一维中心的拟L5,Q5-filiform李代数的导子代数

合集下载

Hom-Leibniz代数的导子

明了ｈｏｎ．ｒＬｅｉｂｎｉｚ代数导子的一些性质．
例２ｌ５设（Ｌ，［，］）是一个Ｌｅｉｂｎｉｚ代数，：．乙一Ｌ是Ｌ的自同态，（［，Ｙ］）＝［（），（Ｙ）］，Ｖ，Ｙ∈Ｌ．令［，］＝（［，Ｙ］），贝０（Ｌ，［，］，仅）是Ｈｏｍ— Ｌｅｉｂ —
Ｈｏｍ一莱布尼兹代数是莱布尼兹代数的自然
［（），［Ｙ，ｚ］］＝
［［，Ｙ］，（ｚ）］＋［ａ（ｙ），［，Ｚ］］（２）
推广，是代数的一种重要变形．它与数学的许多
分支有重要联系，特别是对非交换几何的研究有
Ｈｏｍ— Ｌｅｉｂｎｉｚ代数的导子
张永平，鲁亚男，王欣彦
（沈阳化工大学数理系，辽宁沈阳１１ｏ１４２）
摘
要：定义了Ｈｏｍ— Ｌｅｉｂｎｉｚ代数（ｇ，［，］，）的一导子、内导子和导子扩张代数Ｄｅｒ（ｇ） ①ｇ，并
第２８卷
２０１４．１２
第４期
沈
阳
化
工
大
学
学
报
Ｖｏ１．２８Ｎｏ．４Ｄｅｃ．２０１４
ＪＯＵＲＮＡＬ０ＦＳＨＥＮＹＡＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ０ＦＣＨＥＭＩＣＡＬＴＥＣＨＮＯＬ０ＧＹ
文章编号：２０９５— ２１９８（２０１４）０４— ０３７４— ０３

一维李代数

一维李代数
一维李代数是指只有一个生成元的李代数，它的李括号与生成元的取值相关。

具体来说，设这个生成元为x，则李括号为[x,x]=0，[x,1]=0，[1,1]=0，其中1表示单位元。

这个李代数可以看作是对于一维向量空间的李代数结构。

一维李代数的重要性在于它可以作为研究其他李代数的基础。

例如，设L是一个任意李代数，那么L中的任意一个元素可以表示成一维李代数的生成元x和一个标量a的乘积，即y=ax，因此李括号[ y ,z]可以写成[ x ,z]的形式，这种转化可用于研究李代数的结构和属性。

总之，一维李代数虽然简单，但具有重要的数学意义和应用价值。

- 1 -。

一维谐振子的 Schrodinger 方程的解及 Hermite 多项式的性质

z →−m
lim (z + m)Γ(z ) lim
(z + m)(z + m − 1) · · · (z + 1)Γ(z + 1) z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z Γ(z + m + 1) = lim z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z 1 = (−1)m m!
ξ →+ ∞
因而在这种情况下, 原 Schrödinger 方程无有界解. 现讨论 v 是非负整数的情况, 即 v = m, m 为非负整数. 在式 (23), (24)的基础上, 若 m 为偶数, 则式 y1 变为未定式, 而 y2 仍为原无界函数. 这时由递推式 (19), am+2 = 0, y1 为 m 次多项式；同样, 若 m 为奇数, 则 y1 为无界函数, y2 为 m 次多项式. 现研究 Γ 函数在 0 和负整数附近的性质. 由于 Res[Γ(z ), −m] = =
ξ2
(10) (11)
y ′′ − 2ξy ′ + (ν − 1)y = 0. 式 (11)即为 Hermite 微分方程.
2
2 Hermite 方程的幂级数求解
下面用幂级数法对 Hermite 方程进行求解. 重写 Hermite 方程如下, 在其中令 λ = ν − 1： y ′′ − 2ξy ′ + λy = 0. 设 y (ξ ) 为如下幂级数形式： y (ξ ) = 那么有 y
l
(39)
变换求和哑元, 令 k = l − i, 则 y1 =
l ∑ (−1)l−i 22l−2i l! i=0
(2l − 2i)!i!

量子环面代数及其上的李代数

量子环面代数的中心和导子等性质已在文献 [5] 中进行了详细的讨论, 我们仅在这里列出本文
中所需的若干性质.
命题 2.2. ( [5]) Z(Cq)
Cq
.
DOI: 10.12677/pm.202常智华
• {xiyj, i, j ∈ Z} Cq
,
• Cq = [Cq, Cq] ⊕ Z(Cq).
2. 量子环面代数
量子环面代数是多项式代数的非交换推广. 我们在本节中回顾量子环面代数的定义和基本性质, 并通过构造矩阵代数上的一些有限阶自同构证明量子环面代数同构于矩阵代数的有扭双重 loop 代数. 定义 2.1. 设 Q = (qij)i,j=1,...,ν 是一个 ν × ν 的复方阵且满足
为此, 我们引入矩阵
1
X =
q
q2 ...
,
qm−1
0
1
Y = 1
0 1
... ...
0
10
容易验证, 它们满足下列性质:
• Xm = 1 = Y m. • XY = qY X. • {XiY j|0 ≤ i, j ≤ m − 1} 是 Mm(C) 的一组基. 矩阵 X 和 Y 可以给出矩阵代数 Mm(C) 上的两个 m 阶自同构:
20 世纪 90 年代初, S. Azam, B. Allison, S. Berman, Y. Gao 和 A. Pianzola 在 [2] 中进一步将仿射型 Kac-Moody 代数推广到扩张仿射李代数. 事实上, 论文 [3] 已证明零度为 0 的扩张仿射李代数就是有限维可列单李代数, 而零度为 1 的扩张仿射李代数恰为仿射 Kac-Moody 代数. 对于零度更大的情形, 论文 [4] 证明了除 A 型外其它类型的扩张仿射李代数的无中心核同构于一个基于有限维单李代数的多重 (有扭) loop 代数. A 型的扩张仿射李代数较为特别, 论文 [5] 指出当 n 3 时, 零度为 ν 的 An 型扩张仿射李代数的无中心核同构于 ν 个变量的量子环面代数上的特殊线性李代

代数英语

(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。

0+||zero-dagger; 读作零正。

1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。

AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。

BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。

B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。

C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。

CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。

Cp统计量||Cp-statisticC。

一类量子环面李代数的导子代数

本文利用导子的定义和李代数自身的李运算研究了李代数Ｌ一Ｄ０Ａ的导子代数Ｄｒ的结构，出ＤｒｄｅｅＬ指ｅＬ＝ａＬ
００００其中ａＬＰＰ，ｄ为Ｌ的内导子，，为Ｌ的度导子，Ｐ满足Ｐ（ｍ）一ｍＰ，ｚＥ（），Ｘ）ｍＰ（ｍ一，ｉ
Ｐ，２足Ｐ（）一ｍｌＰ满ｆＥ（），ｆ）＝ｍ，一１Ｐ（＝＝ｉ，
２定理１．（）
记Ｐ１：（，）Ｐ１０，２一（１，１一Ｚ１Ｚ，１＝０，）Ｉｅ＋ｅＩ２
个有限生成的Ｇ分次李代数，ＤｒＬ）一０则ｅ（
数Ａ的导子李代数ＤｅＡ一｛ｄ）（０ａｘ）ｒｄ，０ｄ．
ｍＣＺ＼｛－０｝
—
关于量子环面Ｃ的导子代数读者可参阅文献［。５６］等．
２导子代数
引理１Ｃ
一
设Ｇ是一个交换群，Ｌ一０是若Ｌ
２００８年７月
Ｊ１０８ｕ．２０
一
类量子环面李代数的导子代数
郑兆娟
（门大学数学科学学院，建厦门３１０）厦福６０５
摘要：记 — ［，］复数域上的非交换环面结合代数（≠ｏ为ｑ为非单位根）Ａ＼，ｅ为的导子李代数．，一ｃＤ
的ｄ ∈ Ｄｅ（。，设ｒＬ），
ｄ（）＝１ｒ）（，卅＋（，Ｅ（＋ｒｒｍ）ｍ）＋

一类Filiform李代数的左对称代数结构

一类Filiform李代数的左对称代数结构
宋巍;吴明忠
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2024(13)4
【摘要】本文运用导子和极大环面的定义,对一类特殊的filiform李代数进行了深入的探讨,并成功求得了这类特殊filiform李代数的一个极大环面,从而证明出这类filiform李代数满足左对称代数结构。

这一发现不仅丰富了filiform李代数的理论体系,也为相关领域的研究提供了新的思路和方向。

【总页数】5页(P1758-1762)
【作者】宋巍;吴明忠
【作者单位】西华师范大学数学与信息学院南充
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
+1 filiform李代数的左对称代数结构
2.Brn+1 filiform李代数的左对称代数结构
3.Wn filiform李代数的左对称代数结构
4.一类filiform左对称代数的triple 导子
5.相应于一类对称自对偶李代数的顶点代数结构
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

量子环面的收缩李代数及其导子和泛中心扩张

ｑ ’ ）ｍ＝（一ｑｔ叶ｍ
定义ｃ上的线性映射Ｕ，使得
。
＝（
）（ｆ
ｌｉ
ｎ’ ｔ）＝ｌ＿１）ｍ】ｉ．）ｍｑ＿
ｕｎ
一
。
：；
ｒ “ ＋ｍ
由诺必达法则可知上述极限存在，故可得到ｃｚ的一个收缩李代数，该李代数就是本文要研究的主要
。
一
【Ｄ（）Ｄ（）＝卜ｎ），ｍ）】
，一
，】
＝一ｆ
４
）
４
）
± ±
（＋１＋））（１
￣ｒ＋２ｔｍｍ？￣
‘
，
因此
ｎ脚）
，
）＝【：Ｉ
）），
ｍ），）】
故是李代数同构，于是Ｌ兰Ｊ．
下面首先回顾一下量子环面、收缩（ｏｔｃｏ）方法及Ｖｒｏｏｉ代数的定义．ｃｎｒｔｎａｉｉｓｒ－ｋａｌｅ取定非零复数ｑ两个变量量子环面是ｃ上带单位元的结合非交换代数，，其生成元为ｔ，ｌｔ，ｌ生ｌｔｔｔ，～，～
成关系为：ｈｑｔｔ一ｉｉ１＜．它关于通常的换位子所构成的李代数记为 ■．ｔ＝ｈ２ｉ＝ｔｔ，ｉ２，ｔ－＝ｌ２ｉ１
ｅｔｎｉｎｘｅｏｓ
如果没有特别说明本文所讨论的线性空间都是定义在复数域上．为简化符号，将用ｎ７ｎ等表示，，１ｌ１（Ｉ２（＇２（…ｎ）等，用ｔ表示ｆ用ｒ分别表示ｚ和：＼０）．ｎ，）ｍＩ）ｎＩ ∈ ｎ，ｍ，２ “ ．２（，｝｛０

一维谐振子能级和波函数的代数解法

一维谐振子能级和波函数的代数解法上一回我们解出了粒子在一维无限深势阱中的波函数，这次我们将求解一维谐振子，也就是粒子在势能 V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 下的波函数。

其中 m 为粒子质量， \omega 为振动的圆频率， x 为粒子的位置。

我们还是来研究定态薛定谔方程，将V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 代入得到： -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\psi}{\mathrm{d}x^2}+\frac{1 }{2}m\omega^2x^2\psi=E\psi .一般来说，解决这样的方程需要用到多项式解，但这里我们先介绍一种代数解法，这可以省去很多计算。

对易子一维谐振子的哈密顿算符可以写成：\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{p}^2+m^2\omega^2x^2) ，如果它可以“因式分解”的话，应该有： \hat{p}^2+m^2\omega^2x^2=[m^2\omega^2x^2-(i\hat{p})^2]=(i\hat{p}+m\omega x)(-i\hat{p}+m\omega x) .但事情远没有那么简单，此前我也告诉过你：算符之间是不能随意交换顺序的（类比矩阵乘法），因此那个“因式分解”不一定成立。

升降算符定义算符 \hat{a}_\pm=\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mpi\hat{p}+m\omega x) ，则由上面的推导我们有： 2\hbarm\omega(\hat{a}_-\hat{a}_+)=2m\hat{H}-im\omega[x,\hat{p}]=2m\hat{H}+\hbar m\omega ，则可以解得哈密顿算符为： \hat{H}=(\hat{a}_-\hat{a}_+-\frac{1}{2})\hbar\omega .我们发现，当算符 \hat{a}_+ 作用在 \psi(x) 上时，体系的能量会增加 \hbar\omega ，我们可以从定态薛定谔方程入手证明。

