一族高阶常微分方程边值问题解的存在性

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常微分方程的边值问题

常微分方程的边值问题常微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是函数的导数与自变量之间的关系。

在实际问题中，常微分方程的解可以描述物理、工程、经济等领域的变化规律。

而边值问题是常微分方程中的一类特殊问题，它要求在给定的边界条件下求解方程的解。

一、边值问题的定义与分类边值问题是指在一定边界条件下求解常微分方程的解。

边界条件是一组给定的条件，它们通常是关于未知函数及其导数在一些特定点上的值或关系。

边值问题可分为以下两类：1. Dirichlet 边值问题：给定函数在边界上的值。

假设我们要求解的常微分方程为 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)，边值问题可以表示为：y(a) = A，y(b) = B其中，a, b 是给定的自变量取值，A, B 是给定的常数。

2. Neumann 边值问题：给定函数在边界上的导数值。

假设我们要求解的常微分方程还是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x)，边值问题可以表示为：y'(a) = A，y'(b) = B二、求解边值问题的方法求解边值问题有多种方法，其中比较常用的包括：1. 分离变量法这是一种基本的求解边值问题的方法。

通过将方程中的未知函数分离变量，得到一个关于自变量的方程和一个关于未知函数的方程，再分别求解这两个方程。

2. 特征值法对于某些特殊的边值问题，可以使用特征值法进行求解。

特征值法的关键在于将边值问题转化为一个特征值问题，通过求解特征值和特征函数来得到方程的解。

3. 迭代法对于某些复杂的边值问题，可以使用迭代法逐步逼近方程的解。

迭代法是通过不断逼近函数解来改善近似解的精度，从而得到较为准确的解。

三、常见的边值问题应用常微分方程的边值问题在实际应用中具有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：1. 自由振动问题自由振动是常微分方程的一个典型应用，比如弹簧振子的运动可以用一阶线性常微分方程来描述。

分数阶微分方程积分边值问题解的存在性

!竺应用泛函分析学报第15卷———————————————————————————————————一．二：J D备札(t)+可(t)=o，t∈J1乱(o)=钆”)=o，u(1)=詹口(u(s))d8(2)乱(t)。

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浅析分数阶微分方程边值问题解的存在性

浅析分数阶微分方程边值问题解的存在性作者：李永玲殷华敏杨芳萍来源：《教育界·下旬》2014年第01期【摘要】作为数学的重要组成部分分数阶微积分已经发展了将近5个世纪，所谓分数阶微积分是指微分的阶数或者积分的阶数不再是传统的整数阶，而是任意的一个实数甚至于可以是复数。

之所以现在有关分数阶微积分的研究内容非常之多，是因为分数阶微积分方程在混沌理论、高分子解链、非牛顿流体力学等很多领域中得到了广泛应用，而且经过实际检验，分数阶微积分方程对于研究结果的准确性有着很大影响。

基于此，本文将对分数阶微分方程边值问题解的存在性进行研究。

【关键词】分数阶微分方程存在性分数阶微分方程发展至今已经有300多年的历史，相较于整数阶微积分而言，也已经在很多领域有着较为广泛的应用。

如今，分数阶微积分已经成为处理几何与分数维动力学的最佳分析工具。

分数阶微分方程研究的重点是正解的存在性、多重性以及正解的分歧与渐进性等。

虽然说整数阶微分方程的很多研究成果，如函数论、积分变换、特殊函数等等，和分数阶微分方程在一定程度上有些联系，而且有些研究成果可以直接用于分析分数阶微分方程。

但实际上分数阶微分方程理论体系只能算是刚刚有了雏形，很多研究内容均是将整数阶的分析方法照搬到分数阶微分方程上，如算子演变、组合方法、不定点理论等。

不同的边值条件和阶数条件，我们可以使用不同的方法来求解分数阶微分方程，也可用来证明其正解的存在性。

就目前的研究情况来看，使用最多的求解方法就是特殊函数法，这里的特殊函数以Green函数使用最多。

对于不同的边值条件和阶数条件，求解Green函数的方法以及所得到的Green函数值会有所不同，所以在估计分数阶微分方程正解存在条件以及证明正解存在性的方法上，也会有较大的区别。

1819年，Lacroix率先提出了1/2导数的结果：d1/2y / dx1/2=；之后在1832年，Liouville 根据级数的概念对分数阶导数进行了重新定义；1853年，Riemann按照定积分的形式对分数阶微分进行了定义。

