2.1.4两条直线的交点
2020-2021学年数学2课时分层作业2.1.4 两条直线的交点含解析
2020-2021学年北师大版数学必修2课时分层作业：2.1.4 两条直线的交点含解析课时分层作业（十七）两条直线的交点(建议用时：40分钟)一、选择题1．A＝{（x，y）｜x＋y－4＝0},B＝｛(x，y）｜2x－y－5＝0｝,则集合A∩B等于()A．{1,3｝B．{（1,3)｝C．{(3，1)}D．∅C［由｛x＋y－4＝0，2x－y－5＝0得错误!故A∩B＝{(3,1)}．] 2．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．相交D．不确定C[∵k1＝错误!，k2＝－错误!，∴k1≠k2，∴两直线相交．］3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线（)A．恒过定点（－2,3)B．恒过定点（2，3）C．恒过点（－2，3）和点（2,3)D．都是平行直线A[(a－1)x－y＋2a＋1＝0化为ax－x－y＋2a＋1＝0，因此－x－y＋1＋a(x＋2）＝0.由错误!得错误!故选A。
］4．直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为（)A．（1，－4）B．(0，－2)C．（－1,0) D。
错误!C［由两条直线互相垂直得，（－2)·错误!＝－1，a＝－2，解方程组错误!得错误!所以两直线的交点为(－1，0)．]5．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是(）A。
错误!B．(0,2）C.错误!D。
错误!A[联立错误!得错误!所以错误!所以－错误!<m<2。
］二、填空题6．已知l1过P1(0，－1）,P2（2，0)，l2:x＋y－1＝0,则l1与l2的交点坐标为________．错误
2.1.4 两条直线的交点1．掌握两直线交点的求法；2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系．教材分析及教材内容的定位：本节内容研究相交情形下两直线交点的求解，以及用方程组的解，判定两条直线的位置关系，充分体现数形结合思想，内容比较基础，但所体现的思想比较重要．教学重点：判定两条直线是否相交，求交点坐标．教学难点：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：如何判定两条直线的平行或垂直？2．情境问题：直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？——垂直——垂足的坐标能否求出？如何求？二、学生活动1．思考并回答：（1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？（2）已知l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)（3）由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？（4）请试着总结求两条直线交点的一般方法.2．总结归纳：求两条直线的交点就是求解联立的方程组；3．讨论总结：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系（若有一组，则两条直线相交；若无解，则两条直线平行；若有无数多组，则两条直线重合）．也可以直接通过两条直线的斜率来判断位置关系：若斜率不等，则两条直线相交，若斜率相等，且直线不重合，则两条直线平行讨论如何判断两条直线的关系；三、建构数学1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解；2．指导讨论总结两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系；3．归纳总结解题过程中的运用的思想方法（数形结合）．四、数学运用1．例题．例1 分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，判断它们的位置关系．如相交，求出它们的交点：（1）l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；（2）l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3例2 已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围．例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．例4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20．当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？2．练习．（1）经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________（2）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．（3）求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．（4）在例4中，若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．两直线交点的求法；2．二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系；3．交点系方程的应用；4．数形结合思想的应用．。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.4两条直线的交点课件 苏教版必修2
2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 ． 方程组 的解 无解 有惟 一解 交点 无 两直线____交点 直线____交点 两条直线 两条直线 有一个 交点 _________交点 两直线位 置关系 平行 相交 重合 方程系 方程系 数特征 A1B2＝A2B1 B1C2≠B2C1 A1B2≠A2B1 A1B2＝A2B1 B2C1＝B1C2
