福建省xx县第二中学201X-201x学年高二数学下学期第一次月考试题 理
201x-201X学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在
1.7.2 定积分在物理中的应用[课时作业][A 组 基础巩固]1．如果某质点以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝6t 做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为( )A ．5B ．7C ．9D ．13解析：v (2)－v (0)＝⎠⎛02a (t )d t ＝⎠⎛026t d t ＝3t 2| 20， ∴v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13.答案：D2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )A ．31 mB ．36 mC ．38 mD ．40 m解析：S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)|30＝33＋32＝36 m ，故应选B. 答案：B3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603m B.803m C.403m D.203m 解析：v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3| 20＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案：A4．一物体在力F (x )＝{ 100≤x ≤23x ＋4x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )所做的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋(32x 2＋4x )| 42＝46(J)． 答案：B5．汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度a ＝－5 m/s 2刹车，从开始刹车到停车，汽车走的路程为( )A ．5 mB ．9.8 mC ．10 mD ．15 m解析：v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，a ＝－5 m/s 2.设t s 后速度为v ，则v ＝v 0＋⎠⎛0t a d t ＝10－⎠⎛0t 5d t ＝10－5t ， 令v ＝0，得t ＝2(s)．设汽车由开始刹车到停车所走过的路程为s ，则s ＝⎠⎛02v d t ＝⎠⎛02(10－5t )d t ＝10(m)． 答案：C6．物体以速度v (t )＝t 2(单位：km/h)做直线运动，它在时间段[0,1]内运动的路程s (单位：km)为________．解析：s ＝⎠⎛01v (t )d t ＝⎠⎛01t 2d t ＝13t 3| 10＝13. 答案：137．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为________．解析：由F (x )＝kx ，得k ＝100，F (x )＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J)．答案：0.18 J8．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，则该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．解析：s ＝∫1001＋t d t ＝23(1＋t )32|100＝23(1132－1)． 答案：23(1132－1) 9．设有一根长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．解析：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意F (x )＝kx ，且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，即0.05k ＝100，∴k ＝2 000，∴F (x )＝2 000x .∴将弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时所做的功为W ＝∫0.150 2 000x d x ＝1 000x 2| 0.150＝22.5(J)．10．一辆汽车做变速直线运动，其速度函数v ＝v (t )＝⎩⎨⎧ 3t 2，t ∈[0，2]2t ＋4，t ∈2，10]，24，t ∈10，58]，－6t －582＋24，t ∈58，60].(其中时间t 的单位：s ，速度v 的单位：m/s)(1)求汽车前2 s 经过的路程s 1；(2)求汽车前30 s 经过的路程s 2；(3)求汽车1 min 内经过的路程s .解析：(1)当0≤t ≤2时，v ＝3t 2.∴s 1＝⎠⎛023t 2d t ＝t 3| 20＝8(m)． (2)当0≤t ≤2时，v ＝3t 2；当2<t ≤10时，v ＝2t ＋4；当10<t ≤30时，v ＝24.∴s 2＝⎠⎛023t 2d t ＋∫102(2t ＋4)d t ＋⎠⎛103024d t＝t3|20＋(t2＋4t)|102＋24t|3010＝8＋(140－12)＋24×(30－10)＝616(m)．(3)s ＝⎠⎛023t 2d t ＋∫102(2t ＋4)d t ＋⎠⎛105824d t ＋⎠⎛5860[－6(t －58)2＋24]d t ＝t 3| 20＋(t 2＋4t )| 102＋24t | 5810＋[－2(t －58)3＋24t ]| 6058 ＝8＋128＋24×48＋(－16＋24×2)＝1 320(m)．[B 组 能力提升]1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：令7－3t ＋251＋t ＝0，则t ＝4或t ＝－83<0，舍去． ⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln 1＋t | 40 ＝4＋25ln 5.答案：C 2．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功为________．解析：W ＝⎠⎛01F (x )d x ＝⎠⎛01(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|10＝(1＋e)－1＝e. 答案：e3.一物体做变速直线运动，其v t 曲线如图所示，该物体在12～6 s 间的运动路程为________．解析：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ， 0≤t ≤12， 1<t <313t ＋1， 3≤t ≤6，由变速直线运动的路程公式，可得＝t 2⎪⎪⎪ 112＋2t | 31＋(16t 2＋t )| 63＝494(m)． 所以物体在12～6 s 间的运动路程是494m. 答案：494m 4．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点速度达24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 站恰好停车．试求(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．解析：(1)设从A 到C 经过t 1 s ，由1.2t 1＝24得t 1＝20，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240 (m)． (2)设从D 到B 经过t 2 s ，由24－1.2t 2＝0得t 2＝20，所以BD ＝∫200(24－1.2t )d t＝(24t －0.6t 2)| 200＝240(m)．(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)，从C 到D 的时间t 3＝6 72024＝280(s)， 所以从A 站到B 站的时间为20＋280＋20＝320(s)．5．证明：把质量为m (单位：kg)的物体从地球的表面升高h (单位：m)所做的功W ＝G ·Mmh k k ＋h，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径． 证明：根据万有引力定律，对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f ＝G ·m 1m 2r2，其中G 为引力常数．则当质量为m的物体距离地面高度为x(0≤x≤h)时，地心对它有引力f(x)＝G·Mm k ＋x 2，故该物体从地面升到h 处所做的功为 W ＝⎠⎛0hf (x )d x ＝⎠⎛0h G ·Mm k ＋x 2 d x＝GMm ⎠⎛0h 1k ＋x 2 d x＝GMm (－1k ＋x)| h 0 ＝GMm (－1k ＋h ＋1k ) ＝G ·Mmh k k ＋h. 于是得证．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2021-2022学年福建省福州第二中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省福州第二中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=， 则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知集合{}|22U x x =-≤≤，集合{}220A x x x =--<，则UA （ ）A ．{}21x x -≤<-B ．{}21x x -≤≤-C ．{}{}212x x -≤<-⋃D ．{}{}212x x -≤≤-⋃【答案】D【分析】解出A 集合，通过补集运算算出UA 即可【详解】解：{}{}22012A x x x x x =--<=-<<所以UA{}{}212x x -≤≤-⋃故选：D3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．4．已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=，则aba b+的最大值为（ ） A．3+B．3-CD ．16【答案】B【分析】由题意知直线过圆C 的圆心得到21a b +=，求aba b+的最大值可转化为11a b ab a b +=+的最小值的倒数，利用基本不等式1“”的妙用求最值即可. 【详解】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>，11112()(2)33a b b aa b ab a b a b a b+∴=+=++=++≥，3ab a b ∴≤=-+当且仅当2b a a b =，即212b a ==，ab a b +的最大值为3-故选：B5．已知圆锥SO 的底面半径为2，若其底面上存在两点A ，B ，使得90ASB ∠=︒，则该圆锥侧面积的最大值为（ ） A． B ．2πC．D ．4π【答案】C【分析】根据OA OB AB +≥可确定l ≤. 【详解】设圆锥的母线长为l ，90ASB ∠=，AB ∴=，又OA OB AB +≥（当且仅当AB 为底面圆直径时取等号），4AB ∴≤，即l ≤，∴圆锥侧面积22S l l ππ=⨯⨯=≤，即所求最大值为.故选：C6．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，则（ ）A ．()()()0.250.5log 0.5log 0.20.5f f f >> B ．()()()0.250.5log 0.50.5log 0.2f f f >> C ．()()()0.20.55log 0.20.5log 0.5f f f >> D ．()()()0.20.550.5log 0.2log 0.5f f f >>【答案】B【分析】由于()f x 是()0,+∞上递减的偶函数，故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小，结合指数函数，对数函数的单调性即可比较.【详解】由110.5222log 0.2log 5log 5log 42--==>=，即0.5log 0.22>，注意到()()52ln 2ln 5log 2log 51ln 5ln 2⨯=⨯=，由155550log 1log 0.5log 2log 2-=<==，故50log 20.5<<，即50log 0.50.5<<，又根据指数函数性质，0.5x y =是R 上的减函数，故10.200.50.50.5<<，即0.20.50.51<<，于是0.250.5log 0.50.5log 0.2<<，又()f x 是()0,+∞上递减的偶函数，则()()()0.250.5log 0.50.5log 0.2f f f >>.故选：B7．若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BC D 【答案】A【详解】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 8．函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为（ ） A ．9 B ．6 C ．4.5 D ．3【答案】A【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =π，ln 23y x =-，作出这两个函数的部分图像，确定两个图像的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令 sin y x =π ， ln 23y x =- ， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图像都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图像，如图，观察图像知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图像有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=， 所以，1234569x x x x x x +++++=，所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9.故选：A二、多选题9．某人有6把钥匙，其中n 把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1n =时，16p = B ．