微分方程之存在性问题

微分方程之存在性问题微分方程是数学中的一个重要分支，研究物理、工程、经济等领域中描述动态过程的方程。

存在性问题是微分方程研究中的关键问题之一，即关注一个微分方程是否存在解，以及在何种条件下解的存在性成立。

存在性问题的概念在解一个微分方程之前，我们首先需要确定其解的存在性。

存在性问题可以分为初值问题和边值问题两种情况。

初值问题是指给定一个初始条件，在满足初始条件的前提下，求解微分方程的解。

边值问题是指在给定边界条件的前提下，寻找能够满足边界条件的微分方程的解。

存在性条件在研究微分方程的存在性时，通常需要注意以下几个方面：1. 考虑微分方程的充分条件和必要条件。

充分条件是指满足该条件的情况下方程存在解，而必要条件则是指该条件必须满足方程存在解。

通过研究这些条件，可以确定微分方程解的存在性。

2. 利用特定的定理和方法。

微分方程的解存在性可以通过一些定理和方法来确定，如皮卡逼近定理、柯仑霍普定理、上确界下确界定理等。

这些定理和方法提供了解存在性的依据。

3. 考虑微分方程的连续性和可积性。

微分方程的连续性和可积性是方程解存在的基础条件。

当微分方程满足了连续性和可积性条件时，解的存在性成立的可能性更大。

解的唯一性问题除了解的存在性问题，微分方程还存在解的唯一性问题。

唯一性问题是指在方程存在解的前提下，解是否是唯一的。

在研究微分方程的解的唯一性时，可能需要考虑以下几个方面：1. 利用柯仑霍普定理。

柯仑霍普定理可以判断解的唯一性，即在方程的解存在的前提下，解是否是唯一的。

通过应用柯仑霍普定理，可以给出关于解的唯一性的结论。

2. 考虑微分方程的可导性和连续性。

当微分方程满足可导性和连续性条件时，解的唯一性成立的可能性更大。

3. 考虑微分方程的边界条件。

边界条件对解的唯一性也起到关键作用，不同的边界条件可能导致解的唯一性结果不同。

结论微分方程的存在性问题和解的唯一性问题是微分方程研究中的重要内容。

通过深入研究微分方程的充分条件、必要条件以及特定的定理和方法，我们可以确定微分方程的解是否存在以及是否是唯一的。

奇异高阶微分方程特征值问题正解的存在性

第15卷第3期2013年9月应用泛函分析学报A C TA A N AⅨSIS FU N C T I O N A L I S A PPL I C峨氏V bl．15．N o．3Sep．，2013D O I：10．3724／SP．J．1160．2013．00259文章编号：1009-1327(2013)030259—06奇异高阶微分方程特征值问题正解的存在性许婧，顾佳萍，胡良根宁波大学数学系，宁波315211摘要：使用G r e en函数的性质和变量替换方法研究了高阶微分方程解的△导函数性质，再应用不动点指数定理和正线性算子第一特征值，得到了奇异高阶微分方程特征值问题正解的存在性，其中非线性项中含有变量的△导数．关键词：奇性；特征值问题；变量替换；正解中图分类号：0177．91；0175．141引言文献标志码：A本文将考虑。

F面奇异2佗阶微分方程特征值问题f(一1)“yn2"(t)=入9(t)，(t，∥(t)，yZX n(t)，…，可△2‘“一u(t)1，t∈a，b】n rⅡ-，{可铲(n)一觑+1Y△2‘“(o)=Qi+lY驴(叼)，(1．1)【7i+1Ⅳ△“(叼)=yZl2i(6)，0≤i≤几一1，其中T是一个时标(时标的概念与性质参看文【1—21)，入是一个正参数，叼∈(a'6)，扎≥1，反>0，1<m<生7／-壁a+区fll，0≤啦<生型生譬寻必，i=1，2，…，扎；函数g：a，6)_【0，+∞)和f：[a，6】×瞅×R o×…X R o一[0，+。

)是连续的(记瓞o：=(一C O，0)u(0，+。

))，g在t=a 和／或t=b处可能有奇性，，对于第二个变量，第三个变量，…，第(n+1)个变量在0点有奇性．二阶和高阶微分方程的两点和多点边值问题的研究在理论和应用中有重要作用，其相关问题的研究已引起许多专家广泛关注(如文【1—10】等等)．众所周知，常微分方程边值问题来源于物理学、化学、生物学和工程技术中出现的各种非线性问题模型，如非线性源产生的非线性扩散问题、晶体理论、传染病模型等问题．在2008年，A nder son和K ar aca[3】考虑了2n阶微分方程特征值问题r(-1)“!，甜”(t)=A f(t，可(盯(t)))，t∈陋，b】nT，{可△2‘(o)一屈舢△2件1(o)：aⅢ∥铲(叼)，(1．2)【m+1Y△“(叩)=y／X2‘(盯(6))，o≤i≤佗一1，其中A是一个正参数，n≥1，77∈(a，盯(6))和f∈c(fo，盯(6)】×R，R)．通过使用K r asnos el’s ki i不动点定理，他们证明了问题(1．2)至少有一个正解．最近，胡良根和周先锋【3】研究了奇异2佗阶微分方程特征值问题r(一1)“可△一(￡)=A h(t)f(t，y(≠))，t∈k，6】n T，{可铲(o)一风+1可△2{+1(n)：吣1可铲(叩)，(1．3)【m+IY△“(叼)=Y△“(b)，0≤i≤佗一1．收稿日期：2013-04-17资助项目：国家自然科学基金(11201248)；宁波市自然科学基金(2012A610031)作者简介：胡良根(1977一)，男，汉族，江西临川人，博士，研究向：非线性泛函分析和微分程，Em ai h hul i anggen@ t om．com ．260应用泛函分析学报第15卷通过使用不动点指数定理和正线性算子的特征值，他们证明了方程(1．3)正解的存在性，同时给出了参数入的取值区间．可以注意到，文13—8】中的结果只研究了非线陛项，含有变量Y，而对非线性项中含有变量导数的情况没有考虑．然而许多非线性问题是要求考虑非线性项，包含变量和变量导数的情况，对这些相关问题的研究是非常有意义的(如【9—10]等)．本文将研究奇异高阶微分方程特征值问题(1．1)，其中非线性项，包含变量的△-导数项．文中首先利用G r een函数的性质和变量替换方法得到了非线性项，中变量的△一导函数的—些性质，再应用文【4，定理3．1，3．2】的结果可以证明特征值问题(1．1)正解的存在性．2预备知识对于1≤i S72，设@(￡，8)是F面二点边值问题的G r een函效{可-(y n A)Z一1(屈t)可=△O(n,)。