Banach代数中Fredholm型元及其谱理论

D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.3.033 *收稿日期:2022-01-05基金项目:国家自然科学基金(11871303).第一作者:孔莹莹,女,1994-,博士研究生;研究方向:算子理论与算子代数;E -m a i l :K o n g y i n g y i n g b i t @163.c o m.通信作者:蒋立宁,男,1972-,博士,教授,博士生导师;研究方向:算子代数与代数量子场论;E -m a i l :j i a n g l i n i n g@b i t .e d u .c n .B a n a c h 代数中F r e d h o l m型元及其谱理论*孔莹莹, 蒋立宁(北京理工大学数学与统计学院,100081,北京市) 摘要:文章概述了B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论.以F r e d h o l m 算子及其谱理论为原型,介绍了F r e d h o l m 型算子及其谱理论,研究了B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 型元及其F r e d h o l m 理论.进一步探讨了B a n a c h 代数中和代数同态相关的F r e d h o l m 理论㊁F r e d h o l m 族及其指标理论和C *-代数的F r e d h o l m 模等.关键词:F r e d h o l m 型元;谱;F r e d h o l m 理论;B a n a c h 代数;指标中图分类号:O 177.2 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)03-0033-120 引言1898年,弗雷德霍姆求解第二类型的F r e d h o l m 积分方程的研究工作,使得希尔伯特灵感突发,以积分方程为源头开始了泛函分析的多种研究.希尔伯特在讨论特征值问题时首先使用谱这个术语,并且指出:无穷多个变量的理论研究,当初完全是出于纯粹数学的兴趣,我甚至管这理论叫谱分析[1] .F r e d h o l m 理论及其谱理论由此而生.F r e d h o l m 理论和谱理论作为泛函分析理论体系中重要的组成部分,广泛应用于偏微分方程㊁物理学㊁工程学㊁非线性科学和量子力学等领域.例如:求振动的频率㊁判定系统的稳定性等均涉及到相应算子的谱分布问题,在量子力学中,能量算符是L 2空间上的一个自伴算子,其特征值对应着该系统束缚态的能级,而光谱是某个算子的特征值分布[2].设H 是无限维复可分的H i l b e r t 空间,记从H 到H 的有界线性算子的集合为B (H ),从H 到H 的紧算子集合为K (H ),则K (H )是C *-代数B (H )的理想,称取商所得的C *-代数为C a l k i n 代数,并记为C (H ),故有正合列[3]:0ңK (H )ңB (H )ңC (H )ң0.20世纪初期,A t k i n s o nFV 指出T ɪB (H )是F r e d h o l m 算子当且仅当T 模K (H )是可逆的[4].F r e d -h o l m 算子的公理化定义促进了F r e d h o l m 理论的迅速发展.1987年,H a r t eH 给出了F r e d h o l m 算子的另一种刻画,指出T ɪB (H )为F r e d h o l m 算子当且仅当T 的值域是闭的,并且T 的零空间的维数和值域的余维数都有限[5,6].与此同时,他也对特殊的F r e d h o l m 算子,即W e y l 算子和B r o w d e r 算子进行了研究.对于这3种算子,国内外学者主要关注于算子的摄动㊁谱映射定理以及指标理论等[7,8].随后,在1997年,S c h m o e ge rC [9-11]将F r e d h o l m 算子进行推广,定义了广义F r e d h o l m 算子,并讨论了B a n a c h 空间上的广义F r e d h o l m 算子的摄动理论.几乎同时,B e r k a n iM [12]也给出了F r e d h o l m 算子的另外一种推广,即拟F r e d h o l m 算子.注意到一个算子T 是F r e d h o l m 算子当且仅当T 模K (H )是可逆的.随后,众多学者对F r e d h o l m 算子进行推广,将其中的可逆性条件弱化为D r a z i n 可逆等,来定义更弱的F r e d -h o l m 算子.例如:B e r k a n iM [13]定义了B -F r e d h o l m 算子,即模F (H )是D r a z i n 可逆的;进一步地,B -W e y l 算子㊁B -B r o w d e r 算子也被引入.以上F r e d h o l m 算子㊁W e y l 算子㊁B -W e y l 算子等由F r e d h o l m 算子演变而来的统称为F r e d h o l m 型算子.几乎同一时间,抽象的F r e d h o l m 理论也得到了发展.1968年,B a r n e sB [14,15]定义了环中的拟F r e d h o l m 第48卷第3期2022年7月曲阜师范大学学报J o u r n a l of Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t y V o l .48 N o .3J u l y 202243曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年元和F r e d h o l m元.具体的,一个元素被称作是F r e d h o l m元如果它模S o c l e是可逆的.1982年,B a r n e sBA,M u r p h y GJ,S m y t h M[16,17]等学者通过B a n a c h代数中最小幂等元和B a r n e s幂等元等工具,运用左正则表示的方法,讨论了本原B a n a c h代数中的F r e d h o l m元.随着F r e d h o l m算子及其谱理论的发展,近些年,关于F r e d h o l m型元及其谱理论的研究出现了新的趋势,越来越多的学者将特殊的B a n a c h代数B(H)推广到一般的B a n a c h代数,来研究一般的B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论.例如:M a n n l eD和S c h m o e g e rC[18]研究了半单B a n a c h代数中的广义F r e d h o l m理论.B e r k a n iM给出了环和代数中的B-F r e d h o l m理论[19];进一步地,序B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论也被考虑[20].除此之外,一些学者另辟蹊径,将B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论进行推广,提出了依存于B a n a c h代数同态的F r e d h o l m理论及其谱理论,以及F r e d h o l m族及其解析指标等[21,22].环或B a n a c h代数中的F r e d h o l m元㊁B-F r e d h o l m元等由F r e d h o l m元演变而来的元统称为F r e d h o l m型元.本文以H i l b e r t空间上的F r e d h o l m算子及其谱理论为出发点,分两条脉络对F r e d h o l m型元及其谱理论作出简要概述,一条脉络是对给定的B a n a c h代数B(H),讨论了F r e d h o l m型算子及其谱理论;另一条脉络则是研究抽象的F r e d h o l m理论,即研究B a n a c h代数中的F r e d h o l m型元.此外,本文也给出了B-F r e d-h o l m元的分解定理,C*-代数的W e y l模的摄动,以及以谱为工具刻画了半单B a n a c h代数的S o c l e等.1B(H)中的F r e d h o l m理论假设H为无限维复可分的H i l b e r t空间,令B(H)为H上的有界线性算子全体,F(H)为H上有限秩算子全体,K(H)为H i l b e r t空间H上的紧算子全体.本节分别介绍B(H)中F r e d h o l m算子及其谱理论,以及以W e y l㊁B r o w d e r㊁B-F r e d h o l m㊁B-W e y l㊁B-B r o w d e r算子为代表的F r e d h o l m型算子及其谱理论. 1.1F r e d h o l m算子及其谱理论设TɪB(H),记T的零空间N(T)的维数为n(T),T的值域R(T)的余维数为d(T).假设TɪB(H),对任意的x,yɪH,方程T x=y可解当且仅当T为可逆算子.F r e d h o l m算子也与方程的求解问题密切相关,若T是H上的F r e d h o l m算子,对于给定的向量gɪH,方程T f=g是否可解等价于g是否与有限维线性空间K e r T*正交,最后,方程T f=g的解空间是有限维仿射空间.为了体系完整性,我们首先给出F r e d h o l m算子的定义.定义1.1[23]假设TɪB(H),若n(T)<ɕ且R(T)是闭的,则称T为上半F r e d h o l m算子.上半F r e d-h o l m算子的全体记为Φ+(H).若d(T)<ɕ,则称T为下半F r e d h o l m算子.下半F r e d h o l m算子的全体记为Φ-(H).若T既是上半F r e d h o l m算子又是下半F r e d h o l m算子,则称T为F r e d h o l m算子.记F r e d h o l m 算子全体为Φ(H).事实上,F r e d h o l m算子本质上是由可逆算子性质弱化得到的一类算子,而A t k i n s o n[4]指出TɪΦ(H)当且仅当T模F(H)可逆.A t k i n s o n对F r e d h o l m算子的刻画在F r e d h o l m算子理论体系中至关重要.命题1.2[23]若TɪB(H),则TɪΦ(H)当且仅当存在U1,U2ɪB(H),K1,K2ɪF(H)使得U1T=I-K1,T U2=I-K2.例1.3假设AɪB(l2)为右移算子A(x1,x2, )=(0,x1,x2, ),则容易验证n(A)=0,d(A)=1,故可知A为F r e d h o l m算子.根据文献[24],若T,SɪΦ+(H)(Φ-(H),Φ(H)),则T SɪΦ+(H)(Φ-(H),Φ(H)).反之,如果S T 为下半F r e d h o l m算子,则S为下半F r e d h o l m算子;如果S T为上半F r e d h o l m算子,那么T为上半F r e d-h o l m算子.可证Φ(H)为B(H)中的半群.关于更多的F r e d h o l m算子的性质可参考文献[23,24].F r e d-h o l m算子的摄动与方程解的稳定性密切相关,接下来给出F r e d h o l m算子的邻域摄动定理.命题1.4[24,第519页]假设TɪB(H),KɪK(H).1)有Φ(H)+K(H)⊆Φ(H)成立;2)若TɪΦ(H),则∃ρ>0使得对所有的SɪB(H)且 S <ρ时,有T+SɪΦ(H);3)若TɪΦ+(H),则∃ >0使得对所有的SɪB(H)且 S < 时,有T+SɪΦ+(H)且n(T+S)ɤn(T);4)若T ɪΦ-(H ),则∃ >0使得对所有的S ɪB (H )且 S < 时,有T +S ɪΦ-(H )且d (T +S )ɤd (T );5)若T ɪΦ+(H )(T ɪΦ-(H )),那么∃ >0使得对所有的|λ|< ,有n (λI +T )ɤn (T )(d (λI +T )ɤd (T ))且n (λI -T )(d (λI -T ))是一个常数.借助F r e d h o l m 算子,定义T ɪB (H )的本质谱为σe (T )={λɪC :T -λI ∉Φ(H )}.令ρe (T )=C \σe (T ).由文献[24]可知,σe (T )为C 中的有界闭集.令H (σ(T ))为在σ(T )的开邻域上解析的所有复值函数全体,对任意的T ɪB (H ),f ɪH (σ(T )),谱映射定理成立,即σ(f (T ))=f (σ(T )),其中σ(T )表示算子T 的谱.事实上,本质谱也满足谱映射定理.命题1.5[24,定理3.113] 若T ɪB (H ),f ɪH (σ(T )),则σe (f (T ))=f (σe (T )).依然考虑B a n a c h 代数B (H ),众多学者将F r e d h o l m 算子进行变型,一部分学者考虑了特殊的F r e d -h o l m 算子及其性质,例如:W e y l 算子㊁B r o w d e r 算子等;另一些学者则将F r e d h o l m 算子进行推广,弱化为B -F r e d h o l m 算子,同时B -W e y l 算子和B -B r o w d e r 算子也被引入.1.2 F r e d h o l m 型算子及其谱理论本节主要介绍W e y l ㊁B r o w d e r ㊁B -F r e d h o l m ㊁B -W e yl ㊁B -B r o w d e r 算子等的演变脉络及其基本性质.上述算子统称为F r e d h o l m 型算子.首先介绍一类特殊的F r e d h o l m 算子,即W e y l 算子.定义1.6[24,第214页] 设T ɪB (H ),若T 为半F r e d h o l m 算子,则T 的指标定义为i n d (T )=n (T )-d (T ).特别地,如果i n d (T )=0,那么称T 为W e y l 算子.设T ,S ɪB (l 2)为如下定义,T (x 1,x 2,x 3, )=(0,x 1,x 2,x 3, ),S (x 1,x 2,x 3, )=(x 2,x 3,x 4, ).令U =T 00S æèçöø÷,则可证U 为指标为0的F r e d h o l m 算子,即W e y l 算子.根据文献[24,定理A.30],可知W e yl 算子全体在紧算子的摄动下是不变的.由文献[24,定理A.32]可知,假设T ɪB (H ),若T 为W e y l 算子,则存在 >0使得对任意满足 S < 的S ɪB (H ),有T +S 也是W e y l 算子.与此同时,A i e n aP 给出了W e y l 算子的等价刻画,即T ɪB (H )为W e yl 算子当且仅当存在K ɪF (H )和可逆算子S 使得T =S +K 为可逆算子.类似的,定义算子T ɪB (H )的W e y l 谱如下,σw (T )={λɪC :T -λI 不为W e y l 算子}.令ρw (T )=C \σw (T ).然而,σw (T )并不满足谱映射定理.命题1.8[24,定理3.115] 设T ɪB (H ),若f ɪH (σ(T )),则σw (f (T ))⊆f (σw (T )).一般情况下, σw (f (T ))=f (σw (T )) 不成立,可参考文献[24,例3.116].令T ɪB (H ),若对任意的λ,μɪρ*(T ),i n d (λI -T )和i n d (μI -T )的符号是一致的,则称T 有稳定符号指标.由文献[24,定理3.119]可知,W e y l 谱σw (T )满足谱映射定理当且仅当T 在ρe (T )上有稳定符号指标.将W e y l 算子全体的范围继续缩小,有B r o w d e r 算子的概念.令T ɪB (H ),使得N (T n )=N (T n +1)成立的最小的n ɪℕ,称为T 的升标.若n 不存在,则称T 有无限的升标;使得R (T n )=R (T n +1)成立的最小的n ɪℕ,称为T 的降标.若n 不存在,则称T 有无限的降标.如果T 为F r e d h o l m 算子并且有有限的升标和降标,则称T 为B r o w d e r 算子.可以证明,B r o w d e r 算子一定是W e y l 算子,W e y l 算子一定是F r e d h o l m 算子.关于B r o w d e r 算子的摄动定理如下.命题1.9[24,定理3.40] 令T ɪB (H ),则下列叙述等价:1)T 为B r o w d e r 算子;2)存在幂等算子P ɪF (H )和可逆算子S 使得P S =S P 且T =S +P .设T ɪB (H ),令σb (T )={λɪC :T -λI 不为B r o w d e r 算子},称为T 的B r o w d e r 谱.令ρb (T )=C \σb (T ).可证B r o w d e r 谱σb (T )为C 中的非空有界闭集,且T 的B r o w d e r 谱也满足谱映射定理.F r e d h o l m 型算子中还包括另外一部分,例如B -F r e d h o l m 算子,B -W e y l 算子等,而这些则是对F r e d -h o l m 算子进行推广,即将F r e d h o l m 算子进行弱化".注意到,A t k i n s o n 定理说明T ɪB (H )为F r e d h o l m 算子当且仅当[T ] T +F (H )在B (H )/F (H )中可逆,将可逆"弱化为 D r a z i n 可逆,即是下面将要引入53第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论63曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年的B-F r e d h o l m算子.定义1.10[24,定义1.111]假设TɪB(H),若对某个正整数n,有T n(H)是闭的并且T n是F r e d h o l m算子,则称T为B-F r e d h o l m算子,其中T n T|T n(H).为了给出B-F r e d h o l m算子的另一种刻画,回忆D r a z i n给出的D r a z i n可逆的定义.定义1.11[24,定义1.121]令A是一个含有单位元e的代数,一个元素aɪA被称作是n阶D r a z i n可逆元如果存在一个元素bɪA使得a n b a=a n,b a b=b,a b=b a成立,元素b被称为a的D r a z i n逆.