等差数列的性质和应用PPT优秀课件
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等差数列的性质课件
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d
a 3=27
3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
小结：
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b （k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项AA
b a c 2b= a+c
解：∵an-an-1=6n-1-[6(n-1)-1]=6(常数) ∴{an}是等差数列，其首项为a1=6×1-1=5,公差为6.
练习：已知数列的通项公式为 an=pn+q.其中p、q 是常 数且p≠0，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列， 其首项与公差分别是多少？
例题分析
例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， (∴分3)析a已：6+a知a74++aaa485+=+aa5236+（+aaa67+3=+a5a76=115）6，=1aa544+aa7=7=12887，①求a14及公差d.
《等差数列的概念》课件
03
等差数列的应用
等差数列在日常生活中的应用
信用卡分期付款
信用卡分期付款的利率计算中，常常 涉及到等差数列的概念。例如，每期 利率为r，分n期还款，每期还款额为 A，则总还款额的计算就是一个等差 数列求和问题。
房屋按揭贷款
在计算房屋按揭贷款的每月还款额时 ，也常常涉及到等差数列的概念。例 如，贷款总额为P，年利率为r，贷款 期限为n年，每月还款额M的计算就 涉及到等差数列。
02
等差数列的性质
等差数列的通项公式
总结词
等差数列的通项公式是数列中任意一项的表示方法，它反映了数列中每一项与 首项和公差之间的关系。
详细描述
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$ 表示首项，$d$表示公差，$n$表示项数。这个公式表示了等差数列中每一项与 首项和公差之间的关系，是等差数列的基本性质之一。
解析四
列举了等差数列的一些重要性质，并 给出了解释和例子，帮助学生深入理 解等差数列的性质。
感谢观看
THANKS
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
等差数列的性质(52张PPT)课件
人教A版·数学·必修5
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第二章 2.2 第2课时
系列丛书
联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
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第二章 2.2 第2课时
系列丛书
解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
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第二章 2.2 第2课时
系列丛书
[例2] 若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75的值．
[分析] 方法1：先求出a1和d，确定通项公式an，从 而得出a75.方法2：本题也可根据性质：{an}为等差数列， 则a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，再进行求解．
第二课时等差数列的性质与应用 课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
3.等差数列“下标和”的性质
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则
m+n=2p(m,n,p∈N*),则有 am+an=2ap .
am+an=ap+aq
.特别的,若
4.等差数列的项的对称性
在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的
和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
因为冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺,芒种的日影子长为 4.5 尺,
+ + = ., = ., = .,
所以
即
即
= .,
= .,
= .,
则 8d=a12-a4=-8,所以 d=-1,因此 a1=a12-11d=4.5+11=15.5.故选 D.
[例3] 某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞
争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不
开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
解:由题意可知,设第1年获利为a 1 ,第n年获利为a n ,则a n -a n-1 =-20(n≥2,
法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法
等差数列的性质PPT课件
[点评] 在求得 d＝2 后，可直接由 an＝a18＋(n－18)·d 得 199＝95＋2(n－18)，∴n＝70.
[例 2] 设公差为－2 的等差数列，如果 a1＋a4＋a7＋…＋
a97＝50，那么 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝( )
A．－182
B．－78
C．－148
Hale Waihona Puke Baidu
D．－82
[分析] 观察其下标的构成规律：1,4,7，…，97,2,5,8，…，
[答案] 74
[解析] a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
命题方向 等差数列的应用. [例 3] 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡规模进行 调查，提供两个不同的信息如图．
甲调查表明：从第 1 年平均每个养鸡场生产 1 万只肉鸡 上升到第 6 年平均每个养鸡场生产 2 万只肉鸡．
重点：等差数列的性质． 难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题．
1．学习本节的关键要抓住：等差数列中，下标成等差数 列的项成等差数列．即：若{an}为等差数列，则 m、n、k 成等 差⇔am、an、ak 成等差．在应用性质解决问题过程中，要紧紧 抓住下标这个关键点，灵活运用通项公式和性质，很多问题就 能很方便地得到解决．
在等差数列{an}中，a18＝95，a32＝123，an＝199，则 n＝ ________.