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性

ＷＡＮＧｉｊｇＣｕ－ｉｎ
（．ｌｇｆＳｉｃｓＣｉａＵｎｖｒｉｆｉｉｇ＆Ｔｃｎｌｇ，ｚｏｉｎｓ，２０８Ｃｉａ；１Ｃｏｌｅｏｃｅｅ，ｈｎｉｅｓｔｏｎｎｅｎｙＭｅｈｏｏｙＸｕｈｕＪａｇｕ２１０，ｈｎ
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【ｅｏｄ］ａａｈｃｎａｔｎａｐｇｒｃｌ；ｒｎｆｃｏ：ｏｎａａｅｒｂｍ；ａｕｏｆｒｔｔｎＫｙｗｒｓＢｎｃｏｔｃｏｐｉｉｉｅＧｅｎｔｎＢｕｄｒｖｌｏｌＣｐｔＳｉｅｎａｏｒｉｍｎｐｎｐｅｕｉｙｕｐｅｄｅｉｉ
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第３期
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类分阶方边题的在性唯性数微分程值问解存与一
王翠菁１（．１中国矿业大学理学院江苏徐州２１０；．２０８２徐州工业职业技术学院信息管理技术学院江苏徐州２１４）２１０
【ｂｔｃ］ｙｕｉｈａａｈｃｎａｔｎｍｐｉｒｃｌ，ｅｅｉｅｃｎｎｕｎｓｏｔｅｌｓｏｔｎｄｆｅｆｃｏａＡｓａｔＢｓｇｔＢｎｃｏｔｃｏａｐｎｐｉｉｅｔｘｔｅａｄｕｉｅｅｓｆｈｒｕｓｉｂｉｏｔａｔｎｌｒｎｅｒｉｇｎｐｈｓｎｑｅｓｔａｅｒｈｒｉ
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一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在唯一性

第２６卷第３期
２１矩０２
五邑大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＷＵＹＩＵＮＩＲＳＴＹ（ＮａｕａＳｉｎｅＶＥＩｔｒｌｃｅｃＥｄｔｎ）ｉｏｉ
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２１０２
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ＥｘｓｅｃｎｉｅｅｓｏｌｔｏｓｆｒａＣｌｓｆＭｕｌｉｐｉｕｄａｙｉｔｎｅａｄＵｎｑｕｎｓｆＳｏｕｉｎｏａｓｏｔ－ｏｎｔＢｏｎｒ
ＶａｌｏｂｌｓｉａｔｏｎａｆｅｅｉｕｅＰｒｅｍｎＦｒｃｉｌＤｉｆｒｎｔａｌＥｑｕａｔｏｎｓｉ
当．≤ｔ１，２≤ ≤ｍ－，２时，
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得出边值问题的解的存在性和唯一性结果，并举例对结论进行验证．

一类分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性

在性定理．
关键词
中图分类号
近年来，随着分数阶微积分以及分数阶微分方程理论的不断发展及完善，它们在很多领域都已经得到了非常广泛的应用．对分数阶微积分以及分数阶微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际的应
ｘ［ｏ，。。）［。，ｏ。）满足ｃａｒａｔｈｅｏｒｙ类型条件， △ 一｛：一１）（一２） ’ ＇．（一ｉ），：
１预备知识
为了方便读者，我们给出一些必要的有关分数阶微分方程计算的定义及引理．
ｒ
Ｄ（）＋ｆ（ｔ，（￡））一０，０＜ｔ＜１，
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ｌ（（１）一Ｉｒ１（ｓ）ｄｓ
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其中一１＜口 ≤ ，为整数，ｉ ∈Ｎ且 ≤ 一２，ａ ≥２，＜口 △，Ｄ５十是标准的Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ导数，厂：［０，１］
定义１［３］函数ｙ：（０，。。）一Ｒ的ａ＞０阶Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ积分定义Ｉ８十３，（￡）一工ａＪｌ０（ｔ一
ｓ）ｒｙＯ）ｄｓ，其中右边是在（ｏ，ｃｏ）上逐点定义的．定义２［。函数Ｙ：（Ｏ，。。）一Ｒ的ａ＞Ｏ阶Ｒｉｅｍａｎｎ — Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ微分定义如下

