课题：2.1.1 向量的概念及表示教案

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课件9：2.1.1 向量的概念

2.1.1 向量的概念
学习目标
1.理解向量、零向量、基线、向量模的意义.(重点)
2.掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表
示点的位置.
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判
断向量间共线(平行)、相等的关系.(重点、难点)
基础·初探
教材整理1
向量及其几何表示
1.向量的定义
具有大小和方向的量称为向量.
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
解：(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方
向，所以两个向量不能比较大小.
BC＝10 2米，CD＝10 米，所以 BD＝10 米.△ABD 是直
角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5 米，BD＝10 米，
→ |＝5 5米.
所以 AD＝ 5 ＋(10) ＝5 5(米)，所以|AD
2
2
名师指导
1.向量的两种表示方法：
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，
最后根据向量的长度确定向量的终点.
→ 与CD
→ 方向相反，∴AB
→ 与CD
→ 共线，
(2)由题意知AB
∴在四边形 ABCD 中，AB∥CD，
→ |＝|CD
→ |，
又∵|AB
∴四边形 ABCD 为平行四边形，
→ |＝|BC
→ |＝200(公里).
∴|AD
探究点相等向量与共线向量
探究1
向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否

高中数学教案：2.1.1 向量的概念

课时教案第二单元第 1 案总第 18 案课题 2.1.1向量的概念 2011年 5月17日教学目标理解向量、零向量、单位向量、模的意义和向量的几何表示,会用字母表示向量培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,会判断向量间共线、相等的关系教学重点理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义了解平行向量、共线向量和相等向量的意义使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识教学难点理解向量的几何表示,会用字母表示向量了解平行向量、共线向量和相等向量的意义高考考点理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义理解向量的几何表示,会用字母表示向量课型新授课教具多媒体、三角板、投影仪教法讲练结合教学过程教师活动预设学生活动预设复习引入在物理中,我们会遇到很多量,其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来,如长度、质量等.还有一些量,如我们所学习的力、位移,是一个既有大小又有方向的量,这种量就是我们本章所要研究的向量师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？不能，因为没有给定发射的方向现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？力、速度、加速度等有大小也有方向, 温度和长度只有大小没有方向．讲解新课向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小说明：1.有向线段是向量最好的模型 2.向量不能比较大小有向线段的三要素：起点、方向、长度以A 为起点、B 为终点的有向线段记作向量的表示方法：几何方法代数符号①用有向线段表示； ②用字母,a b rr 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB u u u r；④向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB u u u r|.教师活动预设学生活动预设两个特殊向量1、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的（注意0与0的区别）2、单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.学生回答问题： ①长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量叫做什么向量？是不是只有一个？②有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？③满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？单位向量是相等向量吗？向量间的关系1、平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量规定：0与任一向量平行2、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．例题讲评例1、设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量学生完成解：OC AB EDFO===u u u r u u u r u u u r u u u r变式1:与向量OA u u u r长度相等的向量有多少个？（11个）变式2:是否存在与向量OA u u u r长度相等,方向相反的向量?（存在）变式三，与向量OA u u u r共线的向量有哪些？（有CB u u u r 、DO u u u r 和EF u u u r ）教师活动预设学生活动预设例2：判断下列命题真假或给出问题的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？答：（6）模相等且方向相同；（7）不一定，只要它能被平移成共线就行．说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零. 解：（1）为假；（2）为假；（3）只有零向量；（4）零向量；（5）平行向量；当堂训练(1)下列各量中是向量的是（）A．动能B．重量C．质量D．长度(2)等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD相交于点P,点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过P且EF∥AB，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．(3)物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量答案：（1）B；（2）D；（3）相等，相反学生口答小结（1）描述一个向量有两个指标：模、方向．（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．作业：课本板书设计例1、设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量例2：判断下列命题真假或给出问题的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？练习教后记教研组长意见：。

人教版高中必修4(B版)2.1.1向量的概念课程设计

人教版高中必修4(B版)2.1.1向量的概念课程设计一、课程目标通过本次课程学习，学生应具备以下知识和能力：1.掌握向量的基本概念，了解向量的运算规则；2.能够将向量几何表示，并能够进行向量的加减运算；3.能够应用向量去解决相关几何问题；4.提升学生的逻辑推理能力。

