不等关系与不等式(第1课时)

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高数数学必修一《2.1.1不等关系与不等式》教学课件

用作差法比较两个实数大小的一般步骤
跟踪训练2 已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．
解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2. ∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0，即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号．
答案：C
解析：由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000.故选C.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工x人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( )
题型 2 作差法比较大小【问题探究2】在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.
例2 比较下列各组中代数式的大小． (1)2a(a＋2)与(a－1)(a＋3)，其中a>0； (2)2a2＋2b2与(a＋b)2.
解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0，故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)． (2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2 ＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，因为(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.
题后师说
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200 C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200

第二章 2.1 第一课时不等关系与不等式

24设计》
【训练3】在例3的方案中，哪种方案用书籍最少？共用多少本？解比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少.共用书籍130×18＋90×12＝3 420(本).
25
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
一、素养落地 1.通过用不等式(组)表示实际问题的不等关系，提升数学抽象素养，通过作差法比
核心素养
@《创新设计》
题型一用不等式(组) 表示不等关系提取有效数字，寻找不等关系
【例1】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组). 解设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根. 500x＋600y≤4 000，根据题意得：3x≥x≥0y且，x∈N， y≥0且y∈N.
@《创新设计》
22
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.
23
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式. 2.根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式.
文字语言
过
于
少，不低于
不超过
符号语言
>
<
≥
≤
15

不等关系和不等式

a 与n b 的大
n
a ＞ b ＞0

n
n
a ＞ b (n∈N*)
a ≤ n b ，即
证明：用反证法，假定
n
n n 或 a b ， a b
n
根据乘方性质，得 (n a )n (n b )n 或(n a )n (n b )n
即：a<b或a=b，
这都与a>b矛盾，因此
n
a b
n
ac 2)a>b,b>c ____________
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？性质6：a＞b＞0，c＞d＞0
ac＞bd
(乘法法则)
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？
性质7：a＞b＞0
n＞bn (n∈N*) a
（乘方法则）
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么n 小关系如何？（开方法则）性质8：
=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.例 2 已知 x＜1，试比较 x－1 与 2x －2x 的大小．
3
2
若去掉x<1这条件，结果还一样吗？
探究：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质。
性质1：如果a > b，那么b < a，如果b < a，那么a > b．(对称性)
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材与丙的有什么大小关系？性质2：如果a > b，且b > c，那么a > c．(传递性) 即：a > b，b > c a > c．

高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质选修省公开课一等奖新优质课获奖课件

<
>
1
.

1
.

7/32
【做一做2】若a>b,则以下结论一定成立是(

A. <1

)

B. <0

C.2-a>1-b D.(a-b)c2≥0
解析:因为a>b,所以a-b>0.又c2≥0,所以(a-b)c2≥0.
答案:D
【做一做3】已知-2<a<-1,-2<b<4,则a-b取值范围
是
.
解析:因为-2<a<-1,-2<b<4,所以-4<-b<2,
,则 1-sin α>0.
a>b>0,c>d>0,所以
a2>b2, > >0,所以- >- ,故 a2- >b2- ,所以②正确;因为
函数 y=
1
1
是减函数,a>b,所以 3
3
<
1
,故③正确;当
3
π
α=2
时,1-sin α=0,故④不正确.
答案:②③
20/32
探究一
探究二
答案:A
28/32
1
2
3
4
5
1

1

2.已知 m,n∈R,则 > 成立的一个充要条件是(
A.m>0>n
C.m<n<0
1

解析: >
)
B.n>m>0
D.mn(m-n)<0
1

⇔
1
1

一轮复习教案：第7章第1讲不等关系与不等式

3≤2x＋y≤9
(3)若变量 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋2y 的最小值为________．
6≤x－y≤9
[解析] (1)∵ab>0，bc－ad>0，
∴c－d＝bc－ad>0，∴①正确； a b ab
∵ab>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴ab>0，∴③正确．故选 D.
(2)∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1，a2∈(0,1)，∴M－N>0，即 M>N，选 B.
(3)令 z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
2λ＋μ＝1
λ＝1
∴
，∴
，∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
大．
[正解] 解法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋
b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4，
m＝3，
于是得
解得
n－m＝－2，
n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
2．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.a>b cd
C.a>b dc
B.a－d>0，

第1讲不等关系与不等式课件(共63张PPT)

解析
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析答案
角度 2 作商法例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.