微分方程解的性质

微分方程解的性质微分方程是描述自然现象和数学模型中的变化的重要工具。

解微分方程可以揭示方程所描述的现象的性质和规律。

在解微分方程的过程中，有一些重要的性质和定理可以帮助我们理解和分析微分方程的解。

1.合解和特解：微分方程的解可以分为合解和特解两种情况。

合解是指满足微分方程和初始条件的全体解，而特解是指满足微分方程的一个解。

通常情况下，我们会通过确定初始条件来求解微分方程得到特解，并将特解与合解进行比较。

2.初始值问题和边值问题：初始值问题是指给定微分方程的初始条件，包括一个特定的点和该点处的导数值。

边值问题是指给定微分方程在一些特定点上的值。

3.唯一性定理：微分方程解的唯一性定理是指在一定条件下，微分方程的解是唯一的。

这个定理对于解决初始值问题非常重要。

常见的唯一性定理有皮卡-林德洛夫定理和解的延拓性定理。

4.连续性和可微性：解的连续性和可微性是解微分方程的重要性质。

如果微分方程的右端函数满足一定的连续性和可微性条件，那么解的连续性和可微性也满足相应条件。

这些性质在实际问题中通常有很重要的意义。

5.存在性定理：存在性定理是指在一定条件下，微分方程存在解。

一般来说，能保证微分方程解的存在性的条件是方程的右端函数满足连续性和局部利普希茨条件。

6.相合性和渐近性：微分方程解的相合性和渐近性是指解在无穷远处的行为。

相合性指的是解在无穷远处与条特定曲线趋于重合；渐近性指的是解在无穷远处无穷趋近于一些值。

这些性质对于理解微分方程解的整体行为非常重要。

7.稳定性和破碎性：微分方程解的稳定性和破碎性是指解在一定条件下的行为。

稳定性指的是解在微小扰动下保持不变或者回到原来的状态；破碎性指的是解对微小扰动非常敏感，即使微小扰动也会产生巨大的变化。

8.周期性：微分方程解的周期性是指解在一定条件下以一些固定的周期重复出现。

周期性的研究对于循环现象和振动现象的描述非常重要。

9.收敛性和发散性：微分方程解的收敛性和发散性是指解在无穷远处的行为。

一类Hadamard分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性

一类Hadamard分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性张海燕;李耀红【摘要】利用Leray-Schauder选择原理及Banach压缩映射原理,本文在一定的非线性增长和压缩条件下研究了一类具有Hadamard积分边值条件的Hadamard 分数阶微分方程边值问题,获得了问题解的存在唯一性的充分条件,并给出了两个例子.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(055)004【总页数】5页(P683-687)【关键词】Hadamard分数阶导数;分数阶微分方程;边值条件;存在唯一性【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院,宿州234000;宿州学院数学与统计学院,宿州234000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言近年来,分数阶微分理论在黏弹性材料力学、工程问题建模、系统控制、分形几何和分形动力学等应用领域建模中得到广泛应用.由于分数阶模型描述的过程信息比整数阶微分方程更精确,分数阶微积分理论近来受到了广泛关注[1-3].虽然出现了许多分数阶微分方程边值问题解的存在性的结果[4-10],但是绝大部分研究工作都是基于Riemann-Liouville或Caputo分数阶微分方程边值问题,对Hadamard分数阶微分方程边值问题的研究则相对较少.其原因也许是Hadamard分数阶定义及计算较复杂,且与其他类型的分数阶微分之间的关联还未完全明确,因而很多现有的非线性分析计算方法不能通过简单平移进行使用.总之,对Hadamard分数阶微分方程进行深入研究很有必要.最近，文献[11]在无穷区间研究了一类Hadamard分数阶微分方程的正解,文献[12]对一类耦合的Hadamard分数阶微分方程组解的存在性进行了研究.受上述文献及其参考文献启发,本文考虑如下Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)解的存在唯一性充分条件,这里为为Hadamard分数阶导数,为γ阶Hadamard分数阶积分，f:[1,e]×R2→R是一个连续函数.和文献[11,12]比较,方程(1)中的非线性项中含有Hadamard分数阶导数,同时具有更一般的非线性增长条件,因而在应用上更方便.2 预备知识定义2.1[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶积分定义为定义2.2[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶导数定义为其中n=[α]+1.引理2.3[1] 若α>0，u∈C[1,e]∩L[1,e]，则有c2(lnt)α-2-…-cn(lnt)α-n,其中ci∈R,i=1,2,…,n,n如定义2.2所述.引理2.4 如果y(t)∈C([1,e],R)且1<α≤2，则分数阶微分方程(2)有唯一解(3)其中证明由引理2.3可知,Hadamard分数阶微分方程(2)的一般解为(4)利用边值条件u(1)=0，则有c2=0.又由条件知[y(t)+c1(lnt)α-1](η)=则c1=K[y(η)-y(e)].将c1,c2代入(4)式即得(3)式.引理得证.引理2.5(Leray-Schauder选择原理[13]) 设E是实Banach空间,D是E中有界凸集,T:D→D是一个全连续算子,则T在D中必具有不动点.引理2.6(Banach压缩映射原理[13]) 设D是Banach空间E的闭子集，F:D→D 是一个严格的压缩映射,即对任意x,y∈D,|Fx-Fy|≤k|x-y|成立,其中0<k<1，则F在E中有唯一不动点.3 主要结果记X={u|u∈C([1,e],R)且u∈C([1,e],R)}，则X在范数下是一个Banach空间.结合引理2.4,定义算子T:X→X如下:Tu(t)=显然，Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)有解当且仅当算子T在X中有不动点.为方便,记定理3.1 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数,且存在实常数μi>0(i=0,1,2)使得|f(t,x,y)|<μ0+μ1|x|σ1+μ2|y|σ2,1<t<e,0<σi<1,i=1,2(5)成立,则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证明首先构造一个有界凸闭集.令Ωl={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤l,t∈[1,e]}，这里的显然Ωl是Banach空间X中的有界凸闭集.接着，由Hadamard分数阶导数定义及(5)式,对任意u∈Ωl有|Tu(t)|≤μ1lσ1+μ2lσ2)≤μ1lσ1+μ2lσ2)=M(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2) (6)同时,由定义2.2有μ1lσ1+μ2lσ2)=(7)因此‖Tu‖ X=故算子T:Ωl→Ωl.最后，我们分三步证明T是Ωl上的一个全连续算子.第一步,由于算子T:Ωl→Ωl且f是一个连续函数，因此算子T在Ωl上连续. 