二、教学过程1. 导入（5分钟）通过介绍向量场景，让学生从生活中寻找向量的踪迹，引出向量的概念，提高学生的学习兴趣和动机。

2. 概念讲解（25分钟）详细讲解向量的定义，包括向量的概念、向量的方向、向量的相等、零向量等基本概念。

在讲解过程中，引导学生从生活中的场景出发，深入理解向量的概念。

3. 向量表示与运算（30分钟）以直角坐标系为基础，介绍向量的表示方式和向量的运算规则，包括向量的加、减、数乘等。

通过简单的例题，让学生熟悉向量的运算方法。

4. 向量应用（25分钟）将向量应用于几何问题中，解决相关几何问题，如平面上的垂线、线段的中点、矩形的对角线等。

引导学生发现向量在几何中的精妙应用，提高学生的数学思维能力。

5. 总结（5分钟）总结本节课的重点内容，强化学生对向量的概念和运算规则的掌握程度。

三、课后作业1.完成课后习题；2.检查自己是否能够熟练地使用向量解决几何问题；3.自己设计一个与向量有关的场景，并用向量来解决。

四、教学评估本节课主要考察学生对于向量基本概念和运算规则的掌握情况。

可以通过讲解中的互动和课后作业的完成情况来评估学生的学习效果。

同时，在学生的自主学习中，也要引导并关注学生的思考过程和方法，以期达到良好的教学效果。

五、教学反思通过本节课的教学，我们发现部分学生对于向量概念的理解和对于向量的运算规则的掌握还不是非常熟练。

针对这一点，我们可以增加一些习题的量，既巩固又加强学生的理解能力。

同时，我们也要注重让学生在实际生活中感受到向量的应用场景，并引导学生发现向量的数学美，提高学生对数学的兴趣。

苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示

2．1向量的概念及表示●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的．2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示．1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量．2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形．【错解】以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确．【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b .其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确．【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →，又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.【答案】南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 【解析】正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形．又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形．【答案】矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN綊MA.【思路探究】要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。

高中数学必修四导学案：2.1.1向量的概念

思考3：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？
数学中，把既有，又有的量叫做，把只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程等是向量吗？
（探究三：向量的几何表示）
思考1：一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？
课题
2.1.1向量的概念
课型
合作课
学习目标
（一）知识与技能：
了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（二）过程与方法：
经历概念的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用。
（三）情感、态度与价值观：
通过实例，体会向量语言或运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用。
（1）画图表示向量；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.
☆我的收获与困惑
反思：
（探究四：相等向量）大小方向的向量是相等向量。记作。
（探究五：共线向量），叫做向量的基线。
则称这些向量共线或平行。
共线向量的方向向量平行与，记作
（探究六：零向量）模为0的向量叫做，记作，零向量的方向模为1个单位的向量叫做.
☆基础训练
已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地.
思考4：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的，有向线段的长度就是指线段AB的长度，也称为向量的或，它表示向量的大小，记作，两个不同的向量可以比较大小吗？向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
思考5：如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可以用黑体字母a，b，c，…，表示向量，手写时写成