[例 2] 设公差为－2 的等差数列，如果 a1＋a4＋a7＋…＋
a97＝50，那么 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝( )
A．－182
B．－78
C．－148
Hale Waihona Puke Baidu
D．－82
[分析] 观察其下标的构成规律：1,4,7，…，97,2,5,8，…，
[答案] 74
[解析] a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
命题方向 等差数列的应用. [例 3] 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡规模进行 调查，提供两个不同的信息如图．
甲调查表明：从第 1 年平均每个养鸡场生产 1 万只肉鸡 上升到第 6 年平均每个养鸡场生产 2 万只肉鸡．
重点：等差数列的性质． 难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题．
1．学习本节的关键要抓住：等差数列中，下标成等差数 列的项成等差数列．即：若{an}为等差数列，则 m、n、k 成等 差⇔am、an、ak 成等差．在应用性质解决问题过程中，要紧紧 抓住下标这个关键点，灵活运用通项公式和性质，很多问题就 能很方便地得到解决．
在等差数列{an}中，a18＝95，a32＝123，an＝199，则 n＝ ________.
等差数列的应用课件
∴S11＋S12＋…＋S1n＝121－13＋12－14＋
13－15＋…＋n－1 1－n＋1 1＋1n－n＋1 2
＝
1 2
1＋12－n＋1 1－n＋1 2＝34－2n＋2n1＋n3＋2.
1．若数列{an}是等差数列，公差为 d(d≠0)，则和式 Tn＝a11a2 ＋a21a3＋a31a4＋…＋an－11an可用裂项法求和，具体过程如下：
等差数列前 n 项和的最值问题 (1)利用 an：当 a1＞0，d＜0 时，前 n 项和有最大值，可由 an≥0，且 an＋1≤0，求得 n 的值；当 a1＜0，d＞0 时，前 n 项和 有最小值，可由 an≤0，且 an＋1≥0，求得 n 的值． (2)利用 Sn：二次函数 Sn＝d2n2＋a1－d2n 由配方法求得 Sn 取 最值时 n 的值．
在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19＋a20 的值为( )
A．9
B．12
C．16
D．17
【解析】 由等差数列的性质知 S4，S8－S4，S12－S8，…也 构成等差数列，不妨设为{bn}，且 b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3， 于是可求得 b3＝5，b4＝7，b5＝9，即 a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
【解】 ∵数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列． ∴Sn＝n＋nn2－1×1＝12n2＋12n， ∴S1n＝nn2＋1＝21n－n＋1 1， ∴S11＋S12＋S13＋…＋S1n
人教版高中数学《等差数列及其性质应用》精品课件
d 1
a110a10100d0
第十七页，共31页。
（2）(2011·重庆高考)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝
________.
解析：
方法一：求基本量
方法二：由等差数列的性质知 a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
第十八页，共31页。
(3)等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn，且TSnn＝32nn－＋13，
思考4：证明等差数列还有什么方法？
第九页，共31页。
【练习 1】．(2012·银川模拟)数列{an}中，a1＝2，a2＝1，a2n＝an1＋1＋an1－1
(n≥2，n∈N*)，则其通项公式为 an＝_______2_a. nan1an1 解析：由a2n＝an1＋1＋an1－1(n≥2)知{a1n}是等差数列． 又a11＝12，a12＝1， ∴数列{a1n}的首项为21，公差为21. ∴a1n＝12＋21(n－1)＝n2，∴an＝n2.
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系．特别要注 意下标的关系。
3. 性质② a为n 等差数列，若
往往与公式
amanapaq
m,n,p,，q 且N*
sn
n结(a合1 应 a用n )。 2
m，n 则pq
第二十一页，共31页。
等差数列前n项和的性质及应用PPT课件
第4页/共54页
注：由上例得S n与 an 之间的关系：
由 S n 的定义可知，当n = 1时，S1 a1
当n ≥ 2时， an Sn Sn1
即an
SS1n(n
1) S n1 (n
2)
第5页/共54页
新课1
第6页/共54页
课前练习
1,在等差数列{ａn}中，S2 4, S4 =19，求S6 = 2，在等差数列{ａn}中，a1+a2 +a3 =8,a4 +a5 +a6 =12, 求a7 +a8 +a9 = 3，在等差数列{ａn}中，Sm =30,S2m =100,求S3m
, a9 b5 b7
a3 b8 b4
第46页 课本习题A 组 第4,5题
第27页/共54页
新课3
第28页/共54页
等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
知识回顾：
1. {an}为等差数列 an+1- an=d 2an+1=an+2+an .
an=an+b a、b为常数， an= a1+(n-1)d ，
更一般的，an= am+(n-m)d
等差数列的性质公开课PPT课件
(3)若{an}是等差数列，且a1 a4 a7 45, a2 a5 a8 39, 求a3 a6 a9.