第二步，∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).于是，类似于(6)式和(7)式有即TΩl⊂Ωl.故算子T在Ωl上是一致有界的.第三步,∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).故由第二步知T:Ωl→Ωl.接着，令t1,t2∈[1,e](t1<t2).于是|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|≤KL|(lnt2)α-1-(lnt1)α-1|×另一方面,类似地有|Tu(t2)-Tu(t1)|≤因此,当t2→t1时,有|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|→0，|Tu(t2)-Tu(t1)|→0，即‖(Tu)(t2)-(Tu)(t1)‖X→0，从而T在Ωl上是等度连续的.结合以上三步的结果,由Arzela-Ascoli's定理知算子T在Ωl上是全连续的.综上所述,由引理2.5可知，算子T在Ωl中至少存在一个不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证毕.注1 当σi=1或σi>1(i=1,2)时，用类似方法在一定条件下也可得到定理3.1的结论.定理3.2 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数且满足下面Lipschitz条件:|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<λ(|x2-x1|+|y2-y1|),1<t<e,λ>0,xi,yi∈R,i=1,2(8)且Nλ<1，则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证明令其中取Ωr={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤r,t∈[1,e]}.则TΩr⊂Ωr.事实上,由u∈Ωr可知|f(t,u(t),u(t))|≤|f(t,u(t),u(t))-f(t,0,0)|+|f(t,0,0)|≤λ(|u(t)|+|u(t)|)|+r′≤λ‖u(t)‖X+r′≤λr+r′.于是由(6)式和(7)式有‖Tu‖≤M(λr+r′)，因而N(λr+r′)≤r,即TΩr⊂Ωr.接着我们证明算子T是压缩映射.对ui∈Ωr,i=1,2,t∈[1,e]，有|Tu2(t)-Tu1(t)|≤|f(s,u2(s),u2(s))-Mλ(|u2(s)-u1(s)|+|u2(s)-u1(s)|)≤Mλ‖u2-u1‖X,及|Tu2(t)-Tu1(t)|≤因此，‖Tu2-Tu1‖X≤Nλ‖u2-u1‖X.注意到Nλ<1，则T是一个压缩映射.因而由引理2.6知算子T在Ωr中有唯一不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证毕.例3.3 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(9)这里于是取显然,定理3.1条件满足.因此由定理3.1知Hadamard分数阶微分方程边值问题(9)在X中至少存在一个解.例3.4 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(10)这里则于是|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<取λ=1/30，则Nλ<1.显然,定理3.2条件满足.因此由定理3.2知Hadamard分数阶微分方程边值问题(10)在X中存在唯一解.参考文献:【相关文献】[1] Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam: Else vier， 2006.[2] Zhou Y，Wang J R，Zhang L.Basic theory of fractional differential equations[M].Singapore: World Scientific Pre ss， 2016.[3] 陈文，孙洪广，李西成,等.力学与工程问题的分数阶导数建模[M].北京: 科学出版社， 2012.[4] Cui Y J.Uniqueness of solution for boundary value problems for fractional differential equations[J].Appl Math Lett， 2016， 51: 48.[5] Zhang X Q.Positive solutions for a class of singular fractional differential equation wi th infinite-point boundary value conditions[J].Appl Math Lett，2015， 39: 22.[6] Zhang H Y，Li Y H，Lu W.Existence and uniqueness of solutions for a coupled system of nonlinear fractional d ifferential equations with fractional integral boundary conditions [J].J Nonlinear Sci Appl，2016， 9: 2434.[7] Wang G T.Explicit iteration and unbounded solutions for fractional integral boundary value problem on an infinite interval [J].Appl Math Lett， 2015， 47: 1.[8] Hamani S，Henderson J.Boundary value problems for fractional differential inclusions with nonlocal c onditions [J].Mediterr J Math， 2016， 13: 967.[9] 张海燕,李耀红.一类高分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版，2016，53: 512.[10] 张立新,杨玉洁,贾敬文.一类Caputo分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版， 2017， 54: 1169.[11] Qiao Y，Zhou Z F.Positive solutions for a class of Hadamard fractional differential equations on the Infinite interval [J].Math Appl， 2017， 30: 589.[12] Ahmad B，Ntouyas S.A fully Hadamard type integral boundary value problem of a coupled system of fractional differential equations [J].Fract Calc Appl Anal， 2014， 17: 348.[13] Deimling，K.Nonlinear functional analysis[M].Berlin: Springer， 1985.。

