2016北京经济管理职业学院数学自主招生试题测试版(附答案解析)

限时：45分钟满分：70分
一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )
A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
解析：选B 法一：因为∁U A＝{2,4,6,7,9}，∁U B＝{0,1,3,7,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{7,9}．
法二：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：选C “存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．3．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或3B．0或3
C．1或3D．1或3
解析：选B 法一：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .
又A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，
∴m ＝3或m ＝m .
由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.
但m ＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，
故m ＝0或m ＝3.
法二：∵B ＝{1，m }，∴m ≠1，∴可排除选项C 、D.
又∵当m ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，
∴A ∪B ＝{1,3，3}＝A ，故m ＝3适合题意．
4．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝3－2x }，N ＝{y |y
＝
3－2x }，则图中阴影部分表示的集合是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 3
2<x ≤3
B.⎩⎪⎨⎪⎧
⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3
C.⎩⎪⎨⎪⎧
⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32≤x
<2
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <2 解析：选B 由3－2x ≥0，得x ≤32，即M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ≤32；由2x >0，得3－2x <3，即N ＝{y |y <3}．因此图中阴影部分表示的集合是∁R M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3. 5．“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B a ＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a ＝2或者a ＝－1.故“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的充分不必要条件．
6．设a >0，b >0，( )
A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >b
B ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <b
C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >b
D ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b
解析：选A ∵当0<a ≤b 时，显然2a ≤2b,2a ≤2b <3b ，
∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．∴它的逆否命题：若2a＋2a＝2b
＋3b，则a>b成立，故A正确，B错误．
当0<a≤b时，由2a≤2b,2a<3b，知2a－2a与2b－3b的大小关系不确定，所
以C不正确，同理D不正确．
7．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要而不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析：选D 对于A，注意到一个命题的否命题是将其题设与结论分别进行否定
所形成的新命题，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因
此A不正确．对于B，当x＝－1时，x2－5x－6＝0，当x2－5x－6＝0时x＝－1
或x＝6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，B不正确．对
于C，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，因此C不正确．对于D，由于命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，D正确．
8．下列命题中是假命题的是( )
A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数
B．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点
C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β
D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(x ＋φ)都不是偶函数
解析：选D 对于A ，若函数f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，则有m －1＝1，即m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，因此选项A 中的命题是真命题；对于B ，注意到当a >0时，关于t 的二次方程t 2＋t －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a >0，即该方程始终有两个不相等的实根，且两实根的积－a <0，即该方程始终有一正一负两个实根，因此此时函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，所以选项B 中的命题是真命
题；对于C ，注意到当α＝π2，β＝－π4时，有cos(α＋β)＝22，cos α＋cos β＝22
，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，因此选项C 中的命题是真命题；对于D ，注意到当φ＝
π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，因此选项D 中的命题是假命题． 二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)
9．已知全集U ＝R ，Z 是整数集，集合A ＝{x |x 2－x －6≥0，x ∈R}，则Z ∩∁U A 中元素的个数为________．
解析：由x 2－x －6<0，得－2<x <3，即∁U A ＝{x |－2<x <3}，Z ∩∁U A ＝{－1,0,1,2}，因此Z ∩∁U A 中元素的个数为4.
答案：4
10．已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3,2m －1}．若A ⊆B 则实数m 的值为________．
解析：∵A ⊆B ，∴m 2＝2m －1，或m 2＝－1(舍)．
由m 2＝2m －1得m ＝1.经检验m ＝1时符合题意．
答案：1
11．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”，那么f (p )＝________.
解析：由l 1∥l 2⇒a 1b 2－a 2b 1＝0，但a 1b 2－a 2b 1＝0⇒/ l 1∥l 2，故命题p 的原命题，逆否命题正确，但逆命题和否命题错误．所以f (p )＝2.
答案：2
12．设p ：x
x －2<0，q ：0<x <m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的
值可以是________．(只写出满足条件的一个m 值即可)
解析：∵由x
x －2<0，得0<x <2，∴p ：0<x <2，又∵p 是q 成立的充分不必要条
件，∴m >2，∴m 的值可以为大于2的任意一个实数．
答案：3
13．设命题p ：C 2<C ；命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4Cx ＋1>0，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数C 的取值X 围是________．
解析：命题p ：0<C <1，命题q ：－12<C <12
， ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 和q 有且仅有一个为真．
若p 真，q 假，则12
≤C <1， 若p 假，q 真，则－12
<C ≤0，
综上知，C 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1 14．给出下列三个结论：
①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；
②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有3个零点；
③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′
(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．
其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号)
解析：①显然正确；由y ＝x 与y ＝sin x 的图像可知，函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，所以x <0时，f ′
(x )>0，g ′(x )<0.所以f ′(x )>g ′(x )，③正确．
答案：①③。