12－12k － x＝ ＝ ， 4k＋1 ＋ 得 7k－2 － ＝ y＝4k＋1. ＋
6分
又两条直线的交点在第一象限， 又两条直线的交点在第一象限，
12－12k － x＝ ＝ ＞0， ， 4k＋1 ＋ 所以 7k－2 － ＝ ， y＝4k＋1＞0， ＋
2 解得 ＜k＜1.12 分 ＜ 7
法二： ∵ 法二： 直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y － － ＝ ＋ ＋2＝0 的交点， ＝ 的交点， 的方程为： － － ＋ ＋ ＋ ∴可设直线 l 的方程为：2x－3y－3＋λ(x＋y＋ 2)＝0， ＝ ， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ＋ ＋ － ＋ － ＝ ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ＋ － ＝ 平行， λ＋2 λ－3 2λ－3 ＋ － － 11 ∴ ＝ ≠ ，解得 λ＝ . ＝ 1 2 3 －1 从而所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0. ＋ ＋ ＝
法二：设直线 的方程为 的方程为x－ ＋ ＋ ＋ － ＝ 法二：设直线l的方程为 －2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， ＋ ＋ － ＋ － ＝ ， 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ⊥ × ＋ ＋－ － ＝ ， 解得λ＝ ， 解得 ＝11， 的方程为4x＋ － ＝ ∴直线l的方程为 ＋3y－6＝0. 直线 的方程为 名师点评】 【名师点评】 直线系是直线和方程的理论发展, 直线系是直线和方程的理论发展 是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧， 是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧 ， 应注意掌握和应用． 应注意掌握和应用．
两条直线的交点坐标
03
直线交点坐标的应用
平面几何中的交点坐标
确定图形形状
在平面几何中，两条直线的交点可以用于确定四边形的形状，例如，两条对角线 相等且交点在中心点的四边形是矩形。
求解角度
根据两条直线的交点可以求出角的大小，例如，两条直线的夹角大小等于两个直 线，建立方程求解交点坐标。
02
两条直线交点的计算
直线交点坐标的求解公式
• 求解直线交点坐标的基本方法是使用联立方程组，将两条直线的方程联立起来，求解得到交点的坐标。 • 具体公式如下：对于两条直线 $y = k_1x+b_1$ 和 $y = k_2x+b_2$，其交点坐标为 $(x,y)$，满足以下方
程组 • $$ • \begin{cases} y=k_1 x + b_1 \ • y=k_2 x + b_2 \end{cases} • $$ • 解得 • $$x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}, y = k_1 \cdot \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2} + b_1$$
3
最后，通过运行程序代码，得到两条直线的交 点坐标。
05
直线交点坐标的扩展
求解多条直线的交点坐标
01
多重交点
当多条直线相互之间有多个交点时，需要使用更复杂的算法求解。
02
迭代法
迭代法是一种常用的求解多条直线交点坐标的方法，通过不断逼近的
方式逐步求出交点。
03
数值稳定性
在求解多条直线交点坐标时，需要注意数值稳定性，避免计算机浮点
直线方程的表述
直角坐标系中直线方程
Ax + By + C = 0（A、B不全为0）
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章 解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n 项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2----------------------------------- 第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
两条直线的交点
注意上面得到的等式 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0 (2) 当 A1B2 －A2B1 = 0， B1C2 －B2C1 ≠ 0时，
方程组无解，直线 l1 和 l2 没有交点，也就是说，直线 l1∥l2 .
(3) 当 A1B2－A2B1= 0 , B1C2－B2C1= 0 时，方 程有无数组解，这两条直线重合.
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• •
（三）小结：
设两条直线的方程为 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 .
A1 B1 (1) 当 A1 B2 A2 B1 0 ， 即 ( x , y系 A2 B2 数不 成比例） ， 也就是 k1 k 2时， 两条直线相交.
3. 两条直线的交点
•
（一）两条直线的交点与方程组的解的关系
设两条直线的方程为 l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 . 如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这 两个方程的唯一的公共解；反过来，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为 坐标的点一定是这两条直线的交点.