一类高阶微分方程边值问题正解的存在性

２正解的存在性。关键词：轭边值问题；林函数；不动点定理共格锥
中图分类号：０４．１２１８
文献标识码：Ａ
Ｐｓｔｅｓｌｔｎｏｉｈｒｏｄｒｏｄｎｒｏｉｖｏｕｉｓｆｒｈｇｅｒｅｒｉａｙｉｏ
Ａｂｔａｔｑｎｘｓｅｃｆｐｓｔｖｏｕｉｎｏｉｈｒｏｄｒｏｉａｙｄｆｒｎａｏｎａｙｗｉａｕｒｂｓｒｃ：＇ｅｅｉｔｎｅｏｏｉｅｓｌｔｓｆｒｈｇｅｒｅｒｎｒｉｅｅｔｌｂｕｄｒｔｖｅｐｏ — ｉｏｄｉｈｌ
维普资讯
第２４卷第２期
２０年６月０７
河北工程大学学报（自然科学版）ＪｕａｏＨｂｉＵｉｒｔｏＥｌｅｒ唱（ａｒｌｃｎｅＥｉｏ）０ｒｌｆｅｅｎｎｅｉｆｖｓｙＩｅｉｌｌＩＮｔａＳｉｃｄｎｕｅｉｔ
ｆｒｎｉｕ￣＇ｗｔａｕｒｂｅｗｒｏｖｄｏｅｂｓｓｏｅｃｎｅｔｂｎｙｉｈｖｅｐｌｍｅｓｌｅｎｔａｉｆｔｏｅ一ｅａｏｌｌｏｅｈｈ
Ｋｅｏｄ：ｏｊｇｔｂｕｄｒｗｔｖｕｒｂｍ；ｒｎｆｃｏｓｔｅｃｎ —ｆｅｉｅｒｙｗｒｓｃｎａｏｎａｉａｅｐｏｌＧｅｔｎ；ｏｅ－ｘｄｐｎｔｏｅｕｅｙｈｌｅｅｕｉｎｈｉｏｔｈｍ
『【’ （）（）， “ｎ＋口ｔｆ “ ＝００＜ｔ＜１

常微分方程的基本概念

常微分方程的基本概念常微分方程是数学中最为重要的一个分支，它描述的是关于一个未知函数及其导数的方程。

有着广泛的应用，例如生物学、物理学、经济学等等领域。

本文将为大家详细讲解常微分方程的基本概念。

一、定义常微分方程是指一个未知函数对自变量的一阶或高阶导数以及自变量的关系式。

常见的一阶常微分方程一般形式是$y^\prime=f(x,y)$，其中$y^\prime$表示函数$y(x)$的一阶导数，$f(x,y)$表示方程右端的可导函数。

二、基本形式常微分方程的一般形式可以写成：$$F(x,y,y^\prime,\cdots,y^{(n)})=0$$其中$n$为方程的阶数。

方程的解是指满足上式的函数$y(x)$。

一般情况下，我们只考虑一阶和二阶的常微分方程。

三、初值问题对于一阶微分方程$y^\prime=f(x,y)$，如果已知$y(x_0)=y_0$，那么就得到了关于$x$的一个初值问题。

解这个问题就是找到一个函数$y(x)$，满足$y(x_0)=y_0$且满足微分方程$y^\prime=f(x,y)$。

四、解的存在唯一性定理常微分方程的解不一定存在，而且即使存在，也不一定唯一。

因此，我们需要一个定理来保证解的存在唯一性。

定理：设$f(x,y)$及其偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$在矩形$R=\{|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b\}$中连续，则在点$(x_0,y_0)$存在唯一的解$y=\varphi(x)$满足$\varphi(x_0)=y_0$。

解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基础，也是实际应用中判断解的存在性和唯一性的必要条件。

五、解的通解对于一阶微分方程$y^\prime=f(x,y)$，我们可以通过变量分离法、一次齐次方程法、常数变易法等方法得到它的解。

通解指满足微分方程$y^\prime=f(x,y)$的所有解的集合，常常表示为$y=\varphi(x,c)$，其中$c$是任意常数。

一类三阶两点边值问题解的存在性

一类三阶两点边值问题解的存在性【摘要】本文主要研究一类三阶两点边值问题解的存在性。

在引言部分中，介绍了研究背景、研究目的和研究意义。

在正文部分中，对问题进行描述，并进行了存在性分析。

相关定理得到证明，存在性进行了讨论，并进行了数值实验。

在总结了研究成果，展望未来研究方向，并对结论进行了阐述。

通过本文的研究可以更深入地了解一类三阶两点边值问题解的存在性情况，为相关领域的研究提供了重要参考。

【关键词】一类三阶两点边值问题，存在性，引言，问题描述，存在性分析，相关定理证明，存在性讨论，数值实验，结论，研究总结，展望未来，结论阐述。

1. 引言1.1 研究背景三阶两点边值问题是微分方程领域中的一个重要研究课题。

在实际应用中，许多物理现象和工程问题都可以用三阶两点边值问题来描述和解决。

而关于三阶两点边值问题解的存在性问题一直是学术界关注的焦点。

通过研究三阶两点边值问题的存在性，我们可以更好地理解这类问题的性质和特点，为实际问题的求解提供理论支持。

在过去的研究中，人们主要集中在二阶两点边值问题的存在性上，而对于三阶两点边值问题的研究相对较少。

深入探讨三阶两点边值问题解的存在性具有重要的理论和实际意义。

通过对已有研究成果的总结和分析，可以更好地了解该问题的研究现状和存在的问题，为未来的研究提供指导和启示。

本文将重点探讨一类特殊的三阶两点边值问题的存在性，从而对该领域的研究做出新的贡献。

1.2 研究目的研究目的是探究一类特定的三阶两点边值问题解的存在性，通过对问题进行深入分析和研究，我们旨在寻找问题的解集，并验证这些解的存在性。

通过研究这一问题，我们希望能够更深入地理解这类问题的性质和特点，为相关领域的研究提供新的思路和方法。

通过对该问题的研究，我们还可以进一步完善数学理论体系，加深对该类问题解的存在性的认识，为解决实际问题提供理论基础和指导。

研究的结果也有助于拓展我们的数学视野，提高解决复杂问题的能力和水平。

研究目的旨在揭示问题的本质和规律性，为进一步深入研究和应用提供基础和支持。

常微分方程的解的存在唯一性

常微分方程的解的存在唯一性常微分方程是数学中的一个重要分支，研究的是包含未知函数及其导数的方程。

在应用领域中，常微分方程可以描述许多自然现象和工程问题，因此对于解的存在唯一性的研究具有重要的意义。

首先，我们来定义常微分方程及其解。

常微分方程是含有一个或多个未知函数及其导数的方程。

一般形式的常微分方程可以表示为：\[F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0\]其中，$x$表示自变量，$y$表示未知函数，$y'$表示一阶导数，$y^{(n)}$表示$n$阶导数，$F$为给定函数。