教学设计3：2.1.1 向量的概念

2.1.1 向量的概念教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A 向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．图1思路2. 创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．推进新课新知探究位移的概念提出问题1.回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.2.“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么？3.“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．讨论结果：(1)～(3)略．向量的概念，用向量表示点的位置提出问题1.在数学中，怎样表示向量呢？2.什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？它们可以分别可以表示向量的什么？3.怎样定义零向量？怎样定义单位向量？4.满足什么条件的两个向量叫作相等向量？5.有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？6.如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？7.什么是向量的模？,8.怎样用向量表示点的位置？活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A 为起点，端点B 为终点，则线段AB 就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面，即是说AB →的方向是由点A指向点B ，点A 是向量的起点．如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB →(或a )的大小，就是向量AB→(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量. 但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作图5AA ′→＝BB ′→＝CC ′→＝…＝a .一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．图6(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. (7)|AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．教师进一步提醒学生注意方向的问题．方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．(8)任给一定点O 和向量a (图7)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O 表示北京的位置，点A 表示天津的位置，那么向量图8OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．应用示例例1 如图9，D ，E ，F 依次是等边△ABC 的边AB ，BC ，AC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量；(2)找出与向量DF →共线的向量．活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：(1)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DE →相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DF →共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.变式训练判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)ABCD 中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 教师引导学生画出平行四边形，如图10.因为AB ∥CD ，所以，AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定.图10例2 一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴|CA →|＝100 m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC ＝60°，∴∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.例3 如图12，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的量．图12活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．变式训练(演示课件)1．本例变式一：与向量OA →长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二：是否存在与向量OA →长度相等、方向相反的向量？(存在)本例变式三：与向量OA →共线的向量还有哪些？(BC →，OD →，EF →，FE →)2．对命题“a ∥b ，b ∥c 推出a ∥c ”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下：甲生判断是真命题．理由是：由a ∥b 可知a 与b 的方向相同或相反，由b ∥c 可知c 与b 的方向相同或相反，从而有a 与c 的方向相同或相反，故a ∥c ，即原命题为真命题；乙生判断是假命题．理由是：当两个非零向量a ，c 不平行，而b ＝0时，显然a ∥b 且b ∥c ，但不能推出a ∥c ，故此时结论不成立，即原命题为假命题．究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析．解：乙的判断正确．由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论，所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在．甲生没有考虑到向量b 可能为零向量的情况，故甲生的判断是错误的；乙生的判断完全正确．这说明向量平行的传递性若要成立，则“过渡”向量b 需不为零．向量，即在b ≠0时有： (1)当a ≠0，b ≠0时，由a ∥b ，b ∥c 可推出a ∥c ；(2)若a 与c 中有一个为0，则另一个向量无论是否为0，均可推出a ∥c.例4 (1)下列命题正确的是( )A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．【答案】C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．变式训练1. 判断：(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2．把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一条线段B．一段圆弧C．两个点D．一个圆3．将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是()A．一个点B．两个点C．一个圆D．一条线段【答案】1.略 2.D 3.B课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图13，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AE ∶ED ＝BF ∶FC ＝AB ∶DC ，O 是AC 与BD的交点，求证：EO →＝OF →.图13证明：如图13，∵AB ∥CD ，∴AO ∶OC ＝BO ∶OD ＝AB ∶CD .又AE ∶ED ＝BF ∶FC ＝AB ∶DC ，∴AE ∶ED ＝AO ∶OC .∴EO ∥DC .同理，OF ∥DC ，∴E ，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC.∴EO ＝OF ，即|EO →|＝|OF →|. 又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．。

学案7：2.1.1向量的概念

2.1.1向量的概念学习目标1.了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义．3.掌握向量的几何表示．新知提炼1．向量的定义及表示方法(1)向量：具有和的量．(2)向量的表示方法2．与向量有关的概念(1)零向量：的向量，记作0.(2)向量共线或平行基线：通过，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向．向量a 平行于b ，记作．(3)相等向量：两个向量a 和b ，即a 和b 相等，记作a ＝b .(4)向量的长度(模)如果AB →＝a ，那么AB →的表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |.3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的．自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模是一个正实数．( )(2)向量就是有向线段．( )(3)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )(5)零向量是最小的向量．( )2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示B ．方向是由M 指向NC ．起点是MD ．终点是M3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量4．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．题型探究题型一向量的概念例1 下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同，长度相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．A ．3B ．2C ．1D ．0方法归纳对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．跟踪训练给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；③若两向量有相同的基线，则两向量相等．其中错误说法的序号是______．题型二向量的表示[学生用书P34]例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.方法归纳用有向线段表示向量的步骤跟综训练在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为1，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向；(3)|BC →|＝6，点C 在点B 正东方向．题型三相等向量与共线向量[学生用书P35]例3 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．反思提升相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．跟踪训练如图所示的▱ABCD ，OA →＝a ，OB →＝b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些？(3)写出分别与OA →、AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量．(2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.素养提升1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的．2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，与是否在一条直线上无关．失误防范向量平行与直线平行的区别1．直线的平行具有传递性，即a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .2．向量的平行不具有传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，因为若b ＝0，它与任意向量共线，故a ，c 两向量不一定共线．当堂检测1．下列物理量：①速度；②位移；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列关于零向量的说法不正确的是( )A ．零向量是没有方向的向量B ．零向量的方向是任意的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量只能与零向量相等3．如图，小正方形的边长为1，则|AB →|＝________；|CD →|＝________；|EF →|＝________．4．在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|，四边形ABCD 为________．【参考答案】新知提炼1． (1)大小方向2． (1)长度等于零(2) 有向线段AB →的直线互相平行或重合，相同或相反． a ∥b ．(3)同向且等长，(4)长度3．位置向量．自我尝试1．(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．D3.C4．西北方向5 2 km【解析】如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.题型探究例1 D【解析】起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．跟踪训练 ①②③【解析】①错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．例2 解 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD .又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．跟综训练解 (1)(2)(3)如图：例3 解 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.跟踪训练解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量．(2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.当堂检测1．B【解析】选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而路程、密度只有大小没有方向，所以不是向量．故选B.2．A【解析】零向量的方向是任意的，是有方向的．3．32 26 22【解析】根据勾股定理可得|AB →|＝32，|CD →|＝26，|EF →|＝2 2.4．梯形【解析】由题意可知，对边AB 与CD 平行且不相等，故四边形ABCD 为梯形．。