方程组无解 方程组有无数组解
（二）对方程组解的讨论
我们解方程组 A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 (1) (2)
• • •
解：(1)×B2 得 A1B2 x + B1B2 y + B2C1 = 0， (2)×B1 得 A2B1 x + B1B2 y + B1C2 = 0 (3)－(4) 得 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0．
两条直线相交的充要条件
两条直线相交的充要条件1. 引言大家好，今天咱们聊聊数学中的一个小话题——两条直线相交的充要条件。
别急，听起来好像很复杂，其实就像喝茶一样，慢慢品味就能发现其中的乐趣。
直线就像是生活中的朋友，时不时需要相聚一下，而相交的条件就好比是两人聚会的原因，懂了吗？所以，咱们从头开始，慢慢聊。
2. 直线的基本知识2.1 什么是直线？首先，咱们得知道，直线是什么。
想象一下，直线就像你从家到超市的路，笔直得不行，根本不绕弯儿。
它在平面上延伸，永不停歇，像是永远不会累的跑者。
数学上，直线用一个方程来表示，比如说 (y = mx + b)，其中 (m) 是斜率，(b) 是截距。
听起来是不是有点专业？别担心，咱们不深挖这些，让我们专注于它们是如何相交的。
2.2 直线的相交说到直线相交，首先得明确一个小知识点：两条直线如果相交，咱们就能画出一个交点，嘿，就是那种感觉“有缘千里来相会”的浪漫。
相交的直线可以是同一条线——这就是所谓的重合，也可以是两条不同的直线。
好吧，这里不废话，重点是它们能否相交，得看它们的斜率。
3. 充要条件的理解3.1 斜率的作用现在，咱们来聊聊斜率。
简单来说，斜率就是直线的倾斜程度。
就像你爬山，越陡的地方越累。
两条直线如果有相同的斜率，但不同的截距，那它们就像是两条永远不交的平行线。
就像两个同学，一个在A班，一个在B班，虽然都是好朋友，却永远不在同一个课堂上。
这种情况咱们就说它们“不相交”。
所以，斜率可是个大关键，懂了吗？3.2 直线相交的条件那么，直线相交的条件是什么呢？简单来说，就是两条直线的斜率必须不同。
你可以想象成，两条直线就像两个人在一场舞会上，想要共舞，就得找到一个契合的节拍。
如果它们的节拍相同，嘿，那就不容易相遇了。
但如果不同，嘿嘿，那可就热闹了。
这就是充要条件，直线相交的必要条件也是充分条件，简单粗暴明了！。
4. 总结好了，咱们总结一下。
直线相交其实并不复杂，关键就是看它们的斜率。
高一数学必修二2.1-4两条直线的焦点
高一数学必修二2.1.4 两条直线的交点学习目标1. 会求两直线的交点；2. 理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.学习过程一 学生活动问题： 两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：是否有交点？若有交点如何来求解？ 二 建构知识设两条直线的方程分别是0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：：方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A一组 无数组 无解 直线211,l 的公共点个数 直线211,l 的位置关系三 知识运用 例题直线l 经过原点，且经过另两条直线010832=--=++y x y x ，的交点，求直线l 的方程．（1）已知直线l 经过两条直线020332=++=--y x y x ，的交点，且与直线013=-+y x 平行，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过两条直线024301022=-+ =+-y x y x ，的交点，且垂直于直线0423=+-y x ，求直线l 的方程．例1 例2例3 某商品的市场需求量1y （万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：701+-=x y ，2022-=x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？巩固练习1．与直线032=--y x 相交的直线的方程是（ ） A ．0624=--y x B ．x y 2= C ．52+=x y D ．32+-=x y 2．若三条直线010832=--=++y x y x ，和021=+++k ky x 相交于一点， 则k 的值为_______________． 3．（1）两条直线0=-y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 平行的直线 方程为_______________．（2）过直线042=+-y x 与直线05=++y x 的交点，且与直线02=-y x 垂直的 直线方程是_______________．4．已知直线1l 的方程为03=++C y Ax ，直线2l 的方程为0432=+-y x ，若1l ，2l 的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．4± D ．与A 有关 四 回顾小结会求两直线的交点，以及两直线方程联立方程组的解的个数与直线位置关系的联系 五 学习评价 双基训练1.直线1:2312l x y +=与2:240l x y --=的交点坐标为2.如果两条直线230x y m +-=和120x my -+=的交点在y 轴上，则m 的值为3.若三条直线2380,10,0x y x y x ky ++=--=+=相交于一点，则实数k 的值等于14.若直线l 经过两条直线210,2390x y x y -+=++=的交点，且与直线3420x y +-=垂直，则直线l 的方程为5.直线420ax y +-=与直线250x y c -+=垂直并且相交于点（1，m ），则a = ，c = ，m =6.若直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为 .7.已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕P 点逆时针方向旋转角(0)2παα<<所得直线的1l 的方程为3x-y-4=0.若继续绕P 点逆时针旋转2πα-，则得直线2l 的方程为210x y ++=.求直线l 的方程.拓展延伸8.若三条直线440,10,10x y mx y x y ++=++=-+=不能围成三角形，求实数m 的值.9.(1)当λ变化时，方程21(239)0x y x y λ-++++=表示什么图形？图形有何特点？ （2）求经过直线210x y -+=和2390x y ++=的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.2.1.4 两条直线的交点1.36477⎛⎫⎪⎝⎭，；2.6或-6；3.12-；4.4390x y -+=；5.10，-12，-2；61162k -<<；7.230x y --=;8.m=4，或m=-1，或m=1；9.（1）表示经过210x y -+=和2390x y ++=的交点（-3,-1）的直线（不包括直线2390x y ++=）；（2）30,40x y x y -=++=。
8-(教学案)2.1.4两条直线的交点
2.1.4两条直线的交点
编号
8
学习目标
1、会求两直线的交点
2、理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有唯一解、有无数个解）的对应关系
教学重点、难点
教学重点两条直线交点的求法
教学难点两条直线所对应的二元一次方程组的解的个数与它们的公点个数的关系
（1）如果直线 的方程联立方程组有唯一解，那么
（2）如果直线 的方程联立方程组有无穷多解，那么
（3）如果直线 的方程联立方程组无解，那么
典例探究
例1、分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点。
（1）
（2）
（3）
例2：求经过原点，且经过两条直线
交点的直线.
