9章3节课时活页训练

1．(2010年深圳市高三九校联考)已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为________．
解析：a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－122，又|a |＝4，得|b |＝6.
答案：6
2．(2010年广东省恩城中学高三模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m ⊥n ，则∠A 的大小为________．
解析：由m ⊥n 可得m ·n ＝0，即(b －c )b ＋(c －a )(c ＋a )＝0，b 2－
bc ＋c 2－a 2＝0，从而得cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以∠A ＝π3. 答案：π3
3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝(1，－2)·(1，λ)5·1＋λ2 ＝1－2λ5·1＋λ
2， 由0<1－2λ5·1＋λ2<1⇒⎩
⎪⎨⎪⎧ 1－2λ>0，1－2λ<5·1＋λ2 ⇒⎩⎨⎧
λ<12，λ2＋4λ＋4>0
⇒λ<12且λ≠－2. 答案：(－∞，－2)∪(－2，12
) 4．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________. 解析：∵(a ＋b )2＝c 2，∴a ·b ＝－c 22， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12
， ∴〈a ，b 〉＝120°.
答案：120°
5．(2009年高考陕西卷)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，
点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于________．
解析：M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →，
∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2，
又∵AP →＝2PM →，P 为AM 的23
等分点， ∴|AP →|＝23|AM →|＝23，∴AP →2＝49
. 答案：49
6．(2009年高考天津卷)若等边△ABC 的边长为23，平面内一
点M 满足CM →＝16CB →＋23
CA →，则MA →·MB →＝________. 解析：∵等边三角形的边长为23，
∴如图建立直角坐标系，
∴CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，
－3)，
∴CM →＝16CB →＋23CA →＝(－32，－52
)． ∴OM →＝OC →＋CM →＝(0,3)＋(－32，－52)＝(－32，12
)． ∴MA →＝OA →－OM →＝(－32，12
)， MB →＝OB →－OM →＝(332，－12
)， ∴MA →·MB →＝(－32，－12)·(332，－12
)＝－2. 答案：－2
7．(2009年高考重庆卷改编)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是________．
解析：∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2.
又|a |＝1，∴a ·b ＝3.
即|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3＝1×6cos 〈a ，b 〉，
得cos 〈a ，b 〉＝12，∴a 与b 的夹角为π3. 答案：π3
8．(2009年高考重庆卷)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝________.
解析：∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ，又∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝1＋cos(π－C )＝1－cos C ，∴3sin C
＋cos C ＝1，即2sin(C ＋π6)＝1，C ＋π6＝π6(舍去)，或C ＋π6＝56
π，得C ＝23
π. 答案：23π 9．(2010年江苏省南通市高三调研)在△ABC 中，C ＝π2
，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．
解析：以C 为原点，CA ，CB 所在直
线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA
→＝(0,1)，CB →＝(2,0)，
即2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－
2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1，故最小值为2，在λ＝12
时取得． 答案： 2
10．已知a ＝(cos 3θ2，sin 3θ2)，b ＝(cos θ2，－sin θ2)，且θ∈[0，π3
]． (1)求a ·b |a ＋b |
的最值； (2)是否存在实数k ，使|k a ＋b |＝3|a －k b |?
解：(1)a ·b ＝cos2θ，
|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝2＋2cos2θ＝4cos 2θ.
∴a ·b |a ＋b |＝cos2θ2cos θ
＝cos θ－12cos θ. 令t ＝cos θ，则12≤t ≤1，(t －12t ′＝1＋12t 2>0.
∴t －12t 在t ∈[12，1]上为增函数．∴－12≤t －12t ≤12
， 即所求式子最大值为12，最小值为－12
. (2)由题设可得|k a ＋b |2＝3|a －k b |2，
又|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos2θ，∴原式化简得cos2θ＝1＋k 2
4k . 由0≤θ≤π3，得－12≤cos2θ≤1，∴－12≤1＋k 24k
1， 解得k ∈[2－3，2＋3]∪{－1}．
11．(2009年高考湖北卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．
(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；
(2)设α＝π4
，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)．
∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2.
当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2，
∴向量b ＋c 的长度的最大值为2.
法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.
当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2，
∴向量b ＋c 的长度的最大值为2.
(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.
∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos(α－β)＝cos α.
由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4
(k ∈Z )， ∴β＝2k π＋π2
或β＝2k π，k ∈Z ， 于是cos β＝0或cos β＝1.
法二：若α＝π4，则a ＝(22，22
)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)，得a ·(b ＋c )＝(22，22
)·(cos β－1，sin β) ＝22cos β＋22sin β－22
. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，
即cos β＋sin β＝1，∴sin β＝1－cos β，
平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，解得cos β＝0或cos β＝1. 经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求．
12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m
＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B 2
，－1)，m ⊥n . (1)求角B 的大小；
(2) 若a ＝3，b ＝1，求c 的值．
解：(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，
∴4sin B sin 2(π4＋B 2)＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos(π2
＋B )]＋cos2B －2＝0， ∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，
∴sin B ＝12
. ∵0<∠B <π，∴∠B ＝π6或56π. (2)∵a ＝3>b ，∴此时∠B ＝π6
法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
∴c 2－3c ＋2＝0，
∴c ＝2或c ＝1.
法二：由正弦定理得b sin B ＝a sin A
， ∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32
. ∵0<∠A <π，∴∠A ＝π3或23π. 若∠A ＝π3，因为∠B ＝π6，所以∠C ＝π2
，∴c ＝2； 若∠A ＝23π，则∠C ＝π－23π－π6＝π6
， ∴c ＝b ，∴c ＝1.
综上c ＝2或c ＝1.。