线性代数试卷 浙江理工大学9

2004～2005学年春季学期线性代数A 试卷

一.填充题(每题2分,共16分)

1. 四阶行列式中的某项是a 13 a 2i a 34 a 4k 且该项的符号为正，则i ，k .

2. d c b

a 000

4300

21000= .

3. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 211221212111，则R(A) = . 4. 设A -1=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛311121111, 则(A*)-1= .

5. A 是n 阶可逆矩阵,且2|A|=|kA| (k>0), 则k= .

6. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++210321

321321cx x x x cx x x x cx 当c= 时,其对应的齐次方程组有非零解.

7. X=(2,0,-1,4), Y=(1,3,a,-2),当a= 时,XY ,正交.

8. 已知A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛210020000010010a 有一个特征值是3, 则a= . 二. 选择题 (每题2分,共14分)

1. A, B 都是n 阶可逆矩阵,则 .

A.|A+B|=|A|+|B|

B.|AB|=|BA|

C.(AB)T =A T B T

D.(AB)-1=A -1B -1

2. A 是n 阶可逆矩阵, 且|A -1|=2, 则 .

A.|A*|=2 n-1

B. |(A*)-1|=2 n-1

C..|A*|=1/2

D. .|(A*)-1|=21- n

3. A, B 都是n 阶矩阵, 且AB=0, .

A. A=0或B=0;

B. |A|=0或|B|=0;

C. R(A)+R(B)=0;

D. R(A)R(B)=0.

4. m 个n 维向量组成向量组A:α1,α2,…αm 线性无关,而向量组B 是A 中的向量再加上r 个分量所得到的m 个n+r 维向量,则向量组

B .

A. 线性相关;

B. 线性无关;

C. 是否线性相关不能判别;

D.线性相关的充分必要条件是加上的r 个分量全部是零.

5. α, β, γ 是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,则该方程组的基础解系还可以是

A. k 1α+k 2 β+k 3 γ;

B. α+β, β+ γ,

C. α, α+β, α+β+γ;

D. α-β,β-γ,γ-α.

三．简答题: (每题5分,共10分)

1. 说出向量组最大线性无关组定义及至少两条性质.

2. 说明初等矩阵和初等变换的关系,并说出初等矩阵的至少两条性质.

四.计算题(50分)

1. (8分):求行列式|A|=2164729

54

17

32152

-----; 2. (8分).已知A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--111011001,且AA T -A T B=E (E 是四阶单位阵),

求矩阵B..

3. (10分) 已知向量组A:

α1=(1,4,0,2), α2=(2,7,1,3), α3=(0,1,-1,1), α4=(3,10,C,4)秩为2, 求C 的值和A 的一个极大线性无关组,并把其它向量表示为最大无关组的线性组合.

4. (12分)当a,b 为何值时,下列方程组无解,有唯一解,有无穷解, 并在有无穷解的情况下求其通解:

x 1+x 2+2x 3+3x 4=1

x 1+3x 2+6x 3+x 4=3

3x 1-x 2-ax 3+15x 4=3

x 1-5x 2-10x 3+11x 4=b

5．(12分)用一个正交变换,把下列二次型

f (x 1, x 2 ,x 3)= 4x 1 2 -3x 3 2+4x 1x 2-4 x 1x 3 +8x 2x 3

化为标准形, 并写出变换矩阵P 。

五．证明题：（8分）

1.A 是n 阶可逆矩阵, 且A 2=|A|E, 证明: A*=A.

2. A 是n 阶矩阵, α是n 维非零列向量, 且A n-1α ≠0, A n α =0, 证明: α, A α, A 2α, …,A n-1α线性无关.

参考答案：

一.填充题1. 2,1; 2. 2bc-2ad; 3.1; 4. ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----101022125; 5. n 2; 6.1 or -2; 7.-6; 8.2.

二. 选择题 B B B B C D C

三．简答题: 略。

四.计算题:

1.|A|= -9;

2. B =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--201210501

3. C=2; 极大线性无关组.α1α2 α3= 2α1-α2 α4= -α1+2α2

4. 当a=2，b<>-1时,方程组无解；当a<>2时,方程组唯一解； 当a=2，b= -1时,方程组有无穷解；

通解:

X=k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20380120 5．λ=1，6，-6,

P=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--623025161305613015

20 f=y 12+6y 22-6y 32 五．证明题：（10分）

1.A*=|A|A -1, AA*=|A|E, A 2=|A|E=AA*;

2. k α+k 1α+…+k n-1α=0,

A n-1(k α+k 1α+…+k n-1α)=0, KA n-1α=0, k=0 同理 k i =0, 所以线性无关。