常微分方程的解是满足上述方程的函数。

接下来，我们来讨论常微分方程解的存在性。

对于给定的常微分方程，如果存在一个函数能够满足方程，我们就称其为方程的解。

在解的存在性方面，常微分方程可以分为两类：初值问题和边值问题。

对于初值问题，我们需要给定一个初始条件，即未知函数在某一点的取值及其导数在该点的取值。

如果在给定的条件下，方程有解存在，并且该解在定义域上是唯一的，我们就称初值问题有唯一解。

假设我们考虑一个一阶常微分方程的初值问题：\[\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(x_0) = y_0\end{cases}\]其中，$x_0$为给定点，$y_0$为给定值，$f(x, y)$为定义在某个区域上的函数。

对于初值问题，我们可以使用柯西定理来判断解的存在唯一性。

柯西定理指出，如果$f(x, y)$在某个区域上满足连续性及局部利普希茨条件，则初值问题有唯一解。

除了初值问题，我们还可以考虑边值问题。

边值问题是指在给定的区间上，同时给定未知函数在区间两个端点处的取值。

对于边值问题，解的存在唯一性的判断条件则需要根据具体的方程形式和边界条件来确定，常用的方法包括分离变量法、特征值法等。

总结而言，常微分方程的解的存在唯一性取决于方程的类型以及给定的条件。

在实际应用中，我们通常通过数值方法来求解常微分方程，例如欧拉法、龙格-库塔法等。

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性

微分方程的边值问题．
本文主要讨论如下分数阶微分方程边值问题：
（）＋ｆ（ｔ， “ （￡））一０，０＜ｔ＜ｌ
（Ｏ）＝甜（１）一０，
（１）
（２）
其中ｔＥＥｏ，１］，ｆ：Ｅｏ，１］ ×Ｒ — Ｒ的连续函数，且１＜ａ ≤２．文［３］中，Ｊｉａｎｇ和Ｙｕａｎ用锥不动点理论研究该边值问题正确的存在性，而我们利用Ｂａｎａｃｈ压缩定理讨论（１），（２）解的唯一性，利用Ｂｒｏｕｗｅｒ定理讨论其解
ｒＪ广。１（１一ｓ）ｒｌ￡Ｉ “ ）一ｚ（ｓ）Ｉｄｓ＋Ｔｊｒ。（￡一ｓ）Ｉ（ｓ）一 “ ｚ（ｓ）Ｉｄｓ，
１，（， “ ｔ）一，（￡一“ ｚ）ｌ ≤Ｌｌ一“ 。１，如果
＜１，则边值问题（１），（２）有唯一解・
收稿日期：２０１２ — １２ — １１
作者简介：安存斌（１９７９一），男，山西山阴人，硕士，大同大学数计学院讲师．主要从事差分，微分方程解的存在性研究
的存在性．特别地，本文并不要求函数厂非负，扩大了＿厂的范围．
１主要结论
首先我们引入一个引理，此引理的证明在文献［－５３中可查到．
引理１如果边值问题（１），（２）的解存在，则问题（１），（２）的解由下式给出

微分方程与其解的存在唯一性

微分方程与其解的存在唯一性微分方程是数学中重要的概念，用来描述函数之间的关系和变化规律。

在实际问题中，常常会遇到需要求解微分方程的情况。

微分方程的解决方法主要有两种：一是通过采用解析法求解，即直接找到微分方程的解析表达式；二是通过数值法求解，即通过数值逼近的方式计算出微分方程的近似解。

然而，我们需要考虑的一个重要问题是微分方程是否存在解以及解的唯一性。

在某些情况下，微分方程是具有唯一解的，而在其他情况下，可能存在多个解或者不存在解。

这取决于微分方程的类型和给定的初始条件。

在解决微分方程存在唯一性问题时，我们通常会使用一些定理和方法。

以下是几种常用的方法和定理：1. 皮卡-林德勒夫定理：该定理是微分方程解的存在唯一性问题中的一个基本定理。

它说明，在满足一定条件下，一阶常微分方程的初值问题存在唯一解。

该定理在实际问题中有重要应用，尤其是在动力系统、生物学和控制论等领域。

2. 鲍尔-卡托内利定理：鲍尔-卡托内利定理也是关于微分方程解的存在唯一性的重要定理之一。

该定理说明了二阶线性常微分方程解的存在唯一性问题。

定理给出了初值和边值问题的解存在性和唯一性的条件。

3. 微分不等式法：这是一种常用的方法，用于证明微分方程解存在唯一性的问题。

通过构造和分析微分方程的函数性质和边界条件，可以得到解的存在性和唯一性的结论。

4. 分离变量法：分离变量法是一种常见的求解微分方程的方法，其基本思想是将含有未知函数的微分方程变换为一系列只含有一个变量的方程，从而简化求解过程。

通过对分离变量法的应用，可以得到微分方程解的存在性和唯一性的结论。

综上所述，微分方程的解存在唯一性是一个重要的数学问题。

通过运用定理和方法，我们可以确定微分方程的解的存在性和唯一性，从而解决实际问题中的数学模型。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择适用的方法和定理，以得到正确的解析表达式或数值逼近解。