学案4：2.1.1 向量的概念

2.1.1 向量的概念1．位移的概念位移是表达“一点相对于另一点位置”的量，是一个既有大小又有方向的量．名师点拨对于位移概念的理解要把握三点： (1)位移由“方向”和“距离”唯一确定；(2)位移只与质点的始、终点间的位置关系有关，而与质点实际运动的路线无关；(3)相同(相等)的位移：从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．自主测试1 某人由A 点出发向正北方向行走1km 至B 点，然后再向东拐弯沿正东方向行走2 km 至C 点，则此人的行走路程共__________ km ，总位移的大小为__________ km. 2．向量的概念(1)向量：具有和的量称为向量．(2)自由向量：向量是一种新的量，与以前的数量不同．我们把只有大小和方向，而无特定位置的量叫做自由向量．(3)有向线段：的线段，叫做有向线段．如下图，从点A 位移到点B ，用线段AB 的长度表示位移的距离，在点B 处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB 具有从A 到B 的方向，点A 叫做有向线段的始点，点B 叫做有向线段的终点，以A 为始点，以B 为终点的有向线段记作AB →.(4)向量的表示方法：向量的图形表示和向量的符号表示． ①向量的图形表示．向量常用一条有向线段来形象直观地表示(如下图)，有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的．②向量的符号表示．如，AB →表示从点A 到点B 的向量(即A 为始点，B 为终点的向量)，因为两个字母是有顺序的，所以向量AB →与向量BA →是两个不同的向量．通常在印刷时，向量用黑体小写字母a ，b ，c …表示，手写时，可写成带箭头的小写字母a →，b →，c →…思考有向线段是向量吗？(5)向量的长度：AB →的长度，记作|AB →|；如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |.思考向量能比较大小吗？向量的模呢？(6)相等向量：的有向线段表示同一向量，或相等的向量，即两非零向量a ，b 相等的等价条件应是a ，b 的方向相同且模相等．若向量a 与向量b 相等，记作a ＝b .(7)共线向量或平行向量：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线互相，则称这些向量共线或平行．向量a 平行于b ，记作a ∥b .(8)零向量：的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，通常规定零向量与向量平行．自主测试2－1 下列各量中是向量的是( ) A ．密度 B ．电流 C ．面积 D ．速度自主测试2－2 下图中，小正方形的边长均为1，则|AB →|＝________，|CD →|＝__________，|EF →|＝__________.3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如下图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的．自主测试3 已知，A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位置是__________．课堂互动1．向量与有向线段的联系与区别剖析：从概念的内涵和外延上来讨论．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了始点和终点的线段．它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度是向量的模，有向线段的方向是向量的方向．它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的始点是任意的，而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念． 2．向量与矢量、数量的关系剖析：(1)向量与物理中的矢量既有区别又有联系，如，力是矢量，力的作用效果不仅与大小、方向有关，而且还与力的作用点有关；数学中所说的向量与大小和方向有关，而与表示向量的有向线段的始点无关，这就是数学中所研究的自由向量．(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，而向量不能比较大小．向量的模可以比较大小． (3)向量的表示方法：①几何表示法：优点是便于用向量处理几何问题； ②字母表示法：优点是便于向量的运算． 3．教材中的“思考与讨论”在四边形ABDC 中，如果AB →＝CD →，那么四边形ABDC 是平行四边形吗？如果四边形ABDC 是平行四边形，那么AB →＝CD →吗？剖析：在四边形ABDC 中，若AB →＝CD →，则有AB ∥CD ，且AB ＝CD ，从而可以断定四边形ABDC 是平行四边形；反之，如果四边形ABDC 是平行四边形，则有AB ∥CD 且AB ＝CD ，从而有AB →＝CD →. 典型考题题型一有关向量概念的问题例题1 下列几种说法：(1)若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； (2)若向量a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； (3)若两向量有相同的基线，则两向量相等； (4)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误的是__________．(填序号)反思：对向量的有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．解答本题(4)时，易忽略零向量与任意向量共线．题型二相等向量与共线向量例题2 如下图，D ，E ，F 分别是等腰Rt △ABC 的各边的中点，∠BAC ＝90°.(1)分别写出图中与向量DE →，FD →相等的向量； (2)分别写出图中与向量DE →，FD →共线的向量．反思：向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量的模相等且方向相同时才称它们为相等的向量，即a ＝b 就意味着|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，还要注意到0与0是相等的向量．