§3.1.1不等关系与不等式(一)

浓度为 b m ,
am
bm b 可以证明成立. am a
你能证明吗？预习下一节内容，给出证明.
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 16
§3.1.1不等关系与不等式(一)
小结 1. 两实数间的大小与两数之差有如下关系:
a>ba–b>0 a=ba–b=0 a<ba–b<0
根据两个正数的和仍是正数,得
(a b) (b c) 0, 即a c 0,
推论: 由a b, 且b c a c.
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 12
a c.
§3.1.1不等关系与不等式(一)
不等式的性质
性质3:
3
§3.1.1不等关系与不等式(一)
问题2 :某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以销售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析:若杂志的定价为x元，则销售的总收入为
x 2.5 （8 0.2）x 万元。 0.1
4 x y 10 18 x 15 y 66 x 0 y 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 7
§3.1.1不等关系与不等式(一)
练习3、某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用。若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出 40元以上。问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？分析：设该班除小李外共有x人，这笔开学费用共 y元，则：

2025年高考一轮复习-2.1.1-不等关系与不等式【课件】

[解] (1)∵x∈R，m∈R， ∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx) ＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1) ＝x2＋(2m－1)x＋2m2－12－2m2－12＋2m2＋1 ＝x＋2m2－12＋m2＋m＋34 ＝x＋2m2－12＋m＋122＋12>0. ∴x2－x＋1>－2m2－2mx.
(2)方法一：aa22－＋bb22－aa－＋bb ＝a＋ba2－a2＋b2b－2aa＋－bba2＋b2 ＝a－ba[2a＋＋bb22a－＋ab2＋b2] ＝a＋2abbaa－2＋bb2. 因为 a>b>0. 所以 a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
b.
类型三不等式的实际应用
[例 3] 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠．” 乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[思路分析] 依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小．
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400 C．30x－60≤400 D．30x＋60≤400
解析：x 月后他至少有 400 元，可表示成 30x＋60≥400.
2．若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的
大小关系是( A )
A．M>－5
B．M<－5
C．M≥－5
2．常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字大于，高语言于，超过
小于，低于，少于
小于等于，大于等于，至
至多，不超少，不低于
过
符号
语言
>

