高等数学-中值定理证明
高等数学第三章 第1节 中值定理
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条 件, 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
[ f ( x) sin x]x 0
设F ( x) f ( x) sin x 则F (0) F ( ) 0 （0，），使得F ( ) 0 由罗尔定理,至少存在一点
即 f ( ) sin f ( ) cos 0
f ( ) f ( ) cot
2
.
f ( x) 作 F ( x) , 2 x
1 则F (1) F (2) 2 对F ( x )在[1， 2]上用罗尔定理
f ( ) 2f ( ) 0 4
至少存在一点 [1,2]使得 F ( ) 0 2 f ( ) f ( ) .
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0
f ( x2 ) f ( x1 )
( x1 x2 )
由
x1、x2 的任意性知, f ( x)在
I 上为常数
推论
如果在 I上f ( x) g( x),则f ( x) g( x) C
高等数学 第3章 第一节 中值定理
即 , 5 , 使得 f 0.
2 6 6
13
例2 不用求函数 f x x 1x 2x 3x 4 的导数，说明
方程 f 'x 0
有几个实根，并指出它们所在的区间。
解 显然函数 f x在 1,2 上连续， 在 1,2内可导， 且 f 1 f 2 0,
由罗尔定理： 1 1,2, 使得 f '1 0. 同理 2 2,3,3 3,4, 使得 f ' 2 0, f ' 3 0.
由 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，则
f b f a f ' b a,
a,b.
即
arctan
b
arctan
a
1
1
2
b
a
所以
arctan
a arctan
b
1
1 2
ab
ab
（2）令 f x e x
取区间 1, x, 由于函数 f x 在 1, x 上连续，在 1, x 内可导，
所以 f x f 1 f ' x 1, 1, x.
即
e x e1 e x 1 ex 1
因此
e x xe
16
例5 设 f ( x) 在区间 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，证明： 学习指
至少存在一点
高等数学 中值定理
当x>x0时，
f ( x) f ( x0 ) 0， x x0
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) x0
0
由f (x)在x0处可导，知 f ( x0 ) f( x0 ) f( x0 ) f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0
4
注：若x0∈(a,b), f (x)在x0可导， 在区间(a,b)内f (x)≤f(x0) 则 f ( x0 ) 0.
2. 函数f (x)在点x0可导的充要条件是 f (x)在点x0的左右导数均存在且相等。
2
一、费马引理 设函数 f (x)在点的某邻域U(x0)内有定义，
且在x0点可导，若对任意x∈U(x0)有ff ((xx))≤≥ ff((xx00)) ，，
则 f ( x0 ) 0.
证明：对任意x∈U(x0)
0 1
③ f (x x) f (x) f (x x)x
0 1
拉格朗日中值定理 若f (x)满足： (1)在[a, b]上连续； (2)在(a, b)内可导； 则至少存在一点
推论：若x0∈(a,b), f (x)在x0可导， 在区间(a,b)内的 最小大值 为f(x0) 则 f ( x0 ) 0.
费马引理 f(x)在x0点可导， 对任意x∈U(x0) 有f (x)≤ f(x0) ， 则 f ( x0 ) 0.
考研数学中值定理 证明题
考研数学中值定理证明题
考研数学中经常出现定理的证明题，其中中值定理是一个常见的题型。中值定理是高等数学中一个非常重要的定理，它有着广泛的应用，在
计算机科学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
中值定理有两种形式：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。其中罗尔
中值定理是拉格朗日中值定理的特例，在下文中以罗尔中值定理为例
来介绍中值定理的证明方法。
罗尔中值定理是一个非常简单的定理，它的内容是：
如果一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$f(a)=f(b)$，那么存在一个$\xi \in (a,b)$, 使得
$f'(\xi)=0$。
那么该如何证明罗尔中值定理呢？下面就来介绍一下证明的过程。
证明：
首先，根据$f(a)=f(b)$, 可得函数$f(x)$在$[a,b]$上至少存在一个
极值点。如果该极值点在$(a,b)$内，则此极值点即为所求的$\xi$，
满足$f'(\xi)=0$；如果该极值点在$\{a,b\}$上，则此时存在一个开
区间$(c,d) \subseteq (a,b)$，使得$f(x)$在$(c,d)$上可导，从而
可以使用拉格朗日中值定理。
接下来，我们通过反证法来证明假设“不存在这样的$\xi$”是不成立的。我们假设不存在一个$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。因为
$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$[a,b]$上有最大值和最小值，由于假设
不存在$\xi$，使得$f'(\xi)=0$，因此最大值和最小值都不在
$(a,b)$内。那么最大值和最小值只能发生在$a$和$b$处，即
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理
首先我们来看看几大定理：
1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A
及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a
Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值
m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。此条推论运用较多）
Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或
者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区
间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.
Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.
3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：
（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).
那么在(a,b)内至少有一点ξ(
4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：
（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;
高数大一上知识点总结中值定理
高数大一上知识点总结中值定理高等数学（一）知识点总结：中值定理
在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识和定理，其中之一就是中值定理。中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数的性质以及解决实际问题中扮演着重要的角色。本文将对中值定理进行总结和讨论。
一、中值定理概述
中值定理是微积分的基本定理之一，它包括三个重要的定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。这些定理都是以其创立者的名字命名的，它们在解决函数连续性和导数性质相关问题时非常有用。
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是中值定理中最常见和基础的一个。它得出的结论是：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。换句话说，存在c∈(a, b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
三、柯西中值定理
柯西中值定理是在拉格朗日中值定理的基础上进行拓展得到的。柯西中值定理的条件为：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0。那么在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的重要性在于它将一个函数的导数和在另一个函
数上的值联系在一起。这个定理可以用于证明其他重要的数学定理，如罗尔定理和拉格朗日定理的推广形式。
四、罗尔中值定理
罗尔中值定理是中值定理中的一个特例，它的前提条件是函数
高等数学第一节中值定理、罗比塔法则
例 2 lim e x - e-x - 2 x x0 x - sin x
lim e x e-x - 2 x0 1 - cos x
(0) 0
lim e x - e-x lim e x e-x 2
x0 sin x
x0 cos x
注
在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为
未定式，若不是未定式，不可使用法则。
f ′( x)
j′( x)
=
A (或无穷大),
则
lim
x → x0
f (x)
j(x)
=
lim
x → x0
f ′( x)
j′( x)
=
A (或 无穷大).
定理 2 中 x x0 换为 x 时,结论也成立.
2.
∞ ∞
型不定式
定理3(洛必达法则2) 设函数 f (x)、j (x)
在点 x0 的左右近旁有定义，若有
- arctan x
例3
求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
-
1 -
1
x 1 x2
Hale Waihona Puke Baidu
2
x2
lim x1
x2
1.
例4 求 lim ln cot x . x0 ln x
高等数学中值定理的题型与解题方法
高等数学中值定理的题型与解题方法
高数中值定理包含：1.罗尔中值定理 rolle ; 2.拉格朗日中值定理 lagrange ; 3.柯西中值定理 cauchy ; 还有经常用到的泰勒展开式 taylor , 其中(,)a b ξ∈,一定是开区间.
全国考研的学生都害怕中值定理,看到题目的求解过程看得懂,但是自己不会做,这里往往是在构造函数不会处理,这里给总结一下中值定理所涵盖的题型,保证拿到题目就会做。 题型一：证明：()0n f ξ=
基本思路,首先考虑的就是罗尔定理 rolle ,还要考虑极值的问题。 例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导,()()0f a f b >>,()(
)02
a b
f a f +<, 证明：存在(,)a b ξ∈,使得'()0f ξ=.
分析：由()()0f a f b >>,()(
)02
a b
f a f +<,容易想到零点定理。 证明：()()0
2a b f a f +<,∴存在1(,)2
a b
x a +∈,使得1()0f x =,
又()()0f a f b >>,∴(),()f a f b 同号,∴()()0
2
a b
f b f +<,
∴存在2(,)2
a b
x b +∈,使得2()0f x =,
∴12()()0f x f x ==,所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈,使得'()0f ξ=.
