第3章静电场的解法

第三章 静电场的解法
第三章 静电场的解法
3.1 静电场问题的类型 3.2 唯一性定理 3.3 分离变量法 分离变量法 3.4 镜像法 3.5 有限差分法
第三章 静电场的解法 3.1 静电场问题的类型 3.1.1 分布型问题 已知全空间的电荷分布，利用电场强度或电位的计算公式 直接计算场中各点的电场强度或电位，这类问题称为分 分 布型问题，对此问题有如下几种解法。 布型问题 1、根据电荷分布，利用场源积分式，直接求解电场 E 。 2、根据电荷分布，利用场源积分式，直接求解电位，再根 据 E = −∇Φ 计算电场。 3、若电荷分布具有某种对称性，从而判断场的分布也具有 某种对称性时，可用高斯定理直接求解电场，此法主要 是要正确选取高斯面，一般高斯面上的场强要保持常量， 并且方向与所在面的法向相同，计算才可化简。
Φ(r , ϕ ) = f (r ) g (ϕ )
r ∂ f (r ) 1 ∂ 2 g (ϕ ) =0 r + 2 f (r ) ∂r ∂r g (ϕ ) ∂ϕ
上式中，第一项仅是r的函数，第二项仅是φ的函数，要 使上式对所有的r、φ值都成立，必须每项都等于一个常数， 如果令第二项为－k2，则可得：
D
z0
与由泊松方程所得到的结果相同
第三章 静电场的解法 3.3.2 圆柱坐标系中二维拉普拉斯方程的解 设在圆柱坐标系中，电位分布只是坐标r、φ的函数，沿z方 向没有变化，则电位的拉普拉斯方程为：
1 ∂ ∂Φ 1 ∂ 2 Φ =0 r + 2 2 r ∂r ∂r r ∂φ
r2 × f (r ) g (ϕ )
若令 A = ϕ∇φ
式中参量是在区域内两个任意的标量函数，并要求在 边界上一阶连续，在区域内二阶连续。
第三章 静电场的解法 则有
(ϕ∇φ ) = ϕ∇ 2φ + ∇ϕ ⋅ ∇φ ∇⋅ A = ∇⋅
∂φ A ⋅ n = ϕ ∇φ ⋅ n = ϕ ∂n ∫ ∇ ⋅ Adτ = ∫ A ⋅ ndS
V s
第三章 静电场的解法 3.2.2 唯一性定理的证明 设φ1φ2是同一无源区域的边值问题
∇ 2Φ = 0 的解。 Φ | s = f ( x, y , z )
∇ 2 Φ 1 = 0 和 ∇ 2 Φ 2 = 0 ，同时满足边界条件。 即它们应满足 Φ ' = Φ 1 − Φ 2 应满足拉普拉斯方程 因此，两个解的差
f (x ) = A1 sin (k x x ) + A2 cos(k x x )
f ( x ) = c1 x + c 2
f (x ) = B1 sinh (α x x ) + B2 cosh (α x x )
f (x ) = B e
' αxx 1
+B e
' 2
−α x x
第三章 静电场的解法
注意：上述 线性函数式和 双曲函数式都最多只有一个零点， 注意 而 正弦函数式在x方向上有无穷多个零点。
∇Φ ' = 0
Φ' = C
Φ1 = Φ 2 + C
式中C为常数，由此可知，在第一类边值问题中，两个解 最多相差一常数，若应用自然边界条件，因为φ1φ2的参考点 选在同一位置上，则常数C =0。于是证明了φ1=φ2 ，即该边 值问题的解是唯一的。 对于第二类边值问题，由于 ∂Φ 1 ∂Φ 2 和 上应相同，故 的值在边界
g(y)和h(z)的情况与此类似，这样我们就求出了拉普拉斯 方程的特解形式φ＝f(x)g(y)h(z) 。然后再将所有可能的特解 迭加起来并使其满足边界条件，即可确定出该边值问题的 真解。
第三章 静电场的解法 例 若在区域 −
πz 0
2
<z<
πz 0
2
ρ = 10 −8 cos( ) ， 内电荷密度为 z
d 2h h' ' ( z ) = 2 dz
上式中每一项仅是一个坐标变量的函数，欲使此式成立， 必须每项都为常数。即
d2 f = −k x2 f ，或 dx 2 d 2g 2 = −k y g ，或 dy 2 d 2h = − k z2 h ，或 dz 2
d2 f + k x2 f = 0 dx 2 d 2g 2 + ky g = 0 dy 2 d 2h + k z2 h = 0 dz 2
格林第一恒等式
