矩阵论证明

奇异值分解 对

*m n r

C

A ∀∈，∃m 阶酉阵U 及n 阶酉阵V ，使H

A UDV

=

,**00

0r r

m n

D ⎡⎤

=⎢

⎥⎢⎥⎣⎦∑，1

*r r r δδ⎡⎤

⎢⎥=⎢

⎥

⎢⎥⎣

⎦

∑，其中1δ……r δ为A 的正奇异值

证：

(A A)H H H A A =,∴H A A 为正规阵，∴∃n 阶酉阵V 使得2

*000H H r r

V A AV ⎡

⎤

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑ ∴[][]2

*121

2000H r r

A A V V V V ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ ∴21120H H A AV V A AV ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑ ∴211220

H H H H

V A AV V A AV ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑ ∴1111*22()()0H r r H

AV AV I AV AV --⎧∑∑=⎨=⎩ 令1

11U AV -=∑ 则11*20

H r r

U U I AV ⎧=⎨=⎩ ∴1U 的r 个列标准正交，将其扩充为m

I 的一个标准正交基，记添加向量为1r U +……r m U +

令21()r r m U U U ++⋯⋯=，令12(,)U U U =,那么有

[][]11111121

2121222000H H H H H H H H H U U U U U U AV A V V AV AV U U U

U U U ⎡⎤⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎡⎤====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣

⎦⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

⎣⎦

∑∑∑

U 是酉阵，∴()*112(n r)*(n r)20

H r r H H I U U U U U I U --⎡⎤⎛⎫

== ⎪⎢

⎥⎝⎭⎣⎦

，∴11*H r r U U I = 210H

U U = ∴*00

0H r r

U AV D ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑

,即H

A UDV = 证毕

满秩分解 对

*m n r

C

A ∀∈，A 均有形如A=FG 的满秩分解，其中

*r m r

F C

∈，

r*n r

G C

∈

证： 由线性代数知识可知，A 可以通过初等变换为形如**00

0r r m n

I ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，∴∃m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得

()()(1)***(1)

(2)

(1)

(2)**(m r)***(2)*(n r)***000

00r n r r

r r m r m r r

m r r n r n n m n m r Q I I A P Q P P I P Q FG Q --⎧⎫⎛⎫⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪⎢

⎥ ⎪

⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩

⎭⎝⎭⎩

⎭

证毕

正规矩阵分解 设*n n

A C

∈，则A 为正规矩阵⇔A 酉相似于对角阵

证： ①若A 为正规阵，假设1ξ……n ξ为A 的n 个相互正交的单位特征向量，1λ……n λ为对

应的特征根，∴111A ξλξ=……n n n A ξλξ=，即[][]11

1n n n A λξξξλξ⎡⎤

⎢⎥=⎢⋯⋯⋯⎢⎥⎣⎦

⋯⎥ 另[]1n U ξξ=⋯⋯,由题目可知，U 为酉阵，∴1

H

n U AU λλ⎡⎤

⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎣

⎦,∴ A 酉相似于对角阵

②若A

酉相似于对角阵，∴∃酉阵

U

及1n λλ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

，使1

H

n A U U

λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,

∴

1

H H A U U n λλ⎡⎤

⎢

⎥=⎢

⎥⎢⎥⎣⎦,有

11

1H H H

H n n n AA U U U U U U λλλλλλ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥==⎢

⎥⎢⎥⎢

⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 1

11

H H H H n n n A A U U U U U U λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢

⎥⎢

⎥⎢⎥==⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦

⎢⎥⎣

⎦

H H AA A A = ∴A 为正规阵

矩阵的正交对角分解

证： 设*n n

n A R ∈，则∃正交矩阵P 和Q ，使得1T n P AQ δδ⎡⎤

⎢⎥==Λ⎢

⎥

⎢⎥⎣

⎦

，

其中(1)i i n δ≤≤为A 的奇异值

()T T T A A A A = ∴T A A 为正规阵,那么∃正交阵Q 使得

2T T Q A AQ =Λ,∴1T T Q A AQ -Λ=Λ

令1T T T P Q A -=Λ,∴1P AQ -=Λ,

11121*T T T n n P P Q A AQ I ----=ΛΛ=ΛΛΛ=

∴P 为正交阵

证毕 证明,1

max n

x C x A

Ax ∞∞

∞∈==

Ⅰ. 1,n

n x C x ξξ⎛⎫ ⎪∀∈= ⎪ ⎪⎝⎭, ∴1max 1j j n

ξ≤≤=,11

1

n i in ij j j n Ax a a a ξξξ=⎛⎫⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪

⎪== ⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭ ⎪

⎝⎭

∑

∴1111

1

1

max

max max n

n

n

ij j

ij j ij i m

i m

i m

j j j Ax

a a a ξ

ξ∞

≤≤≤≤≤≤====≤≤∑∑∑

Ⅱ.设11

1

max

n n

ij kj

i m

j j a a ≤≤===∑∑，令(

)

10(0)n x ξξ⎛⎫

⎪=

⎪ ⎪⎝

⎭，(0)

01

kj kj j kj kj a a a a ξ⎧⎪≠⎪=⎨⎪=⎪⎩，

00

,1n x C x ∞

∈=，∴(0)

1(0)01

1

(0)n i in ij j j n Ax a a a ξξξ=⎛⎫⎛⎫⎛

⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭ ⎪

⎝⎭

∑

当0kj a ≠时，

(0)1

1

1

n

n

n

ij j

ij kj j j j a a a ξ

===≤≤∑∑∑；当0kj a =时，(0)

1

1

n

n

ij j

kj j j a a ξ

===∑∑

∴1

n

kj j Ax

a ∞

==∑

∴1,1

1

1

max max n

n

n kj ij i m

x C x j j Ax

a a ∞∞

≤≤∈===≥=∑∑

证毕