题型三向量在几何中的应用例题3 如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．反思：向量的方向反映了形的特征，利用向量知识可以判定图形的形状及线段间的相等关系．将平面几何与向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了．题型四向量的实际应用例题4 一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2 km 到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6 km 到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2 km 才到达B 地．(1)在图中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．反思：用向量知识解决物理问题，关键是将物理问题转化成数学模型．随堂练习1．下列命题中，正确的是( )A ．若两个向量相等，则表示它们的有向线段的始点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若向量a 和b 的模都为1，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等2．如图所示的四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则下列四组向量中，相等的是( )A ．AD 与CB B ．OA 与OC C ．AC 与OCD ．DO 与OB3．把平面上所有模等于1的向量平移到相同的始点上，那么它们的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．两个孤立点D ．一个圆4．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 为__________．5．如图所示，ABCD 是边长为3的正方形，P ，M ，E ，G ，N ，Q ，H ，F 分别为各边的三等分点，图中共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为22的向量的个数是__________．6．如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中：(1)写出与DA →平行的向量； (2)写出与DA →的模相等的向量．参考答案自主测试1 【答案】352．(1)大小方向 (3)具有方向 (4)①大小方向思考答：有向线段不是向量，它只是用来表示向量而已．思考答：向量既有长度，又有方向，不能比较大小；但向量的模是指向量的长度，能比较大小．(6)同向且等长 (7)平行或重合 (8)长度等于零任意自主测试2－1 【答案】D【解析】主要考虑各量是否具备向量的两个要素，即大小和方向．密度、电流和面积都只有大小，没有方向，只有速度既有大小，又有方向．自主测试2－2 【答案】3226 22【解析】根据勾股定理，可得|AB →|＝32，|CD →|＝26，|EF →|＝2 2. 3．位置向量自主测试3 【答案】西北方向5 2 km 例题1 【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．(2)错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．(3)错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．(4)错误．当b ＝0时，a 与c 不一定平行．例题2 分析：相等向量要考虑两个向量的方向和大小是否都相同，共线向量只考虑方向是否相同或相反．解：(1)DE →＝FC →＝BF →；FD →＝CE →＝EA →. (2)DE →∥FC →∥BF →∥BC →；FD →∥CE →∥EA →∥CA →.例题3 证明：∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，且AD ＝B C ．又∵CN →＝MA →， ∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ∥MC ，且AN ＝MC ，∴DN ∥MB ，且DN ＝MB ， ∴四边形DNBM 是平行四边形．例题4 分析：按要求用直尺作出向量．作图时，既要考虑向量的大小，又要考虑其方向．解：(1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，即AD ∥BC 且AD ＝BC ，所以，四边形ABCD 为平行四边形．则有AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为AB →＝“北偏东60°，6 km”．反思：用向量知识解决物理问题，关键是将物理问题转化成数学模型．随堂练习 1．【答案】D 2．【答案】D【解析】由AB →＝DC →，可以判断出四边形ABCD 为平行四边形，可以判断选项中的四组向量，只有DO →＝OB →是正确的． 3．【答案】D【解析】如果把平面上所有模等于1的向量平移到相同的始点上，则所有的终点到这个始点的距离都等于1，即所有的终点构成的图形是一个圆． 4．【答案】菱形【解析】由AB →＝DC →，可得AB ∥DC 且AB ＝DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|AD →|，所以AB ＝AD ，所以四边形ABCD 为菱形． 5．【答案】8【解析】由题意知，每一个小正方形的边长为1，则其对角线的长为2，如图所示，与AC →平行且长度为22的向量有FE →，EF →，AN →，NA →，MC →，CM →，HG →，GH →.故共8个．6．解：(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →； (2)与DA →的模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.。

