山西省大同一中2008—2009学年第一学期高三第三次考试数学试题(文)

山西省大同一中2008—2009学年第一学期高三第三次考试
数学试题(文)
大同一中 薛尚建 安振邦
第Ⅰ卷 客观卷（共60分）
一、选择题（每题5分，共60分） 1． 已知{0,1,2}A =，{|2,}B x x a a A ==∈，则集合A B =
A ．{0}
B ．{0,1}
C ．{1,
2} D ．{0,2}
2． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
481
3S S =，那么816
S S = A ．
1
8
B ．
13
C ．
1
9
D ．
310
3． “1a =
”是“函数sin 2y ax ax =的最小正周期为π”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4． 已知向量26(,)3
a λλ+= ，(1,0)i = 和(0,1)j =
，若a j =
a 与i 的夹角为θ，则cos θ等于
A
．
．12- D ．12
5． 二次函数()y f x =的图象过原点且它的导数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线，则()y f x =的
图象的顶点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6． 若函数()y f x =的值域是[2,4]，则函数1
()()()1
F x f x f x =+
-的值域是
A ．[2,
3]
B ．13[3,
]3 C ．513[,]23 D ．10
[2,
]3
A ． (1,)+∞
B ．(,1)-∞
C ．(19,)+∞
D ．(,19)-∞ 8． 已知直线x y a +=与圆22
4x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足
||||
OA OB OA OB +=-
，则实数a 的值是
A ．2
B ．－2
C
D ．2或2-
9． 在△ABC 中，3
A π
=，3BC =，则△ABC 的周长为
A
．)33
B π
++
B
．)36
B π
++
C ．6sin()36
B π
+
+
D ．6sin()33
B π
+
+
10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,4]x ∈时()2f x x =-，则有
A ．1
1(sin )(cos )22
f f <
B ．(sin
)(cos )33
f f π
π
> C ．(sin1)(cos1)f f <
D ．33
(sin )(cos )2
2
f f >
11．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为－1，则实数m 等于
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
12．已知函数2
()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有
一个正数，则实数m 的取值范围是
A ．[4,
4]- B ．(4,4)- C ．(,4)-∞ D ．(,4)-∞-
第II 卷 主观卷（共90分）
二、填空题 (每题5分，共20分)
13
．不等式(0x -≥的解集是 ． 14．已知数列{}n a 的首项113a =
，且满足115n n n
a a a +=+(*n N ∈)，则6a = ． 15．直线l 1：370x y +-=，l 2：20kx y --=与x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k 的
值等于 ．
16．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
①2AC AF BC += ； ②22AD AB AF =+
③AC AD AD AB = ； ④()()AD AF EF AD AF EF =
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号)． 三、解答题：
17．(10分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O x 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单
位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为10 (1) 求tan()αβ+的值；
(2) 求2αβ+的值．
18．(12分) 已知△ABC 的面积为3，且满足06AB AC ≤≤ ，设AB 和AC
的夹角为θ
(1) 求θ的取值范围；
(2) 求函数2
()2sin ()24
f π
θθθ=+-的最大值与最小值。