当2n =时，13p = C ．当3n =时，310p = D ．当4n =时，45p =【答案】AC【分析】根据n 不同的取值，分别计算对应概率求解. 【详解】当1n =时，511656p ⨯==⨯，选项A 正确； 当2n =时，4246515p ⨯==⨯，选项B 错误； 当3n =时，3336510p ⨯==⨯，选项C 正确； 当4n =时，2446515p ⨯==⨯，选项D 错误. 故选：AC10．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =-的图象 【答案】BCD【分析】根据正弦型函数的性质、图象的变换性质，结合已知图象逐一判断即可.【详解】由题意知，2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以周期T π=，22πωπ==， 又552sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,,2,623k k Z k k Z πππϕπϕπ+=+∈⇒=-∈， 因为2πϕ<，所以令0k =，即3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以A 错误；又2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；因为11,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以232,332x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由于正弦函数在其上单调递减，所以函数()f x 在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；将()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到2sin 22cos2122y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 正确．故选：BCD ．11．已知函数()()R f x x ∈满足()()()492f x f x f =-+，又()9f x +的图象关于点()9,0-对称，且()12022f =，则（ ） A ．()20f =B ．()()()4445462022f f f ++=-C ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称D ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()1,3对称【答案】ABC【分析】将2代入()()()492f x f x f =-+可算出()20f =，故A 正确；将()20f =代入可得()f x 关于2x =对称，又因为()9f x +的图象关于点()9,0-对称，可得()f x 关于点()0,0对称，利用()f x 的双对称可以得到()f x 的周期，然后通过()f x 的周期和对称算出()()()44,45,46f f f ，故B 正确；先研究1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是由()f x 经过各种图像变换，就可求出1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的对称中心，故C 正确，D 错误【详解】解：将2x =代入()()()492f x f x f =-+得()()()2292f f f =+， 所以()20f =，故A 正确；将()20f =代入()()()492f x f x f =-+得()()4f x f x =-， 所以()f x 关于2x =对称，()9f x +是()f x 向左平移9个单位长度得到，因为()9f x +的图象关于点()9,0-对称，所以()f x 关于点()0,0对称 所以()()()()4,f x f x f x f x =-=--所以()()()44,f x f x f x =-=--()()()4448f x f x f x -=---=-- 所以()()8f x f x =-，所以()f x 的周期为8， 所以()()()()44485400f f f f =+⨯===，()()()()()453863312022f f f f f =-+⨯=-=-=-=- ()()()()46286220f f f f =-+⨯=-=-=所以()()()4445462022f f f ++=-，故B 正确；1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是由()f x 先向右平移一个单位得到()1f x -，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的三倍得到113f x ⎛-⎫⎪⎝⎭，最后向上平移3个单位长度得到1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称，故C 正确，D 错误；故选：ABC12．已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，11AA =，M 为AB 的中点，点P 在线段1BC 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线1//BC 平面1A MC B ．A 和P 到平面1A MC 的距离相等C ．三棱锥1P A MC -D ．不存在点P ，使得1AP A C ⊥【答案】ABD【分析】连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ，证得1//OM BC ，进而得到1//BC 平面1A MC ，可判定A 正确；证得AN NP =，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B 正确；先证明CM AB ⊥，并求出CM 的长度，1//BC 平面1A MC ，所以,B P 到平面1A MC 的距离是一样的，所以11P A MC B A MC V V --=，继而算出答案，可得C 是错误的；假设存在点P ，使得1AP A C ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈，结合10AC AP ⋅>，可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，连接11,A C AC 交于点O ，连接OM ， 因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以O 为1AC 的中点，又因为M 是AB 的中点，所以1//OM BC ，由OM ⊂平面1A MC ，且1BC ⊄平面1A MC ，所以1//BC 平面1A MC ，所以A 正确；对于B 中，在1ABC ，因为AP 交OM 于点N ，1//OM BC ，AM MB =，所以AN NP =， 因为AN 与PN 与平面1A MC 成角相等，所以A 和P 到平面1A MC 的距离相等， 所以B 正确；对于C 中，因为底面是正三角形，且M 为AB 的中点，所以CM AB ⊥， 所以22213CM -因为1//BC 平面1A MC ，且P 在1BC 上， 所以11111113131332P A MC B A MC A BMC BMC V V V SAA ---===⋅=⨯⨯=C 错误 对于D 中，假设存在点P ，使得1AP A C ⊥，令[]1(1),0,1AP AB AC λλλ=+-∈，可得1111(1)AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅， 易得1AC 和AB 所成角为锐角，1AC 和1AC 所成角为锐角，所以1110,0AC AB AC AC ⋅>⋅>，所以1111(1)0AC AP AC AB AC AC λλ⋅=⋅+-⋅>， ，所以不存在点P ，使得1AP A C ⊥，所以D 正确. 故选：ABD三、填空题13．若平面向量()()1,1,2,a b m ==满足()a ab ⊥-，则m =___________. 【答案】0【分析】由题意得()0-⋅=a b a ，代入坐标进行计算即可． 【详解】∵()a a b ⊥-，∴()0-⋅=a b a ， 又()()1,1,2,a b m ==，()1,1-=--a b m ， ∴110m -+-=，即0m =， 故答案为：0．14．8(1)()yx y x-+的展开式中35x y 的系数为___________.【答案】14-【分析】把8(1)()y x y x -+化为88()()y x y x y x -++，根据8()x y +展开式的通项，讨论求出k 的值，进行运算即可得到答案.【详解】8()x y +展开式的通项为：()818C 0,1,2,8k kk k T xy k -+==由于888(1)()()()y y x y x y x y x x=-+-++，所以当5k =当时，53568C T x y =，当4k =当时，44458C T x y =，所以8(1)()y x y x-+的展开式中35x y 的项为，()()535444543535358888C C =C C 567014y x y x y x y x y x y x--=-=-， 所以8(1)()y x y x-+的展开式中35x y 的系数为14-.故答案为：14-.15．写出一个使等式sin cos 2sin cos 66ααππαα+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的α的值为_____________． 【答案】8π（答案不唯一，只要满足()2148k k Z παπ+=-∈即可）. 【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到sin 2sin 263ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦函数性质可确定()()222136k k Z ππααπ+++=+∈，由此可解得结果. 【详解】sin cos cos sin sin cos 66sin cos sin cos 6666ππααααααππππαααα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2621sin 223παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，sin 2sin 263ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()222136k k Z ππααπ∴+++=+∈，解得：()2148k k Z παπ+=-∈， 当0k =时，8πα=，∴使得等式成立的一个α的值为8π（答案不唯一）. 故答案为：8π（答案不唯一，只要满足()2148k k Z παπ+=-∈即可）. 16．有一凸透镜其剂面图（如图所示）是由椭圆221259x y +=和双曲线22188x y -=的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M ，N ，动点A ，B 分别在左右两部分实线上运动，则△ANB 周长的最小值为______________【答案】1042-【分析】根据已知条件，结合双曲线和椭圆的定义，将原问题转化为,,A B M 三点共线时，ANB 周长取得最小值，即可求解.【详解】由题意，双曲线22188x y -=，可得22a =， 根据双曲线的定义可得42AM AN -=，即42AN AM =-， 又由椭圆221259x y +=，可得5a =， 根据椭圆的定义可得10BM BN +=，所以10BN BM =-，所以ANB 周长为1042()10421042BM AM AB AB AB ---+≥--+=-, 故ANB 周长的最小值为1042-，其中,,A B M 三点共线时，等号成立. 故答案为：1042-.四、解答题17．甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1-分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及期望.【答案】(1)分布列见解析E Y=(2)分布列见解析，()0.2【分析】（1）依题意可得X的可能取值为1-，0，1，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）依题意可得Y的可能取值为2-，1-，0，1，2，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列及数学期望；【详解】(1)解：依题意可得X的可能取值为1-，0，1，P X=-=-⨯=，所以(1)(10.6)0.50.2(0)0.60.5(10.6)(10.5)0.5P X==⨯+-⨯-=，P X==⨯-=，(1)0.6(10.5)0.3所以X的分布列为(2)解：依题意可得Y的可能取值为2-，1-，0，1，2，所以2P Y P X P X=-==-⨯=-==，(2)(1)(1)0.20.04=-==-⨯=⨯=⨯⨯=，P Y P X P X(1)(1)(0)220.20.50.22===-⨯=⨯+=⨯==⨯⨯+=，(0)(1)(1)2(0)(0)20.30.20.50.37P Y P X P X P X P X===⨯=⨯=⨯⨯=，(1)(0)(1)20.30.520.3P Y P X P X2(2)(1)(1)0.30.09===⨯===，P Y P X P X所以Y的分布列为所以()20.0410.200.3710.320.090.2E Y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值． 【答案】（12；（270【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2BC a =，由已知条件得出0PB AM ⋅=，求出a 的值，即可得出BC 的长；（2）求出平面PAM 、PBM 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得22a =，故22BC a ==； [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结BD ．因为PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥． 又因为PB AM ⊥，PBPD P =，所以AM ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，所以AM BD ⊥．