2020高考满分秘籍之高考数学压轴题
2020年全国高考数学(理)压轴专题考点通用解法特训-专题10 解密解析几何中乘积或比值问题
专题10 解密解析几何中乘积或比值问题
一、填空题 1．在长方体中，已知底面
为正方形，
为
的中点，
，
点
是正方形
所在平面内的一个动点，且
，则线段
的长度的最大值为___.
【答案】6
图（1） 图（2）
点睛： 2QC QP =
是空间中的两条线段之间的关系，通过AD 的中点S 可以转化到同一平面上QS 与
QC 的关系，再把正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，通过研究Q 的轨迹（是圆）得到BQ 的最大值.
二、解答题
2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率1
2
e =，左顶点为
()4,0A −，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的()0k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的
坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求
AD AE OM
+的最小值．
【答案】（1）22
11612
x y +=；
（2）见解析；（3）22. 【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的标准方程．
（2）直线l 的方程为y =k （x +4），与椭圆联立，得，（x +4）[（4k 2+3）x +16k 2-12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．
（3）OM 的方程可设为y =kx ，与椭圆联立得M 点的横坐标为2
4343
x k =±+，由OM l ，，能求出结果．
2020高考数学《导数压轴题》
导数压轴
一．解答题（共20小题）
1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数．
（1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；
（2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1．
2．设．
（1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立；
（2）讨论关于x的方程根的个数．
3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．
（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围．
4．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在成立，求整数a的最小值．
5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0．
6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1．
（Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围；
（Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．
7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对∀x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围．
8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a；
（Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围．
2020高考数学逆袭：高考命题押题系列
【高考命题猜想1】与圆相关的最值问题
纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目时便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1.已知含参数的直线与圆的位置关系，求直线方程中参数的取值范围问题 画出圆图象，利用直线过定点，结合图象即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的取值范围.
【例1】已知直线3y mx m =+和曲线y =
m 的取值范
围是
A ．⎡⎢⎣⎭
B ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．⎛ ⎝
D ．⎡⎢⎣⎭
【答案】A
【分析】由直线方程得到直线过定点()3,0P -，且斜率为m ，又由曲线y =是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内画出它们的图象，结合图象求解，即可得到答案.
【解析】由题意，直线()33y mx m m x =+=+，则直线必过定点()3,0P -，斜率为m ，
又由曲线y =是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，
在同一坐标系内作出它们的图象，如图所示，
当直线与半圆切于点A 时，它们有唯一的公共点，此时，直线的倾斜角α满足2sin 3α=，
所以cos α==，可得直线的斜率为sin tan cos m ααα=== 当直线3y mx m =+的倾斜角由此变小时，两图象有两个不同的交点，直线的斜率m 变化
高考满分数学压轴题13 与球相关的外接与内切问题(可编辑可打印)
一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性；
二．解题策略
类型一 柱体与球
【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106π
C ．56π
D ．53π
【答案】A 【解析】
【分析】由题意得出11118104
AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可
求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.
【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，
所以，()()2
222
11112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，
故外接球半径r =
=，
因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==.故选：A.
【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径. 【举一反三】
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(五)详细版解析
高考数学冲刺140分压轴题突破(五)
学而思网校 邓诚
第一题.
已知函数f (x )的定义域为D,若对于任意a,b,c ∈D,f (a ),f (b ),f(c)分别为某个三角形的三边长,则称f (x )为“三角形函数”.给出下列四个函数:
(1)f (x )=lnx (x >1),(2)f (x )=4+sinx,
(3)f (x )=x 13(1≤x ≤8),(4)f (x )=2x +2
2x +1
其中为“三角形函数”的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
第二题.
正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为√2,此时四面体ABCD 外接球的表面积为______.
第三题.
已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N 两点,设直线l 是抛物线C 的切线,且l ∥MN,P 为l 上一点,
则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN
⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_____.
已知集合A ={x|y =2},B ={x |y =ln (1−x )},则A⋃B =( )
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(−∞,1]
D.(−∞,1)
第五题.