由文献[24,定理1.126]可以发现,TɪB(H)为B-F r e d h o l m算子当且仅当[T] T+F(H)为D r a z i n 可逆的.类似于F r e d h o l m算子情形,关于B-F r e d h o l m算子的摄动以及谱理论也被考虑.定理1.12[24,定理1.126]假设T,SɪB(H)为B-F r e d h o l m算子.1)若T S=S T,则S T为B-F r e d h o l m算子.2)若KɪF(H),则T+K为B-F r e d h o l m算子.3)存在0的邻域D(0, )使得对任意的λɪD(0, )\{0},有λI-T为F r e d h o l m算子.类比上述F r e d h o l m算子及其谱理论中众多学者所关注的热点,B-F r e d h o l m算子及其谱理论由此而生.假设TɪB(H)为B-F r e d h o l m算子,若n满足T n T|T n(H)为F r e d h o l m算子,则将T n的指标定义为T的指标,记为i n d(T).根据文献[24,定理1.112]可知,上述指标的定义是良定的,即不依存于整数n的选取.定义B-F r e d h o l m谱σB F(T)={λɪℂ:T-λI不为B-F r e d h o l m算子},同样可知,B-F r e d h o l m谱也满足谱映射定理.随后,一些学者研究了特殊的B-F r e d h o l m算子,例如B-W e y l算子,B-B r o w d e r算子等.具体的,指标为0的B-F r e d h o l m算子被称为B-W e y l算子,B e r k a n iM[25]指出如果0是算子T的谱中的孤立点,那么T是B-W e y l算子当且仅当T是D r a z i n可逆的.在1997年,S c h m o e g e rC[9-11]也将F r e d h o l m算子进行推广,定义了广义F r e d h o l m算子,并讨论了广义F r e d h o l m算子的摄动定理;另一方面,通过代数中的广义可逆元,给出了广义F r e d h o l m算子的等价刻画.由F r e d h o l m算子演变出的F r e d h o l m型算子还有很多,例如拟F r e d h o l m算子,半F r e d h o l m算子,上半W e y l算子,半B r o w d e r算子等,关于它们的具体性质和彼此之间的关系可参考文献[12,23,24].本节介绍了F r e d h o l m型算子及其谱理论,与此同时,一些学者另辟蹊径,将代数B(H)进一步推广,研究了环,半单B a n a c h代数,本原C*-代数等中的F r e d h o l m理论.2B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论关于B a n a c h代数中的F r e d h o l m理论,按照从一般到特殊的方法进行概述.首先介绍环中的F r e d h o l m 理论,其次讨论半单B a n a c h代数,本原C*-代数等中的F r e d h o l m理论.最后,对近些年F r e d h o l m理论发展的新趋势进行概述.2.1环中的F r e d h o l m理论令A是一个环,称A为半素环,若它没有非零的左(或右)幂零理想.本小节总是假设A是一个半素环,从而确保其S o c l e的存在性.这里环A的S o c l e指的是A中所有极小左理想的和,若A没有极小左理想,则定义其S o c l e为{0}.A t k i n s o n[4]给出B a n a c h空间X上的F r e d h o l m算子的刻画,即模X上的紧算子所构成的理想是可逆的.事实上,F r e d h o l m算子也可被描述为:模X上的有限秩算子全体所构成的理想F(X)是可逆的.注意到F(X)是B(X)的S o c l e,其中B(X)指B a n a c h空间X上的有界线性算子全体.本小节基于这个观察,讨论半素环中的F r e d h o l m理论.基本思路是,为将F(X)推广至环中,考虑环的S o c l e;为将秩1投影推广至环中,考虑环的极小幂等元;为将维数推广至环中,则需要引入理想的阶 .首先给出它们的定义.定义2.1[15,第84页]设A为半素环,N为A中的右理想.如果N可以写为有限个A中极小右理想的和,则称N有有限阶.此时,N的阶则是使得满足极小右理想的和为N的最小的极小右理想的个数,记为θ(N).若N为A中非零的右理想,且有有限阶m.由文献[15]可知,N中极小幂等元的任意一个极大正交集包含m 个元素,不妨设为{E 1,E 2, E m },那么N =e A ,其中e =E 1+E 2+ +E m .根据文献[23],假设A 是一个半素B a n a c h 代数,如果J 为A 中有限维左理想,则存在一个幂等元p ɪS o c (A )使得A p =J .由此可以看出阶本质上是维数的一种推广.在半素环中,B a r n e sB [15]讨论了F r e d h o l m 和拟F r e d h o l m 元,令u ,v ɪA ,记u v =u +v -u v .接下来介绍拟F r e d h o l m 元和F r e d h o l m 元及其指标理论.定义2.2[15,定义2.4] 假设A 为半素环,且u ɪA .若存在v ɪA 使得v u ɪS o c (A )(u v ɪS o c (A )),则称u 为左(右)拟F r e d h o l m 元;若u 既是左拟F r e d h o l m 元又是右拟F r e d h o l m 元,则称u 为拟F r e d h o l m 元.若u 模S o c (A )可逆,则称u 为F r e d h o l m 元.B a r n e sB 给出了拟F r e d h o l m 元的刻画,具体地,u ɪA 为右拟F r e d h o l m 元当且仅当存在幂等元e ɪS o c (A )使得(1-u )A =(1-e )A .与此同时,B a r n e sB 定义了拟F r e d h o l m 元的指标,并证明了指标具有连续性.若B 为A 中的子集,令L [B ]={a ɪA :a B =0},R [B ]={a ɪA :B a =0}.定义2.3[15,定义3.1] 假设u ɪA 是拟F r e d h o l m 元,定义k (1-u )=Θ(L [(1-u )A ])-Θ(R [A (1-u )]),则称k (1-u )为1-u 的指标.类似于经典F r e d h o l m 理论中F r e d h o l m 算子乘积的指标的性质,拟F r e d h o l m 元也有类似的结论,即若u 和v 为A 中的拟F r e d h o l m 元,那么v u 也是拟F r e d h o l m 元并且k (1-v u )=k (1-v )+k (1-u ).特别地,当A 是一个半素B a n a c h 代数,若{u n },u 为A 中的拟F r e d h o l m 元,并且{u n }收敛于u ,那么k (1-u n )收敛于k (1-u ).关于指标的进一步性质可参考文献[15].B e r k a n iM 将环中的F r e d h o l m 元进一步推广,研究了环中的依赖于理想的B -F r e d h o l m 元.定义2.4[19,性质2.4] 假设A 是一个半素环,J 为A 中的理想.元素a ɪA 被称为是模理想J 的B -F r e d -h o l m 元若π(a )在商代数A /J 中是D r a z i n 可逆的,其中π:A ңA /J 为典则映射.类比B -F r e d h o l m 算子的摄动和谱映射定理,下面给出环中B -F r e d h o l m 元的摄动及谱映射定理.命题2.5 设a 1,a 2ɪA 为模理想J 的B -F r e d h o l m 元.1)若a 1a 2ɪJ 且a 2a 1ɪJ ,则a 1+a 2也是模理想J 的B -F r e d h o l m 元.2)若a 1a 2=a 2a 1,则a 1a 2是模理想J 的B -F r e d h o l m 元.3)若i ɪJ ,则a 1+i 是模理想J 的B -F r e d h o l m 元.对于半素环中的F r e d h o l m 元,B -F r e d h o l m 元,广义F r e d h o l m 元之间的关系,B e r k a n iM 也给出了研究,具体地,一个元素a ɪA 为模理想J 的B -F r e d h o l m 元当且仅当存在整数n ɪℕ*和c ɪA 使得a n c a n -a n ɪJ 且e -a n c -c a n 为模J 的F r e d h o l m 元,其中e 为A 中的单位.令a ɪA 的B -F r e d h o l m 谱为:σB F (a )={λɪℂ:a -λe 不为模J 的B -F r e d h o l m 元},根据文献[19]可知,σB F (a )也满足谱映射定理.本质上关于环中的B -F r e d h o l m 元理论,B e r k a n iM 不仅仅是将F r e d h o l m 元进行弱化 ,定义了B -F r e d h o l m 元,同时也将S o c (A )推广到了一般的理想J ,定义了依存于理想J 的B -F r e d h o l m 元并讨论了它的性质.进一步,P e a r l m a nLD [26]研究了半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论及广义F r e d h o l m 理论,给出了R i e s z 元和预解集的洞的刻画,特别地,证明了在半单非本原B a n a c h 代数中W e y l 元不能分解为可逆元和代数基柱中的元素的和.1982年,B a r n e sBA ,M u r p h y GJ ,S m y t h M 等学者也讨论了半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,与此同时,诸多学者也作了相关的研究[16,17].下面对半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论作简要概述.2.2 半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论本节中总假设A 是一个半单的B a n a c h 代数,e 为其单位元,这意味着,R a d (A )={0},其中R a d (A )指A 的r a d i c a l .一个元素q ɪA 被称作是极小幂等元,若q A q 是一个可除代数并且q 2=q .令M i n (A )指A 中所有极小幂等元的全体,事实上, 极小幂等元的概念本质上是B (X )中秩1投影的推广,极小幂等元与A 中的极小理想密切相关.假设R ⊆A 为右理想,则R 为极小右理想当且仅当存在极小幂等元E 0使得R =E 0A .类似的,关于极小左理想也有相关的结论.记S o c (A )为A 的S o c l e ,由文献[18]可知,73第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论83曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年S o c(A)={xɪA:Θ(x A)<ɕ},其中Θ(x A)表示右理想x A的阶.一个元素xɪA被称作相对正则的,若存在yɪA使得x y x=x,其中y 称作x的一个伪逆.受到算子情形的启发,定义了B a n a c h代数中元素的零度和亏数,也给出了F r e d h o l m元的定义[18].假设A为含有单位元e的半单B a n a c h代数且xɪA,令R(x)={aɪA:x a=0},L(x)={aɪA:a x=0},定义x的零度为n u l(x)=Θ(R(x)),亏数为d e f(x)=Θ(L(x)).定义2.6[18]设xɪA,如果[x] x+S o c(A)在A/S o c(A)中可逆,那么称x为F r e d h o l m元.文献[18]证明了xɪA为F r e d h o l m元当且仅当x相对正则并且n u l(x)<ɕ,d e f(x)<ɕ,这也与特殊情形B(X)中的F r e d h o l m算子的刻画是一致的.F r e d h o l m元x的指标被定义为i n d(x)=n u l(x)-d e f(x).F r e d h o l m元的摄动定理也与F r e d h o l m算子的摄动定理有相通之处.命题2.7[18,定理3.6]假设x,yɪA为F r e d h o l m元,sɪS o c(A),那么1)x y为F r e d h o l m元且i n d(x y)=i n d(x)+i n d(y).2)x+s为F r e d h o l m元且i n d(x+s)=i n d(x).3)存在δ>0和α,βɪℕ使得(ⅰ)对所有A中满足 u <δ的u,有x+u为F r e d h o l m元且i n d(x+u)=i n d(x),n u l(x+u)ɤn u l(x),d e f(x+u)ɤd e f(x).(ⅱ)对所有的λɪℂ且0<|λ|<δ,有n u l(λe-x)=αɤn u l(x)且d e f(λe-x)=βɤd e f(x).若x为F r e d h o l m元,称i n d(x)=0的x为W e y l元.分别定义元素aɪA的F r e d h o l m谱和W e y l谱为σe s s(a)={λɪℂ:a-λe不为F r e d h o l m元};σw(a)={λɪℂ:a-λe不为W e y l元}.令ρe s s(a)=ℂ\σe s s(a);ρw(a)=ℂ\σw(a).可证σe s s(a)和σw(a)都为有界闭集,σe s s(a)满足谱映射定理,然而σw(a)不满足谱映射定理,受到算子情形的启发,给出σw(a)满足谱映射定理的充要条件,即对任意的复系数多项式p,aɪA,p(σw(a))=σw(p(a))当且仅当对任意的λ,μɪρe s s(a)有i n d(a-λe)i n d(a-μe)ȡ0.回顾对于TɪB(X),α(T)和β(T)分别表示算子的升标和降标.通过算子的升标和降标定义了半单B a n a c h代数中的元素的升标和降标[27],并引入了B r o w d e r元.令aɪA,算子L a:AңA被定义为L a(x)=a x(∀xɪA).令p l(a)=α(L a),q l(a)=β(L a),称p l(a),q l(a)分别为元素a的升标和降标.定义2.8[27]假设aɪA.若a为F r e d h o l m元,并且p l(a)<ɕ,q l(a)<ɕ,则称a为B r o w d e r元.接下来给出B r o w d e r元的等价刻画定理及其证明.定理2.9假设A为含单位元e的半单B a n a c h代数,则xɪA为B r o w d e r元当且仅当它是半F r e d-h o l m元并且0ɪi s oσ(x)ɣρ(x).证明假设xɪA为B r o w d e r元,则它是F r e d h o l m元,故它为广义F r e d h o l m元,由B r o w d e r元的定义,可知p l(x)<ɕ,q l(x)<ɕ.根据文献[18,定理7.7],存在 >0使得对任意的0<|λ|< ,有p l(λe-x)=n u l(λe-x)=0且q l(λe-x)=d e f(λe-x)=0,即0ɪi s oσ(x)ɣρ(x).另一方面,若0ɪρ(x),则x可逆,显然x为B r o w d e r元.下面只须证,若0ɪi s oσ(x)且x为半F r e d-h o l m元,则x为B r o w d e r元.反证,若p l(x)=ɕ,由文献[18,定理7.7]可知,存在 >0使得对任意的0< |λ|< ,有n u l(λe-x)>0,这与0ɪi s oσ(x)矛盾.同理可证q l(x)<ɕ.假设x为半F r e d h o l m元,则n u l(x)<ɕ.由F r e d h o l m元的邻域摄动定理,可知i n d(x)=0,因此d e f(x)<ɕ,故x为F r e d h o l m元.这意味着x为B r o w d e r元.作为F r e d h o l m元的另一种变型,M a n n l eD和S c h m o e g e rC[18]也定义了半单B a n a c h代数中的广义F r e d h o l m元.定义2.10设A为含单位元e的半单B a n a c h代数.若xɪA相对正则并且存在x的伪逆y使得e-x y -y x为F r e d h o l m元,则称x是广义F r e d h o l m元.事实上,x ɪA 为广义F r e d h o l m 元当且仅当存在y ɪA 使得[x ][y ][x ]=[x ]且[e ]-[x ][y ]-[y ][x ]可逆,即[x ]为广义可逆元,其中[x ]表示等价类x +S o c (A ).关于广义F r e d h o l m 元也有类似的摄动定理.命题2.11[18,定理5.1] 设x ɪA 为广义F r e d h o l m 元,则1)存在δ>0使得对所有的0<|λ|<δ,有λe -x 为F r e d h o l m 元;2)若s ɪS o c (A ),则x +s 为广义F r e d h o l m 元.文献[18]定义了广义F r e d h o l m 谱,并研究了广义F r e d h o l m 元与F r e d h o l m 元的关系,相关半单B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论可参考文献[18].在算子情形,S c h e c h t e r 证明了文献[6]若T 为W e y l 算子,则存在有限秩算子U 使得T +U 为可逆算子.很自然的,若想发展抽象的F r e d h o l m 理论,则需要考虑在一般的半单B a n a c h 代数中,上述W e y l 算子的分解性质是否可以得到对应W e y l 元的分解呢?P e a r l m a nD 给出了反例,即,证明在一个非本原的半单B a n a c h 代数中上述分解不存在.但是对于本原B a n a c h 代数,可以得到W e y l 元的分解性质.与此同时,诸多学者发展了本原B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论.其中B a r n e sB A ,M u r p h y GJ ,S m yt h M 等学者讨论了本原B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,使用的主要技巧则是通过左正则表示.