第14页/共26页
【例
3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
补：已知数列{an}是等差数列，则下列是等差数列的是( )
(1
){can
(2)a3 ＋ a6 ＋ a9 ＋ … ＋ a99 ＝ (a1 ＋ a4 ＋ a7 ＋ … ＋ a97) ＋ 2d×33＝50－66×2＝－82.
第22页/共26页
题型3 等差数列性质的综合应用
1．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y ＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数为
()
A．0 B．1
B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习2：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
a5 的值为( A )
A．5
B．6
C．8
D．10
练习3：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝__1_0.
第12页/共26页
(1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a2＋a8； (2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9－a13.
第14页/共26页
【例
3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
补：已知数列{an}是等差数列，则下列是等差数列的是( )
(1
){can
(2)a3 ＋ a6 ＋ a9 ＋ … ＋ a99 ＝ (a1 ＋ a4 ＋ a7 ＋ … ＋ a97) ＋ 2d×33＝50－66×2＝－82.
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题型3 等差数列性质的综合应用
1．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y ＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数为
()
A．0 B．1
B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习2：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
a5 的值为( A )
A．5
B．6
C．8
D．10
练习3：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝__1_0.
第12页/共26页
(1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a2＋a8； (2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9－a13.
《等差数列》课件(公开课)
《等差数列》PPT课件(公 开课)
欢迎来到《等差数列》的公开课！今天我们将深入探讨等差数列的定义、性 质、应用以及解题技巧，让我们一起开启这个数学世界的探索之旅吧！
什么是等差数列
定义
等差数列是指每一项与其前 一项之间的差都是相等的数 列。
表示方式
等差数列可以通过首项和公 差来表示。
项、公差
等差数列中，每一项称为项 数，公差表示相邻两项之间 的差。
同余数列
1 定义
同余数列是指等差数列的 项数与公差均为整数倍的 数列。
2 性质
同余数列具有一些特殊的 性质，在数论和密码学领 域有广泛的应用。
3 应用
同余数列的应用范围广泛， 涵盖了数据加密、随机数 生成等方面。
总结
等差数列的重要性
等差数列在数学和实际生活中起 着重要的作用，帮助我们解决问 题和规划未来。
应用范围
等差数列的应用涵盖了数学、物 理、经济以及各行各业的规划和 管理中。
解题技巧
我们分享一些解题技巧，帮助你 更好地应用等差数列的性质解决 问题。
Q&A
与学生互动
我们将与学生互动，解答大家对等差数列的疑惑。
总结课程内容
在本节中，我们将对课程内容进行总结，强调重要 知识点。
3
生活中的应用
等差数列可以帮助我们规划时间、财务预算，甚至管理团队。
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什么是等差数列
定义
等差数列是指每一项与其前 一项之间的差都是相等的数 列。
表示方式
等差数列可以通过首项和公 差来表示。
项、公差
等差数列中，每一项称为项 数，公差表示相邻两项之间 的差。
同余数列
1 定义
同余数列是指等差数列的 项数与公差均为整数倍的 数列。
2 性质
同余数列具有一些特殊的 性质，在数论和密码学领 域有广泛的应用。
3 应用
同余数列的应用范围广泛， 涵盖了数据加密、随机数 生成等方面。
总结
等差数列的重要性
等差数列在数学和实际生活中起 着重要的作用，帮助我们解决问 题和规划未来。
应用范围
等差数列的应用涵盖了数学、物 理、经济以及各行各业的规划和 管理中。
解题技巧
我们分享一些解题技巧，帮助你 更好地应用等差数列的性质解决 问题。
Q&A
与学生互动
我们将与学生互动，解答大家对等差数列的疑惑。
总结课程内容
在本节中，我们将对课程内容进行总结，强调重要 知识点。
3
生活中的应用
等差数列可以帮助我们规划时间、财务预算，甚至管理团队。
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k 2a1a2k1aka3kak1a2kk2S2kSk
Sk,S2k Sk,S3k S2k成等差数列
12
4.等差数列的奇、 数项 偶的 数项 和的和系 之： 间的
记奇数项之S奇 和 、为 偶数项之S偶 和为
（1）若等差数列的项数为2n，
则S偶 S奇 nd
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？ 。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1
ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
3. 点列 ( n , S n )均落在直线上 . n
9
一、基础知识回顾
（四）等差数列的性质
1.在等差数a列 n中，
若mn pq,m,n, p,qN 则am an ap aq, 特别地：m若 n2p则aman 2ap
思考：p若 qn3m，
则ap aq an 3am成立吗正？确
19
例3:设等差{数 an}的 列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
来自百度文库
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
解 a n： S nS n 1(n2 ) a nn 2 2 n (n 1 )22 (n 1 )2 n 3(n2 （ )* ）
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是 列否成数 等列 ?差
2.要证明一个数列为等差 数列，要按
定义证明 .