∂φ ∫v ϕ∇ φ + ∇ϕ ⋅ ∇φ dτ = ∫sϕ ∂n dS
(
2
)
∂ϕ ∫v φ∇ ϕ + ∇φ ⋅ ∇ϕ dτ = ∫sφ ∂n dS
(
2
)
上述两式相减得格林第二恒等式 ∂ϕ ∂φ 2 2 ∫v(ϕ∇ φ − φ∇ ϕ )dτ = ∫sϕ ∂n − φ ∂n dS
第三章 静电场的解法 3.2 唯一性定理 唯一性定理： 唯一性定理 满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一。 满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解必定唯一 或：如果给定一个区域中的电荷分布和边界上的全部边界条 则这个区域中的解是唯一的。 件，则这个区域中的解是唯一的 3.2.1格林定理 格林定理 格林定理是由散度定理直接导出的数学恒等式。将散度定 理用于闭合面S所包围的体积V内任一矢量场 A
∫
s
z D ⋅ dS = 2 DdS = ∫ [ ∫ 10 cos( )dS ]dz −z / 2 s z0
z/2 −8
z 2 DdS = 2 z 0 10 sin( )dS z0
−8
在区域 −
z D = a z z010 sin( ) z0
−8
πz
2
<z<
−8
πz
2
内有
z E = = a z 10 sin( ) ε0 ε0 z0
第三章 静电场的解法 3.3.1直角坐标系中的分离变量法 直角坐标系中的分离变量法 当边界面形状适合选用直角坐标系时，则可在直角坐标 系中求解电位的拉普拉斯方程：
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z 设所求解区域中的电位函数是可变量分离的，则可令 待求电位函数为
第三章 静电场的解法 这样就把偏微分方程分离成了三个常微分方程，其中kx， ky，kz称为分离常数，都是待定的量，三者间关系是
k +k +k =0
2 x 2 y 2 z
由上式可知三个待定常数中只有两个是独立的，且它们 不能全为实数，也不能全为虚数，如有两个取实数时，第 三个必取虚数，若其中一个为零值，剩下的两上必定一个 是实数，一个是虚数，分离常数kx，ky，kz的选取由边界条 件决定；解的具体形式由分离常数的取值决定。如： 当kx＝0时 当kx为实数时 当kx为虚数时
Φ ( x, y , z ) = f ( x ) g ( y ) h ( z )
'' ''
联立求解可得：
f (x ) g ( y ) h (z ) + + =0 f ( x ) g ( y ) h( z )
''
第三章 静电场的解法 其中
d2 f f ' ' (x ) = dx 2
d 2g g''(y) = 2 dy
d df (r ) r (r ) − n 2 f (r ) = 0 dr dr
d 2 f (r ) df (r ) 2 r +r − n 2 f (r ) = 0 dr 2 dr
将k＝n代入方程得
即：
此方程是一个变系数的常微分方程，称为欧拉方程 欧拉方程。 欧拉方程
第三章 静电场的解法
f (r ) = Cr n + Dr − n 其解形式为 ：
∂Φ ' ∂Φ1 ∂Φ 2 s= s− ∂n ∂n ∂n
同样可得： ∇Φ ' = 0
∂n
∂n
s
=0
Φ' = C
Φ1 = Φ 2 + C
因此，同样两个解相差一常数，同样有常数C =0。于是 证明了φ1=φ2 ，即第二类边值问题的解也是唯一的。
第三章 静电场的解法
对于第三类边值问题，证明类似。 对于泊松方程解的唯一性的证明，仍然假设有两个解 φ1φ2都满足泊松方程和给定的边界条件，即
在格林第一恒等式中，取 ϕ
∇ 2Φ ' = 0
∂Φ ' ' ' ' ' 2 ∫sΦ ∂n dS = ∫v∇Φ ⋅ ∇Φ dτ = ∫v ∇Φ dτ
= φ = Φ ' ，可得
对于第一类边值问题，φ1φ2应满足相同的边界条件
Φ | s = (Φ 1 − Φ 2 ) | s = 0
'
第三章 静电场的解法 可得
ε0
+ Az + B