学案6：2.1.1 向量的概念

2.1.1向量的概念学习目标1．理解向量、零向量、基线、向量模的意义．2．掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置．3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行(共线)、相等的关系.基础知识1．位移的概念一个质点在平面内从点A 运动到点A ′，如果我们不考虑质点运动的路线，只考虑点A ′相对点A 的“ ”和“ ”，这时，我们就说质点在平面上作了一次位移，“ ”叫做位移距离．2．向量的概念(1)定义：把具有和的量称为向量，这一类向量叫做自由向量．(2)向量的表示方法①具有方向的线段，叫做，它可用来表示向量，它的方向表示向量的方向，它的表示向量的长度．②以A 为，以B 为的有向线段记作AB →.如果有向线段AB →表示一个向量，通常我们就说向量AB →.③用字母表示向量．通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母a → ，b → ，c →，…3．向量的模如果AB →＝a ，那么AB →的表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |.4．三种重要的向量(1)长度等于的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向．(2) 的有向线段表示同一向量，或相等的向量．若两个向量a 和b ，则a 和b 相等，记作a ＝b .(3)通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的．如果向量的基线，则称这些向量共线或平行．这就是说，共线向量的方向．向量a 平行于b ，记作a ∥b .基础自测1．下列各量中不是向量的是( )A ．浮力B.风速 C ．位移 D.密度2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|a |＝0，则a ＝0.( )(2)若a ＝0，则a 的方向任意．( )(3)单位向量都是相等向量．( )(4)零向量与任意非零向量共线．( )题型探究题型一向量的有关概念例1 判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数是( )A ．2B.3 C ．4 D.5【知识点拨】长度为零的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，是任意的．由于零向量是特殊的向量，方向可看作是任意的，所以规定零向量与任意方向的向量平行．今后学习时要注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．若a ，b ，c 是方向相同或相反的向量，则a ∥b ∥c ，反之则不然．变式训练1-1 下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等题型二相等向量与共线向量例2 如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【分析】要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，这也为向量的数形兼备的特点作铺垫．【知识点拨】向量的模是用向量的长度来定义的，共线向量是用向量的方向来定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，要弄清这三个概念的联系与区别．变式训练2-1 在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )A.AB →与AC →共线B.DE →与CB →共线C.AD →与AE →相等D.AD →与BD →相等题型三向量的实际应用例3 一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，再从C 点向南偏东60°飞行了50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【分析】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．【知识点拨】正确画出图形是解决本题的关键，准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小，利用三角知识解答．变式训练3-1如图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在O 东偏北45°；(2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向；(3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.当堂检测1．下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A ．2个B .3个C ．4个D .5个2．下列结论中，正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，且方向相同或相反B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行3．若O 为△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( )A ．相等向量 B.平行向量C ．模相等的向量D.起点相同的向量 4．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，那么：(1)在图中与AB →共线的向量有________；(2)在图中与AB →相等的向量有________；(3)在图中与AB →模相等的向量有________；(4)在图中与EC →相等的向量有________．5．在直角坐标系xOy 中，有三点A (1,0)，B (－1,2)，C (－2,2)，请用有向线段分别表示A 到B ，B 到C ，C 到A 的位移．【参考答案】基础知识1．方向直线距离直线距离2． (1)大小方向(2)①有向线段，长度②始点，终点.3．长度4．(1)零不确定．(2)同向且等长同向且等长(3)基线．互相平行或重合，相同或相反基础自测1．D2． (1)√ (2)√ (3)× (4)√题型探究例1 C【解析】 (1)真命题．(2)假命题．若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．(3)真命题．(4)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．(5)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．(6)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．故选C. 变式训练1-1 D【解析】两个模相等，方向相同的向量是相等向量，故A ，B ，C 错，D 正确．例2 解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →，与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →，与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.变式训练2-1 B例3 解如图所示，由|BC |＝1002知C 在A 的正北，又由|CD |＝502，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°.即∠DAC ＝30°，故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.变式训练3-1 解当堂检测1．A【解析】①③④⑥错，②⑤正确，故选A.2．C知识点二平行向量3．C【解析】由三角形外心的性质可知|AO →|＝|BO →|＝|CO →|，故选C.4．(1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，DC →，CD →(2)BE →，DC →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →(4)BD →5．解如图所示，A 到B ，B 到C ，C 到A 的位移分别是有向线段AB →，BC →，CA →.且|AB →|＝22，|BC →|＝1，|CA →|＝13.。

高中数学苏教版必修4第2章《2.1.1 向量的概念及表示》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学苏教版必修4第2章《2.1.1 向量的概念及表示》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1.了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示.2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等概念。

2学情分析授课对象为高一竞赛班学生,基本功扎实。

但本章内容是全新的内容,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极为丰富法实际背景,而且要理解向量的概念和几何性质等本身具有相当的难度,即使是竞赛班的学生,也要注重将基础打扎实,让学生经理向量的构建过程,从中了解到数学和现实世界的深刻联系,培养他们解决问题的能力。