具体的,若A 为本原B a n a c h 代数,令p 为A 中的极小幂等元,如果a ɪA 为F r e d h o l m 元,则左乘算子L a 为F r e d h o l m 算子,其中L a 为L a :x ɪA p ңa x ɪA p .但是文献[16]给出反例说明了反之不成立.这也揭示了对一般的本原B a n a c h 代数,左正则表示的性质存在缺点.因此,一些学者考虑了什么样的代数可以使得a 为F r e d h o l m 元当且仅当L a 为F r e d h o l m 算子.此时发现,若A 为本原C *-代数,左正则表示有更好的性质,即为一个等距的忠实的不可约*表示,并且可以证明,a 为F r e d h o l m 元当且仅当左乘算子L a 为F r e d h o l m 算子.于是,本原C *-代数中的F r e d h o l m 理论由此而生,接下来我们具体给出本原C *-代数中的F r e d h o l m 型元及其相关的性质.2.3 本原C *-代数中的F r e d h o l m 理论一个代数被称作是本原的,若{0}为代数中的本原理想.显然,本原代数一定是半单的.在本节中若无特殊说明总假设A 为含有单位元1的本原B a n a c h 代数,并假设A 的S o c l e 非零,则A 一定存在极小幂等元[16],故令p 为A 中的极小幂等元,对a ɪA ,记L a 为左乘算子L a :y ңa y (∀y ɪA p ).假设x ɪA ,若存在y ɪA 使得x y -1,y x -1ɪS o c (A ),则称x 为F r e d h o l m 元.由文献[16]可知,当x 为F r e d h o l m 元时,L a 为F r e d h o l m 算子,但是反之不成立.记k (h (S o c (A )))为包含S o c (A )的本原理想的交.下面对本原B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 元给出其摄动定理.定义2.12[16,F .2.7] 若x ɪA 为F r e d h o l m 元,定义x 的零度,亏数和指标分别为n u l (x )=n (L x ),d e f (x )=d (L x ),i n d (x )=i n d (L x ).本节中算子的指标和元素的指标,由于是不同的对象,读者容易区分,故统一用 i n d来表示.定义2.12[16,F .2.9] 设A 为含有单位元的本原B a n a c h 代数,且x 为F r e d h o l m 元.1)若u ɪk (h (S o c (A ))),则i n d (x )=i n d (x +u ).2)存在 >0使得对0<|λ|< ,有n u l (x +λ)为一常数并且n u l (x +λ)ɤn u l (x ),d e f (x +λ)为一常数并且d e f (x +λ)ɤd e f (x ),i n d (x +λ)为一常数.B e r k a n iM 给出了B -F r e d h o l m 元及其指标的定义,并研究了B -W e y l 元的分解.若x ɪA ,并且[x ] x +S o c (A )在A /S o c (A )中D r a z i n 可逆,则称x 为B -F r e d h o l m 元.下面给出B -F r e d h o l m 元的指标的定义.定义2.14[19,定义3.2] 设A 为本原B a n a c h 代数.若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则a 的指标被定义为i (a )=τ(a a 0-a 0a )=τ([a ,a 0]),其中[a 0]为[a ]的D r a z i n 逆,τ(a )表示元素a 的迹.根据文献[28,定理2.3]可知,B -F r e d h o l m 元的指标的定义是良定的,即不依存[a ]的D r a z i n 逆的选取.若i (a )=0,则称a 为B -W e y l 元.B e r k a n iM 指出若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则L a 为B -F r e d h o l m 算子,但反之不成立.由文献[16,定理F .4.3]可证,若A 为本原C *-代数,则a ɪA 为F r e d h o l m (B -F r e d h o l m )元当且仅当L a 为F r e d h o l m (B -F r e d h o l m )算子.受此启发,研究了本原C *-代数中B -F r e d h o l m 元的一些性质及其谱理论.特别地,证明了B -F r e d h o l m 元可以分解为F r e d h o l m 元和幂零元的和,下面给出简要证明.93第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论命题2.15 假设A 为含有单位元的本原C *-代数并且Γ(A N )⊇N (A p ),其中Γ表示A 上的左正则表示,A N (N (A p ))分别表示A (A p )上的所有幂零元(幂零算子)的集合.若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则存在F r e d h o l m 元b ,幂零元c 使得a =b +c .证明若a ɪA 为B -F r e d h o l m 元,则L a 为B -F r e d h o l m 算子.结合文献[12],存在F r e d h o l m 算子S ɪB (A p )和幂零算子F ɪB (A p )使得L a =S +F .这也就意味着存在幂零元c ɪA 使得L c =F ,因此,S =L a -c .故a -c 为F r e d h o l m 元,令b =a -c ,则b 为F r e d h o l m 元,c 为幂零元并且满足a =b +c .注2.16 设A 为本原C *-代数,若a ɪA ,元素a 的B -F r e d h o l m 谱被定义为:σB F (a )={λɪC :a -λe 不为B -F r e d h o l m 元}.回顾B (H )表示无限维复H i l b e r t 空间H 上的有界线性算子全体.令Φg 表示H 上的广义F r e d h o l m 算子全体,Φ表示H 上的F r e d h o l m 算子全体,注意到F (H )={T ɪB (H ):T +S ɪΦg (∀S ɪΦg )}.记B F (A ),N s (A )分别为A 中的B -F r e d h o l m 元的全体和S o c (A )中幂零元的全体.作为一个直接的推广,通过B -F r e d h o l m 元给出了本原C *代数的S o c l e 的刻画.具体的,假设A 为一含有单位元的本原C *-代数并且满足Γ(N s (A ))⊇N (A p ),则S o c (A )={x ɪA :x +y ɪB F (A )(∀y ɪB F (A ))}={x ɪA :σB F (x +y )=σB F (y )(∀y ɪA )},其中Γ为A 上的左正则表示,N (A p )为A p 上的幂零算子全体.2.4 依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论随着B a n a c h 代数中的F r e d h o l m ㊁W e y l ㊁B r o w d e r ㊁B -F r e d h o l m 等理论的日渐完善,一些学者另辟蹊径,关于F r e d h o l m 理论发展的新趋势逐渐出现,例如B e n j a m i nR 和M o u t o nS [20]研究了序B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,还有一些学者研究了依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论.我们知道,在经典的F r e d h o l m 理论中,设T ɪB (X ),则T 为F r e d h o l m 算子当且仅当π(T )=T +F (X )在商代数B (X )/F (X )中可逆,其中π为典则同态.受到此启发,R o b i n H a r t e 将同态π推广到两个B a n a c h 代数A 和B 之间的任意一个同态T ,定义依存于同态T 的F r e d h o l m 型元,并研究了它们的谱性质.本小节总是假设A ,B 为含有单位元的B a n a c h 代数,T :A ңB 为A 到B 的有界同态并且T (1A )=1B ,其中1A ,1B 分别为A 和B 中的单位元,记A -1,B -1分别为A 和B 中的可逆元全体.容易验证T (A -1)⊆B -1.下面介绍依存于同态的F r e d h o l m 元的定义.定义2.17[22] 设T :A ңB 为B a n a c h 代数A 和B 之间的同态且a ɪA .1)若T (a )ɪB -1,则称a 为F r e d h o l m 元.2)若a ɪA -1+T -1(0),即a 可以写为一个可逆元和k e r (T )中元素的和,则称a 为W e y l 元.3)若a ɪA -1 T -1(0)={b +c :b ɪA -1,c ɪT -1(0),b c =c b },则称a 为B r o w d e r 元.显然,可逆元⇒B r o w d e r 元⇒W e yl 元⇒F r e d h o l m 元.称a ɪA 为几乎处处可逆元若存在δ>0使得对任意的0<|s |<δ,有a -s 可逆.称同态T :A ңB 有R i e s z 性质若T (c )=0,0ʂs ɪC ⇒c -s 几乎处处可逆.R o b i nH a r t e 对于特殊的同态,刻画了A 中的B r o w d e r 元.具体的,对任意的同态T :A ңB ,每个几乎处处可逆的F r e d h o l m 元是B r o w d e r 元.反之,若T 还满足R i e s z 性质,则B r o w d e r 元也是几乎处处可逆F r e d -h o l m 元.同样的,类似于经典的F r e d h o l m 谱理论,文献[22]也发展了依存于同态T 的F r e d h o l m 元的谱理论.称σB (T (a ))为a ɪA 的依存于同态T 的F r e d h o l m 谱;W e y l 谱被定义为W T (a )={s ɪℂ:a -s 不为W e y l 元};B r o w d e r 谱被定义为W c o m T (a )={s ɪℂ:a -s 不为B r o w d e r 元},根据文献[22],F r e d h o l m 谱满足谱映射定理,然而,W e yl 谱和B r o w d e r 谱并不满足谱映射定理.命题2.18[22,定理2] 设a ɪA ,f :U ңℂ为在包含σA (a )的邻域U 上解析的函数,则存在如下包含关系.W T (f (a ))⊆f (W T (a )),W c o m T (f (a ))⊆f (W c o m T (a )).特别地,若T 满足R i e s z 性质,则有W c o m T (f (a ))=f (W c o m T (a )).随后,S n e ža n aC ㊅㊁Ži v k o v i c ˊ㊁Z l a t a n o v i c ˊ[29]探讨了依存于B a n a c h 代数同态的B -F r e d h o l m 元和B -W e y l 元;D j o r d j e v i cD [30]讨论了依存于B a n a c h 代数同态的正则元和F r e d h o l m 元;C v e t k o v i c ˊM D ㊁B o a s s oE ㊁04 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年Ži v k o v i c ˊ-Z l a t a n o v i c ˊSC ㊅[31]研究了依存于B a n a c h 代数同态的B -F r e d h o l m 元和广义B -F r e d h o l m 元,并讨论了相关的谱理论以及B -F r e d h o l m 元的扰动等性质.对于上述依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论,R a u b e n h e i m e rT [32]则关注于B a n a c h 代数同态对F r e d h o l m 理论的影响程度,换言之,如果T 和S 都是B a -n a c h 代数A 和B 之间的同态,文献[32]给出了依存于两个同态的F r e d h o l m 元㊁R u s t o n 元㊁W e yl 元和B r o w d e r 元的研究.文献[33]将进一步推广了依存B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论,考虑了依存于任意一个B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论.除此之外,B e n j a m i nR 和M o u t o nS 将上述依存于B a n a c h 代数同态的F r e d h o l m 理论中的B a n a c h 代数特殊化,考虑了序B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论.2.5 序B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论若无特殊说明,本小节中的B a n a c h 代数A ,B 都是含有单位元1的复B a n a c h 代数.B a n a c h 代数A 的子集C 被称为代数锥,若C 包含A 的单位元并且在加法,乘法,正的数乘运算下封闭.注意到代数锥C 可以诱导A 上的一个序关系ᵡɤᵡ如下:对任意的a ,b ɪA ,a ɤb 当且仅当b -a ɪC .具有由代数锥C 所诱导的偏序的B a n a c h 代数A 称为序B a n a c h 代数,记作(A ,C ).A -1表示A 中所有可逆元的全体,若T :A ңB 为B a n a c h代数同态,记N (T )为T 的零空间.文献[20]定义了序B a n a c h 代数中的上W e y l 元和上B r o w d e r 元,并研究了其谱映射定理.定义2.19[20,定义2.0.2] 令(A ,C )为序B a n a c h 代数,T :A ңB 为B a n a c h 代数同态,元素a ɪA 被称为1)上W e y l 元,若存在b ɪA -1和c ɪC ɘN (T )使得a =b +c .2)上B r o w d e r 元,若存在b ɪA -1和c ɪC ɘN (T )使得b c =c b ,a =b +c .分别记W +T ,B +T 为A 中上W e y l 元和上B r o w d e r 元的全体,令R a d (A )代表A 的r a d i c a l ,设a ɪA ,记c o m (a )为与a 可交换的元素全体,而c o m 2(a )则表示a 的二次换位子.容易验证可逆元⇒上B r o w d e r 元⇒上W e y l 元⇒W e y l 元⇒F r e d h o l m 元,其中F r e d h o l m ㊁W e y l ㊁B r o w d e r 为第3.4节中定义的依存于同态T 的F r e d h o l m ㊁W e y l ㊁B r o w d e r 元.对于上W e y l 元和上B r o w d e r 元,也有对应的摄动定理.定理2.20[20,性质3.2.12] 设(A ,C )为序B a n a c h 代数,T :A ңB 为B a n a c h 代数同态,并且a ɪA .1)若x =b +c ,其中b ,c ɪc o m 2(a ),b ɪR a d (A ),c ɪC ɘN (T ),则a ɪB +T ⇒B +T .2)若T 满足R i e s z 性质,x =b +c ,其中b ɪR a d (A ),c ɪs p a n (C ɘN (T )),则a ɪW +T 当且仅当a +x ɪW +T .若A 为序B a n a c h 代数,则a ɪA 的上B r o w d e r 谱被定义为β+T (a )={λɪC :λ-a ∉B +T },上W e y l 谱被定义为W +T (a )={λɪC :λ-a ∉W +T }.文献[20]证明了W +T (a )和B +T (a )的谱映射定理,也研究了上B r o w d e r 谱和上W e yl 谱的凸包,这里就不再展开.3 F r e d h o l m 理论的提升关于B a n a c h 代数中的F r e d h o l m 理论,近两年出现了比较新颖的思考切入点.2020年,B e r k a n iM 定义了F r e d h o l m 族,并考虑了其解析指标及其相关性质,进而M o h a mm e dB e r k a n i 在2021年研究了连续F r e d -h o l m 理论,正则性和半正则性.作者在博士论文中探讨了C *-代数中A 的F r e d h o l m A -模和W e y l A -模及其摄动[34].本节主要介绍B a n a c h 代数中两种提升F r e d h o l m 理论的方法.一种是利用升维的思想,介绍F r e d -h o l m 族及其研究现状;另一种则是以指标为切入点,利用K 理论,给出C *-代数A 的F r e d h o l m A -模和W e y l A -模及其摄动.3.1 F r e d h o l m 族令B (H )为无限维可分H i l b e r t 空间H 上的有界线性算子全体,K (H ),F (H )分别为B (H )中的紧算子全体和有限秩算子全体.若T ɪB (H ),记N (T ),R (T )分别为T 的零空间和值域.记f d i m (H )为H 的有限维子空间全体构成的集合,f c o d (H )为H 的有有限余维的子空间全体.在f d i m (H )ˑf c o d (H )上可以定义如下等价关系:R :(E 1,F 1)R (E '1,F '1)⇔d i m E 1-c o d i m F 1=d i m E '1-c o d i m F '1,14第3期孔莹莹,等:B a n a c h 代数中F r e d h o l m 型元及其谱理论。