E = −∇ϕ = a z
10 −8 z 0 sin( z / z 0 )
ε0
−A
由电荷分布的对称性可知，电场在Z=0平面上必为零。所以 可得A=0，因此 −8
E = az
10 z 0 sin( z / z 0 )
ε0
第三章 静电场的解法 由于电荷分布关于Z=0平面对称，所以 D 必定关于平面反 对称，且只有Z方向的分量，即在上底面上 D = a z D ，在下底 面上 D = − a z D。今在以Z=0为中心，上、下底面积为dS，高 为Z的高斯面上，如图所示，有：
第三章 静电场的解法 3.3 分离变量法 分离变量法是求解边值问题的一种常用方法，此法可以 分两步进行，第一步，根据给定的边界形状选择适当的坐标 系，并在此坐标系下将待求的电位函数表示成三个一元函数 乘积的形式，每个函数仅是一个坐标变量的函数，将其代入 电位的偏微分方程，就可通过分离变量将偏微分方程求解转 化成三个常微分方程的求解。第二步，根据给定的边界条件 确定常微分方程解的形式、分离常数及通解中的待定系数， 以求得给定问题的唯一解。本节将分别介绍在直角坐标系、 圆柱坐标系和球坐标系中解拉普拉斯方程的分离变量法。 分离变量法要求给定的边界与坐标系的坐标面相合或平 行，或者至少分段地与坐标面相合或平行；这样，偏微分方 程的解才可表示为坐标系中三个函数的乘积，其中每个函数 分别仅是一个坐标的r ) − k 2 = 0 f (r ) dr dr
φ必须是单值
d 2 g (ϕ ) + k 2 g (ϕ ) = 0 dϕ 2
Φ[ k (ϕ + 2π ) = Φ ( kϕ )
g[ k (ϕ + 2π ) = g ( kϕ )
方程的解为
k必须为整数
g (ϕ ) = A sin( nϕ ) + B cos( nϕ )
ρ ∇ Φ1 = − ε
2
ρ ∇ Φ2 = − ε
2
因此，两个解φ1φ2的差φ′＝φ1－φ2满足拉普拉斯方 程，证明方法完全相同。
第三章 静电场的解法
唯一性定理提出了定解的充分必要条件，是关于边值问题 的一个重要定理。它的重要意义在于告诉我们：如果一个区 如果一个区 域中的电荷分布和边界条件都给定， 域中的电荷分布和边界条件都给定，则该区域中有解且解是 唯一的，此解一定满足泊松方程或拉普拉斯方程， 唯一的，此解一定满足泊松方程或拉普拉斯方程，同时满足 边界条件；反过来， 边界条件；反过来，一个函数如果同时满足电位方程和边界 条件,则此函数一定是该区域中电位的唯一解 则此函数一定是该区域中电位的唯一解。 条件 则此函数一定是该区域中电位的唯一解。 因此，可以自由选择任一种求解电场的方法，即使是采用 凑的方法或者靠判断猜测出的解，只要它满足拉普拉斯方程 （或泊松方程），又满足给定的边界条件，那么根据唯一性 定理，这个解就是所要求的解。
第三章 静电场的解法 3.1.2 边值型问题 已知确定区域中的电荷分布和其边界上的电位或电位函数的 法向导数分布，求解该区域中电位的分布状况，这类问题称为 边值型问题或简称为边值问题 边值问题，边值问题根据边界条件给出的 边值型问题 边值问题 形式不同可分为以下三种类型。 第一类边值问题：给定整个边界上的电位函数求区域中电位 分布，这类问题又称为狄利克莱问题。 第二类边值问题：给定整个边界上电位函数的法向导数求区 域中电位分布，这类问题又称为诺伊曼问题。 第三类边值问题：一部分边界上的电位给定，另一部分边界 上的法向导数给定，求区域中电位分布，这类问题又称为混合 型边值问题。 如果边界是导体，则上述三类问题分别变为：已知导体表面的 电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面上的电位和 另一部分导体表面上的电量。
0
z
在其它区域内电荷密度为0。试由泊松方程求解电位和电场 强度在此区域中的解，并与由高斯定律得出的结果相比较。 解：由于电位φ不是x y的函数，所以泊松方程为
10 cos( z / z 0 ) d ϕ ρ =− =− 2 ε0 ε0 dz
2 −8
2 10 −8 z 0 cos( z / z 0 )
ϕ=