3.要说明一个数列不成等 差数列，若能
有2a2
a1
a
即可
3
, 体现了特殊与一般
的数学思想 .
18
（二）等差数列的性质及公式的应用
例 2:在等 { a n} 差 中数 a ， 24 ,a 列 6 若 1,2 求 a 7 a 8 a 2的 1 . 值
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时 一定 要注意 验 证 a1是否适合通项公式 .
(2)若等差数列的项 2n数 1,为
则S奇 S偶
nn1,S奇S偶
中间项。
你会证明吗？
13
（2）略证：S奇
a1
a3
a2n1
a1
a2n1 2
(n
1)
S偶
a2
a4
a2n
a2
a2n 2
n
而a1
a2n1
a2
a2n
，故 S奇 S偶
n 1 n
再如S奇S偶 中间项的证明：
S奇a1a3a5a2n1 (1) S偶 a2a4a2n (2) (1)(2得 )S奇S偶a1ndan1中间项
评注：注意数列的项数对性质的影响.
14
二、重点题型剖析
15
（一）等差数列的判定与证明
例 1.设数{a列 n}的前 n项和 Sn n22n，试 判断数 {an}是 列否为等?差数列
镇江市网络同步助学平台
等差数列的性质和应用
1
同学们,当老师提问或请 同学们练习时，你可以按播 放器上的暂停键思考或练习， 然后再点击播放键.
2
等差数列的性质和应用
江苏省扬中高级中学 王成杰
审稿 镇江市教研室 黄厚忠 庄志红
3
复习目标
1.理解等差数列项 、的 等概 差念 中，会利用 定义判定一个是 数等 列差 是数 否列；
（一）等差数列的概念 如果一个数列从第二项起每，
一项减去它的前一项得所的差都是 同一个常数，那么这数个列就叫做 等差数列.
an 1and(n N )
6
一、基础知识回顾
（二）等差中项的概念 如果a、A、b这三个数成等差
数列，那么A ab叫做a和b的等 2
差中项.
7
一、基础知识回顾
（三）等差数列公的式通及项 n项 前和公式
2.掌握等差数列的通 式项 ，公 前 n项和公式的 推导方法，熟练掌 差握 数等 列的有关性质， 灵活运用公式及性 决质 与解 等差数列有关的 综合问题；
3.体会方程思想想 、、 函转 数化 思思想、数 结合思想等数法 学的 思运 想用 方。
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一、基础知识回顾 二、重点题型解析
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一、基础知识回顾
解：由推广的通项公 知式 ：
a6 a2 4d 8 d 2 a14 28
a7
a8
a21
a7
a21 2
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a1415 2815 420 评注1.已 ：知等差数列的 可某 直两 接项 求d公差
2.求等差数列部分 时项 可的 灵和 活使用前
n项和公式a（ 7看把 成首项）
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2.若 an是公d的 差等 为差 ,则 a数 2n和 列 a2n1也成等差数列
思考：在上述两个数列中，首项和公差 各是多少？
结论： a2n的 数 首 列 a2,公 项差 是 2d; 是 数a 列 2n 1的首 a1,公 项差 是 2d 是
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3.在等差 an数 中列 S， n是其 n项 前的k和 N， ,那么，
ana1(n1)d 推导方法：累加法
推广的通项an公 am式 (n： m)d
Sna1 2annn1a n(n 2 1)d
推导方法：倒序相加
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评注：
1 .将等差数列问题化归为
基本
量的关系来解决是通用
的方法 .
2 .点列 ( n , a n )均落在直线上； 当公差 d 0时，点列 ( n , S n )均 落在抛物线上；
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1