变：求经过两条直线 交点,且与直线 垂直的直线.
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）.
变式练习：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
思想方法总结
教学方法
学习要点及自主学习导引
ห้องสมุดไป่ตู้学习心得
1、掌握求两条直线交点的方法.
（1）当两条直线相交时，其交点的坐标是两个方程的公共解；
（2）以两直线的方程联立方程组的解为坐标的点就是两直线的交点.
2、理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系
课堂练习
1、直线 经过两条直线 的交点，且与直线 平行，求直线 的方程。
两条直线的交点-PPT课件
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
当方程组无解时，说明l1与l2 平行 ．
[小问题·大思维]
1．已知平面上A、B、C三点的坐标，能否用解方程
组的办法来解决三点是否共线的问题？
提示：能．联立直线AB、BC的方程，若方程组有 唯一解，则A、B、C三点不共线；若方程组有无 数个解，则A、B、C三点共线．
2．如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数？ 提示：法一：列出方程组，看有几组解，有几组解就 有几个交点．当方程组易解时此法才有效． 法二：当列出的方程组不易解时，可分别画出图像，
2x＋3y－7＝0， (1)解方程组 5x－y－9＝0，
x＝2， 得 y＝1.
所以交点坐标为(2,1)，所以 l1 与 l2 相交．
2x－3y＋5＝0， (2)解方程组 4x－6y＋10＝0，
① ②
①× 得 4x－6y＋10＝0. 2 因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线， l1 与 l2 重合．
m－5都恒过一个定点．
证明：法一：取 m＝1，直线为 y＝－4； 1 再取 m＝ ， 直线为 x＝9. 2 两直线的交点为 P(9，－4)． 将点 P 的坐标代入原方程左端得 (m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)× 9－(2m－1)× 4＝m－5. 故不论 m 为何实数，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x ＋(2m－1)y＝m－5 上，即此直线过定点(9，－4)．
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组 解，所以两直线重合． 2x－6y＝0， (3)解方程组 1 1 y＝3x＋2， ②× 6－①得3＝0，矛盾， 方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行. ① ②
[研一题] [例2] 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
o
(3)
直线L1,L2
唯一解
解方程组 无穷多解
L1,L2相交
L1,L2重合
L1,L2平行
无解
问题二：如何根据两直线的方程系 数之间的关系来判定两直线的位置 关系？
观察刚刚解过的三组方程对应系数比的特点：
3x+2y-7=0 2x-3y+4=0 3x+2y-6=0 6x+4y-15=0 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0
在同一坐标系中分别作出下列各组的直线： 并观察它们的位置关系 ⑴3x+2y－7＝0和2x－3y+4＝0 ⑵3x+2y－6＝0和6x+4y－15＝0 ⑶3x－2y－7＝0和6x－4y－14＝0
y
2x-3y+4=0
y 6x+4y-15=0
o
o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0
x
(1)
y
(2) 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x
M
O X
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程；L1：x－2y+2=0，L2：2=0 y=2 2x－y－2=0 ∴L1与L2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
y= x
练习
1 1 2 2
L1,L2重合
1 2
A B C A B C
L1,L2平行
练习1：判定下列各组直线的 位置关系。
(1) 重合 L1: 7x+2y-1=0 L2: 14x+4y-2=0 L ( 3 2)x y 7 ( x ( 3 2 ) y 6 0 平行 2 L 1:
2.1.4 两条直线的交点
A1 = A2 A1 = A2
B1 C1 B2 C2 B1 C1 = B2 C2