李代数sl(2，C)到四维单模的斜导子

李代数sl （2，C ）到四维单模的斜导子摘要：设L 为复数域C 上有限维李代数，V 为L-模，引入了σ-模导子的概念。

研究了李代数sl （2，C ）到其单模的斜导子空间，得到结论：sl （2，C ）到四维单模V 3的斜导子空间是零维的或四维的。

关键词：李代数；单模；斜导子中图分类号：O152.6文献标识码：A文章编号：2095-0438（2024）02-0158-03（绥化学院信息工程学院黑龙江绥化152061）在代数系统里，导子是满足Leibniz 关系的线性映射[1]。

近年来众多学者对导子及其应用作了进一步的探讨。

导子的推广在环论、非关联代数、微分交换代数等领域占有重要地位[2]。

早期人们主要研究三角导子、广义导子、斜导子，Chang 和Demir等对广义斜导子进行了研究[3-5]。

许多学者对素环和半素环上的偏斜导子进行了细致深刻的探讨。

Fosner 介绍了素环和半素环上对称斜3-导子的概念[6]。

Chang 将广义斜导子的定义推广到R 的右Martindale 商环Q 上[7]。

Sandhu 等研究了素环上乘积导子、广义导子以及斜导子的一些性质[8-11]。

易扬给出了斜导子的定义并刻画了李代数斜导子的结构[12]。

本文将文献[13]中斜导子的定义由伴随模推广到了任意有限维模，并研究了李代数到其模的斜导子空间，得出了李代数到四维单模的斜导子空间是零维或四维的。

一、预备知识设C 是代数闭域，所有的向量空间都是在数域C 上。

设L为复数域C 上有限维李代数，V 为有限维L -模。

本文约定，End (V)表示V 上的线性变换全体，Hom(L ,V )表示L 到V 的线性映射全体，Aut L 表示L 的自同构全体。

定义1[14]设L 是一个向量空间，其中定义了一个乘法运算(记为[⋅,⋅]，并称之为方括号积)：对任意的x ,y ∈L ,有[x ,y ]∈L ,而且以下三个条件成立：(1)[λ1x 1+λ2x 2,y ]=λ1[x 1,y ]+λ2[x 2,y ],λ1,λ2∈C,x 1,x 2,y ∈L (2)[x ,x ]=0,∀x ∈L(3)[x ,[y ,z ]]+[y ,[z ,x ]]+[z ,[x ,y ]]=0,∀x ,y ,z ∈L这时称L 为一个李代数。

