 角PPT 课件
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圆周角和圆心角的关系
（1） 圆心角的一边是圆周角的一条边，
（2） 圆心角在圆周角的内部，
（3） 圆心角在圆周角的外部．
A
A
A
C
C
C
●O B
●O
●O
B
B
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人 教4.1.4 圆周角
一. 复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心且两边与圆相交的角 叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间有
什么关系呢？
O.
B
C
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
A
● 如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如图的角， 它就是圆周角.
●O
C
B
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做
圆周角和圆心角的关系
●1.首先考虑一种特殊情况：
●当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
A C
●O
B
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25.4 圆周角（3） 笔记栏
课型：新课 主备： 审核：九年级备课组 集体备课人员： 学习目标：
1、识记圆的内接四边形的概念；
2、掌握圆内接四边形的性质；
3、运用圆内接四边形的性质解决有关问题。
学习重点：
圆内接四边形的性质定理。
学习难点：
圆内接四边形性质定理的灵活应用。
学习过程
一、学前准备：
1、如图(1)，△ABC 叫⊙O 的_________三角形，⊙O 叫△ABC 的____圆。
2、如上图(1),若弧BC 的度数为1000,则∠BOC=___,∠A=___
3、如图(2)四边形ABCD 中, ∠B 与∠1互补,AD 的延长线与 DC 所夹的角∠2=600 ,则∠1=___,∠B=___.
4、判断:
圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和
为3600( )
5、圆周角定理的内容是怎样叙述的？
二、探究活动： （一）独立思考·解决问题
1、如图(3),四边形ABCD
以四边形ABCD 是⊙O 的____四边形, ⊙O 叫四边
A 图1 图2
形ABCD的____圆.笔记栏2、什么叫圆内接多边形?多边形的外接圆呢?
3、你能解决下列问题吗?如图:
(1) ∵
所对圆心角为
所对圆心角为
∴∠1+∠2=的度数+的度数=______度.
∴∠BAD+∠BCD=
2
1
∠2+
2
1
∠1=_______
同理∠ABC+∠ADC=
(2)为什么∠DCE=∠A?
4、如何概述归纳第3题的结论?
圆的内接四边形定理：
（二）师生探究·合作交流
1、在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是
2:3:6.求这个四边形各角的度数。
2、若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（）（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
E
3、求证：圆内接平行四边形是矩形。
笔记栏 已知： 求证：
5、已知 : 在圆内接四边形 ABCD 中 ,∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求 ∠B,∠C,∠D 的度数.
三、学习体会：
1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方？
3、预习时的疑难解决了吗？ 四、应用与拓展： 1、填空
(1)四边形
ABCD 内接于⊙O ，则∠A+∠C=____，∠B+∠ADC=____； 若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______(
图5)
(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ADC=1000则 ∠ABC=_____∠AOC=_____(图6)
(3)四边形ABCD 内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
(4)梯形ABCD 内接于⊙O,AD ∥BC, ∠B=750,则∠C=_____(图7)
E B D
B C 图6
图7
图5
2、选择题笔记栏
(5)圆内接平行四边形必为( )
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.等腰梯形
3、解答
(6)已知 :以等腰△ABC 的底边 BC 为直径的⊙O 分别交
两腰 AB,AC 于点 E,D, 连结 DE,
求证 :DE‖BC
4、如图，⊙O
1与⊙O
2
都经过A、B两点，经过点A的直线CD与
⊙O
1交于点C，与⊙O
2
交于点D。
经过点B的直线EF与⊙O
1
交
于点E，与⊙O
2
交于点F。
求证：CE∥DF
五、教学反思：。