从而90ADB DAM ∠+∠=︒．因为90∠+∠=︒MAB DAM ，所以∠=∠MAB ADB ． 所以∽ADB BAM ，于是=AD BAAB BM．所以2112BC =．所以2BC =． [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结BD 交AM 于点N ．由[方法二]知⊥AM DB ．在矩形ABCD 中，有∽DAN BMN ，所以2==AN DA MN BM，即23AN AM =．令2(0)=>BC t t ，因为M 为BC 的中点，则BM t =，241=+DB t 21+AM t 由1122=⋅=⋅DABSDA AB DB AN ，得221241123=++t t t 212t =，所以22==BC t（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则2AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x ()2,1,2m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z =，2BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,1BP =--， 由222220220n BM x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，3314cos ,72m n m n m n ⋅===⋅⨯所以，270sin ,1cos ,14m n m n =-=， 因此，二面角A PM B --的正弦值为7014. [方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体1111ABCD A B C D -，联结11,AB A B ，交点记为H ，由于11AB A B ⊥，1AB BC ⊥，所以AH ⊥平面11A BCD ．过H 作1D M 的垂线，垂足记为G ．联结AG ，由三垂线定理可知1⊥AG D M ， 故AGH ∠为二面角A PM B --的平面角．易证四边形11A BCD 2的正方形，联结1D H ，HM ． 111111111,2D HMD HMD A HHBMMCD A BCD SD M HG S S SSS=⋅=---正方形，由等积法解得310=HG 在Rt AHG 中，2310==AH HG ，由勾股定理求得35=AG ． 所以，70sin AH AGH AG ∠==A PMB --70【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.19．已知数列{}n a 的各项均不为零，n S 为其前n 项和，且121n n n a a S +=-.(1)证明：22n n a a +-=；(2)若11a =-，数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =.求数列{}n n a b 的前2022项和2022T . 【答案】(1)证明见解析； (2)4044.【分析】（1）由题设递推式可得()1212n n n n a a a a +++-=，结合已知条件即可证结论.（2）由（1）及等比数列定义写出{}n b 通项公式，进而有(1)nn n n a b a =-，根据奇偶项的正负性，应用分组求和法及（1）的结论求2022T 即可. 【详解】(1)因为121n n n a a S +=-①，则12121n n n a a S +++=-②， ②-①得：()1212n n n n a a a a +++-=，又10n a +≠， 所以22n n a a +-=.(2)由11a =-得：31a =，于是231b a ==， 由11b =-得：{}n b 的公比1q =-.所以(1)n n b =-，(1)nn n n a b a =-.由12121a a a =-得：23a =由22n n a a +-=得：2022202120202019214a a a a a a -=-=⋅⋅⋅=-=， 因此2022123420212022T a a a a a a =-+-+-+⋅⋅⋅()()()214320222021a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-()211011a a =⨯-10114=⨯4044=.20．在ABC 中，cos2cos2cos22sin sin 1A C B A C +-=-+. (1)求角B ；(2)设锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)π3.(2).【分析】(1)将已知条件按二倍角展开化简得222a c ac b+-=，再结合余弦定理即可求得角B；(2)结合题意可得有ππ62A<<，由正弦定理可得sin2πsin()3AaA=-，再由面积公式可得S，代入a并化简可得1311tan2SA=+，根据A的范围即可求出S的范围. 【详解】(1)解：因为cos2cos2cos22sin sin1A CB A C+-=-+.所以cos2cos22sin sin1cos2A C A C B++=+，即有22212sin12sin2sin sin112sinA C A C B-+-+=+-，即222sin sin sin sin sinA C A C B+-=，即222a c ac b+-=，由余弦定理可得：2222cosb ac ac B=+-，所以2cos1B=，即1cos2B=，又因为(0,π)B∈，所以π3B=.(2)解：由(1)可得：π3B=，所以2π3A C+=，所以2π3C A=-，又因为ABC为锐角三角形，所以π22ππ32AA⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即有ππ62A<<；又因为1c=，12πsin sin sin()3a cA C A==-，所以sin2πsin()3AaA=-，又因为1sin2Sac B==sin2πsin()3AA-sin3cosA+1311tan2A+. 因为有ππ62A<<，所以有tan A1tan A<<所以13tan2A<<，所以以11122tan2A<+<，所以122311tan 2A <+，1311tan 2A <+即S ∈. 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，焦距为2，点⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点()()000,0P x y y >是椭圆C 上一点，Q 为y 轴上一点，22PF PQ =，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线PM ，PN 关于直线0x x =对称，求直线l 的斜率. 【答案】(1)22143x y += (2)12-【分析】（1）依题意列出几何量方程组，直接求解可得；（2）先求点P 坐标，然后可得直线PM 、PN 的斜率关系，设直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理代入斜率关系，化简可得直线的斜率k .【详解】(1)解：依题意可得22223314c a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，又222b a c =-， 所以24a =，23b =，1c =. 所以22143x y +=； (2)解：因为22PF PQ =，所以Q 是2PF 的中点. 结合QO x ⊥轴，所以1PF x ⊥轴，所以01x =-，则2201314y +=，解得032y =±，因为00y >，所以032=y ，所以31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为直线PM 、PN 关于直线01x x ==-对称. 所以PM 、PN 的倾斜角互补，所以0PM PN k k +=，显然直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由0∆>得2243m k <+.设()11,M x y ， ()22,N x y ，则1228+43km x x k -=+，212241243m x x k -=+，由12123322011PMPNy y kk x x --+=+=++， 整理得()1212322302kx x k m x x m ⎛⎫++-++-= ⎪⎝⎭，所以2483420k k km m ++--=，即()()212320k k m ++-= 若232k m +-0=，则32m k =+， 所以直线MN 的方程为()312y k x -=+，此时，直线MN 过P 点，舍去. 所以21k +0=，即12k =-，所以直线l 的斜率为12-.22．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导数．证明： （1）()'f x 在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，首先可判断出在()00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论. 【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点第 21 页 共 21 页 ③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.。
高二数学第一次月考试卷及答案
高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。
福建省高二下学期第一次月考数学试题(Word版)
高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（ ）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（ ）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（ ）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的 ，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（ ） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（ ） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（ ） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（ ） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（ ）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（ ）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分） 已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时， ，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时， ，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时， ，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令 则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。
2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理[1]
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2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，{4}MN =，则复数z ＝（A ）2i - （B ）2i （C ）4i - （D ）4i （2）已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则()()11f f +'的值等于（A ）1 （B ）52 （C ）3 （D ）0 （3）已知函数52()ln 33f x x x =-，则0(1)(1)limx f f x x∆→-+∆=∆ （A ）1 （B ）1- （C ）43- （D ）53-（4）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 （5）已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（A ）10 （B ）3 （C ）5 （D ）2 （6）函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（A ）()0,3 （B ）()1,4 （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞（7）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（A ）6 （B ）5 （C ）1 （D ）0（8）以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（A ）30,,424πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ （B ）[)0,π （C ）3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭（9）在复平面内，若2(1)(4)6z m i m i i =+-+-所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(,2)-∞- （C ）(2,0)- （D ）(3,4)（10）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，错误．．