考虑到这些情况,我采用多媒体和板书相结合、启发式与探究式相结合等方法,注重师生的合作探究,发展其应用数学的意识。

3重点难点教学重点: 向量基本概念及其建构过程。

教学难点: 平行向量、相等向量、共线向量的联系和区别。

4教学过程1【导入】创设情境数学的发展始终离不开人类文明的进步,从人类结绳记事开始,随着对客观事物的不断深入认识,我们不停地发现着新的方法来解决问题。

之前在三角函数中引入角变量解决了一些旋转、伸缩等问题。

今天开始我们学习平面向量。

向量是近代数学中非常重要的基本数学概念,它的产生同样来源于生活实际,作为连接代数与几何的桥梁,它有着极高的应用价值。

下面我们就一起来体验向量概念的产生、发展、完善的过程,并要求在后续学习中能利用它来解决实际问题。

情境:(1)请在坐的两位同学起立,比谁更高?和姚明比呢?教师引导:身高可以用唯一的实数表示,转化成比较实数大小的问题。

但仅比较大小能解决所有的实际问题吗?(2) 如图,同一时刻,老鼠向西北方向逃窜,猫由正东方向追去,猫能否抓到老鼠?猫如何才能抓到老鼠?生:不能,方向不对。

猫要抓到老鼠,必须速度和方向都要适当。

(3) 又如,甲乙两车分别以40km/h和50km/h的速度沿同一方向直线行驶,2小时候,它们相差20km;甲乙两车分别以40km/h和50km/h的速度同一个地点出发,甲车向北,乙车向南,2小时候,它们相差180km。

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念示范教案新人教B版必修

2.1.1 向量的概念示范教案教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．图1思路2. 创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．推进新课新知探究位移的概念提出问题回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么？位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．讨论结果：(1)～(3)略．向量的概念，用向量表示点的位置提出问题在数学中，怎样表示向量呢？什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？它们可以分别可以表示向量的什么？怎样定义零向量？怎样定义单位向量？满足什么条件的两个向量叫作相等向量？有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？什么是向量的模？,怎样用向量表示点的位置？活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A 为起点，端点B 为终点，则线段AB 就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面，即是说AB →的方向是由点A指向点B ，点A 是向量的起点．如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB →(或a )的大小，就是向量AB→(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量. 但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作图5AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a .一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．图6(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(7)| AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．教师进一步提醒学生注意方向的问题．方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．(8)任给一定点O 和向量a (图7)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O 表示北京的位置，点A 表示天津的位置，那么向量图8OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．应用示例例1如图9，D ，E ，F 依次是等边△ABC 的边AB, BC, AC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量；(2)找出与向量DF →共线的向量．活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：(1)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DE →相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DF →共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.(1) 图10例2一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴|CA →|＝100 m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.例3如图12，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的量．图12活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不例4(1)下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确．对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，所以有a 与b 都是非零向量，所以只有C 正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图13，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O 是AC 与BD 的交点，求证：EO →＝OF →.证明：如图13，∵AB∥CD，图13∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC.∴EO＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．备课资料一、向量中有关概念的辨析1．数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．2．平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．二、备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图14所示，在△ABC 中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图14A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p ：a ＝b ，命题q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如图15所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图15A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a ＝b ；③a 与b 的方向相反；④a ＝0或b ＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)6．如图16所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.图16(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．7．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案：1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④6．解：(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →，因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC ；(2)向量EC →的模|EC →|＝6.7．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学《2.1.1向量的概念》教学设计

2.1.1 向量的概念一. 学习目标1.关于向量的概念(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何表示;(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和钻研精神.2.关于向量的线性运算(1)通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;(2)让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.(3)通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.二. 重点难点1.关于向量的概念(1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示;(2)难点是对向量概念的理解;2.关于向量的线性运算(1)重点是向量的加法运算,向量的减法运算,向量的数乘运算,法则的理解及其几何意义;(2)难点是对减法定义的理解及正确运用法则,运算律进行向量的线性运算,并利用向量方法解决几何问题.三. 教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课对向量全章的的介绍:通过对书上章前话的解读,让学生体会向量的丰富实际背景,了解向量的研究对象和研究方法,初步了解向量与几何代数之间的关系.(2)概念引入与形成概念应用（1）通过具体的例题1体会向量的概念和几何表示;通过例题2和例题3巩固向量的几何表示,相等,共线向量等概念让学生了解大致内容和小学习本章的重要性概念形成1从常见的物理量力,位移等了解它们的特征是既有大例1船向南航行100海里和向西航小又有方向的量,建立向量的认知基础,自然引出向量概念;2类比学生熟悉的数量如温度,身高,体积,风速,时间,通过比较,使学生在比较中加深对概念的认识.3让再举出几个既有大小又有方向的量,以准确抓住向量的特点.(3)表示方法①再次类比数的表示方法,引出用有向线段表示向量;(几何表示)②用有向线段的方向和长度分别表示向量的方向和大小,赋予向量的几何意义;③提出字母表示方法,明确书写上的要求,为向量的运算做好准备.(4)相关概念辨析①从向量的模引出零向量和单位向量的概念; 行100海里的位移相等吗?选择适当的比例尺,用有向线段表示这两次航行.例2某人从点A出发向西走200m到达B点,然后朝西偏北45 方向走300m到达C点, 最后又向东走200m到达D点.(1)按1:10000的比例作出向量BCAB,和CD; （2）的值.(精确到1m)例3在图中的45的方格纸中有一个向量AB,分别以图中的格点为向量的起点和终点作向量.②让学生了解相等向量规定的合理性,可利用计算机演示向量的平行移动,体会向量的相等,体会向量与有向线段之间的关系;③由向量的平行移动体会平行向量和共线向量的等价性; (1)其中与AB相等的向量有几个?（2）与AB长度相等的共线向量有多少个?归纳小结：向量的简单应用，找相等向量和用向量表示点的位置作业：P79练习A,B。