学案3：2.1　第1课时　不等关系与不等式

2.1第1课时不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.学会作差法比较两实数的大小．问题导学知识点一不等关系与不等式的概念1．不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换知识点二作差法比较两个实数大小的原理思考2x与x2＋1谁大谁小容易确定吗？x2＋1－2x与0的大小关系呢？一般地，可以通过比较a－b与0的大小来比较a与b的大小，其原理是：a>b⇔a－b>0，a ＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.知识点三比较两个实数大小的依据思考有同学借助一个中间量：x－1<x<x＋1来比较x－1与x＋1的大小，这种方法对吗？依据是什么？一般地，比较两个实数的大小，常需要对两个实数变形．为不改变它们的大小关系，需遵循不等式的性质进行变形．常用的依据有：(1)如果a>b，那么a＋c>b＋c.加法性质(2)如果a>b，c>0，那么ac>bc；(3)如果a>b，c<0，那么ac<bc.乘法性质题型探究类型一用不等式(组)表示不等关系例1 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C ．⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45反思感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范．跟踪训练1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？类型二作差比较法例2 比较(x ＋1)(x ＋5)与(x ＋3)2的大小．反思与感悟 (1)作差比较法的一般步骤：作差→变形→判断符号→确定大小．(2)“变形”目的：能方便地判断符号．(3)技巧：常要用到通分，配方，因式分解等．变形的最后结果一般是n 个因式之积，或完全平方式或常数，便于判定正负，若结果含有无法确定符号的字母，则要进行分类讨论．跟踪训练2 比较(x 2＋1)2与x 4＋2x 2＋x 的大小．类型三作差法在数学中的应用例3利用作差法证明下列问题．(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．(2)若a1>0,0<q<1，则等比数列{a n}是递减数列．反思与感悟作差法比较大小在数学中有着广泛的应用．跟踪训练3设f(x)＝1＋log x3，g(x)＝2log x2，求函数f(x)与g(x)的交点坐标．当堂检测1．若a>b且c>d，则a＋c与b＋d的大小关系是________________．2．已知M＝2(a2＋b2)，N＝2a－4b＋2ab－7，且a，b∈R，则M，N的大小关系为________________．3．已知a≠1，试比较11－a与1＋a的大小．课堂小结1．比较大小：(1)步骤：作差→变形→判断符号→下结论．(2)关键点：“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．“变形”的常用方法有通分、配方、因式分解等．2．应用：应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题，要先把条件目标用式子表示出来，并注意实际问题对式子范围的影响．参考答案问题导学知识点一思考①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a >b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≥b 正确．②不等式a ≤b 应读作：“a 小于或等于b ”，其含义是a b ，b >c ，则a >c . 题型探究例1【答案】D【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45．跟踪训练1 解提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(x ≥2.5)．例2 解 ∵(x ＋1)(x ＋5)－(x ＋3)2 ＝(x 2＋6x ＋5)－(x 2＋6x ＋9)＝－4， ∴(x ＋1)(x ＋5)－(x ＋3)2<0， ∴(x ＋1)(x ＋5)<(x ＋3)2.跟踪训练2 解 ∵(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )＝x 4＋2x 2＋1－(x 4＋2x 2＋x )＝1－x ， ∴当1－x ＝0即x ＝1时，(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )＝0；当1－x >0即x <1时，(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )>0；当1－x <0即x >1时，(x 2＋1)2－(x 4＋2x 2＋x )<0. ∴当x ＝1时，(x 2＋1)2＝x 4＋2x 2＋x ； x <1时，(x 2＋1)2>x 4＋2x 2＋x ； x >1时，(x 2＋1)2<x 4＋2x 2＋x .例3 证明 (1)对于任意的x 2>x 1>0，有y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)．∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)<0，即y 1－y 2<0，所以函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． (2)∵a 1>0,0<q <1， ∴a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)<0(n ∈N ＋)，故等比数列{a n }是递减数列．跟踪训练3 解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0， f (43)＝1＋log 433＝log 434， ∴交点坐标为(43，log 434)．达标检测1．【答案】a ＋c >b ＋d【解析】(a ＋c )－(b ＋d )＝(a －b )＋(c －d )． ∵a >b 且c >d ，∴a －b >0，c －d >0， ∴(a ＋c )－(b ＋d )>0， ∴a ＋c >b ＋d . 2．【答案】M >N【解析】∵M －N ＝2(a 2＋b 2)－(2a －4b ＋2ab －7) ＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋4b ＋4)＋(a 2－2ab ＋b 2)＋2 ＝(a －1)2＋(b ＋2)2＋(a －b )2＋2>0， ∴M >N .3．解 11－a －(1＋a )＝a 21－a.①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a ＝1＋a .②当a <1且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a >1＋a .③当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a <1且a ≠0时，11－a >1＋a ；当a >1时，11－a <1＋a .。

§3.1.1不等关系与不等式(第一课时)