例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导,(0)(1)(2)3f f f ++=,(3)1f =, 证明：存在(0,3)ξ∈,使得'()0f ξ= 证明： 1
高数中值定理
高数中值定理
，语句通顺顺畅
中值定理是高等数学中的一个重要定理，它指的是一个多项式的极值点（最大
值点或最小值点）必须是位于它的表达式和它的一阶导数之间的根点（即零点）。它建立在极值定理的基础上，是几何分析学的一项重要基础理论。中值定理的主要应用在几何分析学中，即，如果一个函数f(x)在一段区间上经过最大值点，或者
在另一段区间上经过最小值点，那么这两个区间之间，必然存在一个极点，它是函数f(x)和它的一阶导数f'(x)的零点，也就是说，当函数f(x)的值等于f'(x)的值时，函数f(x)在此点取到最大值，或者最小值。
中值定理的原理可以用一个例子简单地表述，假设有一个函数f(x)，它满足
条件f(x) >= 0和f'(x) = 0这样的关系，那么说明函数f(x)在点x处取到最大值，这就是中值定理的基本原理。
因此，中值定理为几何学研究者提供了参数估计、函数研究、函数优化和曲线
研究等等实用的技术手段，其中，最基本的应用有两个。一是采用中值定理的思路，可以轻松地求出一个下限，数学上叫最小值；二是采用中值定理的思路，可以求出一个上限，数学上叫最大值。
中值定理的对象也比较广泛，其函数不仅可以是二元函数（一般情况下，指多
项式函数），也可以是n元函数（一般情况下，指函数组）。不管哪种函数，在经过极值点后，它们都可以使用中值定理去验证它们是否达到极值点。
此外，中值定理也可以用于数学研究中求解积分。例如，当估算函数f(x)在（a,b）内的最小值时，可以使用中值定理求解积分。
总之，中值定理是一个非常有用的定理，它不仅可以用于几何分析，而且可以
高等数学——积分中值定理
⾼等数学——积分中值定理
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今天是⾼等数学专题的第12篇，我们继续来看定积分。
之前在讲微分求导内容的时候，介绍过⼀系列微分中值定理的推导。既然有微分中值定理，那么⾃然也有积分中值定理，我们下⾯就来看看积分中值定理的定义。
极值定理
极值定理也叫最⼤最⼩值定理，它的含义⾮常直观：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续的函数，必然存在最⼤值和最⼩值，并且取到最⼤值和最⼩值⾄少⼀次。
这是⼀个⾮常有名的定理，定理的内容很直观，也不难理解。但是证明它不太容易，是由区间套定理与B-M定理等多个定理推导得到的，这段证明过程⽐较复杂，由于篇幅和⽔平的限制，本⽂当中只能跳过这部分，感兴趣的同学可以⾃⾏了解。
我们假设m和M分别是区间[a, b]上函数f(x)的最⼩值和最⼤值，那么根据极值定理，可以得到以下式⼦成⽴：
这个式⼦光看可能会觉得有些复杂，但是我们把图画出来之后⾮常简单：
上图当中灰⾊阴影部分就是定积分的结果，蓝⾊的矩形⾯积是m(b-a)，⼤的矩形⾯积是M(b-a)。
通过⼏何⾯积的关系我们可以很容易证明结论。
数学证明也很简单，由于m和M分别是最⼩值和最⼤值，所以我们可以得到。我们把常数也看成是函数，进⾏积分，于是可以得到：
两边积分的结果就是矩形⾯积，于是我们就得到了证明。
积分中值定理
极值定理⾮常简单，但是是很多定理的基础，⽐如我们的积分中值定理就和它密切相关。
我们对上⾯的式⼦做⼀个简单的变形，由于b-a是常数并且⼤于0，所以我们在这个不等式两边同时除以b-a，可以得到：
高等数学-中值定理
a
0
b x
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
3.1 中值定理·第3章 8
f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x)
b a
例2. 证明等式 证: 设
由推论可知 令x=0,得
(常数)
又
源自文库
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
y
y f ( x)
o
a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
3.1 中值定理·第3章 4
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, y 则至少存在一点 则由费马引理得 f ( ) 0 . y 使
高等数学 第四章 第1节 中值定理(中央财经大学)
极值的定义
若
内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(U
ˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(U
ˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .
0为函数的极大点x .
0为函数的极小点x
定理
)(是特殊情况C x f ≡证
二. 罗尔中值定理
设
;
]) ,([)( )1(b a C x f ∈;
) ,( )( )2(内可导在b a x f ,
)()( )3(b f a f =则至少存在一点.
0)( , ) ,(=′∈ξξf b a 使得定理
实际上, 切线与弦线AB 平行.实际上, 切线与弦线AB 平行.
]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.
)(min , )(max ]
,[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令m
M = )1(若]
,[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤∵]
,[ )( b a x m x f ∈=∴.
0)( , ) ,( =′∈∀ξξf b a 均有故证
)
( )2(m M M m ≠<即若
]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.
, )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得
即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.