量子Loop代数Uq(L(sl2))的单权模

第62卷第2期吉林大学学报(理学版)V o l .62 N o .22024年3月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2024d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023345量子L o o p 代数U q (L (s l2))的单权模吴青云,谭易兰,夏利猛(江苏大学数学科学学院,江苏镇江212013)摘要:用构造的方法解决量子L o o p 代数U q (L (s l 2))具有一个一维权空间的单权模的结构问题,得到了任意一个具有一维权空间的单权模必同构于U q (L (s l 2))的四类单权模之一.此外,还构造了一类权空间维数为2的既非最高权也非最低权的量子L o o p 代数U q (L (s l 2))的单权模.关键词:量子L o o p 代数;权模;单模;D e n s e 模中图分类号:O 152.5 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2024)02-0256-07S i m p l eW e i g h tM o d u l e s o f Q u a n t u mL o o p A l g e b r a U q (L (s l2))WU Q i n g y u n ,T A N Y i l a n ,X I A L i m e n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s ,J i a n g s uU n i v e r s i t y ,Z h e n j i a n g 212013,J i a n gs uP r o v i n c e ,C h i n a )A b s t r a c t :T h e s t r u c t u r a l p r o b l e m o f s i m p l ew e i g h tm o d u l e sw i t hao n e -d i m e n s i o n a lw e i g h t s p a c e i n t h e q u a n t u mL o o p a l g e b r a U q (L (s l2))w a s s o l v e d b y u s i n g a c o n s t r u c t i o nm e t h o d ,a n d i tw a s o b t a i n e d t h a t a n y s i m p l ew e i g h tm o d u l ew i t ha o n e -d i m e n s i o n a lw e i g h t s p a c em u s t b e i s o m o r p h i c t o o n e o f t h e f o u r c l a s s e s o f s i m p l ew e i g h tm o d u l e s o f U q (L (s l 2)).I n a d d i t i o n ,a c l a s s o f s i m p l ew e i g h tm o d u l e s o f t h e q u a n t u m L o o p a l g e b r a U q (L (s l2))w i t h w e i g h ts p a c ed i m e n s i o no f2,w h i c h w a sn e i t h e rt h e h i g h e s tw e i g h t n o r t h e l o w e s tw e i g h t ,w a s c o n s t r u c t e d .K e yw o r d s :q u a n t u m L o o p a l g e b r a ;w e i g h tm o d u l e ;s i m p l em o d u l e ;D e n s em o d u l e 收稿日期:2023-08-20.第一作者简介:吴青云(1999 ),女,汉族,硕士研究生,从事李理论的研究,E -m a i l :2212102047@s t m a i l .u js .e d u .c n .通信作者简介:谭易兰(1981 ),男,汉族,博士,副教授,从事李理论的研究,E -m a i l :t a n y a n l a n @u js .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12171155).1 引言与主要结果设g 是复数域上的有限维单李代数,Y a n g i a n 代数Y (g )和量子仿射代数U q (g^)组成了两族重要的仿射型量子群.U q (g ^)是由一族生成元和一系列生成关系构成的具有单位元的结合代数,U q (g ^)商去由中心元C 生成的双边理想后得到的商代数记为U q (L (g)).其代数结构和表示理论在数学和物理中都有重要的理论意义和应用价值.例如,U q (L (g ))模可用于构造量子Y a n g -B a x t e r 方程的三角解[1].关于U q (L (g ))模的研究是量子群表示理论的重要问题之一[2-3].目前,U q (L (g))模的研究主要集中在最高权模,包括有限维不可约模㊁局部W e y l 模㊁K R (K i r i l l o w -R e s h e t i k h i n )模和素表示(P r i m e r e p r e s e n t a t i o n s )[4-8].而U q (L (s l 2))的表示理论在U q (L (g ))的研究中具有重要作用.本文目标是分类U q (L (s l 2))的一类单权模.从U q (s l2)的D e n s e 模出发[9],构造一类既不是最高权也不是最低权的无限维U q (L (s l 2))单权模,然后分类具有一个一维权空间的U q (L (s l 2))单权模.本文主要结果如下:定理1 设V 是U q (L (s l2))存在一个一维权空间的单权模,则V 必与下列模中的某个模同构:1)有限维单模;2)无限维最高权单模;3)无限维最低权单模;4)D e n s e 模V (μ,τ,b μ).此外,本文还通过构造一个权空间均为二维的U q (L (s l2))模,给出该模不可约的充分条件,以说明本文主要结果中一维权空间的限定条件必不可少.2 预备知识首先给出量子L o o p 代数U q (L (s l2))的定义.定义1[10] 设q 不是单位根,量子L o o p 代数U q (L (s l2))是一个有单位元1的结合代数,它的生成元为x ʃk (k ɪℤ),h ʃk (k ɪℤ-{0})和K ʃ1,且满足生成关系:K K -1=K -1K =1, K h k =h kK ,K x ʃk K -1=q ʃ2x ʃk , [h k ,h l ]=0,[h k ,x ʃl ]=ʃ1k[2k ]qx ʃk +l ,(1)[x +k ,x -l ]=1q -q -1(ψk +l -ϕk +l ).(2)x ʃk +1x ʃl -q ʃ2x ʃl x ʃk +1=q ʃ2x ʃk x ʃl +1-x ʃl +1x ʃk ,(3)这里[m ]q =q m-q -m q -q-1,且ψk +l 和ϕk +l 满足ðɕk =0ψkuk=K e x p (q -q -1)ðɕk =1h ku {}k,ðɕk =0ϕ-k u-k =K -1e x p (q -q -1)ðɕk =1h -ku -{}k .由定义1和数学归纳法,易证如下引理.引理1 U q (L (s l2))可由K ʃ1,h ʃ1和x ʃ0生成.命题1[10] 1)由K ,x +0和x -0生成的子代数与U q (s l2)同构;2)映射ρN :U q (L (s l 2))ңU q (s l 2), x +k q -k a k K k e +,x k -q -k a k e -Kk 是一个满同态.引理2[10] U q (L (s l2))作为H o p f 代数,满足余乘关系:Δ(x +0)=x +0췍K +1췍x +0, Δ(x -0)=x -0췍1+K -1췍x -0,Δ(x -1)=x -1췍1+K 췍x -1, Δ(x +-1)=x +-1췍K -1+1췍x +-1,Δ(K )=K 췍K , Δ(h 1)=h 1췍1+1췍h 1-(q 2-q -2)x +0췍x -1,Δ(K -1)=K -1췍K -1, Δ(h -1)=h -1췍1+1췍h -1-(q 2-q -2)x +-1췍x -0. 下面介绍U q (L (s l 2))的表示理论,首先介绍U q (L (s l 2))的最高权模.本文记U q (L (s l2))的元素x 在其模V 上的作用为x .v ,这里v ɪV .定义2[10] 设V 是U q (L (s l 2))的一个模.如果存在非零向量w ɪV ,使得U q (L (s l 2)).w =V ,且满足:x +k .w =0, ψk .w =d +k w (k ɪℕ), ϕk .w =d -k w (k ɪℕ-), d +0d -0=1,则称V 是U q (L (s l2))的最高权模,d ={d ʃk k ɪℤ}为V 的最高权.最低权模的定义可类似给出,只需将x +k .w =0改为x -k .w =0.定义3[10] 定义U q (L (s l 2))的V e r m a 模M (d )为U q (L (s l2))模商去由x +k (k ɪℤ),ψk -d +k ㊃1(k ȡ0),ϕk -d +k ㊃1(k ɤ0)所有系数生成的左理想.下面给出刻画U q (L (s l2))有限维单模的结构.752 第2期吴青云,等:量子L o o p 代数U q (L (s l2))的单权模852吉林大学学报(理学版)第62卷命题2[10]U q(L(s l2))的有限维单模是最高权模,U q(L(s l2))的最高单权模是有限维的当且仅当存在常系数非零的多项式P,且满足:ðɕk=0d+k u k=q d e g P P(q-2u)P(u),ðɕk=0d--k u-k=q d e g P P(q-2u)P(u).定义4[10]对任意的aɪℂ,W1(a)=s p a n{w0,w1}是U q(L(s l2))的二维单权模,这里w0是最高权向量.有限生成元在W1(a)上的作用下有x+0.w0=0,x+-1.w0=0,x-1.w0=a w1,x-0.w0=w1,x+0.w1=w0,x+-1.w1=a-1w0,x-1.w1=0,x-0.w1=0,K.w0=q w0,h1.w0=q-1a w0,h-1.w0=-q a-1w0,K.w1=q-1w1,h1.w1=-q a w1,h-1.w1=q-1a-1w1.定义5[11]设V是一个U q(L(s l2))模,若Vμ={vɪV K.v=μ.v},V=췍Vμ,其中μɪℂ,则称V 是U q(L(s l2))的权模.由U q(L(s l2))生成元间的定义关系,易得如下引理.引理3设V是U q(L(s l2))的权模,若vɪVμ,则由定义关系可得h k.vɪVμ,x+k.vɪVμ+2和x-k.vɪVμ-2.由文献[9]中定义3.1.3和命题3.1.7,通过同构易得如下命题.命题3对任意的μ,τɪℂ,nɪℕ,U q(s l2)在向量空间W(μ,τ)=s p a nℂ{vμ+2k,kɪℤ}上的作用K.vμ+2k=μq2k vμ+2k,x+0.vμ+2k=aμ+2k vμ+2k+2,x-0.vμ+2k=vμ+2k-2,定义了U q(s l2)的D e n s e模结构,其中aμ+2k=1(q-q-1)2(τ-(μq2k+1+μ-1q-2k-1)).当μʂq n,nɪℕ时,W(μ,τ)不可约.3U q(L(s l2))的D e n s e模由命题1可知,U q(s l2)的D e n s e模W是一个U q(L(s l2))模.由引理1可知,U q(L(s l2))由Kʃ1, hʃ1和xʃ0生成.因此只要再确定hʃ1在vμ+2k上的作用,即可确定U q(L(s l2))-模W的结构.因为W权空间均为1维,所以不妨设h1.vμ+2k=bμ+2k vμ+2k,h-1.vμ+2k=cμ+2k vμ+2k.定理2hʃ1作用的系数均可由bμ确定.证明:在式(1)中k分别取1和-1,并将等式两边分别作用在权向量vμ+2k上,得[2]q x+1.vμ+2k=aμ+2k(bμ+2k+2-bμ+2k)vμ+2k+2,[2]q x-1.vμ+2k=(bμ+2k-bμ+2k-2)vμ+2k-2,[2]q x+-1.vμ+2k=aμ+2k(cμ+2k+2-cμ+2k)vμ+2k+2,[2]q x--1.vμ+2k=(cμ+2k-cμ+2k-2)vμ+2k-2.在式(2)中k,l分别取-1和1,并将等式两边分别作用在权向量vμ+2k上,比较vμ+2k的系数,可得(bμ+2k-bμ+2k-2)(cμ+2k-cμ+2k-2)=(q+q-1)2.(4)类似地,在式(3)中k分别取0和-2,l取0,可得(bμ+2k+4-bμ+2k+2)=q2(bμ+2k+2-bμ+2k),(5)(cμ+2k+4-cμ+2k+2)=q-2(cμ+2k+2-cμ+2k).(6)在式(2)中k,l分别取0和1,再结合式(5),可得(aμ+2k-2-q2aμ+2k)(bμ+2k-bμ+2k-2)=[2]qμq2k bμ+2k.(7)在式(2)中k,l分别取0和1,再结合式(6),可得(aμ+2k-2-q-2aμ+2k)(cμ+2k-cμ+2k-2)=-[2]qμ-1q-2k cμ+2k.(8)由命题3,易见aμ+2k-2-q2aμ+2k-[2]qμq2k=aμ+2k-4-q2aμ+2k-2.结合式(7),即可得(a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2)b μ+2k =(a μ+4k -4-q 2a μ+4k -2)b μ.利用式(4),不难证明a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2ʂ0.由此可得b μ+2k =a μ+4k -4-q 2a μ+4k -2a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2b μ=1+q (q +q -1)μ(1-q 2k )(q -q -1)(a μ+2k -4-q 2a μ+2k -2æèçöø÷)b μ.最后,结合式(4),(8),得c μ+2k =-(a μ+2k -2-q 2a μ+2k )(a μ+2k -2-q -2a μ+2k )b μ+2k .结论得证.注1 U q (L (s l2))的D e n s e 模由3个元素μ,τ,b μɪℂ且μʂq n,n ɪℕ确定,记为V (μ,τ,b μ).4 主要结果的证明设V 是U q (L (s l 2))的单权模,且存在V μ满足V μ=s p a n {w 0}.由于U q (L (s l2))的有限维单模㊁最高权单模和最低权单模均具有一维权空间,因此不妨设V 不属于上述三类.于是有d i m (V μ-2)>0和d i m (V μ+2)>0.引理4 存在u ɪV μ-2,使得x +0.u =w 0.证明:反证法.假设对任意u ɪV μ-2,都有x +0.u ʂw 0.因为d i m (V μ)=1,所以对任意u ɪV μ-2,有x +0.u =0.通过数学归纳法易证得对任意k ɪℤ,x +k .u =0.因此对任意0ʂu ɪV μ-2,都有w 0∉U q (L (s l 2)).u ʂ0,则U q (L (s l2)).u 是V 的一个真子模,与V 是单模矛盾.故假设不真,结论得证.