已知椭圆C:x 2
a +y 2
b =1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线
构成等边三角形,直线x +y +2√2−1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 设点B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直线CD,CB,OB,OC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,且k 1k 2=k 3k 4. (i)求k 1k 2的值;
2020年高考数学导数压轴题考前押题(详解答案)
2020年高考数学导数压轴题考前押题20道
1．已知函数()2
14ln 22
x a x f x x =--
-，其中a 为正实数. （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，求证：()()126ln f x f x a +<-. 2．已知函数2()2ln (0)f x x x a x a =-+>. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <，证明：12()3
ln 22
f x x >--. 3．已知函数()ln x
a x
f x e a x
=-
-（e 自然对数的底数）有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 的两个零点分别为1x 2x ，证明：12
212x x e x x e
+>.
4．己知函数2
1()ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈ （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间;
（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:
（3）若2a =-，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=，证明
:121
2
x x +≥ 5．已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x
=+-+∈. (Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若不等式()(ln )x
f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范
围.
6．已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；
高考满分数学压轴题04 多元问题的最值问题(可编辑可打印)
多元问题的最值问题
一、方法综述
多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。
解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。
二、解题策略
类型一 导数法 例1．已知函数
2
()lg(1)f x x x
=+，且对于任意的(12]x ∈，
，2
1()[]01(1)(6)
x m
f f x x x ++>---恒成立，则m 的取值范围为（ ）
A ．()0-∞，
B ．(]0-∞，
C ．[4)+∞，
D ．(12)+∞，
【答案】B
【解析】()f x 的定义域为R ，2
22()lg(1)1)()1f x x x x x f x x x
-=+==-+=-++，
∴()f x 为奇函数，又()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴221(
)[][]1(1)(6)(1)(6)x m m f f f x x x x x +>-=------，∴211(1)(6)
x m
x x x +>----， 又(1,2]x ∈，则10x ->，60x -<，∴(1)(1)(6)x x x m +--<-恒成立； 设3
2
()(1)(1)(6)66g x x x x x x x =+--=--+，
则2
2()31213(2)13g x x x x =--=--'，当12x <≤时()0g x '<，
2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招(全国通用版)-第8招
2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招（全国通用版）
第8招 直线遇圆锥曲线 突破在点线距离
近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考热点考点，且填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。
1、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，有且仅有一个公共点，有两个不同的公共点。
直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，同样也不是相切。这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：0=++C y B x A ，圆锥曲线C ：()0=y x f ，，
由()⎩⎨⎧==++0
y x f 0C By x A ，，消元可得：02=++c bx ax ，0≠a 。 ac -b 42=△， （1）⇔0△＞相交；
（2）⇔=0△相切； （3）⇔0△＜相离。
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充
分条件。
2、直线与圆锥曲线相交的弦长公式
有关弦长的问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系“设而不求”，有关焦点弦长的问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简便运算。
（1）斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点()111y x P ，，()222y x P ，，则所得弦长2
2020年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
2020年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，
椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '
被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =
24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）
对于椭圆，
1222a MF MF =+=
=
+
(
2
2
2222211321
a a
b a
c ∴=+∴==+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）
对于双曲线，1222a MF MF '=-
=
2222221321
a a
b
c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）
（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE
中点为H
令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫
∴ ⎪⎝
⎭ C ………………………………………………（7分）
()111231
23
22
DC AP x CH a x a ∴=
=+=-=-+
()()(
)22
2020高考理科数学押题密卷解析版 (12)
设 A x1, y1 ， M
x0
,
y0
，则
B
x1,
y1
，所以
x12 4b2
x02
4b2
y12 b2
y02 b2
1 ,
1
x1
x0 x1
4b2
x0
y1
y0
b2
y1
y0
,
1 4
y1 x1
y0 x0
y1 x1
y0 x0
，
即 k1 k2
1 ，∵1„ 4
k1 „
2
，∴
k2
1 8
【详解】
如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1
，则
D
0,
0,
0
，
E
1 2
,1,
1 2
.