中值定理在高等数学解题中的应用
中值定理在高等数学解题中的应用
中值定理是高等数学中的一种基本概念，它是整个微积分学的核心。中值定理一般指导函数在某个区间内的平均值与某个点处的函数
值具有关系。在高等数学中，中值定理有着非常广泛的应用，在解题
过程中也需要运用中值定理来处理问题，下面我们就来看一下中值定
理在高等数学解题中的应用。
1.函数连续性证明
在高等数学中，常常需要证明一个函数连续性，中值定理就是证
明函数连续性的重要工具之一。例如，对于一个函数f(x)，如果f(x)
在某个区间[a,b]上连续，那么根据介值定理，必然存在一个点
c∈[a,b]，使得f(c)等于f(a)与f(b)的平均值。因此，只要证明函数在[a,b]上的平均值等于f(c)，即可证明函数f(x)在区间[a,b]上连续。
2.求解极值
中值定理还可以用来求解函数的极值。对于函数f(x)，如果它在点x=c处取得了极值，那么f'(c)=0. 根据利用拉格朗日中值定理，可以得到：f(x)-f(c)=f'(c)(x-c),其中x∈(c-δ,c+δ)。因此，当x在(c, c+δ)区间内时，由于f'(c)=0，所以f(x)<f(c)。同样地，当x
在(c-δ,c)区间内时，f(x)>f(c)。因此我们可以通过中值定理来求解
函数的极值点。
3.拐点定位
另一种很重要的应用是拐点定位。对于拐点来说，f''(x)等于零，根据中值定理可以推导出x在拐点的左边和右边呈现不同符号的一阶
导数，这就可以用来判断拐点是否存在以及拐点的位置，解决一些重
要的问题，比如曲线的切线和凹凸性的分析。
高等数学 第四章 第1节 中值定理(中央财经大学)
极值的定义
若
内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(U
ˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(U
ˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .
0为函数的极大点x .
0为函数的极小点x
定理
)(是特殊情况C x f ≡证
二. 罗尔中值定理
设
;
]) ,([)( )1(b a C x f ∈;
) ,( )( )2(内可导在b a x f ,
)()( )3(b f a f =则至少存在一点.
0)( , ) ,(=′∈ξξf b a 使得定理
实际上, 切线与弦线AB 平行.实际上, 切线与弦线AB 平行.
]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.
)(min , )(max ]
,[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令m
M = )1(若]
,[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤∵]
,[ )( b a x m x f ∈=∴.
0)( , ) ,( =′∈∀ξξf b a 均有故证
)
( )2(m M M m ≠
]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.
, )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得
即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.
高等数学拉格朗日中值定理
高等数学拉格朗日中值定理
高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它被广泛应用于求解函数的极值、证明函数的性质以及推导其他数学定理等方面。拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的，它建立在导数的基础上，描述了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。
拉格朗日中值定理的表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。简单来说，拉格朗日中值定理告诉我们，对于任意一段曲线，至少存在一个点，该点的切线斜率等于该曲线两个端点间的斜率之差。
为了更好地理解拉格朗日中值定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。假设有一个汽车在某段时间内行驶了一段距离，我们希望知道在这段时间内汽车的平均速度与某一刻的瞬时速度之间的关系。根据拉格朗日中值定理，平均速度等于瞬时速度。具体而言，在某一刻，汽车的瞬时速度等于汽车在该段时间内的总位移除以该段时间的长度，即平均速度。
拉格朗日中值定理的应用远不止于此，它可以用于证明很多重要的数学定理。例如，利用拉格朗日中值定理，我们可以证明柯西中值定理、罗尔中值定理和费马定理等。这些定理在微积分中具有重要的地位，并且被广泛应用于求解极值问题、证明函数的性质以及推导其他数学定理。
总之，高等数学拉格朗日中值定理是微积分中的一项基础且重要的定理。通过该定理，我们可以了解函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的值之间的关系。此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明其他重要的数学定理，为我们研究函数的性质和求解实际问题提供了有力的工具。
高等数学第四章中值定理及其应用
当x
x0时，有 f ( x0 ) f(
f (x) x
x0 )
f( x0 lim
x x0
x0 ) f (x)
x
0. f( x0
f (x) x
x0 )
f( x0
0，
x0
)
0，
故
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f ( x0 ) f( x0 ) f ( x0 ) 0.
lim
x x0
f (x) x
f ( x0 ) 0， x0
则f ( x1 ) f ( x2 ) 0， 又f ( x)在[ x1，x2 ]上连续，在( x1，x2 )内可导， 所以至少存在一点 ( x1，x2 ) (0，1)，使得f ( ) 0.
f ( x) 5 x4 1，
当x (0，1)时，f ( x) 0，与f ( ) 0矛盾. 故方程 x5 1 x在(0，1)内有且仅有一个实根.
几何解释:
y f (x)
曲线y f ( x)上至少有一点
C , 在该点处的切线平行x轴.
证：只证f ( x) f ( x0 )情形 o a x0
bx
由f ( x)
f ( x0 )得：当x
x0时，有
f (x) x
f ( x0 ) 0， x0
当x
x0时，有
f
( x) x
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证明: , (a, b) 使
f
(
)
ab 2
f
( ).
