工程力学M-第13章

叠加后（F、q共同作用)A点正应力
s = s' + s"
=
FN A
+ (-
Mz (x)y )
Iz
叠加以后应力分布可能是
a b σ′
+
c d
b σ〞 a
中性轴
c
=
d
b a
中性轴
或
c
d
b a
或
c
d
b a
c d
F
固定端截面为危险截面，危险点的应力为
smax
=
FN A
+
Mzmax Wz
危险点为单向应力状态
+ F P πD 2-d2
=-30.38MPa
32
4
二者的数值都小于各自的许用应力值。这表 明立柱的最大拉伸应力点和最大压缩点的强度 都是安全的。
§13.5 截面核心
偏心压缩时，当压力作用点离横截面形心越近时，中性轴 离横截面形心越远。中性轴可能与横截面边界相切或在横截 面以外,此时，整个横截面只产生压应力。
=34.92MPa
32
4
解：2.确定危险截面并计算最大 应力
( ) ( ) sm +ax＝ M W x＋ F A N＝ πD 3 FP 1 -e4
+ FP πD 2-d2
=34.92MPa
32
4
( ) ( ) s m -ax＝ -M W x＋ F A N＝ -πD 3 F P 1 - e4
轴力引起： σ' = - FA=N -
F A
弯矩My引起：
s" = -
My z Iy
= - zF•F•z Iy
弯矩Mz引起： s"' = - Mz y = - yF•F•y
Iz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱIz
叠加得总应力（平面分布）
σ=σ' +s" +s'''
=-
F A
-
zF•F•z Iy
yF•F•y Iz
B(y,z)
B(y,z)
解： 危险截面为切槽处截面
FN=F=1k 0N
5cm F=10kN
10cm 10cm
A
M y= 1k 0 N 2.= 5 0 .2 ck5 m N c
C
z M z= 1k0 N 5= c0 .5 m kc N m
危险点为截面上左上边缘A点
y
smax=FAN
+Mz Wz
+My Wy
=0 .1 10 k .0 0m N 5 2+1 0 0 ..0 5 k 5 0 N .m 1 2m 3+1 0 0 ..2 1 k 0 5 .0 N m 2m 53=14MPa
偏心距)e＝400 mm。
试校核：立柱的强度是否安全。
解 ： 1. 确 定 立 柱 横 截 面上的内力分量
用假想截面m-m将立柱截开， 研究上半部分。由平衡条件得 截面上的轴力和弯矩分别为
FN＝FP＝15 kN Mx＝FP×e＝6 kN.m
解：2.确定危险截面并计算最大应力
立柱在偏心力FP作用下产生拉伸与弯曲组
强度条件 σmax≤[σ]
例题 如图所示托架受荷载F=45kN作用。设AC杆为22b的工字 钢，材料容许应力[σ]=160MPa，试校核AC杆强度。
3m
A 30°
1m F=45kN BC
D
FAx
A
FBx
FAy
F=45kN BC FBy
解： 1.分析AC杆变形
FAy=15kN FBy=60kN FAx=FBx=104kN AC杆为拉弯组合
杆件受到轴向力与横向力共同作用时，杆件将产生拉伸（压 缩）与弯曲组合变形。
当杆件产生的弯曲变形很小时，轴力在弯曲变形上所引起的附 加弯矩很小，可忽略不计，故可由叠加原理求得轴向力和横向 力两种荷载共同引起的正应力。
A点正应力
F 轴向力F作用
s' =
FN A
横向力q作用
s" = -
Mz (x)y Iz
Fl
A端截面为危险截面，截面内力： Mz =Fl
作中性轴1与周边相切，其截距为ay1和az1，故外力 作用点的坐标为
yF1
=
-
i
2 z
y1
zF1
=
-
i
2 y
z1
ay1
即可确定1点。
yF1
再分别作中性轴2、3…，用相同
1 3 2
1
2
zF1 3
az1
的方法，可得到2、3…等点。连接
这些点所得的闭合区域就是截面核
心。
例 试确定下图所示矩形截面的截面核心。
=-
F A
-
zF•F•z Iy
yF•F•y Iz
已知： Iy=Aiy 2
Iz=Aiz2
代入上式
s=-FA1+yFiz2y+zFiy2z
设yo和zo为中性轴上任一点的坐标：
s=-F A1+yFiz2y0+zFiy2z0=0
即：
1+
yF y0 iz2
+zF z0 iy2
工程力学
第二篇 材料力学