相交 K1≠K2
A1 B ¹ 1 A2 B2
垂直 K1k2=-1
A1 A2 + B1 B2 = 0
我们知道， 我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次 方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦 方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 成立． 成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成 的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？ 的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？
所以， l1 与 l2 的交点是 ( 所以，
- 1 2+ k 3+ k (k ? 2+ k
2)
- 1 3+ k , ) 2+ k 2+ k
又因为 l1 , l2 , l3 交于一点，即 交点坐标满足直线 l3 的方程， 交于一点， 的方程，
- 1 3+ k - (k + 1) - 5= 0 2+ k 2+ k
判断两条直线的位置关系有以下结论： 判断两条直线的位置关系有以下结论：
L1:y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 均存在） （k1,k2均存在） 平行 K1=K2且b1≠b2 L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0 ≠0） （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0）
重合 K1=K2且b1=b2
l
2
:- x + 2y + 2 = 0
解:
ì x + 2y + 1= 0 ï 解方程组 ï í ï- x+ 2y+ 2 = 0 ï î
高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
① ②
可知，方程②能化为方程①，所以此方程组有无数多个解，
所以这两条直线重合．
(4)l2 的方程即 x－3y＋6＝0，
2x－6y＋1＝0 解方程组x－3y＋6＝0 ，可知方程组无解，
所以这两条直线平行．
1 1．k 为何值时，直线 y＝x＋3k－2 与直线 y＝－4x＋1 的交点在第一象限．
[强化拓展] 方程组Байду номын сангаас解的组数与两直线的位置关系如下表：
A1x＋B1y＋C1＝0， 方程组A2x＋B2y＋C2＝0
的解
一组
无数组
无解
直线 l1 和 l2 的公共点个数
一个 无数个 零个
直线 l1 和 l2 的位置关系
相交 重合 平行
[自主练习]
1．直线 3x＋5y－1＝0 与 4x＋3y－5＝0 的交点是( )
2 ，解得－3＜k＜1.
求过两直线交点的直线方程
求经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2＝0 的交点且过坐 标原点的直线 l 的方程．
[思路探究] 思路一： 解方程组 ―→ 得交点 ―→ 求斜率 ―→ 写方程 ―→ 化成一般式
思路二： 设过交点直线方程 ―→ 代入原点坐标 ―→ 求得λ的值 ―→ 把λ的值代入所设方程化简
(1)若点 P(x0，y0)是 l1 与 l2 的交点，则__A__2x_0_＋__B_2_y_0＋__C__2＝__0_____.
A1x＋B1y＋C1＝0
x＝x0
(2)若两直线方程组成的方程组A2x＋B2y＋C2＝0 有唯一解y＝y0 ，则两条直
线 __相__交___ ， 交 点 坐 标 为 _(_x_0_，__y0_)__ ． 因 此 ， 求 两 条 直 线 的 交 点 ， 就 是 求 ____两__个__直__线__方__程__的__公__共__解_______．
2.1.4两条直线的交点
例2
直线 l 经过原点 且经过另两条直线 ,
2 x 3 y 8 0, x y 1 0 的交点 求直线 , l 的方程.
例3
某商品的市场需求量y1 万件 、市场
供应量 y2 万件 与市场价格 x元 / 件 分别 近似地满足下列关系 :
y1 x 70, y2 2 x 20.
已知直线l1 : A1 x B1 y C1 0 和直线 l2 : A2 x B2 y C2 0相交, 那 么方程 A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0 为任意实数 表示的直线 有什么特点 ?
分层训练
• 必做题 • 选做题 • 作业 P87 练习 3 4 P87 习题6 P87 习题 4 8
为 x
际每 .依 题意
市场供应量
y2 y1
市场需求量
x t 元
70 10
x
得方程组
x 70 44 , 2 x t 20 44 ,
平衡价格
图 2 1 16
解得 x 26 , t 6 . 因此 , 政府对每件商品应给予 6 元的补贴 .