的是（11）若函数()2(0)xf x a x a=>+在[)1,+∞上的最大值为33，则a ＝ （A ）31- （B ）34 （C ）43（D ）31+ （12）已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（A ）4(1)(2)f f < （B ）4(1)(2)f f > （C ）(1)4(2)f f < （D ）(1)4(2)f f '<第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）若函数321()(1)3f x x f x x '=-⋅+，则(1)f '=__________． （14）由曲线xy e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于__________． （15）观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=， 5511a b +=，…，则1010a b +=（16）若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知复数()()227656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数； （3）当106za =-时，求z 的共轭复数.（18）（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足)(1,111++∈+==N n a a a a nnn (1)分别求234,,a a a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明.（19）（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值．（20）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln xx.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t （百万元），可增加的销售额为25t t -+（百万元）03t ≤≤（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x -++（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22）（本小题满分12分） 已知函数()ln m f x x x=+（其中m R ∈），()161x g x e x +=-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2450x y -+=垂直，求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥成立，求实数m 的取值范围.xx 第二学期第一次考试 高二年级理科数学试题参考答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C 【解析】由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i.（2）【答案】C 【解析】由导数的几何意义得()()1151,112.222k f f ===⨯+=' 所以()()11f f +'=15+=322，故选C. （3）【答案】B（4）【答案】B 【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项A ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项C ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项D ，故选B. （5）【答案】A 【解析】()123xi y i +=-- 21{3y x -=⇒=- 3{1x y =-⇒=，则10x yi +=. （6）【答案】C 【解析】()()()e 3e e2xxxf x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． （7）【答案】A 【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-，令()0,f x '=可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==.故选A. （8）【答案】D 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则][3tan cos 1tan 10,,44k x ππαααπ⎡⎫==∴-≤≤∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，故选D.（9）【答案】D 【解析】整理得22(4)(6)z m m m m i =-+--对应的点位于第二象限，则224060m m m m ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩，解得34m <<. （10）【答案】D 【解析】经检验，A ：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B ：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D ：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选D. （11）【答案】A②当1a ≤，即1a ≤时， ()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()()max 111f x f a ==+． 令1313a =+，解得31a =-，符合题意． 综上31a =-．（12）【答案】B 【解析】设函数2()()f x g x x=(0)x >， 则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以(1)(2)g g >，即22(1)(2)12f f >， 所以4(1)(2)f f >，故选B. 二、填空题 （13）【答案】23【解析】∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2+x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x +1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)+1，∴f′(1)＝23. （14）【答案】e －12 【解析】由已知面积S ＝10⎰(e x＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 210|＝e ＋12－1＝e －12.（15）123（16）【答案】12【解析】设直线y kx b =+与曲线ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为()11,x kx b +，()22,x kx b +.由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+，再由切点也在各自的曲线上，可得1122ln 1,(),ln 2kx b x kx b x +=++=+⎧⎨⎩联立上述式子解得12k =. 三、解答题（17）解：（1）Z 是实数， 2560a a --=，得61a a ==-或（2）Z 是纯虚数， 2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a = （3）当106za =-时， ()()1110a a i -++=， 得()()221110a a -++=，得2a =± 当2a =时， 412z i =--,得412Z i =-+； 当2a =-时， 248z i =+,得248Z i =-(18) 解： (1）3111,2112121223112=+=+==+=a a a a a a ，41113131334=+=+=a a a (2）猜想)(1+∈=N n na n ①当n =1时命题显然成立②假设)(+∈=N k k n 命题成立，即ka k 1= 当11111111+=+=+=+=+k a a ，ak n kk k k k 时 1+=∴k n 时命题成立综合①②，当+∈N n 时命题成立（19）解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意2()03(1)0f f ⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即44033320ab a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩ 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，经检验符合题意，321()22f x x x x ∴=--(2)由(1)知2()3()(1)3f x x x '∴=+-， 令()0f x '=，得122,13x x =-=， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1,2) 2f ′(x )＋0 －0 ＋f (x ) －6极大值2227极小值－322由上表知f max (x )＝f (2)＝2，f min (x )＝f (－2)＝－6. （20）解：(I) 21ln ()xf x x-'=当0x e << 时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数． (2)依题意得，不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=. 当(1,)x ∈+∞时，21()0x g x x -'=>，则()g x 是(1,)+∞上的增函数； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 是(0,1)上的减函数． 所以()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(,1)-∞．（21）解：（1）设投入广告费t （百万元）后由此增加的收益为()f t （百万元），则()2254f t t t t t t =-+-=-+ ()224t =--+， 03t ≤≤.所以当2t =时， ()max 4f t =，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的费用为()3x -（百万元），则由此两项所增加的收益为()()23213[33g x x x x x =-+++-- ()3153]3433x x x +--=-++.()2'4g x x =-+，令()2'40g x x =-+=，得2x =或2x =-（舍去）.当02x <<时， ()'0g x >，即()g x 在[)0,2上单调递增； 当23x <<时， ()'0g x <，即()g x 在(]2,3上单调递减， ∴当2x =时， ()()max 2523g x g ==. 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元. （22）（2）由()161x g x ex +=-+， ()1'6x g x e +=-，当[]2,3x ∈时， ()'0g x >， ()g x 单调递增，故()g x 有最小值()3211g e =-，因为对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥，即()()31212f x e g x +-≥成立，所以对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()3311211f x e e +-≥-，即()11f x ≥， 也即11ln 1m x x +>成立，从而对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有111ln m x x x ≥-成立， 构造函数()ln x x x x ϕ=- 1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()'ln x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，得1x =，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0x ϕ>， ()x ϕ单调递增；当()1,2x ∈时， ()'0x ϕ<， ()x ϕ单调递减，∴()x ϕ的最大值为()11ϕ=，∴1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[)1,+∞.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
福建省 高二数学下学期第一次月考 理
3 6Co t3 6 C o t3 6 C o t 3 6 C o t 第二学期月考 高二数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟 满分150分)一、选择题(共10题,每题5分,共50分)1、已知函数()f x 在0x 处的导数存在，则000()()lim 2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A 、'01()2f x B 、'0()f x C 、'02()f x D 、'0()f x -2、汽车在笔直公路上行驶，如果v （t ）表示时刻t 的速度，则导数v ‘0（t ）的意义是（ ）A 、表示当0t t =时汽车的加速度B 、表示当0t t =时汽车的瞬时速度C 、表示当0t t =时汽车的路程变化率D 、 表示当0t t =时汽车与起点的距离3、若函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(>'x f ，且0)(≤b f ，则函数)(x f 在),(b a 内有（ ）A 、0)(>x fB 、0)(=x fC 、0)(<x fD 、无法确定 4、某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的总产量C 与时间t （年）的函数关系可用图像表示的是（ ）A B C D 5、函数3)12(+=x y 在0=x 处的切线的斜率是 （ ） A 、0B 、1C 、3D 、66、由曲线x y cos =)2(ππ≤≤-x ，π=x ，0=y 所围成图形的面积是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、17、如果函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间（1，4）上为减函数，在),6(+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A 、5≤aB 、7≥aC 、75≤≤aD 、75≥≤a a 或8、函数()y f x =的图象过原点且它的导函数'()y f x =的图象是 如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、 第四象限9、由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．329B ．2ln 3-C ．4ln 3-D ．4ln 3+10、给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数。