8
根据
n
AC,
n
AD1
得到平面
ACD1
的法向量为
n
1,1,1
，
DE
1 2
,1,
1 2
，
故 cos
n DE n DE
22 3
，故 sin
1， 3
直线
DE
与平面
ACD1 所成角
，满足 cos
sin
AM AB AC ，则 的最大值是（）
2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招(全国通用版)-第6招
2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招（全国通用版）
第6招 数列函数性（单调性与周期性）
一、函数的单调性与单调数列
函数的单调性的证明一般有两类，定义法或者导数法；而对于数列而言，证明其单调性或求最大最小值，常见的思路是利用n a 与1+n a ，及n a 与1-n a 的大小关系来判断，除此之外，还可以用函数的一些思路来证明数列的单调性.
例1、求数列156
2
+=
n n
a n 的最大项 解析：此题如果用常规的求最大项的方法，无论是“作差”或者“作商”，计算量都会比较大，而若是考虑其函数性，将数列看做函数156
)(2+=
x x
x f ，那么可以看出来，这个函数化简后，分母其实是
一个“勾函数”的形式，显然在156=x 时取得最大值。当然，对于数列而言，我们的自变量必须为正整数，所以必须对156附近的两个正整数进行代入检验，可得13,12=n 时，都为最大项。
例2、已知数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列)1,0(≠>a a ，令n n n a a b lg =若{}n b 中每一项总小于它后面的项，求a 的范围。
解析：a na a a b n n n n lg lg ==，那么即1+
①1>a 时，上述不等式等价于a n n )1(+
+>
n n
a ，显然成立，所以),(a +∞∈1； ②10<+1，设1
)(+=x x
x f ，显然这个是单调递增函数，*N x ∈时，
有21)1()(min ==f x f ，所以)21
,0(∈a
综上，),1()2
1
,0(+∞⋃∈a
这里需要注意的是：函数单调是数列单调的充分不必要条件，用函数的单调性处理数列的单调性问题时，必须检验其必要性。如下题：
2020高考数学压轴题(高二、高三)作业压轴题分类汇编与详解
高
考数学
压轴题
目录
一、专题篇
二、零点问题
三、倍值区间问题
四、恒成立问题
五、不等式证明问题
六、圆锥曲线
七、数列
八、概率统计
一、专题篇
1.不等式证明之切线放缩法
1.题目特点
已知函数）
题目中的取等条件往往是“”，根据取等条件，此时我们可以考虑使用切线
放缩，
2.解题步骤
①求出函数：
②证明
③最后采取累加法即可得证
备注：在证明②的过程中，我们一般采取两种方式：一是直接构造函数证明；二是因式分解来证明。不管是构造函数来证明还是因式分解来证明，都要紧紧抓住取等条件来因式分解，其中因式分解来证明时，切点处的切线值等于这点的函数值，所以要证明的不等式必有一个因式“或）”，而构造函数来证明时，因为切线斜率等于直线的斜率，所以导函数必有一个因式“或
3.例题精讲
已知函数，
（1）求函数
（2）判断函数的零点个数，并说明理由
（3）已知数列满足：，，且，若不等式
在时恒成立，求实数的最小值
解：（3）由题意可知
猜测可能是时，（实际上不用
猜测，就是所有变量相等时，取最大值，第一问已经给了提示），接下来就是三步走喽！
①求函数
②证明切线和函数的大小关系，根据不等号的方向（要取最大值），所以证明
（）
我们采用两种方式来证明
方法一：直接因式分解来证明
要证
只需证
即证
，则上式一定有一个因式
，所以利用一下长除法或者凑公因式法，不难分解出
只需证
即证
显然成立！
方法二：构造函数来证明
令
）
则
易知上式有一个根，则上式一定有一个因式同样的采取长除法或者凑公因式
法都可以将因式分解成
令，易知单调递增，而
，
由零点存在性定理可知：必有一个，使得，则
，单调递增
2020高考押题专题24 解答题解题方法与技巧(高考押题)(原卷版)
高考押题专题24解答题解题方法与技巧
1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b ＝3，c ＝
2.