19．(12分) 求当点(,)x y 在以原点为圆心，a 为半径的圆上运动时，点(,)x y xy 的轨迹方程．
20．(12分) 直线2y x =是△ABC 中角C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为(4,
2)A -，(3,1)B ，
求点C 的坐标并判断△ABC 的形状．
21．(12分) 设函数3
2
2
()31f x ax bx a x =+-+(a 、b ∈R)在1x x =，2x x =处取得极值，且12||2x x -=
(1) 若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间； (2) 若0a >，求b 的取值范围．
22．(12分) 设数列{}n a 的前n 项和为1412
2333
n n n S a +=
-⨯+ (*n N ∈) n
(2)设
2n
n
n
T
S
=(*
n N
∈) ，证明：
12
3
2
n
T T T
+++<
数学答案
一、选择题
1—5 DDABA 6—10 BBDCC 11--12 BC 二、填空题
13．{|41}x x x ≥=-或 14．1
28
15．3 16．①②④ 三、计算题
17．(1)
由已知条件及三角函数的定义可知：cos α=
cos β= 因α为锐角， 故sin 0α>
从而sin α==
同理可得
sin β= 因此tan 7α= 1tan 2β= 所以1
7tan tan 2tan()31
1tan tan 172
αβαβαβ+
++===---⨯ (2) 132
tan(2)tan[()]11
1(3)2
αβαββ-+
+=++=
=---⨯
又02
π
α<<
02
π
β<<
故
3022παβ<+<
从而由tan(2)1αβ+=-得324
παβ+= 18．(1) 设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则由
1
32
bcsin θ= 0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤ ∴[,
]4
2
ππ
θ∈
(2) 2
()2(
)2[1cos(2)]242
f sin π
π
θθθθθ=+=-+
(1sin 2)2sin 2212sin(2)13
π
θθθθθ=+=+=-+
∵ [
,
]4
2
π
π
θ∈，22[,]36
3π
π
πθ-
∈ 22sin(2)133
π
θ≤-+≤ 即当512πθ=时，max ()3f θ= 当4
π
θ=时，min ()2f θ=
2
cos sin sin cos x a a y a θθ
θθ
=+⎧⎨=⎩ 消去参数θ
，得轨迹方程为222()x a y
x =+≤
解法二：依题知：222x y a += ① 设动点为(,
)u v 则 u x y
v xy
=+⎧⎨
=⎩ ② 由①②消去x 、y 得2
2
2u a v =+ ∵ 2222()2()2x y x y a +≤+= ∴ 2
2
2u a ≤ 即
u ≤≤ ∴
轨迹方程为222()u a v
u =+≤ 20．解法一：设点C 00(,
2)x x ，则00224
AC x k x -=
+ 0021
3BC x k x -=-
由题意：
22
1212AC
BC AC
BC
k K K K --=
++ 即：000000002221
22
432221121243
x x x x x x x x ---
-+-=--+++-
整理得：0022x x -= ∴ 02x = ∴ 点C 坐标为(2,
4)
易知222||||||AC BC AB += ∴ △ABC 为直角三角形
解法二：由角平分线知识可得，点A 关于直线2y x =的对称点A '在BC 所在直线上，设11(,
)A x y ' 则
1121
42
y x -=-+ 即112x y =- ① 又
1124
222
y x +-= 即112100x y --= ② 由①②联立解得：1142
x y =⎧⎨
=-⎩ 即(4,2)A '-∴BC 所在直线方程为13
2143y x --=--- 即3100x y +-= 解方程组3100224x y x y x y +-==⎧⎧⇒⎨⎨
==⎩⎩ ∴ (2,4)C 由题意2
||50AB = 2||40AC = 2||10BC =
∴ 即222
||||||AC BC AB += △ABC 为直角三角形
21．解：22
()323f x ax bx a '=+-
(1) 当1a =时，2
()323f x x bx '=+-由题意知1x 、2x 为方程23230x bx +-=的两根
所以12||x x -= 由12||2x x -=得0b = 从而3()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+- 当(1,1)x ∈-时，()0f x '<；当(,
1)(1,)x ∈-∞-+∞ 时，()0f x '> 故()f x 在(1,1)-上单调递减，在(,
1)-∞-，(1,)+∞上单调递增。

(2) 由①式及题意知1x 、2x 为方程223230ax bx a +-=的两根，
所以12||x x -=从而2212||29(1)x x b a a -=⇔=- 由上式及题设知01a <≤ 考虑23()99g a a a =-
22()182727()3
g a a a a a '=-=-- 故()g a 在2(0,)3上单调递增，在2(,1)3上单调递减，从而()g a 在(0,1]上的极大值为24()33
g = 又()g a 在(0,1]上只有一个极值，所以2
4()33
g =为()g a 在(0,1]上的最大值，且最小值为(1)0g =，所以24[0,
]3b ∈，即b
的取值范围为[33- 22．解：(1) 令1n = 得11442333a a =
-+ ∴ 12a = 又14122333n n n S a +=-⨯+ 114122333
n n n S a --=-⨯+ 两式相减得 14412333
n n n n a a a -=--⨯ 即142n n n a a -=+ (*n N ∈ 2n ≥) ∵111111*********(2)4222
n n n n n n n n n n n n n n n b a a a b a a a ----------++++====+++ ∴ 数列{}n b 是首项为1124b a =+= 公比为4的等比数列。

(2) 由(1) 知4n n b = 即 42n n n a =- (*n N ∈)
∴ 1111412412122(42)24233333333
n n n n n n n n S a ++++=-⨯+=--⨯+=⨯-+ ∴ 111122321(22)(21)
(4322)3
n n n
n n n n n n T S ++++⨯===---⨯+ 1132311()2(21)(21)22121
n n n n n ++==-----
∴ 121311111(1)23372121n n n T T T ++++=-+-++--- 1313(1)2212n +=-<-。