§3.1.1不等关系与不等式（第一课时）教学重点：理解不等式的意义，建立适当的不等式（组）表示不等关系．教学难点：如何从具体问题情境中抽象出数学模型并建立不等式．教学过程：一、设置情境，引发思考学生辅助学习素材1．视频：（1）国庆50周年阅兵式；（2）祖国大地山川秀美；（3）道路限速路标；（4）天平测质量；（5）跷跷板游戏．【制作提示】用数学的眼光看世界，认识世界，感受现实世界中相等关系与不等关系普遍存在，感受数学之美，增强用数学的意识．等量关系体现了数学的对称美、统一美、和谐美、平衡美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出数学的奇异美、层次美．2．你还能举出哪些更多的不等关系的实例？3．你能否用所学过的哪种数学知识来表示和研究这些不等关系？二、提出问题，激发探究学生活动：尝试用适当的不等式表示下列问题中所蕴含的不等关系：1．设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，表示d与|AB|之间的不等关系．2．某种杂志原以每本世纪末2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，使销售总收入不低于20万元应怎样表示？3．小圆的半径为r，大圆的半径为R，两圆的圆心距离为d，若两圆相交，则d应满足什么关系？4．学习素材中蕴含不等关系的表示．建构数学：把生活中的具体问题转化成数学问题，并用恰当的数学模型（不等式）表示出来即为本节课的核心问题．其具体步骤为：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系三、巩固结论，尝试应用〖例1〗某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？〖问题〗（1）本例涉及哪几个变量？（2）哪句话中体现了不等关系？〖例2〗某单位计划10月份组织员工到泰山旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到泰山旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？〖问题〗（1）若有10人，应选择哪家旅行社？（2）满足什么条件，选择甲旅行社更优惠？（3）满足什么条件，选择乙旅行社更优惠？（4）你对解决本例中的问题有什么想法？〖例3〗由下表给出了甲、乙、丙三种食物的维生素含量及其成本．现欲将三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含有35000单位的维生素A 和40000单位的维生素B，设甲、乙两种食物各取x kg、y kg，那么x、y应满怎样的关系？〖问题〗（1）从这段话中可以抽象出哪几种不等关系？（2）混合食品有哪几中成分组成，含量各为多少？（3）各成分中的维生素A和维生素B的含量又是多少？四、反思小结，理论升华（1）解决实际问题的常规步骤：实际问题：不等关系→（抽象概括）→数学问题：不等式数学模型：不等式→（刻画）→实际问题：不等关系（2）一个重要数学模型：不等关系．【反馈练习】（只列出不等关系，不求解）（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；（3）在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ大于宽Ｗ的4倍．（4）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a、b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．（5）某种植物适宜生长在温度在18°～20°的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55°．现测得山脚下的平均温度为22°，试问该植物种植在山区多高处较为适宜？（6）某市政府准备投资1800万元兴办一所中学,经调查,班级数量以20到30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量）所满足的条件是什么？五、布置作业1．书面作业：教材P83习题3．1 A组第4、5题B组第3题2．课外思考：b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克（m>0）糖，则糖水更甜了，为什么？你能否用不等式的知识给出合理的解释？。

高中数学课件-不等式与不等关系

2
2
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16，又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
变变式式46、已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解析:∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 两式相加，得－π2<α＋2 β<π2.
(2)现在销售量是多少?
8 x 2.5 0.2 0.1
(3)销售总收入为多少?
(8 x 2.5 0.2)x万元 0.1
(8 x 2.5 0.2)x 20 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本 0.1
因此，销售总收入为： (8 x 2.5 0.2)x万元 0.1
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.

不等关系与不等式(一)

[解] (1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4) ＝m3(m－n)－n3(m－n) ＝(m－n)(m3－n3) ＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)， ∵m≠n，∴(m－n)2>0. n 2 3n2 又∵m ＋mn＋n ＝(m＋ ) ＋ >0， 2 4
2 2
∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)>0. ∴x－y>0.∴x>y.
• [点评] 实数大小比较的依据，给我们提供了比较两个实数大小的方法，同时也是我们解决有些实际问题的有效途径．
• 迁移变式4 • 如图1，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入 y 万元与销售量 x 吨的函数关系， y ＝ g ( x ) 反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问： • (1) 当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)； • (2) 当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)?
• 解： (1) 当销售量大于 a 吨时，即 x > a 时，公司赢利，即 f(x)>g(x)； • ( 2 ) 当销售量小于 a 吨时，即 0 ≤ x < a 时，公司亏损，即 f(x)<g(x)．
• 1．比较实数大小的依据． • 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系．那些表示实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列．数轴上的一个动点向着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大，由此可以得到下面两个结论：
迁移变式 2
比较 3＋ 7与 2 5的大小．
解：( 3＋ 7)2－(2 5)2＝(10＋2 21)－20＝2( 21－5)． ∵( 21)2－52＝21－25＝－4<0， ∴2( 21－5)<0，∴ 3＋ 7<2 5.