由x +k .V μ-2⊆V μ,h m .V μ⊆V μ,K .V μ⊆V μ并结合d i m (V μ)=1,可得以下推论.推论1 对任意k ɪℤ,m ɪℤ-{0},都有x +k .u =a k w 0,x +0h m .u =b m w 0和x +0K .u =b 0w 0,其中a k ,b m ,b 0ɪℂ,u 满足引理4.为证w 1是K 和h k 的公共权向量,先证以下引理.引理5 对任意k ɪℤ,都有x +k .w 0=c k w 1,其中c k ɪℂ.证明:首先用数学归纳法对k ȡ0的情形进行证明.1)当k =0时,显然有x +0.w 0=w 1.2)当k =1时,x +1.w 0=x +1x +0.u =q 2x +0x +1.u =q 2a 1x +0.w 0=q 2a 1w 1=c 1w 1. 3)假设当0ɤn ɤk ,n ɪℤ时,均有x +n .w 0=c nw 1,则x +k +1.w 0=x +k +1x +0.u =(q 2x +0x +k +1+q 2x +k x +1-x +1x +k ).u .利用推论1,得x +k +1.w 0=q 2a k +1x +0.w 0+q 2a 1x +k .w 0-a k x +1.w 0,结合上述1),2)和假设条件,得x +k +1.w 0=c k +1w 1.同理可证k ɤ0时,也满足x +k .w 0=c kw 1.证毕.命题4 对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w 1=d k w 1,其中d k ɪℂ.证明:首先由定义关系,计算得h k .w 1=h k (x 0)2.u =[h k ,(x 0)2].u +(x 0)2h k .u =1k [2k ]q x +k .w 0+1k [2k ]q x +0x +k .u +x +0(x +0h k .u ).利用推论1,得h k .w 1=1k [2k ]q x +k .w 0+1k[2k ]q a k x +0.w 0+b k x +0.w 0.结合引理5,结论得证.952 第2期吴青云,等:量子L o o p 代数U q (L (s l2))的单权模同理于上述结果,存在非零向量v ɪV μ+2满足w 0=x -0.v .取w -1=x -0.w 0=(x -0)2.v ʂ0.可得如下结论,证明略.命题5 1)对任意k ɪℤ,都有x -k .w 0=e k w -1,其中e k ɪℂ;2)对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w -1=f k w -1,其中f k ɪℂ.取w 2=x +0.w 1=(x +0)2.w 0ʂ0,用w 0替换引理5和命题4中的u ,即可得如下结论.引理6 1)对任意k ɪℤ,都有x +k .w 1=fk w 2,其中f k ɪℂ;2)对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w 2=gk w 2,其中g k ɪℂ.取w -2=x -0.w -1=(x -0)2.w 0ʂ0,用w 0替换命题5中的v ,即可得如下结论.引理7 1)对任意k ɪℤ,都有x -k .w -1=p k w -2,其中p k ɪℂ;2)对任意k ɪℤ-{0},都有h k .w -2=qk w -2,其中q k ɪℂ.依此类推,可得以下命题.命题6 对任意k ɪℤ-{0},n ɪℤ,都有h k .w n =l k w n ,其中l k ɪℂ.下面证明定理1.设V 是U q (L (s l 2))的具有一个一维权空间的单权模.因为U q (L (s l2))的最高(低)权单模的最高(低)权空间是一维的,所以U q (L (s l2))的有限维单模㊁最高权单模或最低权单模都是具有一个一维权空间的单权模.不妨设V 不属于这三类中的任意一类.设V μ=s p a n ℂ{w 0},记w -n =(x -0)n .w 0,w n =(x +0)n .w 0,设W =s p a n ℂ{ ,w -2,w -1,w 0,w 1,w 2,}.显然有W ⊆V .下证W 是U q (L (s l 2))模.因为U q (L (s l2))可由K ʃ1,h ʃ1和x ʃ0生成,所以只需证W 在K ʃ1,h ʃ1和x ʃ0的作用下稳定即可.1)W 在K ʃ1的作用下稳定.显然有K .w k =μq 2k w k ,K -1.w k =μ-1q -2kw k .2)W 在h ʃ1的作用下稳定.由命题6可得h 1.w k =l 1w k ,h -1.w k =l -1w k .3)W 在x ʃ0的作用下稳定.在x +0的作用下,对w k (k ɪℕ+)已经满足稳定,故证w -k (k ɪℕ+)在x +0作用下稳定即可.①当k =1时,x +0.w -1=x +0x -0.w 0=[x +0,x -0].w 0+x -0x +0.w 0=[x +0,x -0].w 0+x -0.w 1,结合式(2)中k ,l 均取0的情况,计算得[x +0,x -0].w 0=μ-μ-1q -q-1w 0.由d i m (V μ)=1易得x -0.w 1=t w 0,t ɪℂ.因此x +0.w -1=μ-μ-1q -q-1+æèçöø÷t w 0.②假设当1ɤn ɤk 时,均有x +0.w -n =t nw -n +1,x +.w -k -1=x +0x -0.w -k =[x +0,x -0].w -k +x -0x +.w -k =μq -2k -μ-1q -2k q -q -1+t æèçöø÷k w -k ,因此通过数学归纳法可证w -k (k ɪℕ+)在x +0作用下稳定.同理,可证W 在x -0的作用下稳定.综上可知W 是U q (L (s l2))模,则W 是V 的子模.因为V 是单模,所以V =W =s p a n ℂ{ ,w -2,w -1,w 0,w 1,w 2,}.由假设知V 不是最高权单模或最低权单模.由上述证明可知,对任意的k ɪℤ,w k ʂ0.因此作为子代数U q (s l 2)的模,V 是D e n s e 单权模,故V ≅V (μ,τ,b μ).定理1得证.5 U q (L (s l2))一类权空间维数为2的权模下面构造U q (L (s l2))的一类权空间维数均为2的单权模U ,并给出模U 不可约的充分条件,从而说明定理1中的限定条件是不可缺的.设U =V (μ,τ,b μ)췍W 1(a ),其中μ,τɪℂ且μʂq n,n ɪℕ,则U 是U q (L (s l 2))权模,权空间为U μ+2k +1=s p a n {v μ+2k +2췍w 1,v μ+2k 췍w 0}.062 吉林大学学报(理学版) 第62卷引理8 设V 是U 的非零子模,若U μ+2k +1⊆V ,则V =U .证明:由U μ+2k +1⊆V ,V 是U 的非零子模,可得x +0U μ+2k +1,x -0U μ+2k +1⊆V ,x +0.(v μ+2k +2췍w 1)=x +0.v μ+2k +2췍K .w 1+v μ+2k +2췍x +0.w 1=a μ+2k +2q -1(v μ+2k +4췍w 1)+v μ+2k +2췍w 0,x +0.(v μ+2k 췍w 0)=x +0.v μ+2k 췍K .w 0+v μ+2k 췍x +0.w 0=a μ+2k q (v μ+2k +2췍w 0),x -0.(v μ+2k +2췍w 1)=x -0.v μ+2k +2췍w 1+K -1.v μ+2k +2췍x -0.w 1=v μ+2k 췍w 1,x -0.(v μ+2k 췍w 0)=x -0.v μ+2k 췍w 0+K -1.v μ+2k 췍x -0.w 0=v μ+2k -2췍w 0+q -μ-2k v μ+2k 췍w 1,由上述计算可得U μ+2k +3⊆V 和U μ+2k -1⊆V ,即U ⊆V .由V 是U 的非零子模,得V ⊆U .因此V =U ,证毕.定理3 若b μʂq -1a 2(a μ-2-q 2a μ)(τ-τ2-4),则U =V (μ,τ,b μ)췍W 1(a )不可约.证明:反证法.假设U 是可约的,则U 存在真子模V ,V 的权空间V μ+2k +1=V ɘU μ+2k +1.由引理8可得d i m (V μ+2k +1)ɤ1,且存在k ɪℤ,使得d i m (V μ+2k +1)=1.因此,不妨设k =0.设v =m v μ+2췍w 1+n v μ췍w 0ɪV μ+1,计算得h 1.v =(m (b μ+2-q a )-n (q 2-q -2)a a μ)v μ+2췍w 1+n (b μ+q -1a )v μ췍w0.由d i m (v μ+1)=1得m (b μ+2-b μ-q a -q -1a )=n (q 2-q -2)a a μ,(9)由定义简单计算得x -0.v =(m +n μ-1)(v μ췍w 1)+n v μ-2췍w 0,h 1.(x -0.v )=((m +n μ-1)(b μ-q a )-n (q 2-q -2)a a μ-2)v μ췍w 1+n (b μ-2+q -1a )v μ-2췍w 0.由d i m (v μ-1)ɤ1得(m +n μ-1)(b μ-b μ-2-q a -q -1a )=n (q 2-q -2)a a μ-2.(10)设b μ-b μ-2-q a -q -1a (q 2-q -2)a a μ-2=t ,则式(9),(10)可以分别改写为m (q 2a μ-2t +q )=n a μ, (m +n μ-1)t =n .利用消元法得a μq 2a μ-2t +q =1t -μ-1,通分化简得q 2a μ-2t 2+(q +μa μ-q 2μa μ-2)t -μq =0.利用求根公式,计算得t =μτʃμτ2-42q (q -q -1)a μ-2-1(q -q -1)a μ-2.再代回计算得b μ+2-b μ=q 2(q 2-q -2)a a μ-2t +q 2(q +q -1)a =q (q +q -1)a μ2(τʃτ2-4).结合式(7),易得b μ=q -1a 2(a μ-2-q 2a μ)(τ-τ2-4).与条件矛盾,故假设不真.结论得证.参考文献[1] J I M B O M.A q -D i f f e r e n c eA n a l o g u e o f U (g)a n d t h eY a n g -B a x t e r E q u a t i o n [J ].L e t t e r s i nM a t h e m a t i c a l P h y s i c s ,1985,10(1):63-69.[2] C HA R IV ,P R E S S L E Y A.A G u i d e t oQ u a n t u m G r o u p s [M ].C a m b r i d g e :C a m b r i d g eU n i v e r s i t y Pr e s s ,1994:162 第2期吴青云,等:量子L o o p 代数U q (L (s l2))的单权模262吉林大学学报(理学版)第62卷392-403.[3] D R I N F E L D V G.A N e wR e a l i z a t i o n o fY a n g i a n s a n d o fQ u a n t i z e dA f f i n eA l g e b r a s[J].D o k l a d y A k a d e m i iN a u kS S S R,1987,296(1):13-17.[4] C HA R IV,P R E S S L E YA.W e y lM o d u l e s f o r C l a s s i c a l a n dQ u a n t u m A f f i n eA l g e b r a s[J].R e p r e s e n t a t i o nT h e o r yo f t h eA m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2001,5(9):191-223.[5] H E R N A N D E ZD.T h eK i r i l l o v-R e s h e t i k h i nC o n j e c t u r e a n dS o l u t i o n s o f T-S y s t e m s[J].J o u r n a l Für d i eR e f i n e u n dA n g e w a n c l t eM a t h e m a t i k,2006,181(8):63-87.[6] B R I T O M,C HA R IV,MO U R A A.D e m a z u r e M o d u l e so fL e v e lT w oa n dP r i m eR e p r e s e n t a t i o n so fQ u a n t u mA f f i n e s l n+1[J].J o u r n a l o f t h e I n s t i t u t e o fM a t h e m a t i c s o f J u s s i e u,2018,17(1):75-105.[7] B R I T O M,C HA R IV,V E N K A T E S H R.Q u a n t u m A f f i n eA l g e b r a s,G r a d e dL i m i t sa n dF l a g s[J].J o u r n a l o ft h e I n d i a n I n s t i t u t e o f S c i e n c e,2022,102(3):1001-1031.[8] L E C L E R CB.Q u a n t u m L o o p A l g e b r a s,Q u i v e r V a r i e t i e s,a n d C l u s t e r A l g e b r a s[R]//S K OWR O N S K I A,Y AMA G A T A K.R e p r e s e n t a t i o n so fA l g e b r a sa n d R e l a t e d T o p i c s,E M SS e r i e so fC o n g r e s sR e p o r t s.T o k y o:E M SP r e s s,2010:117-152.[9]杨冬梅.无限维不可分解的U q(s l2)-模的分类[D].北京:北京工业大学,2005.(Y A N GD M.C l a s s i f i c a t i o no fI n f i n i t e l y D i m e n s i o n a l i nD e c o m p o s a b l e U q(s l2)M o d u l e s[D].B e i j i n g:B e i j i n g U n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y,2005.)[10] C HA R IV,P R E S S L E Y A.Q u a n t u m A f f i n e A l g e b r a s[J].C o mm u n i c a t i o n si n M a t h e m a t i c a lP h y s i c s,1991,142(2):261-283.[11] B R I T T E N D,L A U M,L E M I R E F.W e i g h t M o d u l e sf o rC u r r e n t A l g e b r a s[J].J o u r n a lo f A l g e b r a,2005,440(1):245-263.(责任编辑:李琦)。