福建高二高中数学月考试卷带答案解析
福建高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列运算正确的是（）A．x B．C．D．2.若是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．C．D．1或23.复数的值是（）A．－1B．1C．－32D．324.下列函数中x＝0是极值点的函数是（）A．B．C．D．5.正弦函数是奇函数（大前提），是正弦函数（小前提），因此是奇函数（结论），以上推理（）A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对6.（）A．B．C．D．7.个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓8.已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。
如图①，在平行四边ABCD中，，那么在图②中所示的平行六面体中，等于（）A．B．C．D．10.已知函数是定义在R上可导函数，满足，且，对时。
下列式子正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1.若，则＝_______________。
2._______________。
3.函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_____________。
4.如果圆柱轴截面的周长为定值4，则圆柱体积的最大值为_______________。
5.根据下面一组等式：可得_______________。
三、解答题1.设函数。
（1）求在点处的切线方程；（2）求在区间的最大值与最小值。
2.设，，均为实数。
求（的共轭复数）3.已知函数，。
（1）求函数的单调区间；（2）若与的图象恰有两个交点，求实数的取值范围。
4.已知函数。
（1）时，求的最小值；（2）若且在上是单调函数，求实数的取值范围。
5.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外，以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对A和城B的总影响度为0.065。
福建高二高中数学月考试卷带答案解析
福建高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列命题中，真命题是（）A．B．命题“若”的逆命题C．D．命题“若”的逆否命题2.设条件, 条件; 那么的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．C．D．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．B．2C．D．5.执行如图的程序框图，如果输入的是4，则输出的是（）A．B．C．D．6.如图是某职业篮球运动员在连续11场比赛中得分的茎叶统计图，则该组数据的中位数是（）A．31B．32C．35D．367.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（）A．B．C．D．8.如图，在三棱锥中，，则直线与所成角的大小是（）A．30ºB．45ºC．60ºD．90º9.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中“可换命题”的是( )A．①②B．①C．①③D．③④10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知函数，在区间上随机取一，则使得≥0的概率为 .2.某中学为增强学生环保意识，举行了“环抱知识竞成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，求①、②处的数值；① . ② .分组频数频率合计3.直三棱柱中,,,三棱锥的体积为 .4.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.5.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值为_________.三、解答题1. (本题满分13分)已知光线经过已知直线和的交点, 且射到轴上一点后被轴反射.（1）求点关于轴的对称点的坐标；（2）求反射光线所在的直线的方程.（3）2.(本题满分13分)如图所示，在四棱锥中，平面，，，平分，为的中点.求证：（1）平面；（2）平面.3.(本题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．4.(本题满分13分)在正三角形内有一动点，已知到三顶点的距离分别为，且满足，求点的轨迹方程．5.(本题满分14分)已知圆和圆外一点.(1)过作圆的割线交圆于两点，若||＝4，求直线的方程；(2)过作圆的切线，切点为，求切线长及所在直线的方程．6.(本题满分14分)设有关于的一元二次方程.(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若是从区间[0,3]任取的一个数，是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．福建高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.下列命题中，真命题是（）A．B．命题“若”的逆命题C．D．命题“若”的逆否命题【答案】C【解析】，所以A假，C真，命题“若”的逆命题是“若，则”显然为假，而三角函数不是单调函数，所以D为假命题.【考点】本小题主要考查命题真假的判断，考查学生思维的严谨性.点评：原命题和逆否命题是等价命题，它们同真同假.2.设条件, 条件; 那么的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得：，所以由推不出；反之由，可以得出，所以的必要不充分条件.【考点】本小题主要结合不等式考查充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑思维能力.点评：判断充分条件和必要条件，要弄清谁是条件谁是结论，不要将充分性和必要性弄反.3.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆与轴相切，且圆心在第一象限，所以半径等于圆心的纵坐标，则圆心可设为，又因为圆与直线相切，所以，解得所以圆的方程为.【考点】本小题主要考查圆的标准方程、圆与直线相切、点到直线的距离公式的应用，考查学生的运算求解能力. 点评：遇到直线与圆的位置关系问题，有代数法和几何法两种方法，通常选用几何法，几何法的运算量小.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个半球的组合体，所以该几何体的体积为：【考点】本小题主要考查三视图及简单几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力和简单的计算能力.点评：以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.5.执行如图的程序框图，如果输入的是4，则输出的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】运行过程如下：不成立，所以输出【考点】本小题主要考查算法中的循环结构，考查学生的读图识图能力.点评：要读懂程序框图，尤其要重视循环结构的程序框图，弄清当型与直到型循环结构的区别，以及进入、推出循环的条件、循环的次数.6.如图是某职业篮球运动员在连续11场比赛中得分的茎叶统计图，则该组数据的中位数是（）A．31B．32C．35D．36【答案】C【解析】11个比赛得分从小到大排列为：12，13，24，25，31，35，36，37，39，47，51，所以中位数为35.【考点】本小题主要考查茎叶图的应用.点评：利用茎叶图解题时，一定要分清“茎”和“叶”分别表示什么，以便准确分析数据，得出正确的结论.7.从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】该抽样是有放回的抽样，所以每次抽到正品的概率是，抽到次品的概率是，所以取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为【考点】本小题主要考查独立重复试验的概率计算公式的应用和学生的运算求解能力.点评：只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率计算公式计算更简单.8.如图，在三棱锥中，，则直线与所成角的大小是（）A．30ºB．45ºC．60ºD．90º【答案】D【解析】如图，找AC的中点D，连接SC,BD,因为SA=SC,所以SD AC,又因为AB=BC,所以BD AC,所以AC平面SBD,所以AC SB.【考点】本小题主要考查空间中直线与平面、直线与直线垂直的判定，考查学生的空间想象能力和推理论证能力. 点评：准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键.9.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行.其中“可换命题”的是( )A．①②B．①C．①③D．③④【答案】C【解析】垂直于同一直线的两直线可能平行，但也可能相交或异面，所以②不是“可换命题”；而平行于同一直线的两平面可能平行，但也可能相交，所以④不是“可换命题”.【考点】本小题主要考查空间中直线、平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力.点评：准确灵活的运用定理，合理将已知条件转化为定理条件，并使用定理进行判是解这种类型题目的关键.10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设OA=2,则总面积为，阴影部分的面积为，所以概率为【考点】本小题主要考查利用几何概型概率公式求概率，考查了学生数形结合思想方法的应用.点评：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.二、填空题1.已知函数，在区间上随机取一，则使得≥0的概率为 .【答案】【解析】可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为【考点】本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.2.某中学为增强学生环保意识，举行了“环抱知识竞成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，求①、②处的数值；① . ② .分组频数频率合计【答案】①50 ②0.20【解析】根据题目中的图示，可知总体数目为，所以①处应填50；所以②处应填【考点】本小题主要考查根据频率分布表求表中相应的数据，考查学生的运算求解能力.点评：对于统计图表类的题目，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中发现有用的信息和数据.3.直三棱柱中,,,三棱锥的体积为 .【答案】【解析】因为,所以，所以三棱锥的体积为【考点】本小题主要考查三棱柱体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：计算三棱柱的体积时，可以根据需要选择底面和高，适当转化使计算更简单.4.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.【答案】【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···,其中有5个负数,1个正数共计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是.【考点】本小题主要以等比数列为载体，考查古典概型概率的计算公式.点评：古典概型中事件特点是结果有限且等可能性.计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和实件A中所含基本事件数m.5.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值为_________.【答案】3【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离满足,所以,即圆心到直线的距离,所以.三角形的面积为,又,当且仅当时取等号,所以最小值为.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、三角形面积公式和基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力.点评：解决直线与圆的位置关系的题目时，一般用几何法可以简化运算；用基本不等式时，一定要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可，而且还要交代清楚取等号的条件.三、解答题1.(本题满分13分)已知光线经过已知直线和的交点, 且射到轴上一点后被轴反射.（1）求点关于轴的对称点的坐标；（2）求反射光线所在的直线的方程.（3）【答案】(1) 的坐标 (2) (3) 或【解析】（Ⅰ）由得，.所以点关于轴的对称点的坐标……4分（Ⅱ）因为入射角等于反射角，所以直线的倾斜角为，则直线的斜斜角为.，所以直线的斜率故反射光线所在的直线的方程为：即……9分解法二：因为入射角等于反射角，所以根据对称性所以反射光线所在的直线的方程就是直线的方程.直线的方程为：，整理得：故反射光线所在的直线的方程为……9分(3)设与平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得或，所以与为：或……13分【考点】本小题主要考查点关于直线的对称点的求法、直线方程的求法和点到直线的距离公式、平行线间的距离公式的应用，考查学生的分析能力和运算求解能力和数形结合思想方法的应用.点评：解决此类题目时，要认真研究题目中所渗透出的信息和考查的知识点，弄清其本质意图，再联系相关知识，通过对知识的综合应用予以解决.2.