3.1不等式与不等关系(第一课时)

典例讲评例2.若若
x≠2
2
或
2
y ≠ −1x ≠ 2
M = x + y − 4x + 2y , N = − 5
求证：求证：M
>N
Q 证明： M − N = x2 + y2 − 4x + 2y + 5 ----（1）作差（）
= x2 − 4x + 4 + y 2 + 2 y + 1
= ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 ------（2）变形（）又 x ≠ 2 或 y ≠ −1
课堂小结
3.用差比法”比较两个实数的大小， 3.用“差比法”比较两个实数的大小，一般分三步进行：作差→变形→定号→ 般分三步进行：作差→变形→定号结论. 其中变形的目的在于判断差式的符号，其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形手段有因式分解、配方等. 用的变形手段有因式分解、配方等.
a
b
大数对应的点位于小数对应的点的右边
新知探究
a －b ＞0
⇔
a＞ ⇔a＞b
a－b=0
⇔a=b
新知探究
a －b ＜0 a －b ＞0 a－b=0 a －b ＜0
客观事实：（作差法比较大小的原理）客观事实：（作差法比较大小的原理）：（作差法比较大小的原理
a＜ ⇔ a ＜b
a＞ ⇔a＞b ⇔a=b a＜ ⇔ a＜b
ì f ³ 2.5% ï ï í ï p ³ 2.3% ï ï î
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，某种杂志原以每本2.5元的价格销售， 2.5元的价格销售可以售出8万本.据市场调查，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1 0.1元每提高0.1元，销售量就可能相应减少 2000本若把提价后杂志的定价设为x 2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？ 20万元不低于20万元？

高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式

分析：假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.. 根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；（2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面之间的距离为 d，Ｂ为平面上任意一点，则点Ａ与平面的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克，配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.

【课件】等式性质与不等式性质+第一课时不等关系与不等式高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3．作差法比较实数的大小一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号 →下结论．作差后变形是比较大小的关键一步.
限时小练
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒12厘米，人跑开的速度是每秒 4 米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到 100 米以外的安全区，导火索的长度 x(厘米)应该满足的不等式为( )
巩固与练习(3)
例 3. 已知 a>0，求证：a＋a1≥2.
证明法一利用 a2＋b2≥2ab.
∵a>0， ∴a＋a1＝(
a)2＋
1 2 a
≥2 a·1a＝2. 当且仅当 a＝1 时，等号成立．
法二
∵a＋a1－2＝(
a)2＋
1a2－2
＝
a－ 1a2≥0，
∴a＋a1≥2.
深化与思考
1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号．
全票，其余人可享受 7.5 折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折
优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队
的收费哪家更优惠．
限时小练
限时小练
限时小练
简解答：
课堂作业
1、练习1,2,3 2、预习本节剩余部分。
本节内容结束 THANKS
代数复习等式
数式不等式
复习引入方程(组)
一元一次不等式(组)
函数
解不等式（组）的理论依据是什么？方程（组）、不等式与函数之间有什么联系？
复习引入
常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？
文字语言大于小于
大于或等于（不小于）小于或等于（不大于）
符号语言＞＜ ≥ ≤