扭量子环面李代数的算子表示

扭量子环面李代数的算子表示
李立
【期刊名称】《科技通报》
【年(卷),期】2012(28)11
【摘要】主要给出了扭量子环面李代数gA[σ]的算子表示,证明了扭量子环面李代数gA[σ]同构于算子李代数g(G,M)[σ]。

【总页数】4页(P1-3)
【关键词】量子环面;扭量子环面;李代数;顶点算子
【作者】李立
【作者单位】齐齐哈尔大学理学院;北京科技大学数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.量子环面上斜导子李代数的表示 [J], 林卫强;谭绍滨
2.量子环面上李代数Sln(Cq)的Hom-李代数结构 [J], 李小朝;李东亚
3.扭量子环面李代数(g)A[σ] [J], 李立
4.量子环面代数及其上的李代数 [J], 陆狄雷;常智华
5.李代数sl(2,■)的仿射李代数的顶点算子表示和顶点代数模 [J], 楚彦军;郑驻军因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

量子力学导论第九章chap9力学量本征值问题的代数解法

第九章力学量本征值问题的代数解法§9.1 一维谐振子的Schrödinger 因式分解法升、降算符一、Hamilton 量的代数表示一维谐振子的Hamilton 量可表为2222121x p H μωμ+=采用自然单位（1===ωμ ），（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位）则222121x p H +=而基本对易式是[]i p x =,。

令)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+ 其逆为)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+。

利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[=+a a将两类算符的关系式)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+ 代入一维谐振子的Hamilton 量222121x p H +=，有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N+=ˆ。

由于N Nˆˆ=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N所以Nˆ为正定厄米算符二、Hamilton 量的本征值下面证明，若N ˆ的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值nE 为（自然单位，ω ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n证明：设|n >为Nˆ的本征态( n 为正实数)，即 n n n N=ˆ 利用1],[=+a a 及a a N+=ˆ容易算出 ++=a a N],ˆ[，a a N -=],ˆ[ 因此n a n a N-=],ˆ[。

但上式左边n na n a N n N a n a N-=-=ˆˆˆ 由此可得n a n n a N)1(ˆ-=。

这说明，>n a |也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(-n 。

如此类推，从Nˆ的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ˆ的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…相应的本征值为n ，1-n ，2-n ，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。

与Virasoro代数密切相关的非有限分次李代数的导子

与Virasoro代数密切相关的非有限分次李代数的导子戴先胜;辛斌【摘要】Let L be a complex vector space with basis { Li ｜i ∈ Z } ,relations are[ Lm,Ln] = （m - n）（Lm＋n ＋ Lm＋n-2）,m,n ∈ Z. we prove in the present paper that the derivations of this Lie algebra are all inner. In other words, the first cohomology of this algebra is trivial.%设L是复向量空间，它有一组基{Li｜i∈Z}，在基元上定义括积为：[Lm，Lm]=（m-n）（Lm＋n＋Lm＋n-2），m，n∈Z，这是一个李代数．我们确定了这个代数的导子都是内导子，即其一阶上同调群是平凡的．【期刊名称】《贵州师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(029)004【总页数】4页(P50-53)【关键词】非有限分次;导子;Virasoro代数【作者】戴先胜;辛斌【作者单位】贵州师范大学数学与计算机科学学院,贵州贵阳550001;贵州师范大学数学与计算机科学学院,贵州贵阳550001【正文语种】中文【中图分类】O152在本文中，，Z分别代表复数域和整数集.设L=⊕N∈ Ln，其括积定义为: ［Lm，Ln］=(m － n)(Lm+n+Lm+n－2)，m，n ∈下面验证这是一个李代数，在这里只需要对L的基元验证Jacobi等式.任取基元 Li，Lj，Lk ∈ L，注意到i，j，k的轮换性，可得将上面三个式子左右对应相加，立即得即Jacobi等式成立.如果令L(i)=⊕n≤iLn，则L是一滤过李代数…L(－1)⊂ L(0)⊂ L(1)…并且其相联的分次李代数grL=⊕n∈grL(i)为无中心的Virasoro代数，其中，因此这是一个与Virasoro代数密切相关的非有限分次李代数.然而与Virasoro代数不同，可以看出，李代数 L 可由{L0，L1，L2}生成.导子是李代数结构研究的一个重要方面.在文献［3］中，Farnsteiner指出了导子在李理论研究中有着重要的意义，因为导子与李代数的低阶上同调群有着紧密的联系，而且导子的确定可以揭示李代数一些结构上的性质，这些性质往往不能由其定义关系得到.在文献［3］中，Farnsteiner对于有限生成的Abel群分次(其分次空间是有限维)的李代数的导子的结构给出的结论和方法是基本的.在文献［2］，［5］，［6］，［7］，［8］中，都引用了文献［3］的结论和方法.然而在本文中，我们考虑的是非有限分次的李代数，因此不能借用文献［3］的结果.文献［4］给出了计算非有限分次代数导子的方法.采用类似的方法，我们确定出了所考虑代数的导子.李代数L的一个导子D是L上的一个线性变换，满足下列条件:记DerL是L的所有导子所构成的向量空间，而记号adL是L的所有内导子构成的向量空间.已知adL是DerL的一个理想且L的系数在伴随模里的一阶上同调群H1(L)=DerL/adL.下面给出L的导子代数的结构定理.定理1 DerL=adL，也就是说H1(L)=0.证明定理的证明通过下列一系列引理来完成.引理1 若D∈DerL，则存在u∈L，使得用 D－adu代替D后，有D(L0)=0，D(L2)=0.证明设D(L0)= ⊕j∈Ka0，jLj，a0，j∈ ，其中 K 是的有限子集.注意到记.若 p ＞0，令，则对(2.1)式，若K\{p}中最大数p'仍然大于0，则可类似上述做法消去下标最高项;而对于q=min{j|D(L0)= ∑j∈ka0，jLj，a0，j≠ 0}且q＜0 的情况，我们消去下标最低项，注意到K是一个有限集，则用类似做法在有限步之后我们可以假设D(L0)= αL0+ βL－1+ γL－2，α，β，γ∈.设.用 D 作用于式子［L2，L0］=2(L2+L0)两边，则有整理得，考察(2.2)式两边Lm的系数，当m≥3或者m≤－3时，有进一步由(2.3)式可得a2，m=0.否则，不妨设m≥3且对某个m有a2，m≠0，由(2.3)式将会推出a2，m+2≠0 ，而这将推出有无限项 a2，m≠0 ，这就与式子D(Li)= ∑j∈Kai，jLj，∀i∈ 右边是有限项矛盾;对于m≤－3的情况可以类似讨论.另一方面，由 a2，3=a2，－3=a2，－4=0 和(2.3)式可得 a2，1=a2，－2=a2，－1=0.因此，可设 D(L2)=a2，0L0+a2，2L2，将其代入 (2.2)中可得记 a 2，2=a2，0=c，c∈ ，所以 D (L0)=0，D(L2)=c(L0+L2).现在，用D来代替，则引理2 若D∈DerL，且D(L0)=D(L2)=0则存在c∈ ，使得 D(L－2)=c(L－2+2L0+L2).证明用D作用于式子［L2，L－2］=4(L0+L－2)两边可得考察等式两端Lm系数，有当 m＞4 时，则由(2.4)得 a－2，m－2=0 ，否则由a－2，m－2≠0 和(2.4)将推出 a－2，m ≠0 ，进而推出有无限项a－2，m≠0，这与K是有限集矛盾．当m＜－2时，类似讨论有a－2，m=0.事实上，我们已经得到a－2，m=0，当m ＞2或者m＜－2．另一方面在(2．4)式中分别令m=1，m=3，m=0，m=2，可得 a－2，1=a－2，－1=0 ，a－2，0=2a－2，－2=2a－2，2. 因此，令 a－2，2=c，c∈ ，则有 D(L－2)=c(L－2+2L0+L2).引理3 若D∈DerL，使得D(L0)=D(L2)=0，则D(L1)=0．证明将D作用于式子［L1，L0］=L1+L－1两边可得比较等式两端Lm的系数得将D作用于式子［L2，L－1］=3(L1+L－1)两边得比较等式两端Lm的系数得由(2.5)和(2.6)消去形如 a－1，j的项得，在(2．7)中，将m用m+1代替后得将 D 作用于式子［L1，L－1］=2(L0+L－2)两边，有下列两种情况.情形1 若c=0即D(L－2)=0时，则有比较等式两端Lm的系数得由(2.5)和(2.9)消去形如 a－1，j的项得由递推关系式(2．8)或者(2．10)可以看出，当m为偶数时，a1，m 可以由a1，2 和 a1，0 线性表出;而当 m为奇数时，a1，m 可以由 a1，1 和 a1，－1 线性表出．接下来，就a1，m中m的奇偶分下列两种情形分别讨论．情形(a):在(2．8)和(2．10)中令m=1得两式联立消去a1，4得又在(2．8)和(2．10)中令m=－1得消去 a1，－2 得由(2．11)和(2．12)解得 a1，2=a1，0=0所以 a1，2m=0，∀m ∈ ．情形(b):在(2．8)和(2．10)中，令 m=2得解得，在(2．8)和(2．10)中，令m=0得解得所以，a1，2m+1=0，∀m ∈ .综合情形(a)和情形(b)，有a1，m=0，∀m ∈ .所以 D(L1)=0.情形2 若D(L－2)=2c(L－2+2L0+L2)，其中c≠0，则比较等式两端Lm的系数得，当m≥3，m≤－3，m=±1时，由(2.5)和(2.13)消去形如 a－1，j的项，则有在(2.8)中分别 m=2，0，－2 得由(2.14)和(2.15)我们将会推出，这必然有c=0与假设c≠0矛盾.综合上述，D(L1)=0.引理4 若D∈DerL，使得D(Li)=0，i=0，1，2，则D(Ln)=0，∀n∈.证明因为Li，i=0，1，2是李代数L的一个生成元组，所以引理显然成立.致谢:在中国科学技术大学学习期间，苏育才教授给予我在学习和生活上的关心和帮助【相关文献】［1］J.E.汉弗莱斯.李代数及其表示理论导引［M］.上海:上海科技出版社，1981.［2］高寿兰，姜翠波，裴玉峰.一类李代数的导子及中心扩张与自同构［J］.数学学报:中文版，2009，25(2):75－82.［3］R.Farnsteiner.Derivations and extensions of finitely generated graded Lie algebras ［J］.J Algebra，1998，118(1):34－45.［4］Su Yucai.Derivatons of generalized Weyl algebra［J］.Science in China(series A)，2003，46(3):10－15.［5］R Shen，C Jiang.The derivation algebra and automorphism group of the twisted Heisenberg－Virasoro algebra［J］.Comm.Alg.，2006，34(7):2547－2558.［6］Junbo Li，Yucai Su.The derivation algebra and automorphism group of the twisted Schrodinger－Virasoro algebral［OL］.arXiv:0801.2207v1［math.RA］.［7］Chunguang Xia，Wei Wang.Derivations and automorphisms of a Lie algebra of Block type［OL］.arXiv:1005.5595.［8］Wei Wang，Junbo Li.Derivations and automorphisms of twisted deformative Schrödinger － Virasoro Lie algebras［OL］.arXiv:1005.5506.［9］Yucai Su，Kaiming Zhao.Second Cohomology Group of Generalized Wity Type Lie Algebras and Certain Representations［J］.Comunications in Algebra，2002，30(7):3285－3309.［10］Qing Wang，Shaobin Tan.Leibniz Central Extension on a Block Lie Algebra ［J］.Algebra Colloquium，2007，14(4):713－720.。