9. 已知函数 f (x) 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导， 0 a b ，证明存在 , (a, b) ，使 3 2 f / ( ) (a 2 ab b2 ) f / ()
10. 设 f (x) 在[0，1]上连续（0，1）内可导， f (0) 0 ， f (1) 1，试分别证明：
（1） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 2 .
（2）
存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得
1 f ' ( )
1 f ' ()
2 .
（3） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 1 .
f ' ( ) （4） 存在（0，1）内两个不同的点 , 及大于零的常数 ，使得 f ' () （5） 对于任意的正整数 n，存在（0，1）内两个不同的点 , 及常数 0 ，
至少存在一个 (0，1)，使 f ¢(x) =1
7.设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) f (1) 试证存在 和 .满足 0 1，使 f ( ) f () 0 .
8.设 f (x) 在[a,b] 上连续, (a,b) 内可导 (0 a b), f (a) f (b),
若结论是
f '' 0
1.在不同区间用
罗尔找到 1,2
2.在 1,2 用一
次罗尔
柯西中值 定理
1.同一字母同一 侧，分别积分， 找原函数 F,G 2.对 F,G 用柯西
泰勒定理
1.在 题 目 出 现 的
某点泰勒展开
2.带入其他点，寻
找与结论之间的
1
关系（有时会结合
介值定理）
1.闭区间上连续函数定理 ① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ①
3.设 f (x) 在 (0,1) 内有二阶导数，且 f (1) 0 ，有 F (x) x2 f (x) 证明：在 (0,1) 内 至少存在一点 ，使得： F( ) 0
4.设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在 使得 f (a ) f ( ) .
3
Hale Waihona Puke Baidu
5.若 f (x) 在[0,1] 上可导，且当 x [0,1] 时有 0 f (x) 1，且 f (x) 1，证明：在 (0,1) 内有且仅有一个点 使得 f ( )
6.设 f (x) 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 f (0) = f (1) =0， f (1 ) =1。试证 2
18.设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， f (0) 0 ， f (1) 1.证明： (1)在(0,1)内存在 ，使得 f ( ) 1 ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点 ，使得f / ( ) f / () 1
8
第三章 中值定理证明
题目类型
定 理
结论只包含
f , f ',
结论包含
1. f , f ', a,b, , 2. f ', g ', a, b, ,
结论包含 反对幂指三
+ f , f ', g, g',,
结论包含
f ', f '', f ''', a, b,
等式或不等式
罗尔定理
1.移项=0 2.构造函数 常微分方程 （C=F(x)） 不定积分 3.验证 F(a)=F(b) （结合零点/介值 /积分中值）
f ' ( ) 使得 f () = n( 1) .
5
11.设
f x
在
0,1 上 连 续 ， 且
1 0
f xdx
0
，证明：至少存在一点
，使得
0
f
t dt
f
12.设 f x 在 a,b上连续，在 a,b内可导，且 f 'x 0, 试证 , a,b ，使得
f f
' '
eb b
ea a
e
6
f 1 0,
2
e f x
arctan
xdx
1
,
试证
0,1 ，使得
1 2
arc tan
f
'
1
0
2
7
16.设 f x 在 [a,) 上连续，在 (a,) 内可导，且方程 f x 0 在上有根，又
f a 0 ，证明方程 f x 0 在 a, a f x 内有唯一的实根.
k
17.设函数在 0，1上连续，并且对 0，1任意一点 x 有： 0 f x 1 ,求证：在上必 存在一点 ，使得 f .
13.设 f x在-1,1具有三阶连续导数，且 f -1 0，f 1 1, f '0 0, 证明：在 -1,1 至少存在一点 ，使得 f ''' 3
14.设 f x 在 a,b，0 a b 上连续，在 a,b 内可导， 试证 , a,b ，使得 f ' 2 f '
ab
15.设 f x 在 0,1，上连续，在 0,1内可导，且
拉格朗日 中值定理
一．
1.目 标 是 寻 找 区 间 里某点 C 2.在 两 个 区 间 分 别 用拉格朗日定理,带 入结论，找到确定 C 点的方法（零点或者 介值定理）
1.一柯 2.一拉+一拉 3.一拉+一柯
二． , 没有大小关
系 1.同一字母同一侧， 分别积分，找到 F,G 2.对 F,G 用拉格朗日 定理 3.比 较 跟 结 论 的 关 系
②
③
④
3.积分中值定理 ① ②
不等式证明思路 构造函数（利用极值） 拉格朗日中值定理 函数凹凸性定义
2
1.若 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导， f (a) f (b) 0 ，证明： R ， (a,b) 使得： f ( ) f ( ) 0
2.设 a,b 0 ，证明： (a,b) ，使得 aeb bea (1 )e (a b)