第六章第1讲不等关系与不等式

[2017高考导航]第1讲不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ， a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．1．辨明两个易误点(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．不等式中的倒数性质(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0b >0，0<c <d ⇒a c >bd ；(4)0<a <x 1bB ．ab 0D ．a －b <0 答案：D2．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0.又当ab >0时，a 与b 同号，由a ＋b >0知a >0，且b >0.3．(必修5 P74练习T3改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③解析：选D.对于①，因为a >b ，c <d ，所以－c >－d ，所以a －c >b －d .对于③，a >b >0，则3a >3b >0. 4.12－1________3＋1(填“>”或“<”)．解析：12－1＝2＋1<3＋1. 答案：<5．下列不等式中恒成立的是__________．①m －3＞m －5；②5－m ＞3－m ；③5m ＞3m ；④5＋m ＞5－m . 解析：m －3－m ＋5＝2＞0，故①恒成立； 5－m －3＋m ＝2＞0，故②恒成立；5m －3m ＝2m ，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m －5＋m ＝2m ，无法判断其符号，故④不恒成立．答案：①②考点一用不等式(组)表示不等关系[学生用书P109]某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .用不等式(组)表示不等关系(1)分析题中有哪些未知量.(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y 再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．[注意] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．1.某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.考点二不等式的性质(高频考点)[学生用书P109]不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现，题目难度不大．高考对不等式性质的考查有以下三个命题角度： (1)判断命题的真假；(2)与充要条件相结合命题； (3)求代数式的取值范围．(1)(2014·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 (2)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bcB.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 [解析] (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |.综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C.(2)A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确；B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故正确．[答案] (1)C (2)D(1)判断不等式命题真假的方法 ①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．(2)充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解.2.(1)(2016·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析：(1)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c ＝2，b＝d ＝1，可知D 错误，故选C.(2)因为－4<β<2，所以0≤|β|<4. 所以－4<－|β|≤0.所以－3<α－|β|<3. 答案：(1)C (2)(－3，3)考点三比较两个数(式)的大小[学生用书P110]比较下列各组中两个代数式的大小．(1)3m 2－m ＋1与2m 2＋m －3； (2)a 2b ＋b 2a与a ＋b (a ＞0，b ＞0)． [解] (1)因为(3m 2－m ＋1)－(2m 2＋m －3)＝m 2－2m ＋4＝(m －1)2＋3＞0，所以3m 2－m ＋1＞2m 2＋m －3.(2)因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a ＞0，b ＞0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab ≥0，故a 2b ＋b 2a ≥a ＋b .比较大小常用的方法(1)作差法．其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论. (2)作商法．其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法．构造函数，利用函数单调性比较大小． [注意] 含根号的式子作差时一般先乘方再作差．3.已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1（1－q 3）a 1q 2（1－q ）－a 1（1－q 5）a 1q 4（1－q ）＝q 2（1－q 3）－（1－q 5）q 4（1－q ）＝－q －1q 4<0，所以有S 3a 3<S 5a 5. 综上可知S 3a 3<S 5a 5.答案：S 3a 3<S 5a 5,[学生用书P110])方法思想——判断不等式(特值法)(2014·高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >bcB.a d b dD.a c －d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b－c ，所以a d <bc .故选B.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒cd >0c <d <0⇒c cd <dcd <0⇒⎭⎪⎬⎪⎫1d <1c <0⇒－1d >－1c >0 a >b >0 ⇒－a d >－b c ⇒a d <b c . 法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <bc ，所以选项A 错误，选项B 正确．故选B. [答案] B本题给出三种不同的方法，法一、法二是利用不等式性质变形判断，易出错，而法三采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．(2016·潍坊模拟)若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2中，其中正确的不等式是( ) A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C.因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2，显然②④不成立，排除A 、B 、D.1．不等式“a －b >a 且a ＋b 0且b >0 B ．a <0或b <0 C ．a <0且b <0 D ．a <0或b >0解析：选C.由a －b >a 知b <0，由a ＋b a 且a ＋b b >0，则下列不等式成立的是( )A ．a 21b C ．|a |<|b |D ．2a >2b解析：选D.由a >b >0，得a 2>b 2，|a |>|b |，1a <1b ，所以选项A ，B ，C 均不正确；因为函数y ＝2x 在R 上为增函数，所以2a >2b ，故选D.3．(2016·江西省重点中学盟校联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由a b>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <0；由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，b <0，又a >0且a ≠1，所以“ab >1”是“(a －1)b >0”的充要条件．4．(2016·西安质检)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，5π6B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，所以－π6≤－β3≤0，所以－π6<2α－β3<π.5．(2016·北京西城区一模)已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )A ．2枝玫瑰的价格高B ．3枝康乃馨的价格高C ．价格相同D ．不确定解析：选A.设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x 元、y 元，则6x ＋3y >24，4x ＋4y <20⇒2x ＋y >8，x ＋y <5，因此2x －3y ＝5(2x ＋y )－8(x ＋y )>5×8－8×5＝0，所以2x >3y ，因此2枝玫瑰的价格高，故选A.6．已知a 0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变，故选D.7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是________(把正确命题的序号都填上)．解析：①正确．②中由2c >0可知式子成立．答案：①② 8．(2016·扬州模拟)若a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 19．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎫15－x2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216 10．(2016·盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132.答案：⎝⎛⎫－92，132 11．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e（b －d ）2. 证明：因为c <d <0，所以－c >－d >0，又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0. 所以(a －c )2>(b －d )2>0. 所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.又因为e <0，所以e （a －c ）2>e（b －d ）2. 12．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，ab 的取值范围．解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15. 又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15，所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)．因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<ab<4，即ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4.。