(本题满分13分)如图所示，在四棱锥中，平面，，，平分，为的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】证明：（1）设.连接，因为，平分，所以为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面；……6分（2）因为平面，平面，所以.因为，平分，所以，因为平面，,所以平面. ……13分【考点】本小题主要考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生的空间想象能量和推理论证能力.点评：此类问题的难度不大，重点应该放在定义、判定定理的理解和掌握上，做证明题时，要把定理要求的条件都一一列举出来.3.(本题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．【答案】(1)＝0.005 (2)73 (3)10【解析】试题分析:(1)由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2)×10＝1.所以＝0.005. ……4分(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73. ……8分(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：【考点】本小题主要考查频率分布直方图的读图识图问题和根据频率分布直方图计算平均数等问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.点评：读频率分布直方图，要明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所以小矩形的面积之和为1.4.(本题满分13分)在正三角形内有一动点，已知到三顶点的距离分别为，且满足，求点的轨迹方程．【答案】()【解析】以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设点，，，，用点的坐标表示等式，有，化简得，即所求的轨迹方程为()．……13分【考点】本小题主要考查用直接法求轨迹方程和两点间距离公式的应用，考查学生的应用能力和运算求解能力.点评：求轨迹方程主要有“相关点法”和“直接法”，应用时要注意“求谁设谁”的原则.5.(本题满分14分)已知圆和圆外一点.(1)过作圆的割线交圆于两点，若||＝4，求直线的方程；(2)过作圆的切线，切点为，求切线长及所在直线的方程．【答案】（1）直线的方程或（2）切线长为所在直线的方程为【解析】(1)圆的方程可化为：，圆心为，半径①若割线斜率存在，设：，即，设的中点为，则|PN|＝由得则直线:. ……4分②若割线斜率不存在，则直线：，代入圆方程得，解得符合题意，综上，直线的方程为或. ……7分(2)切线长为以为直径的圆的方程为，即.又已知圆的方程为，两式相减，得，所以直线的方程为. ……14分【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及弦长公式的应用，考查学生综合运用知识解决问题的能力和运算求解能力.点评：要解决好此类问题就要牢固掌握直线与圆的位置关系的判断，注重圆的几何性质在解题的中的应用.6.(本题满分14分)设有关于的一元二次方程.(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若是从区间[0,3]任取的一个数，是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】（1）（2）【解析】记事件为“方程有实根”，当时，方程有实根的充要条件为.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为P()＝＝. ……7分(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．构成事件的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为＝＝. ……14分【考点】本小题主要考查古典概型和几何概型的概率求解公式的应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力和运算求解能力和分类讨论思想和划归思想的应用.点评：要高考中古典概型和几何概型在选择题、填空题和与其他知识点相结合的解答题中均有考查. 解决此类问题，应掌握计算古典概型、几何概型的常用方法.。
福建高二高中数学月考试卷带答案解析
福建高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数（）A．B．C．D．2.复数，则（）A．B．5C．D．253.下列值等于1的是（）A．B．C．D．4.已知物体运动的方程是（的单位：；的单位：），则该物体在时的瞬时速度为（）A．2B．1C．0D．35.已知曲线在处的切线方程是，则及分别为（）A．3,3B．3，－1C．－1,3D．－1，－16.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1C．D．7.函数的单调减区间是（）A．B．C．D．8.若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9.设函数在定义域内可导，图象如下图所示，则导函数的图象可能为（）10.方程有三个不同的实根，则的取值范围是（）A．（）B．（C．D．11.设是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A．（－1，0）∪（1，+）B．（－1，0）∪（0，1）C．（－，－1）∪（1，+）D．（－，－1）∪（0，1）二、填空题1.设复数i满足（i是虚数单位），则的虚部是________2.已知，则________3.设曲线在点处的切线与直线垂直，则．4.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。
①②③④以上四个函数在上是凸函数的是三、解答题1.（本小题满分12分）求当为何实数时，复数满足：（Ⅰ）为实数；（Ⅱ）为纯虚数；（Ⅲ）位于第四象限。
2.（本小题满分12分）已知函数，是的一个极值点，求：（Ⅰ）实数的值；（Ⅱ）在区间[－1，3]上的最大值和最小值。
3.（本小题满分12分）已知函数=（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与x轴平行。
（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求的单调区间；4.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值。
福建高二高中数学月考试卷带答案解析
福建高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若，则下列不等式成立的是A．B．C．D．2.设等差数列的前项和为，若，则的值为A．15B．14C．13D．123.不等式的解集为--A．B．C．D．4.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为A．B．C．D．5.已知等比数列的公比为正数，且，，则=A．B．C．D．26.在中，,, ，则＝A．B．C．D．7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A．B．C．D．8.在中，角所对的边分别为．若角成等差数列，边成等比数列，则的值为A．B．C．D．9.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．若，，且,则的面积为A． B． C． D．10.已知数列的前项和为，且满足．若数列满足，则使数列的前项和取最大值时的的值为A．8B．10C．8或9D．9或1011.已知，且，则的最小值为A．13B．14C．15D．1612.数列满足，且对任意的都有，则等于A．B．C．D．二、填空题1.不等式的解集是________．2.已知数列的通项公式为，则________．3.已知数列满足，，则数列的通项公式为________4.如图，在中，为边上一点，，若，，则的最大值为________．三、解答题1.在中，角所对的边分别为．（Ⅰ）若，求角的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状．2.已知公差不为零的等差数列，若，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．3.在中，角所对的边分别为，已知向量，且。
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围．4.某厂生产A产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本万元．当年产量不足80千件时（万元）；当年产量不小于80千件时（万元），每千件产品的售价为万元，该厂生产的产品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润万元关于（千件）的函数关系；（Ⅱ）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？5.已知关于的不等式．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间的长度为，若，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．6.已知数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）设为数列的前项的和，其中，若不等式对任意的恒成立，试求正实数的取值范围．福建高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若，则下列不等式成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由同向不等式的可加性可知，当时有【考点】不等式性质2.设等差数列的前项和为，若，则的值为A．15B．14C．13D．12【答案】B【解析】【考点】等差数列性质及求和3.不等式的解集为--A．B．C．D．【答案】C【解析】，不等式的解集为【考点】指数不等式，一元二次不等式解法4.已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】线性约束条件对应的可行域为直线围成的三角形区域，三个顶点为，当过点时取得最小值【考点】相性规划问题5.已知等比数列的公比为正数，且，，则=A．B．C．D．2【答案】C【解析】【考点】等比数列性质6.在中，,, ，则＝A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理得【考点】正弦定理解三角形7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为A．B．C．D．【答案】B【解析】设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，，即，，解得（米）．【考点】1．扇形面积公式；2．余弦定理求三角形边长8.在中，角所对的边分别为．若角成等差数列，边成等比数列，则的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴又，由正弦定理得【考点】等差数列等比数列及正弦定理9.在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．若，，且,则的面积为A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可知，的面积为【考点】余弦定理及三角形面积公式10.已知数列的前项和为，且满足．若数列满足，则使数列的前项和取最大值时的的值为A．8B．10C．8或9D．9或10【答案】D【解析】：∵∴，两式相减得：，又，∴数列是首项、公比均为2的等比数列，，令，解得：n=9或10【考点】数列求通项求和11.已知，且，则的最小值为A．13B．14C．15D．16【答案】B【解析】，当且仅当时等号成立，取得最小值14【考点】均值不等式求最值12.数列满足，且对任意的都有，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵数列满足，且对任意的都有，则【考点】数列的求和二、填空题1.不等式的解集是________．【答案】【解析】变形为或，所以不等式解集为【考点】分式不等式解法2.已知数列的通项公式为，则________．【答案】30【解析】由通项公式可知【考点】数列求和3.已知数列满足，，则数列的通项公式为________【答案】【解析】为等差数列，公差为3，首项为1，所以通项为【考点】等差数列的通项公式4.如图，在中，为边上一点，，若，，则的最大值为________．【答案】【解析】设BD=a，则DC=2a，，，∴的最大值为．【考点】相似三角形的性质三、解答题1.在中，角所对的边分别为．（Ⅰ）若，求角的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）等腰三角形或直角三角形【解析】（Ⅰ）将变形为，进而借助于余弦定理可求得，得到角A的大小；（Ⅱ）利用正弦定理将其变形为，进而利用三角函数公式可得到或，得到三角形形状试题解析：（Ⅰ）由已知得，又∠A是△ABC的内角，∴A＝．（Ⅱ）在△ABC中，由，得，∴．∴或．∴或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【考点】正余弦定理解三角形2.已知公差不为零的等差数列，若，且成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将已知条件转化为用公差表示，得到的方程，求解值后可得到通项公式；（Ⅱ）整理的通项公式，结合特点采用错位相减法求和试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为．∵，且成等比数列，∴，即，∴，∵，∴．∴．（Ⅱ），S＝1·2＋2·22＋3·22＋…＋n·2n．①n＝1·22＋2·23＋3·23＋…＋n·2n＋1．②从而2·Sn①－②，得(1－2)S＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，n即,∴．【考点】1．等差数列通项公式；2．错位相减法求和3.在中，角所对的边分别为，已知向量，且。
福建高二高中数学月考试卷带答案解析