问题探究
当 y1 y2 时, 的市场价格称为平衡价 , 此时 格 的需求量称为平衡需求 , 量
1求平衡价格和平衡需求 ; 量 2若要使平衡需求量增加 万件, 政府对每 4
件商品应给予多少元补 ? 贴
y
70
平 衡 需 求 10 量 o
市场供应量
y2 y1
市场需求量
70 10
x
平衡价格
解
1 解方程组
的解
一组
一个 相交
无数组
两条直线三条直线四条直线相交交点个数规律
两条直线三条直线四条直线相交交点个数规律1. 引言1.1 概述本文将探讨关于两条直线、三条直线和四条直线相交时的交点个数规律。
在几何学中，我们经常会遇到不同数量直线相交的情况，了解并掌握它们之间的规律对于解决各种几何问题具有重要意义。
通过研究这些规律，我们能够更好地理解和运用几何学知识，并且在实际问题中应用它们。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、两条直线相交的情况、三条直线相交的情况、四条直线相交的情况以及结论与总结。
在每个部分中，我们将详细阐述不同数量直线相交时的特点和规律，并通过实例分析来帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1.3 目的本文旨在介绍不同数量直线相交时所形成的交点个数规律，并通过实例分析展示其应用价值。
通过深入研究这些规律，读者将能够从多个角度思考并解决涉及多条直线相交问题时可能遇到的挑战，并且为进一步研究和应用几何学提供启示。
以上是文章“1. 引言”部分的详细内容。
2. 两条直线相交的情况2.1 两条直线相交的示意图在平面上，两条直线可以有三种不同的相交关系：互相垂直、互相平行或者互相交叉。
首先，我们来分析两条直线互相垂直的情况。
当两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。
假设其中一条直线的斜率为k1，那么另一条直线的斜率为-1/k1。
由于两个不等式之间只有一个解，所以这种情况下，两条直线只有一个交点。
其次，让我们考虑两条直线平行的情况。
当两条直线平行时，它们具有相同的斜率但截距不同。
由于平行直线没有交点，所以在这种情况下交点个数为零。
最后，让我们研究两条非垂直且非平行的直线相交的情况。
假设其中一条直线的方程为y = k1x + b1，另一条直线的方程为y = k2x + b2。
我们可以通过求解这两个方程组来确定它们是否有公共解（即交点）。
通过将这两个方程中x和y 变量进行等式化，并整理得到一个一元二次方程。
这个一元二次方程的解的个数将决定两条直线相交的交点个数。
2.2 两条直线相交的交点个数规律根据二次方程解的定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a、b和c是实数）有以下三种情况：- 当判别式D=b^2-4ac大于零时，方程有两个不同实数解，即直线相交于两个点。
初中数学知识归纳相交线与相交线的特性
初中数学知识归纳相交线与相交线的特性相交线在初中数学中是一个重要的概念，它涉及到几何图形的相交关系以及相应的特性。
在本文中，我们将对相交线以及相交线的一些重要特性进行归纳和总结。
接下来，我们将从理论和实际问题两个方面来深入探讨。
1. 相交线的定义和性质相交线是指在平面上两条线段或直线遇到时所形成的交点线段或交点直线。
相交线有以下几个重要的性质：1.1 交点存在性：两条不平行的线段或直线必定相交，即它们至少有一个交点。
1.2 交点唯一性：两条线段或直线如果相交，它们的交点是唯一的，也就是说，两个不同的线段或直线最多只能有一个公共交点。
1.3 线段交点：如果两条线段相交，且交点处于两条线段之间，那么交点所形成的线段称为线段的交点。
1.4 直线交点：如果两条直线相交，交点可以看作是两条直线的公共点。
2. 相交线的分类相交线可以根据相交形状的不同进行分类。
以下是几种常见的相交线分类：2.1 垂直交线：两条直线相交成直角时，称其为垂直交线。
垂直交线是直角的基础，产生了很多直角相关的定理和公式。
2.2 平行交线：两条直线平行时，它们没有公共交点，称这两条直线为平行交线。
平行交线也有很多相关的特性和定理。
2.3 倾斜交线：两条直线既不垂直也不平行时，它们称为倾斜交线。
倾斜交线的特性要通过其夹角以及斜率来分析。
3. 相交线的应用相交线及其特性在解决实际问题中起到了重要的作用。
以下是几个常见的应用场景：3.1 几何图形的判定：通过相交线的特性，我们可以判定两个几何图形是否相交。
这在解决几何题目和证明问题时非常有用。
3.2 角的关系：相交线所形成的角具有一些重要的关系，如相对角、内错角、同旁内角等。
通过角的关系，我们可以推导出许多重要的几何定理。
3.3 坐标系的运用：在坐标系中，相交线的特性可以通过斜率和截距来求解。
这对于线性方程的解和图形的绘制非常重要。
4. 相交线的延伸与相交线相关的概念还有很多，比如垂线、平分线、对称轴等。
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点 A在直线 l上 Aa Bb C 0
直线 l1与直线 l2的交点 A
点A(a, b)的坐标满足方程组
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
判断下列各对直线的位置关系; 如果相交,求出交点的坐标. 如何通过两直线方程
(1) l1 : x y 0,
1,3,5
阅读 P121 <<笛卡儿与解析几何>>
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0 如何不解方程组，通过研究直线方程的系数间 的关系，直接判断这两条直线的位置关系？
判断下列各直线的位置关系, 如果相交,求出交点坐标: (1) l1 : 2 x 3 y 7, l2 : 4 x 2 y 1.