这对于解决复杂的实际问题具有重要的意义。

常微分方程知识点

常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支，是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。

常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，在实际问题中具有广泛的应用。

下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。

1.基本概念：常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。

常微分方程可以分为初值问题和边值问题。

初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数，要求求解函数在整个定义域上的表达式；边值问题是给定了函数在两个点的值，要求求解函数在这两个点之间的表达式。

2.解的存在唯一性：对于一阶常微分方程的初值问题，如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件，那么方程存在唯一解。

其中利普希茨条件是指有一个正数L，使得对于任意t和s，满足，f(t)-f(s)，≤L，t-s。

3.一阶常微分方程：一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。

一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y)，其中f(t, y)是已知函数。

一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。

4.高阶常微分方程：高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。

高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1)，其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。

高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。

5.变量分离方法：当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时，可以使用变量分离方法求解。

将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt，然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt，从而求得y的表达式。

6.线性方程方法：当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时，可以使用线性方程方法求解。

banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性

banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性首先，关于常微分方程周期边值问题，需要先介绍它的定义、性质、以及各种参数。

在介绍它的定义之前，我们需要先介绍Banach 空间，这是一种非常抽象的数学概念，它会限定函数在各种极限中的行为。

Banach空间定义：给定一个复数数域X，X的子集M的定义为线性空间，如果：1.M是完全的，这意味着对于任意元素x∈M，如果(xn)是序列，且xn→x，则x∈M；2.M上有一个范数，即一个M[0,∞）函数，使得M上有正定义的欧式距离，且它具有三角不等式；3.如果x∈M，则存在常数c>0，使得它的范数最小；4.M上定义有完备的封闭性。

因此，Banach空间定义为M上满足以上条件的空间。

定义常微分方程周期边值问题：给定一个常微分方程组：y(t)=f(t,y), (t∈[0,T])给定一(T轴上的固定点)t1,...,tN, 以及一组边值y(t1)=y1, y(t2)=y2,..., y(tN)=yN对于对于Banach空间中的M，我们可以定义常微分方程周期边值问题，它的定义为：找出使得y(t)=f(t,y)， y(t1)=y1, y(t2)=y2,..., y(tN)=yN成立的函数y，使y∈M。

对于常微分方程周期边值问题，它具有一些重要的性质，分别是： 1.边值问题具有解的唯一性，即对于边值问题，只有一解满足所有条件，不存在其他解。

2.边值问题具有连续性，即对于边值问题，在给定边值时，只有一解与给定边值相连，并且解是连续的。

3.边值问题具有可导性，即对于边值问题，可以使用微分方法来求解，可以求出方程的导数，并使用导数来分析问题的变化规律。

在介绍完常微分方程周期边值问题以及Banach空间的定义以及性质之后，本文将讨论《Banach空间中高阶常微分方程周期边值问题的解的存在性》，即对于在Banach空间中的高阶常微分方程周期边值问题，存在什么样的条件可以保证它的解的存在性。

几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性

几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性引言在物理学和应用数学领域中，Langevin方程是描述随机过程的一种常用模型。

经典的Langevin方程是一阶常微分方程，其中随机项是用高斯白噪声描述的。

然而，在实际应用中，一些随机过程无法仅用高斯白噪声来描述，而需要引入分数阶导数来描述其随机性质。

因此，研究分数阶Langevin方程及其边值问题的存在性成为一个重要的课题。

本文将重点探讨几类分数阶Langevin方程边值问题解的存在性。

首先，我们将介绍分数阶导数的定义及其性质，然后给出分数阶Langevin方程的基本形式。

接下来，我们将讨论三类常见的分数阶Langevin方程边值问题，并证明它们存在解的充分条件。

一、分数阶导数的定义及性质分数阶导数是一种将微分运算推广到分数阶的概念。

它的定义可以通过分式阶的变换来实现。

对于任意实数α，α阶导数定义如下：D^αy(t) = \frac{1}{\Gamma(1-α)} \int_0^t\frac{y'(s)}{(t-s)^α}ds其中，Γ(·)表示伽马函数，y(t)是一个连续函数。

分数阶导数具有很多特殊的性质。

例如，当α为整数时，分数阶导数退化为经典的整数阶导数。

此外，分数阶导数还满足迭代性、幂规律、区间性等性质，这些性质在后续的证明中将起到关键作用。

二、分数阶Langevin方程的基本形式分数阶Langevin方程描述了具有分数阶导数的随机过程。

其一般形式如下：D^αy(t) = Ay(t) + f(t)这里，A是一个线性算子，f(t)是一个给定的随机项。

三、分数阶Langevin方程边值问题的存在性考虑以下三类常见的分数阶Langevin方程边值问题。

1. 类型一：无冻结现象边值问题考虑以下分数阶Langevin方程边值问题：D^αy(t) = Ay(t) + f(t)，y(0) = y(T) = 0其中，A是一个常数，f(t)是满足一定条件的随机项。