福建高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“存在R ，0”的否定是 （ ） A ．不存在R, >0 B ．存在R,0 C ．对任意的R,D ．对任意的R,>02.双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是 （ ） A ．(, 0) , (－, 0) B ．(, 0), (－, 0) C ．（－, 0）,（, 0）D ．(－, 0), (, 0)3.“”是“方程表示焦点在y 轴上的椭圆”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ） A ．B ．C ．D ．5.方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ）A ．B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）6.已知＜4，则曲线和有 （ ）A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴7.若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是 （ ） A ．2B ．1C ．D ．8.椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）A ．3B ．C ．D ．9.设椭圆，右焦点F （c,0），方程的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在 （ ） A ．圆上 B ．圆内C ．圆外D ．以上三种情况都有可能10.已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则= （ ）A ．B ．C ．0D ．4二、填空题1.设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 。
2.椭圆的离心率为，则。
3.对于曲线C ∶=1，给出下面四个命题：①由线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜其中所有正确命题的序号为____________. 4.已知圆为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 。
第二中学高二数学下学期第一次月考试题理(2021学年)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为江西省崇仁县第二中学2０17-20１8学年高二数学下学期第一次月考试题理的全部内容。
题 理一、选择题（每小题5分,共60分)1。
已知函数f (x ) = a x ２ ＋c,且(1)f '＝2 , 则a 的值为（ )A.1ﻩ Ｂ。
2 C 。
－１ D. 02。
一物体的运动方程为225s t t =-+,其中ｓ的单位是米,t 的单位是秒，那么物体在４秒末的瞬时速度是( )Ａ。
8米/秒ﻩ B. 7米/秒ﻩﻩC 。
６米/秒 ﻩD ． ５米/秒3.已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为（ )Ａ。
[1,)-+∞ B.(,2]-∞ Ｃ。
(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞4．定义运算a b ad bc c d =- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 的共轭复数z 为( ） A.3i - ﻩ B ．13i +ﻩ C ．3i + ﻩ D.13i -5 如图所示，在边长为1的正方形OA ＢC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ）Ａ. 14 ﻩ Ｂ。
15 C. 17 D 。
16６．已知i 为虚数单位，a 为实数,复数(12)()z i a i =-+在复平面内对应的点为M ,则“0a >”是“点M 在第四象限”的（ )A.充分而不必要条件 Ｂ.必要而不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件７。
福建高二高中数学月考试卷带答案解析
福建高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．2.下列函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．（且）3.设等比数列的前项和为，若，则（）A．2B．C．D．4.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．54B．45C．27D．185.若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．10B．9C．8D．77.在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为（）A．B．C．D．8.已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（）A．和均为的最大值B．C．公差D．9.在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形等边三角形10.已知实数，满足不等式组若目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．11.在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）A．B．C．D．或12.设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：410 1228 30 36…的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知关于的不等式的解集为，则等于．2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶600后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度．3.在△中，为边的中点，，，，则．4.已知数列满足（），若，（，），且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为．（用具体的数字表示）三、解答题1.等差数列的前项和为，已知，．（1）求及；（2）令（），求数列的前项和．2.在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．（1）求的值；（2）求△的面积．3.某小型餐馆一天中要购买，两种蔬菜，，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？4.在△中，是上的点，平分，△面积是△面积的2倍．（1）求；（2）若，，求和的长．5.某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？6.已知数列，，其前项和满足，其中．（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，为数列的前项和，求证：；（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．福建高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.函数的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因,则函数零点所在的区间是,应选答案D．【考点】函数的零点及判别.2.下列函数中，最小值为的是（）A．B．C．D．（且）【答案】B【解析】因为,故（当且仅当时取等号）,所以的最小值为,故应选B.【考点】基本不等式及运用.3.设等比数列的前项和为，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由等比数列的性质可得成等比数列,所以,即,又,则,所以,故应选B.【考点】等比数列的前项和的性质及运用.4.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A．54B．45C．27D．18【答案】A【解析】因,且,故,所以,故应选A.【考点】等差数列的性质及运用.5.若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令,由题设,即,解之得,故应选D.【考点】二次函数的图象和性质的运用.6.已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】由可得,因,所以,故应选B.【考点】基本不等式及运用.7.在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得,即,由余弦定理可得,所以,所以,故应选B.【考点】正弦定理余弦定理及运用.8.已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（）A．和均为的最大值B．C．公差D．【答案】D【解析】由可得,故,且,所以且和均为的最大值,故应选D.【考点】等差数列的前项和的性质及运用.9.在△中，内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形等边三角形【答案】D【解析】由可得,即,故或,即或,所以是等腰或直角三角形,故应选 D.【考点】同角三角函数的关系与正弦定理的综合运用.【易错点晴】本题以三角形的变角之间的关系为背景考查的是三角形形状的判别的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件化为,再运用正弦定理和二倍角公式将其化为,最后得到或,即或,所以是等腰或直角三角形.10.已知实数，满足不等式组若目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出不等式组表示的区域如图,结合图象可以看出:当动直线经过定点且取最大值时,必须有,即实数的取值范围为,故应选C.【考点】线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的范围问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的不等式组表示的平面区域,然后再依据题设条件目标函数取得最大值时的最优解不唯一画出经过定点的动直线,最后在数形结合确定动直线的斜率的取值范围是.11.在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】由余弦定理可得,依据题设,由题意该方程有两个正根,则,解之得,故应选A.【考点】余弦定理及运用.【易错点晴】本题以三角形为背景精心设置了一道探求边长的取值范围的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,特别是题设中的，,解答时仔细观察巧妙地运用余弦定理构设一元二次方程,然后再运用方程有两个不等的实数根建立不等式组,最后通过解不等式组求出实数的取值范围是.12.设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：410 1228 30 36…的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:因为且,所以在第行,第个数,因此根据数表的数据的规律可知,应填.【考点】归纳猜想等合情推理及运用．【易错点晴】本题以等腰直角三角形数列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出每一行的数的特征和规律为,然后再确定数列中的项是第行,第个数,最后再运用数列中各项的规律,写出数.二、填空题1.已知关于的不等式的解集为，则等于．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故,应填.【考点】二次不等式及解法的运用．2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶600后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度．【答案】【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.【考点】正弦定理及运用．3.在△中，为边的中点，，，，则．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,即,所以,则,由余弦定理得:,所以中运用勾股定理可得,应填.【考点】三角形的面积公式及余弦定理的有关知识的综合运用．4.已知数列满足（），若，（，），且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为．（用具体的数字表示）【答案】【解析】试题分析:由题设可得,所以,而,且当时, ,即;当时, ,即（不成立,应舍去）.所以数列的前2015项和的值为,应填.【考点】周期数列的性质与求和．【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出这些数的特征和规律,然后再计算出,而,进而利用数列的周期性求出数列的前2015项和的值为.三、解答题1.等差数列的前项和为，已知，．（1）求及；（2）令（），求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）借助运用裂项相消法探求.试题解析：（1）设等差数列的公差为，∵，，∴解得，．∴，．（2）由（1）知，∴，∴．【考点】等差数列的通项及前项和裂项相消法等有关知识的综合运用．2.在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．（1）求的值；（2）求△的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设条件运用正弦定理求解；（2）借助题设运用二倍角公式求解.试题解析：（1）∵，∴，∵，∴，由正弦定理得．（2），∴．【考点】正弦定理余弦二倍角公式等有关知识及综合运用．3.某小型餐馆一天中要购买，两种蔬菜，，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？【答案】餐馆应购买蔬菜公斤，蔬菜公斤，加工后利润最大为元.【解析】借助题设条件建立不等式组求解运用线性规划的知识求解.试题解析：设餐馆一天购买蔬菜公斤，购买蔬菜公斤，获得的利润为元，依题意可知，满足的不等式组如下：目标函数为．画出的平面区域如图．∵，∴表示过可行域内点斜率为的一组平行线在轴上的截距．