1 ）是直线l1 : Ax 4 y 2 0与 (1) 若点（2， 直线l2 : 2 x By 2 0的交点，则A B
7
与2 x y 10 0相交于一点，则实数a＝ 1
(3) 若直线l1 : Ax 6 y 9 0与l2 : 2 x 3 y 15 0
可插入几何画板演示
已知直线l 过两直线l1 : 3x 4 y 2 0, l2 : 2 x yห้องสมุดไป่ตู้ 2 0 的交点，分别求满足条件的直线l 的方程.
（1） 直线l过点N (5, 7)； （2） 直线l过点N (6, 4)； （3） 直线l过点N (2, 6)； （4） 直线l与直线14x 12 y 21 0平行.
l2 : 2 x y 2 0.
.
当实数变化时，方程3x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示何图形? 该方程表示的图形有何特点？
可整理为关于x, y的二元一次方程 (3 2 ) x (4 ) y (2 2) 0
对于每一个确定的值，对应方程 表示的图形都是一条直线.
.
(2,3)
l2 : 3x 2 y 12 0.
0
2
4
x
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0 相交，如何求这两条直线交点的坐标？
几何元素及关系
代数表示
点 A
直线 l
A(a, b)
l : Ax By C 0
直角坐标系使几何研究又一次腾飞， 几何从此跨入了一个新的时代，让我们给 直线插上方程的“翅膀”吧！
画出下列两直线的图形,并求交点坐标: (1) l1 : 2 x 3 y 12 0,
y
l2
36 4 4 ( , ) : x 2 y 4 0. 7 7
0 -2 y 6
4
6
x
(2) l1 : x 2,
过定点的直线系方程的理解与应用
3.基本思想：
坐标法思想 、数形结合思想
直角坐标系是把方程和直线联系起来的桥梁， 这是笛卡儿的伟大贡献。戴上笛卡儿为我们特 制的“眼镜”（即用解析几何的眼光）观看， 一个二元一次方程就是平面直角坐标系上的一 条确定的直线。
几何
坐 标 法
代数
课后作业
教科书习题A组. P120
l2 : 3x 3 y 10 0
的系数关系,来判断两 直线重合、平行呢？
(2)
(3)
l1 : 3x y 4 0, l2 : 6 x 2 y 1 0
l1 :3x 4 y 5 0, l2 : 6x 8 y 10 0
.
求下列两直线交点坐标:
l1 : 3x 4 y 2 0,
x 2 (2) l1 : 2 x 6 y 4 0, l2 : y . 3 3
(3) l1 : ( 2 1) x y 3, l2 : x ( 2 1) y 2.
.
课 两 题 条
直 线 的 交 点 坐 标
浙江黄岩中学
E-mail: zhaoguofan@
赵国藩
在平面几何中,我们只能对直线作定性的研究. 引入平面直角坐标系后,我们用方程表示直线,直线
的方程就是直线上每一点的坐标满足的一个关系式,
即一个二元一次方程.这样,我们可以通过方程把握 直线上的点,用代数方法研究直线上的点,对直线进 行定量研究.
平行，则A
都过定点
(2) 三条直线 ax 2 y 8 0, 4 x 3 y 10 0
4
(4) 不论取何实数，直线(2 1) x ( 3) y ( 4) 0
(1, 1)
1.基础知识:
通过解方程组确定两直线交点坐标
2.基本技能:
通过求交点坐标判断两直线的位置关系