高中数学第二章平面向量 2.1.1 向量的概念教案新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教

向量的概念教案教学目标：1. 知识与技能：理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 过程与方法：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 情感态度与价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.【探究新知】：出示自学提纲：请同学阅读课本7271P P 后回答：1、数量与向量的定义，有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、零向量的定义5、单位向量的定义6、相等向量的定义7、平行或共线向量的定义 8、零向量与任何一向量平行吗？【讨论结果】1、数量定义：只有大小，没有方向的量。

向量定义：既有大小又有方向的量。

数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2、向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.5、单位向量概念长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.一般用0a 表示。

教学设计2：2.1.1 向量的概念

教师活动
【活动阶段】通过采取实际问题的方式引入课题，让学生初步接触现实生活中除了数量之外的一些（物理）量
问题1：（多媒体演示）老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？
学生：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
教师分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
点评：让学生自己发现，总结归纳出向量的概念（启发学生思考，激活他们的思维，让学生对向量概念有着深刻的印象）.
【对象阶段】通过提问问题，引导学生去发现、归纳出向量数量的区别；向量的表示；特俗向量；相等向量；相反向量；共线（平行）向量等需要我们了解注意的问题
问题3：数量与向量有何区别？
学生：数量只有大小，没有方向；向量有大小和方向；
教师分析：数量（即实数）只有大小，没有方向，例如：-1，0，3；而向量是有方向和大小的，例如我们前面提到的力、速度、加速度等等.
问题4：物理中的力我们是如何表示的？那么向量又应该怎么样表示？
学生：有向线段
教师分析：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
如图：（多媒体演示）向量可用有向线段表示，
⑶且的向量叫相等向量．
课后作业
板书设计
重点难点
教学重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念.
教学难点：向量的概念及对平行向量的理解.
温故知新
引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量.对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系．由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义，且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份，地位和作用.对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向．讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系．

学案3：2.1.1 向量的概念

2.1.1 向量的概念学习目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解相等向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．学习重点难点学习重点：理解并掌握向量、零向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．学习难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．学习过程位移的概念如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．向量的概念在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫做“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A 为起点，端点B 为终点，则线段AB 就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度．这种具有方向的线段叫做有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作 |AB →|.图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．向量只含有方向和大小两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关.如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB →(或a )的大小，就是向量AB →(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a .图5方向相同或相反的非零向量叫平行向量，0与任一向量a 平行，即0∥a .向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．图6任给一定点O 和向量a (图7)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O 表示北京的位置，点A 表示天津的位置，那么向量OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．图8有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．例1.如图9，D ，E ，F 依次是等边△ABC 的边AB , BC , AC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量； (2)找出与向量DF →共线的向量．例2.一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移.例3.如图12，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的量．图12课堂检测1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n 个向量( ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线 D ．模都相等2．如图14所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，则其中共线向量有…( )图14A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p ：a ＝b ，命题q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不必要又不充分条件4．如图15所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图15A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →5．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.(1)写出与ED →相等的向量； (2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．参考答案学习过程例1.解：(1)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DE →相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DF →共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.例2.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11∵|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， ∴△ABC 为正三角形．∴|CA →|＝100 m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC ＝60°，∴∠CAD ＝∠BAC －∠BAD ＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°. 例3.解：OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. 课堂检测 1.D 2.C 3.A 4.D5.解：(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →； (2)向量EC →的模|EC →|＝6.。