联立解得即，∴当直线过点时，在轴上的截距最大，即．答：餐馆应购买蔬菜24公斤，蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．【考点】二元一次不等式组及线性规划的有关知识及综合运用．4.在△中，是上的点，平分，△面积是△面积的2倍．（1）求；（2）若，，求和的长．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．设，则，在△与△中，由余弦定理可知，，，∵，∴，∴，解得，即．【考点】三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．5.某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？【答案】应把楼房建成层，此时平均费用为每平方米万元.【解析】借助题设条件建立函数解析式运用基本不等求解.试题解析：设建筑楼层为层，该楼房每平方米的平均费用为万元，由题意知建筑第1层楼房建筑费用为：（元）（万元），楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：（元）（万元），建筑层楼时，该楼房总费用为，则，当且仅当，即时，等号成立．答：为了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成10层，此时平均费用为每平方米0.111万元．【考点】基本不等式等有关知识在实际生活中的综合运用．【易错点晴】应用题是高中数学问题中的常见题型,也是高考常考题型之一.这类问题的解答思路是:一、仔细阅读问题中的文字叙述；二、理解题意搞清问题中的数量关系；三、构建合适的数学模型；四、运用数学知识进行分析和求解.本题以构地建造楼房的实际问题为背景,其目的是考查基本不等式等有关知识的综合运用.求解时先阅读理解题意,再构建函数关系,最后再运用基本不等式求解.6.已知数列，，其前项和满足，其中．（1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，为数列的前项和，求证：；（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）借助题设条件运用等差数列的定义推证；（2）依据题设运用错位相减法推证；（3）借助题设建立不等式分类探求.试题解析：（1）当时，，∴，当时，，∴，即，∴（常数），又，∴是首项为2，公差为1的等差数列，．（2），，,相减得，∴．（2）由得，，，，当为奇数时，，∴；当为偶数时，，∴，∴，又为非零整数，∴．【考点】等差数列及错位相减法等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以数列的前项和与通项之间的关系等有关知识为背景,其目的是考查等差数列等比数列等有关知识的综合运用,及推理论证能力、运算求解能力、运用所学知识去分析问题和解决问题的能力的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,借助数列前项和与通项之间的关系进行推证和求解.本题的第一问,利用等差数列的定义证明数列是等差数列；第二问中则借助错位相减的求和方法先求出；第三问是依据不等式成立分类推得参数的取值范围.。
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福建省东山县第二中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z ＝ （ ） A. i B.-i C.22i + D.22i -2．已知i m m m z )23(2222+-+-=（m ∈R ，i 为虚数单位），则“m=﹣1”是“z 为纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 ( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数4.<成立,只需证 ( )A.22-<B. 22<C.22<D. 22(<5.已知函数()ln ,f x x =且'1(),f m e=则m 的值等于 （ ） A.1B.2C.1eD. e 6.已知函数()ln ,f x x x =-则函数f （x ）的单调递增区间是 （ ） A.（－∞，1） B.（0，1）C.（－∞，0），（1，＋∞） D.（1，＋∞）7.已知双曲线C 的中心为原点，点F 是双曲线C 的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则C 的方程为 （ ）A ．221x y -= B ．2212y x -= C. 22123x y -= D ．22133x y -= 8．已知正方体1111ABCD A B C D -,11A B M 是的中点，则异面直线AM 与1B C 所成角的余弦值为 （ ）A9．设抛物线2C:y 12x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且(0),FN FM λλ=>，若4FM =，则λ的值 （ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 10. 在平面几何中有结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则12S S ＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V ＝ ( ) A.18 B.19 C.164 D.12711．若点O 和点F 分别为椭圆125922=+y x 的中心和焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为 ( ) A ．411 B ．417 C ．413 D ． 41512.函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f 有三个零点，则实数的取值范围是 ( ) A.)2,0( B.),2(e C.),(+∞e D.),2(+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13.已知△ABC 中,A=30°,B=60°,求证a<b.证明:因为A=30°,B=60°,所以A<B,所以a<b.画线部分是演绎推理三段论中的 .(填“大前提”“小前提”或“结论”) 14.21()1x dx x +⎰=_______15．对于实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，观察下列等式：3++=10++++=21++++++=……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为______．16．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量； ④AP BD .其中正确的是________(填序号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.(本题10分)p 命题:2,10x R x mx ∀∈++≥；q 命题:方程2212x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆.若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数的取值范围.18.已知复数22(56)(3),z m m m m i =-++-(m R ∈),其中i 是虚数单位 求实数m 的值或范围. (12分)(1)若 z 是实数,求实数m 的值; (2) 若z 是纯虚数,求实数m 的值; (3)若43,12iz i+=+z 在复平面内对应的点在第几象限?19. (12分)已知数列{}n a 满足113a =, 且()*1321n n n a a n N a +=∈+. （1）求出2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，⊥AB AD ，AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的余弦值．21．椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距离是6． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-，求k 的取值范围．22. （本小题共12分）已知函数2()()ln ,()f x a x x x a R =--∈． （1）若()f x 在1x =处取到极值，求a 的值；（2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）求证：当2n ≥时，1111ln 2ln 3ln n n n-+++>…．2018~2019东山二中高二(下)月考一理科数学答案A CBCD B A A D D A D 13.小前提 , 14.3ln 22+, 15. 22n n + 16. ①②③ 17解答： p 命题:2,10x R x mx ∀∈++≥ 为真， 240m ∆=-≤ ⇒ 22m -≤≤ …………2分q 命题为真，即方程2212x y m +=是焦点在轴上的椭圆， 02m ∴<< ……4分又“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题p 是真命题且q 是假命题，或p 是假命题且q 是真命题…………6分 02{-22m m m ≤≥≤≤或 或<-22{02m m m ><<或 …………8分m 的取值范围是[]{}2,02-⋃…………10分18.(1) z 是实数,230,0 3.m m m m -===或,-----4分(2) z 是纯虚数,22(m -5m+6)=0m -3m 0⎧⎪⎨≠⎪⎩,解得m=2 ------8分(3)43212iz i i+==-+ ∴z 对应的点(2,-1)在第四象限.---12分19. 当11a 3=时,可求出2345392781a ,a ,a ,a 5112983====, 猜想: n 1*n n 13a ,n N 32--=∈+. -------6分 下面用数学归纳法证明: ①n 1=时,不难验证公式成立;②假设当()*n k k N =∈时公式成立,即k 1k k 13a 32--=+,------8分则当n k 1=+时, ()()k 1k 11k 1k k 1k 1k 11k k 1333a 332a 232a 132132-+--+-+--⨯+===⨯++++,故此时公式也成立,综合①②,可知n1 n n13a32--=+. ------12分20．（Ⅰ）PCACABCDACABCDPC⊥∴⊂⊥,,平面平面4,2,2 2.AB AD CD AC BC===∴==BCACABBCAC⊥∴=+∴,222,又PBCACCPCBC平面⊥∴=,…………4分PBCEACEACAC平面平面平面⊥∴⊂．………5分（Ⅱ）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0)C A B-设0,0,P a（）（0a>），则11,,222aE-（），=1,1,0CA→（）,=0,0,)CP a→（，11=,)222aCE→-（，，．．．．．．．6分取(1,1,0)=-m则CP CA→→⋅=⋅m m，∴m为面PAC的法向量设(,,)x y z=n为面EAC的法向量，则0CE CA→→⋅=⋅=n n，即x yx y az+=⎧⎨-+=⎩，取=x a，=-y a，=-2z ，则(,,2)a a=--n，．．．．．．．．．．．．．． 8分依题意，2||6|cos,|||||2a⋅<>===+m nm nm n，则=2a．．．．．．．．．．．．．．．9分于是(2,2,2)n=--，(1,1,2)PA→=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分设直线PA与平面EAC所成角为θ，则||2sin|cos,3||||PAPAPAθ→→→⋅=<>==nnn，7cos3θ=,则直线PA与平面EAC所成角的余弦值为73．．．．．．．．．．12分21.（I ）由已知，；,故椭圆C 的方程为………………4分（II ）设则A 、B 坐标是方程组的解。
消去，则， ………………7分所以k 的取值范围是………………12分22. 【解析】（1）1'()2f x ax a x=--， ()f x 在1x =处取到极值， '(1)0f =即10a -=1a ∴= 经检验，1a =时，()f x 在1x =处取到极小值.------3分（2）221'()ax ax f x x--=，令2()21g x ax ax =--，(1)x ≥1当0a =时，1'()0f x x-=<，()f x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，1x ∴≥时，()f x 0≤，不满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立2当0a >时，二次函数()g x 开口向上，对称轴为14x =，过(0,1)- ①当(1)0g ≥即1a ≥时，()g x 0≥在[1,)+∞上恒成立，'()0f x ∴≥，从而()f x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =1x ∴≥时，()f x 0≥成立，满足()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立②当(1)0g <即0<1a <时，存在0x >1,使0(1,)x x ∈时，()g x <0，()f x 单调递减，0(,)x x ∈+∞时, ()g x >0，()f x 单调递增， 0()(1)f x f ∴<，又(1)0f =，0()0f x ∴<故不满足题意3当0a <时，二次函数()g x 开口向下，对称轴为14x =，()g x 在[1,)+∞单调递减，(1)10g a =-<，()0g x ∴<，()f x 在[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，1x ∴≥时，()f x 0≤，故不满足题意综上所述，1a ≥（3）证明：由（1）知令1a =，当[1,)x ∈+∞时，2()ln 0x x x --≥（当且仅当1x =时取“=”）∴当2x >时，211ln x x x>-． 即当2,3,4,,x n =…，有222111111)ln 2ln 3ln 2233n n n+++>+++---……1111122334(1)n n=++++⨯⨯⨯-... 1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++-- (11)1n n n-=-=．--------------12分。