(1)若2a ·cos C ＝3，求a 的值；(2)若c b ＝cos C 1＋cos B
，求cos C 的值．2.如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .
求证：(1)PA ∥平面BDE;(2)平面BDE ⊥平面PCD .
3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23
，C 为椭圆上位于第一象限内的一点
(1)若点C a ，b 的值；
(2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB ―→＝12
OC ―→，求直线AB 的斜率．4．已知函数f (x )＝(a －3)x －a －2ln x (a ∈R)．
(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a 的最小值；
(2)已知不等式f (x )＋3x ≥0对任意x ∈(0,1]都成立，求实数a 的取值范围．
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1.
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记集合M ＝{n |n (n ＋1)≥λa n ，n ∈N *}，若M 中有3个元素，求λ的取值范围；
(3)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋
2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招(全国通用版)-第12招
2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招（全国通用版）
第12招 导数零点一家亲 相亲相爱不分离
导数及其应用是数学高考的重点，特别在理科数学考试中常常是承担压轴的大题.导数具有丰富的数学内涵和表现形式，它是解决函数的图像、性质以及方程、不等式等问题的“利器”，而导数的零点则是展示其工具性的一个关键“点”，一旦此“点”得以突破，则有关问题“迎刃而解”．本文试对导函数的零点在近两年高考中的应用做一些整理归纳分析，以供参考．
题型1 零点个数问题（在零点问题中求解参数范围）
【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断．
例1：已知函数2()8,()6ln f x x x g x x m =-+=+，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．
解 ：函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数
()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
22
62862(1)(3)()86ln ,'()28(0),x x x x x x x x m x x x x x x
φφ-+--=-++∴=-+==>当(0,1)x ∈时，
'()0,()x x φφ>是增函数；当(1,3)x ∈时，'()0,()x x φφ
当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ=
2020高考数学最后十天压轴题 专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题(解析版)
，左焦点
，直线
与椭圆 交于 两点， 是坐标原点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求
面积的最大值.
【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过
变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、
共线问题，韦达定理是转化桥梁．
已知椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率
，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 6 ，AOB 的大小是否为定值？ 3
若是求出该定值，不是说明理由.
5.
（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆
（2）设 Q 3, 0 ，若∠AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围.
【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接 通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．
【举一反三】【福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆
类型一 中点问题
典例 1
【山东省济南市
2018
届高三上学期期末考试】已知点 P 2,1 在椭圆 C :
x2 a2
y2 2
2020高考数学最后十天压轴题 专题3.7 以概率统计为背景的解答题为解答题(解析版)
2)
C24 C32 C44
18
；
35
P( X
3)
C34 C13 C44
12
；
35
P( X
4)
C44 C74
1
.
35
X 的分布列为
X
1
2
3
4
4
18
12
1
P
35
35
35
35
EX 1 4 2 18 3 12 4 1 16 . 35 35 35 35 7
类型三、统计与统计案例
典例 3（2020·蒙阴县实验中学高三期末）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本
组成.每件产品的非原料成本 y （元）与生产该产品的数量 x （千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据，绘制了散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 y a b 和指数函数模型 y cedx 分 x
别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回
故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
（2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户，则这 7 户家庭中，
头胎生女孩的户数为 4，头胎生男孩的户数为 3，则 X 的可能取值为 1，2，3，4.
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备战2020 高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练
第一题
四川省内江市2019届高三第三次模拟（文）】在三棱锥中，和是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥的外接球的半径为2，球心为，且三棱锥的体积为，则直线与
平面所成角的正弦值是（）
答案】D
∵ 和是有公共斜边的等腰直角三角形，∴线段的中点为球心O，
连接OA ，OB，
易得
∴∠ AOC 为二面角A-BD-C 的平面角，
且∠ AOC 为直线与平面所成角或其补角，
三棱锥的体积为
故选：D
B．
A．
解析】
【四川省内江市2019届高三第三次模拟（文）】若函数存在单调递增区间，值范围是（）
A ．B． C ． D ．
【答案】B
【解析】
解：f′（x）ax+ ，
∴f′（x）>0 在x∈上成立，
即ax+ 0 ，在x∈上成立，
即a 在x∈上成立．
令g（x），则g′（x），
∴g（x），在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴ g（x）的最小值为g（e）=
∴ a> ．
故选：B．
新疆乌鲁木齐地区2019 届高三第三次质量检测（文）】已知函数是定义在上的奇函数，.给出下列命题
①当时
②函数有三个零点；则的取
时，
③ 的解集为 ；
④ 都有 . 其中正确的命题有 （ ）
答案】 D
解析】
解不等式组可以得 或 ，所以解集为 ，故③正确 .