第13章 组合变形
第13章 组合变形
概述 斜弯曲 拉/压与弯曲的组合 偏心压缩 截面核心 弯曲与扭转的组合 本章小结
§13.1 概 述
组合变形（combined deformation）是指在外力 作用下杆件将同时产生两种或两种以上的基本变形。
- cosφ
Iz
y+
sinφ z Iy
=0
中性轴方程
设中性轴与z轴夹角α，则
tanα=
y z
=
Iz Iy
tan φ
对于Iy≠Iz的截面，α ≠φ，中性轴与F力作
用方向不垂直。这是斜弯曲的一个重要特 征。
φF
中性轴
o
z
α
y
但对于Iy=Iz的截面(如正方形、圆形等 正多边形），梁只发生平面弯曲。
最大正应力
中性轴将截面分成两部分，一部分受拉，另一部分受压，最大 正应力发生在离中性轴最远的点。对于有凸角的截面（如矩形、 工字形截面），最大正应力在角点。
b σ' a
+
中性轴
c
d
中性轴 b σ〞 a
=
c
d
= + s max
Mz
Wz
My Wy
bσ
a
z
中性轴
o
c
dy
强度条件 先确定危险截面，再确定危险点 危险点为单向应力状态，强度条件为
压弯组合的烟囱
偏心压缩的厂房吊车立柱
弯扭组合的皮带轮轴
组合变形杆的计算方法 （杆件在线弹性，小变形情况下）
1. 将作用在杆上的荷载分解或简化，使杆在每种荷载作用下,只 产生一种基本变形。
2. 分别计算每一种基本变形下杆的应力和变形。
3. 用叠加原理可得杆在组合变形下的应力和变形。
§13.2 斜弯曲
s =s' +s" = -
Mz y +
Iz
My z Iy
K(y,z)
x
l
二、中性轴的位置 最大正应力
令 s =s' +s" = - Mz y + My z
Iz
Iy
得
- cosφ
Iz
y+
sinφ z Iy
=0
=0
中性轴方程
b σ' a
中性轴
+
c
d
中性轴 b σ〞 a
=
c
d
bσ
a
z
中性轴
o
c
dy
中性轴是一条过截面形心的直线。
§13.4 偏心压缩（拉伸）
杆受到与轴线平行但不重合的外力作用时，杆产生偏心压缩 （拉伸）（eccentric compression or tension）。
一、偏心压缩杆的强度计算
1. 力F力向形心简化
轴向力：
F
A(0,zF)
xOz面内力偶： My = F·zF
xOy面内力偶： Mz = F·yF
=0
这就是中性轴方程，一条不通过截面形心的直线方程。
分别令z0=0和y0=0，可以得到中性轴方程在y、z轴上的截距：
ay =
y0
= z 0 = 0 -
i
2 z
yF


az
=

z0
= y 0 = 0
-
i
2 y
zF
上式表明： 中性轴位置与外力作用点位置分别在截
面形心的两侧。
任意形状截面的截面核心确定：
zF4
=0
连接1点、2点、 3点和4点就 是截面核心的边界。最后得到 矩形截面的截面核心是一个菱 形，其对角线的长度分别是h/3 和b/3。（中间三分点）
b
A
④
h
① h/6 3
h/6
2 1
b/6 b/6
4 B②
y
D
③ z
C
§13.6 弯扭组合
曲拐AB段、传动轴将发生弯曲与扭转的组合变形
la
1. F向AB杆B截面形心简化 2. AB杆内力
1. 外力分解
Fy = Fcosj Fz = Fsinj
2. x截面的内力(不计剪力)
Mz =Fy(l-x)=F(l-x)cosj My =Fz(l-x)=F(l-x)sinj
x
l
3. x截面任一点处正应力
Fy引起的正应力 Fz引起的正应力
s' = - Mz y
Iz
s" = My z
Iy
x截面任一点处正应力：
b
A
D
h B
z C y
解：矩形截面的对称轴y和z是形心主轴。该截面的
i
2 y
=
Iy A
=
b2 12
iz2
=
Iz A
=
h2 12
先将与AB边重合的直线作为中性轴①，它在y和z轴上的截距 分别为
ay1 = ,
b az1 = - 2
则
yF1
=
- iz2
y1
=
-
h2 12
=
0
zF1
=
-
i
2 y
z1
FAx
A
FBx
FAy
F=45kN BC FBy
3m
A 30°
1m F=45kN BC
FN图 /kN
104
+
D
危险截面为B点左侧截面
M图
45
/kN·m
-
危险点为B点左侧截面上边缘各点
smax=FAN
+Mzmax Wz
=416.60ck4m N 2+435k2cN 5m m 3 =16.90MP<a1.05[σ]=168MPa AC杆是安全的
B
l =2m
Mzma=x1 2q2l=1k 0N m
危险点在固定端截面 的角点A
2.效核梁的强度
smax=MWzm z ax+MWym y ax =410 k0.9N 1cm m 3+44k.82N c8m m 3 =10.77MPa
<[σ]=160MPa
梁是安全的
§13.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合
= + s max
Mzmax Wz
Mymax Wy

[s ]
单向应力状态:由梁的强度计算结果可知，剪力引起的剪应力对强度的影 响与由弯矩引起的正应力相比是次要的。因此，在组合变形问题中，一 般不考虑剪力的影响。
例题 悬臂梁,采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q作用,在
自由端受水平集中力F作用。
=
-
b2 12 -b 2
=
b 6
b
A
h ① h/6
2 1
b/6
B② y
D
z C
同理可求得当中性轴②与BC边重合时，与之对应的2点的坐标为
h yF2 =-6,zF2 =0
中性轴③与CD边重合时，与之对应的3点的坐标为
b
yF3
=0,zF3
=6
中性轴④与DA边重合时，与之对应的4点的坐标为
yF4
=
h
, 6
平面弯曲：具有纵向对称平面的梁，当外力作用在纵向对称平 面内时,梁的轴线在此平面内弯成一条曲线，梁发生平面弯曲。
工程上有些梁, 外力虽然经过形心,但其作用面与形心主惯性 平面既不重合,也不平行，这时梁变形后轴线不在形心主惯性平 面(或与之平行的平面)内，梁发生斜弯曲。
F oz
φF oz
y
y
一、正应力计算
合变形。由于立柱内所有横截面上的轴力和 弯矩都是相同，所有横截面的危险程度是相
同的。根据横截面上轴力FN和弯矩Mx的实际 方向可知，横截面上左、右两侧上的b点和a
点分别承受最大拉应力和最大压应力，其值 分别为
( ) ( ) sm +ax＝ M W x＋ F A N＝ πD 3 FP 1 -e4
+ FP πD 2-d2
工程上有些材料（如混凝土、砖、 石等），其抗拉强度很小，因此，偏 心受压杆要求横截面上不产生拉应力 （即中性轴不穿过横截面），外压力 必须作用在横截面形心附近的某一区 域内，该区域称为截面核心（core of a section）。
中性轴
D2
D1
z
y
偏心压缩杆的强度计算公式:
σ=σ' +s" +s'''
Iz=5023.54cm4,Wz=401.9cm3，Iy=280.0cm4, Wy=48.28cm3,E=2×105MPa，[σ]=160MPa。
试校核梁的强度。
q=5kN/m
z Ox
y
F=2kN
l =2m
A
q=5kN/m
解： 1.找危险截面、危险点
z
O
x
y
F=2kN
危险截面为固定端截面
M yma =x Fl=4kN m
中性轴
+
=
z
y
A(yF, 0) 或
对于有凸角的截面，最 大正应力必定发生在角 点，角点D1产生最大压 应力，角点D2产生最大 拉应力，其应力及强度 条件为
σtmax
=-
F A
+
Mz Wz
+
My Wy
≤[σt]
σcmax = -
F A
-
Mz Wz
-
My Wy
≤[σc]
中性轴
D2
D1
z
y
例题1 一端固定并有切槽的杆，材料容许应力 [σ]=10MPa，试校核杆的强度。
F作用产生轴向压缩；而My作用在xOz平面内产生平面弯曲 （纯弯曲）;Mz作用在xOy平面内产生平面纯弯曲。
2. 任意横截面的内力
轴力： xOz面内弯矩： xOy面内弯矩：
FN=F My = F·zF Mz = F·yF
这是轴向压缩与xOz、xOy平面内平面
弯曲的组合，任一横截面均为危险截 面。
3. 任意横截面上某一点（B点）的应力
6
杆不安全
6
>[σ]=10MPa
例题2
钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为
D＝140 mm，内、外径之比d／D＝
0.75。铸铁的拉伸许用应力35 MPa，压 缩许用压应力90 Mpa。钻孔时钻头和工
作 台 面 的 受 力 如 图 所 示 ， 其 中 FP ＝ 15 kN，力FP作用线与立柱轴线之间的距离(