当 时， ，所以 在 上为增函数； 当 时， ，所以 在 上为减函数； 所以当 时 的取值范围为 ，因为 为 上的奇函数， 故 的值域为 ，故 都有 ，故④正确 .
综上，选 D. 第四题
2019届高三 5 月模拟（理 ）】在直角坐标平面内，已知 ， 以及动点 是 答案】 A
解析】 ∵ sinAsinB-2cosC=0 ，∴ sinAsinB=2cosC=-2cos ( A+B ) =-2(cosAcosB-sinAsinB) ，
∴ sinAsinB=2cosAcosB ，即 tanAtanB=2 ，∴
设 C （x ，y ），又 A （﹣ 2，0），B （2，0），
所以有 ，
整理得 ，∴ 离心率是
故选 A ．
A ．1个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个 因为函数 是定义在 上的奇函数，且 时， .
所以当 时， ，故 ，故①正确 . 所以 时， 即函数 有三个零点，故②正确 .
不等式 等价于
或，
当 时，
，，
安徽省芜湖市
的三个顶点，且 ，则动点 的轨迹曲线 的离心率是（ ）
A ．
B ． D ．
【四川省内江市2019 届高三第三次模拟（理）】设椭圆的左右焦点分别为、，上下顶点分别为、，直线与该椭圆交于、两点.若，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题意，椭圆，且满足，如图所示，
则在中，，且，所以，
不妨设，则，所以，则椭圆的方程为
又由，所以，所以直线的方程为
，整理得，解得或，
，整理得，解得或，把代入直线，解得，即
又由点，所以的斜率为，故选B。
【安徽省芜湖市2019届高三5 月模拟（理）】已知函数，其中，，为
的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（）
A ．11 B．13 C．15 D．17
【答案】C
【解析】
由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，∴ ? ，n∈Z，∴ ω＝2n+1．
f（x）在区间上有最小值无最大值，∴周期T≥（），即，∴ ω≤ 1．6
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15 时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x ），
在区间上，15x ∈（，），此时f（x）在时取得最小值，∴ ω=15满足题意．
则ω的最大值为15 ，故选：C．
贵州省贵阳市2019届高三5月适应（二）文】不等式，恒成立，则的最小值为（）A．B．C．D．
答案】A
解析】
，则
很明显函数的周期为，由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性：
在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
绘制函数图像如图所示，
考查临界条件，满足题意时，直线恒在函数的图像的上方，
临界条件为直线与曲线相切的情况，此时，即的最小值为故选：A.
第八题
安徽省芜湖市2019届高三5 月模拟（理）】已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若
，，则使不等式成立的的最小值是 ______________________________
【答案】11
【解析】
由可得，则（）（）
=0，
又数列的各项均为正数，∴ ，
即，可得数列{a n} 是首项为公比为q＝2的等比数列，
∴,则n>10 ，又，∴ n 的最小值是11，
故答案为11.
【贵州省贵阳市2019届高三5 月适应性（二）文】的内角，，的对边分别为，，，且
，则_______________ ．
【答案】
【解析】
由题意结合正弦定理有：
，
即，
整理变形可得：，
，即.
【四川省内江市2019 届高三第三次模拟（文）】设椭圆的左右焦点分别为、，上下顶点分别为、，直线与该椭圆交于、两点.若，则直线的斜率为 ____________________________________ 【答案】
【解析】